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3. Vorlesung EP

I) Mechanik

1.Kinematik Fortsetzung2.Dynamik Anfang

Versuche: 1. Freier Fall im evakuierten Fallrohr 2.Funkenflug (zur Kreisbewegung) 3. Affenschuss (Überlagerung von Geschwindigkeiten)4. Luftkissen und skate boards

(Newton1-3, träge Masse, Impulserhaltung)

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Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit-> Beschleunigung a (acceleration)

dt

dv

tt

vv

t

va

12

12 →−−=

∆∆=

Bei konstanter Beschleunigung ergibt Integration:

Lineare Zunahme der Geschwindigkeitund

quadratische Zunahme der Position,

siehe Bilder rechts und Herleitung nächste Seite.

Inte

grie

ren

Ab

leite

n

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Bei konstanter Beschleunigung = constans gilt:

Geschwindigkeitsänderung in der Zeit ∆t: ∆v = a ∆t

Wenn die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 den Wert v0 hatte, dann ist sie nach der Zeit t (∆t = t - 0) („Integration von a über Zeit“) : v = a t + v0

Durchschnittsgeschwindigkeit : vmittel = 1/2(vmin +vmax) = 1/2 a t + v0

In Zeit t zurückgelegter Weg („Integration von v über die Zeit“) : ∆x = vmittel t = 1/2 a t2 + v0 t

Ort zur Zeit t : x = ∆x +x0

mit v0 = Anfangsgeschwindigkeit und x0 = Anfangsort

Prominentes Beispiel für konstante Beschleunigung : freier Fall im Schwerefeld der Erde auf Erdoberfläche g = 9.81 m/s 2

Versuch: Freier Fall (Feder und Stein) im evakuierten Fallrohr

a =∆v

∆t

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Vektor ist beschrieben durch die zwei oder drei Koordinaten x,y bzw. x,y,z wie oben; oder durch seine Länge und seine Richtung;

(Richtungsangabe durch Winkel relativ zu den Achsen des Koordinatensystems) .

Geschwindigkeit

r x 1 =

x1

y1

r x 1 =

x1

y1

z1

222 zyxx ++=r

r v =

∆r x

∆ t

r a =

∆r v

∆ t

r v =

r x 2 −

r x 1

t2 − t1

=(x2 − x1)/(t2 − t1)

(y2 − y1)/(t2 − t1)

Bewegung in Ebene und Raum (2- und 3-dimensional)Ort, gemessen von (willkürlichem) Ursprung, ist ein Vektor

2-d oder

und Beschleunigung ebenfalls Vektoren.

(2d))

Beachte:

3-d

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ω =∆ϕ∆t

Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit = Kreisfrequenz:

gemessen in Bogenmaß=Radiant = [rad]

Für genau einen Umlauf gilt: → ∆ϕ = 2π [rad] oder = 2π ohne Einheit→ ∆t = T = Umlaufzeit = Periode

Also gilt: (Mittelwert) ω = 2π/T

Umlauffrequenz f = 1/T (1 Umlauf pro Umlaufzeit T) Einheit von f : Hertz= Hz = 1/s

Zusammenhang zwischen Umlauffrequenz und Kreisfrequenz: ω = 2π/T = 2π f [rad/s] = 2π f [s-1] = 2π f [Hz]

Dabei wird Winkel φ

„Frequenz“ gibt an, wie oft sich wiederholende Ereignisse pro sec stattfinden. Daher gilt:

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vvr= xr

r=

v =

∆r x

∆t= r ⋅

∆ϕ∆t

= r ⋅ ω

r v

r a =

∆r v

∆t a =

r a =

∆r v

∆t=

∆ϕ v

∆t=

∆ϕ∆t

⋅ r ⋅ω = r ⋅ω2

r a

Bahngeschwindigkeit für Kreisbahn mit Radius

Kreisbewegung mit konstantem ω ist beschleunigte Bewegung, obwohl der Betrag v konstant ist, da sich Richtung von ändert.

Beschleunigung :

Richtung: zeigt zum Zentrum der Kreisbewegung

Gilt auch, wenn ω = ω(t), d.h. nicht konstant ist. Für konstantes ω kann v einfach berechnet werden als v= Umfang/Umlaufzeit=2πr/T, siehe Aufg.1-3

→Versuch Funkenflug

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r v gesamtt( )=

r v 1 t( )+

r v 2 t( )+...

r v 0

r v g =

r g ⋅ ∆t

)t(vv)t(v g0gesamt

rrr +=

VERSUCHE: Letztes Mal: Geschoßgeschwindigkeit, Messung mit rotierenden ScheibenÜberlagerung von BewegungenBeispiel: Sie gehen spazieren (v1) in einem Flugzeug, das über Erde fliegt (v2), die um Sonne kreist (v3) ...Momentane Geschwindigkeiten in Raum-Bezugssystem Fixsterne addieren sich:

Anderer Fall: Geschwindigkeitskomponenten in zwei verschiedene Richtungenaddieren sich. Beispiel: Ballistische Bahn, Geschoß mit Anfangsgeschwindigkeit

bei freiem Fall

Versuch mit 2 fallenden Kugeln, eine mit horizontaler Anfangsgeschwindigkeit verschieden von Null, siehe Darstellung nächste Seite.Versuch heute: „Affenschuss“

ergibt zusammen:

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Beschleunigte Bewegung (zweidimensional) -> horizontaler Wurf

Beschleunigung wirkt nur in einer (y) Richtung

Zerlegung der Bewegung in eine- gleichförmige horizontale (x)- beschleunigte senkrechte (y)Komponente. Beide überlagern sich ungestört, verbunden über die Zeit (t)

x = vx0 ty = -½ g t2 + y0

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( )am

t

vmF

rr

r=

∆⋅∆=

mr v =

r p =

Neues Kapitel: 2. Dynamik von Massenpunkten

(Einführung von träger Masse und Kräften)

Newton’s 3 Prinzipien oder Axiome oder Gesetze :

1. Galilei ´sches Trägheitsprinzip:Jeder Körper bleibt in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn wirken

2. Newton ´s Impulssatz :

Kraft = Masse mal Beschleunigung, wenn m konstant in der Zeit (Bedingung bei relativistisch bewegten Objekten nicht mehr garantiert).

Kraft = Zeitliche ImpulsänderungImpuls

3 neue physikalische Größen: Kraft, träge Masse und

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Newtons Prinzipien gelten nur für Inertialsysteme = Bezugssysteme für Raum und Zeit, die sich relativ zu Fixsternhimmel (oder besser: zu unserem Weltall) gleichförmig bewegen (oder ruhen). Orientierung, Nullpunkt, konstante Geschwindig-keit können willkürlich gewählt werden.

r F 12 = −

r F 21

constvm ii

n

1i

=∑=

r

3. Reaktionsprinzip, actio = reactio:Bei Wechselwirkung zwischen zwei Körpern ist Kraft F12, die K1 auf K2 ausübt, entgegengesetzt und gleich im Betrag zu F21 d. h. der Kraft, die K2 auf K1 ausübt:

Impulserhaltungssatz : In einem abgeschlossenen System, d.h. ohne äußere Kräfte ändert sich der Gesamtimpuls nicht!

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r v 1 =

r v 2 = 0

m1

r v 1 + m2

r v 2 = 0

m1

m2

= −v2

v1

Träge Masse mi ist eine grundlegende Eigenschaft von Körpern

Versucheauf Luftkissenschiene und Skate board zur Impulserhaltung und Masse:z. B. Massen zunächst in Ruhe:

Nach Wechselwirkung (interner Kraftwirkung)

Masse m i ist Eigenschaft des Körpers und kann durch Vergleichsmessung mit Referenzmasse bestimmt werden. Masse ist unsere 3. Basisgröße.

Referenzmasse, d. h. Basis(Maß)einheit für träge Masse m 1 Kilogramm = 1 (kg) liegt als Urkilogramm bei Paris

(Masse 1 kg entspricht ungefähr der Masse von 1 (dm)3 = 1 Liter Wasserbei 4°C, 1 bar Druck)