Höhere Mathematik 3 · 7.1. Periodische Funktionen...

Höhere Mathematik 3

Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr

FB Mathematik

Wintersemester 2019/20

7. Fourier-Methoden

7.1. Periodische FunktionenIn der Physik und in der Technik spielen periodische Funktionen einegroße Rolle, etwa bei der Beschreibung von Schwingungsvorgängen.Die bekanntesten Beispiele für periodische Funktionen bilden dieSinus- und die Cosinusfunktion. Auf den französischen Ingenieur J. B.Fourier geht die Idee zurück, beliebige periodische Funktionen durchunendliche Summen, die aus Sinus- und Cosinustermen bestehen,darzustellen. Er stellte dies 1807 auf einem Vortrag überWärmeausbreitung und periodische Temperaturverteilung vor. Bereitsfrüher war postuliert worden, dass der Klang eines Musikinstrumentesdurch eine Grundschwingung der Form

a1 cos(!t) + b1 sin(!t)

und Oberschwingungen der Form

an cos(n!t) + bn sin(n!t)

bestimmt sein sollte.

7.1.1. Definition.Eine Funktion f : R→ R heißt periodisch, wenn ein T > 0 existiertmit

f (x +T ) = f (x )

für alle x 2 R . Die Zahl T heißt die Periode von f . Man sagt auch fist T -periodisch.

7.1.2. Beispiele.

1 Für n 2 N haben cos(nx ) und sin(nx ) die Periode 2�n .

2 Hat f die Periode T , dann hat es auch die Periode k �T fürk 2 N . Insbesondere sind cos(nx ) und sin(nx ) auch2� -periodisch.Periodenlängen sind also nicht eindeutig.

3 Hat f die Periode T , dann hat ef : R→ R mit

ef (x ) = f�x � T

2�

�die Periode 2� . Es gilt nämlich

ef (x+2�) = f�(x + 2�)

T2�

�= f

�xT2�

+T�

= f�xT2�

�= ef (x ):

Für die Theorie genügt es daher, sich auf die Untersuchung vonFunktionen der Periodenlänge 2� zu beschränken.

7.1.3. Satz.

1 Mit den T -periodischen Funktionen f und g und c 2 R sindf + g ; cf ; f � g , und f

g falls g 6= 0 ebenfalls T -periodisch.Insbesondere bilden die Funktionen mit fester Periode Teinen Untervektorraum des Raumes aller Funktionen von R

nach R.

2 Falls eine T -periodische Funktion integrierbar ist, dann gilt∫T0f (x )d x =

∫ c+Tc

f (x )d x

für c 2 R.

7.2.2. Satz.Auf dem Vektorraum aller stetigen Funktionen einer festenPeriode T > 0 wird durch

h f | gi =

∫T0f (x )g(x )d x =

∫ T2

−T2

f (x )g(x )d x

ein Skalarprodukt definiert.

Alle Eigenschaften eines Skalarproduktes ergeben sich unmittelbar ausden Rechenregeln für Integrale. Nur um zu zeigen, dass aus h f | f i = 0folgt, dass auch f = 0 gilt, muss man die Stetigkeit von f ausnutzen.(Beweis als Übung.)

7.2.3. Bemerkung.

Skalarprodukte wie das jetzt eingeführte benutzt man, um Abständezwischen Funktionen zu definieren — das ist wichtig, wenn manFunktionen durch (trigonometrische) Polynome approximieren(annähern) will.

Der Abstand zwischen f und g wird definiert als kf − gk :

7.2.4. Orthogonalitätsrelationen.

Für alle n ; k 2 N0 gilt:

1

∫�−�

cos(n x ) cos(k x ) d x =

2� falls n = k = 0,� falls n = k 6= 0,0 sonst.

2

∫�−�

cos(n x ) sin(k x ) d x = 0.

3

∫�−�

sin(n x ) sin(k x ) d x =

{� falls n = k 6= 0,0 sonst.

Mit anderen Worten:Die (nicht abbrechende) Folge von Funktionen1; cos(x ); sin(x ); cos(2 x ); sin(2 x ); : : : ; cos(j x ); sin(j x ); : : : bildet einOrthogonalsystem im Raum der stetigen 2� -periodischen Funktionen,vgl. L 2.9.8.

Beweis.Falls k = 0 oder n = 0 gilt, ist das klar. Wir können also annehmenk ;n 6= 0. Mit partieller Integration findet man∫�

−�cos(n x ) cos(k x ) d x

=

�1nsin(n x ) cos(k x )

��−�

−

∫�−�

1nsin(n x ) (−k sin(k x ))d x

=

∫�−�

knsin(n x ) sin(k x )d x

=

�−

kn2 cos(n x ) sin(k x )

��−�

+

∫�−�

k2

n2 cos(n x ) cos(k x )d x

=

∫�−�

k2

n2 cos(n x ) cos(k x )d x :

Also gilt

1−

k2

n2

! ∫�−�

cos(n x ) cos(k x ) d x = 0;

und im Fall k 6= n folgt jetzt das gewünschte Ergebnis.

Für k = n gilt∫�−�

(cos(n x ))2 d x =

∫�−�

(sin(n x ))2 d x =

∫�−�

(1− (cos(n x ))2) d x ;

und damit2∫�−�

(cos(n x ))2 d x =

∫�−�

d x = 2�:

Die übrigen Fälle werden analog behandelt.

Mit Hilfe dieses Orthogonalsystems kann man herausfinden, wie sicheine gegebene 2� -periodische Funktion in die Grundfrequenz undderen Vielfache zerlegt:

7.2.5. Satz.Für ein trigonometrisches Polynom

f (x ) =a0

2+

N∑j=1

aj cos(j x ) +N∑j=1

bj sin(j x )

mit aj ; bj 2 R gilt

ak =1�hcos(k x ) | f i und bk =

1�hsin(k x ) | f i :

Mit anderen Worten:Man erhält den Koeffizienten, mit dem die Funktion cos(k x ) (bzw.sin(k x )) in die Linearkombination f eingeht, (bis auf einen Faktor)als Skalarprodukt von cos(k x ) (bzw. sin(k x )) mit der Funktion f .

Beweis.Wir berechnen hcos(k x ) | f i ; k 6= 0, für hsin(k x ) | f i geht das analog:

hcos(k x ) | f i =

*cos(k x )

�� a0

2+

N∑j=1


bj sin(j x )

+

=a0

2hcos(k x ) | 1i +

N∑j=1

aj hcos(k x ) | cos(j x )i

+N∑j=1

bj hcos(k x ) | sin(j x )i

= �ak ;

wie man mit Hilfe der Orthogonalitätsrelationen 7.2.4 erkennt.

7.2.6. Beispiel.

In L 2.8.6 wurde das folgende Beispiel betrachtet

–1.5–1

–0.50

0.51

1.5

–2 2 4 6 8 10 12 14

x

f (x ) = sin(x ) + sin(2 x )Nach 7.2.5 gilt dann

1�hsin(x ) | f i =

1�hsin(2 x ) | f i = 1

undhsin(j x ) | f i = hcos(k x ) | f i = 0

für j = 3; k 2 N0 .

7.3. Fourier-Reihen

7.3.1. Definition.Es sei f : R→ R eine integrierbare 2� -periodische Funktion. Dannheißen

aj =1�

∫�−�

f (x ) cos(j x )d x

für j 2 N0 und

bj =1�

∫�−�

f (x ) sin(j x )d x

für j 2 N die Fourier-Koeffizienten von f .Die trigonometrische Reihe

a0

2+

∞∑j=1

aj cos(j x ) +∞∑j=1

bj sin(j x )

heißt die Fourier-Reihe von f .

7.3.2. Bemerkungen.

1 Aus der Integrierbarkeit von f folgt, dass alleFourier-Koeffizienten existieren.

2 Die Fourier-Reihe von f ist zunächst nur ein formaler Ausdruck,da nichts über ihre Konvergenz gesagt wird.

3 Die Definition der Fourier-Koeffizienten und der Fourier-Reihe istdurch die Verhältnisse bei trigonometrischen Polynomen, vgl.7.2.5, motiviert.

7.3.3. Beispiel (Sägezahnfunktion).

Es sei f : R→ R die 2� -periodische Funktion, die für −� < x 5 �

durch f (x ) = � − |x | gegeben ist:

Es gilt also

f (x ) = f (x−2k�) = �−|x−2k�| für (2k−1)� < x 5 (2k+1)�; k 2 Z

Für die Fourier-Koeffizienten ergibt sich:

a0 =1�

∫�−�

cos(0 � x ) (� − |x |) d x =1�

∫�−�

� d x −1�

∫�−�

|x |d x

=1�[�x ]�−� −

1�

∫�0x d x +

1�

∫0−�

x d x = 2� −�

2−�

2= �

an =1�

∫�−�

cos(n � x ) (� − |x |) d x

=1�

∫�−�

cos(n � x )� d x −1�

∫�−�

cos(n � x ) |x | d x

= 0−1�

∫�0cos(n � x ) x d x +

1�

∫0−�

cos(n � x ) x d x

= −2�

∫�0cos(n � x ) x d x [da cos(n � x ) x ungerade]

= −2n�

[sin(n � x ) x ]�0 +2n�

∫�0sin(n � x ) d x

= 0−2

n2�[cos(n � x )]�0 = −

2n2�

((−1)n − 1)

=

4

n2 �falls n ungerade,

0 falls n 6= 0 gerade.

bn =1�

∫�−�

sin(n x ) (� − |x |) d x

=�

�

∫�−�

sin(n � x ) d x −1�

∫�−�

sin(n � x ) |x | d x

= 0−1�

∫�0sin(n � x ) x d x +

1�

∫0−�

sin(n � x ) x d x

= 0 [da sin(n � x ) x gerade]

Für die Fourier-Reihe der Sägezahnfunktion erhalten wir also:

�

2+

∞∑m=0

4(2m + 1)2�

cos((2m + 1)x )

Die N -ten Fourier-Polynome fN (x ) :=a0

2+

N∑j=1

aj cos(j x ) nähern sich

für großes N immer besser an f an.Schon f3 liefert mit

f3(x ) =�

2+

4�� cos(x ) + 4

9�� cos(3 x )

eine ganz gute Näherung für f :

Noch besser ist f5(x ) =�

2+

4�� cos(x ) + 4

9�� cos(3 x ) + 4

25�� cos(5 x )

und f15 ist kaum mehr von f zu unterscheiden:

7.3.4. Satz.Es sei f : R→ R eine 2� -periodische Funktion mit folgendenEigenschaften:

1 f ist bis auf endlich viele Ausnahmestellen in [−�; �] stetigdifferenzierbar.

2 An jeder Ausnahmestelle x0 existieren die einseitigenGrenzwerte limx→x0+0 f (x ); limx→x0−0 f (x ); limx→x0+0 f 0(x ) undlimx→x0−0 f 0(x ).

Dann gilt:

1 Die Fourier-Reihe von f konvergiert an jeder Stelle x , an derf stetig ist, gegen f (x ).

2 An einer Unstetigkeitsstelle x0 von f konvergiert dieFourier-Reihe von f gegen das arithmetische Mittel

12

�lim

x→x0+0f (x ) + lim

x→x0−0f (x )

�:

7.4. Eigenschaften von Fourier-Reihen

Es sei f : R→ R eine 2� -periodische Funktion. Wir schreiben

f (x ) ∼a0

2+

∞∑j=1


bj sin(j x )

für die Fourier-Reihe von f , unabhängig davon, ob die Fourier-Reihekonvergiert oder nicht. Gelegentlich schreiben wir auch

Ff (x ) =a0

2+

∞∑j=1


bj sin(j x )

für die Fourier-Reihe von f .

7.4.1. Satz.Die Funktionen f und g seien 2� -periodisch, und es seien�; � 2 R. Aus

f (x ) ∼a0

2+

∞∑j=1


bj sin(j x )

und

g(x ) ∼c0

2+

∞∑j=1

cj cos(j x ) +∞∑j=1

dj sin(j x )

folgt

(�f+�g)(x ) ∼�a0 + �c0

2+

∞∑j=1

(�aj+�cj ) cos(j x )+∞∑j=1

(�bj+�dj ) sin(j x ):

Mit anderen Worten: Die Fourier-Reihe der Linearkombinationzweier Funktionen ist die Linearkombination der Fourier-Reihen.

7.4.2. Satz.Für jede 2� -periodische Funktion f gilt:

1 Die Fourier-Reihe von f ist genau dann eine reineCosinus-Reihe, wenn f gerade ist, d.h. es gilt f (−x ) = f (x )für alle x 2 R. In diesem Fall gilt

aj =2�

∫�0f (x ) cos(jx )d x :

2 Die Fourier-Reihe von f ist genau dann eine reineSinus-Reihe, wenn f ungerade ist, d.h. es gilt f (−x ) = −f (x )für alle x 2 R. In diesem Fall gilt

bj =2�

∫�0f (x ) sin(jx )d x :

Jede Funktion lässt sich eindeutig als Summe einer geraden und einerungeraden Funktion darstellen, indem man schreibt

f (x ) =12(f (x ) + f (−x )) +

12(f (x ) − f (−x )):

Für die Fourier-Reihe von f ergibt sich:

7.4.3. Satz.Es sei

f (x ) ∼a0

2+

∞∑j=1


bj sin(j x );

dann gilt12(f (x ) + f (−x )) ∼

a0

2+

∞∑j=1

aj cos(j x )

und12(f (x ) − f (−x )) ∼

∞∑j=1

bj sin(j x ):

7.4.4. Beispiel.

Wir betrachten die Rechteck-Funktion, die gegeben ist durch

f (x ) =

−�

4 für − � < x < 00 für x 2 {−�; 0; �}�4 für 0 < x < �

und 2� -periodische Fortsetzung, also f (x ) = f (x − 2k�) falls(2k − 1)� < x 5 (2k + 1)� . Die Fourier-Reihe der ungeraden Funktionf ist eine reine Sinusreihe, und für die Fourier-Koeffizienten gilt:

bn =2�

∫�0f (x ) sin(nx )d x =

2�

∫�0

�

4sin(nx )d x =

12

∫�0sin(nx )d x

= −12n

[cos(nx )]�0 = −12n

((−1)n − 1)

=

{ 1n falls n ungerade0 falls n gerade

Das erste Fourier-Polynom ist f1(x ) = sin x

und das dritte ist f3(x ) = sin x + 13 sin(3x )

Weiterhin erhalten wir f5(x ) = sin x + 13 sin(3x ) +

15 sin(5x )

sowie f7(x ) = sin x + 13 sin(3x ) +

15 sin(5x ) +

17 sin(7x )

7.4.5. Bemerkung.

Gelegentlich kann man Fourier-Reihen benutzen, um Grenzwerte vonZahlenreihen zu berechnen.So gilt etwa nach 7.4.4 für 0 < x < �

∞∑n=0

sin((2n + 1)x )2n + 1

=�

4:

Speziell für x = �2 ergibt sich

1−13+

15−

17� � � � = �

4:

Für x = �3 erhalten wir analog

p32

�1−

15+

17−

111

+113

� � � ��

=�

4:

Nach 7.3.3 gilt für −� 5 x 5 �

�

2+

∞∑n=0

4 cos((2n + 1)x )(2n + 1)2�

= � − |x |

bzw. ∞∑n=0

cos((2n + 1)x )(2n + 1)2

=�2

8−

��x4�� :

Speziell für x = 0 ergibt sich∞∑n=0

1(2n + 1)2

=�2

8:

Es gilt ∞∑n=1

1n2 =

∞∑n=1

1(2n)2

+∞∑n=0

1(2n + 1)2

=14

∞∑n=1

1n2 +

�2

8

und damit34

∞∑n=1

1n2 =

�2

8bzw.

∞∑n=1

1n2 =

�2

6:

7.4.6. Satz (Gibbs-Phänomen).

Die 2� -periodische Funktion f sei stückweise stetigdifferenzierbar. Wir setzen

� =2�

∫�0

sin tt

d t � 1; 18

Die Funktion f sei unstetig an der Stelle x0 , und es sei MN bzw.mN die Maximal- bzw. Minimalstelle des N -ten Fourier-PolynomsfN von f , die x0 am nächsten liegt. Dann gilt

limN→∞ (fN (MN ) − fN (mN )) = � �

�� limx→x0+0

f (x ) − limx→x0−0

f (x )�� :

Mit anderen Worten: Die N -ten Fourier-Polynome von füberspringen für großes N den Sprung von f an einerUnstetigkeitsstelle um 18%.

7.4.7. Satz.Die 2� -periodische Funktion f sei stetig und stückweise stetigdifferenzierbar, und es gelte

f (x ) ∼a0

2+

∞∑j=1


bj sin(j x ):

Dann gilt

f 0(x ) ∼∞∑j=1

−jaj sin(j x ) +∞∑j=1

jbj cos(j x ):

Anders gesagt: Die Fourier-Reihen von stetigen Funktionenkönnen gliedweise differenziert werden.

7.4.8. Beispiel.

Nach 7.3.3 gilt für die Sägezahnfunktion f : R→ R mitf (x ) = � − |x − 2k�| für (2k − 1)� < x 5 (2k + 1)�; k 2 Z

f (x ) ∼�

2+

∞∑n=0

4 cos((2n + 1)x )(2n + 1)2�

:

Diese Funktion ist stetig und stückweise stetig differenzierbar, und fürihre Ableitung gilt:

f 0(x ) ={

−1 für 2k� < x < (2k + 1)�; k 2 Z1 für (2k − 1)� < x < 2k�; k 2 Z

In den Punkten k�; k 2 Z ist f nicht differenzierbar, aber die links-und rechtsseitigen Grenzwerte von f 0 existieren. Also gilt

f 0(x ) ∼∞∑n=0

−4(2n + 1) sin((2n + 1)x )

(2n + 1)2�=

∞∑n=0

−4 sin((2n + 1)x )

(2n + 1)�:

Das passt zu 7.4.4, wie man durch Multiplikation mit −�4 sieht.

Die Funktion f 0 ist unstetig, daher ist 7.4.7 nicht anwendbar. DieAbleitung der Rechteckfunktion f 0 ist an allen Stellen, an denen sieexistiert, gleich Null, und an allen Ausnahmestellen stimmen die links-und rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitung überein. Also sollte dieFourier-Reihe von f 00 die Nullreihe sein. Gliedweises Ableiten derFourier-Reihe von f 0 liefert jedoch ∞∑

n=0

−4 sin((2n + 1)x )

(2n + 1)�

! 0

= −4�

∞∑n=0

cos((2n + 1)x );

und diese Reihe konvergiert nur für x = (2k+1)�2 ; k 2 Z . Das folgt

daraus, dass die Folge (cos((2n + 1)x ))n2N nur für diese x eineNullfolge ist, und damit für alle anderen x 2 R das notwendigeKonvergenzkriterium aus A 1.9.1 nicht erfüllt ist.

7.4.9. Satz.Die 2� -periodische Funktion f sei stetig und stückweise stetigdifferenzierbar, und es gelte

f (x ) ∼∞∑j=1


bj sin(j x );

d.h. a0 = 0. Dann ist

F (x ) ∼∞∑j=1

ajjsin(j x ) +

∞∑j=1

−bjjcos(j x )

die Fourier-Reihe einer Stammfunktion von f .

7.4.10. Bemerkung.

Im allgemeinen sind die Stammfunktionen einer periodischen Funktionnicht wieder periodisch. Das sieht man schon am Beispiel einerkonstanten Funktion, die nicht die Nullfunktion ist. Die Bedingunga0 = 0 besagt, dass das bestimmte Integral von f über eine vollePeriode gleich Null ist. Aus dieser Bedingung folgt, dass f eineperiodische Stammfunktion besitzt.

7.4.11. Beispiel.

Wir betrachten wieder die Sägezahnfunktion aus 7.3.3 mit

f (x ) ∼�

2+

∞∑n=0

4 cos((2n + 1)x )(2n + 1)2�

:

Wegen a0 = � 6= 0 hat f keine periodische Stammfunktion. Wirbetrachten stattdessen g = f − �

2 mit g(x ) = �2 − |x − 2k�| für

(2k − 1)� < x 5 (2k + 1)�; k 2 Z mit Fourier-Reihe

g(x ) ∼∞∑n=0

4 cos((2n + 1)x )(2n + 1)2�

:

Es ist dann

G(x ) ∼∞∑n=0

4 sin((2n + 1)x )(2n + 1)3�

die Fourier-Reihe einer Stammfunktion von g .

Die Funktion G ist ungerade, insbesondere gilt G(0) = 0. Für0 < x < � gilt G(x ) = �x

2 − x2

2 + c . Als Stammfunktion einer stetigenFunktion ist G stetig, also gilt limx→0 G(x ) = c = G(0) = 0, und

G(x ) =

�(x − 2k�)

2−

(x − 2k�)2

2für 2k� < x 5 (2k + 1)�; k 2 Z

�(x − 2k�)2

+(x − 2k�)2

2für (2k − 1)� < x 5 2k�; k 2 Z:

Wenn wir x = �2 einsetzen, ergibt sich

∞∑n=0

4 � (−1)n

(2n + 1)3�=

�2

8

bzw. ∞∑n=0

(−1)n

(2n + 1)3=

�3

32:

7.5. Konvergenz von Fourier-Reihen

7.5.1. Bezeichnung.

Für N 2 N bezeichne

VN = {�0 + �1 cos x + � � �+ �N cos(N x ) + �1 sin x + � � �+ �N sin(N x ) |�0; : : : ; �n ; �1; : : : ; �N 2 R}

den Vektorraum aller trigonometrischen Polynome der Ordnunghöchstens N .

Gemäß 7.2.4 bilden die Funktionen

1; cos x ; : : : ; cos(N x ); sin x ; : : : ; sin(N x )

eine Orthogonalbasis von VN , insbesondere hat VN die Dimension2N + 1.

7.5.2. Definition.Eine 2� -periodische Funktion f : R→ R heißt quadratintegrabel wenngilt

kf k2 = h f | f i =

∫�−�

f (x )2 d x <∞;

anders gesagt: Die Norm von f im Sinne von 7.2.1 ist eine (endliche)reelle Zahl.

Jede stückweise stetig differenzierbare Funktion ist quadratintegrabel.

7.5.3. Satz.Es sei f : R→ R eine quadratintegrable 2� -periodische Funktion.Dann ist das N -te Fourier-Polynom

fN (x ) =a0

2+

N∑j=1


bj sin(j x );

von f die beste Approximation von f an VN , d. h. es gilt

kf − fN k 5 kf − gk

für alle g 2 VN .

Beweis.Da die Norm mit Hilfe eines Skalarproduktes definiert ist, vgl. 7.2.1,können wir statt kf − gk auch h f − g | f − gi für g 2 VN minimieren.Mit

g(x ) =�0

2+

N∑j=1

�j cos(j x ) +N∑j=1

�j sin(j x )

gilt

hg | gi =

*�0

2+

N∑j=1


�j sin(j x )

��0

2+

N∑k=1

�k cos(k x ) +N∑k=1

�k sin(k x )

+

= ��2

02

+N∑j=1

��2j +

N∑j=1

��2j

wie man mit Hilfe der Orthogonalitätsrelationen 7.2.4 erkennt.

Weiterhin gilt

h f | gi =

*f

�� 0

2+

N∑j=1


�j sin(j x )

+

=

�f�� 0

2

�+

N∑j=1

�j h f | cos(j x )i +N∑j=1

�j h f | sin(j x )i

=�0

2

∫�−�

f (x )d x +N∑j=1

�j

∫�−�

f (x ) cos(j x )d x

+N∑j=1

�j

∫�−�

f (x ) sin(j x )d x :

Damit erhalten wir

h f − g | f − gi = h f | f i − 2 h f | gi + hg | gi

= h f | f i − �0

∫�−�

f (x )d x −N∑j=1

2�j

∫�−�

f (x ) cos(j x )d x

−N∑j=1

2�j∫�−�

f (x ) sin(j x )d x + ��2

02

+N∑j=1

��2j +

N∑j=1

��2j

=: H (�0; : : : ; �N ; �1; : : : ; �N ):

Um jetzt das minimale g zu finden, können wir auch die von den2N + 1 Variablen �0; : : : ; �N ; �1; : : : ; �N abhängige reellwertigeFunktion H minimieren. Dazu benutzen wir das notwendige Kriteriumaus A 4.5.1, d. h. wir setzen alle partiellen Ableitungen von H gleichNull.

Es gilt

@H@�0

= −

∫�−�

f (x )d x + ��0

@H@�k

= −2∫�−�

f (x ) cos(k x )d x + 2��k für k = 1; : : : ;N

@H@�k

= −2∫�−�

f (x ) sin(k x )d x + 2��k für k = 1; : : : ;N :

Diese partiellen Ableitungen sind genau dann alle gleich Null, wenn�0; : : : ; �N ; �1; : : : ; �N die Fourier-Koeffizienten von f sind. Damit istdas N -te Fourierpolynom als einziger Kandidat für ein Minimumerkannt. Durch Betrachtung der Hesse-Matrix, vgl. A 4.5.5, sieht man,dass tatsächlich ein Minimum vorliegt.

7.5.4. Satz.Die 2� -periodische Funktion f : R→ R sei quadratintegrabel, danngilt für die Fourierkoeffizienten von f die folgende BesselscheUngleichung

kf k2 =

∫�−�

f (x )2 d x = �a2

02

+ �

N∑j=1

(a2j + b2

j ):

Für N →∞ gilt die Parsevalsche Gleichung

kf k2 =

∫�−�

f (x )2 d x = �a2

02

+ �

∞∑j=1

(a2j + b2

j ):

Beweis.Mit den Bezeichnungen aus dem Beweis von 7.5.3 gilt

0 5 h f − fN | f − fN i = H (a0; : : : ; aN ; b1; : : : ; bN )

= h f | f i − a0

∫�−�

f (x )d x −N∑j=1

2aj∫�−�

f (x ) cos(j x )d x

−N∑j=1

2bj∫�−�

f (x ) sin(j x )d x + �a2

02

+N∑j=1

�a2j +

N∑j=1

�b2j

= h f | f i − �a20 −

N∑j=1

2�a2j −

N∑j=1

2�b2j + �

a202

+N∑j=1

�a2j +

N∑j=1

�b2j

= h f | f i − �a2

02

−N∑j=1

�a2j −

N∑j=1

�b2j ;

und damit die Besselsche Ungleichung. Den Beweis der ParsevalschenGleichung überlassen wir den Mathematikern.

7.5.5. Beispiel.

Für die Sägezahnfunktion aus 7.3.3 gilt

�

2+

∞∑n=0

4 cos((2n + 1)x )(2n + 1)2�

= � − |x |:

Für die Norm dieser Funktion erhalten wir∫�−�

(� − |x |)2 d x = 2∫�0(�2 − 2�x + x 2)d x = 2

��2x − �x 2 +

13x 3��0

= 2��3 − �3 +

13�3�

=23�3

= ��2

2+ �

∞∑n=0

�4

(2n + 1)2�

�2=

�3

2+

16�

∞∑n=0

1(2n + 1)4

und damit ∞∑n=0

1(2n + 1)4

=�4

96:

Es ergibt sich

∞∑n=1

1n4 =

∞∑n=1

1(2n)4

+∞∑n=0

1(2n + 1)4

=116

∞∑n=1

1n4 +

�4

96

und damit ∞∑n=1

1n4 =

�4

90:

Durch wiederholte Integration der Sägezahnfunktion kann man mitdieser Methode auch die Werte der Reihen

∞∑n=1

1nk

für gerades k ausrechnen. Für ungerades k sind die Werte dieserReihen unbekannt.

7.5.6. Satz.Für eine quadratintegrable 2� -periodische Funktion f und ihreFourier-Polynome fN ;N 2 N, gilt:

limN→∞ kf − fN k = 0:

Man sagt auch: Die Fourier-Polynome von f konvergieren imquadratischen Mittel gegen f .

Der Beweis ergibt sich, indem man die Parsevalsche Gleichung in dieim Beweis von 7.5.4 hergeleitete Ungleichung einsetzt.

7.5.7. Bemerkung.

Konvergenz im quadratischen Mittel bedeutet, dass die Flächezwischen den Graphen von f und fN für wachsendes N immer kleinerwird, und beim Grenzübergang gegen Unendlich schließlich gegen Nullgeht. Dabei bewirkt das Quadrat in

kf − fN k2 =

∫�−�

(f (x ) − fN (x ))2 d x ;

dass große Abstände zwischen f (x ) und fN (x ) stärker “bestraft”werden als kleine.Es kann Ausnahmepunkte x 2 [−�; �] geben, an denen fN (x ) nichtgegen f (x ) konvergiert, da das Verhalten an einzelnen Punkten keinenEinfluss auf das Integral hat.

7.6. Komplexe Fourier-Reihen

Nach der Formel von Euler und de Moivre, vgl. A 1.14.18, gilt

e iz = cos z + i sin z

für alle z 2 C . Diese Tatsache eröffnet einen komplexen Zugang zurTheorie der Fourier-Reihen. Sinnvollerweise betrachtet man gleichkomplexwertige 2� -periodische Funktionen. Als Definitionsbereichbehält man allerdings die reellen Zahlen bei. Man sagt dann, eineFunktion f : R→ C ist stetig, differenzierbar, etc., wenn Real- undImaginärteil von f stetig, differenzierbar, etc. sind. BestimmteIntegrale über f werden berechnet, indem man Real- und Imaginärteilgetrennt integriert.

7.6.1. Definition.Es sei f : R→ C eine integrierbare 2� -periodische Funktion. Dannheißen

ck =12�

∫�−�

f (x )e−ikx d x

für k 2 Z die komplexen Fourier-Koeffizienten von f .

fN (x ) =N∑

k=−N

cke ikx

heißt das N -te komplexe Fourier-Polynom von f für N 2 N , und

∞∑k=−∞ cke ikx

heißt die komplexe Fourier-Reihe von f . Man schreibt auch

f (x ) ∼∞∑

k=−∞ cke ikx :

7.6.2. Bemerkungen.

1 Die komplexen Fourier-Koeffizienten sind formal einfacher gebautals die reellen, da nur eine Sorte von Integralen auftritt und derIndex 0 nicht besonders behandelt werden muss.

2 Bei der Berechnung von ck ist es wichtig, auf das Minuszeichen ine−ikx zu achten.

3 Da für die komplexe Exponentialfunktion die gleichenAbleitungsregeln gelten wie für die reelle, vgl. 4.3.5, kann man beider Berechnung von komplexen Fourier-Koeffizienten die üblichenIntegrationsregeln, insbesondere partielle Integration, anwenden.

7.6.3. Satz.Es sei f : R→ C eine 2� -periodische Funktion mit Fourier-Reihe

f (x ) ∼∞∑

k=−∞ cke ikx :

Dann ist f genau dann reellwertig, wenn gilt c−k = ck für allek 2 Z.Wenn das erfüllt ist, bestehen die folgenden Beziehungen zwischenden reellen und den komplexen Fourier-Koeffizienten:

c0 =a0

2; ck =

ak − ibk2

; c−k =ak + ibk

2

für k 2 N, bzw.

a0 = 2c0; ak = ck + c−k ; bk = i(ck − c−k )

für k 2 N.

7.6.4. Beispiel.

Wir betrachten die Funktion f : R→ R , die gegeben ist durchf (x ) = ex für −� < x 5 � und 2� -periodische Fortsetzung. Für diekomplexen Fourier-Koeffizienten gilt

ck =12�

∫�−�

exe−ikx d x =12�

∫�−�

e (1−ik)x d x

=12�

�1

1− ike (1−ik)x

��−�

=1

2�(1− ik)(e�(−1)k − e−�(−1)k )

=(−1)k (e� − e−�)

2�(1− ik)

für k 2 Z .

Damit gilt für die reellen Fourier-Koeffizienten

a0 = 2c0 =e� − e−�

�

ak = ck + c−k =(−1)k (e� − e−�)

2�(1− ik)+

(−1)k (e� − e−�)2�(1+ ik)

=(−1)k (e� − e−�) ((1+ ik) + (1− ik))

2�(1− ik)(1+ ik)

=(−1)k (e� − e−�)

�(1+ k2)

bk = i(ck − c−k ) = i

(−1)k (e� − e−�)

2�(1− ik)−

(−1)k (e� − e−�)2�(1+ ik)

!

=i(−1)k (e� − e−�) ((1+ ik) − (1− ik))

2�(1− ik)(1+ ik)

=(−1)(k+1)k(e� − e−�)

�(1+ k2)

für k 2 N .

Die Graphik zeigt das 30. Fourier-Polynom von f .

7.7. Funktionen mit beliebiger PeriodeEs sei T > 0 und f : R→ R eine T -periodische Funktion. Nach 7.1.2ist dann ef : R→ R mit

ef (x ) = f (x � T2�

)

2� -periodisch. Mit ! = 2�T gilt also

f (x ) = ef (!x ):Wir nehmen jetzt an, dass die reelle bzw. komplexe Fourier-Reihe vonef gegeben ist durch

ef (x ) ∼ a0

2+

∞∑j=1


bj sin(j x )

bzw. ef (x ) ∼ ∞∑k=−∞ cke ikx :

Es gilt dann also

f (x ) ∼a0

2+

∞∑j=1

aj cos(j !x ) +∞∑j=1

bj sin(j !x )

bzw.

f (x ) ∼∞∑

k=−∞ cke ik!x ;

d.h. f und ef haben die gleichen Fourier-Koeffizienten. DerUnterschied besteht darin, dass f nach den Funktionen

1; cos(!x ); : : : ; cos(j !x ); : : : ; sin(!x ); : : : ; sin(j !x ); : : :

entwickelt wird (die alle T -periodisch sind).

Man kann die Fourier-Koeffizienten von f auch direkt berechnen, ohneauf ef zu transformieren. Dazu betrachtet man den Vektorraum allerT -periodischen Funktionen und definiert ein Skalarprodukt durch

h f | gi =

∫ T2

−T2

f (x )g(x )d x =

∫T0f (x )g(x )d x :

Dann bilden die Funktionen

1; cos(!x ); : : : ; cos(j !x ); : : : ; sin(!x ); : : : ; sin(j !x ); : : :

ein Orthogonalsystem. Für das Skalarprodukt dieser Funktionen mitsich selbst ergibt sich mit Hilfe der Substitution u = !x ; du = ! d x

hcos(j !x ) | cos(j !x )i =

∫ T2

−T2

(cos(j !x ))2 d x =

∫ !T2

−!T2

(cos(j u))2du!

=1!

∫�−�

(cos(j u))2 du =�

!=

T2

für j 2 N ; und analog für sin(j !x ) .

7.7.1. Satz.Es sei f : R→ R eine integrierbare T -periodische Funktion, und essei ! = 2�

T . Dann sind die reellen bzw. komplexenFourier-Koeffizienten von f gegeben durch

aj =2T

∫ T2

−T2

f (x ) cos(j !x )d x

für j 2 N0 ,

bj =2T

∫ T2

−T2

f (x ) sin(j !x )d x

für j 2 N,

ck =1T

∫ T2

−T2

f (x )e−ik!x d x

für k 2 Z.

.Die reelle bzw. komplexe Fourier-Reihe von f lautet dann

f (x ) ∼a0

2+

∞∑j=1


bj sin(j !x )

bzw.

f (x ) ∼∞∑

k=−∞ cke ik!x :

7.7.2. Satz.Es sei f : R→ R eine T -periodische Funktion mit Fourier-Reihe

f (x ) ∼a0

2+

∞∑j=1


bj sin(j !x )

bzw.

f (x ) ∼∞∑

k=−∞ cke ik!x :

Für r > 0 ist dann x 7→ f (rx ) eine Tr -periodische Funktion, und

für ihre Fourier-Reihe gilt mit ! 0 = 2�T=r = r!

f (rx ) ∼a0

2+

∞∑j=1

aj cos(j ! 0x ) +∞∑j=1

bj sin(j ! 0x )

bzw.

f (rx ) ∼∞∑

k=−∞ cke ik!0x :

7.7.3. Bemerkungen.

1 Satz 7.7.2 verallgemeinert die Aussage, dass f und ef die gleichenFourier-Koeffizienten haben. Es ändert sich nur dasFunktionensystem, nach dem die Funktionen entwickelt werden.

2 Wenn man die Periode zu groß wählt, etwa indem man eineT -periodische Funktion als 2T -periodisch behandelt, erhält mantrotzdem die gleichen Fourier-Reihen. In der 2T -periodischenFourier-Entwicklung sind dann alle Koeffizienten von Summanden,die nicht schon T -periodisch sind, gleich Null.

3 Alle Aussagen über Fourier-Reihen von 2� -periodischenFunktionen gelten auch für Fourier-Reihen von Funktionen mitbeliebiger Periode, wenn sie geeignet modifiziert werden.So lautet etwa die Besselsche Ungleichung, vgl. 7.5.4,

h f | f i =

∫ T2

−T2

f (x )2 d x =Ta2

04

+T2

∞∑j=1

(a2j + b2

j ):

7.7.4. Fourier-Entwicklung nicht-periodischer Funktionen.

Gelegentlich, etwa bei der Untersuchung partiellerDifferentialgleichungen, möchte man eine Funktion f : (0;L]→ R aufeinem beschränkten Intervall in eine Fourier-Reihe entwickeln. Dazubieten sich die folgenden drei Möglichkeiten an:

1 Man setzt f zu einer L-periodischen Funktion F : R→ R fortdurch

F (x ) = f (x − kL) falls kL < x 5 (k + 1)L; k 2 Z

und entwickelt F in eine Fourier-Reihe.

2 Man setzt f zu einer ungeraden 2L-periodischen Funktion fortund entwickelt diese in eine reine Sinus-Reihe.

3 Man setzt f zu einer geraden 2L-periodischen Funktion fort undentwickelt diese in eine reine Cosinus-Reihe.

7.7.5. Ungerade Fortsetzung.

Die ungerade Fortsetzung einer Funktion f : (0;L]→ R erhält mandurch

F (x ) =

f (x ) für 0 < x 5 L0 für x = 0

− f (−x ) für − L < x < 0

sowie F (x − 2kL) = F (x ) für (2k − 1)L < x 5 (2k + 1)L; k 2 Z . Mit! = 2�

2L = �L sind die Fourier-Koeffizienten gegeben durch

bj =2L

∫L0f (x ) sin(j !x )d x ;

und für die Fourier-Reihe ergibt sich

F (x ) ∼∞∑j=1

bj sin(j !x ):

7.7.6. Gerade Fortsetzung.

Die gerade Fortsetzung einer Funktion f : [0;L]→ R erhält man durch

F (x ) ={

f (x ) für 0 5 x 5 Lf (−x ) für − L < x < 0

sowie F (x − 2kL) = F (x ) für (2k − 1)L < x 5 (2k + 1)L; k 2 Z . Mit! = 2�

2L = �L sind die Fourier-Koeffizienten gegeben durch

aj =2L

∫L0f (x ) cos(j !x )d x ;

und für die Fourier-Reihe ergibt sich

F (x ) ∼a0

2+

∞∑j=1

aj cos(j !x ):

7.7.7. Beispiel.

Wir betrachten f : [0; 2]→ R mit f (x ) = x − 1 für 0 < x < 2 undf (0) = f (2) = 0. Die 2-periodische Fortsetzung von f ist ungerade,daher ist ihre Fourier-Reihe eine reine Sinusreihe und stimmt mit derFourier-Reihe der ungeraden 4-periodischen Fortsetzung Fu überein,vgl. 7.7.3. Mit T = 2 und ! = 2�

T = � ergibt sich

bj =22

∫20(x − 1) sin (j�x )d x =

∫20x sin (j�x )d x −

∫20sin (j�x )d x

=

�−

1j�

x cos (j�x )�20+

∫20

1j�

cos (j�x )d x +

�1j�

cos (j�x )�20

= −2j�

cos(2j�) +

"�1j�

�2sin (j�x )

#2

0

= −2j�

Damit erhalten wir die Fourier-Reihe

Fu(x ) ∼ −2�

∞∑j=1

sin(j�x )j

:

Für die 4-periodische gerade Fortsetzung Fg erhalten wir mit L = 2und ! = �

L = �2 für die Fourier-Koeffizienten

aj =22

∫20(x − 1) cos

�j�2x�d x =

(−1)j − 1�j �2�2

=

−8

(j�)2falls j ungerade

0 falls j gerade

und damit die Fourier-Reihe

Fg(x ) ∼ −8�2

∞∑n=0

1(2n + 1)2

cos�(2n + 1)�

2x�:

Für 0 < x < 2 konvergieren beide Fourier-Reihen und wir erhalten

−2�

∞∑j=1

sin(j�x )j

= −8�2

∞∑n=0

1(2n + 1)2

cos�(2n + 1)�

2x�

= x − 1:

Die folgende Graphik zeigt das 50. Fourier-Polynom von Fu und das 7.Fourier-Polynom von Fg .

Höhere Mathematik 3 · 7.1. Periodische Funktionen...

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