Info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 1 Numerische Verarbeitung...

info2

Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 1

Numerische Verarbeitung digitaler Signale

Glätten

• drei gemessene Werteyn-1, yn, yn+1

linearer Mittelwert

Aus einem Satz von N Messwerten erhält man N-2 geglättete Werte

3

yyyy 1nn1-n

n

ny

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Zweimaliges Glätten

)yy2y3y2y(9

13

yyyy

2n1nn1-n2-n

1nn1-nn

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Beispiel: Messwerte Tabelle 1: „Numerische“

n yn aus unsym. Ausgleichsf.

1 5 - - 4,94

2 5,4 5,63 - 5,63

3 6,5 5,97 5,88 6,15

4 6,0 6,07 6,02 6,09

5 5,7 6,03 6,14 5,87

6 6,4 6,33 6,39 6,30

7 6,9 6,80 6,88 6,82

8 7,1 7,26 7,18 7,30

9 7,8 7,47 - 7,67

10 7,5 - - 7,53

nyny ny

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Ausgleichsgerade

Bsp.:

durch folgende 5 Messpaare xn,yn wird ein Ausgleichspolynom 1. Ordnung gelegt.

N 1 2 3 4 5

xn 1 2 3 4 5

yn 1 2 3 3 4

Ausgleichspolynom f(x)=P(x)

Polynom 1. Ordnung

f(x)=a+bx

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Gauß‘sches Prinzip der kleinsten Quadrate

!)²)((

!)²)((

1

1

MinyxfS

MinyxPS

N

nn

N

nn

:Ansatz

. b

b a

X

y

xn xn+1

yn

yn+1

Streng genommen: senkrechter Abstand muss minimiert werden

Praxis: Abzisse wird fehlerfrei angenommen

minimiert wird Ordinaten-Differenz f(x)-yn

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nn

nnnn

N

n

N

n

N

nnn

nnn

N

n

nn

N

n

nn

yxbaN

xyxbxa

yxba

xybxab

S

ybxaa

S

MinybxaS

:3 aus

4 ² :2 aus

3 :1 aus

2 0)(2

1 01)(2

! )²(

1 1 1

1

1

5 N

xbya nn

*

Herleitung Gauß‘sches Fehlerquadrat

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nnnnnnn yxxb

N

xxb

N

xy ²*

*

:4 in 5

N

xxx

N

yxyx

bnn

n

nnnn

²

Gauß‘sches Fehlerquadrat

5 N

xbya nn

*

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Zum Beispiel

xxy

b

yx

yxx

nn

N

n

N

nnn

N

nn

7,05,0)(

5,05

15*7,0137,0

515*15

55

513*15

46

46

1355²151 11

a

Ausgleichsgerade durch 5 Punkte

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Skizze: Ausgleichspolynom

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6

Reihe1

Reihe2

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Ausgleichspolynom 3.Ordnung durch 5 Punkte

ny

xn-2 xn-1 xn xn+

1

xn+

2

(xn, ) geglätteter Wert / wahrscheinlichere Wert

n

Stützstellen k = -2, -1, 0, 1, 2

(xn+k, yn+k)

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Polynom 3. Ordnung

hxxd

S

c

S

b

S

a

S

MinyxPS

xxdxxcxxbaxP

nn

knk

kn

nknnknnknkn

1

2

2

, , ,

! ]²)([

)³()²()()(

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4 Gleichungen

nnnn

nn

knkkkkk

knkkkkk

knkkkkk

knkkk

xkxxaxP

hk

hk

k

hk

hxxxk

yxxdxcxbxa

yxxdxcxbxa

yxxdxcxbxa

yxdxcxba

für 0 0)( da )(

2 2

1

0 0

1

2 2

4

3

2

1 5

0

22

36543

25432

322

32

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)31217123(35

12112 nnnnnn yyyyyy

aus (1) und (3) folgt:

Die ersten beiden und die letzten beiden Punkte wurden nicht geglättet.

knkn yxP )(

Ausgleichspolynom

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Unsymmetrische Ausgleichsformel

)69464(70

1

)2271282(70

2

)2812272(70

2

)46469(70

1

21122

21121

21121

21122

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

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Differenzenquotient

Messweite yn Variable xn

Äquidistanter Abstan xn+1-xn=hAus Taylorreihe folgt:

hyyy

hyyy

hyyy

xxn

xf

xxxf

xxxf

xfxf

nnn

nnn

nnn

n

n

n

'11

'1

'1

00

0)(

20

00

00

2

)(!

)(

............)(!2

)('')(

!1

)(')()(

h

yyy nn

n 211'

Differenzenquotient aus den zu (xn,yn)benachbarten Stellen

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Taylor‘sche Satz

satzMittelwert nach 1...0

)(!

)()!1(

)...(''!2

²)('

!1)()(

)()1(1

hafn

haf

n

h

afh

afh

afhaf

nn

nn

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Quadraturformeln - Integrieren

• Der Name Quadraturformel stammt vom Delischen Problem der Quadratur des Kreises

• Quadraturformeln, ermöglichen die numerische Berechnung von Flächeninhalten.

• Visualisierung zur numerischen Integration

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Integrieren

Fläche :gesucht

enStützstell N von Satz

nxx

yx

nn

nn

1

),(

x1 x2 x3 x4 x5 xNx

y

N

nnN yhR

2

*

Gesamtfläche

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Trapezregel

2* 1 nn

n

yyhA

0 Tmit N bis 2i nTeilfläche 1

2* 1

1ii

ii

yyhTT

x1 x2 x3 x4 x5 xN

y1

y2

A2 A3

h

)22

(*1

2

1 NN

nnN

yy

yhT

Formel für Trapezfläche

Gesamtfläche:

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Keplersche Fassregel

• Durch 3 Stützstellen wird Polynom 2.Ordnung gelegt Integrationsintervall von 2h

x1 x2 x3

y1

h0 2h

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Herleitung Kepler‘sche Fassregel

e Unbekannt3 n Gleichunge 3

42)2(

)(

)0(

)(

23

22

1

2

hchbayhy

hchbayhy

ayy

cxbxaxy

)2(²2

1

)3

1

3

4(

2

3

321

321

1

yyyh

c

yyyh

b

ya

³3

8²22

)²()(2

0

2

0

chbhahK

dxcxbxadxxyKh h

Übung

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Keplersche Fassregel

6

42 321

2

yyyhK

2 Streifen

Bemerkung:

Bei gerader Zahl von Messwerten: Simpson-Regel

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Simpson-Regel

mit 2

3-N bis 0mfür

und zwischen

23-N

bis 0mfür

nintegriere Streifen zwei

ungerade und 3N

0

...

)...424(6

2

)4(6

2

0222

2242

32432122

32122

32221222

SkS

kkk

yyyyyh

S

yyS

yyyh

k

mm

m

mm

mm

mmmm

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3/8-Regel

Polynom 3.Ordnung 3 Streifeny(x)=a+bx+cx²+dx³

x1 x2 x3

y1

h0 2h

x4

3h

A38

333 4321

3

yyyyhA

drei Streifen

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Newton-Cotes-Formeln

4. Ordnung

90

732123274 54321 yyyyy

hA

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Beurteilung der Integrationsverfahren

• Welche Verfahren wird man in der Praxis einsetzen?

• Abwägung: Speicherplatz – Prozessorleistung• Früher waren Speicherplatz und schnelle A/D-

Wandler teuer ->Prozessor + SW• Heute: Integrationsintervall klein ->

Rechteckregel• Übung: www.mathematik.ch/anwendungenmath/numint • Anzahl der Intervalle vergrößern.

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Numerische Integration-gewöhnliche Differentialgleichungen

)(

)())(,()(

))(,()()(

))(,(

)())(,()()(

1101

01

00

1

0

1

0

1

0

1

0

nn

t

t

t

t

t

t

t

t

tyydy

tyydttytfyty

dttytftyty

dttytfdty

tth

ytytytftydt

tdy

Fehler

:tAnfangswer

DGL Homogene

n1n

Lösbar mit Kepler Fassregel

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Inhomogene DGL

1

1

0

1

0

1

0

))(),((

))(),(()(

))(),((

))(),(()(

1

01

n

n

t

t

nn

t

t

t

t

t

t

dttytxfyy

dttytxfyty

dttytxfdty

tytxfty

DGLx(t) y(t)

ersetzenzu durch

ist DGLhomogenen Bei

0

0

hntt

hnxx)x(t

n

nn

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Herleitung: DGL aus Frequenzbereich

• Aufstellung der Gleichungen

R

y(t)Cx(t)

CRjCj

R

CjUe

Ua

1

11

1

)()(

)()(

txtUe

tytUa

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Herleitung über Fourierbereich

)()(

)()()(

1)1()(

1

11

1

tytyj

txCRtyty

UeCRjty

CRjCj

R

CjUe

Ua

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Polygonzugverfahren nach Euler

(1) ),(1 hyyyxfyy nnnnnn

R

y(t)Cx(t)

)1()()(

DGLder Lösung eanalytisch

)()()(

)()()(

Tiefpassfür

T

t

etxty

T

tytxty

txtyRCty

DGL

nn

nn

nn

yty

xtx

yty

)(

)(

)(

erendiskretisi DGL

T

yxhyy

T

tytxty

nnnn

1

(1)in )()(

)(

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Übung: Vergleich „Analytisch – Numerisch“

• Stellen Sie die beiden Kurven in Excel dar.• Eingangsfunktion x[n]=1 für 0≤t

x[n]=0 für 0>t • RC=1; h=0,1• Bereich 0…7

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Explizites Polygonzugverfahren - Euler

0y 0y

y0

y(t1)

y1

t0t1

y(t)

h

h*

dtnnn yhyy 1

Steigung an der linken Grenze

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Implizites Polygonzugverfahren

1yy0

y(t1)y1

t0t1

y(t)

h

h*

dt

),( 111 nnnn yxfhyy

Steigung an der rechten Grenze

1y

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Trapezverfahren nach Heun

),(),(2

))(),(()(

111

01

1

0

nnnnnn

t

t

yxfyxfn

yy

dttytxfyty

0yy0

h

t0t1

210 yy

t

Integration einer DGL nach Trapezverfahren

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Zwei Tiefpässe hintereinander

CUe CU2 Ue

R R

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Z-Transformation

Kontinuierliche Fourier-TransformationZeitsignale

Diskrete Z-TransformationZeitsignale DFT ist Spezialfall der

Z-Transformation

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z-Tranformierte

Z-Transformation ordnet Zeitsignal x(n Ta)=xn

Z-Transformierte

Fourier-Transformierte

Diskrete Fourier-Transf.

Im allgemeinen gilt:

n

n

nn zxzX )(ˆ

Funktion Zuordnung komplexe Variable z)(ˆ zX

)(

)(

)(ˆ

jX

jX

zX

d

)()()(ˆ jXjXzX d

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Z-Tranformierte als Abbildung

j Im

aT

2

Beschränkung auf einseitige Z-Transformation

xn=0 für n<0

Re

aT

instabilstabil

Z-Ebene

+1

s-Ebene

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Eigenschaften der Z-Transformation

ist ein Polynom von z• Der Faktor z-n separiert die Funktionswerte voneinander.• Der Faktor z-n beinhaltet eine Verzögerung um n Ta von t=0 aus.

• Einheitskreis in der Z-Ebene

)(ˆ zX

ˆaTjez

)()(ˆ jXezX dTj a

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Anwendung auf nichtrekursive Filter

kn

N

Nkkn xay

ak

x(n Ta)=xk y(n Ta)=yk

Blockschaltbild eines nicht-rekursiven Filters

Ausgangssignal hängt nur von Werten des Eingangssignals ab. Keine Rückkopplung

immer stabil

gefaltet! Werte"zukünftige"

:Bsp. 221101122

knk

nnnnn

xa

xaxaxaxaxa

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Zusammenhang: Y(z), X(z), A(z)

m

mm

k

kk

k

n

knkn

N

Nk

kk

nkn

n

N

Nkk

n

nn

zxza

Nkan-km

zxza

zxazyzY

***

für 0 für

***

)()(ˆ

)(

rteEingangswe Trf.-Z Transf.-Z )(ˆ)(ˆ zxzA

k-k)-(n-

gnalsAusgangssi

-Filter des Trf.-z

zzz n *

ˆ

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Filterkoeffizienten - Übertragungsfunktion

tenKoeffiziender Trf- Z)(ˆ)(ˆ (2)

Box-Black )(ˆ)(ˆ

)(ˆ (1)

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

)(ˆ

)()()( :Analogie )(ˆ)(ˆ)(ˆ

k

kk zazAzG

zX

zYzG

zAzX

zYzG

jXjGjYzXzAzY

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Kausaler Filter

N

kknkn xay

0

info2


Akausaler Filter

N

Nkknkn xay

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Beispiel für FiR-Filter

)31217123(35

12112 nnnnnn xxxxxy

35

12

10 2 3

x(n*Ta) y(n*Ta)

tn 0

35

17

35

3

akx(n·Ta) y(n · Ta)

tn

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Beispiel: mittelnder Filter

rvallAbtastinte ein um gVerzögerun

ˆ

)1

1(3

1)(

3

1*)(

3

1

3

1

3

1

1

1

1

101

11

z

zzzzzzazG

xxxy

k

kk

nnnn

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Blockschaltbild nicht rekursiver Filter

z-1 z-1 z-1xn+N xn-Nxn

a-N a-N+1 a0 aN

yN

++

++ +

+

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Filterkoeffizienten für Kreisfunktionen

k

kTjk

Tj

Tj

k

k

kk

aa

a

ea)e(zG

ez

zazAzX

zYzG

*ˆ

ionenKreisfunkt ˆ eisEinheitskr

tenKoeffizien-Filterder Trf.- Z

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

)(ˆ

Trf.-Zder lSpezialfal ist DFT

.Fouriertrfdiskreter mit identisch Trf.-Z ist ArgumentFür

)()(ˆ

jxezx

ez

dTj

Tj

a

a

Nkak für :Def. 0

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N

Nk

kTjkdd

aeajAjG *)()(

dtetsT

c

ects

T

T

tjnn

tjnn

2/

2/

*)(1

*)(

dejGT

a a

a

a

kTjT

T

da

k )(2

/

/

a

a

TT

TT

2ˆ

2ˆ

Abtast-intervall

Zeit-bereich

Analogie Filter – Komplexe Koeffizienten

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TP Übertragungsfunktion

ka

T

da

kTjkTjT

da

k

dd

kTjT

dakTj

T

da

k

adkTjGT

deejGT

a

jGjG

dejGT

dejGT

a

a

aa

a

a

a

a

a

)cos(*)(2*2

)(*)(2

)()( Funktion gerade GIst

*)(2

*)(2

/

0

/

0

d

/

0

/

0

info2


Idealer Tiefpass angenähert durch Koeffizienten ak

für

0

1)(

G

jG

g

g

G

g

ag

agag

a

agaa

ak

kT

TkT

kT

TkTdTk

Ta

g

)sin(

)sin()cos(1

2

2

0

fa

fgksi

fa

fgaa kk 2

2

gerade Funktion

fg = Grenzfrequenzfa = Abtastfrequenz

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Integralsinus

x

xxsi

)sin()(

Kleine Übung:Stellen Sie die Funktion si(x) im Bereich von -20<x<20 dar.Lösungsmöglichkeiten: Maple, Excel, Simulink, Mathlab,HPVEE, Taschenrechner, plot Taschenrechner

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Beispiel: Berechne Tiefpass

3

1

2*3

2

1 3

02

*22

1 2

1

2*1

2

1 1

2

10

2

1 0

)sin()(

33

22

11

0

)si(kaa

)si(kaa

)si(kaa

)si( ka

x

xxsi

3113 3

11

2

11

3

1

nnnnnkn

N

Nkkn xxxxxxay

Filter-gleichung

4

1 100 25

3

fa

fgHzfaHzfg

N

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Kleine Übung

• Eingangsfunktion für Filter Impuls der Breite 5 – Amplitude = 1

• Berechnen Sie die Ausgangswerte für den TP mit Excel

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Filtergleichung

)3cos(3

2)1cos(

2

2

1

)(3

1)(

1

2

1

)(

33

3

3

aa

TjTjTjTj

k

k

kTjkd

TT

eeee

eajG

aaaa

a

Gleichspannungsverstärkung

Nk

Nkkd ajG )0(

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„Kleine Übung“

• Plotten Sie die Filtergleichung für x=-3…3

xTa

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Übung:

• Berechnen Sie die Filterkoeffizienten für einen Hochpass mit:

• fg=20Hz• N=3• fa=100Hz• Ermitteln Sie die Ausgangsfunktion y[n] bei

einer Eingangsfunktion: Rechteck mit der Breite von 9 Abtastwerten der Amplitude 1.

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Tiefpass Hochpass

)( jG )( jG

)( jG

1ˆ 0a Allpass nn xy

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Koeffizienten für Hochpass

TPk,APk,HPk, aaa

k 0 +/-1 +/-2 +/-3

ak,AP 1 0 0 0

ak,TP 0,4a0,TP

0,3a1,TP

0,09a2,TP

-0,06 a3,TP

ak,HP 0,61-a0,TP

-0,3- a1,TP

-0,09 -a2,TP

0,06-a3,TP

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Tiefpass Bandpass

)( jG

)( jG

)( jG

TPO

TPU

BP

UNTENTPk,OBENTPk,BPk, aaa

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Bandsperre

TPuntenk,TPobenk,APk,BSPk,

BPk,APk,BSPk,

aaaa

aaa

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Rekursive Filter

Beschränkung für neues aktuelles Ausgangssignal• Augenblicklicher Eingangswert xn und zurückliegende

Eingangswerte xn-k

• Rückführung nur von vergangenen Ausgangswerten yn-k

• Endliche Anzahl von Koeffizienten

N

k

M

kknkknkn ybxay

0 1

**

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Rekursive Filter

N

k

M

kknkknknn

n

ybxayby

by

0 10

0

***

1 falls

N

k

N

kknkknk xayb

0 0

**

Ordnung des Filters größere Zahl von M oder N

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Blockbild rekursiver Filter

z-1 z-1 z-1xn xn-N

a0 a1 aN-1aN

++ +

++

+

z-1 z-1 z-1yn-M

bM bM-1b1

+

yn-1

yn

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Beispiel

Filter-IIR ortImpulsantw infinite

ortImpulsantw unendliche

0

für

pulsEinheitsim für

0

01

01222

00111

010000

0

01

0 1

5,0)(

5,05,00

5,0*5,05,002

5,05,01

5,010

00

01

15,0*5,0

**

xkTy

xyxyxkn

xyxyxn

xyxyxn

xyxyxn

nx

nxx

abyxy

ybxay

ka

kkkkk

n

n

knnn

N

k

M

kknkknkn

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Abtasttheorem

• Bei allen numerischen Filterberechnungen FIR muss das Abtasttheorem eingehalten werden

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Herleitung Berechnung Koeffizienten FIR

• Optimierung nach „Kleinstes Fehlerquadrat“

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Filter allgemein

Filter lassen sich nach verschiedenen Kriterien entwerfen. Die Kriterien sind:

1. Welligkeit im Durchlassbereich (Frequenzbereich)2. Welligkeit im Sperrbereich (Frequenzbereich)3. Steilheit beim Übergang vom Durchlass- zum Sperrbereich

(Frequenzbereich)4. Eignung zur Impulsübertragungsfunktion (Zeitbereich)

5. Vorsicht: Filterordnung im analogen Bereich nicht mit Filterordnung (Taps) im digitalen Bereich gleichsetzen

wg

|A|

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FIR-Filter - DSP

• Digital Signal Processor– RISC-Prozessor – Jeder Befehl wird in einem Taktzyklus

ausgeführt • Filtergleichung: Addition und Multiplikation

– Koeffizienten multipliziert mit Messwerten– MAC Multiplizier- und Accumuliereinheit

• modifizierte Harvard-Architektur– im Programmspeicher sind auch Daten –

Koeffizienten

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Suche nach dem idealen DSP….

• Der ideale DSP kann in einem Taktzyklus: Koeffizienten von Speicher 1 und Messwerte von Speicher 2 einlesen, multiplizieren und Addieren

• BSP: ADSP 21xx• BSP: TMS 320xx• BSP: Motorola 56xxx, 96xxx

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Korrelationsmesstechnik

Messgröße xMessgröße y

Zusammenhang? =Korrelation

X Ernteertrag – Niederschlagsmenge y

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Mittelwert

N

nnx

Nx

1

1

N

nny

Ny

1

1

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Varianz

N

nnx xx

N 1

2 )²(1

N

nny yy

N 1

2 )²(1

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Kovarianz

n

N

nnxy

n

N

nnxy

yxN

yx

yyxxN

1

1

1

0,0

))((1

falls

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Korrelationskoeffizient

2

1

2

1

1

)()(

)()(1

yyxx

yyxxN

r

r

N

n

n

N

n

n

n

N

n

n

yx

xy

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Berechnungen in EXCEL

• Analyse Plug-in aktivieren• Kleine Übung• Sie haben zwei Messreihen: xn, yn

– xn: 1, 2, 3, 4, 5, 6

– yna: 6,5,4,3,2,1– Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten– Berechnen Sie den Korrelationskoeffizeinten für

– ynb: 1,2,3,4,5,6– Berechnen Sie den Korrelationskoeffizeinten für

– ync: 1,2,3,3,2,1– Stellen Sie die Messreihen als Kurven dar.

info2


Ergebnisse

• Korrelationkoeffzient:– +1 vollständige Abhängigkeit– 0 statistisch unabhängig– -1 vollständige Abhängigkeit aber

gegenläufig

info2


Korrelationsfunktionen

nsfunktionKorrelatio Kovarianz

um gVerzögerun

)( Signal

früheremmit Signal gemgegenwärtizwischen n Korrelatio

Zeitpunktgleichem )( bein Korrelatio Prüfung

)( )(

a

a

a

a

nana

kT

Tkn

nT

nT

ynTyxnTx

info2


Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion

• 1,2,4,6,3• 2,3,2,1,3• Faltung – Kreuzkorrelationsfunktion

info2


Autokorrelationsfunktion

• Dien Funktion wird mit sich selbst übereinandergeschoben und multipliziert und aufsummiert– symmetrisch– Maximum ist bei Verschiebung ττ=0

• Beispiel: – Geschwindigkeitsmessung mit zwei

Sensoren– Autokorrelationsfunktion

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Kreuzkorrelationsfunktion

• eigentlich nur periodische Funktionen• nicht periodische Funktionen T->unendlich• Funktion 1 wird gegen Funktion 2 um τ

verschoben und jeweils miteinander multipliziert und aufsummiert

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Kreuzkorrelation – Faltung -HPVEE

• Kreuzkorrelation xcorrelate– Device – Function – Signalprocessing –

• Convolve

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KKF und AKF

knnyy

knnxx

aaxx

knnaxy

nnnnxy

aaaxy

yyN

xxN

TknxnTxN

yxN

kTKKF

yxyxN

TknynTxN

kT

*1

*1

)]([*)(1

*1

)(

00)*1

(

)]([*)(1

)(

AKF inüber geht KKF

bei

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Stetige Korrelationsfunktionen

T

T

y

T

T

x

T

T

T

T

dtytyT

dtxtxT

dttyT

ty

dttxT

tx

)²)((2

1

)²)((2

1

)(2

1)(

)(2

1)(

2

2

Mittelwert

Varianz

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Kovarianz

0Mittelwert

T

T

xy

eff

N

nx

N

nxy

dttytxT

xdttxT

dtytyxtxT

)(*)(2

1

)²(2

1

))()()((2

1

2

1

2

1

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Kreuzkorrelationsfunktion

)0()0(

)()(

KKF normale

)()(2

1lim)( AKF

)()(2

1lim)(

)()(2

1lim)(

,

yyxx

xynormxy

T

T

yy

T

T

xx

T

T

xy

dttytyT

dttxtxT

AKF

dttytxT

KKF

T

T

T

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Andere Schreibweise

dttytxT

dttytxT

TT

T

)()(1

)()(2

1

0

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diskrete Korrelation – diskrete Faltung

Faltung diskrete

][][][ mnhmxnym

m

nKorrelatio diskrete

][][][ mnhmxnym

m

Beachten Sie bei der konkreten Aufgabe die Randbedingungen und die Reduktion auf signifikante Punkte.

Info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 1 Numerische Verarbeitung...

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