Teamname: Teammitglieder: Klassenstufe: Schule:

Script-Kiddies Johannes Riedel (Teamleiter), Sebastian Krieter, Maxim Germer, Michael Leue 11 Werner-von-Siemens-Gymnasium Magdeburg

Berechnung von Ohmschen Widerstnden, a Spannungs- und Stromteilern und Widerstandsnetzwerken

Muster-Losung zur 2. Aufgabe Teilaufgabe 2b der Intel-Leibniz-Challenge 2008

Gliederung1 Berechnung von Ohmschen Widerstnden a 1.1 1.2 1.3 Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Spannungs- und Stromteilern . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.5 1.5.1 1.5.2 1.6 Erster Schaltplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweiter Schaltplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Kirchhoschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erster Schaltplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweiter Schaltplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Herleitung der Gleichung fr Stern und Dreieck . . . . . . . . . u Berechnung des Ersatzwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 6 6 7 8 8 9 12 13 14 19 23

Alternative Rechenweise mit Hilfe der Kirchhoschen Gesetze . . . . .

Berechnung von Widerstandsnetzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nachbau der Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Berechnung von Ohmschen Widerstnden a1.1 Das Ohmsche GesetzDas Ohmsche Gesetz wurde 1826 vom deutschen Physiker Georg Simon Ohm formuliert und beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen der durch ein elektrisches Bauteil ieenden Spannung und dem Strom: U I. Die Proportionalittskonstante a ist der elektrische Widerstand R, der charakteristisch fr das Bauteil ist. Daraus ergibt u sich die Gleichung: U I Fr zuknftige Berechnungen ist es praktisch, gleich die umgestellten Formeln zu veru u R= wenden: R= U I |I R= U |I ; : R I U R

U =RI Die sich aus der Gleichung R = gefasst.

I=

U V ergebende Einheit wird zu Ohm () zusammenI A

Als Beweis des Ohmschen Gesetzes kann eine einfache Schaltung herangezogen werden, bestehend aus einer Spannungsquelle und einem damit verbundenen elektrischen Widerstand. Im ersten Versuch wird eine bestimmte Spannung an einen immer konstanten Widerstand angeschlossen. Wir erhalten folgende Wertepaare: R in U in V I in A 100 5 0,05 100 10 0,1 100 15 0,15 100 20 0,2 100 25 0,25

3

Das Verhltnis zwischen Spannung und Stromstrke ist also linear. Es ergibt sich die a a Proportionalitt: I U . a Um nun eine weitere Abhngigkeit zu untersuchen, wird die Spannung konstant gea halten, der Widerstand aber verndert. Wir erhalten folgende Wertepaare: a R in U in V I in A 100 51 20

200 51 40

300 51 60

400 51 80

500 51 100

Hieraus wird ersichtlich, dass die Stromstrke indirekt proportional zum Widerstand a 1 ist: I . R Fgt man nun beide Erkenntnisse zusammen, so erhlt man das schon vorher beschrieu a U bene Ohmsche Gesetz mit der Formel: R = . I Das Gesetz gilt streng genommen nur fr ohmsche Widerstnde, das sind elektrische u a Widerstnde, welche unabhngig von der Strke, Spannung und Frequenz des Stromes a a a einen konstanten Widerstandswert besitzen. Vereinfacht kann jedoch davon ausgegangen werden, dass die verwendeten Widerstnde ohmsche Widerstnde sind. a a

4

1.2 Einfache Berechnungen1.) gegeben: gesucht: Lsung: o U I R R= R= U I = 12 V = 12 mA = 0, 012 A

Antwort: 2.) gegeben: gesucht: Lsung: o

12 V 0, 012 A R = 1000 = 1 k Der Widerstandswert betrgt 1 k. a

I R U

= 10 mA = 0, 01 A = 500

U =RI U = 500 0, 01 A U =5V Die Spannung betrgt 5 V. a

Antwort: 3.) gegeben: gesucht: Lsung: o

U R I

= 3, 3 V = 10 k = 10.000

Antwort:

U R 3, 3 V I= 10.000 I = 0, 00033 A = 0, 33 mA Die Stromstrke betrgt 0,33 mA. a a I=

5

1.3 Berechnung von Spannungs- und Stromteilern1.3.1 Erster Schaltplan gegeben: R1 = 1 k R2 = 8, 2 k gesucht: Lsung: o I1 , I2 , U, R 1 1 1 = + R R1 R2 1 R= 1 1 + R1 R2 R=1 1.000

= 1.000 = 8.200

I = 10, 1 mA = 0, 0101 A

1 +

1 8.200

Der Schaltplan zur 1. Aufgabe

R = 891, 3 U =RI U = 891, 3 0, 0101 A U = 9, 002 V U R1 9, 002 V I1 = 1.000 I1 = 0, 009002 A = 9, 002 mA I1 = U R2 9, 002 V I2 = 8.200 I2 = 0, 001098 A = 1, 098 mA I2 =

Antwort:

Die Stromstrke I1 , die durch den Widerstand R1 iet, betrgt rund a a 9,002 mA. Die Stromstrke I2 , die durch den Widerstand R2 iet, betrgt a a rund 1,098 mA. Die Ausgangsspannung U der angeschlossenen Spannungsquelle betrgt rund 9 V. Der Widerstandswert, den R1 und R2 gemeinsam a htten, wenn man sie zu einem Widerstand R zusammenfassen wrde, bea u trgt rund 891,3 . a 6

1.3.2 Zweiter Schaltplan gegeben: R1 = 100 R2 = R3 I3 = 7, 5 mA = 0, 0075 A U =9V gesucht: Lsung: o R3 Die Spannung, die an den Widerstnden a R2 und R3 anliegt, ist gleich gro, weil beide parallel geschaltet sind. Da auch R2 und R3 gleich gro sind, ist die durch R3 iet, also 7,5 mA: I2 = I3 = 7, 5 mA, weil R2 = R3 und R2 ||R3 Die Gesamtstromstrke teilt sich im Parallelstromkreis auf die verschiea denen Zweige auf. Da wir nun wissen, welche Stromstrke durch beide a Zweige iet, knnen wir die Gesamtstromstrke und damit auch die o a Stromstrke, die durch R1 iet, ermitteln: a I = I1 = I2 + I3 I = 0, 0075 A + 0, 0075 A I = 0, 015 A Daraus knnen wir errechnen, welche Spannung an R1 anliegt und dao mit auch die Gre der Spannung, die an der Parallelschaltung der Wio derstnde anliegt: a U1 = R1 I U1 = 100 0, 015 A U1 = 1, 5 V U = U1 + U2 U2 = U U1 U2 = U3 = 9 V 1, 5 V U2/3 = 7, 5 V Da wir nun wissen, wie gro die Stromstrke I3 und die Spannung U3 a ist, knnen wir die Gre des Widerstandes R3 ausrechnen: o o 7 Der Schaltplan zur 2. Aufgabe

die Stromstrke, die durch R2 iet, genauso gro wie die Stromstrke, a a

U3 I3 7, 5 V R3 = 0, 0075 A R3 = 1.000 = 1 k R3 =

1.4 Alternative Rechenweise mit Hilfe der Kirchhoschen GesetzeManchmal lassen sich die Spannung und Stromstrke nicht immer leicht in Schaltungen a berechnen, da man bei Widerstandsnetzwerken keine klare Struktur erkennen kann. Auerdem kann es vorkommen, dass mehrere Spannungsquellen in einem Netzwerk vorhanden sind. Diese Probleme lassen sich durch die Anwendung der Kirchho schen Gesetze lsen. o

1.4.1 Die Kirchhoschen Gesetze Knotensatz Die Summe aller in einen Knoten hineinieenden Strme ist gleich der Summe aller aus dem Knoten auso ieenden Strme. o Fr das konkrete Beispiel rechts ergibt sich aus diesem u Satz folgende Gleichung: I1 + I3 = I2 + I4 + I5 beziehungsweise umgestellt: I1 + I3 I2 I4 I5 = 0 Beispiel fr einen Knoten u Quelle: Wikipedia1

1

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/9/9a/Stromknoten.png

8

Maschensatz Die Summe aller Urspannungen in einer Masche2 ist gleich der Summe der Spannungsabflle in einer Masche.Dabei erhalten ala le eingezeichneten Strme, die mit der Maschenrichtung ubereino stimmen ein positives Vorzeichen und alle gegen der Maschenrichtung ieenden Strme erhalten ein negatives Vorzeichen. o Fr das Beispiel rechts gilt somit die Gleichung: u U I R=0 Beispiel fr eine u Masche

1.4.2 Erster Schaltplan

Ein Vorteil der Anwendung der Kirchhoschen Gesetze ist, dass im Voraus nicht untersucht werden muss, in welcher Richtung der Strom iet. Fliet der Strom in Wirklichkeit in der zur Annahme entgegengesetzten Richtung, ergibt sich dies aus einem negativen Vorzeichen. Dadurch knnen wir bei einem gegebenen Schaltplan o die Richtung der Teilstrme und den Maschenumlauf (gekennzeichnet mit I und II) o zunchst frei bestimmen. Fr den gegebenen Schaltplan haben wir uns fr folgende a u u Festlegung entschieden:

Aus dem Knotensatz resultieren folgende Gleichungen: (A) I1 + I4 I2 = 0 (B) I2 I4 I3 = 02

Eine Masche ist eine andere Bezeichnung fr einen verzweigten Stromkreis. u

9

Aus dem Maschensatz resultieren folgende Gleichungen: (I) (II) U + I4 R1 =0

I2 R2 + I4 R1 = 0

Aus (A) und (B): (A) (B) I2 I2 = I1 + I4 = I3 + I4 I1 = I3 gegeben: R1 = 1.000 R2 = 8.200 I1 = I3 = 0, 0101 A gesucht: Lsung: o U, I4 , I2 I2 aus (A) in (II): (I1 + I4 ) R2 + I4 R1 I1 R2 + I4 R2 + I4 R1 I1 R2 + I4 R2 + I4 R1 I4 (R1 + R2 ) =0 =0 =0

(A)=(B) I1 + I4 = I4 + I3

= I1 R2 I1 R2 I4 = R1 + R2 0, 0101 A 8.200 I4 = 1.000 + 8.200 I4 = 0, 009002 A = 9, 002 mA I4 in (A): I2 = I1 + I4 I2 = 0, 0101 + (0, 009002 A) I2 = 0, 001098 A = 1, 098 mA I4 in (I): U = I4 R1 U = (0, 009002 A) 1.000 U = 9, 002 V Das negative Vorzeichen von I4 deutet darauf hin, dass der Strom entgegen der Annahme in die andere Richtung iet: 10

Um die letzte Teilaufgabe zu lsen, in der R1 und R2 zu R zusammengefasst werden, o zeichnen wir folgendes Schaltbild:

Aus der Masche lsst sich folgende Gleichung aufstellen und lsen: a o U + I1 R = 0 I1 R R R R = 891, 3 =U = = U I1 9V 0, 0101 A

11

1.4.3 Zweiter Schaltplan

Aus dem Knotensatz resultieren folgende Gleichungen: (A) I1 I2 I3 = 0 (B) I2 + I3 I4 = 0 Aus dem Maschensatz resultieren folgende Gleichungen: (I) (II) U + I1 R1 + I2 R2 = 0 I2 R2 + I3 R3 =0

Aus (A) und (B): (A) (B) I2 I2 = I1 I3 = I4 I3 I1 = I4 gegeben: I3 = 0, 0075 A U =9V R1 = 100 R2 = R3 gesucht: Lsung: o R3 I2 aus (A) in (II): (I1 I3 ) R2 + I3 R3 da R2 = R3 : (I1 I3 ) R3 + I3 R3 =0 12 =0

(A)=(B) I1 I3 = I4 I3

I1 R3 + I3 R3 + I3 R3 I1 R3 + 2 I3 R3 I1 R3 I1 I1 = 2 I3

=0 =0 = 2 I3 R3 = 2 I3 R3 R3

I2 in (I): U + I1 R1 + (I1 I3 ) R2 U + I1 R1 + I1 R2 I3 R2 U + I1 R1 + I1 R3 I3 R3 U + 2 I3 R1 + 2 I3 R3 I3 R3 U + 2 I3 R1 + I3 R3 I3 R3 R3 R3 R3 = 1.000 = 1 k =0 =0 =0 =0 =0 = U 2 I3 R1 U 2 I3 R1 I3 9 V 2 0, 0075 A 100 = 0, 0075 A =

da R2 = R3 : I1 = 2 I3 einsetzen:

1.5 Berechnung von WiderstandsnetzwerkenZur Berechnung von Widerstandsnetzwerken gibt es zwei Mglichkeiten. Die erste o benutzt die Transformation von Stern- und Dreieckschaltungen, die zweite wendet die Kirchhoschen Gesetzte an. Die Umwandlung von Stern- und Dreieckschaltungen beruht darauf, dass bestimmte Teilschaltungen erkannt werden und umgewandelt werden. Dadurch, dass der Widerstand R3 ein Brckenwiderstand ist, ist eine einfau che Berechnung nicht mglich, sodass entweder eines der beiden Dreiecke R1 , R2 , R3 o oder R1 ,R3 ,R4 in einen Stern umgewandelt werden muss, oder eines der beiden Sterne R2 , R3 , R5 oder R1 , R3 , R4 in ein Dreieck umgewandelt werden muss. Die Umwandlung ist aber nur dann gltig, wenn die Werte an den eingezeichneten Klemmen exakt dieu selben sind. Durch die Umwandlung erhlt man uberschaubare Schaltplne und kann a a anschlieend den Gesamtwiderstand der Schaltung berechnen.

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1.5.1 Herleitung der Gleichung fr Stern und Dreieck u Eine Umwandlung von der einen Form ist genau dann nur mglich, wenn die eleko trischen Werte an den Anschlssen a, b, c exakt dieselben sind. Deshalb mssen die u u Widerstnde so umgerechnet werden, dass die Werte an den Klemmen identisch sind. a

Quelle: Wikipedia3

Anschlusskombination x/y

Dreieck Bei dem Dreieck ist immer ein Widerstand zu einer Reihenschaltung, die aus zwei Widerstnden besteht, parallel a geschaltet.

Stern Bei dem Stern werden werden beim Anschluss von 2 Klemmen nur zwei in Reihe geschaltete Widerstnde erfasst. a Ra/b = Ra + Rb 1

a/b

Ra/b = Rab ||(Rac + Rbc ) Ra/b = Ra/b =1 Rac +Rbc

+

1 Rab

Rac Rab + Rbc Rab Rab + Rac + Rbc Ra/c = Ra + Rc

a/c

Ra/c = Rac ||(Rab + Rbc ) Ra/c = Ra/c = 11 Rab +Rbc

+

1 Rac

Rab Rac + Rbc Rac Rab + Rac + Rbc

3

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5f/Stern-Dreieck-Transformation.png

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b/c

Rb/c = Rbc ||(Rab ||Rac ) Rb/c = Rb/c = 11 Rab +Rac

Rb/c = Rb + Rc

+

1 Rbc

Rab Rbc + Rac Rbc Rab + Rac + Rbc

Setzt man nun Rxy von der Dreiecksschaltung mit der Sternschaltung gleich, erhlt a man folgende Terme: Gleichsetzung von Ra/b Ra/c Rb/c Bezeichnung I II IIIRac Rab +Rbc Rab Rab +Rac +Rbc Rab Rac +Rbc Rac Rab +Rac +Rbc Rab Rbc +Rac Rbc Rab +Rac +Rbc

= Ra + Rb = Ra + Rc = Rb + Rc

Lsen der Gleichungssysteme nach Ra ,Rb ,Rc : o IV =I - II Rc =IV - IIIRbc Rab Rbc Rac Rab +Rac +Rbc

= Rb Rc

2Rac Rbc Rab +Rac +Rbc

= 2 Rc

Rc = V=I -III V= V *(-1) Ra = V-II

Rac Rbc Rab +Rac +Rbc

Rac Rab Rac Rbc = Ra Rc Rab +Rac +Rbc Rac Rab +Rac Rbc = Rc Ra Rab +Rac +Rbc

2Rac Rab = 2 Rab +Rac +Rbc Rac Rab Ra = Rab +Rac +Rbc

Ra

IV=I - II VI= IV * (-1) Rb =VI - III

(Rbc Rab Rbc Rac )Rab + Rac + Rbc = Rb RcRbc Ra b+Rbc Rac Rab +Rac +Rbc

= Rc Rb Rb

2Rbc Rab = 2 Rab +Rac +Rbc Rb = RabRbc Rab bc +Rac +R

Analog lst man die oben genannten Gleichungssystem nach Ra b, Ra c, Rb c auf. o

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Umwandlung von der Dreiecksform zur Sternform Rac Rab Ra = Rab + Rac + Rbc Rbc Rab Rb = Rab + Rac + Rbc Rac Rbc Rc = Rab + Rac + Rbc Sternform zur Dreiecksform Ra Rb Rab = + Ra + Rb Rc Ra Rb + Ra + Rc Rac = Rc Rb Rc Rbc = + Rb + Rc Ra

Berechnung der Schaltung uber die Kirchho schen Gesetze Normalerweise ermittelt man mit diesem Lsungsverfahren die Spannung, oder die o Stromstrke bei gegebenen Widerstand. In diesem Fall mchten wir den Gesamta o widerstand ermitteln, der als Rab bezeichnet wurde. Dieser lsst sich allgemein aus a R=U I

berechnen. Da wir nur die Widerstnde gegeben haben, denken wir uns eine a

Stromstrke I aus. Damit dieser Strom durch das Widerstandsnetzwerk iet, ist eine a bestimmte Spannung vonnten. Wenn wir diese Spannung ermittelt haben, knnen o o wir anschlieend den Gesamtwiderstand berechnen.

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Gleichungen, die aus den Kirchhoschen Gesetzen resultieren: Knotensatz: (A) I0 I1 I2 = 0 (B) I1 + I3 I4 = 0 (C) I2 I3 I5 = 0 (D) I4 + I5 I6 = 0

Maschensatz: (I) (II) (III) gegeben: R1 = 33 R2 = 220 R3 = 330 R4 = 220 R5 = 100 Ig = I0 = I6 = 1 A gesucht: U, Ra b I1 R1 I2 R2 I3 R3 = 0 I3 R3 + I4 R4 I5 R5 = 0 U I2 R2 I5 R5 =0

Lsung: o I2 aus (A) in (I): I1 R1 (I0 I1 ) R2 I3 R3 I1 R1 I0 R2 + I1 R2 I3 R3 I1 R1 I0 R2 + I1 R2 R3 =0 =0 = I3

I2 aus (A) in (I): I1 R1 (I0 I1 ) R2 I3 R3 I1 R1 I0 R2 + I1 R2 I3 R3 I1 R1 I0 R2 + I1 R2 R3 I4 aus (B) und I5 aus (C) in (I): I3 R3 + (I1 + I3 ) R4 (I2 I3 ) R5 =0 17 =0 =0 = I3

I3 (R3 + R4 + R5 ) + I4 R4 I2 R5 I2 R5 I1 R4 R3 + R4 + R5 I2 aus (A) ersetzen I0 R5 I1 R5 I1 R4 R3 + R4 + R5 I3 = I3 gleichsetzen I1 R1 I0 R2 + I1 R2 R3 [I1 (R1 + R2 ) I0 R2 ] (R3 + R4 + R5 ) I1 (R1 + R2 ) (R3 + R4 + R5 ) I0 (R3 + R4 + R5 ) I1 [(R1 + R2 ) (R3 + R4 + R5 ) + R3 (R4 + R5 )] I0 [R3 R5 + R2 (R3 + R4 + R5 )] I1 = [(R1 + R2 ) (R3 + R4 + R5 ) + R3 (R4 + R5 )]

=0 = I3

= I3

=

I0 R5 I1 R5 I1 R4 R3 + R4 + R5

= [I1 (R5 R4 ) + I0 R5 ] R3 = I1 (R5 R4 ) + I0 R3 R5 = I0 [R3 R5 + R2 (R3 + R4 + R5 )]

I1 =

1 A [330 100 + 220 (330 + 220 + 100 )] (33 + 220 ) (330 + 220 + 100 ) + 330 (220 + 100 )

I1 = 0, 65 A I1 in (A) I2 I2 I2 = 0, 35 A I1 , I2 in (I) I1 R1 I2 R2 I2 R3 I3 R3 I3 I3 I3 = 0, 17 A I1 , I3 in (B) I1 + I3 I4 I4 I4 I4 = 0, 48 A 18 =0 = I1 + I3 = 0, 65 A 0, 17 A =0 = I1 R1 I2 R2 I1 R1 I2 R2 = R3 0, 65 A 33 0, 35 A 220 = 330 = I0 I1 = 1 A 0, 65 A

I2 , I3 in (C) I2 I3 I5 I5 I5 I5 = 0, 52 A I2 , I5 in (III) U I2 R2 I5 R5 U U U = 128, 15 V U I 128, 15 V = 1A = =0 = I2 R2 + I5 R5 = 0, 35 A 220 + 0, 52 A 100 =0 = I2 I3 = 0, 35 A (0, 17 A)

Rab Rab Rab = 128, 15

Der Gesamtwiderstand der Widerstandbrcke betrgt 128, 15 . u a

1.5.2 Berechnung des Ersatzwiderstandes Im Folgenden wird nun der Ersatzwiderstand Rab sowohl durch eine Umwandlung von der Dreiecksform in die Sternform, als auch durch die Umwandlung einer Sternform in die Dreiecksform berechnet. Berechnung durch die Umwandlung der Dreiecksform in eine Sternform gegeben: R1 = R12 = R2 = R13 = R3 = R23 = R4 = R24 = R5 = R34 = gesucht: Lsung: o Rab (1) Erkennen der Dreiecksform In dieser Schaltung gibt es wie eingangs erwhnt zwei Dreiecksschaltuna gen. Zum einen knnte man das Dreieck R12 , R23 , R13 umwandeln bzw. o 19 33 220 330 220 100

das Dreieck R23 , R34 , R23 .

Ursprngliches Schaltbild (links) und neues Schaltbild (rechts) u

(2) Umrechnung der Dreiecksschaltung R12 , R23 , R13 in die Sternschaltung R1 , R2 , R3 R1 = R1 = R12 R13 R12 + R23 + R13 33 220 33 + 330 + 220

R1 = 12, 45 R2 = R2 = R12 R23 R12 + R23 + R13 33 330 33 + 330 + 220

R2 = 18, 68 R3 = R3 = R13 R23 R12 + R23 + R13 220 330 33 + 330 + 220

R3 = 124, 52

(3) Analyse des neuen Schaltbildes Die Schaltung hat folgende Struktur: Zunchst besteht sie aus dem Vora widerstand R1 , dieser ist in Reihe geschaltet mit einer Parallelschaltung aus jeweils zwei in Reihe geschalteten Widerstnden. a 20

Rab = R1 + (R2 + R24 ||R3 + R34 )

(4) Berechnung der Schaltung 1 Rab = R1 + 1 1 + R3 +R34 R2 +R24 Rab = 12, 45 + Rab = 128, 15 Wrde man nun diese Widerstandsbrcke in eine Schaltung einbauen, so u u wrde man als Ersatzwiderstand fr diese Brcke 128, 15 erhalten. u u u Berechnung durch die Umwandlung der Sternform in eine Dreiecksform gegeben: R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = gesucht: Lsung: o Rab (1) Erkennen der Sternform Es benden sich in dieser Schaltung zwei Sternformen: R1 ,R3 ,R4 und R2 ,R3 ,R5 . 33 220 330 220 100 1 18,68 +220

1 + 124,52

1 +100

Ersetzt man diese Sternschaltung durch ein Dreieck erhlt man folgende a Schaltung:

21

Diese Schaltung kann man nun leicht umzeichnen zu der Nachfolgenden:

(2) Umrechnung der Sternschaltung R2 , R3 , R4 in die Dreiecksschaltung R12 , R24 , R14 R12 = R12 = R2 R3 + R2 + R3 R5 220 330 + 220 + 330 100

R12 = 1.276 R14 = R14 = R2 R5 + R2 + R5 R3 220 100 + 220 + 100 ) 330

R14 = 386, 7 R24 = R24 = R3 R5 + R3 + R5 R2 330 100 + 330 + 100 ) 220

R24 = 580

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(3) Analyse des neuen Schaltbildes Die entstandene Schaltung ist eine Parallelschaltung, wobei der obere Zweig aus zwei in Reihe gesetzten Parallelschaltungen besteht. Rg = R14 ||(R1 ||R12 + R24 ||R4 ) (4) Berechnung der Schaltung 1 Rab = 1 1 + 1 1 R14 +1 + 1 R12 R1 1 + 1 R4 R24

Rab =

11 386,7

+

1 1 + 1 1.276 33

1 +

1 1 1 + 220 580

Rab = 128, 15 Man erhlt ebenso bei der Umwandlung des Sterns in ein Dreieck einen a Ersatzwiderstand von 128, 15 .

1.6 Nachbau der SchaltungenDer Nachbau der Schaltungen und das Nachmessen ergaben folgende Ergebnisse: Schaltung Schaltung 1: Parallelschaltung von zwei Widerstnden a Schaltung 2: Drei Widerstnde a Schaltung 3: Fnf u Widerstnde a RAB 128,15 128,0 - 0,1 Gr e o I1 I2 R I3 berechneter Messwert Abweichung Wert 9,002 mA 1,098 mA 891,3 7,5 mA 9,07 mA 1,13 mA 886 7,46 mA in % + 0,75 + 2,9 - 0,5 - 0,5

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Es lsst sich also erkennen, dass a die berechneten Werte weitgehend korrekt sind. Doch woher kommen die geringen Abweichungen? Widerstnde besitzen generell fera tigungsbedingt eine gewisse Toleranz, was uber die Farbe des letz ten Farbringes kenntlich gemacht wird. So besitzen die Widerstnde a aus dem Bausatz, den wir zur Verfgung gestellt bekommen ha- Messung des Ersatzwiderstandes R bei Schaltung 1 u ben, eine Toleranz von 1%. Anhand einer Beispielrechnung kann nachvollzogen werden, was diese Toleranzanabe in der Praxis bedeutet:

Messung von I1 und I2 bei Schaltung 1 Nehmen wir zum Beispiel an, dass in unserer ersten Schaltung (Parallelschaltung von zwei Widerstnden) R1 statt dem Nenna wert von 1.000 einen tatschlia chen Widerstandswert von 993 besitzt und die Widerstandsgre o von R2 statt 8.200 in Wirklichkeit 8.260 betrgt. In beiden a Fllen wre das eine Abweichung a a von circa 0,7 % vom Nennwert, Schaltung 2: Mit der errechneten Widerstandskombination ist I3 tatschlich rund 7,5 mA gro. a 24

also innerhalb des Toleranzbereiches. Wie gro wre in diesem Fall a der Ersatzwiderstand? 1 1 1 = + R R1 R2 1 R= 1 1 + R1 R2 1 R= 1 1 + 8.260 993 R = 886, 4 Dieser errechnete Widerstandswert kommt dem von uns gemessenen (886 ) schon recht nahe. Auerhalb der generellen Toleranz der Widerstnde gibt es a auch noch andere Aspekte, die zu ungenauen Messergebnissen fhren. Zunchst muss beachu a tet werden, dass das ohmsche Gesetz fr die verwendeten Wiu derstnde eigentlich nicht gilt: a Die Widerstnde sind keine a echten ohmschen Widerstnde. So kann nur annhernd davon ausgegangen werden, a a dass sich Stromstrke und Spannung proportional zueinander verhalten. Auerdem a hngt der Stromuss in einem elektrischen Leiter noch von weiteren, nicht immer a konstanten physikalischen Gren ab, wie etwa der Temperatur, dem Magnetfeld in o Umgebung des Leiters oder der vorherrschenden Beleuchtung. Auch knnen Ungeo nauigkeiten beim Messgert bzw. die begrenze Genauigkeit im gewhlten Messbereich a a zu einer Abweichung im Messergebnis fhren. Als weitere Fehlerquelle ist vorstellbar, u dass die Widerstnde nicht komplett im Steckbrett gesteckt haben, was einen hheren a o Kontaktwiderstand zur Folge gehabt htte. a Messung des Ersatzwiderstandes Rab von Schaltung 3

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