HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 1 Algorithm....

HEINZ NIXDORF INSTITUTUniversität Paderborn

Fachbereich Mathematik/Informatik

1Algorithm. Grundlagen des Internets24. Juni 2002

Christian Schindelhauer

Vorlesung Sommersemester 2002

Algorithmische Grundlagen des Internets (IX)

Christian [email protected]


Fachbereich Mathematik/InformatikAG Meyer auf der Heide





Vereinfachter PageRank-Algorithmus

o Vereinfachter PageRank-Algorithmus Rank einer Web-Seite R(u) [0,1] Wichtige Seiten vererben ihr Gewicht (gleichmäßig unter ihren

Nachfolgern)

c ist Normalisierungsfaktor, so dass ||R(u)||1=1

Vorgängermenge Bu

Nachfolgermenge Fu





Vereinfachter PageRankBeispiel





Vereinfachter PageRank-Algorithmus

o Konvergiert der vereinfachte PageRank-Algorithmus?

o Wieviele Lösungen gibt es?

o Wie sinnvoll sind diese?





Matrixdarstellung

R c M R ,wobei R Vektor (R(1),R(2),… R(n)) und M folgende n n – Matrix ist:





Eigenvektor als Fixpunkt der RekursionStochastische Matrix

o Für Vektor R, n n-Matrix und Zahl c: Wenn M R = c R , ist R Eigenvektor und c Eigenwert

o Jede n n-Matrix M hat höchstens n Eigenwerte

o Beobachtung:

Stochastische Matrizen beschreiben Markov-Prozesse über den Zustandsraum {1,..,n}

Prob[ij] = Mij





Eigenvektor als Fixpunkt der RekursionStochastische Matrix

o Die L1-Norm eines Vektors ist gegeben als

Eigenwerte von M |i| 1





PeriodizitätBeispiel 1





PeriodizitätBeispiel 2





Notwendige Bedingung für Periodizität





Hinreichende Bedingung für Konvergenz





Nachteile des vereinfachten PageRank-Algorithmus

o Web-Graph hat Senken, d.h. Seiten ohne Links M ist keine stochastische Matrix

o Web-Graph ist periodisch Konvergenz unmöglich

o Web-Graph ist nicht stark zusammenhängend Verschiedene Konvergenzvektoren möglich

o Rang-Senken: Sarke Zusammenhangskompenenten ohne ausgehenden Kangen „saugen“ Gewicht der Vorgänger auf





Lösung durch PageRank

o Prozess startet mit zufälliger Seite

o Jede Senke erhält Links auf jede Seite in V

o Nur mit Wahrscheinlichkeit q < 1 wird vereinfachter PageRank durchgeführtAnsonsten starte mit zufälliger Startseite

o M ist stochastisch!





PageRank-Algorithmus

o Graph der Matrix besteht aus einer starken Zus.-komponente

o Rundwege der Länge 1 existieren

PageRank konvergiert gegen den eindeutigen Eigenvektor mit Eigenwert 1





Kleinbergs HITS-Algoirhtmus(HyperText Induced Search)

o Anwendung: Textuelle Suche führt zu großen Anzahl von Treffern, z.B.

• Suche nach „windows“ Gewünschte Seite enthält nicht Suchwort

• z.B. http://www.porsche.com enthält weder „Sportwagen“ noch „Auto“

Suche nach allgemeinen Begriffen

o Idee des Algorithmus Autorität/Relevanz einer Web-Seite wird durch Links auf

Hinweisseiten (hubs) bezeugt• z.B. Eisenbahnfans sammeln Links von

Eisenbahngesellschaften Autoritäten weisen auf die Qualität von Hinweisseiten hin Ähnlicher Mechanismus wie PageRank-Algorithmus





Basismengenauswahl

o Ideal: S ist relativ klein S enthält viele relevante

Web-Seiten S enthält die meisten

(oder viele) der wichtigstenAutoritäten

o Knotenheuristik Erweitere um Nachfolger

•da Hinweisseiten in R auf diese zeigen

Erweitere um max. d Vorgänger•um ausreichende Anzahl von Hinweisseiten zu erhalten





Kantenmengenheuristik

o Neben Knoten werden Kanten eingeschränkt:

o Kantenmengenheuristik Lösche interne Links (innerhalb der selben Domain)

• wegen Navigationslinks• wegen Links auf Autor

Erlaube maximal m ( 4-8) Links aus gleicher Domain auf eine Seite

• wegen Werbelinks• wegen Links auf Softwaretool





Gegenseitige Verstärkung

o Gewichtung für Autorität einer Seite i: xi

o Gewichtung für Hinweiseigenschaft einer Seite i: yi

o Autorität/Relevanz einer Web-Seite wird durch Links auf Hinweisseiten (hubs) bezeugt

o Autoritäten weisen auf die Qualität von Hinweisseiten hin

c1, c2 normieren x und y bezüglich der L2-Norm:





Der HITS-Algorithmus





Matrixdarstellung

o Aus Adjazenzmatrix:

o Autoritäten:

o Hinweisseiten:

o Nach t Iterationen:

o D.h.





Matrixdarstellung

o M = A AT ist symmetrische Matrix

o Für symmetrische Matrizen sind alle n Eigenwerte reell sind die n Eigenvektoren orthogonal

o Es existiert die Darstellung

o wobei für die Spaltenvektoren Si gilt

o Falls größter Eigenwert 1 > 2 konvergiert der HITS-Algorithmus

folgt aus Übungsaufgabe 20

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