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    1

    3. Vorlesung EP

    I) Mechanik

    1.Kinematik Fortsetzung 2.Dynamik Anfang

    Versuche: 1. Freier Fall im evakuierten Fallrohr 2.Funkenflug (zur Kreisbewegung) 3. Affenschuss (Überlagerung von Geschwindigkeiten) 4. Luftkissen und skate boards

    (Newton1-3, träge Masse, Impulserhaltung)

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    2

    Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit -> Beschleunigung a (acceleration)

    dt

    dv

    tt

    vv

    t

    v a

    12

    12 → − −=

    ∆ ∆=

    Bei konstanter Beschleunigung ergibt Integration:

    Lineare Zunahme der Geschwindigkeit und

    quadratische Zunahme der Position,

    siehe Bilder rechts und Herleitung nächste Seite.

    In te

    g ri e

    re n

    A b

    le it e

    n

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    Bei konstanter Beschleunigung = constans gilt:

    Geschwindigkeitsänderung in der Zeit ∆t: ∆v = a ∆t

    Wenn die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 den Wert v0 hatte, dann ist sie nach der Zeit t (∆t = t - 0) („Integration von a über Zeit“) : v = a t + v0

    Durchschnittsgeschwindigkeit : vmittel = 1/2(vmin +vmax) = 1/2 a t + v0

    In Zeit t zurückgelegter Weg („Integration von v über die Zeit“) : ∆x = vmittel t = 1/2 a t2 + v0 t

    Ort zur Zeit t : x = ∆x +x0

    mit v0 = Anfangsgeschwindigkeit und x0 = Anfangsort

    Prominentes Beispiel für konstante Beschleunigung : freier Fall im Schwerefeld der Erde auf Erdoberfläche g = 9.81 m/s2

    Versuch: Freier Fall (Feder und Stein) im evakuierten Fallrohr

    a = ∆v ∆t

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    Vektor ist beschrieben durch die zwei oder drei Koordinaten x,y bzw. x,y,z wie oben; oder durch seine Länge und seine Richtung;

    (Richtungsangabe durch Winkel relativ zu den Achsen des Koordinatensystems) .

    Geschwindigkeit

    r x 1 =

    x1 y1

      

      

    r x 1 =

    x1 y1 z1

      

      

    222 zyxx ++=r

    r v =

    ∆ r x

    ∆ t r a =

    ∆ r v

    ∆ t

    r v =

    r x 2 −

    r x 1

    t2 − t1 =

    (x2 − x1)/(t2 − t1 ) (y2 − y1)/(t2 − t1 ) 

      

      

    Bewegung in Ebene und Raum (2- und 3-dimensional) Ort, gemessen von (willkürlichem) Ursprung, ist ein Vektor

    2-d oder

    und Beschleunigung ebenfalls Vektoren.

    (2d))

    Beachte:

    3-d

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    5

    ω = ∆ϕ ∆t

    Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit

    Winkelgeschwindigkeit = Kreisfrequenz:

    gemessen in Bogenmaß=Radiant = [rad]

    Für genau einen Umlauf gilt: → ∆ϕ = 2π [rad] oder = 2π ohne Einheit → ∆t = T = Umlaufzeit = Periode

    Also gilt: (Mittelwert) ω = 2π/T

    Umlauffrequenz f = 1/T (1 Umlauf pro Umlaufzeit T) Einheit von f : Hertz= Hz = 1/s

    Zusammenhang zwischen Umlauffrequenz und Kreisfrequenz: ω = 2π/T = 2π f [rad/s] = 2π f [s-1] = 2π f [Hz]

    Dabei wird Winkel φ

    „Frequenz“ gibt an, wie oft sich wiederholende Ereignisse pro sec stattfinden. Daher gilt:

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    6

    vv r= xr r=

    v =

    ∆ r x

    ∆t = r ⋅

    ∆ϕ ∆t

    = r ⋅ ω

    r v

    r a =

    ∆ r v

    ∆t a =

    r a =

    ∆ r v

    ∆t =

    ∆ϕ v ∆t

    = ∆ϕ ∆t

    ⋅ r ⋅ω = r ⋅ω2

    r a

    Bahngeschwindigkeit für Kreisbahn mit Radius

    Kreisbewegung mit konstantem ω ist beschleunigte Bewegung, obwohl der Betrag v konstant ist, da sich Richtung von ändert.

    Beschleunigung :

    Richtung: zeigt zum Zentrum der Kreisbewegung

    Gilt auch, wenn ω = ω(t), d.h. nicht konstant ist. Für konstantes ω kann v einfach berechnet werden als v= Umfang/Umlaufzeit=2πr/T, siehe Aufg.1-3

    →Versuch Funkenflug

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    r v gesamt t( )=

    r v 1 t( )+

    r v 2 t( )+...

    r v 0

    r v g =

    r g ⋅ ∆t

    )t(vv)t(v g0gesamt rrr +=

    VERSUCHE: Letztes Mal: Geschoßgeschwindigkeit, Messung mit rotierenden Scheiben Überlagerung von Bewegungen Beispiel: Sie gehen spazieren (v1) in einem Flugzeug, das über Erde fliegt (v2), die um Sonne kreist (v3) ... Momentane Geschwindigkeiten in Raum-Bezugssystem Fixsterne addieren sich:

    Anderer Fall: Geschwindigkeitskomponenten in zwei verschiedene Richtungen addieren sich. Beispiel: Ballistische Bahn, Geschoß mit Anfangsgeschwindigkeit bei freiem Fall

    Versuch mit 2 fallenden Kugeln, eine mit horizontaler Anfangsgeschwindigkeit verschieden von Null, siehe Darstellung nächste Seite. Versuch heute: „Affenschuss“

    ergibt zusammen:

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    Beschleunigte Bewegung (zweidimensional) -> horizontaler Wurf

    Beschleunigung wirkt nur in einer (y) Richtung

    Zerlegung der Bewegung in eine - gleichförmige horizontale (x) - beschleunigte senkrechte (y) Komponente. Beide überlagern sich ungestört, verbunden über die Zeit (t)

    x = vx0 t y = -½ g t2 + y0

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    ( ) am

    t

    vm F

    r r

    r =

    ∆ ⋅∆=

    m r v =

    r p =

    Neues Kapitel: 2. Dynamik von Massenpunkten

    (Einführung von träger Masse und Kräften)

    Newton’s 3 Prinzipien oder Axiome oder Gesetze :

    1. Galilei´sches Trägheitsprinzip: Jeder Körper bleibt in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn wirken

    2. Newton´s Impulssatz:

    Kraft = Masse mal Beschleunigung, wenn m konstant in der Zeit (Bedingung bei relativistisch bewegten Objekten nicht mehr garantiert).

    Kraft = Zeitliche ImpulsänderungImpuls

    3 neue physikalische Größen: Kraft, träge Masse und

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    Newtons Prinzipien gelten nur für Inertialsysteme = Bezugssysteme für Raum und Zeit, die sich relativ zu Fixsternhimmel (oder besser: zu unserem Weltall) gleichförmig bewegen (oder ruhen). Orientierung, Nullpunkt, konstante Geschwindig-