Höhere Experimentalphysik 1 -...

Höhere Experimentalphysik 1

Institut für Angewandte Physik

Goethe-Universität Frankfurt am Main

5. Vorlesung

02.12.2016

Höhere Experimentalphysik 1 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main

Ankündigung Übung

Die nächste Übung findet am 21.12. statt!


Was bisher geschah….

Felder und Potentiale von zwei Punktladungen

• Erzeugung von Magnetfeldern• Superpositionsprinzip

• Einschluss in Magnetfeldern• Solenoid• Toroid• Tokamak• Stellerator

• Materie in Magnetfeldern• Diamagnetismus• Paramagnetismus• Ferromagnetismus


Beispiel: Bennett-Pinch

Willard Harrison Bennett 1903 - 1987

ohne mitRaumladungskompensation


Dielektrika

Wie ein elektrisches Feld von Materie beeinflusst wird, hängt von ihrematomaren Aufbau ab, speziell von Lage und Verschiebbarkeit der Ladungendarin. Dielektrika werden isolierende Stoffe bezeichnet, durch die daselektrische Feld „hindurchgreifen“ kann.

Beobachtung: Eine Dielektrikum vergrößert die Kapazität einesKondensators.

Dazu wird die Dielektrizitätskonstante e eingeführt:

Sie bezeichnet das Verhältnis der Kapazität des Kondensators mit diesemIsolator bzw. mit Vakuum im Plattenzwischenraum.


PolarisationDie freien Oberflächenladungen auf dem Dielektrikum schwächen dasE-Feld und die Spannung bei gegebener Ladung der Platten, erhöhenalso die Kapazität C= Q/U des Kondensators. Da das Feld an allenAtomen des Isolators in gleicher Weise angreift, werden deren negativeLadungen relativ zu den positiven verschoben.

Genau wie bei der Influenz erzeugt diese Polarisation an den Oberflächen ein makroskopische Ladungsverteilung, die alsDipolmoment dargestellt werden kann.

Dielektrische Suszeptibilitäta ist die Polarisierbarkeit

0 =d𝐩

dV


Elektrische FlussdichteDas resultierende elektrische Feld im Plattenkondensator mitDielektrikum ist gegeben durch

Im Fall des Vakuums verschwindet die Polarisation d.h. P=0.

Mit zunehmender Feldstärke E spannen sich die Dipole auf oderorientieren sich durch das wirkende Drehmoment. Das geht zunächstlinear los und sättigt bei höheren Feldstärken.

Für den linearen Bereich gilt

𝑫 = 𝜀0𝑬 + 𝑷

𝑫 = 𝜀𝜀0𝑬


Polarisation

• Verschiebungspolarisation:

induzierte Dipole durch E-Felder,

gesamte Probe stellt Dipol dar

• Orientierungspolarisation:

Dipolmomente sind bereits vorhanden aber aufgrundvon Wärmebewegung regellos verteilt und werden erst in einem elektrischen Feld ausgerichtet


Polarisierbarkeit von Atomen in elektrischen WechselfeldernDa die Masse des positiven Atomkerns relativ schwer ist, werden durch das oszillierende Feld hauptsächlich Elektronen mit einer gewissen Schwingungsamplitude bewegt. Die Bewegungsgleichung der Elektronen im elektrische Wechselfeld Ex=E0xcos(wt) lautet dann

Die Lösung dieser Oszillatorgleichung ist mit Diese Auslenkung x entspricht eine oszillierendes Dipolmoment px=qx.

Die Polarisierbarkeit a hängt also von der Frequenz des Wechselfeldes ab.

Resonanzfrequenz w0/2p


Polarisierbarkeit von Atomen in elektrischen Wechselfeldern

Während die statische Polarisierbarkeit (w=0)

beträgt, nimmt a in der Nähe der Resonanzfrequenz sehr viel höhere werte an und bei sehr hohen Frequenzen geht a gegen null, weil die Elektronen dem Feld nicht mehr folgen können.

Beispiel: Die Suszeptibilität eines Plasma ist definiert als

Mithilfe der Plasmafrequenz wird und man

kann die Dielektrizitätskonstante aufgeschreiben zu


Ionosphäre

Reflexion bei f=fpe, Wellenausbreitung für f>fpe


Faradaysches Induktionsgesetz

M. Faraday, 1831

Ein veränderlicher magnetischer Fluss durch eine Oberflächeinduziert ein elektrisches Feld in jeder Grenzfläche dieser Oberfläche, und ein veränderliches Magnetfeld induziert einzirkulierendes elektrisches Feld.


BezugssystemLaborsystem

Es herrscht ein Feld B, quer dazu ein Feld 𝑬′ = 𝑣 × 𝑩, das durch 𝑬′′ = −𝑣 × 𝑩 kompensiert wird.

Ein Draht fliegt durch ein B-Feld und dieLorentz-Kraft treibt Ladungen nach rechtsbis ein Gegenfeld :𝑞𝑬′′ = −𝑭 = −𝑞𝒗 × 𝑩 erzeugt wird.

B steigt zeitlich an. Es entsteht eine Spannung:

𝑈 = −𝑎𝑏𝑣𝑑𝐵

𝑑𝑦= −𝑎𝑏 𝐵

𝑈 = − 𝜙𝑈 = 𝑬′ ∙ 𝑑𝑟 = −𝑎 𝐸2 − 𝐸1

= −𝑎𝑣 𝐵2 − 𝐵1 = −𝑎𝑣𝑏𝑑𝐵

𝑑𝑦

Faradaysches Induktionsgesetz

Es herrscht ein B-Feld, quer dazu ein E-Feld, beide sind homogen. Ein Voltmeterschlägt nicht aus.

Die Drahtschleife durch ein homogenesB-Feld. Die E-Felder in den beidenzweigen kompensieren sich. Es entstehtkeine Gesamtspannung.

Die Drahtschleife durch ein inhomogenesB-Feld. Die E-Felder in den beidenzweigen kompensieren sich nicht. Esentsteht eine Gesamtspannung:


Wirbelfeld auf einem rotierenden Zylinder im Erdmagnetfeld

Versuch: Induktion


Das gemessene Erdmagnetfeld hatte eine Stärke von: BErd = 56 G.

Im ungeschlitzten Zylinder wurde ein Magnetfeld von BInd = 0,06 G erzeugt.

Im geschlitzten Zylinder baute sich kein Magnetfeld auf, da die Wirbelströme durch die Schlitze unterbrochen wurden.

Versuch: Induktion


AnwendungenDer Transformator

Das Betatron


Elektromagnetische Wellen• Ruhende elektrische Ladungen erzeugen elektrische Felder, deren

Feldlinien in den Ladungen beginnen oder enden:

• Der Gesamtfluss durch eine geschlossenen Oberfläche ist Null.

• Ströme d.h. bewegte Ladungen, erzeugen Magnetfelder, derengeschlossenen Feldlinien die Ströme umkreisen

• Sich ändernde Magnetfelder erzeugen elektrische Felder, derengeschlossene Feldlinien die Änderungsrichtung des Magnetfeldesumkreisen

𝐸 ∙ 𝑑𝑠 = − 𝜕𝐵

𝜕𝑡∙ 𝑑𝐴


Das Amperesche Gesetz

Im Ampereschen Gesetz wird ausgesagt, dass jeder Leitungsstrom I vonmagnetischen Feldlinien umgeben ist:

Das bedeutet, das Linienintegral über einen beliebigen,geschlossenen Integrationsweg C ist gleich mal dem vomIntegrationsweg eingeschlossenen Strom I:

Magnetfelder werden von bewegter Ladung erzeugt.

Erweiterung durch Maxwell 1850

Maxwell wies als Erster darauf hin, dass das Gestz in dieser Form bei Wechselstromkreisen mitKondensator keine eindeutigen Werte von liefert.


Das Amperesche Gesetz - Erweiterung

Wenn man nun auf der rechten Seite von den von derelektrischen Feldstärke abhängigen sogenannten Verschiebungsstromaddieren, erhalten wir in beiden Fällen dieselbe magnetischeFeldstärke.

Der Verschiebungsstrom ist allgemein gegeben durch Integration über E dA:

Leitungsstrom in den Kondensator:


Das Ampere-Maxwellsche Gesetz

Ein elektrischer Strom oder ein veränderlicher elektrisches Fluss durch eine Oberfläche produziert ein zirkulierendes magnetisches Feld um jeden Pfad der diese Fläche begrenzt.

Integralform:

Differentielle Form:


Das Ampere-Maxwellsche GesetzEin veränderliches elektrisches Feld erzeugt ein veränderliches Magnetfeldauch wenn keine Ladungen vorhanden sind und kein Strom fließt. Durchdiesen Mechanismus (d.h. veränderliche elektrische Felder induzierenMagnetfelder, veränderliche Magnetfelder induzieren elektrische Felderusw.) können elektromagnetische Wellen selbst durch ein perfektes Vakuumpropagieren.

Das Einbeziehen des Verschiebungsstroms in das Amperesche Gesetz warder bedeutende Schritt, der es Maxwell erlaubte die bekanntenelektromagnetischen Gleichungen zu einer Wellengleichung zu kombinierenund somit „eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes“ zuentwickeln.

Das Magnetfeld einer freien elektromagnetischen Welle rührt nur vomVerschiebungsstrom!


Elektromagnetische Wellen

Nachdem Maxwell die Existenz von elektromagnetische Wellenvorhergesagt hatte, gelang um 1860 Heinrich Hertz erstmals dieErzeugung von Radiowellen und der Nachweis, dass sie sich mit derLichtgeschwindigkeit

ausbreiten.


Die Wellengleichungen

Bildet man in der zweiten Maxwell Gleichung die Rotation, d.h.

mit der Operatoridentität

folgt

(1)

(2)

(3)



Die Rotation des Magnetfeldes ist gegeben durch

Somit kann man (3) ausdrücken durch

Mithilfe des Gaußschen Gesetzes wird aus (5)

(4)

(5)


Die WellengleichungenDurch das Umstellen der Terme, die das elektrische Feld enthalten folgt

Im Fall von ladungs-und stromfreier Region gilt

Ebenso lässt sich aus dem Ampereschen Gesetz

die Wellengleichung für das Magnetfeld ableiten

(6)

(7)

(8)



Diese Wellengleichungen sind partielle Differentialgleichungen vonzweiter Ordnung mit jeweils drei Feldkomponenten. Sie beschreibenelektromagnetische Wellen, die sich z.B. im freien Raum mitLichtgeschwindigkeit c ausbreiten.


Die WellengleichungenMit den Lösungsansatz einer transversal ebene Welle

zeigt sich, dass das elektrische Feld und das magnetische Feld amgleichen Ort und zur gleichen Zeit ihr Maximum erreichen d.h. E und Bsind in Phase.

Nahfeld

Bildquelle: http://www.meteo.physik.uni-muenchen.de/lehre/crewell/vorles/FE_vorles/FE_29okt04.pdf

E- und B-Feld phasen-verschoben um 90°

Bildquelle: http://de.sci.physik.narkive.com/s0TWg3yW/nah-und-fernfeld-von-dipolstrahlung-phasenverschiebung:i.1.1.full

FernfeldE- und B-Feld in Phase

http://www.meteo.physik.uni-muenchen.de/


Erzeugung von EM-Wellen – Hertzscher Dipol

Felder sind zunächst im Inneren vonKondensator bzw. Spule konzentriert.Allerdings ändert sich das mit Form desSchwingkreises und die Felder reichen weitnach außen.


Beispiel: Abstrahlcharakteristiken

Polar Plot

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,00,20,40,60,81,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

Die rechte Antenne eilt um T/2 nach Die rechte Antenne eilt um T/4 nach Schwingen in Phase

Polar Plot

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,00,20,40,60,81,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

Polar Plot

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,00,10,20,30,40,5

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330


Energiedichte einer elektromagnetischen Welle

Die Energiedichte w der Welle setzt sich aus einem elektrischen und einem magnetischen Anteil zusammen:

Wegen folgt

Energiestromdichte S ist gegeben durch und zeigt ebenfalls räumlich periodische Schwankungen wie E und B.

= E x B


Poynting-Vektor

Der Poynting-Vektor (abgeleitet für eine ebene Welle) zeigt in die Ausbreitungsrichtung und sein Betrag gibt die Intensität der elektromagnetischen Welle an:

Ganz allgemein gibt der Poynting Vektor den Energiestrom im elektromagnetischen Feld wieder.

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