Hilbertsche modulformen und modulfunktionen zuQ( )

Math. Ann. 266, 83-103 (1983)

�9 Springer-Verlag 1983

Hilbertsche Modulformen und Modulfunktionen z .

Rolf Mtiller Mathcmatisches Institut tier Universit:,it, HebclstraBr 29, D-7800 Freiburg, Bundesrepublik Deutschland

Einleitung

In der vorliegenden Arbeit wird der vollst~indige Struktursatz f'tir den graduierten Ring der Hilbertschen Modulformen zu Q(]//8) (Bestimmung einer minimalen Menge von Erzeugenden des Rings aller Modulformen beliebigen Gewichts und beliebigen Multiplikatorsystems zur vollen Modulgruppe und der zwischen den Erzeugenden bestehenden Relationen) sowie die Rationalitiit des K6rpers der Hilbertschen Modulfunktionen zu 11)(l/~) (konstruktiv, mit expliziter Angabe einer Transzendenzbasis) auf elementarem Wege ohne Anleihen aus der Invarianten- theorie oder algebraischen Geometrie bewiesen. Die Erzeugenden sowohl des Rings der Modulformen als auch des K6rpers der Modulfunktionen werden dabei s/imtlich explizit durch Thetanullwerte dargestellt. Gleichzeitig werden die den Ring der Modulformen zu I~(]/~) betreffenden Ergebnisse Hirzebruchs [16, 17-1, die ein kleines Versehen enthalten, berichtigt.

Methodisch spielt die inzwischen mehrfach benutzte Idee Gundlachs [7], den klassischen Beweisgang zur Strukturbestimmung des Rings der elliptischen Mo- dulformen (Rolle der Diskriminante A) auf einen h6herdimensionalen Fall zu verallgemeinern, eine wesentliche Rolle. Die Relationen zwischen den Erzeugen- den des Rings der Modulformen zu 11~( g ~) werden durch einfachen Fourierkoeffi- zientenvergleich und Restriktion dieser Erzeugenden auf zwei eindimensionale Kurven gewonnen.

Im vorbereitenden Paragraphen 1 werden Bezeichnungen und Definitionen, wie etwa der Begriff der modularen Einbettung, sowie sp~iter ben/Stigte Resultate zusammengestellt. In Paragraph 2 werden die im folgenden als Erzeugende des Rings der Hilbertschen Modulformen zu I1)(1/8) ben6tigten Modulformen mittels Thetareihen konstruiert und der Struktursatz ftir den Ring der symmetrischen Modulformen geraden Gewichts mit trivialem Multiplikatorsystem zu II~(l/~ ) [10] formuliert. In Paragraph 3 wird zuerst ein elementarer Beweis des vollst~indigen Struktursatzes Rir den Ring aller Hilbertschen Modulformen beliebigen Gewichts und beliebigen Multiplikatorsystems zu II~(]/~) gegeben und

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anschliel]end mit den gewonnenen Resultaten in kurzer Form die Rationalit~it des KSrpers der Hilbertschen Modulfunktionen zu Q(]//8) konstruktiv mit explJziter Angabe einer Transzendenzbasis gezeigt.

1. Pr~diminarien

1.1. Allgemeines und Bezeichnungen Die (n-reihige) Null- bzw. Einheitsmatrix sei mit 0 bzw. E bezeichnet. Fiir eine Matrix A sei tA die zu A transpontierte Matrix und g(A) die Spur yon A. Auf dem Siegelschen Halbraum n-ten Grades H,, der aus allen n-reihJgen komplexen symmetrischen Matrizen mit positiv definitem Imagin~rteil besteht, operiert die Siegelsche Modulgruppe n-ten Grades F,:= Sp(n, 7/) vermSge

F, xH,~H,, (M,Z)~--~M(Z):=(AZ+B)(CZ+D) -1 mit M = ( A DB),

A, B, C, D n-reihig. Eine holomorphe Funktion f:H,--*r heil3t Siegelsche Modulform n-ten Grades (oder Modulform zu F,) vom Gewicht k mit Multiplika- torsystemv (keT], vein abelscher Charakter von F,), wenn sie f'tir alle MeF,, ZeH, dem Transformationsgesetz

f (m(z) )= v(M)j(M, Z)kf(Z) mit j(M,Z):= det (CZ+D)

genfigt und f'tir n = 1 zusiitzlich in der Spitze ioo holomorph ist. Im Falle n = 2 gibt es genau ein nichttriviales Multiplikatorsystem und im Falle n= 1 genau ein nichttriviales reelles Multiplikatorsystem [21, S. 177], die jeweils beide mit Vo bezeichnet seien.

Sei K = Q ( V ~) der reellquadratische Zahlk5rper der Diskriminante D, (9 tier Ring der ganzen Zahlen in K, e die Grundeinheit und b = ( l /~) die Differente von K, Ffir e e K bezeichne ~' die zu ~ konjugierte Zahl, S p ( a ) = ~ + , ' die Spur und Nm(c0=~.a ' die Norm yon ~. Der Ausdruck e>>0 bedeute a total positiv, d.h. a , a ' > 0 und a>>0 entsprechend a ,e '>0 . Fiir jedes u~7] mit u = O m o d 2 ist das Paar 1, eo:=�89 + I /~) eine Ganzheitsbasis von K. Auf dem Produkt

H~ = {~ =(~1, ~2)1{,, ~2 e H1}

der oberen Halbebene mit sich selbst operiert die (engere) Hilbertsche Modulgrup- pe / 'x := SL(2, (9) = Sp(1, (9) zum Zahlkbrper K vermSge

FxXHZ~H~, (# ,~)~->#(~) :=\y~l+6,7 , f f2+6, j mit ~ =

Rechnungen mit Elementen aus K(~), also mit rationalen Funktionen von ~ mit KoeffizJenten aus K, sind stets als simultane Rechnungen mit den Konjugierten zu interpretieren, wie z. B.

Sp(v~)=v~l+v'~ 2 und Nm(v~)=V~l.V'~ 2 fi.ir veK,~eH~.

Eine holomorphe Funktion f:H~-or heiBt Hilbertsche Modulform zu K (oder Modulform zu FK) vom Gewicht k mit Multiplikatorsystem v (ke~, v ein abel-

Hilbertsche Modulformen 85

scher Charakter yon Fx), wenn sie f'tir a l l e /~ Fr, (~ H~ z das Transformationsgesetz

f(#(()) = v(#)j(l~, okf(o mit j(/~, 0 : = Nm(y(+ 6)

erfiJllt. Der von den Modulformen zu F=F,, bzw. Ft~ vom Gewicht k mit Multiplikatorsystem v gebildete, stets endlichdimensionale ~-Vektorraum werde mit (F, k, v) bzw., wenn es sich um das triviale Multiplikatorsystem v = 1 handelt, mit (F, k), die entsprechenden Unterr~iume der Spitzenformen mit (F, k, v) o bzw. (F, k) o bezeichnet. Es gilt stets dim(F, k, v) =0 fiir alle negativen keTl, dim(F, 0)= 1 und dim(F,0, v)=0 ftir v . 1 . Sind v t = l , v2,...,v r (r~N) s/imtliche Charaktere yon F, so bezeichne

Er, k] :=(r, k, vl) |174 k, v,)

die Gesamtheit aller Modulformen zu F v o m Gewicht k mit beliebigem Multipli- katorsystem und

REF]:= (~ [r,k], R(F):= + (F,k), R"~(F):= (~ (r,k) (m~N) k = 0 k = 0 k = 0

k ~ 0(m)

die graduierten Ringe der Modulformen zu F mit beliebigem bzw. trivialem Multiplikatorsystem sowie, im letzten Fall, einer Kongruenzbedingung an das

2 2 Gewicht. Beschreibt �9 : H 1 ~H1, ( = ((1, (2) I--> (* : = ((2 ' (1) die Vertauschung der Variablen in H~, so heigt eine Modulform f zu F r symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch, wenn

f ( 0 = f ( ( * ) bzw. f ( ( )= - f ( ( * )

ffir alle (eH~ gilt. Der von den symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Modul- formen aus (FK, k,v ) gebildete Unterraum werde mit (FK, k,v) + bzw. (FK, k,v )- bezeichnet. Entsprechend bezeichne R(Fx) +, R(")(FK) + die Unterringe der symmetrischen Modulformen von R(FK), R(m)(FK).

Beachtet man, dab der Ring der ganzen Zahlen yon K die Darstellung

(9= {l~=~(m + nVD)[m, ne2g, m-nDmod2}

besitzt, so kann man fiir die in der Fourierentwicklung

f ( 0 = ~ a(f,v)exp Sp(v0 (~eH 2) v E b - 1

v,_>0

(qeN minimal mit der Eigenschaft Vq=--l) einer Hilbertschen M o d u l f o r m f auftretenden ve b- 1 folgende bequeme Darstellung einftihren :

1 m+n~/D v= = : [m,n ] , wobei m-nDmod2(m, neTZ).

2

Offensichtlich gilt

[m 1, nl] + [mz, nz] = [m 1 + m=, n 1 + ne], Em, n]' = [ - m, n],

Sp([m,n])=n, [m,n]>_>0 ~ Iml<nl,/D,

86 R. Miiller

und die Fourierentwicklung von f ~ (F K, k, v) lautet dann in diesem Formalismus:

f(~)= ~ a(f,[m,n])exp( 2ra ) ~,,,n~Z2 ~-- Sp([m, n]~) . (1) m=_nD(2) [rnl<nVD

Die Modulform f heine normiert, wenn ihr erster nichtverschwindender Fourier- koeffizient auf 1 norrniert ist, wobei die aft, [m, n]) gema~ wachsender Werte von n und fallender Werte von m unter tier Nebenbedingung Iml < n l / D angeordnet seien. Sei

I:=(__01 10), U : = ( ; ~ - l ) , Tu:=(~ 1)(,u~(9), speziell T : = ( ~ i)"

Aus der Transformationsgleichung fiJr f (U-1(~)) bzw. f(T~(~)) fotgt

a(f [m, n]g 2) = v(U)- 1 Nm(e)ka(f [m, n]) (2)

bzw.

a(f [m,n])exp(TSp([m,n]#) ) =v(Tu)a( f [m, n]) (3,

f'tir alle (m,n)~Z z, m=nD(2), Ira[ <nV~ , Ire(9. Weiter gilt offenbar, dal3 f genau dann symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch ist, wenn a(f [m,n])=a(f, I - m , n]) bzw. a(f, [re, n ] ) = - a ( f [ - m , n ] ) fiir alle (re, n) wie eben gilt, Hiervon wird gegebenenfalls stillschweigend Gebrauch gemacht.

Sei 1, co eine Ganzheitsbasis von K. Dann wird F x erzeugt yon 1, T, To: F~=(1, T, To,) [29, Theorem S. 321] und [23, S. 276]. Ist (9 wie z.B. im Falle Q(]/~) euklidisch [30, S. 242], so folgt dies bereits aus dem Beweis yon Satz 1 bei G6tzky [5, S. 414], wo man F~c=(1, T, To, U) erh~ilt, aber U wegen U=lT~_lITflT~_l als Erzeugende iiberfliJssig ist. FiJr K = Q ( ] / ~ ) ist e = l + V ~ (=~ Nm(e) = - 1) und es gilt, da 8 die Form ~(u + I/D) mit u = D(2) hat, also 1, e eine Ganzheitsbasis ist: F~V~ = (I, T, T~). Die Gruppe F~v~ besitzt genau 4 ver- schiedene Charaktere; sie sind charakterisiert durch [9, S. i 10, 111] :

vl(T )=+1, v z ( T ) = - I , v s ( T ) = - I , v4(T )=+1,

vl(T~) = + 1, vz(T~)= + 1, vs(T~)= - 1, v,(T~)= - 1 (4)

und es gilt vi(I)= v~(T) sow ie vi(U)= vi(T)vi(T~) fiir i= 1,..., 4.

Aus (3) folgt daher, wenn man die Transformationen T und Tv~= T-1T~ betrachtet:

Ist f~(F~, k, vi) (K = Q(]/8)), so ist a(f, [m, n])=0

l i=2, wenn n=-0(2) oder re=O(4),

ffir i = 3 , wenn n-0(2) oder m-2(4), (5)

i = 4 , wenn n - l ( 2 ) oder m-0(4) .

Insbesondere ist also ( F x, k, vi) = (Fx, k, vi) o fiir i = 2, 3, 4.


Fiir einen beliebigen reellquadratischen Zahlk6rper K sind die normierten Eisensteinreihen vom Gewicht k zu F x (mit Teilerfremdheitsbedingung und zum Ideal (9)

9k(0:= ~ N m ~ + v ) -k ((~H1 z, k~Z gerade, k>2) , (u, v)

wobei /z, v ein vollst~ndiges Repr~isentantensystem von (modulo beliebiger Einheiten) nichtassoziierten Paaren teilerfremder Zahlen aus (9 durchlaufen, f'tir gerade k > 2 nichttriviale Modulformen aus (/'K, k) + (fiir k = 2 benutze man das bekannte Heckesche Summationsverfahren [12]) mit Fourierkoeffizienten der Gestalt [28, S. 88] :

und a(Ok, V)=-Xk((9)'6 k_ 1((9, F) (l~Eb - 1 , V>~0) a(o~, O) = 1

mit

und

(2n) zk. ] /~ ~x((9,k)= ~ INm(/~)l -~ Xk((9) = ( ( k - 1)!) 2 "D k" (x((9, k)' (u) c

i~:~o

~k- 1( (9' V)= ~ [Nm(p)lk- 1, (u) l(vl~

(tJ) c

wobei jeweils tiber die Hauptideale (/0 unter den angegebenen Bedingungen zu summieren ist. Fiir D= 8 und k=2, 4, 6 erh~ilt man unter Verwendung der von Gundlach [-9, S. 134, 135] bestimmten Konstanten

tC2((9)=24.3, /C4((9)=25.3-5.11-1, /C6((9)=24.32.7.19 -2

durch Berechnen der Teilersummen a k_ i((9, v) folgende Werte f'tir die a(Ok, [m, n]) = Xk((9)'ak_ 1((-9, [m, n]):

[m, n I a(92, Ira, n 1) a(g4, [m, hi) a(96, [m, nl)

[0, 01 1 1 1 [2, 11 24.3 2s.3.5.11-1 24.32.7-19 -2 [0, 11 24"32 25 .33 -5.11 - 1 2'*-33 .7.11.19 -2 [4, 21 24 .3.7 25 .3-5.73.11 - 1 24 .32 .72.151.19 -2 [2,21 27.3 28.3.5.43.11 - I 27.32.7. l l .191.19 -2 [0,21 24.32-5 2s.33.52.13.11-1 24.33.52.7.11.41.19 -2 [6,3] 25.3.5 26.3.52-73.1l -1 25.32.52.7.1181.19 -2

(6)

t.2. Modulare Einbettung

Sei K = II~(]/-D) mit D = u z +v 2, u, v~g, v gerade ( ~ u= D(2)) und co: =�89 VD) (z. B. D = 8, u = v = 2). Setzt man

A " - { ~ / D ~ 1 (=~. A =tA = A - ' ) - - u . d

~ : = ~2 '

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so werden durch

und

~ ( ~ ) : = \A';'XA A6• = k~'(V) ~(6)]

eine holomorphe Injektion ~0=~p~,~:H~/-/2 und ein Monomorphismus = ~,,,~ : F~...~F 2 mit der Eigenschaft

~)<~o(~)>=~(#<~>), J(~),~(~'))=J(u,~) ffiralle I z~F~ ,~H~ (8)

definiert. Das Paar (tp,~):(H2,FK)--,(H2,F2) wird nach Hammond 1-10] als modulate Einbettung bezeichnet. Ihre wesentlichsten, unmittelbar verifizierbaren Eigenschaften lauten:

Lemma 1. a) Ffir jede Siegelsche Modulform f e (F 2, k, v) (v = 1, Vo) ist die Restrik- tion f l~(H~)= f~o eine Hilbertsche Modulform aus (F x, k, b) mit b@:= v ( ~ ) ) fiir ~e rK.

b) Hat f e (/'2, k, v) die Fourierentwicklun 0

f (Z)= ~ a(f,T)exp(2~--~a(TZ)) (ZeH2), T>_-0 \ t / /

- - \ t 2 t4 ] und ~1 = 1 ffir v = 1 bzw. 0 = 2 fiir v = v o ist, so lauten die Fourierkoeffizienten in der FourierentwicMun9 (1) yon f~pe (F x, k, b):

a(f~, Ira, n]) = ~ a(f, T) mit r = Cl = 12, falls /)o, b 1

r>_o q .1, sonst. olT) ~= r . n

( t l - t4)u + 2 t z v = r . m

Zwischen den Hilbertschen Modulformen zu einem beliebigen reellquadratischen Zahlk6rper K = Q(]//D) und den elliptischen Modulformen stellt die durch alas Paar (~, H) :(H 1, F1)~(H ~, Fx) mit

z t : H a ~ H ~ , z ~ ( z , z ) und I I : F ~ F ~ , ( : ~ ) ~ ( : bd)

definierte Einbettun9 lfinos der Diaoonalen ~ : = {~e H~I~ = ~*} = 7r(H 1) den wegen

1-I(ml@(z)>=zr(m<z>), j(Fl(m),rc(z))=j(m,z) z fiir alle reefs, zeH~

evidenten, bekannten Zusammenhang her:

Lemma 2. a) Fiir jede Hilbertsche Modutform fe(FK, k,v) ist die Restriktion f[ ~ = f~ e ine elliptische Modulform aus (F l, 2k, b) mit b(m)= v(1-l(m)) fiir m e F 1 und


:(Fx, k, v ) ~ ( F 1, 2k, b), R[FK] ~R(2)[-G], f ~ frc, ist ein Vektorraum- bzw. Ringho- momorphismus, der Spitzenformen wieder in Spitzenformen iiberfiihrt.

b) Hat f ~ (F K, k, v) die F ourierentwicklung (1), so lautet die Fourierentwicklung yon f ~ ( F 1, 2k, b):

~ - n z mit a( f~ ,n)= ~ a(f,[m, rn]), n = 0 m =- r n D ( 2 )

Iml _-< r n V ~

wobei r= q und ~I~N minimal mit b ~ = 1 (=~ cllq, also r~lN) ist. q

Spezietl ffir K = ff~ (]//8) gilt: bl = 1 =~ q = ~t = 1, r = 1 ; b 2 = b 3 = v o => q = 71 = 2, r= i ; b 4= 1 ~ q=2, ~= 1, r = 2 (v o das nichttriviale reelle Multiplikatorsystem yon F 1, charakterisiert dutch vo(T)=vo(I)= - 1 ) .

2. Konstruktion Hilbertscher Modulformen mittels Thetareihen

2.1. Vorbereitungen

Ftir Z e H , und Spalten a, b ~ " ist die durch

O(Z;a,b):= z

definierte Thetareihe (genauer: Thetanullwert oder Thetakonstante) n-ten Grades zur Charakteristik (a, b) eine auf ganz H, holomorphe Funktion mit der Eigen- schaft

O(Z;a+ 2g, b+ 2g')=e-"i'gbO(Z;a,b) ffiralle g ,g ' eZ ~. (9)

Die Reihen weisen bezfiglich der Matrizen

0 0 1) (S=tS~77("'"), U~GL(n,7/))

aus F , yon denen bekanntlich I, und die T s bereits F, erzeugen [-22, Satz 2], das fotgende Transformationsverhalten auf [2, S. 56] :

(i) O(Vv(Z ) ;a, b)= O(UZ'U;a, b)= O(Z;'Ua, U - ab), 1 t - - h i a S a

(ii) O ( T s ( Z ) ; a , b ) = ~ ( Z + S ; a , b ) = e 4 O(Z;a ,b+Sa+(S)o ) , (10) 1 "t

(iii) O(I.<Z) ; a, b) = 0 ( - Z - 1 ; a, b) = e- ~-~' ab d e t ( - iZ)I/20(Z; - b, a),

wobei (S)o die aus den Diagonalelementen yon S=(s~) gebildete Spalte t(Stx, s22, s..) bezeichne und in (iii) fLir rein imagin~res Z die Quadratwurzel positiv zu ziehen ist. Die Forderung

2 a - 2 b - 0 m o d 2 ( ~ a, beZ")

ftihrt zu einem Restklassensystem rood2 der Charakteristiken, wobei als Koeffi- zienten der Repr~isentanten a,b wie iiblich nur 0 und 1 auftreten sollen. Ist 'ab=O rood2, so heil3t die Charakteristik gerade. Ein Thetanullwert verschwindet genau dann nicht identisch, wenn seine Charakteristik gerade ist [20, S. 174]. Im

90 R. Miiller

Falle n = l gibt es genau 3 Reihen gerader Charakteristik: ~oo, 8ol, ~91o, Dabei wurde 0.b(z): = O(z;a, b) gesetzt. Im Fallen = 2 gibt es genau 10 gerade Charakteri- stiken, deren Repr~isentantensystem wie folgt durchnttrneriert sei:

Nr. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

'a=(a,,a 2) (0,0) 0, ~) ~0,0) tl, 1) (0, 1) (L0} O, 0) ~L0) t0,0) (0, 1) (11)

tb=(b~,b2) (0,0) (0,0) [1, 11 (1, 1) (0,0) (0,0) ~0, 1) {0, 1) (1,0) iI ,0)

Das Produkt der 10 Reihen gerader Charakteristik

O(Z):= l-[ ,9(Z;a,b) [(a,b) durch]aufe (11)] (a, b)

ist eine nichttriviale Spitzenform vom Gewicht 5 zum nichttrivialen Multiplikator- system v o von/ '2, deren genaues Nullstellengebilde ~o lautet :

92o= ~ M(W) , wobei J f f := e n 2 Z 2 MEF2 "Z'2 Z4/

die Diagonalebene yon H 2 ist und alle Nullstellen yon O die Ordnung 1 haben [3, Satz 1]. Die ersten Fourierkoeffizienten von O, die man leicht elementar berechnen kann ( { j9 }

a(O, T)= ~ (gtO~,...,gC9)) ~ (g~V) +�89 + �89 T, tgC~b(V)-0(2) v=0 v=0

-:~{(gl~189176 ~=o~t0(V)b(~)-l(2)} '

wobei ~v)_t tn t~) e : b~)) ) g - (01,92) 7t and (a ~, das System (11) durchl~iuft , lauten:

[ ( , _+2 6 fiJr T = _+1/2

a(O,T)= 0 fiir T mit a(T)<2sonst . (12)

Im zweiten Abschnitt dieses Paragraphen werden gewisse nichttriviale Hilbert- sche Modulformen zu I1~(~/8) konstruiert, deren Existenz sp~iter beniStigt wird. Die Konstruktion dieser Funktionen erfolgt nach einem sehr alten Konstruktionsprin- zip (vgl. [1]), das in jtingster Zeit auch yon Hermann [13, 14] zur Konstruktion von Modulformen zu Q ( ] / ~ ) und Q ( ] / ~ ) verwendet wurde, n•mlich durch Bilden sich gegeniJber Modulsubstitutionen ,,symmetrisch" verhaltender Polyno- me geeigneter Potenzen der 10 Thetareihen zweiten Grades unter der modularen Einbettung tp. Dabei bezeichne

O,(O:=8(~(O;a,b) ((e H~, i=0,1, ..., 9)

die Restriktion der Thetareihe, deren Charakteristik (a, b) in (11) die Nummer i hat, auf~p(H~) und Otp die Restriktion von O auf ~p(H~). Ein Polynom P(0o, ..., 09)


heifSe Fr-symmetrisch (vom Gewicht k mit Multiplikatorsystem v), wenn

p(O0,..., 09)(/t(()) = v(#)j(#, Okp(O0,..., 09)(0 fiir alle (eH~, #~ F~

gilt. Zum Nachweis der Nichttrivialit~it der als Fr-symmetrische Polynome in den 0~ konstruierten Hilbertschen Modulformen wird entscheidend vonde r unmittelbar aus der Definition der Reihen O(Z;a, b) folgenden Beziehung

Z4 ' a2 ' b2

und sich hieraus ergebender Konsequenzen Gebrauch gemacht, wobei die im folgenden Lemma unter anderem zusammengesteilten klassischen Identit~iten und Eigenschaften der elliptischen Thetareihen 0oo , 0ol , Sxo wesentlich verwendet werden.

Lemma 3 (Rankin [25, 6.1, 6.4, 7.1]; Igusa [18, S. 244]). a) Bezeichnet eke (Ix, k) die normierte Eisensteinreihe yore Gewicht k

(a(ek, O)= 1) und A := 1728- X(e3-e62)e(F1, 12)o die (normierte) Oiskriminante (a(/I, 1) = 1) zur elliptischen Modulgruppe 1"1, so sind R(F1) und R(*)(F1) Polynomrin- ge der Gestalt

R(Ft)=•[e4,e 6] und R(4)(FO=C[e4, A].

b) 0oo, 0ox, 01o haben keine Nullstellen in H1; ihre Werte in der Spitze i ~ lauten: 0oo(i~}=0o1(i~)= 1, 01o(i~)=0.

c) 0oo4 =0o14 +014o ' 201o(2ZDoo(2Z)=O~o(Z), Ooo(Z)O o z(z) = 0~1 (2z), (ze H~).

d) e,=2-~0oSo+0o8 +0~o)= 4 , 4 4 , , 000001 + 0 0 0 0 1 0 - - 0 1 0 0 0 1 , e6 = 2 - 1 ( 0 0 4 0 4 4 4 , 4 - 1 8 4 8 4 8 4 + 0 0 1 ) ( 0 0 0 " + ' 0 1 0 ) ( 0 0 1 - - 0 1 0 ) -- - - 0 0 0 0 1 0 2 (000801 +001800

8 4 8 d- 8 4, +001010 - 01 o0oo -010001), A = 2- S(0oo0 o 1010) 8, ~fzl- = 2- 4(0oo0ot01o) 4 =2 -4" "3 -1 (0oo12 _,9o112 _ 01o) .12

e) (F , k, Vo) = (F 1, k, vo) o = If~-. (Fv k - 6) ffir alle ke 7Z.

Im folgenden spielt die Kenntnis des genauen Nullstellengel~ildes 9~er der Hilbertschen Modulform O~ eine wesentliche Rolle. Es lautet im Falle K = Q ( V ~) [10, s. 514]:

9lo~= U p(~)w U #((d) (14) p~FK #eFK

mit

wobei allc Nullstellen yon O~p die Ordnung 1 haben, da O nur Nullstellen der Ordnung 1 hat. Restringiert auf die Diagonale ~ ist jedes 0~ wegen W(~)

= { ( : : ) I ze H1} C~AF nach (13) Produkt zweier ellip tischer Thetareihen. Das

92 R. Miiller

Gleiche gilt bei Restr ikt ion auf die Kurve cg, die fiir D = 8 die Klasse der zu @ FK-in~iquivalenten Nullstel lenkurven von t9~ repr~isentiert: als Nullstellenkurve yon 69 ist ~p(Cg) zu dF F2-~quivalent , d.h. es gibt ein M E F 2 mit M(~(cg))CJff,, wobei m a n mit einem M ~ F 2 simultan fiir die ganze Kurve ~p(cg) auskommt , was an der ursprfinglichen Definition von cr bei H a m m o n d [10] liegt (fiir D = 17 findet

m a n diesen Gedanken bereits bei H e r m a n n [13]): fiir ( = ( - e ' l /~z, e V ~ z ) ~ ist

( ) ol ,d nn v(~) = z . \ _ 1

~(~/3(~);(dl],(~:)) ~(VuI / (0 O)) ;(all, (bill ka2/ \a2/ \b2/I]

= 8 2z ' \ a 2 / ' bl + b 2

und somit wegen (13) die Behauptung. Die Untersuchung des Transformat ionsverha l tens der 0~ gegentiber den Erzeu-

genden T, To, I von Fc~(vTj ) [D=u2q-1) 2, u,/)eT], v gerade, co=�89 VD)] und F gegentiber der Var iablenver tauschung ~ ( * [beachte: ~p(~*)=V~(~(~)) mit

(, 0)] V~ = unter Verwendung yon (7)-(10) und die Untersuchung des Verhaltens

0 I der 0~ in der Spitze ioo sowie bei Restr ikt ion auf die Diagonale ~ und (fiir D = 8) auf die Kurve ~ unter Verwendung yon (13), (15) und L e m m a 3b) fiihrt auf folgende Tabelle :

O0 01 02 Oa 04 05 06 O7 Os 09 ~i ~i ~i nl r:i n i

T 02 e201 00 e203 e409 e407 08 e405 06 egO,,

~(u + v) ~i (a + v) niu niuu

D=-0(8):T,o 00 e 4 0a 02 e 4 01 09 e 4 07 06 e 4 05 0s 04

.,. D=-I(8):T~ 0 s eJ"+')0t 06 e 03 09 e 4 05 02 e 4 07 00 04

D-=5(8):T~, 0s e a 03106 e 4 01 04 e 4 07 02 e-205 00 09

�9 l ~l ni 3rd ni ni 7ti ~i ni ~ti

I eT00 eT02 eT0t e--UOa eT06 eT0s eT04 eT09 eTOs e-iO7 _

�9 00 01 02 - -O~ 05 04 0 s 09 06 07

]~ ~oo'8oo 81o'81o 8o1"8ol 0 8oo.81o 81o'8oo 8oo'8ol 81o.8ol 8ol-8oo 8ol'~c

D=8:~r ~oo.8oo ~oo'81o ~o1'8oo 8o1"81o 81o',91o 81o-9oo 8oo'8ol 81o-8ol 8ol-8ol 0

ioo 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 I

Bemerkung. 1) Der Fall D=-4(8) kann wegen D = U 2 + v 2 und D/4~ 1(4) hier nicht auflreten. 2) Die Reihenfolge von 8aa-8r (a, b, c, de (0,1 }) ist wesentlich!


Die Tabelle ist wie folgt zu lesen, z.B. die Spalte unter 04:

T: O,(T(~)) = eYj(T, 0~/209(0;... ;

I: 0 , ( I ( ( ) ) = eTj(I, ( )1 /206( ( ) ;

�9 : 0 , ( ~ * ) = 0 5 ( ~ ) ;

: 04( 0 = ~oo(Z). ~ o(Z) ftir ( = (z, z)e ~ ; (~5 ; O , r ) f'(lr ( = ( - g ' l / / 2 z , g V 2 z ) e ( ~ ;

ioe : 0 , ( ioo )=0 . Man ersieht aus (16), dab die Menge der Charakteristiken unter der Operation

von F K in folgende, auch gegeniiber der Variablenvertauschung �9 invariante Transitivittitsgebiete zerNllt :

D-0(8) : {0,1,2,31,{4,5,6,7,8,9},

D - l ( 8 ) : {0,1,2,4,5,6,7,8,9},{3},

D=5(8): {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

2.2 Konstruktion Hilbertscher Modutformen zu K = Q ( V 8 ) mittels Thetareihen

In diesem Abschnitt wird folgende Abktirzung verwendet:

O" "=0 ~. �9 .0" (ae]N, i 1 .... ,ire{0, 1 ..... 9}). i l . . . i r " tl "'" ir

Da die Menge der Charakteristiken ftir D-0 (8 ) in zwei Transitivit/itsgebiete zerNllt, l~i3t sich, wie bereits Hammond [10] zeigte, O l t ) = 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 in ein Produkt yon zwei Faktoren aufspalten, die selbst wieder Modulformen zu F K sind : 00123 und 0456789 bZW. normiert:

- 4 - 1 4 4 4 s z : = 2 - 2 0 o , 2 3 = - 2 .3 (04-05-06-0~--~-0~-~-04)

ist eine nichttriviate normierte Spitzenform aus (FK,2, va) o mit a(s2,[m,n])=O fiir n=0(2) oder m-0(4) sowie a(s v [2, 1])= 1 und (17) mit sz lN =-- 0 sowie s2 [ c g(0 = 2- 40~o(z)041(2z) f/ir alle

( = ( - e ' l / ~ z , el/~z)eCg, also s2(O+0 fiir alle (sc~.

S 3 : = 2 - 4 0 4 5 6 7 8 9

ist eine nichttriviale normierte Spitzenform a u s (/'K, 3, V3) + mit a(s 3, Ira, n]) = 0 fiir n = 0(2) oder m = 2(4) sowie a(s 3, [0, 1 ]) = 1 und (18)

mit ssl~Y_--0 sowie sal~=9-, .q4, voovol-lO'q* .a4 _- V~- ' also S3(~)~=0 f i ir alte ( e ~.

Aus (17) und (18) folgt sofort

__ 2 + s 4 : - s 2 e ( F K, 4)o und S 6 :-~-S2~.(rK, 6)~- sind normierte Spitzenformen mit a(s , , [0 ,0])=0, a(s4,[2,1])=l , a ( s , , [ 0 , 1 ] ) = - 2 und a(s6,[O,O])=a(s6,[2,1])=O, a(s6, [0 ,1])= l, (19) a ( s 6 , [ 4 , 2 ] ) = - 2 sowie mit s4lN---0, s , lCg(()=2-8OSo(Z)9~l(2z)

fiir alle ( = ( - d l / ~ z , e V 2 z ) e ~ und s6IN=A, s6l~g-0.

94 R. Miiller

Zur Begriindung von (17) und (18) beachte man Tabelle (16) sowie, was s 21(~ und s31@ angeht, Lemma 3. Die Normierungskonstanten und Fourierkoeffizienten erh~ilt man unter Verwendung yon (5) und den sich fiir s2s 3 = 2-60~p aus (12) nach Lemma 1 ergebenden Fourierkoeffizienten

_1 fiir n=2, m=_+2 a(s2s3'[m'n])= 0 fiJr n<2, m sonst

von s2s 3, wenn man beachtet, dab ffir s 3 nach Lemma 2 die Gleichung a(s3, [0, 1]) =a(s3rc, 1)=a(~/A -, 1)= 1 gilt.

Die einfachsten Darstellungen der normierten Eisensteinreihe 02 aus (F K, 2) + als FK-symmetrisches Polynom in den 0~ sowie deren Restriktion auf ~ und cg [beachte Lemma 3c), d)] lauten:

__ 2 2 +0628=2-1 4. 4- 4- 4. 0 2 - - 045 - - 079 (00-{-01+02+03) mit g 2 [ ~ - - - e 4 und (20)

921~(()=2-208to(Z)+Os,(Zz ) ffir ~ = ( - e ' l / ~ z , eV2z)eCg.

Weiter werden im folgenden Paragraphen noch die Existenz einer nichttrivialen Spitzenform aus (F K, 3, v2) ~- und einer nichttrivialen Spitzenform aus (Fr, 6, v3) ~ ben6tigt. Konstruktionsversuche mit den Thetareihen 0~ liefern als einfachste AusdriJcke

�9 = 2 .3 (0 o - 0 a - 0 2 - 0 3 ) S3 - 3 - 1 6 6 6 6

= 2 - 5 ( 0 2 6 7 + 0 2 8 9 2 2 2 2 2 2 - - 0569 "{- 0 46 9 - - 04..78 -[- 0578 + 0489 At- 0567 )

ist eine nichttriviale normierte Spitzenform aus (FK, 3,v2) ~- mit (21) a(J 3, Ira, n] )=0 fiir n--0(2) oder m-0(4) sowie a(~ 3, [2, 1])= 1 und

mit 331~=2~/A -.

- 5 4 2 A4 02 A4. 02 4- 2 4 2 4 2 36:=--2 ( 0 4 5 0 6 8 - - ~ 7 9 v 6 8 - - v 6 8 4.5+07904.5--068079"[-04.5079)

ist eine nichttriviale normierte Spitzenform aus (FK, 6,v3) ~- mit a(~ 6, Ira, n] )=0 ffir n--0(2) oder m - 2 ( 4 ) sowie a(~ 6, [0, 1])= 1 und (22) mit $6 [ 9 ~- e 6 ~ sowie $ 6 1 ~ ( r = 2 - 9 ( 4 0 8 o(Z)g~6(2z) - 0~6(z)08o~ (2z))

fiir ( = ( - e' V2z , e l/2z)eCg.

Die Richtigkeit yon (20)--(22) ist auf die gleiche Weise wie zuvor leicht zu sehen. Im iibrigen bemerkt man, dab 92, s2, s3, ~3, ~6 s~imtlich bereits durch die letzten 6 Thetareihen 04. .. . . . 09 allein dargestellt werden k6nnen. Bis auf s 3, ffir das der angegebene der einzig mSgliche derartige Thetaausdruck ist, lassen sich diese Modulformen auch durch die ersten 4 Thetareihen ausdrticken; der kfirzest m6gliche Thetaausdruck fiir 36 in diesen 4 Thetareihen hat aber bereits 24 Sum- manden : 36 = - 2- s. (060402 +.. .) .

Nun wird, Hammond [10] folgend, noch rasch der Struktursatz for den Ring Rc2)(Fx) + der symmetrischen Hilbertschen Modulformen geraden Gewichts rail

trivialem Multiplikatorsystem zu K = Q(]/~) als Ausgangspunkt f'tir den n~ichsten Paragraphen hergeleitet. Da s2s 3 = 2 - 6 0 ~ nur einfache Nullstellen hat, haben s2 und s 3 ebenfalls nur einfache Nullstellen und ihre genauen Nullstellengebilde


lauten, wenn man (14), (17) und (18) beachtet:

9~2= [.J #<9> und 9~,3= [.J #<W>. ~ePK IL~FK

Hieraus folgt sofort:

Jede auf cK identisch verschwindende Modulform ist durch s 3 teilbar. (23)

Jede auf @ identisch verschwindende Modulform, insbesondere also (24) jede schiefsymmetrisehe Modulform, ist durch s 2 teilbar.

Jede symmetrisehe auf ~ identisch verschwindende Modulform f ist (25)

Da s 4 somit das Ideal Kern~ des wegen 02~--021~=e4 und s6~=s61N=A surjektiven Ringhornomorphisrnus ~ : R(2)(Fr) + --*R(4)(F1) = II][e 4, A] [vgl. Lemma 2a)] erzeugt, erh~It man nach dem auf Gundlach [7] zurt~ckgehenden Lernrna 4.2 in [10] als Struktursatz ftir R(E)(Fr) + [10, Theorem 6.2] :

Lemma 4. Der graduierte Ring der symmetrischen Hilbertschen Modulformen

9eraden Gewichts mit trivialem Multiplikatorsystem zu K = I1~(1/~) ist ein Polynom- rino der Gestalt

RtZ)(FK) + = r s4, S6]'

Die Spitzenformen s 4 und s 6 k/Jnnen auch durch die Eisensteinreihen g4 und g6 ersetzt werclen: Fourierkoeffizientenvergleich anhand von (6) und (19)ergibt

s4 = 2-6 . 3- 2.11(gZ~--04),

s 6 = 2- 8 .3- 3 .5- 1.13- a(_ 52 "72[73 + 3' 11" 590204 -- 2" 19296),

also R~z)(Fr) + = C[02, Sa, s6] =112102,94, 96]. Gleichzeitig errn~Sglicht diese Darstel- lung die leichte Berechnung der Fourierkoeffizienten von s 4 und s 6 aufgrund der bekannten Fourierkoeffizienten von 02, 04, 06. So erh~lt man etwa unter Verwen- dung von (6) folgende sp~iter ben•tigten Werte:

a(s 4, [4, 2]) = - 4, a(s 6, [2, 2]) = - 16, a(s6, [6, 3]) = 32. (26)

3. Hilbertsche Modulformen und Modulfunktionen zu Q ([/8)

3.1. Elementarer Beweis des Struktursatzes ffir R[FK], K = Q( V ~)

Jede Modulform fe(Fx, k, vi) lal3t sich in einen symmetrischen und einen schief- syrnnmetrischen Anteil zerlegen:

f=f++f- mit f+E(Fx, k, vi) + und f - e ( F x , k, vl)-.

Da der schiefsymmetrische Anteil nach (24) durch die schiefsymmetrische Modul- form s 2 teilbar und der Quotient also wieder eine symmetrische Modulform ist, geniJgt es, die Struktur der R~iume der symmetrischen Modulformen (F x, k, v~) + f'tir

96 R. Miiller

alle keZ und i = l .. . . . 4 zu bestimmen. Nun gilt weiter, dab jede Modulform f e [Fx, k, v~) + mit k - 1(2), i = 1, 3 oder k = 0(2), i = 2, 4 auf der Kurve ~ identisch verschwindet; denn wegen v~(U)-l( - 1 ) k = - 1 fiJr k = 1(2), i= 1, 3 oder k=0(2), i = 2, 4 [vgl. (4)] gilt mit (e H 1

f(((, e2())= f ( U - 1((e2(, 0 ) ) = vi(U)- 1(_ 1)kf((e2~, ~))

= - f((ez(, O) = - f(((, e:O) ( f symmetrisch !),

womit wegen c~={(~t,(2)eH2le2~l=(2} die Behauptung folgt. Da eine auf cg identisch verschwindende Modulform nach (23) durch s a teilbar ist, folgt somit

~(1, 3), (3,1) fiir k - l ( 2 ) (FK, k, vi) + =s 3 . (Fr ,k-3 ,vj ) + mit (i 'J)= [(2,4), (4,2) fiir k-0(2) .

Da die Modulformen aus (FK, k, vl) + =(F K, k) + fiir k-0(2) nach Lemma 4 bereits bekannt sind, sind also nur noch die Modulformen aus den Riiumen

(Fr, k, v2) +, k--l(2); (Fr, k, v3) +, k-0(2) ; (Fx, k, v4) +, k - l ( 2 ) , (27)

die nach (5) aus lauter Spitzenformen bestehen, zu bestimmen. Man kann nun ~ihnlich einfach wie bei Gundlach [7, S. 242, 247] im Fall

Q(]/~), argumentieren: Ist f aus einem der in (27) aufgeftihrten R~iume und f l @ - 0, so ist f nach (25) durch s 4 teilbar und der Quotient, eine Modulform eines um 4 verminderten Gewichts, liegt wieder in einem Raum gleichen Typs wie f Es ist daher naheliegend, in jedem dieser drei F~ille nach einer auf ~ nicht identisch verschwindenden Modulform minimalen Gewichts zu fragen. Wenn man sich jeweils eine solche Modulform verschafft hat und weiter zeigen kann, dab diese alle anderen zum gleichen Raumtyp wie sie selbst geh6rigen Modulformen teilt, so ist man fertig, da die Quotienten jeweils wieder in dem bereits bekannten Ring R(z)(FK) + =(l~[g2, S4, S6] liegen.

Zun~chst zu den beiden ersten F~illen: Sei f e (Fr , k,v:)g, k-1(2) bzw. f e (Fx , k, v3) ~, k-0(2) und f l ~ = f T s Nach Lemma2 und Lemma3e) ist

fTs vo)o=l/-A(F1,2k-6) mit 2 k - 6 - 0 m o d 4 bzw. 2 k - 6 - 2 m o d 4 , also wegen f n ~ 0 notwendig k _-> 3 bzw. k_-> 6. Konstruktionsversuche mittels Thetarei- hen [siehe (21) und (22)] liefern dann

53e(rK,3,v2); mit J31~=2I/A- bzw. ~6e(rx,6,v3)g mit ~61~---e6l//A

als auf N nicht identisch verschwindende Modulformen minimalen Gewichts. Nun zum dritten Fall: Sei f e (Fx, k, v4)~-, k = 1(2) und f l~ #r 0. Nach Lemma 2

ist f n aus (F1, 2k)o mit 2k = 2 mod 4. Wegen flz ~ 0 gilt daher notwendig k > 9 (hier ist wesentlich, dab f u n d damit f7s eine Spitzenform ist) und f7s = e6A. p(e 4, A) mit einem isobaren Polynom peR(a)(FO=~[e4, A]. Eine auf ~ nicht identisch verschwindende Modulform minimalen Gewichts ist in diesem Falle offenbar ;s3~s6~.(Fr, 9, v4) ~ mit ~3~61~=2e6 d, und ~a~6 teilt jede andere Modulform f e ( F K, k, v 4) + , k - 1(2), denn f7s besitzt, wie eben gezeigt wurde, die Darstellung fn = e6d. p(e 4, d). Wegen g27s = % und s6n = A sowie ~3~67s -- 2e6A folgt

( f - ~3~6P(g2, s 6))7s ~ 0,


d.h. f--�89 S 6) ist teilbar durch s 4 und man erh~ilt

f = ls3s6P(g2, s6) q- f l "s4

mit einem f l ~ (Fr, k - 4, v4) +. Wiederholung des Verfahrens ftir f l usw. his man auf ein f~ negativen Gewichts st613t ( ~ f , - 0), zeigt, dab man tiberall �89 ausklam- mern kann, d. h. ~3.~6 teilt f u n d man hat somit

(Fg, k, v4)+=~3~6(Fr, k - 9 ) + for k= l (2 ) .

Nach demselben Verfahren kann man zeigen, dab ~3 jede Modulform aus (FK, k, v2) +, k = 1(2), und 3 6 jede Modulform aus (ffr, k, v3) +, k=0(2), teilt, und erh~ilt zusammenfassend :

Lemma 5 (Gundlach [9]). Jeder Raum (Fx, k, vl) + ( K = ~ ( I / ~ ) , k~2g beliebi9, ie{1 .. . . . 4}) ist in der Form

(Fx, k ,v , ) • k - l r + mit k - / ~ - 0 ( 2 )

darstellbar, wobei f ein 9eeignetes Teilprodukt yon 1. s 2. s 3. 33 �9 s6 ist. Wegen Rt2)(Fr) + =~[92,s~,s6] und s4=s 2, s6=s 2 wird R[Fr] somit yon 92, s2, s3, 33, s6 erzeugt.

Da j2 und ~2 symmetrische Modulformen geraden Gewichts sind, also 33, s6 jeweils einer quadratischen Relation fiber ~[92, s4, s6] geniigen, sind zur vollen Aufkl~trung der Struktur yon R[FK] nur noch diese beiden quadratischen Relationen zu bestimmen.

Zuerst zu s3. Als symmetrische Spitzenform vom Gewicht 6 hat ~2 nach Lemma 4 die Form ~2 = a l s 6 +a2gES 4 mit a l , a 2 6 ~ . Aus den in (21) angegebenen Fourierkoeffizienten von s3 erh~ilt man a(~ 2, [2, 11)= 1, a(~ 2, [0, 11)= 2. Fourierko- effizientenvergleich unter Verwendung yon

[m, n] {0, 01 [2, 1] [0, l] [4, 2]

atg2, Ira, n]) 1 * * *

a(s4, [m, n]) 0 1 -2 *

a(s6, [m, n]) 0 0 1 - 2

[vgl. (19)] (28)

ergibt a 2 = 1 und a I = 4, also

~2 = 4S 6 + 02S4"

Fiir s6 schlieBt man zun~ichst ~ihnlich: Als symmetrische Spitzenform vom Gewicht 12 zu F r besitzt ~2 nach Lemma 4 die Gestalt

,2 2 +b3o~s6+b~sa+b592s]+b604s, S 6 = h i s 6 + b292s4.s 6

rnit b~e~, i = 1 .. . . . 6. Aus den in (22) angegebenen Fourierkoeffizienten von 36 erh~ilt man a(~ 2, [2, 11)=0, a(~ 2, [0, 11)= 1, sowie, unter Beachtung yon (2) und [8, 3] = [0, l i e 2, noch a(~62, [4, 2] )= 2. Fourierkoeffizientenvergleich unter Verwen-

98 R. Miiller

dung von (28) ergibt b 6 =0, b 3 = 1, b 5 =4 , und man hat somit

s2=b,s2+b292s,s6+g32s6 3 z z " + b4s 4 + 492s 4 . (29)

Restringiert man (29) auf die Diagonale und beachtet 9219=e, , s 4 1 9 = 0 ,

s 619 = A, ~6 [ 9 = e 6 ] / ~ , so folgt e2A = b 1A 2 + ea4A, also b 1 = - (e ] - e~)d -~ = - 1 7 2 8 [vgl. Lemma 3a)]. Nun restringiere man (29) auf die Kurve rg. Mit den in (19), (20) und (22) angegebenen Ausdrticken fiir s4[Cg, s6lqf , g2[Cg, ~6[cg ergibt sich dann

2-18(408 o(Z)~9 ~ 6(2z) _,916(z)SSo t(2z))Z

= b 4 2-24 2, 2, -~s 8 +OSo(Z))Z(OSo(z)OS(Zz))2 �9 01 o(Z)Oo 1 (2z) + 2 (49o 1 (2z)

fiir alle ~ = ( - e ' ]/~z, e ]/~z)eCg (zeH1) und hieraus b 4 = - 1 0 2 4 , also

~ = - 1728s6 z + b292s4s6 + 93s6 - 1024s 3 + 492s]. (30)

Aus den in (22) angegebenen Fourierkoeffizienten von ~6 erh~ilt man, wenn man wieder (2) und [ 8 , 3 ] = [ 0 , 1 ] e 2, [ 1 2 , 5 ] = [ - 4 , 3 ] e z beachtet, a(~62, [2, 2]) = 2a(~6, [4, 3]) und a(~, [6, 3]) = 4a(~ 6, [4, 3]). Fourierkoeffizientenvergleich in (30) f'tir [2,2] und [6,3] unter Verwendung der in (28) und in (26) angegebenen Fourierkoeffizienten von gz, s4, s6 sowie von a(92,[2, 1 ] )=48 [vgl. (6)] ergibt dann b 2 = -288 �9 Damit ist die Struktur von R[F~wg)] vollstiindig aufgekliirt und man erh~ilt als Hauptergebnis dieser Arbeit:

Satz 1. a) Der graduierte Ring R[F~] der Hilbertsehen Modulformen beliebigen

Gewichts und beliebioen Multiplikatorsystems zu K = I~(V~) wird erzeugt yon den aus Abschnitt 2.2. bekannten Modulformen g2, s2, Sa, s6, deren Index jeweils ihr Gewieht anoibt. Sie bilden eine minimale Menge yon Erzeugenden yon R[F~] und lassen sich alle durch die 10 Thetanullwerte 0~, i=0 , 1 . . . . . 9 bzw. sogar bereits dureh die letzten 6 Thetanullwerte ( i=4 , 5 . . . . ,9) darstellen. Die Spitzenformen s 2, s 3, 33, s6 genfioen fiber dem Polynomrin9 R(2)(FK) + =l~[g2, s4.,s6] den quadratischen Relationen

s2=s, (Def.), s~=s 6 (Def.), j2=4S6+OzS4, (31)

~ = - 1 7 2 8 s 6 2 - 28802SaS6 + g~s6 - 1 0 2 4 s 1 + 4 g ~ s ] .

Jede Modulform f e R[FK] liiflt sich daher eindeutig in der Form

f = f l " Pl(gz, s4, s6) + f2 "s2" P2(g2, s4, s6)

darstellen, wobei Pl, Pz 9eeignete isobare Polynome in gz, s,, s6 und f l , f2 9eeignete Teilprodukte yon 1. s 3 �9 33 �9 s6 sind.

b) Als Spezialfall wird der graduierte Unterrin9 R(Fr) der Modulformen zum trivialen Multiptikatorsystem erzeugt yon 9v s4, ss, s6, s9 mit s 5 := s2} 3 e (F~, 5)0 und s 9 = S3S 6 E (FK, 9) + , wobei s 5 und s 9 jeweils einer sich unmittelbar aus (31) ergebenden quadratischen Relation fiber R~2)(Fr) + genfigen.

Das Resultat in Lemma 5, d.h. die Best immung von Erzeugenden von R[FKIJ ohne Angabe der zwischen ihnen bestehenden Relationen, findet man bereits bei Gundlach [9, Satz 1]. Sein Beweis ist aber weit weniger elementar, da er auf seine


Arbeit [8] zurfickgreift, wo in diesem Zusammenhang u. a. der Satz yon Riemann- Roch und die Dimensionsformel von Shimizu [27, Theorem 11] wesentlich eingehen. Auf v611ig anderem Wege, n~imlich mit Mitteln der algebraischen Geometrie, bewies Hirzebruch [16, S. 316] den Struktursatz ffir R(FK) mit den Relationen ftir s 5 und s 9, wobei allerdings infolge einer unrichtigen Identifikation der yon ihm verwendeten Erzeugenden mit denen Gundlachs ein zuerst in [24] bemerkter kleiner Fehler auftrat, der in einem Gesprgch mit Herrn Hirzebruch gekl~irt werden konnte: Die richtige Identifikation der bei Hirzebruch [16], Gundlach [9] und hier auftretenden Erzeugenden yon R[FK] und Kurven in H 2 bzw. ~ lautet, wobei (=) Gleichheit bis auf einen konstanten Faktor bedeute:

Hier Gundlach [9] Hirzebruch [16, S. 316]

g 2 = G _ 2 { = ) 0-2

$2 (=) 0 (=t s3 (=) ~r (=) ~_4Crza4 ~3 (=1 H (=1 a3 g6 (=) G (=) A @ = 9~ 1 ~ F 1

(statt ~3) (statt ~ ~ )

(F~, F 2 Kurven in HZ~/Fr)

d. h. bei Hirzebruch sind a 3 und ]//~r32 - 4 a z a 4 jeweils zu vertauschen, genauer: Auf S. 315 yon [16] muB es in (21) ebenso wie auf S. 316 Mitte jeweils

c2=a4~2=C+4a:a 2 s t a t t c2 = 0-4(G2 - 40"204.) = C

heiBen. Ansonsten ist auf S. 316 iiberall a a durch ]//~32-4a2~4 zu ersetzen, ausgenommen innerhalb der eckigen Klammer in der Diskriminantenformel (22), wo a 2 stehen bleibt. Entsprechend ist Hirzebruch [17, S. 77] ftir den Fall

K = ~(1/~) zu berichtigen.

Bemerkuno. Unter den Gundlachschen Erzeugenden von R[FK] ist nur 0 ein Thetaausdruck (das Produkt der 4 ersten Thetanullwerte),/t , H und G dagegen sind aus Eisensteinreihen vom Gewicht 1 zu Hauptkongruenzuntergruppen von F~ aufgebaut, w~ihrend hier alle Erzeugenden einheitlich durch Thetanullwerte dargestellt sind.

AbschlieBend sei noch angemerkt, daB man ein von Resnikoff [26] zur Gewinnung des Struktursatzes fiir den Ring R(FK) der Hilbertschen Modulformen

zu K = II~(]/~) angewandtes Verfahren, das die yon Igusa [19, S. 849] bestimmte quadratische Relation, der die Siegelsche Spitzenform zweiten Grades X3s vom Gewicht 35 fiber R(2)(F'2) geniigt, mittels der modularen Einbettung ~p von R(Z)(ff2)

nach Rt2)(FK) + hintiberliftet und auswertet, auch auf den Fall K = Q(]/~) iibetra- gen kann, wobei man allerdings lediglich den Struktursatz f'tir den Ring R(FK) + der symmetrischen Modulformen beliebigen Gewichts mit trivialem Multiplika- torsystem erh~ilt, w/ihrend ffir die Strukturbestimmung des vollen Ringes R[F~] noch weitere Uberlegungen erforderlich sind. Dies wurde in [24] durchgeftihrt.

Umgekehrt kann man die hier im Falle ~ ( ] /~ ) verwendete elementare Methode

auch erfolgreich im Falle K = ~(1/~) anwenden, dort ebenfalls alle Erzeugenden

100 R. MiJller

von R[Fx] = R(Fx) einschlieBlich einer im Erzeugendensystem auftretenden symmetrischen Spitzenform s 15 vom Gewicht 15 durch Thetanullwerte darstellen und die einzige zwischen diesen Erzeugenden bestehende Relation, n/imlich die quadratische Relation fiJr sis, allein durch Fourierkoeffizientenvergleich [also noch einfacher als im Falle ~(V-8)] bestimmen.

3.2. Der K6rper K(Fr) der Hilbertschen Modtdfunktionen zu K = Q(]//8)

Eine meromorphe Funktion f :HZ~--,C heil]t Hilbertsche Modulfunktion zu K (oder Modulfunktion zu Fx), K ein beliebiger reellquadratischer Zahlk/Srper, wenn sie FK-invariant ist, d. h. f ( / t ( ( ) )= f(O ftir alle #~ Fr, (e H 2 gilt. Der yon den Modulfunktionen zu F K gebildete Funktionenk6rper werde mit K(Fr), der yon den symmetrischen Modulfunktionen ( f ( ( )=f( (*) ftir alle (~H 2) gebildete Unterk6r- per mit K(Fx) + bezeichnet. Jede Modulfunktion f~K(FK) [bzw. eK(Fx) +] l~,13t sich bekanntlich nach Gundlach I-6, Satz 2] global als Quotient zweier [symmetri- scher] Modulformen gleichen Gewichts k und gleichen Multiplikatorsystems v darstellen, wobei man, indem man den Bruch gegebenenfalls geeignet erweitert, o.B.d.A. "k gerade, v= 1" annehmen daft.

Ziel dieses Abschnitts ist es, auf konstruktivem Wege die Rationalit~it des Funktionenk6rpers K(Fr) aller Hilbertschen Modulfunktionen zu K = Q(V ~) zu zeigen. Als erstes wird dazu die Struktur des Funktionenk/Srpers K(FK) + der symmetrischen Modulfunktionen zu F K bestimmt. Da jede Modulfunktion f e K(Fx) + als Quotient zweier Modulformen aus (Fx, k) + mit k -- 0(2) darstellbar ist, l~iBt sich f wegen Rt2)(FK) + =C1-g2, s4, s6] in der Form

f = P(g2, s,, $6) q(g2, s,~, s6) (P' q isobare Polynome vom Gewicht k)

schreiben. KiJrzt man durch 9~/2 (k gerade!), so ist f ein rationaler Ausdruck in

(02t-n2-n3 (g2S4t-n3 (nl,n2,n3~7l;2nt+4n2+6n3=O) (32) g~2's~s~6~= ~s4/ \ s6 /

mit Koeffizienten aus C, wobei die Aufspaltung in 2 Faktoren so gew~ihlt ist, dab sich eine zur Erreichung des angestrebten Ziels geeignete Transzendenzbasis yon

K(Fr) + ergibt. Mit g2, s4, s6 sind auch g~ , gzs4 algebraisch unabh~ingig und man S 4 S6

erh~ilt:

Lemma 6. a) (vgl. Gundlach [9, S. 119]). Die symmetrischen Modulformen zu F~ ( K = ~ ( ] / 8 ) ) bilden einen rationalen Funktionenk6rper vom Transzendenzgrad 2 fiber IE :

, g2 K(Fr) + =IE(x,y) mit x : = #2s4 y : = ,2

S 6 S 4

als einer m6#lichen Transzendenzbasis.


b) Der K6rper K(Fr) ist eine quadratische Erweiterung yon K(FK) + mit

~]2S5S9 -- 02S3S6 (sehiefsymmetriseh) z := s4s s2s

als primitivem Element dieser Erweiterung :

K ( r K) = C(x, y, z).

Aus (31) in Satz 1 folgt, daft z der folgenden reinquadratisehen Gleiehun 9 fiber K(FK) + = ~(x, y) oenfigt :

Z 2 = ( X "]- 4)(xy 2 + (4x 2 -- 288x -- 1728)y -- 1024xZ). (33)

Es ist bekannt, dab K(FIr ) in Wahrheit ein rationaler Funkt ionenk6rper ist [11, Theorem 6.3] und [15, Theorem S. 260]. Kurz zuvor zeigte Freitag [4, S. 12] eine

entsprechende Aussage fiJr den Fall K = Q ( ] ~ ) (ebenfalls: [15, S. 260] Freitag, Hammond und Hirzebruch arbeiteten mit Methoden der algebraischen Geome- trie; ihre Resultate sind nicht konstruktiv in dem Sinne, dab man daraus konkret 2 Erzeugende fiir K(_r~r gewinnen k6nnte. Der folgende konstruktive, kurze

Rationalit/~tsbeweis ftir K(FK) ( K = Q ( ] / ~ ) ) , in dessen Verlauf 2 Erzeugende von K(Ftr explizit bestimmt werden, ist daher vielleicht yon Interesse.

Man bringt zun/ichst (33) verm6ge der Substitution x ~ s : = x + 4 in die Ftir das folgende geeignetere Fo rm

z 2 ~- (S 2 - - 4s)y 2 + (4S s -- 320S 2 -- 512s)y + (-- 21 ~ + 213s2 -- 214s)

= "a(s) = :2b(s) = :c(s)

mit a ,b , c~K:=~(s ) (=C(x)! ) , a4:0. Wenn es dann ein aeK gibt, so dab

f l := ]//-aa z + 2be + c e K ist, was hier mit e(s): = - 2 0 0 s - 64 und fl(s) = 140 ] /~s 2

- 1 2 8 ~/2s der Fall ist, so ist K(y, z )=~(s , y, z) rational, denn dann gilt

fl+ z K(y,z)=K(t) mit t : = - - ( ~ K(z)CK(y,z))

y - ~

und den Umkehrformeln

O:t 2 + 2fit + 2b + a~ fit 2 + 2(b + a~)t + alB Y= t 2 _ a , z = t 2 _ a ( ~ K(y,z)ZK(t)).

Als Endergebnis kann man daher notieren:

Satz 2. Der K6rper K(FK) der Hilbertschen Modulfunktionen zu K = ff2(l/~) ist ein rationaler Funktionenk6rper vom Transzendenzgrad 2 iiber ~ :

K(FK) = r t),

102 R. Miiller

wobei eine mfoliche Transzendenzbasis s, t lautet (x, y, z wie in Lemma 6):

s : = x + 4 = • 2 s 4 + 4 s 6

s6

t : = 104 ]//2x2 + 9 9 2 1 / ~ x + 1728 l / ~ + z

y + 200x + 864

140 ~/2gZsa a +992~/292s2s6 + 17281/ /2s ,s 2 +g2SsS9 g2s2 + 20092S2S6 + 864S4S62

Die Funktionen s und t Iassen sich beide explizit durch Thetanullwerte darstellen.

Bemerkung. A u f ~ihnlich e infache Weise k a n n m a n die Rat ional i t~i t yon K(FK) fiir

K = I ~ ( I / ~ ) ze igen u n d eine T r a n s z e n d e n z b a s i s mi t 2 E r z e u g e n d e n yon K(FK) expl iz i t angeben .

Danksagung. Diese Arbeit ist eine iiberarbeitete Version der wesentlichen Teile meiner Dissertation (Freiburg, 1981), die von Herrn Prof. H. Klingen angeregt wurde, dem ich an dieser Stelle herzlich danke. Ferner danke ich Herrn Prof. F. Hirzebruch f'tir ein Gespr~ich, in dem das Versehen in [16, 17] gekl~irt werden konnte, sowie Herrn Dr. S. B6cherer ftir einen niitzlichen Hinweis.

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Eingegangen am 21. Juli 1983

Hilbertsche modulformen und modulfunktionen zuQ( )

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