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Hydrodynamik – strömende Flüssigkeiten und Gase kollektive Bewegung von Massenelementen eines Kontinuums Bahnkurve Zeitaufnahme der Bewegung eines Massenelementes dm dm 1 t 2 t 3 t Stromröhre Mantelfläche einer Stromröhre wird von Stromlinien gebildet Es kann keine Masse durch die Mantelfläche fließen („Schlauch“) Stromlinie Geschwindigkeitsfeld zu einem Zeitpunkt t dm v : v von Betrag : v von Richtung „Stromliniendichte“ 0 v = Ort t stationäre Strömung: An einem festen Ort ist die Geschwindigkeit konstant. Bahnkurve und Stromlinie fallen hier zusammen. Massenstrom, I Massenstromdichte, [] 1 1 = = = ∫∫ s kg I A d j dt dm I A A A d j A [] 2 1 2 1 = = m s kg j dA dt m d j : ρ Massendichte v = ρ j . const t = Richtung der Tangente j 1 v 2 v 2 1 v v > 1 I 2 I

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  • Hydrodynamik – strömende Flüssigkeiten und Gasekollektive Bewegung von Massenelementen eines Kontinuums

    Bahnkurve

    Zeitaufnahme der Bewegung eines Massenelementes dm

    dm

    1t

    2t 3t

    Stromröhre

    Mantelfläche einer Stromröhrewird von Stromlinien gebildet

    Es kann keine Masse durchdie Mantelfläche fließen

    („Schlauch“)

    Stromlinie

    Geschwindigkeitsfeld zu einem Zeitpunkt t

    dm

    v

    :v von Betrag :v von Richtung

    „Stromliniendichte“0v =

    ∂∂

    Ortt

    stationäre Strömung:

    An einem festen Ort ist die Geschwindigkeit konstant.Bahnkurve und Stromlinie fallen hier zusammen.

    Massenstrom, I Massenstromdichte,

    [ ] 11 −⋅=

    ⋅== ∫∫skgI

    AdjdtdmI

    AA

    Ad

    j

    A

    [ ] 21

    2

    1 −− ⋅⋅=⋅

    =

    mskgjdAdtmdj

    :ρ Massendichte

    v

    ⋅= ρj

    .constt =

    Richtung der Tangente

    j

    1v

    2v

    21 vv

    >

    1I

    2I

  • Kontinuitätsgleichung – Erhaltung der Masse

    integral differentiell

    ∫∫∫ ∫∫ ⋅=⋅∂∂

    −=−V AO

    AdjdVtdt

    dm ρ

    Abnahme der Masse in dem Volumen V, wenn effektiv Masse durch die Oberfläche AO herausströmt.

    dxdy

    dzjx(x) jx(x+dx)

    jy(y)jz(z)

    jz(z+dz)jy(y+dy)

    Massenbilanz für das Volumen V Massenbilanz für das Volumenelement dV[ ][ ][ ] dzdydx

    dtdydxzjdzzj

    dzdxyjdyyjdzdyxjdxxj

    zz

    yy

    xx

    ⋅⋅⋅∂

    −=⋅⋅−++

    +⋅⋅−+++⋅⋅−+

    ρ)()(

    )()()()(

    Richtung-z und -yfür analog , )()( dxxjxjdxxj xxx ⋅∂∂

    +=+

    ( )t

    ejejejez

    ey

    exz

    jyj

    xj

    zzyyxxzyxzyx

    ∂∂

    −=++⋅

    ∂∂

    +∂∂

    +∂∂

    =∂∂

    +∂

    ∂+

    ∂∂ ρ

    tjdivj

    ∂∂

    −==⋅∇ρ : Divergenz des Vektors j („Ergiebigkeit“) für das Volumenelement dVjdiv

    m(t)V AO

    1j

    2j

    3j

    4j

    5j

    Ad

  • Kontinuitätsgleichung – Erhaltung der Masse

    0 =⋅+⋅∂∂

    =⋅+ ∫∫∫∫∫∫∫ AdjdVtAdjdtdm

    OO AVA

    ρ

    Integralsatz von GAUSS∫∫∫∫∫ ⋅=⋅VA

    dVjdivAdjO

    0 =+∂∂ jdiv

    Für eine Stromröhre gilt:

    I1

    I2A1

    A2

    .)( const=ρ

    .1 constj =

    .2 constj =

    2211

    2211

    21

    vv AAAjAj

    II

    ⋅=⋅⋅=⋅

    =

    integral differentiell

  • Grundgleichung der Hydrodynamik

    EULER – Gleichung

    pgradktdt

    dA

    1v)v(vvρ

    −=⋅⋅∇+∂∂

    Beschleunigung von dmbei festem Ort

    Beschleunigung von dmin Orte mit anderer

    Geschwindigkeit

    äußere Kräfte Kräfte durch Druckgradienten

    dmFdk AA

    =

    dmFd

    k pp

    =

    Spezialfall: stationäre Strömung einer idealen Flüssigkeit

    0v =∂∂

    Ortt

    ),,(vv zyx =0

    .==

    ηρ const

    nur konservative Kräfte!

    dmrdE

    rUUgradk potA)(

    )(

    ≡−= pgradUgrad

    dtd 1 v

    ρ−−=

    Integration längs einer Stromlinie (v II dv)

    222211

    21 v2

    v2

    pUpU +⋅+⋅=+⋅+⋅ ρρρρ .v2

    2 constpU =+⋅+⋅ ρρbzw.

    })],(),(),([v)],(),(),([v)],(),(),([v{vv ttztytxtztytxtztytx zyx

    =

    ideale Flüssigkeit

    rdpgradrdUgraddrddtd

    ∫∫∫∫ ⋅−⋅−=⋅=⋅2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    1 vvvρ

    dtrd ⋅= vmit

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    221 1v pU ⋅−−=

    ρ

    stationäre Strömung

  • BERNOULLI – Gleichung Stationäre Strömung einer idealen Flüssigkeit im Schwerefeld der Erde

    zgdm

    rdErU pot ⋅=≡

    )()(

    zgdmdEpot ⋅⋅=

    .v2

    2 constppzg ges ==+⋅⋅+⋅ ρρ

    dynamische Druckbzw.

    Staudruck

    Schweredruckbzw.

    hydrostatische Druck

    statische Druck Gesamtdruck

    Spezialfall: horizontale Strömung

    222211

    21 v2

    v2

    pzgpzg +⋅⋅+⋅=+⋅⋅+⋅ ρρρρ

    .v2

    2 constpp ges ==+⋅ρ

    2221

    21 v2

    v2

    pp +⋅=+⋅ ρρ

    Venturidüse

    11

    1

    v pA

    22

    2

    v p A

    2211 vv AA ⋅=⋅ 2121 vv

    pp <>

  • ∫ ⋅⋅⋅⋅∆

    =

    ⋅⋅⋅∆

    =

    R

    r

    drrl

    pr

    lrp

    drd

    η

    η

    2)(v

    2

    v

    Innere Reibung der Flüssigkeiten und GaseLaminarströmung (Schichtenströmung) und NEWTON‘sche Reibungskraft

    dydAFR

    v⋅⋅=η

    η : dynamische Viskosität (Zähigkeit)

    ρη

    : kinematische Viskosität (Fluidität) v=0

    v=v0 pF

    .v0 const=

    RF A

    y GrenzschichtD v=v(y)

    Reibung zwischen Flüssigkeitsschichten

    2

    v2

    0

    rpFdrdlrF

    FF

    p

    R

    RP

    ⋅⋅∆=

    ⋅⋅⋅⋅−=

    =+

    π

    πη

    stationäre Strömung

    Beispiel: Laminarströmung durch ein dünnes Rohr (D > R), Gesetz von HAGEN-POISEUILLE

    ( )224

    )(v rRl

    pr −⋅⋅⋅

    ∆=

    η

    rR

    l∆p=p1-p2>0

    HAGEN-POISEUILLE

    parabolisches Geschwindigkeitsprofil:

    Massenstrom: drrrdAjIR

    ⋅⋅⋅⋅=⋅= ∫∫ ∫ πρ 2)(v0

    4

    8R

    lpI ⋅

    ⋅⋅⋅⋅∆

    ρπ

    v

    Reibung zwischen Zylindermantelflächen

    r0

    0)(v =R

    -R

    p1 p2

    D: Dicke der Grenzschicht

  • Laminarströmung um eine Kugel, STOKES‘sche Reibungskraft

    v6 ⋅⋅⋅⋅= RFR ηπR: Kugelradiusv: Relativgeschwindigkeit Kugel – Flüssigkeit

    Beispiel: Bewegung einer Kugel in einer viskosen Flüssigkeit im Schwerefeld der Erde

    dtv dmFFF KRAG ⋅=++

    dtvv6 dmRgmgm KFlK ⋅=⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅ ηπ

    dtvv21

    dCC =⋅−

    Substitution:

    Trennung der Variablen + Integration ∫ ∫−=⋅−=

    ⋅−=⋅−=

    dtCddtdξ

    C

    dtdξ

    CdtdCC

    22

    221

    1

    1v v

    ξξξ

    ξ

    KK

    FlK

    mRC

    mmmgC ⋅⋅=−⋅= ηπ6 mit 21

    0)0( v:AB ~ln)vln( 221 ==+⋅−=⋅− tCtCCC

    [ ])exp(1)(v 22

    1 tCCCt ⋅−−⋅=

    η

    v(t=0)=0

    v(t)=?

    z

    FG

    FA FR

    v(t)

    t

    v(t→∞)=C1/C2

    0

    1~ CC =

    Rmmg

    CCt FlK

    ⋅⋅⋅−

    ⋅==∞→ηπ6

    )(v2

    1

  • Beispiele für eine Laminarströmung(Umströmung verschiedener Körper)

    Quelle: R. W. Pohl, Mechanik und Akustik, Springer, Berlin, 1930

  • DAdyAyDdm(y)E

    DD

    kin ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

    =⋅=∆ ∫∫ ρρ 202

    0

    20

    2

    v61v

    21

    2v

    l: charakteristische Länge des umströmten Körpersv0: Relativgeschwindigkeit Körper – Flüssigkeit/Gas

    0v6

    ⋅⋅

    ⋅<ρηlDGrenzschichtdicke

    Im Bereich der Grenzschicht entstehen Wirbel, d.h. in dem Gebiet in welchem die durch Reibung veränderte Strömung in unmittelbarer Nähe des umströmten Körpers in eine Strömung wie beieiner idealen Flüssigkeit übergeht. Je dünner die Grenzschicht ist, d.h. je „abrupter“ der Übergang zur „normalen“ Strömung ist, um sogrößer ist die Wahrscheinlichkeit der Wirbelbildung!

    Prandtl‘sche GrenzschichtdickeGrenzschichtbereich eines umströmten Objektes:

    Über die Grenzschichtdicke D ist die Reibungsarbeit WRgrößer als die Änderung der kinetischen Energie. v=0

    v=v0

    GrenzschichtD yD

    y ⋅= 0v)(v

    lD

    AdlD

    Adldy

    ydAWll

    DR ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫ 0

    0

    0

    0

    vv)(v ηηη

    DR

    Dkin WE

  • Wirbel, mathematische Beschreibung von WirbelnUnter einem „echten“ Wirbel versteht man im allg. geschlossene Stromlinien.

    v

    ⋅= ρj

    ∫∫∫ ⋅=⋅Au

    Adjrotrdj

    Integralsatz von STOKES

    ∫∫ ⋅⋅ rdrdj v bzw.

    Wirbelstärke bzw. Zirkulation

    Wirbeldichte bzw. Vortizitätv bzw.

    rotjrot

    Ist bzw. ,dann kann das Vektorfeld auch durch ein skalares Potential dargestellt werden,z.B. bei der Zirkulation um einen Zylinder(Potentialwirbel).

    0 =jrot

    0=⋅∫ rdj

    Eigenschaften von Wirbeln:Man unterscheidet freie und erzwungene Wirbel.

    → Wirbel sind ringförmige oder spiralförmige rotierende Flüssigkeiten/Gase→ Wirbel besitzen einen Drehimpuls→ Wirbel sind kompakte und stabile Gebilde (Rauchringe, Tornados, Windhosen, Wasserwirbel)

    mit hohem Energieinhalt → bewegte Wirbel in einer Flüssigkeit bzw. in einem Gas bezeichnet man als turbulente Strömung.

    siehe „Helmholtz´sche Wirbelsätze“

  • Beispiele:

    jrotrdju

    bzw. ∫ ⋅ jAdjA

    div bzw. ∫∫ ⋅Wirbel: Quellen/Senken:

    0=jdiv

    0 ≠jrot

    (a) wirbelfreies Quellenfeld

    0≠jdiv

    0 =jrot

    (c) Spezialfall: Umströmung eines Zylinders – „Potentialwirbel“

    „Wirbel“ ohne Vortizität: 0 v0 v1~v === zrrc

    rϕϕ

    1r

    2r

    0vvv2

    21

    12211 =⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅∫ rcr

    rcrrrrd ϕϕϕϕ

    0v

    v)v(1

    vvz

    vv1v

    =

    ∂∂−∂

    ⋅∂⋅+

    +⋅

    ∂∂−∂

    ∂+⋅

    ∂∂

    −∂∂⋅=

    rot

    err

    r

    erzerrot

    zr

    zrr

    z

    ϕ

    ϕ

    ϕ

    ϕϕ

    Charakterisierung von Vektorfeldern

    (b) quellenfreies Wirbelfeld (Scherströmung)

  • Beispiele zur Wirbelentstehung und Turbulenz

    Rührwirbel:(a) Azimutalwirbel unmittelbar

    nach dem Umrühren(b) Sekundärer Radialwirbel(c) Überlagerung der Strömungen

    Quelle: Bergmann – SchaeferLehrbuch der ExperimentalphysikBand 1: Mechanik-Relativität-Wärme,de Gruyter, 1998

    Quelle: Demtröder, Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme, Springer, 1994

    Quelle: W. Wien und F. Harms, Handbuch der Experimentalphysik, Band IV/1, Akadem. Verlagsges., Leipzig, 1931

    turbulenteStrömung

    Rauchwirbel

  • NAVIER-STOKES-Gleichung und Reynolds-Zahl

    gpt

    ⋅+∇⋅+−∇=

    ⋅⋅∇+∂∂

    ⋅ ρηρ vv)v(v 2

    v~~Re1~~v~)v~~(~

    v~ 2∇⋅+∇−=⋅⋅∇+∂∂ p

    t

    Transformation in eine dimensionslose Gleichung bei Abwesenheit äußerer Kräfte (Schwerkraft):

    Re als dimensionsloser Kontrollparameter:

    → stabil laminar→ stabil turbulent→ chaotisch

    REYNOLDS-Zahl, Redimensionslose Kennzahl zur Beschreibung der Strömung in viskosen Flüssigkeiten und Gasen

    ηρ vRe ⋅⋅= l kinetische Energie

    Reibungsarbeit∝

    Re hat zwei physikalische Bedeutungen:

    1. Charakterisiert den Umschlag von einer laminaren in eine turbulente Strömung.→ kritische Reynolds-Zahl (Rekrit)

    2. Re beschreibt die hydrodynamischeÄhnlichkeit, wenn ReObjekt=ReModell

    Re < Rekrit → laminare StrömungRe > Rekrit → stabil turbulente Strömung

    Kugel: Rekrit ≈ 1Rohr: Rekrit ≈ 103

    l: charakteristische Länge des Objektes

  • Re = 103

    1,3

    1,2

    0,35

    0,25

    0,1

    0,05

    cw cw cwfür objekttypischeGeschwindigkeit

    Fallschirm 1,4

    Mensch 1,2

    Radfahrer 1,1

    LKW 0,96

    PKW ≤ 0,3

    Delphin 0,0036

    Strömungswiderstand AcF WR ⋅⋅⋅=2v

    2(Re) ρ A: angeströmte Fläche

    cW(Re): Widerstandsbeiwert

    A

  • MAGNUS - Effekt

    v < vkritF Magnus-Kraft

    verspätete Ablösungder Grenzschicht

    schnelle Ablösungder Grenzschicht

    Asymmetrische Ablösungder Grenzschicht durch

    Rotation der Kugel

    v < vkrit

    Quertrieb

  • Hydrodynamischer Auftrieb

    Anfahrwirbel

    Zirkulation um Tragflügel

    anströmende Luft

    11 , v p

    2121 vv pp

    22 , v p

    Foliennummer 1Foliennummer 2Foliennummer 3Foliennummer 4Foliennummer 5Foliennummer 6Foliennummer 7Foliennummer 8Foliennummer 9Foliennummer 10Foliennummer 11Foliennummer 12Foliennummer 13Foliennummer 14Foliennummer 15Foliennummer 16