IMI Beugung 14 25 Intensitaeten

d1

d2

Intensitäten der Beugungsphänomene

90° 90°

d1

d1

d1

d1

d2

d2

IMI-Beugung-14Instrumentelle Methoden I Prof. Behrens / Dr. Schneider

d100

d200


dhkl

dhkl

d2h2k2l

ad100

d200

d200



systematische Auslöschungen

Auslöschungs-

Typ

Reflex-

klasse

verursachende

Symmetrie

Reflektions-

bedingung

integral hkl P

I h + k + l = 2n

C h + k = 2n

A k + l = 2n

B h + l = 2n

F h, k, l: alle gerade oder

h, k, l: alle ungerade

zonal

hk0

b a

l = 2n

k + l = 2n

l = 2n

h + l = 2n

k = 2n

c a

n a

c b

n b

h0l

hk0 a c

k = 2n

h + k = 2n

h + k = 4n

h = 2n

b c

n c

d c

hk0

hk0

0kl

seriell 21

a

h = 4 (kubisch)n

k = 2n

k = 4 (kubisch)n

l = 2n

h = 2n

00l

00l

l = 4 (tetragonal, kubisch)n

h = 6 (hexagonal)n

l = 3 (trigonal, hexagonal)n

00l

00l

h00

4 ,41 3

a

0k0 21

b

4 ,41 3

b

2 , 4 , 61 2 3

c

3 , 3 , 6 , 61 2 2 4

c

4 ,41 3

c

6 ,61 5

c


Das intensitätsgewichtete reziproke Gitter

hk0-Ebene

00 -Stabl

hk1-Ebene

hhl-Ebene


a*

c*

b*

a*

c*

b*

a*

c*

b*

a*

c*

b*

a*

c*

b*


Abbildungen des reziproken Gitters

hk0-Ebene Elementarvektoren des reziproken Gitters

Indizierung

a*100

010

110

b*


200

010

010

030

110

110

130

210

210

220

230

310

310

330

410

410

420

510

510

610

610

620

710

710

430

330

230

130

620

420

220

110

110

210

210

310

310

410

410

510

510

610

610

710

710

200

220

420

620

220

420

620

330

230

130

030

130

230

330

430

430

Abbildungen des reziproken Gitters


hk0-Ebene

hk0-Ebene

hk0-Ebene

hk1-Ebene

4-1

4-2

Im kubischen System gilt die folgende quadratische Form der Braggschen Gleichung:

Skizzieren ein mögliches Beugungsmuster für denFall, dass senkrecht auf eine Gleitspiegelebenesteht ! Beschreiben Sie die 0- und die 1-Ebene.

b c

hk hk

Welche Werte von als Summe dreier Quadratzahlen lassen sich darstellen ? Für manchegibt es keine Kombination, für manche mehrere. Ergänzen Sie die nebenstehende Tabelle in derSpalte für primitive Gitter (wo alle Reflexe auch tatsächlich auftreten können). Bei allseitigflächenzentrierten ( ) bzw. innenzentrierten ( ) Gittern gelten Auslöschungsbedingungen.Füllen Sie diese Spalten entsprechend aus !

N N

P

F I

hkl

2d

1

2a

1= ( + + ) =h k l

2 2 2

N mit N = + +h k l2 2 2

N

1 100

2 110

3 111

4 200

5 210

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

P F I

hk0-Ebene

b*

a*

hk1-Ebene

b*

a*

1

2a


Übungsaufgaben

5-2 Die beiden Beugungsmuster stammen von unterschiedlichen Kristallen. Bestimmen Sie diejeweilige reziproke Elementarzelle in der gegebenen Ebene. Skizzieren Sie die entsprechendeEbenen-Elementarzelle im realen Raum. Welche Symmetrielemente können Sie denBeugungsmustern entnehmen ?

5-1 Die Beugungsaufnahme stammt von einem hexagonalen Kristall. Bestimmen Sie die reziprokeElementarzelle in der gegebenen 0-Ebene. Indizieren Sie die Beugungsaufnahme.Welche Symmetrieelemente können Sie dem Beugungsmuster entnehmen?

hk

hk0-Ebene h l0 -Ebene


Übungsaufgaben

Berechnung von Strukturfaktoren


strukturelle Daten:

Strukturfaktor-Formel für zentrosymmetrische Strukturen:

Die cosinus-Funktion

am Beispiel von NaCl

Raumgruppe 4/ 3 2/F m m

Na in 4a: 000 1/2,1/2,0 1/2,0,1/2 0,1/2,1/2+

, zentrosymmetrisch

Cl in 4b: 1/2,0,0 0,1/2,0 0,0,1/2 1/2,1/2,1/2

F f hx ky lzhkl i

= cos 2 ( + + )� �i i i

= [cos 2 ( + + ) +f h k l� $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

0 0 0 cos 2 ( 1/2 + 1/2 + 0) +

cos 2 ( 1/2 + 0 + 1/2) + cos 2 ( 0 + 1/2 + 1/2)]

+ [cos 2 ( 1/2 + 0 + 0) + cos 2 ( 0 + 1/2 + 0) +

cos 2 ( 0 + 0 + 1/2) + cos 2 ( 1/2 + 1/2 + 1/2)]

�

� �

� �

� �

h k l

h k l h k l

f h k l h k l

h k l h k l

Strukturfaktor-Berechnung für den 100-Reflex

d100

= = 5.6402 Aa sin = 0.1367� sin / = 0.0887� �� = 7.856°

f (0.0887) = 9.5Na+ f (0.0887) =16.15

Cl

F100

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

cos 2 (1 1/2 + 0 1/2 + 0 0) +

cos 2 (1 1/2 + 0 0 + 0 1/2) + cos 2 (1 0 + 0 1/2 + 0 1/2)]

�

� �

= 9.5 [cos 2 (1 0 + 0 0 + 0 0) +�

= 9.5 [cos 2 (0) +� cos 2 (1/2) + cos 2 (1/2) + cos 2 (0)]� � �

= 9.5 [1 + (-1) + (-1) + 1]

+ 16.15 [(-1) + 1 + 1 + (-1)]

= 9.5 0 + 16.15

= 0

$ $0

+ 16.15 [cos 2 (1 1/2 + 0 0 + 0 0) +� $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

cos 2 (1 0 + 0 1/2 + 0 0) +

cos 2 (1 0 + 0 0 + 0 1/2) + cos 2 (1 1/2 + 0 1/2 + 0 1/2)]

�

� �

+ 16.15 [cos 2 (1/2) +� cos 2 (0) + cos 2 (0) + cos 2 (1/2)]� � �

Na+

Cl

1

1

1/2

�

1/2

�

1�1

�

3/2

�

3/2

�

2�2

�

5/2

�

5/2

�

3�3

�

7/2

�

7/2

�

Na+

Cl�




Flächenzentrierung : nur Reflexe mit alle gerade oder alle ungerade treten aufF hkl hkl

hkl

111 3.256 13.68° 0.2367 0.1535 8.8 13.8

200 2.820 15.85° 0.2733 0.1772 8.7 13.2

220 1.994 22.72° 0.3866 0.2508 7.6 9.8

311 1.701 26.96° 0.4533 0.2940 6.8 8.9

222 1.628 28.26° 0.4735 0.3071

d / A � sin � sin � / � f (sin � / )�Na+ f (sin � / )�

Cl

0.00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0.1 0.2 0.3

sin / ��

Ato

mfo

rmfa

kto

rf

0.4 0.5 0.6 0.7

Na+

K+

Cl





F200

= 8.7 [cos 2 (2 0 + 0 0 + 0 0) +� $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

cos 2 (2 1/2 + 0 1/2 + 0 0) +

cos 2 (2 1/2 + 0 0 + 0 1/2) + cos 2 (2 0 + 0 1/2 + 0 1/2)]

�

� �

= 8.7 [cos 2 (0) +� cos 2 (1) + cos 2 (1) + cos 2 (0)]� � �

= 8.7 [1 + 1 + 1 + 1]

+ 13.2 [1 + 1 + 1 + 1]

= 34.8 + 52.8

= 87.6

+ 13.2 [cos 2 (2 1/2 + 0 0 + 0 0) +� $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

cos 2 (2 0 + 0 1/2 + 0 0) +

cos 2 (2 0 + 0 0 + 0 1/2) + cos 2 (2 1/2 + 0 1/2 + 0 1/2)]

�

� �

+ 13.2 [cos 2 (1) +� cos 2 (0) + cos 2 (0) + cos 2 (1)]� � �


F111

= 8.8 [cos 2 (1 0 + 1 0 + 1 0) +� $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

cos 2 (1 1/2 + 1 1/2 + 1 0) +

cos 2 (1 1/2 + 1 0 + 1 1/2) + cos 2 (1 0 + 1 1/2 + 1 1/2)]

�

� �

= 8.8 [cos 2 (0) +� cos 2 (1) + cos 2 (1) + cos 2 (1)]� � �

= 8.8 [1 + 1 + 1 + 1]

+ 13.8 [(-1) + (-1) + (-1) + (-1)]

= 35.2 - 55.2

= -20.0

+ 13.8 [cos 2 (1 1/2 + 1 0 + 1 0) +� $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

cos 2 (1 0 + 1 1/2 + 1 0) +

cos 2 (1 0 + 1 0 + 1 1/2) + cos 2 (1 1/2 + 1 1/2 + 1 1/2)]

�

� �

+ 13.8 [cos 2 (1/2) +� cos 2 (1/2) + cos 2 (1/2) + cos 2 (3/2)]� � �


F220

= 7.6 [cos 2 (2 0 + 2 0 + 0 0) +� $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

cos 2 (2 1/2 + 2 1/2 + 0 0) +

cos 2 (2 1/2 + 2 0 + 0 1/2) + cos 2 (2 0 + 2 1/2 + 2 1/2)]

�

� �

= 7.6 [cos 2 (0) +� cos 2 (2) + cos 2 (1) + cos 2 (2)]� � �

= 7.6 [1 + 1 + 1 + 1]

+ 9.8 [1 + 1 + 1 + 1]

= 30.4 + 39.2

= 69.6

+ 9.8 [cos 2 (2 1/2 + 2 0 + 0 0) +� $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

cos 2 (2 0 + 2 1/2 + 0 0) +

cos 2 (2 0 + 2 0 + 0 1/2) + cos 2 (2 1/2 + 2 1/2 + 0 1/2)]

�

� �

+ 9.8 [cos 2 (1) +� cos 2 (1) + cos 2 (0) + cos 2 (2)]� � �


Übungsaufgaben

6-1

6-3

6-2

Berechnen Sie die Strukturfaktoren 311 und 222 für die NaCl-Struktur. Sollte der Strukturfaktor222 größer, kleiner oder gleich groß sein wie die der des 111-Reflexes?

Bei einfachen Strukturen reichen bereits einfache Überlegungen, um die Strukturfaktoren vonReflexen abzuschätzen. Welches ist wohl der stärkste Strukturfaktor der Graphitstruktur ?

Berechnen Sie die Strukturfaktoren 111, 200 und 220 für die KCl-Struktur ( = 6.2917 A). WelcheBesonderheit fällt auf und wie ist sie zu erklären ?

a

hkl

hkl

111

111

3.256 13.68° 0.2367 0.1535 8.8 13.8 20.0

200

200

2.820 15.85° 0.2733 0.1772 8.7 13.2 87.6

220

220

1.994 22.72° 0.3866 0.2508 7.6 9.8 69.6

311 1.701 26.96° 0.4533 0.2940 6.8 8.9

222 1.628 28.26° 0.4735 0.3071

d / A

d / A

�

�

sin �

sin �

sin � / �

sin � / �

f

f

Na+

K+

Fhkl

Fhkl

f

f

Cl

Cl

hexagonaleElementarzelle

Struktur des Graphits

b

c

a


IMI Beugung 14 25 Intensitaeten

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