1

Induktion1. Induktion Phänomenologie

2. Induktion in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld:

i. Induktionsgesetz ii. Lenzsche Regeliii. Wirbelströme

3. Induktivität einer Leiteranordnung:i. Gegeninduktivitätii. Selbstinduktivitätiii. Schalten von Strömen bei Induktivitäten

4. Anwendungen

5. Maxwellscher Verschiebungsstrom

Induktion Grundversuche

Ausschlag hängt ab:Geschwindigkeit der ÄnderungStärke des MagnetfeldesAnzahl der WindungenVorzeichen bzw. Richtung der Änderung

2

Induktion mit Elektromagneten

Zeitlich konstantes Magnetfeld Spule von Gleichstrom durchflossen

Spannung wird in zweiter Spule induziert, wenn:Spule bewegt wirdSpule gedreht wirdMagnetfeld ein bzw. aus geschalten wird

U

)(tU

Was wird induziert Strom oder Spannung?

Erzeugt der Induktionsvorgang einen

a) Stromstoß Q = ∫ I dt

b) Spannungsstoß Φ = ∫ U dt

Falls

a) Strom unabhängig von Widerstand R

b) Strom abhängig von Widerstand R

RAUind

Es trifft b zu ⇒ Spannung wird induziert

3

Magnetischer Fluss ΦMagnetischer Fluss Φ ist ein Maß für die Anzahl der Feldlinien, die eineFläche A durchsetzen

ABABBA n==Φ )cos(

∫=A

AdBΦ:

[Φ] = [A] [B] = m2 Vs/m2 = Vs = Wb (Weber)

In einem homogenen Magnetfeld gilt

ABrr

=Φ

BA

BA

Steht das Magnetfeld nicht senkrecht auf die Fläche A, spielt für denBetrag des Flusses nur die Normalkomponente von B eine Rolle

Faradaysches Induktionsgesetz

M. Farady1791-1867

Ein Magnetfeld induziert in einer Leiterschleife eine Spannung Uind, wenn 1. das von der Leiterschleife umschlossene Magnetfeld B sich verändert, 2. die Fläche A der Leiterschleife, die von dem Magnetfeld durchsetzt wird, sich verändert.

Faraday'sches Induktionsgesetz: Die in einer Leiterschleife induzierte Spannung Uind ist gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife .

dtdNUindΦ

−=

N Anzahl der Leiterschleifen bzw. Windungszahl der Spule

4

Wie macht man Flussänderung?

12

3

4

L

j

3

4

L

ϕ

Br

ωrttωABdtdU

ABAdB

ind ωϕω

ϕ

=⋅⋅+=Φ

−=

⋅⋅=⋅=Φ ∫sin

cosvr

1. Flussänderung durch Änderung des Magnetfeldes

2. Flussänderung durch Änderung der Fläche

i) Änderung eines Spulenstromes ii) Änderung von Abstand oder Orientierung eines zeitlich

konstanten Magnetfeldes

Leiterschleife bzw. Spule mit Fläche A in homogenen Magnetfeld B gedreht

Induktionsspannung durch Bewegung

Induzierte Spannung Uind = - dΦ/dt= - (B dA/dt + A dB/dt)Leiter bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung⇒ Fläche A ändert sichA1 = ℓ x → A2 = ℓ (x + dx) mit dx = vx dt und N Windungen

= 0, weil B = konst

Uind = -N B dA/dt = -N B ℓ vx

In Leiter wird Spannung induziert, auch wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit im Magnetfeld bewegt

5

Bewegter Leiter im Magnetfeld

Kräftegleichgewichtelektrische Kraft = Lorentzkraft

Uind

Fmagn

BvlU

vBlUE

vBEqvBqE

ind =

=∝

==

Das heißt: ein bewegter Beobachter (Elektron) sieht beim Flug durch ein Magnetfeld ein elektrisches Feld. Aber der ruhende Beobachter im

Labor nicht!

Gerader Leiter wird im Magnetgeld bewegt: Lorentzkraft auf ElektronenLadungstrennungElektrisches Feld

Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem elektrischen Wirbelfeld

WirbelfeldElektrostatik

+ -

Feldlinien gehen von + nach -Quellenfeld

E

∫ = 0sdErr

0≠Φ

−==∫ dtdNUsdE ind

rr

ds

Integral längs geschlossenen Weges

Potenzial: keine Arbeit wenngeschlossene Kurve, Potenzialdifferenz U = 0 wegen (W=eU)

Magnet

E

Feldlinien sind geschlossen:Wirbelfeld

Integral längs geschlossenen Weges

v

Induktion

Uind

Potenzial keine richtige Beschreibung mehrPotenzialdifferenz ≠ 0 nachvollständigem Umlauf

6

Wirbelfeld

Magnet

E

v

A

A

Strom fließt wenn:Stromkreis geschlossenSpannungsquelle vorhanden

Strom fließt wenn:Stromkreis geschlossenStromkreis von zeitlich veränderlichem Fluss Φ durchsetzt wird„keine Spannungsquelle“ notwendig

Differenzielles Induktionsgesetz

dtBdErot

AdBdtdAdErot

AdBdtdsdE

dtdUind

rr

rrrr

rrrr

−=

−=

−=

Φ−=

∫∫

∫∫

Einsetzen der Definitionen

Stokescher Integralsatz

0=Erotr

Gilt nur in der Elektrostatik

Gilt immer

7

Elektrisches Wirbelfeld

( )tBrE

r

0>Φdtd

Er

0<Φdtd

Das elektrische Feld, das Uind erzeugt existiert unabhängig von der Leiterschleife!

( )tBr

Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem elektrischen Wirbelfeld

Lenzsche RegelLeiterschleife Fläche AÄnderung des Flusses Φ(t) = B(t) ASpannung wird induziert: Uind = -dΦ/dtStrom fließt in Leiterschleife Iind= Uind/R

Induzierter Strom Iind

Induziertes Magnetfeld Binddurch Iind erzeugt

Der in einer Schleife induzierte Strom erzeugt selbst einen magnetischen Fluss, der so gerichtet ist, dass er der Änderung

des ursprünglichen Flusses entgegenwirkt: Lenz‘sche Regel

( )tBr

Heinrich Friedrich Emil Lenz

( 1804-1865 )

8

Spule

Thomsonscher Ring

Alu RingStrom im RingI = Uind /R

Strom in Spule

Gegensinnig fließende Ströme stoßen einander ab

Magnetfeld ein Spannung in Ring induziertStromrichtung entsprechend Lenzscher Regel

Bspule

Geschlitzter Ring: kein Strom Ring wird nicht beschleunigt

Waltenhofen‘sches Pendel

Massive Kupferplatte Magnetfeld ein: starke BremswirkungGeschlitzte Kupferplatte, Magnetfeld ein: schwache Bremswirkung

KupferplatteKupferplatte

Kupferplattegeschlitzt

Adalbert vonWaltenhofen

( 1828 - 1914 )

9

Waltenhofensches PendelModell für BremswirkungRing tritt in Magnetfeld mit v ein⇒ Kraft auf Ladungsträger Bewegung mit v⇒ Stromfluss I (techn. Stromrichtung)⇒ Kraft F* auf stromdurchflossenen Leiter

F* = L I B entgegen der Bewegungsrichtung⇒ Bremswirkung Wirbelstrombremse

Ring ganz im Magnetfeld: keine Kraftwirkung

Ring verlässt Magnetfeld mit vbremsende Wirkung (siehe oben)

Waltenhofensches Pendel

Bremswirkung durch Wirbelstrom Schlitze verhindern Ausbildung von Wirbelstrom schwache (keine) Bremswirkung

Beim Eintauchen der Platte in Magnetfeld bilden sich Wirbelströme

Wirbelströme: Verschleissfreie Bremse (ICE)Verluste (Stromwärme) in Transformatoren (Lamellierung)

10

Induktivität einer Leiteranordnung

U1(t)

Leiterschleife 1

Leiterschleife 2

I1(t)

Experiment: In Leiterschleife 1 fließt ein zeitlich veränderlicher Strom

Zeitlich veränderliches Magnetfeld induziert Spannung in Schleife 2Wie groß ist die induzierte Spannung U2?

U2 = Uind

InduktivitätSpule 1 erzeugt ein Magnetfeld mit der Flussdichte B1:

dttIdLtU

dttdNtU

)()(

)()(

1122

222

−=

Φ−=

( )tItB 11 )( ∝

Magnetfeld erzeugt in Spule 2 einen Fluss Φ2(t)

Es fehlt genaue Kenntnis über die Überlappung, aber es giltΦ2 proportional zu I1 : Φ2 = L12 I1

L12 Gegeninduktivität Maß für die Felddurchsetzung von Spule 2 [L] = Vs/A = 1 H (= 1 Henry)

Ändert sich Strom in Spule 1, ändert sich Φ in Spule 2 und es wird dort eine Spannung induziert:

Induzierte Spannung U2 proportional zu Änderung von Strom I1Einfach messbare Größen, Information über Geometrie usw stecken in L12

11

Berechnung der Gegeninduktivität

I1

ds1

r12

Schleife 2Schleife 1

Strom in Schleife 1 verursacht Magnetfeld bzw. Vektorpotenzial Aan Stelle r2 (Berechnung mit Biot-Savart)

r1 r2

Magnetfeld führt zu Fluss ( ) ∫∫∫ ===Φ2

2sFF

m AdsdFArotBdF

( ) ∫=1 12

1102 4 s r

sdIrArv

πµ

s1

∫ ∫

∫ ∫

==

==Φ

1 2

1 2

12

122112

11212

1210

4

s s

s sm

rsdsdLL

ILrsdsdI

rr

rr

πµ

dF

s2

Selbstinduktion

Was passiert wenn sich der Strom in einer Spule ändert?

Uind(t)

I(t)

Es ändert sich das Magnetfeld und somit auch der FlussFlussänderung bedeutet induzierte Spannung Uind

Wie hängen Uind(t) und I(t) zusammen?

12

Selbstinduktion

dtdILU

LIdtdNU

ind

ind

−=

=Φ

Φ−=

Ändert sich Φ, so wird in einer Spule eine Spannung induziert

Fluss proportional zu StromL Selbstinduktionskoeffizient

Die Selbstinduktivität (oder Induktivität) L bewirkt infolge der Lenz‘schen Regel eine Hemmung der Veränderung des Stromes(Der Strom durch eine Spule ist stetig, er springt nicht)

Schaltzeichen von Spulen Induktivitäten

[L] = Vs/A = 1Ωs =1 H (= 1 Henry)

Mechanisches Analogon

Masse m

Kraft F

Geschwindigkeit v

m MasseF Kraftv GeschwindigkeitF = m dv/dt

mv Impuls½ mv2 kinetische Energie

LU0

S

I

L InduktivitätU PotenzialdifferenzI StromU = L dI/dt

LI Impuls (??)½ LI2 Energie (???)

13

Induktivität einer Zylinderspule

Strom I

Windungszahl N

Länge l

Querschnittsfläche A

l

l

ANI

NI

L

N

BA

INB

20

0

durchsetzt von werden WindungenN Alle sGesamtflus zu alproportion L

µ

µ

=Φ

=Ψ

=

Φ=Ψ⇒ΦΨ

=Φ⇒

=

Induktivität einer Spule

Selbstinduktivität einer Doppelleitung

2r0

l

d

I1 I2

Zwei parallele Leiter Hin- und Rückleitung

Ströme gleich groß und antiparallelWie groß ist L?

1. Berechnung des Magnetfeldes außerhalb und innerhalb des Drahtes aufgrund der beiden Ströme

2. Magnetischer Fluss durch Doppelleitung durch Fläche l 2r0 (Beiträge B von anderen Draht, B im Draht B außerhalb Draht)

3. L = Fluss durch Strom

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

0

00 ln21

rrdL

πµ l

( )π

µ2

2 00min

l=== rdLLWann ist Induktivität minimal? Lösung d = 2 r0

14

Strom-Spannungsverlauf bei L

I(t)

U0(t) t

t1Induktivität setzt sich Stromänderung entgegen

LU0

S

I

Uind

( )

( )

( ) .:

:0

1

:elMaschenreg

10

1

001

2

1

0

konsttL

UtItt

tL

UtIUUtt

UdtL

tI

dtdILUU

t

t

ind

==<

=⇒=<<

=⇒

=−=

∫

0

Spannung U0 t = 0 angelegtt = t1: Spannung abgeklemmt

?

Einschalten einer Induktivität

Einschalten

+

10 Ohm

1000 Wdg36 mH

RRG1

RG2

Induktivität L = 36mH

Schalter geschlossen:Welche Glühlampe leuchtetbzw. wie ist die zeitliche Reihenfolge?

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Einschalten einer Induktivität

t < 0 Schalter offen Stromkreis offen kein Strom fließt

t= 0 Schalter geschlossen

1. MascheOhmscher WiderstandIR = U0 / (R+RG1) Strom fließt sofort⇒ Glühlampe leuchtet

2. Masche U0 = IL RG2 - Uind = IL RG2 + L dIL/dtLösung der DGIL(t) = I0 (1 - exp(-t/τ)) mit I0 = U0/RG2 und τ = L/R⇒ Strom steigt langsam

Glühlampe beginnt verzögert zu leuchten

0 t/τ

I/I0

0

1

1 2 3

0.63( )( )τ/exp10 tIIL −−=

IR

Ausschalten einer Induktivität

+

Ausschalten

1000 Wdg36 mH

Spannung einGlühlampen leuchten

Spannung ausGlühlampen leuchten zuerst hellerund dann noch eine gewisse Zeit nachR = RG1 + RG2

I

L

U0

16

Ausschalten einer Induktivitätt < 0eingeschwungener ZustandStrom durch Glühlampen I = U0/R

t= 0 Schalter wird geöffnetI(t<0) = U0/R

Maschenregel für t>0

0 = I R - Uind = I R + L dI/dt

Ansatz I = I0 exp(- t/τ) mit τ = L/R

Nach Öffnen des Schalters Lampen leuchten heller⇒ kurzfristig muss ein höherer Strom fließen d.h. I0 ≠ I(t<0)

I0

Strom springt?

Stromüberhöhung hängt von genauem Verlauf des Schaltvorgangs ab

Energie des magnetischen FeldesWieviel Energie wird im Magnetfeld gespeichert?

Ausschalten der Induktivität:Strom fließt weiter, obwohl Spannungsquelle abgetrenntEnergie die im Verbraucher (Glühlampen) umgesetzt wirdmuss aus Magnetfeld kommen

∫∫∞∞

==0

2

0

dtRIIUdtWmagn

LIdtRtIWmagn20

0

20 2

1)/2exp( =−= ∫∞

τ

Die im Magnetfeld gespeicherte Energie = 1/2 L I2wobei I ein stationär fließender Strom ist

17

Energiedichte Magnetfeld

INBVNLBV

Ww

ILdtRtIW

magnmagn

magn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛===

== ∫∞

ll0

2

00

2

20

0

2

21

21)(

µµµ

Energiedichte wmagn = Energie pro Volumen

Vergleich E-Feld

20

2

2121

Ew

CUW

el

el

ε=

=

Typische Werte

l

l

l

1.010

VolW Energie chemische

1.010

VolW Energie t.elektrosta

1.0400

VolW Energie magn.

5chem

3el

m

J

J

J

≈

≈

≈

−