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Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 1

Einführung in die Systemtheorie

Definition System:

Ein in sich geschlossenes, geordnetes und gegliedertes Ganzes; Gesamtheit, Gefüge von Teilen, die voneinander abhängig sind, ineinander greifen oder zusammenwirken

z.B. in der Physik

Gesamtheit von Körpern, Feldern u.s.w. die voneinander abhängig sind und als Ganzes betrachtet werden

z.B. Biologie

z.B. Informationsübertragungssysteme

z.B. Energieübertragungssysteme

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Theorie

Wissenschaftl., rein gedankliche Betrachtungsweise, Lehrmeinung Erkenntnis von gesetzlichen Zusammenhängen

USA Signals and Systems Signale und Systeme

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Aufgabenstellung Systemanalyse

Systemanalyse:Für ein gegebenes System wird bei gegebener Eingangssignalfunktion x(t) die Ausgangsfunktion y(t) gesucht. Hierzu ist das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln!

Systemx(t) y(t) ?

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Aufgabenstellung Systemsynthese

Systemsynthese:Es ist ein System zu entwerfen, das für eine gegebene Eingangssignalfunktion eine gewünschte Ausgangssignalfunktion y(t) liefert

System ?x(t) y(t)

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Aufgabenstellung Systemidentifikation

Es ist für ein vorhandenes System durch geeignete Wahl der Eingangsgröße und Messen der Ausgangsgröße das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln.

System g(t)x(t) y(t)

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Bezeichnungsweisen

Übertragungsfunktion G(s) • Systemeigenschaft im Frequenzbereich • H(s), T(s) in amerikanischer Literatur

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Bezeichnungsweisen

Eingangssignal• x(t) Bezeichnung im Zeitbereich• X(s) Bezeichnung im FrequenzbereichImpulsantwort• Systemeigenschaft im Zeitbereich g(t)• Systemeigenschaft im Frequenzbereich G(s)Ausgangssignal• y(t) Beschreibung im Zeitbereich• Y(s) Beschreibung im Frequenzbereich

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Mathematisches Modell

Das System wird durch ein mathematisches Modell beschrieben

•bei kontinuierlichen Signalen Differentialgleichungen

•bei diskreten Signalen Differenzengleichungen

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Kontinuierliche Signale

• periodische Funktionen Verwendung der Fourier-Reihe

• allgemeine Signale Fourier-Integral Laplace

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Diskrete Signale

Verwendung von• DFT• FFT• Z-Transformation

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• Kontinuierliche Signale• Lineare zeitinv. Systeme

Behandlung von nichtlinearen Systemen durch Linearisierung

numerische Lösung nichtlinearer DGL

Beschränkung zunächst:

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Kausale Systeme

• Kausale SystemeUrsache Wirkung

• Stabile Systeme

Keine Selbsterregung

t

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Mathematische Beschreibung

Linearität:Mehrere gleichzeitig auftretende Eingangssignale durchlaufen das System unabhängig voneinander und überlagern sich auf Ausgangsseite ungestört.

lineares System

k1x1(t)+k2x2(t) k1y1(t)+k2y2(t)

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Mathematische Beschreibung

Zeitinvarianz:

x(t) y(t)

x(t-t0) y(t-t0)

t

t0

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Stabilität

Stabilität:

wenn! dann!

Ursache verschwindet Wirkung geht auf 0

0)}({lim

txt

0)}({lim

tyt

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Kausalität

aus x(t)=0 für t<t0 folgt

y(t)=0 für t<t0

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Signalklassen

• Deterministisch - stochastisch• digital-analog

Abtasttheorem

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Beschreibung von Systemen

g(t)x(t) y(t)

G(s)X(s) Y(s)

Beschreibung im Zeitbereich

Beschreibung im Frequenzbereich

Eingang AusgangSystem

Strukturbild - Strukturplan

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Erweiterung auf mehrere Ein-Ausgangsgrößen

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

Ursache

Eingangs-signal

Erregung

Wirkung

Ausgangs-signal

Antwort

[A]x y

Vektor Matrix Vektor

y=[A]x

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Behandlung im Zeit-oder Frequenzbereich möglich

• Übergang mit Fourier- oder Laplace-Transformation

Bei Fouriertrf. Frequenz

komplexe Frequenz

Ermöglicht Auf-abklingende Schwingungen zu behandeln

)()( jFF

js

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Fourier-Transformation

dfd

deFtfF

dtetfF

tj

tj

2

)(2

1)()(

)()(

1

Orginalraum(in t) Bildraum (in ω)Abbildung

f(t) Objektfunktion Resultatfunktion )(F

f(t)

f(t)

im allgemeinen Komplex)(F

)(F

)(F

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Einseitige Laplacetransformation

Voraussetzung f(t)=0 für t<0

dsesLj

tfsLL

js

tfLdtetfsL

j

j

st

st

0

0

)(2

1)()}({

)}({)()(

1

0

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Einseitige Laplacetransformation

f(t)

f(t)

)(sL

)(sL

tjttj eee

)(

0 :

für große t gegen 0

)(sL konvergiert besser als )(F

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Beispiel

dtetasL

tatf

st

)cos()(

)cos()(

0

0

0

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Zweimalige partielle Integration oder Maple

20

2)(

''

s

sasL

uvuvvu

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Übertragungsfunktion s

g(t)

G(s)

x(t) y(t)

X(s) Y(s)Strukturplan

Ursache

Wirkung

sX

sYsG

)(

)()(

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Übertragungsfunktion

erationFaltungsop

dtxgty

txtgty

sXsGsY

t

*

)()()(

)(*)()(

)()()(

0

Numerische Lösung

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Zusammenfassen von Strukturplänen bei zeitinvarianten(linearen) Gliedern

G1(s)G1(s)+G2(s)

G2(s)

x y x y=

Parallelschaltung:

y(s)=G1(s)x(s)+G2(s)x(s)=[G1(s)+G2(s)]*x(s)

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G1(s) G1(s) G2(s)xy

G2(s) yx

Reihenschaltung:

Y(s)=G1(s) [G2(s) x(s)]=G1(s) G2(s) x(s)

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Gegenkopplung:

xGGGyy

GGyxGy

GyxGy

121

211

21 )(G1(s)

G2(s)

x y

21

1

1 GG

G

x

y

21

1

1 GG

G

x y

-

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Mitkopplung:

G1(s)

G2(s)

x y21

1

1 GG

G

x y+ =

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Vertauschen zweier Blöcke

G1(s) G2(s) yx G2(s) G1(s) yx=

Y(s)=G2(s) G1(s) X(s)=G1(s) G2(s) X(s)

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Verlegung eines Blocks vor eine Summationsstelle

x1y

x2

G yG

G=

x1

x2

y=G (x1+x2)=G x1+G x2

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Verlegung eines Blocks hinter die Summationstelle

yGx1

x2

yG

G-1

x1

x2

=

Y=GX1+X2 = G (X1+G-1 X2)

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Verlegung eines Blockes vor eine Verzweigungsstelle

G

x G=y

x G-1

x

y

x

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Verlegung eines Blockes hinter eine

Verzweigungsstelle

G

xG =y

y G

x

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Die gedämpfte Schwingung

•Physikalisch völlig verschiedene Systeme können identische Systemstrukturen haben. •Bsp.: gedämpfte Schwingung

m

x

k

v

d

Ruhelage

Fd=-d*v

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Die gedämpfte Schwingung

0

kxxdxm

kxvdam

FFam Fd

ist Kraft u(t) vorhanden gilt

)(tukxxdxm

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RLC-Glied

Ursache

Wirkung

u

i

qC

dttqC

tqCj

qLqC

qRu

iLjiCj

iRu

1

)(1

)(1

*1

1

iq

idtq

R LC

u

)(1

tuqC

qRqL

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Systemstruktur - identisch

)(tukxxdxm

)(1

tuqC

qRqL

Mechanik

Elektronik

)()(1

)()(2 sUsQC

sQsRsQsL

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Übertragungsfunktion R,L,C-System

R LCU

i=Ursache

LR

ss

LCR

Cs

Rs

sI

sUsG

2

2

)(

)()(

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R,L,C Reihenschaltung

R LC

u

LCs

LR

s

sL

LCssRC

sC

sLsC

RsG

sLsC

RsG

sU

sIsG

1

1

111

)(

1

)(

1

)(

)()(

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Echt gebrochen rationale Funktion

• G(s) ist bei linearen zeitinvarianten Systemen als gebrochene rationale Funktion darstellbar

• beliebige R,L,C-Netzwerke m<n echt gebrochen rationale Funktion

011

1

011

1

...1

...)(

bsbsbs

asasasasG

nn

n

mm

mm

Nenner im NullstelleˆPoleˆ...

nNullstelleˆ...

)(*))...((*)(

)(*))...((*)()(

1

001

121

0102100

xnx

m

xxxnxn

mmm

ss

ss

ssssssss

ssssssssasG

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Beispiel

)4()5(20 :Ergebnis

4

52

8011

12

)20(14²11

2

4

0

?20

2

2

1

2,1

2

2,1

2

2

xxxx

x

x

x

a

acbbx

cbxax

xx

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Ermittlung der Übertragungsfunktion G(s) bei RLC-Netzwerken

R LCu

iIi wird eingespeist

u Wirkung

LR

ss

LCR

CsRs

LCssRC

RLCssLR

sLR

sRL

sCLjR

LjR

Cji

usG

²1

1²

²

²

11)(

jω durch s ersetzen!

Vorsicht!

höchste Potenz Faktor1

Nennerpolynom

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Polstellen

Definition Polstelle:Klammerausdruck in Nenner wird 0

G(s) wird ∞

Untersuchung der Funktion G(s)

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Einfach reelle Polstelle, Partialbruchzerlegung

tsn

ii

xi

i

ssxii

xn

xini

x

xixi

xi

xn

n

xx

xi

xi

eAtg

ss

A

sGssA

ss

ssAA

ss

ssAsGss

ss

ss

A

ss

A

ss

AsG

1

1

1

2

2

1

1

)(

)(*)(

)(

)(......

)(

)()()(

)(

...)(

iA von Bestimmung

tsi

xieA

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S-Ebene - Zeitbereich

σ

jω

sxi=-σ0

sxi=-σ0

t

Ai

gi(t)

tii eAtg 0)(

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S-Ebene – aufklingende Funktion

σ

jω

sxi=+σ0

sxi=σ0t

Aigi(t)

tii eAtg 0)(

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S-Ebene – Realteil = 0

σ

jω

sxi=0

sxi=0 t

Aigi(t)

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k-fach reelle Polstelle

)!1()(

1

1

n

tBetg

nk

nn

tsi

xi

nxi

n

ss

B

)( ts

nn xien

tB

)!1(

1

σ

jω

k-fach

-σ0t

gi(t)

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Einfach konjugiert komplexe Polstelle

tC

tCetg

tAetg

t

t

00

01

01

sin2

cos*1)(

)sin()(

0

0

σ

jω0sx1

-σ0

-jω0sx2

gx(t)

t

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σ

jω0 sx1

+σ0

-jω0 sx2

gx(t)

t

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-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5σ

jω0sx1

-jω0sx2

gx(t)

t

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