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Hhere Experimentalphysik 2

Institut fr Angewandte Physik

Goethe-Universitt Frankfurt am Main

6. Vorlesung

12.06.2015

Hhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universitt Frankfurt am Main

Typischer Zustand der Materie

(1): Gas(2, 3): flssig-fest(4): Plasma(5): Elektronen-Fermi-Gas(6): Relativistisches Fermi-Gas(7): Neutronengas(8): Photonengas(9): Relativistisches Neutronengas-Schwarzes Loch

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InhaltBindungenKristallstrukturenGitterschwingungen

Thermische EigenschaftenFreies ElektronengasHalbleiterSupraleitung

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Festkrperphysik1. Die Festkrperphysik diskutiert feste Krper, d.h. kondensierte Materie

z.B. Kristalle, typische Dichten 1023 Atome2. Beschreibung kann auf einer phnomenologischen Ebene erfolgen, d.h.

man beschreibt zunchst die makroskopischen Eigenschaften wie z.B.optische Eigenschaften, elektrische Leitfhigkeit, Wrmekapazitt

3. Zustzlich Beschreibung auf mikroskopischen Ebene, hier geht es um dieDeutung der phnomenologischen Beobachtungen so z.B. die Erklrungdes elektrischen Widerstandes aufgrund von Streueffekten an Fehlstellen;der Supraleitung durch Paarbildung von Elektronen; des Magnetismusdurch Kopplungen zwischen Elektronen

4. Die Festkrperphysik versucht, das Verstndnis fr dieMaterialeigenschaften von festen Krpern zu verbessern.

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Struktur von FestkrpernBeim bergang zwischen einem Atom und einem Festkrper (s.u.Energie-Abstands-Diagramm) erkennt man, dass sich bei kleinerwerdendem Abstand zwar die inneren Schalen kaum verndern, aberdie ueren Schalen koppeln sehr stark, da sie in Richtung geringererEnergien auffchern. Dies liegt an der Delokalisierung der Elektronen inden gemeinsam genutzten Orbitalen.

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Struktur von FestkrpernWarum halten Festkrper zusammen?Unterschieden werden 5 Bindungsarten in Festkrpern: Kovalente Bindung, d.h. Bindung im Festkrper als eine Bindung

charakterisiert, bei der die Wechselwirkung zwischen den nchstenNachbarn dominiert

Ionische Bindung/ Ionenbindung, entsteht wenn ein Elektronentransfervon einer Atomsorte auf eine andere energetisch gengend gnstig ist

Metallische Bindung, d.h. groer Ausdehnung der Wellenfunktion imVerhltnis zu den atomaren Abstnden

Van der Waals-Bindung, ist eine zustzliche Bindung, die grundstzlichimmer auftritt. Die physikalische Ursache sind gekoppelteDipolmomente.

Wasserstoffbrckenbindung

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Kovalente BindungDie kovalente Bindung beruht auf der Austauschwechselwirkung zweier Elektronenbenachbarter Gitteratome, wobei die Spins der beiden Elektronen antiparallelausgerichtet sind.Sie weist eine starke Richtungsabhngigkeit auf. So kann z.B. ein Kohlenstoffatomlediglich mit vier Nachbaratomen eine kovalente Bindung eingehen.Beispiel: Diamant

Jedes Kohlenstoffatom ist gleichwertig mit vier Nachbaratomenkovalent gebunden. Im dreidimensionalen Raum nehmen die vier Valenzelektroneneine Position ein, die den vier Ecken eines Tetraeders entspricht, wobei derAtomkern im Mittelpunkt des Tetraeders liegt.

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IonenbindungDie elektrostatische Anziehung zwischen positiven und negativen Ionen ist imWesentlichen fr den Zusammenhalt des Kristalls verantwortlich.Aber es tritt auch eine abstoende Wechselwirkung auf kurzen Skalen auf,sobald die Ionen so nahe zusammengerckt sind, dass sich dieElektronenverteilungen benachbarter Ionen berlappen. Eine solcheberlappung ist bei Atomen mit abgeschlossener Atomschale nur dannmglich, wenn gleichzeitig Elektronen auf hhere noch unbesetzteEnergieniveaus der Atome angehoben werden (Pauli-Prinzip). Dies fhrt zumAnstieg der Gesamtenergie und zur Abstoung.Ein stabiler Zustand stellt sich also erst durch die Pauli-Abstoung ein.Allgemein kann man das Gesamtpotential zwischen zwei Ionen i und j mitAbstand rij wie folgt angeben:

Hierbei sind und empirische Parameter. liegt fr Alkalihalogenidetypischerweise im Bereich 6 . . . 10

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IonenbindungZur Berechnung der Gitterenergie im ionischen Festkrper greifen wir ein Ion heraus und stellen das Potential am Ort des Ions auf:

Mit r als Abstand nchster Nachbarn schreibt man

wobei pij spezifisch fr die betreffende Struktur ist. Besteht der Kristall aus N Ionenpaaren, so ergibt sich die gesamte potentielle Energie zu

Um die erste Summe einfacher auszudrcken, definiert man die Madelungkonstante:

Abb.: Energie als Funktion des Abstandes zweier Ionen

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IonenbindungBei Elementen mit unterschiedlicherElektronennegativitt kann es zu Elektronentransferskommen, sofern der Transfer weniger Energie kostet,als durch die in der Folge auftretendeCoulombanziehung gewonnen wird.Wenn wir zum Beispiel Na und Cl verbinden, bentigtman fr die Ionisierung Na Na+ eineIonisierungsenergie von 5,14 eV, bei Cl Cl- betrgtdie Elektronenaffinitt -3,61 eV, also die Energie diezur Neutralisation aufgewandt werden muss. Dergrte Teil der Bindungsenergie -7,9eV wird bei derBildung des Kristalls freigegeben(-7,9+5,1-3,6=-6,4eV).Aus Natrium und Chlor kann also ein zweiatomigesMolekl mit starkem Ionencharakter gebildet werden.

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IonenbindungAuch rumliche Strukturen lassen sich auf diese Weise aufbauen,indem jedes Chloratom von Natriumatomen umgeben ist undumgekehrt. Die sich ergebende Struktur ist durch optimaleRaumausnutzung bei gegebenen Ionenradien und durch die Bedingungbestimmt, dass die Coulombanziehung ungleichnamiger Ladungenstrker sein muss als die Coulombabstoung von Ionen gleicherLadung.

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MetallbindungHier ist die Wellenfunktion der Valenzelektronen ber viele Atomeausgedehnt und entsprechend tragen viele Nachbarn zur Bindung bei.Dies fhrt zu einer starken Abschirmung der positiven Kernladung undzu einer Bindung, die eine gewisse hnlichkeit mit der kovalentenBindung besitzt; jedoch sind die Bindungskrfte wegen der starkenRaumerfllung bestimmt. Verschmierung der Valenzelektronen

ber den gesamten Kristall nicht gerichtetwie bei den kovalent-gebundenenKristallen. Die Struktur von Metallen istdeshalb auch weitgehend durch dieBedingung optimaler Raumfllungbestimmt.

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Die van der Waals-BindungDie van der Waals-Bindung findet man vor allem bei zwei Stoffklassen,Edelgase (bei tiefen Temperaturen) und Moleklkristalle. Die Bindungberuht auf dem Prinzip fluktuierender Dipole, die durch die Bewegungder Elektronen um den Atomkern und somit durch die Strung derKugelsymmetrie entsteht.Atom A habe ein Dipolmoment A (mit = 0). Dieses erzeugt beimAtom B ein Feldund induziert damit ein zweites Dipolmoment

Hierbei ist die atomare Polarisierbarkeit des zweiten Atoms.Die Wechselwirkungsenergie ist damit:

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WasserstoffbrckenbindungAtome stark elektronegativer Elemente wie Fluor oder Sauerstoffknnen in einem Kristall eine Bindung ber eine Wasserstoffbrckeeingehen. Hierbei geben Wasserstoffatome ihre Elektronen an dieelektronegativen Atome ab, und es bleiben Protonen zurck. Da einProton im Vergleich zu einem Atom eine verschwindend kleineAusdehnung hat, ist bei einem Proton ein enger rumlicher Kontaktlediglich mit zwei negativen Nachbarionen mglich.ber eine Wasserstoffbrcke werden also immer nur zwei Ionenmiteinander verbunden.

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Bindungsenergien - berblick

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KristallstrukturenStruktur der Materialien: Einkristalle, d.h. ein periodisch angeordnetes, rumliches Gitter. Die

langreichweitige Ordnung erstreckt sich ber den gesamten Kristall Polykristalline Stoffe, bestehen aus vielen gegeneinander

verdrehten und verschobenen Einkristallen Amorphe Stoffe, d.h. die geordnete Struktur erstreckt sich nur ber

einen kleinen Bereich weniger Atomlagen Moleklkristalle, sind Molekle, die regelmig angeordnet sindKristalline Festkrper mit periodischer Struktur lassen sich am Besten beschreiben.

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KristallgitterDie periodische Struktur in einem Kristall bezeichnet man als Kristallgitter. DieElementarzelle des Gitters wird durch die drei Gittervektoren a1, a2, a3 aufgespannt:

Das Volumen der Elementarzelle ist durch das Spatprodukt der Basisvektorengegeben:Das Translationsgitter des Kristalls besteht, mathematisch gesprochen, aus derMenge aller Punkte, die sich durch Linearkombination von ganzzahligen Vielfachender Gittervektoren darstellen lassen:

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KristallgitterDas Raumgitter, bei dem zu jeder Elementarzelle nur ein einziger Gitterpunktgehrt, wird primitives Gitter genannt. Das entsprechende Kristallgitter hat danngenau ein Atom bzw. eine Atomgruppe pro Elementarzelle.Es gibt nun eine Vielzahl