Hydrostatik Mechanik von Fluiden im statischen ... · Hydrostatik – die Summe aller angreifenden...

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Hydrostatik Mechanik von Fluiden im statischen Gleichgewicht Fluide: Stoffe, die sich unter Einwirkung von Schub- spannungen fortlaufend deformieren −→ in ruhendem Fluid k ¨ onnen keine tangentia- len Spannungen auftreten 1

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Hydrostatik

Mechanik von Fluiden im statischen Gleichgewicht

Fluide: Stoffe, die sich unter Einwirkung von Schub-spannungen fortlaufend deformieren

−→ in ruhendem Fluid konnen keine tangentia-len Spannungen auftreten

1

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Hydrostatik

– die Summe aller angreifenden Krafte ver-schwindet

– die Fluidelemente bewegen sich nichtoder mit konstanter Geschwindigkeit

– es existieren nur Normalspannungen, kei-ne Schubspannungen

τ

Normalspannungen sind immer Druckspannungen(keine Zugspannungen, da innere molekularen Krafte zu klein)

2

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Hydrostatische Grundgleichung

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���������������

���������������

���������������

���������������

dA

dz

z

g Alle Großen (Druck p, Dichte ρ, . . .)sind Funktionen der Koordinate zp(z), ρ(z), . . .

Gleichgewicht der Krafte

∑Fz = 0

−→ p(z)dA − p(z + dz)dA − G = 0G = ρ(z + dz

2 ) g dz dA

3

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Hydrostatische Grundgleichung

Taylorreihe von p und ρ:

p(z + dz) = p(z) + dpdzdz + d2p

dz2dz2

2 + · · ·

ρ(z + dz2 ) = ρ(z) + dρ

dzdz2 + d2ρ

dz2dz2

4 + · · ·

p dA − (p + dpdzdz − (ρ + dρ

dzdz2 )g dz) dA = 0

−dpdzdzdA − ρ g dz dA −

dz

dz2

2g dA

︸ ︷︷ ︸≈0

= 0

−→dp

dz= −ρg

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Druckverteilung

Integration fur inkompressible Fluide(ρ = konst und ~g = konst)

dp

dz= −ρ g −→ dp = − ρ g dz

−→ p + ρgz = konst Hydrostatische Grundgleichung

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Druckverteilung

Integration fur kompressible Fluide

Annahme: perfektes Gas : ρ =p

RT

isotherme Atmosph are: T = T0 = konst

dp

dz= −ρ g −→ dp = −ρ(z) gdz = −

p(z)

RTgdz

∫ p1

p0

dp

p= −

∫ z1

z0

g

RTdz

ln p1 − ln p0 = lnp1

p0= −

g(z1 − z0)

RT0

−→ p1 = p0 e−

g∆zRT0

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Druckverteilung

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2000 4000 6000 8000 10000

p(z)

barometrische Hohenformel

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Hydrostatischer Auftrieb

Ein Korper, der teilweise oder vollstandig in einem Fluid unterge-taucht ist, erfahrt einen scheinbaren Gewichtsverlust.

−→ Auftrieb

Parallelepiped in einem Fluid mit der Dichte ρF

p(h)

p(h+l)

l

hzg

pa

A

ρF

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Hydrostatischer Auftrieb

Resultierende Kraft in Fp in z-Richtung:

Fp = ( p(h) − p(h + l)) A

Hydrostatischer Druck: p(z) = pa + ρF gz

−→ Fp = ( pa + ρFgh − pa − ρFg(h + l)) A�

���

��

��

��

��

��

��

Fp = −ρF g lA︸︷︷︸

Volumen

= −ρF g τ = FL (ARCHIMEDES)

Auftriebskraft ⇐⇒ resultierende Druckkraft

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STEVIN’sches Erstarrungsprinzip

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A

g

p a

ρ

G

Die Kraft auf eine beliebige Flache A im Fluid entspricht dem Ge-wicht der Flussigkeitssaule oberhalb der Flache plus dem Ober-flachendruck multipliziert mit der Projektionsflache.

F = G + paA

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STEVIN’sches Erstarrungsprinzip

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������

������

������

������

������

�������������������

���������������������������������������

����������������������������������������������������

����������������������������������������������������

����������������������������������������������������τ

A

A

A

τ

τ

τ

u

l

ρ

p

u

l

Gesamtkraft auf einen Korper mit dem Volumen τ

FL = pa Ap + ρgτu − pa Ap − ρgτl == −ρg(τl − τu) = − ρgτ

−→ FL = − ρ g τ

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5.2

Ein Behalter ist mit einem Fluid der Dichte ρ gefullt. Der Abfluss desBehalters ( Fullhohe h ) ist durch eine Halbkugelschale ( Radius R,Gewicht G ) abgeschlossen.

Gegeben: h, ρ, R, G, g

Welche Kraft F ist notwendig, um den Abfluss zu offnen?

Hinweis: Das Volumen einer Kugel ist: Vk =4

3π R3

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5.2

������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������

G

F

Fp

∑F = 0

F − G + Fp = 0F = G − Fp

Fp = VHK ρw g − ρw g hAHK

Die Halbkugel ist nicht vollstandig benetzt.

Fp = 12

43 π R3 ρw g − ρw g h π R2

−→ F = G − ρw g π R2 (23 R − h)

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5.5

Das unten skizzierte Wehr der Lange L trennt zwei Wasserbeckenmit unterschiedlicher Wassertiefe voneinander ab.

Bestimmen Sie den Betrag der Kraft, die das Wasser auf das Wehrausubt.

Gegeben: ρ, g, L, a

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5.5

1 F1 =

d F1 =

p (z1) · L · ds

Koordinatentransformation : mit S =z1

cos α; ds =

d z1

cos α

F1x = F1 · cos α15

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5.5

F1z = − F1 · sin α

=⇒ F1x =

2a∫

0

cos α p(z1) · Ld z1

cos α=

2a∫

0

ρ g z1 L d z1 = 2 ρ g a2 L

F1z = −

2a∫

0

sin α p(z1)·Ld z1

cos α= −

2a∫

0

tan α·ρ g z1 L d z1 = −4

3ρ g a2 L

mit tan α =2

3

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5.5

2 F2x = 0 ; F2z = 2ρ g a2 L

3 F3x = +

4a∫

2a

p(z1)·L dz1 = +

4a∫

2a

ρ g z1 L dz1 = 6 ρ g a2 L

F3z = 04 , 5 , 6

=⇒ F45z =1

2ρ · g · a2 · L ; F6z = 0

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5.5

F456x = −ρ g 5a

2· 5a · L = −

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2ρ g a2 · L

Fx =∑

i

Fix = −9

2ρ g a2 L

Fz =∑

i

Fiz = +7

6ρ g a2 L

Fges =√

F 2x + F 2

z = 4.65 ρ g a2 L

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Beispiel: Ballon in der Atmosph are

g

F

z

z

p(z)(z)ρ

Α

Nutzlast

Atmosphare −→ Gas ρ = ρ(z)

barometrische Hohenformel

p

p0=

ρ

ρ0= e

−gz

RLT0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2000 4000 6000 8000 10000

p(z)

Druckverteilung

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Beispiel: Ballon in der Atmosph are

typische Werte∆z = 10 m Dichteanderung in ∆z

T0 = 290 K ⇐⇒ρ(z + dz) − ρ(z)

ρ(z)= e

−g∆z

RLT0 − 1

RL = 288 Nmkg K ≈ 1.2 0/00

−→ Dichtegradient uber der Ballonhohekann vernachlassigt werden.

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Verschiedene Typen von Ballons

τ

p mg

p

i

a

τp

mg

i

1.) starr, offen(hot air balloon)

offen −→ pi = pa

starr −→ τ = konstoffen −→ m 6= konst

2.) ideal schlaffgeschlossen(Wetterballon)

keine Krafte −→ pi = pa

geschl. −→ mg = konstschlaff −→ τ 6= konst

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Verschiedene Typen von Ballons

p

mgi

τ3.) starrgeschlossen(Zeppelin)

kein Druckausgleich−→ pi 6= pa

geschl. −→ mg = konstkeine Deformation −→ τ = konst

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Beispiel

Ein starrer, geschlossener Ballon mit der Masse mN (einschließlichNutzmasse) enthalt die Gasmasse mG. Das Gasvolumen τ und derInnendruck im Ballon ist pi. Das Volumen der Nutzlast τN sei gege-nueber τ vernachlassigbar. Der Ballon befindet sich in einer isother-men Atmosphare mit der Temperatur To. Die Temperatur des Gases(RG) ist gleich der Temperatur in der umgebenden Luft (RL).Gegeben: g, τ, τN << τ,mg,mN , ρo, Ti = T = T0 = konst,RL, RG

z

ρo

p , i

pa

τ g

m

mN

g

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Beispiel

a) Wie groß ist die maximale Steighohe des Ballons, wenn der Bal-lon am Boden festgehalten werden muss?b) Nach einer Kollision mit einem Vogel hat der Ballon auf der Un-terseite ein Loch. Wird der Ballon nun steigen oder sinken?c) Bestimmen Sie die neue maximale Steighohe hmax fur pi > pa(hmax)

a)∑

F = 0FA − FG − FN = 0FA = ρLgτFG + FN = (mG + mN )g

ρLgτ = (mN + mG)g −→ ρL = mG+mNτ

ρL(z) = ρoe−

gzRLTo

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Beispiel

ρoe−

gzmaxRLTo = mG+mN

τ −→ −gzmaxRLTo

= ln(

mG+mNτρo

)

zmax = RLTog ln

(τρo

mG+mN

)

b)2 Falle:pi > pa −→ mG sinkt −→ zmax steigtpi < pa −→ mG steigt −→ zmax sinkt

c)FA − FGLOCH

− FN = 0

FG = mGg −→ ρg = piRGTo

= mGτ

ρgLOCH = paRGTo

mit pa = RLToρL

ρgLOCH = RLRG

ρL

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Beispiel

ρLgτ − ρgLOCHgτ − mNg = 0

ρL

(

1 − RLRG

)

= mNτ mit ρL = ρoe

−gz

RLTo

hmaxLOCH = RLTog ln

(τρomN

RG−RLRG

)

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