Höhere Mathematik

Kapitel 8

Fourierreihen

Haug treten in der Natur Vorgange auf, die sich durch periodische Funktionen be-schreiben lassen. Denken wir an die Schwingungen von Tonen oder den elektrischenStrom. Fur solche Funktionen hatte Fourier1 eine geradezu sensationelle Idee, die vonseinen Kollegen damals stark angezweifelt wurde. Es klang ja auch ziemlich verruckt.Er meinte zeigen zu konnen, da man jede periodische Funktion in eine unendlicheReihe mit reinen Sinus und Kosinustermen schreiben konnte. Wenn wir heute an diemusikalische Tonerzeugung denken, so sind bereits den Kindern die Begrie Grund-ton und Obertone bekannt. Schon in der Schule lernt man im Physikunterricht, dadabei der Grundton eine reine Sinusschwingung ist und die Obertone die weiterenSchwingungen mit halber und Viertelperiode usw. sind. Da jeder beliebige Ton sichdamit als unendliche Reihe von Sinusschwingungen darstellen lat, mag man somithinnehmen, aber da dies fur beliebige periodische Funktionen im Verein mit Kosi-nusschwingungen auch noch richtig bleibt, war und ist verwunderlich. Ist doch auchz. B. eine Funktion wie die unten abgebildete periodisch:

Abbildung 8.1: Periodische Funktion. Lat sie sich als unendliche Reihe von Sinusund KosinusGliedern schreiben?

Die ist ja nicht einmal stetig. Nun, so ganz allgemein geht es ja auch nicht, aberdie Einschrankungen an die Funktionen sind nicht sehr gewaltig. Wir werden das inspateren Satzen genauer ausfuhren.

1Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 1830

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290 8 Fourierreihen

8.1 Erklarung der Fourierreihe

Denition 8.1 Eine Funktion f : R R heit periodisch mit der Periode 2L, wennfur alle x R gilt:

f(x + 2L) = f(x). (8.1)

Man sollte erwahnen, da jedes ganzzahlige Vielfache von 2L auch Periode von fist. Daher werden wir kunftig unter der Periode stets die kleinste positive Periodeverstehen.Als Beispiel einer periodischen Funktion fallt wohl jedem Leser sofort die Funktionsin x ein. Diese hat die Periode 2, und viele Verfahren und viele Aussagen bezie-hen sich auf Funktionen mit der Periode 2. Dies kann uns aber nicht weiter nervosmachen; hat namlich f die Periode 2L, so hat

g(x) := f(2Lx2

)(8.2)

die Periode 2. Denn es ist

g(x + 2) = f(2L(x + 2)

2

)= f

(2Lx2

+ 2L)

= f(2Lx2

)= g(x).

Diese Transformation ist immer ausfuhrbar. Daher konnte man sich ohne jede Ein-schrankung auf die Periode 2 zuruckziehen und alle Aussagen nur dafur herleiten.Wir wollen diesen Weg hier nicht beschreiten, sondern schon die allgemeineren For-meln angeben.Wir kommen damit zur Denition der Fourierreihe:

Denition 8.2 Eine Reihe der Form

a02

+

n=1

(an cos

nx

L+ bn sin

nx

L

)(8.3)

heit reelle Fourierreihe oder trigonometrische Reihe.Eine Reihe der Form

n=

(cneinx

L (8.4)

heit komplexe Fourierreihe. Sie heit konvergent, wenn sowohl

n=0cne

inxL als auch

n=1

cneinx

L konvergieren.

Wir sollten die etwas ungewohnliche Schreibweise beim Summenzeichen der komplexenReihe kurz kommentieren. Gemeint ist eine Reihe, die man auch so schreiben konnte:

. . . c3ei(3)x

L + c2ei(2)x

L + c1ei(1)x

L + c0 + c1eixL + c2e

i2xL + c3e

i3xL + . . .

Das ist jetzt zwar verstandlicher, aber mit den Punktchen ist das einfach nicht elegantgeschrieben.



8.2 Berechnung der Fourierkoezienten 291

8.2 Berechnung der Fourierkoezienten

Lemma 8.3 (Orthogonalitatsrelation) Fur die Funktionen cosnx

Lund sin

nx

Lgelten die folgenden sog. Orthogonalitatsrelationen:Fur m,n = 0, 1, 2, . . . ist

LL

cosnx

L cos mx

Ldx =

0 fur n = mL fur n = m > 02L fur n = m = 0

(8.5)

LL

cosnx

L sin mx

Ldx = 0 fur bel. n,m = 0, 1, 2, . . . (8.6)

LL

sinnx

L sin mx

Ldx =

0 fur n = mL fur n = m > 00 fur n = m = 0

. (8.7)

In C lauten die Orthogonalitatsrelationen fur n,m = 0,1,2, . . . LL

ei(nm)x

L dx ={

0 fur n = m2L fur n = m

. (8.8)

Bew.: Mit Hilfe der bekannten Additionstheoreme

sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos + sin sinsin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos sin sin

und elementarer Integration folgt das fur die reelle Darstellung unmittelbar: LL

cosnx

L cos mx

Ldx =

12

LL

[cos(nm)x

L+ cos(n + m)

x

L

]dx

=

0 fur n = mL fur n = m > 02L fur n = m = 0

.

Mit denselben Theoremen folgt auch: LL

cosnx

L sin mx

Ldx =

12

LL

[sin(nm)x

L+ sin(n + m)

x

L

]dx = 0,

denn schlielich ist die SinusFunktion ja eine ungerade Funktion, und wir integrierenvon L bis L.Ganz analog folgt dann auch L

Lsin

nx

L sin mx

Ldx =

12

LL

[cos(nm)x

L cos(n + m)x

L

]dx

=

0 fur n = mL fur n = m > 00 fur n = m = 0

.



292 8 Fourierreihen

Die komplexe Orthogonalitatsrelation ergibt sich, indem man den Integranden in Real-und Imaginarteil zerlegt und die reelle Relation anwendet. unionsq

Diese Orthogonalitat erlaubt uns nun eine konkrete Formel zur Berechnung der Ko-ezienten anzugeben:

Satz 8.4 Falls die Reihe

a02

+

n=1

[an cos

nx

L+ bn sin

nx

L

]

in [L,L] gleichmaig konvergiert und die Funktion T (x) deniert wird als die Grenz-funktion

T (x) :=a02

+

n=1

[an cos

nx

L+ bn sin

nx

L

], (8.9)

so gilt fur n = 0, 1, 2, . . .

an =1L

LL

T (x) cos nxL

dx, bn =1L

LL

T (x) sin nxL

dx. (8.10)

Falls die komplexe Fourierreihe

n=cne

inxL

in [L,L] gleichmaig konvergiert und die Funktion T (x) deniert wird als die Grenz-funktion

T (x) =

n=cne

inxL , (8.11)

so gilt fur n = 0,1,2,3, . . .

cn =12L

LL

T (x) e inxL dx. (8.12)

Bew.: Nach Voraussetzung konvergiert die Reihe fur T gleichmaig, das ist das kleineFachwort, mit dem wir uns nicht mehr um die unendlich vielen Summanden scherenmussen, sondern gliedweise integrieren konnen. Das tun wir dann auch hemmungslos,multiplizieren jetzt T (x) mit cosnx/L und integrieren jeden Term einzeln:

LL

T (x) cos nxL

dx =a02

LL

cosnx

Ldx +

m=1

[am

LL

cosmx

Lcos

nx

Ldx

+ bm LL

sinmx

Lcos

nx

Ldx

]= L an,



8.3 Reelle FReihe komplexe FReihe 293

denn der erste Summand ist Null, weil ja der Kosinus uber ein vollstandiges Perioden-intervall integriert wird. Wegen der Orthogonalitat verschwindet der dritte Summand,und der zweite bringt nur einen Beitrag fur n = m, und da ist das beteiligte Integralgleich L, woraus schon alles folgt.Analog berechnet man

LL

T (x) sinnx

Ldx = L bn.

Die komplexen Koezienten ergeben sich aus der entsprechenden komplexen Ortho-gonalitatsrelation wiederum durch gliedweises Integrieren. unionsq

Damit liegt folgende Benennung nahe.

Denition 8.5 Die Funktion f : R R habe die Periode 2L und sei uber [L,L]integrierbar. Dann heien die Zahlen

an := 1L LL f(x) cos

nxL dx und bn :=

1L

LL f(x) sin

nxL dx

n = 0, 1, 2, . . . n = 1, 2, 3, . . .(8.13)

die FourierKoezienten von f , die Reihe

a02

+

n=1

(an cos

nx

L+ bn sin

nx

L

)(8.14)

mit diesen Koezienten heit die zu f gehorige FourierReihe.Analog heien die Zahlen

cn =12L

LL

f(x)e inx

L dx, n = 0,1,2, . . . (8.15)

komplexe FourierKoezienten von f , die Reihe

n=

cne

inx

L (8.16)

heit die zu f gehorige komplexe FourierReihe.

8.3 Reelle FReihe komplexe FReiheNun haben wir dauernd sowohl reell als auch komplex gedacht, dabei ist es recht leicht,die Darstellungen ineinander zu uberfuhren. Das wesentliche Hilfsmittel dabei ist diesog. EulerRelation:

eiy = cos y + i sin y, eiy = cos y i sin y. (8.17)Brought to you by | Technische Universitaet Hamburg-Harburg

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294 8 Fourierreihen

Damit erhalten wir

cosnx

L=

12

e

inx

L + einx

L

,

sinnx

L=

12i

e

inx

L einx

L

,

und mit1i= i folgt

a02

+

n=1

(an cos

nx

L+ bn sin

nx

L

)

=a02

+

n=1

an2

e

inx

L + einx

L

ibn

2

e

inx

L einx

L

=a02

=:c0

+

n=1

an ibn2

=:cn

e

inx

L +an + ibn

2 =:cn

e

inxL

Wir fassen das im folgenden Satz zusammen.

Satz 8.6 (Umrechnung reelle komplexe Koezienten) Die Koezienten ei-ner reellen FourierReihe lassen sich nach den Formeln

c0 =a02

cn =an ibn

2n = 1, 2, 3, . . .

cn =an + ibn

2n = 1, 2, 3, . . .

in die Koezienten der zugehorigen komplexen FourierReihe umrechnen.

Der clevere Leser sieht naturlich sofort, da die Koezienten cn gerade die konjugiertkomplexen Zahlen der cn sind. Aus dieser Erkenntnis lassen sich unmittelbar umge-kehrt aus den komplexen Koezienten die reellen berechnen. Wir fassen die Formelnim folgenden Satz zusammen.

Satz 8.7 (Umrechnung komplexe = reelle Koezienten) Die Koezienteneiner komplexen FourierReihe lassen sich nach den Formeln

a0 = 2c0an = 2e(cn) n = 1, 2, 3, . . .bn = 2m(cn) n = 1, 2, 3, . . .

in die Koezienten der zugehorigen reellen FourierReihe umrechnen.



8.4 Einige Satze uber FourierReihen 295

Wie es sich gehort, werden die Koezienten cn mit negativem Index bei dieser Um-rechnung nicht benotigt, es sind ja auch nur die konjugiert komplexen der cn.

8.4 Einige Satze uber FourierReihen

Wir stellen hier nur einige Tatsachen uber FourierReihen zusammen, ohne sie zubeweisen. Die Beweise sind teilweise ganz schon heftig; es ist auerdem moglich, dieVoraussetzungen weiter abzuschwachen, aber fur all dies mussen wir auf die Spezial-literatur verweisen.

Satz 8.8 (Darstellungssatz von Dini) Ist die Funktion f stuckweise stetig und istihre Ableitung ebenfalls stuckweise stetig und existieren links- und rechtsseitige Funk-tionsgrenzwerte von f und f an den Unstetigkeitsstellen, so ist die FourierReiheT (x) von f konvergent.An jeder Stetigkeitsstelle x0 gilt

T (x0) = f(x0), (8.18)

an jeder Sprungstelle xi gilt

T (xi) =12

limh0+

[f(xi + h) + f(xi h)]. (8.19)

Die Fourierreihe einer stetigen Funktion strebt also uberall gegen diese Funktion.Fur eine unstetige Funktion sagt uns die Formel (8.19), da dort von der Reihe derMittelwert aus links- und rechtsseitigem Funktionswert angenommen. Wir zeigen aufSeite 299 am Beispiel einer stuckweise konstanten Funktion das Verhalten der erstenPartialsummen der Reihe. Dort sieht man auch sehr schon, da an der Sprungstellevon allen Partialsummen der Mittelwert angenommen wird.

Satz 8.9 (RiemannLemma) Ist die Funktion f stuckweise stetig und ist ihre Ab-leitung ebenfalls stuckweise stetig, so gilt fur ihre Fourierkoezienten

limn an = 0, limn bn = 0 (8.20)

Satz 8.10 (ParsevalGleichung) Ist die Funktion f stuckweise stetig und ist ihreAbleitung ebenfalls stuckweise stetig, so gilt fur ihre Fourierkoezienten die Parse-valsche Gleichung:

a202

+

n=1

(a2n + b

2n

)=

1L

LL

(f(x))2 dx (8.21)



296 8 Fourierreihen

L a b L

A

B

Abbildung 8.2: Fur diese Funktion wollen wir die komplexe Fourierreihe mit derherkommlichen Methode berechnen und das Ergebnis mit dem Sprungstellenverfahrenvergleichen.

8.5 Sprungstellenverfahren

Fur periodische Funktionen, die stuckweise linear sind, und nur fur diese lassen sichdie komplexen Fourierkoezienten durch das sog. Sprungstellenverfahren, wie es imBuch von Haase und Garbe vorgestellt wird, berechnen. Wir wollen gleich an einemeinfachen Beispiel die Formeln uberprufen, doch zunachst die Aussage.

Satz 8.11 Sei f eine stuckweise lineare 2Lperiodische Funktion. Dann lassen sichihre komplexen Fourierkoezienten wie folgt berechnen:

c0 =12L

LL

f(x) dx (8.22)

ck =1

2ki

r

i=1

sie ik

Lxi

+L

ki

ri=1

sie ik

Lxi ; (8.23)

dabei haben wir folgende Bezeichnungen benutzt:

Funktion f Ableitung f

r # Sprunge r # Sprungexi Sprungstellen xi Sprungstellensi = f(xi+) f(xi) Sprunghohe si = f (xi+) f (xi) Sprunghohe

Wir wollen die komplexen FourierKoezienten der unten skizzierten Funktion

f(x) :={

BAba (x a) + A fur L < a < x < b < L

0 sonst,

die also zwei Sprungstellen hat, berechnen und das Ergebnis mit der Aussage desSprungstellenverfahrens vergleichen.Wir mussen jetzt einfach etwas langer rechnen, um die Formel zu rechtfertigen. Istjemand nur an der Anwendung interessiert, so mag er die folgenden Zeilen getrost



8.5 Sprungstellenverfahren 297

uberspringen. Zunachst sieht man, da c0 in beiden Fallen gleich berechnet wird. Seidaher n > 0.

cn =12L

LL

f(x) einx

L dx =12L

ba

[B Ab a (x a) + A

] einx

L dx

=12L

B Ab a

ba

e

inxL dx +

12L

ba

e

inxL dx

Wenn wie zur Abkurzung c := in/L setzen, sind hier im wesentlichen zwei Integralezu knacken, was aber wirklich ein Kinderspiel ist: b

ax ecx dx a

ba

ecx dx =1c

[bebc aebc e

bc

c+

eac

c,

]

ba

ecx dx =1cecb 1

ceca.

Damit geht es nun munter weiter mit der Integriererei:

cn =12L

B Ab a

Lin

[be

inL

b aeinL b ein

Lb

in/L +ein

La

in/L

]+

+12L

A1

in/LeinL

b 12L

A1

in/Lein

La

= (B A) 12in

einL

b +B Ab a

12in

ein

Lb

in/L B Ab a

112in

ein

La

in/L +

+1

2inAein

Lb 12inAe

inL

a

=1

2in

[(B + A)einL b B A

b aL

inein

Lb +

B Ab a

L

inein

La

AeinL b + AeinL a]

=1

2in

[Ae

inL

a BeinL b + 1in/L

B Ab a e

inL

a 1in/L

B Ab a e

inL

b

]

Diese Gleichung haben wir bewut in die Form des Sprungstellenverfahrens gebracht.Wir mussen nur noch prufen, ob das mit den Sprungen so hinkommt. Dazu schauenwir auf die Skizze oben zuruck. Die beiden Stellen, wo Sprunge auftreten, sind beit1 = a und t2 = b. Bei a macht die Funktion oensichtlich den Sprung der HoheA, wieso aber bei b einen Sprung der Hohe B? Die Denition Sprung fur diesesVerfahren mu genau beachtet werden. Es ist die Dierenz der Funktionswerte, wennman von rechts und von links sich der Stelle nahert, genau in dieser Reihenfolge. Bei bist der Grenzwert von rechts her 0, von links her B, die Dierenz ist also 0B = B.Unter diesem Gesichtspunkt bleibt der Sprung bei a naturlich von der Hohe A.Vielleicht macht folgendes Beispiel das Verfahren noch klarer.



298 8 Fourierreihen

Beispiel 8.12

Sei f die rechts skizzierte periodischeFunktion mit der Periode 2L = 5.Sprunge von f :

x1 = 2 x2 = 3s1 = f(2+) f(2) s2 = f(3+) f(3)

= 3 0 = 3 = 0 4.5 = 4.5Sprunge von f :

x1 = 2 x2 = 3

s1 = f(2+) f (2) s2 = f (3+) f (3)

= 1.5 0 = 3/2 = 0 1.5 = 3/2

1 2 3 7 8

1

3

4.5

1.5

1 2 3 7 8

Funktion fPeriode 5

Ableitung f 5

Den Fourierkoezienten c0 mussen wir so oder so direkt ausrechnen. Dazu berechnenwir einfach die Flache des von f gebildeten Trapezes.

c0 =15

50

f(x) dx =15

32

f(x) dx = 3.75

Die weiteren Fourierkoezienten entnehmen wir jetzt der Formel (8.23) im Sprung-stellenverfahren. Es ist

cn =1

2ni

3e

in5

4+ (4.5)e

in5

6+

1ni

5232e

in5/2

3 1

ni

5232e

in5/2

3

Mit diesen lat sich nun die gesamte Reihe hinschreiben, aber die wird zu lang, darumlassen wir es so bewenden.

8.6 Zum Gibbsschen Phanomen

Der oben angefuhrte Satz von Dini gibt uns eine leichte Antwort, wie sich denn dieFourierreihe verhalt, wenn man mehr und mehr Terme hinzunimmt. Nun, sie nahertsich all den Punkten, wo die vorgegebene Funktion f stetig ist. Und an den Sprung-stellen, von denen es ja nach Voraussetzung (stuckweise stetig) nur endlich viele ineinem Periodenintervall geben kann, nimmt die Fourierreihe den Mittelwert aus links-und rechtsseitigem Funktionswert an. Als Erganzung zu diesem Satz hat sich der ame-rikanische Physiker J. W. Gibbs2 das Verhalten von Fourierreihen in der Umgebungvon Sprungstellen angesehen und eine bemerkenswerte Entdeckung gemacht.Lassen Sie uns an einem ausfuhrlichen Beispiel seine Entdeckung nachvollziehen.

2Josiah William Gibbs, 1839 1903



8.6 Zum Gibbsschen Phanomen 299

f(x)

x5 10510

3

Periode

Abbildung 8.3: Der Graph der in Beispiel 8.13 gegebenen Funktion

Beispiel 8.13 Wir betrachten folgende 10periodische Funktion f :

f(x) ={

3 fur 0 < x < 50 fur 5 < x < 10

f(x + 10) = f(x),

und berechnen ihre Fourierreihe.

Zunachst stellen wir die gegebene Funktion bildlich dar.Die Funktion ist zwar periodisch, aber nicht mehr stetig, sie macht bei 0, 5 und allenpositiven und negativen Vielfachen von 5 einen Sprung der Hohe 3 bzw. 3. Nachdem Satz von Dini (vgl. S.295) konvergiert die zugehorige Fourierreihe auer bei denVielfachen von 5 sonst uberall gegen die Funktion. In den Sprungstellen konvergiertsie stets gegen den Wert 3/2. Was aber geschieht in der Umgebung einer Sprungstelle.Die Konvergenz kann und wird nicht gleichmaig verlaufen. Dies war der Ansatzpunktfur Herrn Gibbs, er untersuchte die Art der Konvergenz einer Fourierreihe in derUmgebung einer Sprungstelle und entdeckte etwas sehr Merkwurdiges.Die FourierKoezienten fur diese stuckweise konstante und periodische Funktion mitder Periode L = 10 lassen sich recht leicht berechnen.Um nicht zu den Nulldividierern zu gehoren, rechnen wir a0 getrennt aus:

a0 =15

55

f(x) dx =35

50

dx = 3.

Fur n > 0 rechnen wir sodann:

an =15

55

f(x) cos nxL

=35

50

cosnx

5dx =

35

(5n

sinnx

5

) 50

= 0

Das war zu erwarten. Zwar ist die Funktion selbst nicht ungerade, aber wenn mansie um 3/2 nach unten verschiebt, wird sie ungerade. Dieser subtraktive Term wirdaber durch den Koezienten a0 er geht ja mit dem Faktor 1/2 in die Fourierreiheein aufgefangen. Also mussen alle KosinusTerme bis auf den konstanten Anteil



300 8 Fourierreihen

verschwinden.

bn =15

55

f(x) sin nxL

=35

50

sinnx

5dx =

35

( 5n

cosnx

5

) 50

=3(1 cosn)

n

So konnen wir nun die gesamte Fourierreihe fur obige Funktion angeben:

f(x) 32+

n=1

3(1 cosn)n

sinnx

5

=32+

6

(sin

x

5+

13sin

3x5

+15sin

5x5

+ )

(8.24)

Jetzt mu unser kleiner Knecht, Mister Computer wieder mal ran. Mit ihm ist es einLeichtes, die ersten Partialsummen zu plotten. Wir zeigen das in der Abbildung 8.4,S. 301.Zunachst fallt auf, wie schlecht die Approximation insgesamt ausfallt. Selbst die 11.Partialsumme schat noch keine befriedigende Annaherung an die Abbruchkante derFunktion bei x = 5. Andererseits aber sieht man sehr schon, da die Partialsummen zuden Abbruchkanten hin etwas hoher hinauf bzw. unten etwas tiefer herunter schwingen.Das beginnt schon bei n = 5, und man erkennt, da bei n = 11 die Hohe diesesUberschwingens die gleiche Groe hat wie bei n = 5.Dies war die allgemeine Erkenntnis von Herrn Gibbs: Die Fourierreihe nahert sichnicht gleichmaig der vorgegebenen Funktion, auch wenn man an den Sprungstelleneine geradlinige Verbindung hinzufugt. Sondern es treten an den Enden sogenannte

Uberschwinger auf. Man mu an der Sprungstelle den Graphen der Funktion nachoben und unten um ein kleines Stuck verlangern. Diesem veranderten Graphen nahertsich die Fourierreihe. Eine genauere Analyse sagt auch etwas uber die Groe dieserbeiden Teilstucke, dieser Uberschwinger. Bezeichnen wir die Sprunghohe mit h, so gilt:

Die Hohe des Uberschwingens betragt

2 h 0.281

= 0.18 h.

Das sind also ungefahr 18 % der Sprunghohe.

Dies war es, was Herr Gibbs entdeckte und was wir heute Gibbssches Phanomennennen.

8.7 Schnelle Fourieranalyse (FFT)

Hier herrscht eine gewisse Begrisverwirrung. Daher wollen wir die Aufgabe der FFTzunachst sauber denieren:

Generalvoraussetzung: f sei 2periodisch



8.7 Schnelle Fourieranalyse (FFT) 301

-1

0

1

2

3

4

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

n = 1

-1

0

1

2

3

4

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

n = 3

-1

0

1

2

3

4

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

n = 5

-1

0

1

2

3

4

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

n = 7

-1

0

1

2

3

4

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

n = 9

-1

0

1

2

3

4

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

n = 11

Abbildung 8.4: Die Partialsummen fur n = 1 bis n = 11 der Fourierreihe (8.24) furdie Funktion im Beispiel 8.13



302 8 Fourierreihen

Denition 8.14 Unter der FFT verstehen wir die Aufgabe, fur eine 2periodischeFunktion f eine angenaherte diskrete komplexe Fourierentwicklung der Form

f(x) N1n=0

cn einx (8.25)

zu bestimmen.

Gesucht wird also eine endliche Reihe mit N Gliedern. Wegen der oben gezeigtenOrthogonalitatsrelation ergeben sich die Koezienten cn wie fruher zu

cn =12

f(x) einx dx

Der entscheidende Trick fur den ganzen FFTAlgorithmus liegt nun in der angenaher-ten Berechnung dieser Integrale mittels der Trapezregel. Dazu unterteilt man das Pe-riodenintervall [0, 2] in N gleichlange Teilintervalle der Lange xk+1 xk = h = 2N ,wahlt also als Stutzstellen der Trapezregel

xk =2kN

, k = 0, 1, . . . , N 1

und erhalt damit die (angenaherten) komplexen Fourierkoezienten

cn =1

2N

(f(x0) + 2

N1k=1

f(kk)enk2i

N + f(xN )

)(8.26)

Wir fuhren nun die neuen Koezienten

a0 =f(x0) + f(xN)

2N, ak =

f(xk)N

, k = 1, 2, . . . , N 1

ein. Wegen der Periodizitat ist naturlich f(x0) = f(xN ), also ist a0 =f(x0)N . Damit

lauten jetzt die angenaherten diskreten Fourierkoezienten:

cn =N1k=0

aknk mit xk =

2kN

, ak =f(xk)N

, = e2i

N , k = 0, 1, . . . , N 1

(8.27)

Nun kommt der Hauptpunkt, weswegen J. W. Cooley und J. W. Tukey 1965 die ganzeIdee geboren haben. Sie wahlten

N = 2p, p N. (8.28)Daraus ergeben sich wunderbare Vereinfachungen. Wir machen das am Beispiel N =23 = 8 explizit vor. Zur Berechnung der cn in (8.27) sind eigentlich 64 Multiplikationenerforderlich. Aber bekanntlich ist

e2i 1 = 0.Brought to you by | Technische Universitaet Hamburg-Harburg

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Diese Gleichung wird manchmal als die schonste Gleichung der Mathematik bezeich-net, enthalt sie doch alle grundlegenden mathematischen Konstanten. Damit ist z. B.auch

e2i = 1 also ist N = 1, N+1 = , N+2 = 2, . . . , N+N = N = 1, . . .

Wir schreiben fur N = 8 explizit c4 auf:

c4 = a0 + a14 + a28 + a312 + a416 + a520 + a624 + a728

Nun ist 16 = 1 und daher 20 = 4 und 24 = 8 und 28 = 12. Also konnen wirhier a0 mit a4, a1 mit a5, a2 mit a6 und a3 mit a7 zusammenfassen und erhalten

c4 = a0 + a4 + (a1 + a5)4 + (a2 + a6)8 + (a3 + a7)12

Das Spiel geht ganz allgemein. Wir betrachten cn mit geradem Index n = 2m undbeachten 4n = 8m = 0 = 1. Dann konnen wir den nullten mit dem vierten, denersten mit dem funften, den zweiten mit dem sechsten usw. zusammenfassen. Danngeht (8.27) uber in

n = 2m c2m =3

k=0

2km(ak + a4+k) =3

k=0

(2)km yk,

wobei wir zur Abkurzung

yk := ak + a4+k, k = 0, 1, 2, 3

gesetzt haben. Die c2m,m = 0, 1, 2, 3 ergeben sich also durch diskrete Fourierentwick-lung der halben Dimension.Analog bekommen wir die c2m+1 fur ungerade Indizes.

c2m+1 =3

k=0

2kmk(ak a4+k) =3

k=0

(2)km y4+k

mit der analogen Abkurzung

y4+k = k(ak a4+k), k = 0, 1, 2, 3.

Damit ist unser Ausgangsproblem auf diese zwei neuen Berechnungen der halbenDimension reduziert. Jede dieser Gleichungen wird nun erneut nach demselben Schemazu einer weiteren Transformation wiederum der halbe Dimension zusammengefasst.



304 8 Fourierreihen

Das ergibt die Formeln:

c4l =1

k=0

(2)2lk(yk + y2+k) =

k = 01(4)lk zk, l = 0, 1

c4l+2 =1

k=0

(2)2lk(2)k(yk y2+k) =

k = 01(4)lk zk+2, l = 0, 1

c4l+1 =1

k=0

(2)2lk(y4+k + y6+k) =

k = 01(4)lk zk+4, l = 0, 1

c4l+3 =1

k=0

(2)2lk(2)k(y4+k y6+k) =

k = 01(4)lk zk+6, l = 0, 1,

wobei gesetzt wurde

zk = yk + y2+k, zk+2 = (2)k(yk y2+k), zk+4 = yk+4 + yk+6,zk+6 = (2)k(yk+4 yk+6).

Aus diesen Formeln ergibt sich jetzt der endgultige Zusammenhang zwischen ck undak:

c0 = z0 + z1, c4 = z0 z1, c2 = z2 + z3, c6 = z2 z3,c1 = z4 + z5, c5 = z4 z5, c3 = z6 + z7, c7 = z6 z7.

Als Ergebnis sehen wir, da wir in (8.27) 64 Multiplikationen hatten ausfuhren mussen,nun sind wir bei 5, in Worten funf Multiplikationen angelangt. Dabei ist auch nocheine mit 2 = i, was ja nur eine Vertauschung von Real- und Imaginarteil mit einemVorzeichenwechsel bedeutet. Da liegt der groe Gewinn der FFT.Zum leichteren Verstandnis der folgenden Skizzen haben wir in Abbildung 8.5 zunachstmal den Fall N = 4 dargestellt, wobei links die Formeln stehen und rechts die Skizzeverdeutlichen soll, wie man die Formeln graphisch sehen kann, um sie so leichter zubehalten.Fur N = 8 haben wir das Ergebnis in der Abbildung 8.6, S. 306 zusammengefat. DiePfeile bedeuten dabei, da man die entsprechenden Werte addieren mu, ein weistauf einen Vorzeichenwechsel hin.Der interessierte Leser fragt vielleicht, die interessierte Leserin ganz sicher nach derVerallgemeinerung fur groere N . Wir wollen daher in Abbildung 8.7, S. 306 dasSchema fur N = 16 mit Formeln und nicht als Grak wie oben angeben. Zur eigenenProgrammierung ist das sicher genauso gut geeignet. Die Verallgemeinerung durftedann auf der Hand liegen.Abschlieend darf eine kleine, aber lustige Bemerkung nicht fehlen. Wenn man sich dieletzte Spalte der neuen Fourierkoezienten jeweils anschaut, so stellt man fest, dadie cn nicht mehr in ihrer naturlichen Reihenfolge stehen. Sie haben sich eigentumlichvertauscht. Die zugehorige Merkregel sollte schon ein kleines Schmunzeln auf das Ge-sicht des Lesers zaubern. Man schreibe die Nummer des Koezienten ai in der ersten




a0 z0 = a0 + a2 c0 = z0 + z1

a1 z1 = a1 + a3 c2 = z0 z1

a2 z2 = a0 a2 c1 = z2 + z3

a3 z3 = (a1 a3) c3 = z2 z3

a0

a1

a2

a3

z0

z1

z2

z3

c0

c2

c1

c3

Abbildung 8.5: Die FFT fur N = 4. Die Formeln links erklaren, wie wir aus dengegebenen Koezienten ai die komplexen Koezienten der diskreten FourierReiheberechnen konnen.

Koezient ai Dualzahl Dualzahl ruckwarts Koezient cia0 OOO OOO c0a1 OOI IOO c4a2 OIO OIO c2a3 OII IIO c6a4 IOO OOI c1a5 IOI IOI c5a6 IIO OII c3a7 III III c7

Tabelle 8.1: Bitreversal mapping fur N = 8

Spalte als Dualzahl. Diese drehe man anschlieend um, lese sie also von hinten nachvorn, und schon erhalt man die Nummer des zugehorigen cj . Wer kommt blo aufsolch eine Idee? Wir geben ein Beispiel.Fur N = 8 lautet 3 in Dualdarstellung OII, wobei wir mit O die Null und mit I dieEins bezeichnen. Von hinten nach vorn ist das IIO, also 6, daher steht in der Reihemit a3 der Fourierkoezient c6. Hubsch, nicht?Fur unsere Standardaufgabe der FFT mit N = 8 schreiben wir diese Zuordnung inder Tabelle 8.1, S. 305 vollstandig auf:Im englischen heit dieses Vorgehen Bitreversal mapping.



306 8 Fourierreihen

a7

a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0 y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

c0

c4

c2

c6

c1

c5

c3

c7w3

w2

w

w2

w2

!

!

!

!

Abbildung 8.6: Schema zur schnellen FourierAnalyse (FFT) fur N = 8

a0 x0 = a0 + a8 y0 = x0 + x4 z0 = y0 + y2 c0 = z0 + z1a1 x1 = a1 + a9 y1 = x1 + x5 z1 = y1 + y3 c8 = z0 z1a2 x2 = a2 + a10 y2 = x2 + x6 z2 = y0 y2 c4 = z2 + z3a3 x3 = a3 + a11 y3 = x3 + x7 z3 = (y1 y3)4 c12 = z2 z3a4 x4 = a4 + a12 y4 = x0 x4 z4 = y4 + y6 c2 = z4 + z5a5 x5 = a5 + a13 y5 = (x1 x5)2 z5 = y5 + y7 c10 = z4 z5a6 x6 = a6 + a14 y6 = (x2 x6)4 z6 = (y4 y6) c6 = z6 + z7a7 x7 = a7 + a15 y7 = (x3 x7)6 z7 = (y5 y7)4 c14 = z6 z7a8 x8 = a0 a8 y8 = x8 + x12 z8 = y8 + y10 c1 = z8 + z9a9 x9 = (a1 a9) y9 = x9 + x13 z9 = y9 + y14 c9 = z8 z9a10 x10 = (a2 a10)2 y10 = x10 + x14 z10 = y8 y10 c5 = z10 + z11a11 x11 = (a3 a11)3 y11 = x11 + x15 z11 = (y9 y11)4 c13 = z10 z11a12 x12 = (a4 a12)4 y12 = x8 x12 z12 = y12 + y14 c3 = z12 + z13a13 x13 = (a5 a13)5 y13 = (x9 x13)2 z13 = y13 + y15 c11 = z12 z13a14 x14 = (a6 a14)6 y14 = (x10 x14)4 z14 = y12 y14 c7 = z14 + z15a15 x15 = (a7 a15)7 y15 = (x11 x15)6 z15 = (y13 y15)4 c15 = z14 z15

Abbildung 8.7: Tabelle zur schnellen Fourieranalyse (FFT) fur N = 16



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