Induktive Statistik

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Induktive Statistik. Einleitung Stichproben Stichprobenverteilungen Bestimmung von Vertrauensbereichen Statistische Prüfverfahren. Einleitung. Beispiel für induktive Statistik Neues Medikament Warum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hübscher verpackt ist? - PowerPoint PPT Presentation

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  • Induktive Statistik

    EinleitungStichprobenStichprobenverteilungenBestimmung von VertrauensbereichenStatistische Prfverfahren

  • EinleitungBeispiel fr induktive Statistik Neues MedikamentWarum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hbscher verpackt ist?Wie beweist man, dass es besser ist als die schon vorhandenen Medikamente?Wie ist ein solcher Test manipulierbar?

  • StichprobenGrundgesamtheit: Alle mglichen Ergebnisse des VersuchsStichprobe: Die n Ergebnisse eines tatschlich durchgefhrten Versuchsz.B. Ziehen aus einer Urne Grundgesamtheit: alle Kugeln Stichprobe die Kugel, die ich zieheUnendlich viele Versuche: Stichprobe = Grundgesamtheit

  • Begriff StichprobeKommt aus der Metall gewinnenden Industrie und dem WarenhandelKleiner Teil der Schmelzmasse wurde dem Schmelzofen entnommen um die Qualitt der Schmelzmasse zu prfenRckschluss von der Probe auf die gesamte Schmelzmasse (die Grundgesamtheit)Auch im Warenhandel (Kse, Getreide, etc.)

  • Beispiel (1)Bestimmung der Gre der Studenten Vermessungswesen eines bestimmten JahresN=20 PersonenEinfachste Mglichkeit: Alle 20 abmessen Erwartungswert und Varianz der Grund-gesamtheit

  • Beispiel (2)Aber: Es ist uns zu aufwndig, also whlen wir n=5 Studenten und messen deren Gre StichprobeWir wollen nun von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schlieenAnzahl der mglichen Stichproben:

  • Beispiel (3)Ausgangspunkt: Die 5 Studenten wurden zufllig ausgewhlt Mittelwert ist eine ZufallsgreMittelwert hat also eine Wahrscheinlich-keitsverteilung (Stichprobenverteilung)Zentraler Grenzwertsatz Stichproben-verteilung ist die Normalverteilung

  • Stichprobenverteilung des arithmetischen MittelsAb etwa n=30 normalverteilt

    Erwartungswert: Standardabweichung:

  • Stichprobenverteilung der StandardabweichungVoraussetzung: Normalverteilung der GrundgesamtheitEs folgt: Normalverteilung fr die Stich-probenverteilung der Standardabweichung S fr n Erwartungswert: Standardabweichung:

  • Stichprobenverteilung der Differenz zweier StandardabweichungenVoraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheiten, groe Stichproben (n > 100)Es folgt: Normalverteilung fr die Stich-probenverteilung der Differenz der Standardabweichungen DS=S1-S2Erwartungswert: Standardabweichung:

  • VertrauensbereicheMittelwert ms und Standardabweichung ss sind Punktschtzwerte fr m und sKeine Information ber Zuverlssigkeit oder Genauigkeit (keine Angaben ber Abweichung vom wahren Wert)Abhilfe: Vertrauensbereiche (Vertrauens-, Konfidenzintervall)Mit Stichprobendaten berechnetes Intervallberdeckt den wahren Wert mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit S

  • Vertrauensbereich fr Mittelwertbei bekanntem s (1)Normalverteilte GrundgesamtheitStichprobe liefert x1, xnStandardabweichung aus ErfahrungVertrauensbereich mit P(mu
  • Vertrauensbereich fr Mittelwertbei bekanntem s (2)us: -Quantil l: StichprobenfunktionAlso:

    Einfache Umformungen:

    Grenzen:

  • Beispiel Streckenmessungx=130,100m s=4,0cm n=4 S=0,95Tabelle im Skriptum: us=1,96P(130,061m
  • Vertrauensbereich fr Mittelwertbei unbekanntem s (1)Normalverteilte GrundgesamtheitStichprobe liefert x1, xnStandardabweichung nur SchtzwertVertrauensbereich fr die normierte Normalverteilung: P(-tS
  • Vertrauensbereich fr Mittelwertbei unbekanntem s (2)Also:

    Einfache Umformungen:

    Grenzen:

    Vertrauensbereich:

  • Beispiel Streckenmessungx=130,100m s=4,0cm n=4 S=0,95Tabelle im Skriptum: tS=3,18 (k=4-1=3)P(130,036m
  • Vertrauensbereich fr die Standardabweichung (1)Normalverteilte GrundgesamtheitStichprobe liefert x1, xnStandardabweichungVertrauensbereich mit P(su
  • Vertrauensbereich fr die Standardabweichung (2)Ausgangspunkt:Dichtefunktion der Standardabweichung ist die c2-Verteilung, kann geschrieben werden als

    S2: Zufallsgre Varianz der Stichprobe k: Anzahl der Freiheitsgrade

  • Vertrauensbereich fr die Standardabweichung (3)Wenn nicht wahre Fehler e sondern Verbesserungen v:

    k=n, wenn der wahre Wert bekannt, sonst k=n-1Es folgtundAlso:

  • Beispiel Streckenmessungs=4,0cm n=4 S=0,95Tabelle im Skriptum:qu=0,57, qo=3,73 (k=4-1=3)quS=0,574,0cm=2,3cmqoS=3,734,0cm=14,9cmoder: P(2,3cm
  • Vertrauensbereich fr beliebige Ausgleichungsaufgaben (1)Formeln fr Mittelwert bei unbekannter Standardabweichung auch auf Ausgleichungsaufgaben anwendbarMittel gleich ausgeglichenen Unbekannten oder MesswertenStandardabweichung des Mittels gleich Standardabweichung der Unbekannten oder MesswertenFreiheitsgrade k gleich Anzahl der berschssigen Messungen

  • Vertrauensbereich fr beliebige Ausgleichungsaufgaben (2)Beliebiges Ergebnis (Unbekannte oder Messwert) G mit Standardabweichung mG

    mit tS aus der Tabelle fr 2-seitige Sicherheit qu, qo als abgeleitete Sicherheitsgrenzen

  • Vertrauensbereich fr beliebige Ausgleichungsaufgaben (3)Vertrauensbereich im Allgemeinen aussagekrftiger als StandardabweichungStandardabweichung selbst nur Schtzwert fr wahren WertStandardabweichung nicht mit Wahrscheinlichkeit verbundenBei geringer Redundanz oft nur unzureichende BeschreibungVertrauensbereich immer mit Wahrscheinlich-keitsaussage verbunden deutlicher und zutreffender

  • Statistische Prfverfahren (1)Statistischer Test stellt fest, ob die Daten einer Stichprobe mit einer Hypothese bereinstimmenZu testende Behauptung: Nullhypothesez.B. Gleiche Mittelwerte H0: m1=m2Stichprobenfunktion wird gewhlt liefert SicherheitsgrenzenBerechnung einer PrfgreVergleich Prfgre Sicherheitsgrenze

  • Statistische Prfverfahren (2)Prfgre innerhalb der Sicherheitsgrenzen (Annahmebereich): Hypothese wird angenommenPrfgre auerhalb der Sicherheitsgrenzen (Ablehnungsbereich): Hypothese wird abgelehntSicherheitswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) blicherweise 95% (selten 99% - hochsignifikant)

  • Vorsicht!Annahme einer Hypothese bedeutet, dass die Stichprobe nicht gegen die Hypothese sprichtAnnahme bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% richtig istAblehnung bedeutet, dass die Prfgre in einem Bereich liegt, in dem sie bei richtiger Hypothese nur zu 5% liegen wrdeAblehnung bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% falsch ist

  • Fehler bei TestsFehler erster Art: Ablehnung einer richtigen Hypothese (Wahrscheinlichkeit dafr 5% bzw. 1%)Fehler zweiter Art: Annahme einer falschen Hypothese (Angabe einer Wahrscheinlichkeit nicht mglich)

  • Praktische DurchfhrungFormulierung der FragestellungAufstellen der HypotheseWhlen der Stichprobenfunktion und Berechnen der PrfgreEntnahme der Sicherheitsgrenzen aus der entsprechenden TabelleEntscheidung ber Annahme oder Ablehnung und Beantwortung der Fragestellung

  • Test von m bei bekanntem sHat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert?Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m0, alsoStichprobenfunktionPrfgreSicherheitsgrenze aus TabelleVergleich

  • Beispiel Refraktionskoeffizientx=0,15s=0,03n=10Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m0=0,13 alsoPrfgreSicherheitsgrenze aus Tabelle uS=1,962,11>1,96 Hypothese abgelehnt, es muss 0,15 verwendet werden

  • Test von m bei unbekanntem sHat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert?Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m0, alsoStichprobenfunktionPrfgreSicherheitsgrenze aus TabelleVergleich

  • Beispiel Polarplanimeterx=9,97mm2 s=0,015 n=4 k=3 m0=10mm2Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m0=10 alsoPrfgreSicherheitsgrenze aus Tabelle bei k=3 tS=3,184,00>3,18 Hypothese abgelehnt, es muss 9,97 verwendet werden

  • Test von m1 und m2 bei bekanntem s1 und s2Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert?Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, alsoStichprobenfunktion mitPrfgreSicherheitsgrenze und Vergleich

  • Beispiel Senkungserscheinungenx =32,120ms1=8mmn1=6x=32,113ms2=5mmn2=4Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, alsoPrfgreSicherheitsgrenze aus Tabelle uS=1,961,71
  • Test von m1 und m2 bei unbekanntem s1 und s2 (1)Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert?Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, alsoStichprobenfunktion mit mit dem gewogenen Mittel der Varianzen als Varianz Grundgesamtheit

  • Test von m1 und m2 bei unbekanntem s1 und s2 (2)Prfgre

    Sicherheitsgrenze mit k=n1+n2-2 FreiheitsgradenVergleich

  • Beispiel Bauwerksbewegungenx =50,630mn1=26u1=18s02=0,26mgon Qxx=3,00x=50,636mn2=34u1=21s02=0,22mgon Qxx=2,53Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, alsoPrfgreSicherheitsgrenze aus Tabelle tS=2,081,08
  • Test einer Standardabweichung (1)Hat die Grundgesamtheit eine bestimmte (vorgegebene) Standardabweichung?Hypothese: Grundgesamtheit hat Standardabweichung s0, alsoStichprobenfunktionPrfgre

  • Test einer Standardabweichung (2)Sicherheitsgrenze aus Tabelle, dabei Entscheidung, obTest gegen Alternativhypothese s>s0 (einseitige Fragestellung): cS2 oderTest gegen Alternativhypothese ss0 (zweiseitige Fragestellung): qu und qo abgeleitete Prfgre:

    Vergleich

  • Beispiel Nivellement (einseitig)s=3,8mmk=8s0=2,5mmHypothese: Grundgesamtheit hat s0=2,5mm, alsoPrfgreSicherheitsgrenze aus Tabelle cS2=15,518,5>15,5 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist geringer

  • Beispiel Stationsausgleich (zweiseitig)s=0,1mgonk=44s0=0,14mgonHypothese: Grundgesamtheit hat s0=0,14mgon, alsoPrfgreSicherheitsgrenze aus Tabelle qu=0,85, qo=1,221,4>1,22 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist zu hoch

  • Test zweier StandardabweichungenHaben die beiden Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung?Hypothese: Grundgesamtheit haben gleiche Standardabw., alsoStichprobenfunktionPrfgr