ICI3140 Métodos NuméricosProfesor : Dr. Héctor Allende-Cid

e-mail : hector.allende@ucv.cl

Proyecto

� Tópicos:� Numerical Optimization

� Mínimos Cuadrados

� Numerical Linear Algebra:

� SVD

� QR

� NMF

� Dimensionality Reduction

� PCA

� ICA

� Partial and Ordinary Differentiation Equations

� Numerical Simulation

� Montecarlo

� Aplicaciones

� Function Decomposition (Wavelet or Fourier)

� CUDA

ICI3140 – Dr. Héctor Allende 2

Repaso

ICI3140 – Dr. Héctor Allende 3

0)(

2

4

2

2

=++=

−±−=

cbxaxxf

a

acbbx

Los valores de x, se les denomina las

raíces de la función. Son los valores que

hacen que la función sea igual a 0.

Motivación

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2v

m

cg

dt

dv d−=

v: velocidad vertical [m/s]

t: tiempo [s]

g: aceleración de gravedad

c_d: coeficiente de arrastre

agrupado

m: masa del saltador

= t

m

gc

c

gmtv d

d

tanh)( Solución analítica m=68.1 [kg]

g=9.81[m/s^2]

c_d=0.25[kg/m]

Motivación

� Diversos estudios médicos indican que el riesgo de que

un saltador tenga problemas en sus vertebras aumenta

demasiado si después de 4 [s] de caída excede los 36

[m/s].

� De estudios previos Ud. sabe que la solución analítica

puede ser usada para predecir la velocidad:

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= t

m

gc

c

gmtv d

d

tanh)(

Motivación

� No se puede manipular la ecuación para resolver de

manera explícita.

� Por lo tanto si sustraemos v(t) de ambos lados de la

ecuación, da como resultado:

� La solución al problema es encontrar los valores de m

que hacen que la función sea igual a 0.

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)(tanh)( tvtm

gc

c

gmmf d

d

−

=

Objetivos

� Entender que son problemas de raíces y cuando ocurren

en ingeniería y ciencia.

� Saber como determinar raíces de manera gráfica.

� Resolver problemas de raíces con el método de la

bisección (y sus variantes)

� Resolver problemas de raices con el método de Newton

(y variantes)

� Entender la diferencia entre las 2 familias de métodos y

cuando aplicarlos en los distintos problemas.

Resolución gráfica

Resolución gráfica

Método de la Búsqueda Incremental

� Es un método para estimar en que intervalo se

encuentran las raíces.

� Se aprovecha de la situacion que si f(a)f(b)<0, siendo a y

b puntos sucesivos, entre a y b existe una raíz.

� ¿Qué pasa si la diferencia entre a y b es muy grande?

Método de la Bisección

� El método consiste en lo siguiente:� Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el

intervalo [a,b]

� A continuación se verifica que:

� Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es

igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada

� En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o

con f(b)

� Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado

en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo

� Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución

en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

Método Regula Falsi

� ¿Cómo se podría mejorar la estimación de la raíz y hacer

que la convergencia sea más rápida?

)()(

))((

ul

uluur

xfxf

xxxfxx

−

−−=

Tipos de Métodos

� Métodos basados en Intervalos

� Métodos Abiertos

Método del Punto Fijo

� Tenemos la función:

� Se aplica la tranformación:

� Se elige un valor inicial de x_i:

0)( =xf

xxfxgx +== )()(

)(1 ii xgx =+

Método del Punto Fijo

� Gráficamente:

Método del Punto Fijo

� Use el método de punto fijo para encontrar la raíz de:

� Para del punto inicial (3 iteraciones):

xexfx

−=−

)(

5005.00 =x

Método del Punto Fijo

� Use el método de punto fijo para encontrar la raíz de:

� Para del punto inicial (3 iteraciones):

xexfx

−=−

)(

5005.00 =x

ix

i ex−

+=1

Método de Newton-Raphson

� Es el método más usado.

� Se basa en la interpretación geométrica de la derivada.

� Con un arreglo conveniente:

1

0)()('

+−

−=

ii

i

xx

xfxf

)('

)(1

i

iii

xf

xfxx −=

+

Método de Newton-Raphson

� Volviendo al ejemplo anterior

� Para del punto inicial (3 iteraciones):

xexfx

−=−

)(

5.00 =x

Método de Newton-Raphson

� Volviendo al ejemplo anterior

� Para del punto inicial (3 iteraciones):

xexfx

−=−

)(

5.00 =x

1)(' −−=− x

exf

11

−−

−−=

−

−

+i

i

x

i

x

iie

xexx

Método de la Secante

� ¿Qué pasa cuando la derivada de una función es muy

“difícil”?

� ¿Puedo aproximar la derivada de alguna manera?

Método de la Secante

� ¿Qué pasa cuando la derivada de una función es muy

“difícil”?

� ¿Puedo aproximar la derivada de alguna manera?

� Reemplazando la ecuación anterior en:

ii

iii

xx

xfxfxf

−

−≅

−

−

1

1 )()()('

)('

)(1

i

iii

xf

xfxx −=

+

Método de la Secante

� Nos queda:

� Tenemos que elegir 2 estimaciones iniciales de x

)()(

))((

1

1

1

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx

−

−−=

−

−

+

mixfxf

xxxfxx

nx

nx

ii

iiiii ,...,2,

)()(

))((

1

1

1

21

10

=−

−−=

=

=

−

−

+

Relación entre encontrar raíces y optimización� Viendo el gráfico comente con su compañero como se

relacionan ambos tópicos.

Sistemas de Ecuaciones No lineales

� Más adelante, después de ver Sistemas de Ecuaciones

lineales.

� Problemas reales miles de variables y de ecuaciones.

4)2(22

2

=−+

=

yx

xy

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