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“Funktionentheorie” — 2012/5/24 — 23:48 — page 41 — #47 ii

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17 Isolierte Singularitäten 41

a f (z) = 1/(tan(z)− z) b f (z) = exp(1/z)

Abb. 9. Phasenportraits von Singularitäten: Pol (a); wesentliche Singularität (b).

17 Isolierte Singularitäten

Definition. Ist f ∈ H(U \ {z0}), so heißt z0 ∈ U isolierte Singularität von f .Wir unterscheiden drei Typen solcher Singularitäten (siehe Abb. 9):

• lässt sich f holomorph nach z0 fortsetzen, so heißt z0 hebbare Singularität;• gilt f (z)→ ∞ für z→ z0, so heißt z0 Pol von f ;• ist z0 weder hebbar noch Pol, so heißt z0 wesentliche Singularität von f .

Pole sind also über das Verhalten der Werte von f in der Nähe derSingularität z0 definiert; wir zeigen zunächst in den folgenden beiden Sätzen,dass sich auch die beiden anderen Typen so charakterisieren lassen.

Satz (Riemann’scher Hebbarkeitssatz). Es sei f ∈ H(U \ {z0}) um z0 ∈ Ubeschränkt. Dann ist z0 eine hebbare Singularität von f .

Beweis. Definiere g(z0) = 0 und g(z) = (z− z0)2 f (z) in U \ {z0}. Wegender lokalen Beschränkung von f existiert g′(z0) = 0, so dass g ∈ H(U).Taylorentwicklung in B = Br(z0) ⊂ U liefert

g(z) =∞

∑n=2

an(z− z0)n (z ∈ B).

Setzen wir nun f (z0) = a2, so folgt aus f (z) = g(z)/(z− z0)2 (z 6= z0)

f (z) =∞

∑n=0

an+2(z− z0)n (z ∈ B).

Also ist f holomorph in B und damit auch in U.

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“Funktionentheorie” — 2012/5/24 — 23:48 — page 48 — #54 ii

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48 IV Potenzreihen in Aktion

f (z) = a0 + a1z + · · ·+ amzm + O(zm+1) (z→ 0).

Der Trick besteht nämlich darin, bereits in jedem Zwischenschritt all jeneEntwicklungsterme wegzulassen, die im Endergebnis zu Termen der Ord-nung O(zm+1) führen: Was ohnehin auf den „Müll“ geworfen wird, brauchtgar nicht erst berechnet zu werden.

Beispiel. Um die Koeffizienten der Taylorentwicklung (12.4) von tan z biszur Ordnung O(z7) anzugeben, rechnen wir für z→ 0

tan z =sin zcos z

=z− z3/3! + z5/5! + O(z7)1− z2/2! + z4/4! + O(z6) =

z− z3/6 + z5/120 + O(z7)1− (z2/2− z4/24 + O(z6))

=(

z− z3/6 + z5/120 + O(z7)) (

1 + (z2/2− z4/24) + (z2/2)2 + O(z6))

= z + z3/3 + 2z5/15 + O(z7);

wobei wir die Taylorreihen (5.6) von sin und cos sowie – für die Division –die geometrische Reihe 1/(1− w) = ∑∞n=0 wn für |w| < 1 verwendet habenund ansonsten nur Polynome multiplizieren mussten. Das Ganze lässt sichnatürlich algorithmisch umsetzen; sehr effiziente Verfeinerungen dieser„Methode des intelligenten Weglassens“ stecken unter der Motorhaubegängiger Computeralgebra-Pakete.

In diesem Stile kann man auch Laurententwicklungen behandeln:

Beispiel. Um den Hauptteil der Laurentwicklung von 1/(tan z− z) um denPol z0 = 0 der Ordnung 3 (vgl. Abb. 9.a) anzugeben, rechnen wir für z→ 0

1tan z− z =

1z3/3 + 2z5/15 + O(z7)

=3z−3

1 + 2z2/5 + O(z4)

= 3z−3(

1− 2z2/5 + O(z4))= 3z−3 − 6z−1/5 + O(z). (18.1)

Der Hauptteil ist also 3z−3 − 6z−1/5. Nur die allereinfachsten solchen Be-rechnungen sollten per Hand durchgeführt werden, alles andere ist amComputer weit besser und fehlerfreier aufgehoben.

Auch implizit gegebene Potenzreihen lassen sich so behandeln:

Beispiel. Die Kombinatorik lehrt, aus der rekursiven Definition bezeichneterWurzelbäume direkt abzulesen, dass ihre Anzahl tn (für n Knoten) eineexponentiell erzeugende Funktion T(z) besitzt, welche die Gleichung

T(z) = z eT(z), T(z) =∞

∑n=0

tnn!

zn, (18.2)

http://goo.gl/neJL8http://goo.gl/ZmOhBhttp://de.wikipedia.org/wiki/Gewurzelter_Baumhttp://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion#Exponentiell_erzeugende_Funktion

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48 IV Potenzreihen in Aktion

f (z) = a0 + a1z + · · ·+ amzm + O(zm+1) (z→ 0).

Der Trick besteht nämlich darin, bereits in jedem Zwischenschritt all jeneEntwicklungsterme wegzulassen, die im Endergebnis zu Termen der Ord-nung O(zm+1) führen: Was ohnehin auf den „Müll“ geworfen wird, brauchtgar nicht erst berechnet zu werden.

Beispiel. Um die Koeffizienten der Taylorentwicklung (12.4) von tan z biszur Ordnung O(z7) anzugeben, rechnen wir für z→ 0

tan z =sin zcos z

=z− z3/3! + z5/5! + O(z7)1− z2/2! + z4/4! + O(z6) =

z− z3/6 + z5/120 + O(z7)1− (z2/2− z4/24 + O(z6))

=(

z− z3/6 + z5/120 + O(z7)) (

1 + (z2/2− z4/24) + (z2/2)2 + O(z6))

= z + z3/3 + 2z5/15 + O(z7);

wobei wir die Taylorreihen (5.6) von sin und cos sowie – für die Division –die geometrische Reihe 1/(1− w) = ∑∞n=0 wn für |w| < 1 verwendet habenund ansonsten nur Polynome multiplizieren mussten. Das Ganze lässt sichnatürlich algorithmisch umsetzen; sehr effiziente Verfeinerungen dieser„Methode des intelligenten Weglassens“ stecken unter der Motorhaubegängiger Computeralgebra-Pakete.

In diesem Stile kann man auch Laurententwicklungen behandeln:

Beispiel. Um den Hauptteil der Laurentwicklung von 1/(tan z− z) um denPol z0 = 0 der Ordnung 3 (vgl. Abb. 9.a) anzugeben, rechnen wir für z→ 0

1tan z− z =

1z3/3 + 2z5/15 + O(z7)

=3z−3

1 + 2z2/5 + O(z4)

= 3z−3(

1− 2z2/5 + O(z4))= 3z−3 − 6z−1/5 + O(z). (18.1)

Der Hauptteil ist also 3z−3 − 6z−1/5. Nur die allereinfachsten solchen Be-rechnungen sollten per Hand durchgeführt werden, alles andere ist amComputer weit besser und fehlerfreier aufgehoben.

Auch implizit gegebene Potenzreihen lassen sich so behandeln:

Beispiel. Die Kombinatorik lehrt, aus der rekursiven Definition bezeichneterWurzelbäume direkt abzulesen, dass ihre Anzahl tn (für n Knoten) eineexponentiell erzeugende Funktion T(z) besitzt, welche die Gleichung

T(z) = z eT(z), T(z) =∞

∑n=0

tnn!

zn, (18.2)

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SeriesB 1tanHzL - z , 8z, 0, 0

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Sloane, Dec 19 2008a(0) = 0a(n) = n ^ (n - 1), n >= 1n is a natural number.

LINKS Table of n, a(n) for n=0..18.FORMULA a(n) = 0 if n = 0

a(n) = n ^ (n - 1), n >= 1E.g.f.: A(x)=x*G(0) ; G(k)= 1 + x*(2*k+2)^(2*k)/((2*k+1)^(2*k) - x*

(2*k+1)^(2*k)*(2*k+3)^(2*k+1)/(x*(2*k+3)^(2*k+1) +(2*k+2)^(2*k+1)/G(k+1))) ; (continued fraction ). - Sergei N.Gladkovskii, Dec 30 2011

EXAMPLE a(25) = 25 ^ 24PROG (Other) unsigned long Prevonential(unsigned int n)

{if (n == 0)return 0;return pow(n, n - 1);}

CROSSREFS Cf. A000169.KEYWORD nonnAUTHOR ShaoJun Ying (dolphinysj(AT)gmail.com), Dec 15 2008STATUS approved

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