HM1 Übung

6
Blatt/ Reihenfolge Themen 1 - Polynomdivision Polynomdivision - 1 HM1-Übung // Tricks / Inhaltsverzeichnis 1, II, III - Betrag Betrag - I, II, III I, II - Vollständige Induktion Vollständige Induktion - I, II III - Vollständige Induktion Vollständige Induktion - III V - Vektorräume Vektorräume - V

Transcript of HM1 Übung

Page 1: HM1 Übung

Blatt/ Reihenfolge Themen

1 - PolynomdivisionPolynomdivision - 1

HM1-Übung // Tricks / Inhaltsverzeichnis

1, II, III - BetragBetrag - I, II, III

I, II - Vollständige InduktionVollständige Induktion -

I, IIIII - Vollständige Induktion

Vollständige Induktion - III

V - Vektorräume

Vektorräume - V

Page 2: HM1 Übung

Übungsblatt 1 - Polynomdivision

Ansatz:

Angabe:

Def: p(x) ist nur definiert, falls a, b, c, d paarweise verschieden.Ein kubisches Polynom (3. Ordnung, Höchstgrad n=3) ist eindeutig definiert durch den Wert an n+1 Stellen.Durch nacheinander Einsetzen von a, b, c, d erhalten wir jeweils den Wert 1

Lösung:

Ansatz:

Angabe:Lösung:

Diese Gleichung ähnelt der geometrischen Reihe. Um sie auf diese Form zu bringen (1-q...), muss entsprechend ausgeklammert werden. In Spezialfällen muss vorher noch substituiert werden.

Ansatz:

Angabe:Lösung:

Die dritte binomische Formel gilt für alle Gleichungen mit geradem Exponenten.Schließlich lässt sich (x+a) kürzen.

p(x)= 1

*Graph

Angabe:Lösung:

Page 3: HM1 Übung

Übungsblatt 1, II - Betrag

Angabe:Lösung:

Eine Betragsfunktion, die drei Fälle zu unterscheiden verlangt: x ≤ -1; x ≥ 0,4; -1 < x 0,4 Im Fall x ≤ -1: x = -5/6Achtung! Diese Lösung ist ungültig, da sie durch die Vorbedingung (Fallunterscheidung) rausfällt

Angabe:Lösung:

Eine Betragsfunktion | |x| -4 | ≥ 1mit vier Fällen ohne Probleme lösbar.Wenn man ausnutzt, dass die Funktion symmetrisch zu x=4 ist, ergeben sich zwei Fälle durch Vorzeichenvertauschung

Angabe:Lösung:

Betragsungleichung(en)Die Dreiecksungleichung (Formelsammlung...) hilft!Gegebenenfalls substituieren

Page 4: HM1 Übung

Übungsblatt 1, II - Vollständige Induktion

Ansatz:

Angabe:

Lösung:

Zeigen Sie, dass für zwei beliebig gewählte verschiedene ganze Zahlen a, b und eine beliebige natürliche Zahl n die Zahl durch a-b teilbar ist.

Induktionsanfang: (a-b) | Induktionsschritt: n -> n +1

-> (a-b) | -> Induktionsannahme

Ansatz:Angabe:

Lösung:

Zeigen Sie, dass 3 | z*z*z + 2z; z€ ZBeweis durch vollständige Induktion erst für z € N0-> funktioniert

dann substituieren (y=-z), und statt Beweis für Z- fortzuführen für y € N0, was das gleiche ist wie z€ N0

“Wenn a ein Vielfaches von 3 ist, dann auch -a.”

Ansatz:

Angabe:

Lösung:

Summenformel

Induktionsschritt mit Summenformel beginnen, nicht mit der (aufgelösten) Formel.Regeln: n über dem Summenzeichen und im Argument durch n+1 ersetzen

oberstes Element herausziehen bewirkt Erniedrigung der oberen Grenze (zurück) auf nin herausgezogene Elemente aktuelles k (hier n+1) einsetzen - n stehen lassen/ beibehalten

nach Einsetzen der Formel (Induktionsvoraussetzung) und Hauptnennerbildung erhält man die Formel für n+1

Page 5: HM1 Übung

Übungsblatt III - Vollständige Induktion

Ansatz 1:

Angabe:

Graph:

Summenformel: Binomialkoeffizienten von k=0 bis n ergibt 2 hoch n.

Vergleiche mit Skript zur Vorlesung: Binomische FormelAnalogie: Summe über Binomialkoeffizienten entspricht der Herleitung im Skript für a=1 und b=1

Umformung der Summe (achte auf die Laufgrenzen):

Umformung der Formel:Zuerst wird die Induktionsvoraussetzung eingesetzt,danach die Laufgrenzen angepasst,dann die Summen nach der Rekursionsregel zusammengefasst.

als Relation dargestellt sind die Summenwerte für n=1 ... n=9 und die Exponentialfunktion 2 hoch n

Ansatz 2:

Ansatz 3:

Page 6: HM1 Übung

Übungsblatt V - Vektorräume

Ansatz:

Angabe: Gegeben seien die Polynome p0 (x) := 1, p1 (x) := 1−x, p2 (x) := (1−x)2 sowie p3 := (1−x)3.

Zeigen Sie, dass sich jedes Polynom p(x) mit Grad ≤ 3 darstellen lässt in der Form p(x) = αp0 (x) + β p1 (x) + γ p2 (x) + δp3 (x)

für gewisse Zahlen α, β , γ , δ R. Sind die Zahlen α, β , γ , δ eindeutig bestimmt?∈

Ausmultiplizieren und Koeffizentenvergleich anstellen

Die Koeffizienten a1,..., a4 in einer Matrix darstellen und auf Zeilenstufenform bringen. Da lässt sich dann die Eindeutigkeit der Koeffizienten und damit der Darstellung des Polynoms ablesen:Eindeutigkeit heißt, es sind keine freien Variablen vorhanden.

Ein zusätzlicher Gedanke zur Aufgabe T5.2c):Ist A B ein Untervektorraum von R∪ 2?Im Allgemeinen nicht, auch hier nicht :-)R2 ist aber lineare Hülle von A B, da die Basen von A und B linear unabhängig sind.∪

Lösung:

Angabe:

Lösung: