Höhere Experimentalphysik 1 -...

Höhere Experimentalphysik 1

Institut für Angewandte Physik

Goethe-Universität Frankfurt am Main

1. Vorlesung

26.10.2018


Gitter / Metrik / Topologie

© Spektrum der Wissenschaft | Sterne und Weltraum | 12/2011Hermann Minkowski


Naturkonstanten

Masse und Ladung

c = Lichtgeschwindigkeit

G = Gravitationskonstante

e0 = Elektrische Feldkonstante

kb = Boltzmann-Konstante

ℏ = reduziertes plancksches Wirkungsquantum

?Eigenschaft der Materie, aber ….

© Physikalisch-Technische Bundesanstalt


Diskretisierungsgrößen

„… ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als ‚natürliche Maaßeinheiten‘ bezeichnet werden können …“

Planck-Temperatur 1,417 · 1032 K

Planck-Masse 2,176 · 10−8 kg

Planck-Ladung 1,876 · 10−18 C

Planck-Länge 1,616 · 10−35 m

Planck-Zeit 5,391 · 10−44 s

© A

rch

iv d

er M

ax-P

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Max Planck


Experimente Heute

Energie

Bose-Einstein-Kondensat

LHC @ CERN

Dichte

XHV extremes Vakuum

Schwerionen-kollisionen


Messung der KräfteCavendishe Drehwaage Coulombsche Drehwaage

@ HEMS Darmstadt


Vergleich gravitative und elektrostatische KraftNewtonsches Gesetz

• Kraft entlang Verbindungslinie

• 1/r2-Abhängigkeit

• Masse als Quelle

• anziehend

• Kraftgesetz

• Proportionalitätskonstante

g=6.67.10-11 Nm2/kg2

Coulombsches Gesetz• Kraft entlang Verbindungslinie

• 1/r2-Abhängigkeit

• Ladung als Quelle

• anziehend und abstoßend

• Kraftgesetz

• Proportionalitätskonstante

k=8.99.109 Nm2/C2

Vergleich:

𝐹𝐶 = 𝑘𝑞1𝑞2𝑟2

𝒆𝑟𝐹𝐺 = 𝛾𝑚1𝑚2

𝑟2𝒆𝑟

𝐹𝐶𝐹𝐺

=𝑘

𝛾

𝑞𝑒𝑞𝑝𝑚𝑒𝑚𝑝

= 2.4 ∙ 1039


Entdeckung der Ladung

Kelvin Generator oder „Kelvin Water Dropper“


i. Elektrische Ladung

Alle Erscheinungen, die im Rahmen der Elektrodynamik besprochenwerden, beruhen darauf, dass die Materie vorwiegend aus geladenenTeilchen (z.B. Elektronen und Protonen) aufgebaut ist. Eine Ladung istnotwendig, um ein elektromagnetisches Feld zu erzeugen undnachzuweisen.

Aber was ist eigentlich die elektrische Ladung?



• Positive und negative Ladung

• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab

• Ladungserhaltung:

Die Summe der positiven und negativen Ladungen in einem abgeschlossenen System ändert sich nie.

• Ladungsinvarianz:

Die Ladung von Elementarteilchen ist relativistisch invariant und ändert sich also nicht mit der Geschwindigkeit des Teilchens.

• Die Kraft zwischen zwei Ladungen ist proportional zu r-2

• Ladung ist gequantelt – Woher weiß man das?



Im Jahre 1910 machteMillikan die wichtigeEntdeckung, dass die Ladungnur stückweise vorkommt,d.h. sie ist quantisiert.Zum Nachweis desElementarquantumsbenutzte Millikan folgendeVersuchsanordnung:

Messung der Elementarladung

Millikan-Versuch

Nobel-Preis, 1923

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Millikan%27s_setup_for_the_oil_drop_experiment.jpg



Im Jahre 1910 machteMillikan die wichtigeEntdeckung, dass die Ladungnur stückweise vorkommt,d.h. sie ist quantisiert.Zum Nachweis desElementarquantumsbenutzte Millikan folgendeVersuchsanordnung:


Millikan-Versuch

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Simplified_scheme_of_Millikan%E2%80%99s_oil-drop_experiment.svg


i. Elektrische LadungMessung der Elementarladung

Millikan-Versuch

• Herleitung siehe Übung

• Ladung der Öltröpfchen unabhängig von ihrer Größe

• Nur Vielfache von

• Ladung ist quantisiert und die kleinstmögliche Ladung ist e

https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Milikan_elemantarladung.png



Quanten-Hall-Effekt

• Nobelpreis K. von Klitzig 1985

• 2D Elektronengas (MOSFET)

• Bei hohen magnetischen Feldern und

tiefe Temperaturen ist der Hall-Widerstand:

wobei n=1,2,…


RH

„Die Existenz der Stufen im Quanten-Hall-Effekt und vor allem ihre hohe Reproduzier-barkeit ist bis heute nicht vollständig verstanden,...“, Welt der Physik, 2011Mögliche Erklärung: Quantenphasenübergang



Wert 1.602 176 565 x 10-19 C

Standardunsicherheit 0.000 000 035 x 10-19 C

Relative Standardunsicherheit 2.2 x 10-8

2010, CODATA, recommended values



ii. Elektrostatik

• Die elektrostatischen Kräfte sind Zentralkräfte

• Es gilt das Superpositionsprinzip:

Die elektrostatischen Kräfte, die auf eine Probeladung q von mehreren anderen Ladungen q1, q2, …. ausgeübt werden, überlagern sich ungestört

Kraftwirkung vieler Ladungen auf ein Teilchen am Punkt 1.

C. De Coulomb, 1785

Das Coulomb-Gesetz


ii. Elektrostatik

Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe, die direkt proportional zueiner Kraft ist, die auf eine positive Testladung gerichtet ist.

Das elektrische Feld kann unabhängig vom magnetischen Feld betrachtet werden d.h. Elektrizität und Magnetismus sind zunächst getrennte Phänomene!

Das stationäre elektrische Feld

field of force


ii. Elektrostatik

Im statischen Fall bleiben alle Ladungen fest an einem Punkt im Raum oderwenn sie sich bewegen, dann nur als stationärer Strom.

1. Die Ladungen sind die Quelle des elektrischen Feldes.2. Das Linienintegral des elektrostatischen Feldes über eine geschlossene

Kurve ist null (oder auch das elektrische Feld ist wirbelfrei).



ii. Elektrostatik

Der Gaußsche Satz ist eine dem Coulombgesetz äquivalente Darstellungder Elektrostatik. Er gilt nicht nur für die elektrischen Felder ruhenderLadungen, sondern auch für bewegte Ladungen.

Während man mit dem Coulombgesetz das elektrische Feld einerLadung bestimmen kann, erlaubt uns der Gaußsche Satz, aus derFeldverteilung Auskunft über die Ladungsverteilung zu erhalten.



ii. Elektrostatik

Als elektrostatisches Potential j(r0) am Ort r0 wird der negative Wertder Arbeit bezeichnet, um eine positive Einheitsladung in einemelektrischen Feld vom Unendlichen bis nach r0 heranzuführen

http://www.leifiphysik.de/sites/default/files/medien/coumomb005_ladungenober_gru.gif

Das elektrische Potential

Potential einer Punktladung:

Potentielle Energie einer Ladung:


ii. Elektrostatik

Das elektrische Feld einer Punktladung ist gegeben durch:

Die Energiedichte im Abstand r von der Ladung ist dann:

Innerhalb einer Kugelschale mit der Dicke dr und der Fläche A=4pr2 istdie Gesamtenergie:

(1)

Energie des Feldes einer Punktladung


ii. Elektrostatik

Das elektrische Feld einer Punktladung ist gegeben durch:

Die Energiedichte im Abstand r von der Ladung ist dann:

Innerhalb einer Kugelschale mit der Dicke dr und der Fläche A=4pr2 istdie Gesamtenergie:

(1)


Für eine Punktladung ist die untere Integrationsgrenze r=0 und dies ergibt ein unendliches Integral.


ii. Elektrostatik

Laut Gleichung (1) enthält das Feld einer Punktladung eine unendlicheMenge an Energie, obwohl es eigentlich nur Energie zwischenPunktladungen gibt.Ein Ausweg aus dieser Situation würde darin bestehen, dieElementarladung nicht als Punkt sondern in Wirklichkeit als kleineLadungsverteilung aufzufassen.

Die Frage, ob die Energie im Feld lokalisiert ist, bleibt in derElektrostatik dennoch unbeantwortet.



ii. Elektrostatik

• Annahme: gespeicherte Energie darf die relativistische Ruhemasse 𝐸𝑒 = 511 𝑘𝑒𝑉nicht übersteigen

• Ergibt obere Grenze für den Radius eines Elektrons:• 𝑟𝑒,𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙𝑠𝑐ℎ𝑎𝑙𝑒 = 1.4 ∙ 10−15 𝑚

• 𝑟𝑒,𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 = 1.68 ∙ 10−15 𝑚

• 𝑟𝑒,𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑙𝑎𝑑𝑢𝑛𝑔 = 2.8 ∙ 10−15 𝑚

• Nach heutigem Wissen ist das Elektron jedoch erheblich kleiner: 𝑟𝑒 < 10−19𝑚

• Es gibt aber Effekte, die sich tatsächlich am klassischen Elektronenradius orientieren (bspw. Wirkungsquerschnitt bei Streuung von Röntgenstrahlen)

Der klassische Elektronenradius


ii. Elektrostatik

http://www.physikon.de/01/19/02inf1.gif

Wird ein beliebiges Stück Metall in das elektrische Feld einesPlattenkondensators gebracht, so werden unter dem Einfluss des FeldesInfluenzladungen erzeugt.Sie liefern im Inneren des Metalls ein Feld, das dem ursprünglichen Feldentgegengerichtet und dieses im Inneren des Leiters genau zu nullkompensiert.

Influenz (elektrostatische Induktion)


Beispiel: Van-de-Graaff-Generator

Die Feldfreiheit metallischer Hohlräume kann zur Erzeugung hoher Spannungen benutzt werden.

Bringt man Ladungen in das Innere einerHohlkugel, so wandert die Ladung sofort nachaußen und der innere Hohlraum bleibtfeldfrei, unabhängig wie viel Ladungen dieHohlkugel schon trägt. Dies wird beim Van-de-Graaff-Generator durch ein rotierendesisolierendes Band bewerkstelligt bis die Kugelein höheres Potential als die Ladungsquellehat.


ii. Elektrostatik

Das Gaußsche Gesetz stellt die Beziehung zwischen räumlichenVerhalten des elektrischen Feldes und der Ladungsdichteverteilung her,die es hervorruft.

Elektrische Ladungen produzieren ein elektrisches Feld und der Flussdieses Feldes durch eine geschlossenen Oberfläche ist proportional zurGesamtladung innerhalb der Oberfläche.

Gaußsches Gesetz - Integralform

Anzahl der Feldlinien durcheine geschlossene Fläche

Anzahl der Ladungen, diein der Fläche enthalten sinddividiert durch die Permittivität


ii. Elektrostatik

Die differentielle Form

wird bei der Lösung von Problemen genutzt, in denen die räumlicheÄnderung des elektrischen Feldes an bestimmten Stellen bekannt ist,um die Volumenladungsdichte an diesen Positionen zu bestimmen.

Das elektrische Feld, das durch elektrische Ladungen produziert wird,divergiert von positiven Ladungen und konvergiert zu negativenLadungen.

Gaußsches Gesetz – differentielle Form

Tendenz des Feldes voneinem Punkt wegzufließen.

Ladungsdichte dividiert durch die Permittivität


ii. Elektrostatik

Es gibt einen fundamentalen Unterschied zwischen differentieller undintegraler Form des Gaußschen Gesetzes:

Die differentielle Form behandelt die Divergenz des elektrischen Feldesund die Ladungsdichte an individuellen Punkten im Raum, während dieintegrale Form das Integral der Normalkomponente des elektrischenFelder über einen Oberfläche beinhaltet.

Gaußsches Gesetz – Integralform vs. differentielle Form


ii. Elektrostatik

Die freien Ladungen in einem Leiter bewegen sich immer so, das sie dasursprünglich Feld kompensieren und das Feld im Inneren des Leiters geradenull ist. Daher verschwindet auch der Fluss des Feldes durch eine Fläche, dieden Hohlraum umschließt.

Nach gilt Feldfreiheit im Hohlraum des Leiters.

So erreicht man im Faradayschen Käfig eine vollständige Abschirmung gegenelektrische Felder.

Faraday‘scher Käfig

E=0


ii. Elektrostatik

Problemstellung: Unbekannte Ladungsverteilung auf einer Leiteroberfläche d.h. Gaußscher Satz findet keine Anwendung

Trick: Annahme der Ladungsanordnung eines elektrischen Dipols (siehe Abb. a)

wird eine ungeladenen Metallplatte zwischen die zwei Ladungen gebracht besitzt sie genau das Potential der Äquipotentialfläche A. Im Inneren des Metallsist das elektrische Feld null wegen der induzierten Influenzladungen.Durch die Metallplatte ist der Feldverlauf im linken Halbraum unabhängig vomrechten Halbraum geworden.

Fragestellung: Berechnung des elektrischen Feldes zwischen einer kleinen geladenen Kugelund einer ebenen metallischen Oberfläche

Aber: Die gespeicherte Feldenergie entspricht nicht Fall a) sondern beträgt nur die Hälfte

Spiegelladung


iii. Beispiele für elektrische Felder und Potentiale

• Plattenkondensator: Das elektrische Feld kommt durch Superposition der elektrischen Felder zweier entgegengesetzt geladener Platten gleicher Ladungsdichte.

Die Felder im Außenraum kompensieren sich vollständig

Das elektrische Feld des Plattenkondensators

ist

also unabhängig vom Plattenabstand d.

+++++++++

---------



• Plattenkondensator: Da die Platten entgegengesetzt geladen sind ziehen sie sich mit einer Kraft F an.

Um die Platten ein Stück auseinander-zubewegen muss von außen Arbeit geleistet werden

Da das elektrische Feld unabhängig von d ist, muss sich die gespeicherte Energie im Feld entsprechend des Volumens ändern (ohne angeschlossene Spannungsquelle) Mit folgt für die Kraft zwischen den Platten

+++++++++

---------

---------

d d

F

E



• Kugel

E=0Flammensonde



• Homogener Teilchenstrahl:

&

&


Zusammenfassung

• Wir leben in einer diskreten Umgebung

• Elektrostatik und Gravitation haben viele Gemeinsamkeiten

• Was ist Ladung?

• Coulomb-Gesetz

• Gaußsches Gesetz

• Beispiele elektrischer Felder und Potentiale• Van-de-Graaff-Generator• Plattenkondensator• Geladene Kugel• Ionenstrahl

Planck-Temperatur 1,417 · 1032 K

Planck-Masse 2,176 · 10−8 kg

Planck-Ladung 1,876 · 10−18 C

Planck-Länge 1,616 · 10−35 m

Planck-Zeit 5,391 · 10−44 s

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