hm1_phys_04
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Karlsruher Institut f¨ ur Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut f¨ ur Analysis 05.11.2012 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning H¨ohere Mathematik I f¨ ur die Fachrichtung Physik 4. ¨ Ubungsblatt Aufgabe 1 Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (a n ) n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. a) a n = n 2 +3n-4 1+n 2 +4n 3 b) a n =(-1) n + 1 n c) a n = √ 9n 2 +2n +1 - 3n d) a n = (1+n) 42 -n 42 n 41 e) a n = n 4 ( 10 √ 1+3n -4 + n -9 - 1 ) f) a n = n √ 2 n +3 n Aufgabe 2 a) Es seien (a n ) n∈N eine beschr¨ankte und (b n ) n∈N eine konvergente Folge. Kon- vergiert die Folge (c n ) n∈N mit c n := a n · b n ? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. b) Nun seien (a n ) n∈N eine beschr¨ankte und (b n ) n∈N eine Nullfolge. Konvergiert die Folge (c n ) n∈N mit c n := a n · b n ? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Aufgabe 3 Es sei 0 <a<b. Die Folgen (a n ) n∈N und (b n ) n∈N werden rekursiv durch a 1 = a, b 1 = b und a n+1 = 2a n b n a n + b n , b n+1 = a n + b n 2 definiert. Man zeige: a) a n ≤ a n+1 ≤ b n+1 ≤ b n f¨ ur alle n ∈ N. b) b n+1 - a n+1 ≤ 1 4a (b n - a n ) 2 f¨ ur alle n ∈ N. c) lim a n = lim b n = √ ab.
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Karlsruher Institut fur Technologie (KIT) WS 2012/13Institut fur Analysis 05.11.2012Prof. Dr. Tobias LammDr. Patrick Breuning
Hohere Mathematik I fur die Fachrichtung Physik
4. Ubungsblatt
Aufgabe 1
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (an)n2N auf Konvergenz und bestimmen Siegegebenenfalls den Grenzwert.
a) an =n2+3n41+n2+4n3
b) an = (1)n + 1nc) an =
p9n2 + 2n+ 1 3n d) an = (1+n)42n42n41
e) an = n4
10p1 + 3n4 + n9 1 f) an = np2n + 3n
Aufgabe 2
a) Es seien (an)n2N eine beschrankte und (bn)n2N eine konvergente Folge. Kon-vergiert die Folge (cn)n2N mit cn := an bn? Begrunden Sie Ihre Antwort.
b) Nun seien (an)n2N eine beschrankte und (bn)n2N eine Nullfolge. Konvergiert dieFolge (cn)n2N mit cn := an bn? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe 3
Es sei 0 < a < b. Die Folgen (an)n2N und (bn)n2N werden rekursiv durch a1 = a, b1 = bund
an+1 =2anbnan + bn
; bn+1 =an + bn
2deniert.
Man zeige:
a) an an+1 bn+1 bn fur alle n 2 N.b) bn+1 an+1 14a(bn an)2 fur alle n 2 N.
c) lim an = lim bn =pab.
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Aufgabe 4
a) Finden Sie Beispiele fur Folgen mit den folgenden Eigenschaften:
i) (an)n2N hat genau die Zahlen 1 und 1 als Haufungswerte.ii) (bn)n2N hat jede naturliche Zahl als Haufungswert.
iii) (cn)n2N hat keinen Haufungswert und ist weder nach oben noch nach untenbeschrankt.
iv) (dn)n2N konvergiert gegen 2012, ist aber nicht monoton.
v) (en)n2N hat 0 als einzigen Haufungswert, jedoch konvergiert (en)n2N nicht.
b) Entscheiden Sie jeweils durch Beweis oder Gegenbeispiel, ob die Folge (an)n2Nkonvergiert, falls es zu jedem " > 0 ein n0 2 N derart gibt, dass fur alle n n0gilt:
i) jan an+1j < "; ii) janj < 2"2; iii) jan + an+1j < "; iv) janan+1j < ";v) janamj < " fur alle m 2 N.
Aufgabe 5
Bestimmen Sie alle Haufungswerte von (an)n2N und geben Sie lim infn!1
(an) und lim supn!1
(an)
an.
a) an = (1 + (1)n)n b) an =8
