(Infinite Sequence & Infinite Series) · 2019-05-13 · วิชาคณิตศาสตร์...

โรงเรยนสตรนนทบร

วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291)

ชนมธยมศกษาปท 6

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………………

เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต

(Infinite Sequence & Infinite Series)

ชอ ............................................... ชน .............. เลขท ..........

ครผสอน นายพบลย ชมสมบต

www.satrinon.ac.th/piboon

โรงเรยนสตรนนทบร 120 ถนนพบลสงคราม ต าบลสวนใหญ อ าเภอเมอง จงหวดนนทบร

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 3

สารบญ

หนา

ล าดบอนนต 1

แบบฝกหด 1 3

ลมตของล าดบ 7


แบบฝกหดเสรม 20

อนกรมอนนต 24

สญลกษณแทนการบวก 25


ล าดบผลบวกยอยของอนกรมอนนต 35


ผลบวกของอนกรมอนนตทเปนอนกรมเลขคณตและเรขาคณต 41


อนกรมผสม (Arithmetic – Geometric Series : A.G.S) 47


อนกรมเทเลสโคป (telescoping series) 50

การหาผลบวกของอนกรมทไมใชอนกรมเลขคณตและเรขาคณต 53

การเขยนทศนยมซ าใหอยในรปของเศษสวน 55


วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6

เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 1

สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร

1. ล าดบอนนต (Infinite sequence) 1.1.1 ความหมายของล าดบ ล าดบคอ สมาชกของเรนจของฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ซงเขยนเรยงตามล าดบ ถาโดเมนเปนเซตจ ากดเรยกวาล าดบจ ากด (finite sequence) ถาโดเมนเปนเซตอนนตเรยกวา ล าดบอนนต (infinite sequence) เชน จากตวอยางตอไปนก าหนดรปทวไปของล าดบจงเขยนล าดบโดยแจกแจงสมาชก 1.1.2 รปแบบการก าหนดล าดบ สามารถเขยนแสดงล าดบไดหลายรปแบบ ดงตอไปน ก าหนดล าดบโดยเขยนแจงพจนทงหมดของล าดบ ถาล าดบทพจารณาไมมากนก ตวอยางเชน

1) 0, 5, 10, 15, 20, 25 2) 1, 3, 9, 27

ก าหนดล าดบโดยเขยนพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบพจนทวไปของล าดบ วธนใชกบล าดบจ ากดทมพจนจ านวนมาก และล าดบอนนต ตวอยางเชน

1) -4, -1, 2, …, 3n – 7, … 2) 1, 3, 9, …, 3n-1, …

ก าหนดพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบสตรการหาพจนถดไปจากพจนกอนหนา เรยกอกอยางหนงวาความสมพนธเวยนเกด (recurrence relation)

1) ก าหนดล าดบ an ซง a1 = 2 และ an = an-1 + 3 เมอ n ≥ 2 จงหาหาพจนแรกของล าดบน จาก an = an-1 + 3 และ a1 = 2

จะได a2 = a1 + 3 = 2 + 3 = 5 a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8 a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11 2) ก าหนดล าดบ bn ซง b1 = 1 และ bn = nbn-1 เมอ n ≥ 2 จงหาหกพจนแรกของล าดบน

b1 = 1 b2 = 2b1 = 2(1) = 2

b3 = 3b2 = 3(2) = 6 b4 ………………………..……………………………

b5 …………………………..………………………… ก าหนดล าดบโดยการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ ถาไมทราบสตรพจนทวไปของล าดบ และไมทราบความสมพนธเวยนเกดของล าดบ การก าหนดล าดบจ าเปนตองใชวธการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ ตวอยางเชน

1) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … คอล าดบ an เมอ an เปนจ านวนเฉพาะตวท n 2) 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, … คอล าดบ bk เมอ bk เปนทศนยมต าแหนงท k ของ ซง

เทากบ 3.1415926535




1.1.3 ล าดบเลขคณต บทนยาม ล าดบเลขคณต (arithmetic sequence) คอ ล าดบซงมผลตางทไดจากการน าพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n เปนคาคงตวทเทากน ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n และเรยกคาคงตวทเปนผลตางนวา ผลตางรวม (common difference) ตวอยางท 1 ก าหนดล าดบเลขคณต 9, 13, 17, 21, … จงหาพจนท n และพจนท 20 ของล าดบ 1.1.4 ล าดบเรขาคณต บทนยาม ล าดบเรขาคณต (geometric sequence) คอ ล าดบซงมอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n เปนคาคงตวทเทากน ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n และเรยกคาคงตวทเปนอตราสวนนวา อตราสวนรวม (common ratio)

ตวอยางท 2 ก าหนดล าดบเรขาคณต ...,9

4,

3

2,1 จงหาพจนท n และ พจนท 6 ของล าดบ

สตร an =

สตร an =




แบบฝกหดท 1 1. จงหาหาพจนแรกของล าดบ an ทก าหนดใหโดยใชความสมพนธเวยนเกดตอไปน (1) a1 = 0 และ an = an–1 + n – 1 เมอ n 2 (2) a1 = 2, a2 = 0 และ an = an–1 + an–2 เมอ n 3 2. จงบอกวาล าดบทก าหนดใหตอไปน ล าดบใดเปนล าดบเลขคณต ล าดบใดเปนล าดบเรขาคณต พรอมทงบอกผลตางรวม หรออตราสวนรวมของล าดบนน ๆ ดวย (1) 7, 9, 11, 13, …, (2n + 5)

……………………………………………………………………………………….

(2) 6, –6, 6, –6, …, 6(–1)n–1 …………………………………………………………….………………………….

(3) 4, 2, 0, –2, …, (6 – 2n) ……………………………………….…………………….………………………….

(4) 3, 1, 31 ,

91 , …, n)

319(

………………………………………………………….………………………….

(5) 3n

n..., ,74,

21 ,

52,

41

……………………………………………………………………………….




3. จงหาพจนทวไปของล าดบเลขคณตตอไปน (1) –2, 4, 10, … (2) x, x + 2, x + 4 (3) 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b, … 4. ถา p, 5p, 6p + 9 เปนสามพจนเรยงกนในล าดบเลขคณต จงหาคาของ p และเขยนล าดบนตอไปอกสพจน 5. ถาผลบวกของสามพจนแรกของล าดบเลขคณตคอ 12 ผลบวกของก าลงสามของแตละพจนนนคอ 408 จงหาล าดบน




6. จงหาพจนท n ของล าดบเรขาคณตตอไปน

(1) –3, –6, –12, … (2) ... ,425 ,

45,

41

(3) ... ,321 ,

121,

92

(4) ab3, a2b2, a3b, …

7. ถาจ านวนสองจ านวนทก าหนดใหคอ -15 และ -1,215 เปนพจนสองพจนในล าดบเรขาคณต จงหาอกสามพจนซงเรยงอยระหวางพจนทงสองน 8. เมอน าจ านวนจ านวนหนงไปบวกกบ 3, 20 และ 105 ตามล าดบ ผลบวกทไดของแตละจ านวนจะเปนพจนสามพจนทเรยงกนในล าดบเรขาคณต จงหาจ านวนทน าไปบวกนน




2. ลมตของล าดบ (limit of sequence ) ในหวขอนจะกลาวถงสมบตประการหนงของล าดบ โดยจะพจารณาพจนท n ของล าดบ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด

(1) พจารณากราฟของล าดบ an = n2

1

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … an 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 …

จากกราฟในรป จะเหนวา ถา n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว an มคาลดลงและเขาใกล 0 แตจะไมเทากบ 0 (2) พจารณากราฟของล าดบ an = 2 ในรป

จากกราฟในรป จะเหนวา an มคาเปน 2 เสมอส าหรบทกคาของ n

เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานนแลว เรยก L วา ลมตของล าดบ (limit of a sequence) และกลาววาล าดบนนมลมตเทากบ L

ดงนน ในตวอยางขางตนจะเหนวา ล าดบ an = n21 มลมตเทากบ 0 และล าดบ an= 2 มลมตเทากบ 2

เรยกล าดบอนนตทมลมตวา ล าดบลเขา (convergent sequence)




(3) พจารณากราฟของล าดบ an = n1)(1

n

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … an 0 1.5 0.667 1.25 0.8 1.1667 0.8571 1.125 …

จากกราฟในรป จะเหนวา แนวของจดในกราฟจะเขาใกลเสนทบทปรากฏ ซงหมายความวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n มคาเขาใกล 1 แตจะไมเทากบ 1

ดงนน ล าดบ an = n1)(1

n เปนล าดบลเขาและมลมตเทากบ 1

(4) พจารณากราฟของล าดบ an = 2n – 1

จากกราฟในรป จะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบจะมคามากขน

และไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง จงกลาวไดวาล าดบ an = 2n – 1 ไมมลมต

ล าดบนจงไมใชล าดบลเขา เรยกล าดบอนนตทไมใชล าดบลเขาวา ล าดบลออก (divergent sequence)




(5) พจารณากราฟของล าดบ an = (–1)n+1

จากกราฟในรป เมอ n เปนจ านวนค พจนท n เปน 1 และเมอ n เปนจ านวนค พจนท n เปน -1 ดงนน เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบน จงไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง ล าดบ an = (–1)n+1 จงไมมลมต ดงนน ล าดบนจงเปนล าดบลออก และจากลกษณะของกราฟทขนและลงสลบกนโดยไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนงเชนน จะเรยกล าดบลออกนวา ล าดบแกวงกวด (oscillating sequence)

จากทกลาวมาขางตน จงอาจกลาวถงลมตของล าดบไดดงน

1. ล าดบทจะน ามาพจารณาลมตนนตองเปนล าดบอนนต

2. ถากลาววา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน an หมายถง เมอ n มคามากขน โดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบจะมคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L จ านวนเดยวเทานน กลาวไดวา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน an และเขยนแทนดวยสญลกษณ Lalimn

n (อานวา ลมตของล าดบ an เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด เทากบ L)

3. ล าดบอนนตทมลมตเรยกวา ล าดบลเขา สวนล าดบอนนตทไมมลมตเรยกวา ล าดบลออก

4. การพจารณาวาล าดบใดจะมลมตหรอไมนน อาจท าไดโดยการพจารณากราฟของล าดบ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด




ตวอยางท จงหาลมตของล าดบตอไปน

(1) an = n

21

ล าดบนคอ

21

, 41

, 81

, … , n

21

, …

จะไดวา 21limn

n

= …………...

2) an = n

45

ล าดบนคอ ………………………………………………………………

จะไดวา 45limn

n

= ………………………..

3) an = 2n ล าดบนคอ …………………………………………………………………….

จะไดวา n2limn = …………………………….

ตวอยาง ............ n

21

limn

............... nlimn

3

...............

n

23

limn

............... nlimn

2

ทฤษฎบท ให r เปนจ ำนวนจรงบวกใด ๆ จะไดวำ

และ หำคำไมได

ทฤษฎบท ให r เปนจ านวนจรง ถา 1 แลว

ถา 1 แลว หาคาไมได




ทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบทกลาวมาแลวและทจะกลาวถงตอไป จะน าไปใชโดยไมมการพสจน

ตวอยางท 1 จงหาลมตของล าดบ an = 5 วธท า เนองจาก 5 เปนคาคงตว ดงนน 5limn

= 5

ตวอยางท 2 จงหาลมตของล าดบ an = n5

วธท า n5limn

= n1limn

5

= 5(0) = 0 ดงนน n5limn

= 0

ตวอยางท 3 จงหาลมตของล าดบ an = 2

2

n3n 1

วธท า n3n 1limn 2

2

=

n 3n

n 1

limn 2

2

2

= 3n

1limn 2

= 3limnn 1limn 2

= 0 + 3 ดงนน n3n 1limn 2

2

= 3

ทฤษฎบท ให an, bn, tn เปนล าดบของจ านวนจรง A, B เปนจ านวนจรง และ C เปนคาคงตวใด ๆ

โดยท an = A และ bn = B จะไดวา

(1) ถา tn = c แลว tn = c = c

(2) can = c an = cA

(3) (an + bn) = an + bn = A + B

(4) (an – bn) = an – bn = A – B

(5) (an bn) = an bn = A B

(6) ถา bn ≠ 0 ทกจ านวนเตมบวก n และ B ≠ 0

แลว = =




ตวอยางท 4 จงหาลมตของล าดบ an = 22n

1) -(n )2( n (ตอบ 2

1 )

ตวอยางท 5 จงหาลมตของล าดบ an = 5 3n2n

n3n 4 23

2

(ตอบ 0)

ตวอยางท 6 จงหาลมตของล าดบ an = 3n

n1n

n2

32

วธท า เราไมสามารถใชทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบโดยตรง เพราะ 1n

nlimn2

และ 3n

nlimn 2

3

หาคาไมได จงตองจดรปแบบของ an กอนหาลมต

เนองจาก 3n

n1n

n2

32

=

3)1)(n(n1nn3nn

2

32(2

)()




ตวอยางท 7 จงหาลมตของล าดบ an = 1n14n

วธท า ล าดบนคอ 23 ,

37 ,

411 ,

515 , … ,

1n14n

, … (ตอบ 2)

เราสามารถประยกตใชทฤษฎบทเกยวกบลมตทกลาวมาแลว ในการพจารณาวาล าดบทก าหนดให เปนล าดบลเขาหรอไม ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 8 จงพจารณาวาล าดบตอไปนเปนล าดบลเขาหรอล าดบลออก

1) จากล าดบ an = n 2n 3 (ตอบ 2) 2) จากล าดบ bn =

17nnn

3

3

5

3 (ตอบ 5

3 )

3) จากล าดบ Cn = 532 3n n

4nn2

2

(ตอบ 2

1 )

ทฤษฎบท ให an เปนล าดบของจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 และให m เปนจ านวนเตมทมากกวาหรอเทากบ 2 ถา = L

แลว = =




ทฤษฎลมต ถา c เปนคาคงตวและ Aalim n

n

และ Bblim n

n

แลว

1. cclimn

เชน…………………………………………………

2. cAalimccalim n

nn

n

เชน……………………………………………………

3. BAblimalimbalim n

nn

nnn

n

เชน…………………………………………………

4. BAblimalimbalim n

nn

nnn

n

เชน………………………………………………….

5. 0B,BA

blim

alim

ba

limn

n

nn

n

n

n

เชน…………………………………………………..

6. 0b,baเมอ0ba

limn

n

เชน………………………………………………….

0b,baเมอ,ไมมลมตba

limn

n

เชน…………………………………………………

7.

Ik,alimalim

k

nn

kn

n เชน………………………………..……………….

8. 1,limlim

Ikaa kn

n

kn

n เชน……………………………………………….

Note : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………




ตวอยางท 1 จงหาลมตของล าดบ n1n

a n

วธท า

1

01n1

lim1lim

n1

1lim

nn

n

ตวอยางท 2 ก าหนด 7n51n4n3

a 2

2

n

จงหาลมตของ na (ตอบ

5

3 )

วธท า

ตวอยางท 3 ก าหนด 8n31n4n2

a2

n

จงหาลมตของ na

วธท า

8n31n4n2

a2

n

จดรปจะได

2

2

n

22

22

n

n8

n3

n1

n4

2a

n8

n3

n

n1

n4

2na

ไมมลมต02

00002

n1

lim8n3

lim

n1

limn4

lim2limalim

2nn

2nnn

nn




ตวอยางท 4 ก าหนด 2nsina n


ไมมลมต0

sin

n2limsin

2nlimsin

2nsinlim

n

n

n

ตวอยางท 5 ก าหนด 2nsin

n1

a n


ตวอยางท 6 ก าหนด

7n21n2

loga n จงหาลมตของ na

ตวอยางท 7 ก าหนด

3nn2

n 5a จงหาลมตของ na




การหาลมตของล าดบนอกจากจะเขยนกราฟและใชทฤษฎลมตแลวเพอใหหาลมตไดสะดวกและรวดเรวยงขนมขอสงเกตดงน 1. ถาก าลงสงสดของเศษและก าลงสงสดของสวนมคาเทากนแลว n

nalim

จะมคาเทากบสมประสทธ

ของเศษและสวนของพจนทมก าลงสงสด เชน4n31n2

a n

จะได

32

alim nn

4n724n9n16n6

a 3

23

n

จะได

76

alim nn

n33n31nn

a3

3

n

จะได

331

alim nn

2. ถาก าลงสงสดของเศษนอยกวาก าลงสงสดของสวนจะได 0alim nn

เชน

4n79n16n6

a 3

2

n

จะได 0alim n

n

3. ถาก าลงสงสดของเศษมากกวาก าลงสงสดของสวนจะไดวาล าดบนนไมมลมต เชน

4n79n16n6

a2

n

จะได

n

nalim หรอ ไมมลมต

4. ถาพจนทวไปอยในรปของ จะตองจดรปโดยใชสงยคคณทงเศษและสวนแลวจงหาลมต เชน nn4a n จดรปโดยใชสงยคจะได

nn4nn16

nn4nn4

nn4

2

n

nalim (ไมมลมต)

nn3na 2n จดรปโดยใชสงยคจะได

nnn

n

nnn

nnn

nnn

nnnnnn

3

3

3

3

3

33

2

2

22

2

22

23

alim nn




5. nn

nn

alimalim

เชน na 2

2

n2nn1

2121

n2nn1

lim

n2nn1

lim

2

2

n

2

2

n

Note :




หลกในการค านวณคาประมาณเกยวกบ ∞ มดงน ถาแทน n ดวย ∞ แลวไดผลเปน “ไมร” ตองจดรปเพมกอน แลวคอยแทนใหม

∞ + ∞ → ∞ ∞ - ∞ → ....... ∞ + k → .......

∞ - k → ....... k - ∞ → ....... ∞ x ∞ → ……..

kx

0k

k 0

k ...........

0

1k

การหาลมตในรปเศษสวน (สตรลด)

หวขอนจะพดถงวธหา n

limna แบบงายๆ

วธคอ เราจะพยายามเขยน na ใหอยในรปเศษสวน แลวดวา ระหวางเศษกบสวน ใครชนะ โดยเราจะน า “ตวแรงสดของเศษ” มาเทยบกบ “ตวแรงสดของสวน” โดยใชหลกดงน

พหนามดกรมาก ชนะ พหนามดกรนอย (ดกร = ก าลงสงสดของ n ในพหนาม) เอกซโพเนนเชยลฐานมาก ชนะ เอกซโพเนนเชยลฐานนอย เอกซโพเนนเชยล ฐาน > 1 ชนะ พหนาม เอกซโพเนนเชยล ฐาน < 1 แพ พหนาม

เมอตดสนไดแลววาใครชนะ ใหตอบ n

limna ดงน

ถา เศษชนะ → ตอบ ............................ ถา สวนชนะ → ตอบ ………………………

ถา เสมอกน → ตอบ .......................... (สมประสทธ = ตวเลขทมาคณ) ในกรณท na ไมไดอยในรปเศษสวน จะมวธท าใหเปนเศษสวน โดยการคณดวยคอนตเกต ทงเศษและสวน โดยการคณดวยคอนจเกต จะท าใหเข าสตร (น + ล)( น − ล) = น 2 − ล 2 ได หมายเหต : คอนจเกต คอ ตวทเหมอนกน ยกเวนเครองหมายตรงกลาง เปลยนเปนตรงขาม

เมอ k เปนบวก

เมอ k เปน........ ไมร เมอ k ประมาณ 0บวก

เมอ k เปนบวก

เมอ k เปน........ ไมร เมอ k ประมาณ 0

เมอ k เปนบวก เมอ k เปนลบ

เมอ k > 1 เมอ k = …….. เมอ 0 < k < 1

ไมร เมอ k ประมาณ 0




แบบฝกหด 2

nlim

53

322

nn

nn

= .................... n

limnn

nn

523

32

= ……………

n

limnn

nn

73

52

= …………… n

lim 510

3

738

52

nn

nn

= ……………

n

lim534

325

n

nn

= …………… n

lim25

122

nn

n = ……………….

nlim

1

132

2

n

n = …………… n

lim347

1520432

23

nnn

nnn = ……………

nlim

5

13

22

n

n = …………… n

lim

52

16

23

n

n = ……………

nlim

1000

22

n

nn = …………… n

lim

55

314

422

n

nn = ……………

nlim

3

352

32

n

nnn = ………… n

lim5243

45223

2

nnn

nn = ……………

nlim

4

2

12

1313

n

nnnn = …………… n

lim

37

213

22

n

nn = ……………

nlim

12 n

n = …………… n

lim3 1

1

n

n =……………

nlim

52

23

n

n = …………… n

lim541

5

22

nn

n = ……………

nlim

n

2

3 = n

limn

n

2

3 = …………… n

lim52

23

n

n = ……………

nlim

n

2

1 = n

lim

n

n

2

1 = ………... n

lim 1n - n = …………………




แบบฝกหดเสรม 1 1. จงเขยนกราฟเพอตรวจสอบดวาล าดบใดเปนล าดบลเขา หรอลออก

(1) an = 2

nsin π (2) an = 2

nsinn1 π

(3) an = 1n

5

(4) an = n2n

(5) an = n(1 + (–1)n) (6) an = n214

(7) an = 4(0.5)n–1 (8) an = n1

32

(9) an = n

34

(10) an =

22n

n




2. จงใชทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบเพอตรวจสอบวาล าดบในแตละขอเปนล าดบลเขาหรอลออก

(1) an = 3n

8 (2) an = n

n

78

(3) an = (–1)n (4) an =

n

213

(5) an = n

14 (6) an = 6n

4 6n

(7) an = 6

5 3n (8) an = 1 n

n

(9) an = 2n

5n 4 (10) an = 1 3n

12n

(11) an = 17n

5n 3n2

(12) an = 35n

7n2

2

(13) an = 2

2

n32n4n (14) an = 2

2

5n10n13n




(15) an = 1n

1n1

(16) an = 2n

1n

53

(17) an = 2n

1n

332

(18) an = 1n1n

(19) an = 4n

1n2 (20) an = 3 3

2

2n2n

14n

(21) an = n1)( n (22) an =

2n325n8n2

4. ประโยคตอไปนเปนจรงหรอไม จงใหเหตผล (1) ถา an และ bn เปนล าดบลออกแลว (an + bn) เปนล าดบลออก (2) ถา an เปนล าดบลเขา และ bn เปนล าดบลออก แลว (an + bn) เปนล าดบลออก




5. ก าหนดล าดบ an = n)12rP(1 โดยท

an คอ เงนทบตนเมอเวลาผานไป n เดอน P คอ เงนตน r คอ อตราดอกเบยตอป (1) จงหาวา ล าดบ an เปนล าดบลเขาหรอไม (2) จงหา 10 พจนแรกของล าดบ ถาเงนตนเปน 9,000 บาท และอตราดอกเบยเปน 1.5% ตอป 6. บรษทแหงหนงมงบรายจายปกตของปแรกอยท 2.5 พนลานบาท แตเนองจากราคาน ามนทสงขน บรษทจงวางแผนทจะประหยดงบประมาณ โดยตดรายจายลดลง 20% ในแตละป (1) จงเขยนงบรายจายเมอเวลาผานไป n ป (2) ค านวณงบรายจายของสปแรกหลงจากถกตดงบ (3) ล าดบของงบรายจายนเปนล าดบลเขาหรอไม




1.3 อนกรมอนนต ถา a1, a2, a3, …, ak เปนล าดบจ ากดทม k พจน แลว a1+a2+a3+…+ak เปนอนกรมจ ากด (finite series) ถา a1, a2, a3, …, an, … เปนล าดบอนนต แลว a1+a2+a3+…+an+… เปนอนกรมอนนต (infinite series) 1.2.1 ผลบวกของอนกรมอนนต อนกรมเลขคณต เปนอนกรมทเกดจากการน าพจนแตละพจนของล าดบเลขคณตมาเขยนใหอยในรปผลบวกซงมทงอนกรมจ ากดและอนกรมอนนตซงอนกรมเลขคณตมพจนทวไปคอ

d1naa 1n ซง ,วไปคอพจนทa n 1คอพจนทa1 , d คอผลตางรวม , n คอ จ านวนพจน

และผลบวก n พจนแรกคอ n1n1n aa2n

หรอSd1na22n

S

อนกรมเรขาคณต เปนอนกรมทเกดจากการน าพจนแตละพจนของล าดบเรขาคณตมาเขยนใหอยในรปผลบวกซงมทงอนกรมจ ากดและอนกรมอนนตซงอนกรมเรขาคณตมพจนทวไปคอ

1n1n raa ซง ,วไปคอพจนทa n 1คอพจนทa1 ,r คออตราสวนรวม , n คอ จ านวนพจน

และผลบวก n พจนแรกคอ

1r,r1raa

หรอS1r,r1r1a

S n1n

n1

n

ยงมอนกรมอนอกซงอยในรปทงเลขคณตและเรขาคณตหรออนกรมซงไมอยในรปใดเลย การจะหาพจนทวไปและผลบวก n พจนแรกจะตองจดรปเพอทจะเขาสตรใดสตรหนง ทบทวนสตรของผลบวก

เชน 1. 1+2+3+4+……….+10 =

5521110

211010

i10

1i

2. 1+4+9+16+25+36+49 =

14061587

6172177

i7

1i

2

3. 1+8+27+64+125+216 =

441212166

i 226

1i

3

1. 2. 3.




1.4 สญลกษณแทนการบวก

สญลกษณแทนการบวกจะใชอกษรกรก (เรยกวา ซกมา) เปนสญลกษณแทนการบวก

โดยท a1 + a2 + a3 + . . . + an =

n

1 i

ia

และ a1 + a2 + a3 + . . . =

1 i

ia

ซง

n

1 i

ia อานวา การบวก aI เมอ i = 1 ถง i = n

1 i

ia อานวา การบวก aI เมอ i มคาตงแต 1 ขนไป

เชน

6

1 i

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

1 i

2i = 12 + 22 + 32 + . . .

ตวแปร i ทปรากฏในสญลกษณ

n

1 i

ia หรอ

1 i

ia เรยกวา ดชน ซงจะก าหนดพจนแรกและพจนสดทาย

ของอนกรม ตวอยางเชน

5

1

2

i

i แทน 12 + 22 + 32 + 42 + 52

4

1

)12(k

k แทน (2x1-1) + (2x2-1) + (2x3-1) + (2x4-1)

1 2

1

nn

แทน ...2

1...

16

1

8

1

4

1

2

1

n

1

)3(i

i แทน (1+3) + (2+3) + (3+3) +…+ (n+3 )+ …

สตร การใช ∑ หาผลบวก

ในการเขยนแทนอนกรมใดอนกรมหนง โดยใชสญลกษณ ตวอกษรทใชแทนตวแปรอาจใชตวอกษรใดก

ได เชน

1

3

i

i อาจเขยนเปน

1

3

k

k หรอ

1

3

n

n ซงตางกแทนอนกรมเดยวกน นอกจากน การใชสญลกษณ

แทนการบวกอาจเขยนไดหลายรปแบบ เชน

4

1

)1(i

ii และ

3

0

)1(i

ii ตางกแทน 0 + 2 + 6 + 12

เชนเดยวกน จะเหนวา ดชนไมจ าเปนตองเรมจาก 1 เสมอไป

1. 2. 3.




ตวอยางท 1 จงแสดงวา

10

1

3i

= 30

วธท า

10

1

3i

= 3 + 3 + 3 + 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3 = 30

ตวอยางท 2 จงหาคาของ

4

1

2 )1(i

ii

วธท า

4

1

2 )1(i

ii = (12 – 1 + 1) + (22 – 2 + 1) + (32 – 3 + 1) + (42 – 4 + 1)

= 1 + 3 + 7 + 13 = 24

ตวอยางท 3 จงเขยน 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 โดยใชสญลกษณ วธท า 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 = 2·1x + 2·2x2 + 2·3x3 + 2·4x4 + 2·5x5

=

5

1

2i

iix

ตวอยางท 4 จงแสดงวา

10

1

2 )(2i

i =

10

1

2 )(2i

i

สมบตของ ทควรทราบ มดงน

1. nc c

n

1 i

เมอ c เปนคาคงตว

2.

n

1 i

ii

n

1 i

a c a c เมอ c เปนคาคงตว

3.

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a





5

1 i

6


5

1 i

2 7) 3i - (2i

วธท า

5

1 i

2 7) 3i - (2i =

5

1 i

5

1 i

5

1 i

2 7 3i - 2i

ตวอยางท 7 ถา f(n) = 4n + 7 จงหาคาของ

3

1 i

3 )f(i

วธท า จาก f(n) = 4n + 7 f(i3) = 4i3 + 7

ดงนน

3

1 i

3 )f(i =

3

1 i

3 )7 (4i


10

1 i

4i





4

1 k

2k-


10

1 i

3 5) - (4i

ตวอยางท 11 จงหาผลบวกของ 20 พจนแรกของอนกรม

n

i ii1 )14)(34(

4

วธท า ให Sn =

n

i ii1 )14)(34(

4

เนองจาก 14

1

34

1

)14)(34(

4

kkkk




แบบฝกหด 3 1. จงเขยนแทนสญลกษณตอไปนใหอยในรปการบวก

(1)

4

1i2i (2)

52

1i2)(i

(3)

4

1k2k)(10 (4)

20

1i2 4)(i

2. จงหาคาของ

(1)

5

1j3j (2)

50

1k8

(3)

4

1i2 3)(ii (4)

6

2k

1k4k

(5)

5

1k2 3)(k (6)

10

1i32)(i

(7)

20

10i1)(2i (8)

15

1k5)5)(k(k




3. จงเขยนอนกรมตอไปนรปสญลกษณแทนการบวก

(1) 13 + 24 + 35 + ... + n(n + 2) + ...

(2) n1...

61

51

41

(3) arp + arp+1 + arp+2 + ... + arp+q + ... (4) 2 + 4 + 6 + ... + 2n

(5) ...)3(2

1...121

61

31

1- n

(6) ...1nn

1...34

123

112

1

4. จงแสดงวา

(1)

n

1i6i =3n(n + 1) (2)

k

1i1)(2i = k2 + 2k

(3)

m

1ii43 = 4m+1 – 4 (4)

n

1i2 i)(i =

3nn3




5. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมตอไปน

(1) 12 + 23 + 34 + 45 + ...+ n(n +1) + ...

(1) 147 + 258 + 369 + ...+ n(n + 3)(n + 6) + ...

(2) 1(2 + 3) + 4(4 + 3) + 9(6 + 3) +16(8 + 3) + ... + n2(2n + 3) + ... (4) 12+ 32+ 52+ 72+...+ (2n −1)2+...

(5) ...n11n...

4114

3113

2112

1111




6. จงหาคาของ

(1) 123 + 234 + 345 + ...+ n(n +1)(n + 2) + ...+101112

(2) 12 + 23 + 34 + ...+ n(n +1) + ...+ 99100 (3) ผลบวกของจ านวนเตมบวกทงหมดระหวาง 1 ถง 100 ทหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 7. จงหาผลบวก n พจน และผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมตอไปน

(1)

n

1i 1)(ii1 (2)

n

1i 1)1)(2i(2i1

(3)2)1)(ii(i

1n

1i

(4) 2)i(i

1n

1i




8. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมตอไปน

(1) 1 + 22 + 322 + 423 + ... + n2n–1 + …

(2) ...5n...

1253

252

51

n

9. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมตอไปน

(1) ...1)nn12n...

1697

945

413

22

(2) ...1nnn1n...

2332

3223

2112




10. จงพจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาเปนอนกรมลเขา จงหาผลบวกของอนกรมนน

(1)

1n

1)(ne (2) 1)(n

1n

1)(n 21)(

(3) n1n 100

9

(4) 1) n(n

51n

(5)

1n 22 1)nn12n (6)

1n

1n1

1n

(7)

1nn

1n

54 (8)

1n 2 1 4n1




1.5 ล าดบผลบวกยอยของอนกรมอนนต

ผลบวกของอนกรมอนนตคอ ลมตของล าดบของผลบวกยอยของอนกรมอนนตนนเมอล าดบนน มลมต พจารณา หาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรม 2+4+6+8+... วธท า จากโจทยเปนอนกรมเลขคณต

จากสตร d1na22n

S 1n แทนคาในสตรจะได

1101845211022210

S10 จะเหนวาถาหาผลบวกถงพจนทเทาใดกหาได

แตถาหาผลบวกไปเรอยๆโดยไมมทสนสดคอ n มคามากขนเรอยๆซงกจะเปนการหาผลบวกของ อนกรมอนนตซงจะตองใชลมตเขาชวย พจารณา อนกรม ...............a..........aaa n321 ให nS เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมจะได

11 aS

212 aaS

3213 aaaS . . .

n321n a...............aaaS เรยก n,4321 S.....,..........S,S,S,S แตละจ านวนวา ผลบวกยอย และถาน าผลบวกยอยแตละจ านวนมาเขยนใหอยในรปของล าดบเรยกล าดบทไดวา ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม (a sequence of partial sums)

ตวอยาง หาผลบวกของอนกรม ...10

1...

1000

1

100

1

10

1

n

วธท า หาผลบวกยอยของอนกรมซงเปนอนกรมเรขาคณตและเปนอนกรมอนนต

101

S1 , 10011

1001

101

S2 , 1000111

10001

1001

101

S3

n

n

n

nn 109110

101

1

101

1101

101

................10001

1001

101

S

ล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ n

n

109110

........,,.........1000111,

10011,

101

แสดงวาหาผลบวก n พจนได n

n

n 109110

S




ถา n มคามากขนเรอยๆคาของ nS จะมคาเทาใดเราจะตองหาคาลมตของ nS เมอ n ซงเปนการหาผลบวกของอนกรมอนนตนนเอง ถาเราทดลองหาจะได

91

109110

limSlim n

n

nn

n

หมายความวาถา n มคามากขนเรอยๆผลบวกของอนกรม

.................101

..............10001

1001

101

n จะมคาเทากบ 91

ตวอยางท 1 ก าหนด 4 + 7 + 10 + … + (3n + 1) + … จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรม วธท า ให S1 = 4 S2 = 4 + 7 = 11 S3 = 4 + 7 + 10 = 21 Sn = 4 + 7 + 10 + … + (3n + 1)

= 3)1()4(22

nn ใชสตร dna

nSn )1(2

21

= 532

nn

ดงนน ล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ 4, 11, 21, …, 532

nn

ตวอยางท 2 ก าหนด ...2

1...

8

1

4

1

2

1

n จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรม

ดงนน ล าดบผลบวกยอยของอนกรม คอ ,...2

11,...,

8

7,

4

3,

2

1n




นยาม ผลบวกของอนกรมอนนต คอ ลมตของล าดบของผลบวกยอยของอนกรมนน เมอล าดบนนมลมต อนกรมอนนตทมผลบวกเรยกวา อนกรมคอนเวอรเจนต (convergent series) อนกรมอนนตทไมสามารถหาผลบวกไดคอ nS ไมมลมตเรยกวา อนกรมไดเวอรเจนต (divergent series) จากตวอยางท 1 ก าหนด 4 + 7 + 10 + … + (3n + 1) + …

ล าดบ 4, 11, 21, …, 532

nn , … เปนล าดบลออก

ดงนน 4 + 7 + 10 + …+ (3n + 1) + … เปนอนกรมลออก

จากตวอยางท 2 ก าหนด ...2

1...

8

1

4

1

2

1

n จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรม

ล าดบ ,...2

11,...,

8

7,

4

3,

2

1n

, … เปนล าดบลเขา

12

11limlim

n

nn

n

S

ดงนน ...2

1...

8

1

4

1

2

1

n เปนอนกรมลเขา

หลกการหาผลบวกของอนกรมอนนต 1. หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมคอหา nS 2. น า nS ไปหาลมต 3. ถา n

nSlim

หาคาไดคาดงกลาวคอผลบวกของอนกรมอนนต

ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนต 4. ถา n

nSlim

หาคาไมไดแสดงวาอนกรมอนนตไมสามารถหาผลบวกถงอนนตได

ซงเปนอนกรมไดเวอรเจนต

ขอสงเกต อนกรมเรขาคณตท -1 < r < 1 เปนอนกรมลเขา อนกรมเรขาคณตท r ≤ 1 หรอ r ≥ 1 เปนอนกรมลออก




ตวอยางท 1 จงพจารณาวาอนกรมใดตอไปนเปนอนกรมคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนต ถาเปนอนกรมคอนเวอรเจนตจงหาผลบวกถงอนนต

1. ....3

1

2

1...

18

1

6

1

2

11

n

เปนอนกรมเรขาคณตม31

r,21

a1

จาก

1r,r1r1a

Sn

1n

31

1

31

121 n

n

n

n

n

34

333

3

2

3

13

2

1

43

34333

limSlim n

n

nn

n

แสดงวาเปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ

43

2. ...2...901 23 nn อนกรมนไมเปนเลขคณตและเรขาคณต

(การหาผลบวกถงพจนท n จะใช

n

1nna แทนได)

6

1212

2

1

2

2

2

1 1

23

1

23

1

nnnnn

nn

nn

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

6

1n21nnlim2

21nn

limSlimn

2

nn

n

จากลกษณะการหาลมตจะเหนวาก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวนแสดงวาไมมลมต เพราะฉะนนอนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนต




3. ...35...412 n อนกรมนเปนอนกรมเลขคณต

อาจหา

n

1inn aโดยใชS แทนกได

21nn

3n5

n35

n35

a

n

1n

n

1n

n

1n

n

1nn

2

1nnlim3nlim5Slimnn

nn

จากลกษณะการหาลมตจะเหนวาก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวนแสดงวาไมมลมต เพราะฉะนนอนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนต ตวอยางท 2 จงหาล าดบของผลยอยของอนกรม และบอกวาอนกรมใดบางเปนอนกรมลเขาและมผลบวกเทาใด

1. ...3

1

2

3

6

1

2

1

2

31

n

2. 4 + 8 + 12 + … + 4n + …




แบบฝกหด 4 จงหาล าดบของผลบวกยอย และ หาผลรวมของอนกรมตอไปน

1.

1 )2(

1

n nn 2.

1 )12)(12(

1

n nn

3.

1 )2)(1(

1

n nnn 4.

1 )14)(34(

1

n nn

5.

1 5

2

n

n

6.

1 1

11

n nn

7.

1

)1(n

nn (ตอบ 11 n ; div)




1.6.1 ผลบวกของอนกรมอนนตทเปนอนกรมเลขคณต - ถา 0d,0a1 อนกรมคอ 0 + 0 + 0 + 0 + .. .จะได Sn = 0 และ n

nSlim

= 0

จะเปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ 0 - ถา 0d,0a1 เชน 0 + 2 + 4 + 6 +... จะเหนวาเมอ n มคามากขนเรอยๆไมมทสนสด ไมสามารถหาผลบวกอนกรมอนนตได เปนอนกรมไดเวอรเจนต - ถา 0d,0a1 เชน 2 + 2 + 2 + 2 +... จะเหนวาเมอ n มคามากขนเรอยๆไมมทสนสด ไมสามารถหาผลบวกอนกรมอนนตได เปนอนกรมไดเวอรเจนต

- ถา 0d,0a1 จาก n1n1n aa2n

หรอSd1na22n

S จะเหนวา

ก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวน หาลมตไมไดแสดงวาเปนอนกรมไดเวอรเจนต

สรป อนกรมอนนตทเปนอนกรมเลขคณตจะหาผลบวกอนนตไดเพยงกรณแรกเทานน คอ a1 = 0 และ d = 0

1.6.2 ผลบวกอนกรมอนนตทเปนอนกรมเรขาคณต พจารณา อนกรมเรขาคณต 1

1

2

111 ... nrararaa - ถา r = 1 อนกรม คอ a1 + a1 + a1 + ... ล าดบผลบวกยอยคอ 1111 ....,,3,2, naaaa

nnSlim

จะหาคาไมได คอไมมลมต เชน 3 + 3 + 3 +… เปนอนกรมไดเวอรเจนต

- ถา r = -1 อนกรมคอ a1 - a1 + a1 - a1 +… ล าดบผลบวกยอยคอ 1

111 1...,,0,,0,

n

aaa จะเหนวาล าดบของผลบวกยอยจะเขาใกล 2 คาคอ 0 กบ 1a แสดงวาไมมลมต เชน 1 + (-1) + 1 + (-1) +… เปนอนกรมไดเวอรเจนต - ถา 1r พจารณา จาก

rlim1lim

rlimaalimr1r1a

nn

n

n11

n

n1

จะเหนวา n

n

rlim

หาคาไมได เพราะฉะนน nn

Slim

หาคาไมได เปนอนกรมไดเวอรเจนต




ถา 1r จาก

r1ar10a

rlim1lim

rlimaalimr1r1a

1

1

nn

n

n11

n

n1

จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไดซงมคาเทากบ ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนต สรป 1. ถา 1r จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไมไดเปนอนกรมไดเวอรเจนต 2. ถา 1r จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไดซงมคาเทากบ ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนต ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...32...541862

1

n

วธท า จากอนกรมอนนตเปนอนกรมเรขาคณตม r = 3 ซง 1r เปนอนกรมไดเวอรเจนตหาผลบวกอนนตไมได

1313132r1r1a

n

n

n1

หาคา ไมไดเนองจากก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวน




ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...2

1...

16

1

8

1

4

1

2

1

n

วธท า เปนอนกรมเรขาคณตม r = 21

ซง 1r เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

มผลบวกอนนตเทากบr1a1

1

21

1

21

n

n

n1

21

1

21

1

21

121

r1r1a

1

0121

lim1limn

nn

เปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ 1

ตวอยางท 3 ถา 1n31n9n2

S 2

2

n

จงหาผลบวกอนกรมอนนต

วธท า จาก1n31n9n2

S 2

2

n

จะเหนวา nnSlim

32

เพราะฉะนนผลบวกอนกรมอนนตเทากบ32




ตวอยางท 4 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...1...830 2 n วธท า

n

61n21nn

1n

1n

a

n

1n

n

1n

2

n

1n

2

n

1nn

จะเหนวา มก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวนเพราะฉะนน nnSlim

ไมมลมต

เปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนต

Note :




แบบฝกหด 5 1. จงพจารณาวาอนกรมตอไปน อนกรมใดบางเปนอนกรมคอนเวอรเจนตและมผลบวกเทาใด

1. ...3

1

2

1...

54

1

18

1

6

1

2

11

n

2. ...3

23...

9

8

3

423

1

n

3. ...52

1...

2

125

2

25

2

5

2

1 1

n

4. 5 + 5 + 5 + 5 + ….

5. 0 + 3 + 8 + … + (n2 - 1) + …

6. ...81

1

27

1

9

1

3

1




7. 100 + 10 + 1 + 0.1 + …

8. -0.1 + 0.01 – 0.001 + 0.0001 – 0.00001 + …

9. 2 + (-1) + (-4) + … + (5 – 3n) + …

10. 16 + 12 + 9 + … + 1

4

316

n

+ …

2. จงหาคาของ x ถา 1 + x + x2 + x3 + … = 3

2




1.7 อนกรมผสม (Arithmetic–Geometric Series : A.G.S) คอ อนกรมผสมระหวางอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต เปนอนกรมทเกดจากผลคณพจนตอพจน ระหวางอนกรมเลขคณตและเรขาคณต ดงน ก าหนดให a1 + a2 + a3 + … + an + … เปนอนกรมเลขคณต และ

b1 + b2 + b3 + … + bn + … เปนอนกรมเรขาคณต แลว อนกรมผสมระหวางอนกรมเลขคณตและเรขาคณต คอ a1b1 + a2b2 + a3b3 + … + anbn + … จะไดอนกรมคอนเวอรเจนต โดยมผลบวกเทากบ

2

111

)1(1 r

drb

r

baS

เมอ -1 < r < 1


7

8

5

4

3

2

1

วธท า (แกระบบสมการ) ให S แทนผลบวกของอนกรมอนนตคอ

..............................81

41

21

21

S21,21

2........................327

165

83

41

S21,1

21

1........................167

85

43

21

S

SlimS nn

23

121

21

1

21

21

r1a

21

...................81

41

21

21

1

312

23

S ผลบวกของอนกรมอนนตเทากบ 3

วธท า (ใชสตร)





7

4

5

2

31

ตวอยางท 3 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...16log32

18log

16

14log

8

12log

4

1

วธท า จดรปใหมเปน ...2log32

42log

16

32log

8

22log

4

1

ตวอยางท 4 ให c เปนคาคงทและ

.......21

...............41

21

11n

c5n3cn5lim 1n3

23

n

จงหาคาของ c




แบบฝกหด 6 จงหาผลบวกของอนกรมอนนตตอไปน

1. ...7

2...

7

8

7

6

7

4

7

2432

n

n

2. ...625

15

125

10

25

6

5

31

3. ...5

3log)1(...

125

81log

25

27log

5

9log3log

1

1

n

nn

4. ถา 1x แลวจงหาผลบวกของอนกรมอนนต 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + 9x4 + …




1.8 อนกรมเทเลสโคป (telescoping series) คอ การจดรปแตละพจนในอนกรม ใหเปน “ผลลบ” โดยเมอแยกเปนผลลบไดแลวพจนคทอยตดกน

จะมบางตวตดกนได วธจดรปพจนใหเปนผลลบ จะมอย 2 วธ คอ การใชคอนจเกต กบ การแตกเศษสวน

คออนกรม a1 + a2 + a3 +… + an + … สามารถเขยนในรป a1 + a2 + a3 +… + an + … = (b1 - b2) + (b2 – b3) +(b3 – b4) +…+ (bn - bn+1) +…

เมอ a1 = b1 – b2, a2 = b2 – b3, …, an = bn – bn+1 ดงนน a1 + a2 + a3 +… + an = b1 – bn+1

ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของอนกรมอนนตตอไปน

1. ...43

1

32

1

21

1

วธท า จะเหนวาอนกรมนไมเปนทงเลขคณตและเรขาคณตแลวจะหา ไมได

เนองจากสมบตของ ไมมทอยในรปผลคณและผลหาร จะตองใชวธจดรปของอนกรมใหมจะเหนวา

สวนเปนลกษณะของล าดบเลขคณตคณกน 2 ชดหาพจนท n ไดเปน 1nn1

ออกทงหมดเปดวงเลบ1n1

1

1n1

n1

......................43

131

21

21

1

1nn1

............................431

321

211

1

011n1

lim1limnn

2.

...1212

1...

75

1

53

1

31

1

nn




3. ..................1n2.................531 2222 วธท า ให

nnnnnn

S

nn

nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

214

61214

144

144

12

limlim

1 1 1

2

1

2

1

2

จะเหนวาก าลงของเศษมากกวาสวนแสดงวาไมมลมต เปนอนกรมไดเวอรเจนต

ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรม

1 )14)(34(

1

n nn

ตวอยางท 3 จงหาผลบวกของอนกรม

1

1

)1(

12)1(

n

n

nn

n




ตวอยางท 4 จงหาผลบวกของอนกรมในแตละขอตอไปน

...

21

1...

543

1

432

1

321

1

nnn

ตวอยางท 5 ก าหนดให a € R+ - {1} และ 970,2log...logloglog 2222

3 aaaa n aaaa

จงหาคาของ n

n

2...642

)12(...531


99

1 1

1

i ii




1.9 การหาผลบวกของอนกรมทไมใชอนกรมเลขคณตและเรขาคณต

1. หาผลบวกโดยการ take Sigma ก าหนดให an แทนพจนท n ของอนกรม และ Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม แลว

nn aS

ตวอยางท 1 ...4

4321

3

321

2

211

ตวอยางท 2 ถาก าหนดให an = n2 + 2n จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมน

ตวอยางท 3 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม ...)2

1

2

1

2

11()

2

1

2

11()

2

11(1

322




2. อนกรมทมรปแบบ A + AA + AAA + … เมอ IA และ 1 ≤ A ≤ 9

ตวอยางท 1 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม ตอไปน 1. 9 + 99 + 999 + … + (10n – 1) + …

วธท า ให Sn = 9 + 99 + 999 + … + (10n – 1) = (10 - 1) + (102 - 1) + (103 - 1) + … + (10n - 1) = [10 + 102 + 103 + … + 10n] – [1+1+1+ … + 1]

= nn

110

)110(10

= nn )110(9

10

2. 1 + 11 + 111 + 1111 + …

3. 5 + 55 + 555 + 555 + ….

4. 7 + 77 + 777 + 7777 + …




1.10 การเขยนทศนยมซ าใหอยในรปของเศษสวน การเขยนทศนยมซ าใหอยในรปของเศษสวนกระท าไดหลายวธและวธหนงกคอ การน าความรเกยวกบอนกรมอนนตมาใชแตเวลาทนกเรยนท าขอสอบเลอกวธทงายทสด

ตวอยางท 1 จงเขยน 12.0 ใหอยในรปเศษสวน

วธท 1 วธนนกเรยนเคยเรยนมาแลว

ให x = 0.2121212121……………….(1) 100 x (1) จะได 100x = 21.21212121…………………(2) (2) - (1)จะได

99x = 21

337

9921

x

วธท 2 ใชผลบวกอนกรมอนนต

...100000000

21

1000000

21

10000

21

100

21

...00000021.0000021.00021.021.0

...21212121.0

ซงเปนอนกรมเรขาคณตม1001

และr10021

a1




ตวอยางท 2 จงเขยน 783.4 ใหอยในรปเศษสวน

วธท 1

.....................3878787.4783.4

ให x = 4.3878787………………………(1) 10 (1),10x=43.878787……………………….(2) 100(2),1000x = 4387.8787…………………..(3) (3) – (2),990x = 4344

1657249904344

วธท 2

=




ตวอยางท 3 ถาลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดานของรปสเหลยมจตรส จะไดรปสเหลยมจตรสดงรป 1. ถารปสเหลยมจตรสรปแรกมเสนรอบรปยาว 20 หนวย รปสเหลยมจตรสรปทสองมเสนรอบรปยาวเทาใด 2. ถากระบวนการเกดรปใหมของรปสเหลยมจตรสเกดขนอยางตอเนองไมสนสด ผลบวกของความยาวของเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเปนเทาใด (ตอบ 68.28)

วธท า 1. รปสเหลยมจตรส ABCD ยาวดานละ 5 หนวย มเสนรอบรปเทากบ 20 หนวย รปสเหลยมรปทสอง EFGH มความยาวดานละ

หนวย 2

254

50450

425

425

222

EH

AHAEEH

เสนรอบรปของสเหลยมจตรสรปทสองยาวเทากบ

หนวย 2102

254

I J

KL

E

F

G

H

CD

BA2. รปสเหลยม IJKL ยาวดานละ วธท า




แบบฝกหด 7 1. จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรมตอไปนพรอมทงบอกวาอนกรมใดบางทเปนอนกรมลเขาและมผลบวกเปนเทาใด

(1) ...31

21...

181

61

21 1n

(2)

...323...

3423

1n

(3) ...(5)21

225

25

21 1n ... (4) ...

2

1)(...

81

41

21

n

1n

(5) 2 + (–1) + (–4) + ... + (5 – 3n) + … (6)

...43

6427

169

43 n

...

(7) 0 + 3 + + 8 + ... + (n2 – 1) + … (8) –1 + 0 + 9 + ... + (n3 – 2n2)

(9)

......

n

101

10001

1001

101 (10) 1–2+3–4+5–6+ …+ (–1)n–1n+…




3. จงหาผลบวกของอนกรมตอไปน

(1) ...3

12...81

11627

189

141n

1n

(2) ...23

83

43

233 1-n ...

(3)

...)x(2

1...)x(2

1)x(2

1x2

1n232222




4. จงเขยนทศนยมซ าตอไปนใหอยในรปเศษสวน (1) 120. (4) 784.3

(2) 40160. (5) 0.07373… (3) 657.2 (6) 2.999…

5. จงหาคาของ x ทท าให 1 + x + x2 + x3 + ... + xn–1 + ... = 32




6. จงหาคาของ a1และ r เมอ a1 + a1r + a1r2 + a1r

3 + ... + a1rn–1 =

23 และ

a1 – a1r + a1r2 – a1r

3 + ... + (–1) n–1a1rn–1=

43

7. ถาลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดานของรปสเหลยมจตรส จะไดรปสเหลยมจตรสใหม ดงรป (1) ถารปสเหลยมจตรสรปแรกมเสนรอบรปยาว 20 หนวย รปสเหลยมจตรสรปทสองมเสนรอบรปยาวเทาใด (2) ถากระบวนการเกดรปใหมของรปสเหลยมจตรสเกดขน อยางตอเนองไมสนสด ผลบวกของความยาวของ เสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเปนเทาใด




8. รปสามเหลยมดานเทารปหนงมดานยาวดานละ 10 นว รปสามเหลยมดานเทารปทสองเกดจากการลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดนทงสามของรปสามเหลยมดานเทารปแรกและรปสามเหลยมดานเทารปทสามเกดจากการลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดานทงสามของรปสามเหลยมดานเทารปทสองและสรางรปสามเหลยมเชนน เรอย ๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวของเสนรอบรปของรปสามเหลยมทงหมด ถากระบวนการนเกดอยางตอเนองไมสนสด 9. เรอไวกงเปนเครองเลนชนดหนงในสวนสนก จากจดซายสดถงจดขวาสดตามสวนโคงขณะแกวงยาว 75 เมตร

ถาการแกวงครงใหมจะสนลง โดยมระยะเปน 53 ของระยะเดม

อยากทราบวาหากไมมการหยดกะทนหน เรอไวกงจะแกวงไปมาตงแตเรมจากจดสงสดเปนระยะทางเทาใด




10. ถงบรรจสารพษซงเกบไวใตดนเพอใหยอยสลายตวเองเกดรอยราว จงท าใหสารพษแพรกระจายซมผานเนอดนออกไป ในเวลาหนงป สารพษดงกลาวแพรกระจายไปไดไกลเปนระยะทาง 1500 เมตร เมอสนปทสอง สารพษแพรตอไปไดอก 900 เมตร และเมอสนปทสาม สารพษแพรตอไปไดอก 540 เมตร (1) ถาอตราการแพรกระจายของสารพษดงกลาวเปนเชนนไปเรอย ๆ อยากทราบวา เมอสนปทสบ สารพษดงกลาวจะแพรไปไดไกลเทาใด (2) สารพาดงกลาวจะแพรกระจายไปไกลถงโรงเรยนซงตงอยหางจากจดฝงถงบรรจสารพษออกไป 4 กโลเมตร หรอไม จงอธบาย 11. นกเรยนคดวาวธการหาผลบวกของอนกรมอนนตแตละขอตอไปน ถกตองหรอไม จงอธบาย

(1) ให x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … จะได 2x = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + … = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + …) – 1 = x – 1 ดงนน x = –1 นนคอ ผลบวกของอนกรม 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n–1 + … เทากบ –1 (2) ให S = 1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + 64 – ---------- (1) จะได 2S = 2 – 4 + 8 – 16 + 32 – 64 + … ---------- (2)

(1) + (2) จะได 3S = 1 นนคอ S =

ดงนน ผลบวกของอนกรม 1 – 2 + 4 – 8 + … + (–2)n–1 + … เทากบ




12. ก าหนดใหอนกรมเรขาคณตอนกรมหนงมพจนแรกเปน 160 และมอตราสวนรวมเปน 23 ถาผลบวกของ n

พจนแรกของอนกรมนเทากบ 2110 แลว จงหาวา n เทากบเทาใด 13. ผลบวกของพจนแรกและพจนทสองของอนกรมเรขาคณตเทากบ –3 และผลบวกของพจนท 5 กบพจนท 6

คอ 161

จงหาผลบวกของ 8 พจนแรกของอนกรมน

(Infinite Sequence & Infinite Series) · 2019-05-13 · วิชาคณิตศาสตร์...

Documents

Transcript of (Infinite Sequence & Infinite Series) · 2019-05-13 · วิชาคณิตศาสตร์...