III

Alogos

Die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahlen. Georg Cantor (1845 - 1918)

Kleinstaaten (Republik oder Tyrannis) GedankenfreiheitSeefahrendes Volk, Verbindung zwischen Asien und EuropaKeine privilegierte Priesterkaste, die neue Ideen bekämpft

600 - 500 v. Chr.Griechische Aufklärung

Neuer Gedanke: Die Welt kann verstanden werden!

parallelChina: Konfuzius Indien: Buddha

Thales von Milet (624 - 545)

Höhenmessung (Pyramide): Messung der Schattenlänge, zu der Zeit, wo der Körperschatten der Körpergröße gleich ist.

Alle Materie als belebt angenommen.Kenntnis von Magneteisenstein und Elektron (Bernstein)Vorhersage der Sonnenfinsternis vom 28. 5. 585

Pythagoras (570 - 500) = Mund des Apollon

Mutter: Parthenis (= Jungfrau) wurde vom Sonnengott Apollon geschwängert und von da ab zu dessen Ehren Pythais genannt

SamosÄgyptenKretaPersienBabylonSizilien

Pythagoras (570 - 500)

Eudemos Schüler des Aristoteles schrieb das erste Mathematikerverzeichnis: Pythagoras war der erste Mathematiker. Satz und Beweis!

SamosÄgyptenKretaPersienBabylonSizilien

Gründer einer bis 370 v. Chr. existierenden"Schule" (Geheimbund)Erkennungszeichen: Reguläres FünfeckGrundsatz: Alles ist ZahlPythagoras wurde nicht beim Namen genannt: "jener Mann""Er hat es selbst gesagt" beendete jede DebatteÄußerste Verschwiegenheit gegenüber Außenstehenden

PythagorasMarmorbüste 4. Jhdt v. Chr.

Sehet !

c2 = 4 * ab/2 + (a - b)2 = a2 + b2

abc

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

Vegetarier (glaubte an Seelenwanderung)

Keine direkte ÜberlieferungKeine hinterlassenen SchriftenKein Grabmal

Alles ist Zahl

2, 3, 4,...

und Proportion

ca

Hippasos von Metapont:Erste Erkenntnis des Irrationalen (ca. 450 v. Chr.)An den Ort der Entstehung versetzt, ersäuft, lebendig begraben (in Abwesenheit ), ...

Entdeckung der Irrationalität am gleichschenkligen Dreieck 2a2 = c2 oder am Goldenen Schnitt.

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2

Inkommensurabilität von Seite und Diagonale:Es gibt keinen noch so kleinen gemeinsamen Maßstab !

2a2 = c2 2 = =p q =

pq

2 = p/q, teilerfremd

2 = p2/q2

2q2 = p2

p2 gerade p gerade

p = 2z p2 = 4z2

2q2 = 4z2

q2 = 2z2

q2 gerade q gerade

p,q nicht teilerfremd

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2

Euklid (325 - 275)

Elemente, Buch 10: Lehre von den Inkommensurablen

Die Summe zweier Inkommesurablen ist zu den Summanden inkommensurabel (Bsp: 1 + 2).

Irrationale Zahlen: alogos = unaussprechlich

Nach Platon (427 - 348) besaß Theodoros von Kyrene Irrationalitätsbeweise für die nicht ganzen Wurzeln aller Zahlen bis 17.

Dessen Schüler Theaitetos (410 - 368) bewies dies für alle natürlichen Zahlen.

Frühe Behandlung des Irrationalen durch Eudoxos (408 - 355), Erfinder des Exhaustionsverfahrens.

Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen.

Division durch 3: Höchstens 2 verschiedene Reste 0 möglich. Periodenlänge höchstens 2.

Alle periodischen Dezimalzahlen sind Brüche.

Bsp.: 0,123123123... = 0,123

123 = 123,123 - 0,123 = (1000 - 1)0,123

0,123 = 123/999

Irrationale Zahlen können nicht periodisch sein. Sie besitzen eine unendliche Folge unperiodischer Dezimalstellen.

Auch alle abbrechenden Dezimalzahlen sind eindeutig als periodische Dezimalzahlen darstellbar:

100,999 - 10,999 = 9,999 - 0,999 (10 - 1)0,999 = 9

0,999 = 1,000 = 1

Alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind ganz oder irrational:

Quadrate von Brüchen sind wieder Brüche: (3/4)2 = 33 / 44

(Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung)

7 = p/q mit p,q teilerfremd 7qq = pp

9 = p/q 3q3q = pp p = 3q

und da p,q teilerfremd q = 1, p = 3

Theodoros von Kyrene besaß Beweise für alle Zahlen bis 17.

Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung

ist nicht trivial, da z. B. in den geraden Zahlen

60 = 30 2 = 10 6

Beweis der Eindeutigkeit für die ganzen Zahlen

4 = 22, 6 = 32,... sind eindeutig.

Sei pP = qQ die kleinste mehrdeutige Zerlegung

oBdA sei p > q und keine gleichen Faktoren vorhanden

(p-q)P = pP - qP = qQ - qP = q(Q-P) < qQ

(p-q) enthält nicht den Faktor q, da p und q prim.

Nullstellen (= Wurzeln) normierter Polynome

a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + xn mit a

Nullstellen (= Wurzeln) normierter Polynome

a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + xn = 0 mit a

x = uv teilerfremd

a0 + a1uv + a2

u2

v2 + ... + an-1un-1

vn-1 + un

vn = 0

a0vn-1 + a1uvn-2 + ... + an-1un-1 + v1

un = 0

Alle Terme außer dem letzten sind ganzzahlig. v teilt u nicht. Alle Wurzeln sind ganzzahlig (v = 1) oder irrational

a0 - xn = 0 a0vn-1 - v1

un = 0 n z

10 = n/m 10m2 = n2

n2 besitzt eine gerade Anzahl von Nullen am Ende der Dezimalentwicklung.

Bsp: n = 3 n2 = 9 n = 20 n2 = 400

10m2 besitzt eine ungerade Anzahl von Nullen am Ende der Dezimalentwicklung.

Links steht eine ungerade Anzahl Nullen, rechts eine gerade.

lg5 = n/m 5 = 10n/m 5m = 10n

Links steht eine ungerade Zahl, rechts eine gerade.

( 2 + 3 )2 = 2 + 2 6 + 3 ist irrational, da 6 irrational.

Stetige Teilung

a/b = b/(a-b) > 0

= 1/(- 1) - 1 = 1/

2 - - 1 = 0 (- 1)(+ 1) =

= 1/2 + (1 + 1/4)

= (1 + 5)/2 = 1,618...

...1111 1 2 = 1 +

= 1 + 1/

11

1

11

11

11

11

Martin Ohm (1792 - 1872):Bruder von Georg Simon Ohm

Goldener Schnitt (1835)

Luca Pacioli (1445 - 1517) ital. MathematikerLeonardo da Vinci (1452 - 1519) ital. Maler, Zeichner,Bildhauer, Architekt, Musiker, Naturforscher und Ingenieur

Stetige Teilung

Devina proportione (1509)

Johannes Campanus von Novarra (1220 -1296) Kaplan von Papst Urban IV. (1261-1264)Kanonikus in Paris, Euklid-ÜbersetzerIrrationalitätsbeweis für die stetige Teilung durch descente infinie

Stetige Teilung

Seien x1, x2 erzeuge durch Multiplikation mit dem Hauptnenner n1, n2

(n1 + n2)/n1 = n1/n2 mit n2 < n1

1 + n2/n1 = n1/n2

n1/n2 = n2/(n1 - n2)

(n1 - n2) n3 mit n3 < n2 < n1

(n2 + n3)/n2 = n2/n3

usw. ad infinitum

Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.

Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.

Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.

Tätigkeit als Ingenieur ab 1816 Professor in Frankreich und ItalienMit etwa 800 Abhandlungen ungewöhnlichproduktiver und vielseitiger Mathematiker

Cauchy-KriteriumQuotientenkriteriumWurzelkriteriumReihenverdichtungKonvergenzradiusDiagonalverfahrenAbleitung und Integral als GrenzwertTheorie komplexer Funktionen

|ak| < k = m

n

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

Potentielles Verständnis des Grenzwertes:Wenn die Werte, die eine Variable annimmt, unbeschränkt einem festem Wert zustreben, so dass sie schließlich von ihm so wenig abweichen wie man will, so wird derselbe der Grenzwert aller anderen genannt.

x = a x2 = a 2x2 = x2 + a

Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgenrationaler Zahlen definieren.

x2

a2x

x

n

n1n x2

a2

xx

Richard Dedekind (1831 - 1916)

promovierte 1852 in Göttingen bei C.F. Gauß

1862 bis zu seiner Emeritierung 1894 Professoram Polytechnikum in Braunschweig (heutige TU)

war aufgrund eines regen Briefwechsels mit G. Cantordirekt an dessen Formulierung der Mengenlehre beteiligt

A B = A B =

A 0 B

Dedekindscher Schnitt

Drei Fälle sind möglich:

A enthält eine größte Zahl: A = {aa 2}, B = {bb > 2}B enthält eine kleinste Zahl: A = {aa < 2}, B = {bb 2}A enthält keine größte und B keine kleinste Zahl: A = {aa < }, B = {bb > }A enthält eine größte und B eine kleinste Zahl

Alle Schnittzahlen der dritten Art bilden die Irrationalen Zahlen.

A B = A B =

A 0 B

Dedekindscher Schnitt

Drei Fälle sind möglich:

A enthält eine größte Zahl: A = {aa 2}, B = {bb > 2}B enthält eine kleinste Zahl: A = {aa < 2}, B = {bb 2}A enthält keine größte und B keine kleinste Zahl: A = {aa < }, B = {bb > }A enthält eine größte und B eine kleinste Zahl

Alle Schnittzahlen der dritten Art bilden die Irrationalen Zahlen.

"... so sind die negativen und die gebrochenenZahlen durch den menschlichen Geist erschaffen"

"... so sind die negativen und die gebrochenenZahlen durch den menschlichen Geist erschaffen"

"Jedesmal nun, wenn ein Schnitt vorliegt, welchernicht durch eine rationale Zahl hervorgebrachtwird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationaleZahl."

"In Rücksicht auf diese Befreiung der Elemente von jedem andern Inhalt (Abstraktion) kann man die Zahlen mit Rechteine freie Schöpfung des menschlichen Geistes nennen."

Was sind und was sollen die Zahlen? (1887): "Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet: die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen."

Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777)Sohn eines SchneidersAutodidakt, Universalgelehrter:Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosophzunächst Buchhalter, Schreiber bei einem Prof. in Basel, Hauslehrer in Chur, Redakteurab 1759 Mitglied der Bayerischen Akademie d. Wiss. ab 1765 Mitglied der Preuß. Akademie d. Wiss.1027 Manuskripte, davon 190 publiziert

Beweis der Irrationalität von e und (Kettenbruchentwicklung von tanx)

„Vorläufige Kenntnis für die, so die Quadratur des Circuls suchen“ (1770)

Kettenbrüche

aa

a

a

11

1

11für a < 1:

2

11

1

231

3

2

Beispiele:

32

3

1

3111

113

Endliche Kettenbrüche sind rationale Zahlen.

Unendliche Kettenbrüche sind irrationale Zahlen.

Unendliche Kettenbrüche sind irrationale Zahlen.

25

2

32

11

4

2

2

2

Lord Brouncker (1620 - 1684)

Kettenbrüche

Leonhard Euler (1707 - 1783)

1410

62

2

2

2

A = r U2

= 3,1415926...

Geometrische Kreisquadraturversuche

Anaxagoras (im Gefängnis) und Hippokrates von Chios gehörten zu den ersten, die das Problem bedachten. (5. Jhd. v. Chr.)

Schon 414 v. Chr. war das Problem so populär, daß Aristophanes (445 - 385) in "Die Vögel" von Kreisquadratoren als von Leuten spricht, die das Unmögliche versuchen.

Zulässige Hilfsmittel für geometrische Konstruktionen nach Platon (427 - 348):

Zirkel und Lineal (ohne Markierung)

Ägypter: Ahmosis, 2. Jtd. v.Chr.: /4 = (8/9)2 = 3,16...

Babylonier: 2. Jtd. v.Chr.: = 3 + 1/8 = 3,125

Juden: 5. Jhd. v.Chr.: = 3Die Zierde von Salomons Tempel (1000 v.Chr) war ein "gegossenes Meer, ruhend auf 12 Rindern" 10 Ellen weit, 5 Ellen hoch, mit einer Schnur ringsum 30 Ellen lang. [Bibel, 1. Könige 7,23 und II. Chronik 4,2]

Griechen: Archimedes (287 - 212): = 22/7 = 3,1428...

Chinesen: Tsu Ch’ung-Chih (430 - 501) fand den erstaunlich genauen Wert: = 355/113 = 3,1415929... den aber Liu hwuy (im 7. Jhd.) schon wieder vergessen hatte: = 157/50 = 3,14

Inder: Brahmagupta (7. Jhd.): = 10 = 3,16...

Mittelalter: Rückfall in die BarbareiMichael Psellus, Byzanz, 11. Jhd. = 8 = 2,828...Franco von Lüttich, 11. Jhd. = (9/5)2 = 3,24Adrian Metius (1585): = 355/113 = 3,1415929... wiederentdeckt

Quadratur des Kreises durch Dinostratus (400 v. Chr.) mit der Quadratrix des Hippias von Elis (420 v. Chr.)

a

r

r

K

a

r

r

r

2

a

r

2

Rechenleistungen

Ludolph van Ceulen (Köln) hatte 1596 auf 20 Stellen berechnet, gegen Ende seines Lebens: 35 Stellen Ludolphs ZahlIsaac Newton (1642 - 1727) berechnete 15 Stellen 1665 zum ZeitvertreibAbraham Sharp, Anfang 18 Jhd. 71 StellenSherwin 72 StellenMachin (1680 - 1752), berechnete 100 Stellen in 1706Leonhard Euler 1707 – 1783) berechnete in wenigen Stunden 20 StellenLamy: 127 StellenJohn Dase (1824 - 1861), Rechengenie, multiplizierte innerhalb von Stunden hundertstellige Zahlen im Kopf, berechnete 205 StellenWilliam Shanks (1812 - 1882) produzierte 607 Stellen, davon 527 richtige, später (1853) 707 Stellen, aber falsch jenseits der 527.Der Fehler wurde erst 1945 erkannt, als D.F. Ferguson 530 Stellen berechnete. Letzte Berechnung mit Papier und Bleistift.1947 berechnete Ferguson 808 Stellen mit einem Tischrechner.1949 ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer): 2037 Stellen in 70 Stunden1957 10000 Stellen, von denen aber wegen Maschinenfehlers nur 7480 richtig waren1958 IBM 704: 10.000 Stellen in 100 Minuten1961 IBM 7090: 100.000 Stellen in 9 Stunden1973 CDC 7600: 1 Mio. Stellen in weniger als 1 Tag1985 Symbolics 3670: 17 Mio. Stellen1986 CRAY-2: 29 Mio Stellen in weniger als 28 Stunden1987 100 Mio.1995 6.442.450.000 Stellen, Yasumasa Kanada, Univ. Tokyo, in 116 Stunden1999 206.158.430.000 Stellen, Takahashi und Kanada auf Hitachi SR8000, Univ. TokyoDie Ziffern scheinen normal verteilt, scheint eine normale Zahl zu sein.

Modulare Identitäten (unendliche Reihen)

S. Ramanujan (1914)

10

- = 410-88

D.V. Chudnovsky und G.V. Chudnovsky (1989)

10

- = -310-156

Iterative Prozesse lim an = 1/ für n (unendliche Folgen)

Borwein (1989)

I1/an - I < 164ne-24n

I1/a3 - I < 10-171 I1/a10 - I < 10-2861297

Bailey (1996)

I1/an - I < 165ne-5n

I1/a3 - I < 10-167 I1/a10 - I < 10-13323979

kanterien1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach

:= 3

scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo.

Rajan Mahadevan, sagte am 5. 7. 1981

in 3 h 49 min 31812 Stellen der Zahl aus dem Gedächtnis auf.

Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987

in 17 h 21 min 40000 Stellen der Zahl .

WORLD RECORD HOLDER :

04 Jun 1979 - 11 Jul 1979 (15,151)02 Oct 1979 - 26 Jun 1980 (20,000)10 Mar 1987 - 17 Feb 1995 (40,000)

kanterien1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach

:= 3

scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo.

Rajan Mahadevan, sagte am 5. 7. 1981

in 3 h 49 min 31812 Stellen der Zahl aus dem Gedächtnis auf.

Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987

in 17 h 21 min 40000 Stellen der Zahl .

Die Näherungsformel des Japaners Arima

= 3.141592653589793238462643383275

Liefert auf 30 Stellen genau.

Univ. Tokio: ca. 200 Mia Stellen berechnet.

701171363081215493044282245933

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

in den ersten 1000 Dezimalstellen enthalten sind

116 mal die 1

103 mal die 2

103 mal die 3

93 mal die 4

97 mal die 5

94 mal die 6

95 mal die 7

100 mal die 8

106 mal die 9

93 mal die 0