Herzlich Willkommen Vortragsthema: Der goldene Schnitt Sebastian Grothe.

Herzlich Willkommen

Vortragsthema:

Der goldene Schnitt

Sebastian Grothe

1 Definition und Grundeigenschaften

1.1 Definition und Herleitung des Zahlenwertes1.2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal1.3 Goldener Winkel & Spirale

2 Historisches


2 Historisches

3 Beispiele3 Beispiele

3.1 Architektur3.2 Kunst

Inhalt

3.3 Biologie

4 Zusammenfassung4 Zusammenfassung

3.4 Die Fibonacci-Zahlen

Definition und Herleitung

- bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen zueinander

- beispielsweise Längen & Strecken:

Der goldene Schnitt – Was ist das überhaupt?

-

- Doch das reicht uns als angehende Mathematiker nicht aus!


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Definition und Herleitung

-

- Φ ist eine irrationale Zahl

Wir wollen den „genauen“ Zahlenwert ermitteln:

- Zahlenwert oft als Konstante Φ (Phi) bezeichnet

Goldener Schnitt wird auch als stetige Teilung bezeichnet, denn:

- subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine Strecke, zu der die kürzere wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht


2 Historisches

3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke?

- Strecke AC zeichnen, Zirkel in C ansetzen mit Radius BC, Schnittpunkt auf AC mit D bezeichnen

Gibt mehrere Möglichkeiten („innere Teilung“):

- Strecke AB zeichnen und Strecke BC senkrecht zu AC, wobei AC halb so lang ist wie AB

- Zirkel in A ansetzen mit Radius AD, Schnittpunkt auf AB mit S kennzeichnen

Skizze


2 Historisches

3 Beispiele

4 Zusammenfassung


Konstruktionsbeweis:1 Definition und Grundeigenschaften

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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Skizze



2 Historisches

3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Konstruktionsbeweis


Möglichkeit der „inneren“ Teilung nach Euklid:

Skizze


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung



2 Historisches

3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Skizze



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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Konstruktionsbeweis


Möglichkeit der „äußeren“ Teilung:

Skizze


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung



2 Historisches

3 Beispiele

4 Zusammenfassung



2 Historisches

3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Konstruktionsbeweis

Die Goldene SpiraleTeilt man ein goldenes Rechteck in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck und wiederholt diesen Vorgang immer wieder ergibt sich folgendes Bild:

- ergibt sich logarithmische Spirale, deren Radius sich um Φ bei jeder Vierteldrehung ändert


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Die Goldene SpiraleUnd nun betrachtet einmal das Kalkgehäuse einer Nautilus (Schneckenart):


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Na und wofür ist das wichtig?Besonders eindruckvoll tritt der goldene Schnitt bei regulären Fünfecken in Erscheinung. EUKLID führt in seinen Elementen den goldenen Schnitt vor allem aus dem Grund ein, um mit seiner Hilfe, das reguläre Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren zu können.


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung


Gegeben sei die Diagonale d=AB des Fünfecks. Man teilt sie im Verhältnis des Goldenen Schnittes. (Siehe Konstruktion Innere Teilung)

Konstruktion

Man nutzt aus, dass die Diagonalen im Fünfeck gleich lang sind und sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen.


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung


Konstruktion

Die Punkte A,B und T sind also gefunden.

Trage die Strecke AT von B aus auf AB ab. P1 entsteht.

Zeichne um T und P1 Kreise mit dem Radius TB. P2 und P3 entstehen.

Zeichne die Geraden P1P2, P2T, AP3 und BP3.

Es entsteht ein Stern.

Verbinde die Spitzen des Sterns.


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Na und wofür ist das wichtig?Fünfeck und darin enthalten das Pentagramm:1 Definition und

Grundeigenschaften

2 Historisches

3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Na und wofür ist das wichtig?Im Pentagramm lassen sich wieder Strecken finden, die im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen:


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Historisches

Hippasos vom Metapont (ca. 450 v. Chr.)

„Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale im Fünfeck lässt sich nicht durch rationale Zahl beschreiben!“

Euklid (325 - 270 v. Chr.)Stieß auf goldenen Schnitt bei seinen Untersuchungen an platonischen Körpern und verfasste Arbeit darüber.

Wann wurde der goldene Schnitt „entdeckt“?1 Definition und Grundeigenschaften

2 Historisches

3 Beispiele

4 Zusammenfassung

HistorischesLuca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 – 1514)

Verfasste Buch „De Divina Proportione“ im Jahr 1509 über Goldenen Schnitt

Adolf Zeising (1810 – 1876)

Stellte Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt her, welchen er als „Naturgesetz der Ästhetik“ sah

Martin Ohm (1792 – 1872)

Verwendete 1835 erstmals die Bezeichnung „Goldener Schnitt“


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Architektur

-

Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.)


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Architektur

Abbildung 1: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.)


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Architektur

Abbildung 2: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.)


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Architektur

Dom von Florenz (1436)


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Kunst

Menschliche Proportionen nach Vitruv von Leonardo da Vinci (1492)


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Kunst

Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue)


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Kunst

Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503)


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Biologie

Sonnenblume


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Biologie

Efeu


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Aus der Biologie

Phyllotaxis


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Die Fibonacci-Zahlen

-

Der Goldene Schnitt findet sic auch bei den Fibonacci-Zahlen wieder:

-


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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Dividiert man nun zwei Aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ergibt sich folgendes:

Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt nähert, je weiter man in der Folge geht.

Die Fibonacci-ZahlenZum Beispiel bestehen zwischen Nachbarn der ersten zwölf Glieder

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

jeweils die Verhältnisse für :

1 0,5 0,67 0,6 0,625 0,6154 …


2 Historisches

3 Beispiele

4 ZusammenfassungDamit ergibt sich

Die Fibonacci-Zahlen1 Definition und

Grundeigenschaften

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3 Beispiele

4 Zusammenfassung

Literatur

-Loeb, Arthur L: Concepts & Images (Visual Mathematics); Boston: Birkhäuser, 1993

- Bühler, W: Das Pentagramm und der Goldene Schnitt als Schöpfungsprinzip; Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben GmbH, 1996

- Walser, H: Der Goldene Schnitt (2.Auflage); Leipzig: Teubner Verlagsgesellschaft, 1996

Herzlich Willkommen Vortragsthema: Der goldene Schnitt Sebastian Grothe.

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