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__________________________________________________________________________________ Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 1 von 35 Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Finanz- und Risikomanagement......................................................... 3

Aufgabe 1.................................................................................................................... 3 Aufgabe 2.................................................................................................................... 3 Aufgabe 3.................................................................................................................... 3 Aufgabe 4.................................................................................................................... 3 Aufgabe 5.................................................................................................................... 4 Aufgabe 6.................................................................................................................... 4 Aufgabe 7.................................................................................................................... 4 Aufgabe 8.................................................................................................................... 4 Aufgabe 9.................................................................................................................... 5 Aufgabe 10.................................................................................................................. 5 Aufgabe 11.................................................................................................................. 5 Aufgabe 12.................................................................................................................. 5 Aufgabe 13.................................................................................................................. 6 Aufgabe 14.................................................................................................................. 6 Aufgabe 15.................................................................................................................. 6 Aufgabe 16.................................................................................................................. 6 Aufgabe 17.................................................................................................................. 6 Aufgabe 18.................................................................................................................. 7 Aufgabe 19.................................................................................................................. 7 Aufgabe 20.................................................................................................................. 7 Aufgabe 21.................................................................................................................. 7 Aufgabe 22.................................................................................................................. 8 Aufgabe 23.................................................................................................................. 9 Aufgabe 24.................................................................................................................. 9 Aufgabe 25.................................................................................................................. 9 Aufgabe 26.................................................................................................................. 9 Aufgabe 27.................................................................................................................. 9 Aufgabe 28 (vgl. Aufgabe 19) .................................................................................. 10 Aufgabe 29................................................................................................................ 10 Aufgabe 30................................................................................................................ 10 Aufgabe 31................................................................................................................ 10 Aufgabe 32................................................................................................................ 10 Aufgabe 33................................................................................................................ 11 Aufgabe 34................................................................................................................ 11 Aufgabe 35................................................................................................................ 11 Aufgabe 36................................................................................................................ 11 Aufgabe 37................................................................................................................ 11 Aufgabe 38................................................................................................................ 12 Aufgabe 39................................................................................................................ 12 Aufgabe 40................................................................................................................ 12

Lösungen zu den Übungsaufgaben ................................................................................... 12 Lösung zu Aufgabe 1 ................................................................................................ 12 Lösung zu Aufgabe 2:............................................................................................... 13


Lösung zu Aufgabe 3:............................................................................................... 13 Lösung zu Aufgabe 4:............................................................................................... 14 Lösung zu Aufgabe 5:............................................................................................... 14 Lösung zu Aufgabe 6:............................................................................................... 15 Lösung zu Aufgabe 7:............................................................................................... 15 Lösung zu Aufgabe 8:............................................................................................... 15 Lösung zu Aufgabe 9:............................................................................................... 16 Lösung zu Aufgabe 10:............................................................................................. 16 Lösung zu Aufgabe 11:............................................................................................. 17 Lösung zu Aufgabe 12:............................................................................................. 17 Lösung zu Aufgabe 13:............................................................................................. 18 Lösung zu Aufgabe 14:............................................................................................. 18 Lösung zu Aufgabe 15:............................................................................................. 19 Lösung zu Aufgabe 16:............................................................................................. 20 Lösung zu Aufgabe 17:............................................................................................. 20 Lösung zu Aufgabe 18:............................................................................................. 21 Lösung zu Aufgabe 19:............................................................................................. 21 Lösung zu Aufgabe 20:............................................................................................. 23 Lösung zu Aufgabe 21:............................................................................................. 25 Lösung zu Aufgabe 22:............................................................................................. 27 Lösung zu Aufgabe 23:............................................................................................. 28 Lösung zu Aufgabe 24:............................................................................................. 29 Lösung zu Aufgabe 25:............................................................................................. 29 Lösung zu Aufgabe 26:............................................................................................. 29 Lösung zu Aufgabe 27:............................................................................................. 30 Lösung zu Aufgabe 28 .............................................................................................. 30 Lösung zu Aufgabe 29 .............................................................................................. 30 Lösung zu Aufgabe 30 .............................................................................................. 31 Lösung zu Aufgabe 31 .............................................................................................. 31 Lösung zu Aufgabe 32 .............................................................................................. 32 Lösung zu Aufgabe 33 .............................................................................................. 32 Lösung zu Aufgabe 34 .............................................................................................. 32 Lösung zu Aufgabe 35 .............................................................................................. 33 Lösung zu Aufgabe 36 .............................................................................................. 33 Lösung zu Aufgabe 37 .............................................................................................. 33 Lösung zu Aufgabe 38 .............................................................................................. 33 Lösung zu Aufgabe 39 .............................................................................................. 34 Lösung zu Aufgabe 40 .............................................................................................. 35


Übungsaufgaben zu Finanz- und Risikomanagement Aufgabe 1

a) Wie sieht das Payoff-Profil für den Verkäufer einer Call-Option aus? Geben Sie zusätzlich eine Formel für das Payoff-Profil an.

b) Wie sieht das Payoff-Profil für den Verkäufer einer Put-Option aus? Geben Sie zusätzlich eine Formel für das Payoff-Profil an.

Aufgabe 2 Ein Händler nimmt eine short Position in einem Future-Kontrakt auf Baumwolle mit einem Future-Preis von 1 USD/kg Baumwolle ein. Im Kontrakt wird eine Liefergröße von 25 000 kg Baumwolle vereinbart. Wie hoch ist der Gewinn bzw. Verlust des Händlers, wenn der Baumwoll-Preis am Ende der Future-Laufzeit

a) 0,964 USD/kg b) 1,026 USD/kg

beträgt?

Aufgabe 3 Ein Investor geht eine short forward position in einem Devisen-Forward ein. Darin verpflichtet er sich 100.000 GBP gegen USD zu einem Wechselkurs von 1,5 USD pro GBP zu verkaufen. Welchen Gewinn oder Verlust macht er, wenn am Ende der Laufzeit der Wechselkurs bei a) 1,49 USD pro GBP steht. b) 1,52 USD pro GBP steht.

Aufgabe 4 Ein Spekulant setzt darauf, dass der Kurs der Amazon-Aktie in den nächsten 2 Monaten ansteigen wird. Er hat 2000 USD in bar zur Verfügung. Er überlegt sich entweder

• eine Call-Option auf Amazon zu kaufen oder • die Amazon-Aktien direkt zu kaufen.

Der Aktienkurs der Amazon-Aktie beträgt derzeit 20 USD. Eine Call-Option auf Amazon mit einem Strike von 22,5 USD wird an der Börse derzeit für 1 USD angeboten


Der Spekulant hat also 2 Alternativen: 1. Alternative: Kauf von 100 Amazon Aktien 2. Alternative: Kauf von 2000 Call-Optionen auf Amazon Welchen Gewinn oder Verlust macht der Spekulant, wenn sich der Aktienkurs von Amazon in 2 Monaten auf a) 27 USD erhöht? b) 15 USD fällt ?

Aufgabe 5 a) Angenommen Sie spekulieren auf den Anstieg des Aktienkurses einer bestimmten

Aktie. Derzeit beträgt der Aktienkurs der Aktie 29 EUR. Eine Call-Option mit 3 Monaten Laufzeit und einem Strike-Preis von 30 EUR kostet an der Börse derzeit 2,90 EUR. Sie haben 5 800 EUR zur Verfügung.

Geben Sie zwei alternative Investment Strategien an (direkter Kauf der Aktie, Kauf von Call-Optionen). Welchen Gewinn oder Verlust machen Sie, wenn die Aktie in 3 Monaten auf einen Kurs von 31 EUR ansteigt?

b) Angenommen Sie spekulieren auf den Fall des Aktienkurses. Welche Art von Finanzinstrument würden Sie kaufen?

Aufgabe 6 Händler A in New York bietet an Euros zu einem Kurs von 1,39 USD pro EUR Euros zu kaufen. Gleichzeitig bietet Händler B in Frankfurt Euros zu einer Rate von 1,35 USD pro EUR zum Verkauf an. Wie kann ein Investor, der kein Geld hat, zu einem kleinen Vermögen kommen?

Aufgabe 7 Angenommen Händler A bietet in New York an Euros in einem Jahr für eine Rate von 1,58 USD pro EUR zu kaufen. Gleichzeitig bietet Händler B in Frankfurt Euros zum sofortigen Verkauf bei einem Wechselkurs von 1,60 USD pro Euro an. Weiterhin sei angenommen, dass US-Dollars zur Zeit mit einer jährlichen Zinsrate von 4% geliehen werden können und Euros zu einem jährlichen Zinssatz von 6% angelegt werden können. Wie kann ein Investor, der kein Geld hat, zu einem kleinen Vermögen kommen?

Aufgabe 8 Der Preis von Gold notiere derzeit bei 500 USD pro Feinunze Gold. Der Forward-Preis für den Verkauf von Gold in einem Jahr liegt bei 700 USD pro Feinunze.


Ein Marktteilnehmer hat die Möglichkeit sich USD zu einem Zinssatz von 10 % pro Jahr zu leihen. Weiterhin sei angenommen, dass die Lagerungskosten von Gold gleich Null sind, Wie kann der Marktteilnehmer einen risikofreien Gewinn machen?

Aufgabe 9 Für die risikolose Anlage gelte A(0)=100 EUR und A(1)=110 EUR. Der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = 0 sei S(0)=100 EUR es gilt außerdem, dass S(1) = 120 mit einer Wahrscheinlichkeit p S(1)= 80 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-p Berechnen Sie den Wert einer Call-Option mit Laufzeit bis t=1 und Strike-Preis 90 EUR (bzw. 110 EUR) im einfachen Marktmodell.

Aufgabe 10 Für die risikolose Anlage gelte A(0)=100 und A(1)=110. Der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = 0 sei S(0)=100 Euro es gilt außerdem, dass S(1) = 120 mit einer Wahrscheinlichkeit p S(1)= 80 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-p Berechnen Sie den Wert einer Put-Option mit Laufzeit bis t=1 und Strike-Preis 100 EUR im einfachen Marktmodell.

Aufgabe 11 Angenommen der Wert meines Sparbuches zum Zeitpunkt t=0 sei A(0) = 100 EUR und der Wert einer bestimmten Aktie, die keine Dividenden zahlt, zum Zeitpunkt t=0 sei S(0) = 50 EUR. Zum Zeitpunkt t=1 sei mein Sparbuch 110 EUR wert. Zeigen Sie dass dann unter den Vorraussetzungen des einfachen Marktmodells der Forward-Preis K der Aktie gleich 55 EUR ist.

Aufgabe 12 Betrachten wir wieder den Fall des einfachen Marktmodells. Der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = 0 sei S(0)=150 EUR. Zum Zeitpunkt t = 1 kann sich der Wert der Aktie entweder um 5% erhöhen oder um 4% fallen. Der risikolose Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann betrage 3%. Der Strike-Preis einer Call-Option mit Endlaufzeit t=1 betrage 155 Euro.

a) Welche Prämie muss für die Option unter der Vorraussetzung des No-Arbitrage-Prinzips angesetzt werden.

b) Wie sieht das zugehörige duplizierende Portfolio aus?


Aufgabe 13 Für eine Aktie wird das Black-Scholes Modell mit Drift 15,0=μ und Volatilität

35,0=σ bezogen auf ein Jahr angenommen. a) Wie hoch ist der Erwartungswert für die wöchentliche Drift? b) Wie hoch ist die Volatilität bezogen auf eine Woche? c) Wenn zum Zeitpunkt 0=t der Aktienkurs 250 EUR betrug, in welchem Intervall

liegt dann der Aktienkurs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % nach einer Woche?

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit übersteigt der Kurs 270 EUR?

Aufgabe 14 Für eine Aktie wird das Black-Scholes Modell mit Drift 15,0=μ und Volatilität 4,0=σ angenommen. Diese Kenngrößen beziehen sich auf ein Jahr. Der Schlusskurs der Aktie in der 35. Woche liege bei 250 EUR.

a) Geben Sie die Verteilung der Rendite und des Aktienkurses am Schluss der 36. Woche an. Berechnen Sie für beide Zufallsgrößen den Erwartungswert und die Varianz.

b) Geben Sie ein Intervall an, in dem der Aktienkurs am Schluss der 36. Woche mit 95% Sicherheit liegen wird.

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Schlusskurs kleiner als 270 EUR?

Aufgabe 15 Der Erwartungswert der logarithmischen Rendite eines Aktienkurses betrage 16 % pro Jahr, die Volatilität betrage 30 %.pro Jahr. Angenommen der Aktienkurs am Tagesende betrage 50 EUR. Berechnen Sie im Black-Scholes Modell

a) den Erwartungswert des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages, b) die Standardabweichung des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages, c) einen Bereich in dem sich der Aktienkurs zu 95 % am Ende des nächsten Tages

befindet.

Aufgabe 16 Die jährliche Volatilität der Allianz Aktie beträgt derzeit 50,65 % (Angaben aus Internet z.B. www.markets.ftd.de). Die Aktie notiert aktuell bei 50,20 EUR. Wir nehmen an, dass die Aktie eine jährliche Drift von 4,91 % hat. Eine Put-Option auf diese Aktie mit Strike-Preis 48 EUR und Laufzeit 3 Monate wird derzeit an der EUREX für 9,03 EUR zum Verkauf angeboten. Überprüfen Sie diesen Preis durch ein 5-Perioden Binomialmodell, wenn der risikolose Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann, derzeit ebenfalls 4,91% p.a. beträgt.

Aufgabe 17 Gegeben seien die Drift 002,0−=μ und die Volatilität 0218,0=σ bezogen auf einen Tag (historisch gemessener Erwartungswert und Standardabweichung der logarithmischen Rendite) der deutschen Bank Aktie.


Simulieren Sie die Entwicklung des Aktienkurses für den Zeitraum 16.09.2008 bis heute 29.10.2008 im Black-Scholes Modell.

Aufgabe 18 Für die Aktie der Deutschen Bank sei die Drift 002,0−=μ und die Volatilität

0218,0=σ bezogen auf einen Tag (historische berechnete Werte über den Zeitraum 14.09.2007 bis 15.09.2008). Simulieren Sie die Entwicklung des Aktienkurses für den Zeitraum 16.09.2008 bis 18.09.2008 im Binomialmodell.

Aufgabe 19 Die logarithmische Rendite der Aktie X habe eine Jahresdrift von 155,0=μ . Die jährliche Volatilität betrage %40=σ . Der Aktienkurs der Aktie X notiere an der Frankfurter Börse bei 78 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann sei 3,35 % p.a. Eine Call-Option auf diese Aktie mit Strike 85 Euro und einem Verfallstermin in 5 Monaten kostet an der Börse EUREX 6,57 EUR. Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe eines 5-Perioden Binomialmodells.

Aufgabe 20 Wir nehmen an, dass die logarithmische Rendite der Deutschen Telekom Aktie eine Jahresdrift von 0=μ hat. Die jährliche Volatilität beträgt %18,41=σ . Der Aktienkurs der Deutschen Telekom notiert derzeit an der Börse XETRA 69,11 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann ist 3,906 % p.a (EURIBOR). Eine europäische Put-Option auf diese Aktie mit Strike 13 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen kostet an der Börse EUREX 1,80 EUR. Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe eines 3-Perioden Binomialmodells. Wieviel würden Sie für eine Call-Option mit gleicher Laufzeit und gleichem Strike verlangen?

Aufgabe 21 Vom 01.03.2002 bis 14.08.2002 wurden die Schlusskurse der Deutschen Bank AG Aktien an der Frankfurter Börse notiert und die täglichen logarithmischen Renditen berechnet. Nach einer Klasseneinteilung ergab sich folgende Häufigkeitstabelle für die logarithmischen Renditen:


Klasse Klassenmitte Häufigkeit(-0,065, -0,055] -0,06 2(-0,055, -0,045] -0,05 0(-0,045, -0,035] -0,04 6(-0,035, -0,025] -0,03 9(-0,025, -0,015] -0,02 14(-0,015, -0,005] -0,01 18(-0,005, 0,005] 0 23(0,005, 0,015] 0,01 19(0,015, 0,025] 0,02 11(0,025, 0,035] 0,03 4(0,035, 0,045] 0,04 6(0,045, 0,055] 0,05 2(0,055, 0,065] 0,06 0(0,065, 0,075] 0,07 0(0,075, 0,085] 0,08 1

a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel Tagμ̂ und die Standardabweichung Tagσ̂

dieser Daten. b) Rechnen Sie die zugehörigen μ̂ und σ̂ als Schätzwerte für die Jahresdrift und

die Jahresvolatilität der Aktie. Legen Sie dabei 250 Tage für ein Jahr zugrunde. Den Wert σ̂ nennt man auch die historische Volatilität der Aktie, da sie eine Schätzung der Volatilität liefert, die auf historischen Daten beruht.

c) Berechnen Sie den Preis einer europäischen Call-Option auf die Deutsche Bank

AG mit Fälligkeit Dezember 2002 und Ausübungspreis 65 Euro am 19.08.2002 mithilfe eines 4-Perioden-Binomialmodells. Erstellen Sie dazu ein vollständiges Schema. Der Aktienkurs am 19.08.2002 liege bei 60 Euro. Der risikolose Zinssatz für die Geldaufnahme bzw. –anlage betrage 3,376 % pro Jahr.

d) Führen Sie im selben Schema wie in Teilaufgabe b) die Berechnung des Preises

einer europäischen Put-Option mit denselben Parametern durch.

Aufgabe 22 Wir nehmen an, dass die logarithmische Rendite der Deutschen Telekom Aktie eine Jahresdrift von 0=μ hat. Die jährliche Volatilität beträgt %18,41=σ . Der Aktienkurs der Deutschen Telekom notiert derzeit an der Börse XETRA 69,11 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann ist 3,906 % p.a (EURIBOR).

a) Berechnen Sie den Wert einer amerikanischen Call-Option auf diese Aktie mit Strike 13 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen mittels eines 3-Perioden Binomialmodells.


b) Berechnen Sie den Wert einer amerikanischen Put-Option auf diese Aktie mit Strike 13 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen mittels eines 3-Perioden Binomialmodells.

Aufgabe 23 Ein Aktienindex notiert derzeit bei 810 USD und hat eine Jahresvolatilität von 20% und eine kontinuierliche Dividendenrate von 2%. Die Drift des Aktienindex kann als

0=μ angenommen werden. Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann, betrage 5% p.a.. Berechnen Sie den Wert einer europäischen Call-Option mit einem Strike-Preis von 800 und einer Laufzeit von 6 Monaten in einem 2-Perioden Binomialmodell.

Aufgabe 24 Der Aktienkurs einer dividendenlosen Aktie notiere bei 19 EUR. Der Wert einer europäischen Call-Option auf diese Aktie mit einem Strike-Preis von 20 EUR und einer Laufzeit von 3 Monaten ist derzeit 1 EUR. Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann, betrage 4% p.a. Wie hoch ist dann der Wert einer europäischen Put-Option mit einem Strike-Preis von 20 EUR und einer Laufzeit von 3 Monaten?

Aufgabe 25 Der Wert einer amerikanischen Call-Option auf eine dividendenlose Aktie beträgt 4 EUR. Der Aktienkurs der zugrunde liegenden Aktie notiere bei 31 EUR, der Strike-Preis der Option sei 30 EUR und die Laufzeit betrage 3 Monate. Der risikolose Zinssatz, zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann sei 8% p.a.. Finden Sie obere und untere Schranken für den Wert einer amerikanischen Put-Option auf dieselbe Aktie mit derselben Laufzeit und dem gleichen Strike-Preis.

Aufgabe 26 Eine europäische Call-Option und eine europäische Put-Option auf die gleiche Aktie beide mit einem Strike-Preis von 24 USD und einer Laufzeit von 6 Monaten werden derzeit für 5,09 USD bzw. für 7,78 USD angeboten. Die zugrunde liegende Aktie notiert derzeit bei 20,37 USD und der risikolose Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann beträgt 7,48% p.a.. Finden Sie eine Arbitrage Möglichkeit.

Aufgabe 27 Eine amerikanische Call-Option auf eine dividendenlose Aktie mit Strike-Preis 20 USD und Laufzeit 5 Monate ist derzeit 1,5 USD wert. Angenommen der derzeitige Aktienkurs liegt bei 19 USD und der risikolose Zinssatz betrage 10 %.


Geben Sie eine obere und eine untere Schranke für eine Put-Option auf die gleiche Aktie, mit gleicher Laufzeit und gleichem Strike, wie die Call-Option an.

Aufgabe 28 (vgl. Aufgabe 19) Die jährliche Volatilität der Aktie X betrage %40=σ . Der Aktienkurs der Aktie X notiere an der Frankfurter Börse bei 78 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann sei 3,35 % p.a. Eine Call-Option auf diese Aktie mit Strike 85 Euro und einem Verfallstermin in 5 Monaten kostet an der Börse EUREX 6,57 EUR. Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe des Black-Scholes Modells.

Aufgabe 29 Betrachten Sie eine Option auf eine dividendenlose Aktie, wenn der Aktienkurs bei 30 EUR notiert. Der Strike-Preis sei jeweils 29 EUR, der risikolose Zinssatz betrage 5 % p.a. Die Volatilität der Aktie sei 25 % pro Jahr und die Laufzeit der entsprechenden Option betrage 4 Monate.

a) Wieviel ist die Option wert, wenn es sich um eine europäische Call-Option handelt?

b) Wieviel ist die Option wert, wenn es sich um eine amerikanische Call-Option handelt?

c) Wieviel ist die Option wert, wenn es sich um eine europäische Put-Option handelt?

Aufgabe 30 Es wird angenommen, dass sich ein Aktienkurs gemäß dem Black-Scholes Model entwickelt mit einer Jahresdrift von 16% und einer Volatilität von 35 % pro Jahr. Der derzeitige Preis der Aktie liege bei 38 EUR. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine europäische Call-Option auf diese Aktie mit einem Strike-Preis von 40 EUR und einer Laufzeit von 6 Monate tatsächlich ausgeübt wird?

Aufgabe 31 Eine europäische Put-Option auf die BMW-Aktie hat eine Restlaufzeit von einem Jahr und einen Ausübungspreis von 40 EUR. Der jährliche Marktzins betrage 6%, der heutige Aktienkurs 38 EUR. Außerdem finden wir für die BMW-Aktie eine geschätzte Volatilität von 25% pro Jahr. Wieviel ist die Put-Option wert?

Aufgabe 32 Angenommen Sie sind der Verkäufer von 100 Call-Optionen auf die Aktie der Deutschen Bank mit einem Ausübungspreis von K = 90 EUR und einer Restlaufzeit von 9 Monaten. Der aktuelle Aktienkurs notiere bei 91,05 EUR und die Jahresvolatilität der Aktie betrage 29%. Der risikofreie Zinssatz betrage 3 % p.a. und wir nehmen an, dass keine Dividenden gezahlt werden.


Wieviele Aktien müssen Sie kaufen, damit ihre Gesamtposition gegenüber kleinen Aktienkursveränderungen risikoneutral wird?

Aufgabe 33 Um welchen Betrag ändert sich näherungsweise der Wert, der in Aufgabe 31 erwähnten Put-Option auf die BMW-Aktie, wenn der Aktienkurs der BMW Aktie sich um einen EUR erhöht?

Aufgabe 34 Berechnen Sie das Delta einer Europäischen Call-Option auf eine dividendenlose Aktie, mit Laufzeit 6 Monate, wenn der risikofreie Zinssatz bei 10 % p.a. liegt, die Jahres-Volatilität der Aktie 25 % beträgt und der Wert der Aktie derzeit gleich dem Strike-Preis der Option ist.

Aufgabe 35 Angenommen der risikofreie Zinssatz beträgt 8% p.a. Gehen Sie davon aus, dass Sie Call-Optionen mit einer Laufzeit von 90 Tagen und einem Strike-Preis von 60 EUR auf eine Aktie mit einem derzeitigem Kurs von 60 EUR verkaufen. Die Jahresvolatilität der Aktie betrage 30 %.

a) Wie hoch ist der Wert der Option? b) Wie groß ist das Delta der Option? c) Angenommen Sie verkaufen 1000 Optionen, wie viele Aktien müssen Sie kaufen

oder verkaufen um risikofrei zu sein?

Aufgabe 36 Betrachten Sie eine Put-Option auf eine Aktie mit einer Laufzeit von 4 Monaten. Der aktuelle Wert der Aktie beträgt 305 EUR, der Strike-Preis der Option beträgt 300 EUR. Der risikolose Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann liege bei 8% p.a. und die Volatilität der Aktie betrage 25% pro Jahr. Wie stark erhöht sich näherungsweise der Wert der Option, wenn sich die jährliche Volatilität von 25% auf 26% erhöht?

Aufgabe 37 Angenommen ein Aktienhändler einer Bank managed ein Portfolio, das aus den folgenden Positionen besteht:

- 100.000 gekaufte Call-Optionen auf eine Aktie X mit einem Strike-Preis von 55 EUR und einer Laufzeit von 3 Monaten . Das Delta dieser Optionen liege bei 0,533.

- 200.000 verkaufte Call-Optionen auf Aktie X mit einem Strike-Preis von 56 EUR

und einer Laufzeit von 5 Monaten. Das Delta dieser Optionen liege bei 0,468. - 50.000 verkaufte Put-Optionen auf Aktie X mit einem Strike-Preis von 56 EUR

und einer Laufzeit von 2 Monaten. Das Delta dieser Optionen liege bei -0,508.


Wieviel Aktien X muss der Händler kaufen um sein Portfolio Delta-neutral zu stellen?

Aufgabe 38 Ein Händler einer Bank hat für 300 000 EUR 100 000 Call-Optionen auf eine dividendenlose Aktie X verkauft. Der Strike-Preis dieser Optionen liege bei 50 EUR, der derzeitige Aktienkurs der Aktie X betrage 49 EUR. Der risikolose Zinssatz, zudem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann, betrage 5% p.a. Die Volatilität der Aktie X sei 20% pro Jahr und die Laufzeit der Option betrage 20 Wochen (0,3846 Jahre).

a) Wie hoch ist der Black-Scholes Preis aller Call-Optionen? b) Um wie viel hat die Bank die Call-Optionen über dem theoretischen Black-

Scholes Preis verkauft? c) Wieviele Aktien muss der Händler kaufen, um sein Portfolio Delta-neutral zu

gestalten?

d) Angenommen der Aktienkurs sinkt innerhalb einer Woche auf 48,12 EUR, wie viele Aktien muss der Händler kaufen oder verkaufen, um das Gesamtportfolio wieder Delta-neutral zu haben?

e) Was kostet ihn insgesamt der Zu- bzw. Verkauf der Aktien?

f) Simulieren Sie den Aktienkurs mit einer Drift von 13 % in Zeitschritten von einer

Woche und berechnen Sie für jede neue Woche die Kosten des Delta-Hedges um Delta-Neutralität herzustellen.

Aufgabe 39 Sie kaufen 100 Puts mit einem Delta von jeweils -0,3. Wieviele Puts mit einem Delta von -0,85 sollten Sie zur Konstruktion einer Delta-neutralen Position verkaufen?

Aufgabe 40 Ein Portfolio, bestehend aus einem europäischen long Call mit Ausübungspreis 1K und einem europäischen short Put mit Ausübungspreis 12 KK < mit gleichem Verfallstag heißt Collar. Zeichnen Sie das Auszahlungsdiagramm eines Collars.

Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 1 a) Der Verkäufer einer Call-Option hat das Payoff-Profil: Prämie-max(S-K;0)


Payoff-Profil Verkäufer Call-Option

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

K

Prämie

b) Der Verkäufer einer Put-Option hat das Payoff-Profil_ Prämie-max (K-S;0)

Payoff-Profil für Verkäufer einer Put-Option

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

K

Prämie

Lösung zu Aufgabe 2: a) Der Händler macht einen Gewinn von ( ) 25000964,01 ⋅− USD = 900 USD. b) Der Händler macht einen Verlust von ( ) 250001026,1 ⋅− USD = 650 USD

Lösung zu Aufgabe 3: a) Der Investor macht einen Gewinn von ( )49,15,1000.100 −⋅ USD = 1000 USD.


b) Der Investor macht einen Verlust von ( )5,152,1000.100 −⋅ USD = 2000 USD.

Lösung zu Aufgabe 4: a) Der Aktienkurs erhöht sich von 20 USD auf 27 USD.

1. Alternative: Gewinn von ( )2027100 −⋅ USD = 700 USD 2. Alternative: Durch Ausüben von 2000 Optionen erhält man

( ) 90000;5,2227max2000 =−⋅ USD. Nach Abzug der ursprünglichen Kosten für die Optionsprämie macht der Spekulant also einen Gewinn von ( )20009000 − USD = 7000 USD.

b) Der Aktienkurs fällt von 20 auf 15 USD. 1. Alternative: Verlust von ( )1520100 −⋅ USD = 500 USD.

2. Alternative: Die Put-Option wird nicht ausgeübt. Daraus folgt ein Verlust von 2000 USD.

Payoff-Profile

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Payoff-Profil Call-OptionenPayoff Profil Kauf Aktien

Man erkennt, dass Optionen gegenüber einer direkten Investition in Aktien einen

größeren Hebel („Leverage“) besitzen. Damit verstärken sich die finanziellen Konsequenzen (Gewinn oder Verlust).

Lösung zu Aufgabe 5: a) 1. Alternative: Kauf von 200295800 =÷ Aktien. Wenn die Aktien auf 31 EUR

ansteigt, dann folgt daraus ein Gewinn von ( ) 4002931200 =−⋅ EUR. 2. Alternative: Kauf von 20009,25800 =÷ Call-Optionen. Wenn die Aktie auf 31 EUR ansteigt, dann folgt aus der Ausübung der Call-Option ein Gewinn von


( ) 200030312000 =−⋅ EUR. Davon muss aber noch die Optionsprämie abgezogen werden, so dass ein Verlust von 5800 – 2000 = 3800 EUR übrig bleibt.

b) Spekuliert man auf den Fall des Aktienkurses, dann sollte man sich eine Put-

Option kaufen.

Lösung zu Aufgabe 6: 1. Schritt: Der Investor leiht sich von einem Freund 1000 EUR 2. Schritt: Der Investor zahlt an Händler A 1000 EUR und erhält dafür 39,11000 ⋅ USD 3. Schritt: Der Investor zahlt an Händler B 35,11000 ⋅ USD und erhält dafür 1000 EUR. 4. Schritt: Der Investor zahlt seinem Freund wieder 1000 EUR zurück. Der Gewinn des Investors beträgt dann: ( )35,139,11000 −⋅ USD = 40 USD

Lösung zu Aufgabe 7: 1. Schritt: Der Investor leiht sich 10.000 USD zu einem jährlichen Zinssatz von 4%. 2. Schritt: Der Investor wechselt die 10.000 USD unmittelbar bei Händler B in EUR

und erhält 6,1000.10 EUR = 6250 EUR

3. Schritt: Der Investor legt 6250 EUR für ein Jahr auf einem Bankkonto zu einem Zinssatz von 6% an. Gleichzeitig schließt er mit Händler A einen Forward Kontrakt ab (Händler A hat die long forward Position auf EUR inne, der Investor hat die short forward Position auf EUR inne).

4. Schritt: Nach einem Jahr erhält der Investor 6250 EUR plus 375 EUR an Zinsen zurück.

5. Schritt: Der Investor verkauft im Zuge seines Forward Kontraktes 6625 EUR an Händler A und erhält dafür 58,16625 ⋅ USD = 10.467,5 USD.

6. Schritt: Der Investor zahlt an die Bank 10.000 USD plus 400 USD an Zinsen zurück

Der Gewinn des Investors beträgt dann 67,5 USD

Lösung zu Aufgabe 8: Der Marktteilnehmer kann sich 500 USD zu einem Zinssatz von 10 % leihen, davon eine Feinunze Gold kaufen und gleichzeitig eine short Forward Position auf eine Feinunze Gold eingehen. Nach einem Jahr verkauft er die Feinunze Gold im Rahmen der Forward Position zu 700 USD. Nachdem er den Kredit mit Zinsen zurückgezahlt hat bleiben ihm noch ( )550700 − USD = 150 USD an risikofreiem Gewinn.


Lösung zu Aufgabe 9: Wir bezeichnen mit 120)1( =uS den Wert der Aktie zum Zeitpunkt 1, wenn der Aktienkurs ansteigt und mit 80)1( =dS den Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = 1, wenn der Aktienkurs fällt. Dementsprechend wird auch der Wert der Call-Option zum Zeitpunkt t=1 mit 30)1( =uC und 0)1( =dC bezeichnet. Das duplizierende Portfolio ergibt sich durch Auflösen des linearen Gleichungssystems nach x und y :

)1()1()1()1()1()1(

dd

uu

CAySxCAySx

=⋅+⋅=⋅+⋅

Also

01108030110120

=⋅+⋅=⋅+⋅

yxyx

Nach Auflösen des linearen Gleichungssystems erhält man 43

=x und 116

−=y .

Aus diesem Grund beträgt der Preis der Call-Option zum Zeitpunkt t = 0 im einfachen

Marktmodell: ( ) 45,20100116100

430 =⋅−⋅=C EUR.

Lösung zu Aufgabe 10: Wir bezeichnen mit 120)1( =uS den Wert der Aktie zum Zeitpunkt 1, wenn der Aktienkurs ansteigt und mit 80)1( =dS den Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = 1, wenn der Aktienkurs fällt. Dementsprechend wird auch der Wert der Put-Option zum Zeitpunkt t=1 mit 0)1( =uP und 20)1( =dP bezeichnet. Das duplizierende Portfolio ergibt sich durch Auflösen des linearen Gleichungssystems nach x und y :

)1()1()1()1()1()1(

dd

uu

PAySxPAySx

=⋅+⋅=⋅+⋅

Also

20110800110120

=⋅+⋅=⋅+⋅

yxyx

Nach Auflösen des linearen Gleichungssystems erhält man 21

−=x und 116

=y .

Aus diesem Grund beträgt der Preis der Put-Option zum Zeitpunkt t = 0 im einfachen

Marktmodell: ( ) 5454,4100116100

210 =⋅+⋅−=P EUR.


Lösung zu Aufgabe 11: Wir zeigen, dass wann immer der Forward Preis 55≠K EUR ist, eine Arbitrage-Möglichkeit existiert.

1. Fall: Angenommen 55>F EUR. Ein Arbitrageur geht dann zum Zeitpunkt t = 0 folgendermaßen vor:

o Er leiht sich 50 EUR zu einem Zinssatz von 10 %. o Er kauft sich eine Aktie zum Preis von 50 EUR. o Er schließt einen Forward Kontrakt zum Forward Preis K ab, indem er die

short Forward Position einnimmt. Zum Zeitpunkt t = 1 läuft der Forward Kontrakt aus und der Arbitrageur erhält K EUR durch den Verkauf der Aktie. Gleichzeitig muss er aus seinem Kredit

5511021

=⋅ EUR zurückzahlen. Es bleiben ihm also als risikoloser

Gewinn ( )55−K EUR > 0. 2. Fall: Angenommen 55<F EUR.

Ein Arbitrageur geht dann zum Zeitpunkt t = 0 folgendermaßen vor: o Er verkauft die Aktie für 50 EUR, (wenn er sie nicht besitzt, macht er

einen Leerverkauf). o Er investiert den Betrag von 50 EUR in eine risikolose Anlage (Sparbuch). o Er schließt einen Forward Kontrakt zum Forward Preis K ab, indem er die

long Forward Position einnimmt. Zum Zeitpunkt t = 1 läuft der Forward Kontrakt aus und der Arbitrageur kann sich die Aktie zum Preis von K EUR zurückkaufen. Gleichzeitig erhählt er aus seiner risikolosen Anlage den Wert von 55 EUR ausbezahlt. Es bleiben ihm also als risikoloser Gewinn ( )K−55 EUR > 0.

Weil im einfachen Marktmodelle das No-Arbitrage-Prinzip vorausgesetzt wird, kann damit nur gelten 55=K EUR.

Lösung zu Aufgabe 12: a) Wir bezeichnen mit ( ) 5,15705,01150)1( =+⋅=uS EUR den Wert der Aktie zum

Zeitpunkt 1, wenn der Aktienkurs ansteigt und mit ( ) 14404,01150)1( =−⋅=dS EUR den Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = 1, wenn der Aktienkurs fällt. Dementsprechend wird auch der Wert der PCall-Option zum Zeitpunkt t=1 mit

5,2)1( =uC und 0)1( =dC bezeichnet.

Das duplizierende Portfolio ergibt sich durch Auflösen des linearen Gleichungssystems nach x und y :

)1()1()1()1()1()1(

dd

uu

CAySxCAySx

=⋅+⋅=⋅+⋅


Also

01031445,21035,157

=⋅+⋅=⋅+⋅

yxyx

Nach Auflösen des linearen Gleichungssystems erhält man 1852,0=x und

2589,0−=y . Aus diesem Grund beträgt der Preis der Put-Option zum Zeitpunkt t = 0 im einfachen Marktmodell: ( ) 8137,21002589,01551852,00 =⋅−⋅=C EUR.

b) Das duplizierende Portfolio besteht aus 0,1852 Aktien und einer Kreditaufnahme von 25,89 EUR.

Lösung zu Aufgabe 13:

a) Die wöchentliche Drift beträgt 00288,052115,0 =⋅ .

b) Die Volatilität bezogen auf eine Woche beträgt 0485,052135,0 =⋅ .

c) Gesucht ist ein zweiseitiger 90%-Zufallsstreubereich für den Aktienkurs. Wir berechnen dazu zuerst einen 90%-Zufallsstreubereich für die logarithmische Rendite des Aktienkurses in einer Woche: [ ][ ] [ ]083,0;077,00485,0645,100288,0;0485,0645,100288,0

; 95,095,0

−=⋅+⋅−=

⋅+⋅− hwöchentlichwöchentlichwöchentlichwöchentlic zz σμσμ

Damit gilt für den Aktienkurs in einer Woche, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% im Bereich [ ] [ ]56,271;48,231250;250 083,0077,0 =⋅⋅ − ee liegt.

d)

( ) ( ) ( )

%3,6063,09370,010485,0

00288,0770,01

0770,0250270ln270250270

==−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ−=

>=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>=>⋅=> tt

Rt RPRPePSP t

Lösung zu Aufgabe 14:

a) Die wöchentliche Drift beträgt: 00288,052115,0 =⋅ . Die wöchentliche Volatilität

beträgt: 05547,05214,0 =⋅ . Aus diesem Grunde ist die Rendite in einer Woche


normalverteilt mit Erwartungswert ( ) 003,002,0 =RE und Varianz ( ) 00308,002,0 =RVar . Es gilt also ( )00308,0;003,0~02,0 NR .

Außerdem ist der Aktienkurs lognormal verteilt mit einem Erwartungswert von

( ) 1082,251250 521

216,0

15,0521

2002,0

2

=⋅=⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

eeSSEσ

μ

und einer Varianz von

( ) ( ) .219,19312

2

22

2002,0 =−⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

tt

eeSSVar σ

σμ

b) Am Schluss der 36. Woche wird der Aktienkurs mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% im Intervall [ ]52,279;89,224 liegen.

c) ( ) ( ) ( )

( ) %99,909099,034,105547,0

00288,0770,0

0770,0250270ln270250270

==Φ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ=

<=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<=<⋅=< tt

Rt RPRPePSP t

Lösung zu Aufgabe 15: Der Erwartungswert der Rendite eines Aktienkurses betrage 16 % pro Jahr, die Volatilität betrage 30 % pro Jahr. Angenommen der Aktienkurs am Tagesende betrage 50 EUR. Berechnen Sie im Black-Scholes Modell

d) den Erwartungswert des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages, e) die Standardabweichung des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages, f) einen Bereich in dem sich der Aktienkurs zu 95 % am Ende des nächsten Tages

befindet.

a) ( ) 041,5050 2501

23,016,0

004,0

2

=⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

eSE EUR.

b) ( ) 9016395,0150 25013,0250

123,016,02

2004,0

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

eeSVar ⇒ Standardabweichung

des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages : 0,949547. c) Zufallsstreubereich für die logarithmische Rendite ist

[ ]037828,0;03655,025013,096,1

250116,0;

25013,096,1

250116,0 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅ .

Damit ist [ ]92765,51;20557,48 ein Zufallsstreubereich für den Aktienkurs.


Lösung zu Aufgabe 16: JahresvolatilitäZeitintervall EURIBOR Drift (u-d)r d

0,5065 0,05 4,91% 100,24% 4,91% 0,22810224 0,8951161

89,53004270,00

79,750,00

71,03 71,38305780,00 0,00

63,27 63,580,38 0,00

56,36 56,64 56,91431381,64 0,73 0,00

50,2 50,4470881 50,69539243,78 2,76 1,38

44,93 45,16 45,37826225,71 4,59 2,62

40,22 40,41986378,36 7,47

36,00 36,18047111,77 11,82

32,227098115,66

28,846994519,15

Lösung zu Aufgabe 17: Gegeben seien die Drift 002,0−=μ und die Volatilität 0218,0=σ bezogen auf einen Tag (historisch gemessener Erwartungswert und Standardabweichung der logarithmischen Rendite) der deutschen Bank Aktie. Simulieren Sie die Entwicklung des Aktienkurses für den Zeitraum 16.09.2008 bis heute 29.10.2008 im Black-Scholes Modell.


tgl. Drift tgl. Volatilität Datumgleichverteilte Zufallszahlen

gleichverteilte Zufallszahlen

normalverteilte Zufallszahl

normalverteilte Zufallszahl

simulierter Aktienkurs 1

simulierter Aktienkurs 2

tatsächlicher Aktienkurs

-0,002 0,0218 16.09.2008 0,81 0,65 -0,52 -0,39 53,50 53,64 51,7417.09.2008 0,34 0,84 -1,26 0,77 51,94 54,44 50,31

Letzter Kurswert 18.09.2008 0,21 0,86 -1,37 1,13 50,31 55,68 50,2854,21 19.09.2008 0,44 0,49 0,07 -1,27 50,29 54,05 57,50

22.09.2008 0,05 0,88 -1,61 1,82 48,45 56,13 55,5623.09.2008 0,26 0,10 0,96 1,32 49,37 57,66 53,8324.09.2008 0,98 0,63 -0,16 -0,15 49,10 57,36 55,5025.09.2008 0,56 0,90 -0,64 0,87 48,33 58,34 56,0026.09.2008 0,75 0,28 0,75 -0,16 49,02 58,03 54,9029.09.2008 0,54 0,59 -0,58 -0,95 48,31 56,73 50,6530.09.2008 0,17 0,44 0,73 -1,75 48,99 54,49 49,5301.10.2008 0,33 0,95 -0,49 1,41 48,36 56,08 49,6902.10.2008 0,92 0,76 -0,41 0,02 47,84 55,99 49,6903.10.2008 0,78 0,84 -0,60 0,36 47,12 56,32 53,0106.10.2008 0,17 0,92 -0,86 1,66 46,15 58,27 47,8507.10.2008 0,65 0,64 -0,71 -0,60 45,35 57,40 43,5808.10.2008 0,21 0,83 -1,55 0,87 43,76 58,38 38,9409.10.2008 0,17 0,60 -1,13 -1,50 42,61 56,38 37,2110.10.2008 0,32 0,69 -1,41 -0,55 41,24 55,60 31,2313.10.2008 0,64 0,70 -0,91 -0,27 40,35 55,16 35,0014.10.2008 0,35 0,60 -0,87 -1,15 39,51 53,69 38,7515.10.2008 0,84 0,70 -0,56 -0,16 38,95 53,39 33,9216.10.2008 0,78 0,73 -0,70 -0,10 38,28 53,16 31,8717.10.2008 0,09 0,36 1,70 -1,38 39,65 51,48 32,6118.10.2008 0,50 0,11 0,72 0,92 40,20 52,4219.10.2008 0,11 0,86 -1,64 1,30 38,70 53,8220.10.2008 0,18 0,16 1,59 0,95 39,99 54,8421.10.2008 0,41 0,79 -1,29 0,33 38,80 55,1222.10.2008 0,14 0,31 1,82 -0,79 40,29 54,0823.10.2008 0,65 0,86 -0,73 0,57 39,57 54,6424.10.2008 0,20 0,25 1,80 0,00 41,08 54,5325.10.2008 0,81 0,14 0,49 0,43 41,44 54,9326.10.2008 0,23 0,29 1,66 -0,40 42,88 54,3527.10.2008 0,72 0,98 -0,10 0,81 42,70 55,2028.10.2008 0,19 0,87 -1,31 1,28 41,41 56,6529.10.2008 0,29 0,53 -0,26 -1,54 41,10 54,67

Lösung zu Aufgabe 18: Kurs am

15.09.2008 16.09.2008 17.09.2008 18.09.2008 Wahrscheinlichkeit57,5276323 0,125

56,399787655,2940547 55,0733203 0,375

54,21 53,993593152,9350343 52,7237171 0,375

51,690054550,4743554 0,125

Lösung zu Aufgabe 19: 1. Schritt: Umrechnung Jahresdrift auf Monatsdrift

155,0=jährlichμ ⇒ 121155,0 ⋅=monatlichμ


Umrechnung von Jahresvolatilität in Monatsvolatilität

4,0=jährlichσ ⇒ 1214,0 ⋅=monatlichσ

Umrechnung von Jahreszins auf Monatszins ( ) ( )jährlichmonatlich ii +=+ 11 12 ⇒ 12 0335,11 =+ monatlichi 2. Schritt: Berechnung des Faktors u für Aufwärts- und d für

Abwärtsbewegung

14,1124,0

12155,0

==+

eu ; 9,0124,0

12155,0

==−

ed

3. Schritt: Aufstellen eines 5-Perioden Binomialmodells für die Aktie X

150,18

131,74

115,56 118,57

101,37 104

88,92 91,23 93,6

78 80,03 82,11

70,2 63,18 64,82

63,18 64,82

56,86 58,34

51,18

46,06

4. Schritt: Berechnung der Optionspreise an den Kontenpunkten:


150,1865,18

131,7446,97

115,56 118,5731,03 33,57

101,37 10419,13 19,24

88,92 91,23 93,611,19 10,31 8,60

78 80,03 82,116,28 5,30 3,67

70,2 63,18 64,822,64 1,57 0,00

63,18 64,820,67 0,00

56,86 58,340,00 0,00

51,180,00

46,060,00

Lösung zu Aufgabe 20: a)

1. Schritt: Umrechnung von Jahresvolatilität in 2-Wochen-Volatilität

4118,0=jährlichσ ⇒ 5224118,02 ⋅=− hwöchentlicσ

Umrechnung von Jahreszins auf 2-Wochenzins ( ) ( )jährlichhwöchentlic ii +=+ − 11 26

2 ⇒ 262 0391,11 =+ − hwöchentlici

2. Schritt: Berechnung des Faktors u für Aufwärts- und d für

Abwärtsbewegung

084,15224118,0==

⋅eu ; 9224,052

24118,0==

⋅−ed


3. Schritt: Aufstellen eines 3-Perioden Binomialmodells für die Telekomaktie

14,89

13,74

12,67 12,67

11,69 11,69

10,78 10,78

9,95

9,17 4. Schritt: Berechnung des Optionspreises der Put-Option an den

Knotenpunkten

14,890,00

13,740,17

12,67 12,670,67 0,33

11,69 11,691,44 1,29

10,78 10,782,18 2,22

9,953,03

9,173,83

b) Für eine Call-Option gilt entsprechend:


14,891,89

13,740,93

12,67 12,670,45 0,00

11,69 11,690,22 0,00

10,78 10,780,00 0,00

9,950,00

9,170,00

Lösung zu Aufgabe 21: Vom 01.03.2002 bis 14.08.2002 wurden die Schlusskurse der Deutschen Bank AG Aktien an der Frankfurter Börse notiert und die täglichen logarithmischen renditen berechnet. Nach einer Klasseneinteilung ergab sich folgende Häufigkeitstabelle für die logarithmischen Renditen: Klasse Klassenmitte Häufigkeit(-0,065, -0,055] -0,06 2(-0,055, -0,045] -0,05 0(-0,045, -0,035] -0,04 6(-0,035, -0,025] -0,03 9(-0,025, -0,015] -0,02 14(-0,015, -0,005] -0,01 18(-0,005, 0,005] 0 23(0,005, 0,015] 0,01 19(0,015, 0,025] 0,02 11(0,025, 0,035] 0,03 4(0,035, 0,045] 0,04 6(0,045, 0,055] 0,05 2(0,055, 0,065] 0,06 0(0,065, 0,075] 0,07 0(0,075, 0,085] 0,08 1

a) 0012.0ˆ −=Tagμ ; Standardabweichung 0234,0ˆ =Tagσ . b) Für die Jahresdrift μ̂ gilt dann: 3,0250ˆˆ −=⋅= Tagμμ ; Für die

Jahresvolatilität σ̂ gilt dann: 370,0250ˆˆ =⋅= Tagσσ . c)


d)

JahresvolatilitäZeitintervall EURIBOR Drift (u-d)r d0,37 0,0833 3,3760% 100,28% -30,00% 0,20932005 0,87650769

83,2318,23

76,6911,87

70,67 67,227,69 2,22

65,11 61,944,96 1,34

60 57,0737655 54,29024513,18 0,81 0,00

52,59 50,030,49 0,00

46,10 43,84781820,00 0,00

40,400,00

35,41393420,00

JahresvolatilitäZeitintervall EURIBOR Drift (u-d)r d

0,37 0,0833 3,3760% 100,28% -30,00% 0,20932005 0,87650769

83,230,00

76,690,00

70,67 67,221,66 0,00

65,11 61,944,30 4,22

60 57,0737655 54,29024517,47 8,38 10,71

52,59 50,0312,36 14,79

46,10 43,847818218,55 21,15

40,4024,42

35,413934229,59


Lösung zu Aufgabe 22: Wir nehmen an, dass die logarithmische Rendite der Deutschen Telekom Aktie eine Jahresdrift von 0=μ hat. Die jährliche Volatilität beträgt %18,41=σ . Der Aktienkurs der Deutschen Telekom notiert derzeit an der Börse XETRA 69,11 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann ist 3,906 % p.a (EURIBOR).

c) Berechnen Sie den Wert einer amerikanischen Call-Option auf diese Aktie mit Strike 13 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen mittels eines 3-Perioden Binomialmodells.

d) Berechnen Sie den Wert einer amerikanischen Put-Option auf diese Aktie mit Strike 13 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen mittels eines 3-Perioden Binomialmodells.

a) 14,894852

1,89

13,7392270,93

12,6732617 12,67326170,45 0,00

11,69 11,690,22 0,00

10,7830251 10,78302510,00 0,00

9,94641840,00

9,174720240,00

Der Wert der amerikanischen Call-Option auf eine Aktie ohne Dividende ist gleich dem Wert einer entsprechenden europäischen Call-Option. b)


14,8948520,00

13,7392270,17

12,6732617 12,67326170,75 0,33

11,69 11,691,50 1,31

10,7830251 10,78302512,22 2,22

9,94641843,05

9,174720243,83

Zeitpunkte zu denen vorzeitig ausgeübt wird, sind hier grün markiert. Es kann also sinnvoll sein eine amerikanische Put-Option (auch auf eine dividendenlose Aktie) vorzeitig auszuüben.

Lösung zu Aufgabe 23: Ein Aktienindex notiert derzeit bei 810 USD und hat eine Jahresvolatilität von 20% und eine kontinuierliche Dividendenrate von 2%. Die Drift des Aktienindex kann als

0=μ angenommen werden. Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann, betrage 5% p.a.. Berechnen Sie den Wert einer europäischen Call-Option mit einem Strike-Preis von 800 und einer Laufzeit von 6 Monaten in einem 2-Perioden Binomialmodell.


Vola Dividende u d u-d 1+i0,2 0,02 1,12727434 0,92293417 0,20434017 1,01227223

1029,31229,31

913,09122,79

810 842,7263,29 42,72

747,5818,45

689,960,00

Lösung zu Aufgabe 24: Laut Put-Call-Parität gilt immer:

( )K

iCSP T

ee ⋅+

+=+1

1000 , wenn eP0 der Wert der Put-Option zum Zeitpunkt 0, eC0 der

Wert der Call-Option zum Zeitpunkt 0 und 0S der Wert der Aktie zum Zeitpunkt 0 ist.

Damit gilt : ( ) ( )

8049,1192004,0111

11

25,0000 =−⋅+

+=−⋅+

+= SKi

CP Tee EUR.

Lösung zu Aufgabe 25: 310 =S EUR; Wert der amerikanischen Call Option 40 =aC EUR; Strike-Preis K =30

EUR; Laufzeit 41

=T Jahre = 3 Monate; 08,0=i p.a.

Mit der Put-Call-Parität (bzw. Ungleichung) für amerikanische Optionen gilt:

( )K

iSPCKS T

aa ⋅+

−≤−≤−1

10000 ⇒

( ) 00000 11 SKCPKi

SC aaT

a −+≤≤+

+− , also

( )33130430

08,0113144283,2 025,0 =−+≤≤

++−= aP , damit gilt:

34283,2 0 ≤≤ aP .

Lösung zu Aufgabe 26: In diesem Beispiel ist die Put-Call-Parität verletzt, weil

( ) ( )5114,424

0748,01137,20

1169,278,709,5 12/6 −=⋅

+−=⋅

+−>−=−=− K

iSPC Tt

et

et .

Die Arbitragemöglichkeit kann folgendermaßen aussehen.


Zum Zeitpunkt 0=t :

• Kauf der Aktie für 20,37 EUR • Kauf einer Put-Option für 7,78 EUR • Verkauf einer Call-Option für 5,09 EUR • Kreditaufnahme von 23,06 EUR zu einer Rate von 7,48 %.

Ein Portfolio, das aus den obigen Bestandteilen besteht hat zum Zeitpunkt 0=t den Wert 00,2309,578,737,20 =++−− EUR.

Zum Zeitpunkt 21

126=== Tt passiert in dem Portfolio folgendes:

• Verkauf der Aktie zu 24 EUR aus der Ausübung der Put-Option oder Verkauf der Aktie aus der Call-Option (je nachdem ob 24>TS oder 24≤TS )

• Rückzahlung des Kredits in Höhe von ( ) 907,23106,23 2/1 =+⋅ i Damit wurde zum Zeitpunkt Tt = ein Arbitrage Gewinn von 907,2324 − EUR gemacht.

Lösung zu Aufgabe 27: Aus der Put-Call-Parität für amerikanische Optionen folgt:

( )20

1,011192019 12/5 ⋅

+−≤−≤− a

tat PC . Damit erhalten wir 2213,01 −≤−≤− a

tat PC ,

also 2213,01 +≥≥+ a

ta

tat CPC oder 50,2 USD 7213,1≥≥ a

tP USD

Lösung zu Aufgabe 28

Setzen wir 125

=T , dann ergibt sich mit der Black-Scholes Formel:

( )( )

( )212/510 850335,1

178 ddC BS Φ⋅⋅−Φ⋅= , wobei ( )

1254,0

125

24,00335,1

8578ln

212/5

1

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=d

und Tdd ⋅−= 4,012 Durch Ausrechnen der Zahlenwerte erhält man:

71,50 =BSC EUR

Lösung zu Aufgabe 29 a) Nach der Formel von Black und Scholes berechnet sich der Wert einer

europäischen Call-Option durch:

( )( )

( )23/110 2905,1130 ddC e Φ⋅⋅−Φ⋅= , wobei


41972,0

3125,0

31

225,0

2905,130ln

23/1

1 =⋅

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

=d und

27538,03125,041972,012 =⋅−=−= Tdd σ .

Daraus folgt dann: ( )( )

( ) 518,227538,02905,1141972,030 3/10 =Φ⋅⋅−Φ⋅=eC .EUR

b) Eine amerikanische Call-Option auf eine dividendenlose Aktie hat denselben

Wert, wie eine europäische Call-Option. Also gilt: 518,200 == ea CC EUR

c) Eine europäische Put-Option hat nach der Put-Call-Parität den Wert:

( ) ( )050317,129

05,01130518,2

11

3/1000 =⋅+

+−=⋅+

+−= Ki

SCP Tee EUR

Lösung zu Aufgabe 30 Laufzeit T = 1/2 Strike Preis 40=K EUR Aktueller Aktienkurs 38=S EUR Jährliche Volatilität 35=σ % Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Aktie zum Zeitpunkt T=1/2 größer als 40 EUR ist. Nach dem Black-Scholes Modell gilt:

( )TTNSSX T ⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2;~ln σμ .

Damit ist

( )

( ) ( ) %78,545478,012,012,012135,0

2116,0

3840ln

13840ln

38ln1

3840ln

38ln40 2/12/1

2/1

==Φ=−Φ−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Φ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=>

SP

SPSP

Lösung zu Aufgabe 31 Laufzeit T = 1 Strike Preis 40=K EUR


Risikoloser Zinssatz 6=i % p.a. Aktueller Aktienkurs 38=S EUR Jährliche Volatilität 25=σ % Preis einer Put-Option:

( )( )

( )210 11 dKi

dSP TBS −Φ

++−Φ−= mit

( )15,0

125,0

1225,006,01

4038ln

2

1 =⋅

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=d und

1,025,015,012 −=−=⋅−= Tdd σ . Deshalb ist

( ) ( ) 64,31,04006,1115,0380 =Φ⋅+−Φ⋅−=BSP EUR

Lösung zu Aufgabe 32 Zuerst wird das Delta einer Call-Option mit den angegebenen Parametern berechnet:

( )10 dS

C BS

Φ=∂∂

=Δ mit

2600,0

4329,0

43

229,003,1

9005,91ln

24/3

1 =⋅

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=d

Damit ergibt sich ( ) 60257,026,0 =Φ=Δ Das Delta aus dem Verkauf von 100 Call-Optionen beträgt somit 257,60100 −=⋅Δ− . Weil das Delta aus einer einzigen Aktienposition gleich 1 ist, müssen deshalb 257,60 Aktien gekauft werden, um das Gesamtportfolio gegenüber kleinen Aktienkursver-änderungen risikoneutral zu machen.

Lösung zu Aufgabe 33 Das Delta einer Aktien Put-Option berechnet sich als ( ) 4438,011 −=−Φ=Δ dPut . Damit sinkt der Wert der Put-Option näherungsweise um 0,4438 EUR, wenn sich der Wert des Aktienkurses um 1 EUR erhöht.

Lösung zu Aufgabe 34 Es gilt ( ) ( ) 6398,0358,01 =Φ=Φ=Δ dCall



e) ( )( )

( ) 0904,50637,06008,1

1243,060 252/900 =Φ⋅⋅−Φ⋅=BSC EUR

f) ( ) ( ) 5960,0243,01 =Φ=Φ=Δ dCall g) Es müssen 596005960,01000 =⋅ Aktien gekauft werden um

neutral gegenüber kleinen Veränderungen des Aktienkurses zu sein.


( )125,0

12425,0

124

225,008,01

300305ln

212/4

1 =⋅

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=d 734,6921 2/

0

21 =⋅⋅= −deTS

πϑ

Bei einer Erhöhung der Volatilität um 1% steigt der Wert der Put-Option näherungsweise um 69,734 EUR.

Lösung zu Aufgabe 37 Das Delta des gesamten Portfolios errechnet sich als

900.14508,0000.50468,0000.200533,0000.100 −=⋅+⋅−⋅=ΔΠ . Damit kann das Portfolio durch den Zukauf von 14 900 Aktien annähernd risikoneutral gegenüber kleinen Aktienveränderungen gemacht werden.

Lösung zu Aufgabe 38 a) Für den Black-Scholes Preis der Call-Option ergibt sich :

( )( )

( ) 3897659,205,015049 252/2010 =Φ⋅

+−Φ⋅= ddC BS EUR mit

( )0504,0

52202,0

5220

22,005,01

5049ln

252/20

1 =⋅

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=d ;

0736,052202,012 −=⋅−= dd ;

Der Black-Scholes Preis aller Call-Optionen beträgt also 977.238000.100 0 =⋅ BSC EUR.

b) Die Bank hat die Call-Option um 61.023,4105 EUR über dem theoretischen Black-Scholes Preis verkauft.

c) ( ) 52011,01 ==Δ dN . D.h. der Händler muss also 011.5252011,0000.100 =⋅ Aktien kaufen, um sein Portfolio Delta-neutral zu stellen.


d) Unter dem neuen Preis wird 109,01 −=d und ( ) 457,01 =Φ=Δ d . Der Händler muss also ( ) 08,355.6457,052011,0000.100 =−⋅ Aktien verkaufen.

e) Die Kosten für den ersten Kauf von Aktien-Optionen betragen: 29,539.548.2011.5249 =⋅ EUR.nach einer Woche kann der Händler durch den

Verkauf von Aktien den Betrag von 29,806.30508,355.612,48 =⋅ EUR abbezahlen. Insgesamt muss er also für die Absicherung in den ersten beiden Wochen, den Betrag von

( ) 34,125.245.229,806.30505,129,539.548.2 52/1 =−⋅ EUR bezahlen. f)

Woche Aktienkurs Deltazusätzlich zu kaufende Aktien

Kosten für zusätzlichen Aktienkauf

Kumulative Kosten inkl. Zinsen

0 49,00 0,52 52.011,01 2.548.539,29 2.548.539,291 48,12 0,46 -6.355,08 -305.806,29 2.245.125,342 47,37 0,40 -5.790,69 -274.305,11 1.972.927,773 50,25 0,59 19.628,96 986.355,03 2.961.134,814 51,75 0,69 9.683,02 501.096,47 3.465.010,935 53,12 0,77 8.107,00 430.643,77 3.898.907,366 53,00 0,77 -250,41 -13.271,78 3.889.295,537 51,87 0,71 -6.522,93 -338.344,33 3.554.602,148 51,38 0,67 -3.196,68 -164.245,51 3.393.693,389 53,00 0,79 11.257,40 596.642,09 3.993.521,18

10 49,88 0,55 -23.659,71 -1.180.146,38 2.817.123,5611 48,50 0,41 -13.734,40 -666.118,47 2.153.649,5612 49,88 0,54 12.975,07 647.196,66 2.802.867,8813 50,37 0,59 4.813,40 242.450,82 3.047.949,7914 52,13 0,77 17.792,06 927.499,99 3.978.310,9315 51,88 0,76 -897,70 -46.572,54 3.935.472,8816 52,87 0,86 10.607,46 560.816,17 4.499.983,3317 54,87 0,98 11.349,51 622.747,43 5.126.954,9618 54,62 0,99 1.167,41 63.763,74 5.195.531,4319 55,87 1,00 1.012,76 56.582,93 5.256.991,4820 57,25 1,00 0,00 0,00 5.261.926,28

Lösung zu Aufgabe 39 Für eine Delta-neutrale Position muss gelten:

085,03,0100 =⋅+⋅− x ⇒ 249,35=x . Sie sollten also 249,35 Put-Optionen mit einem Delta von -0,85 verkaufen, um eine Delta-neutrale Position zu erhalten.



Payoff-Profil eines Collars

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