1

MontfortcollegeRotselaar

Infoavond4ejaars:Wiskunde

(10/3/2020)

Overzicht:wiskundeinMCR.

WISKUNDEIN

DE DERDE GRAAD

• Richtingen zonder component WISKUNDEØ 3 uur wiskunde:

• Latijn-Moderne talen• Humane wetenschappen

Ø 4 uur wiskunde:• Latijn-Wetenschappen• Moderne talen-Wetenschappen

• Richtingen met component WISKUNDEØ 6 uur wiskunde:

• Latijn-Wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde-6

Ø 6+2 uur wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde-6+2

OVE

RZIC

HT:

WIS

KUN

DE

IN M

CR

2

Hieropschooliserindederdegraadkeuzetussenstudierichtingenmet3,4,6,of6+2uurwiskunde.

• Destudierichtingenzondercomponentwiskundehebbenalsfocustalen,humanewetenschappen,of(exacte)wetenschappen.Dezestudierichtingenhebben3of4uurwiskunde.*Destudierichtingenzondercomponentwetenschappenhebben3uwiskunde.DitzijnderichtingenLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappen.*Destudierichtingenmetcomponentwetenschappenhebben4uwiskunde.DitzijnderichtingenLatijn-WetenschappenenModerneTalen-Wetenschappen.Detweeverschillende3-uurs-richtingenziendezelfdeleerstof.Afhankelijkvanhetleerlingenaantalkunnendezetweerichtingenvoorhetvakwiskundeeventueelsamenzittenofeventueelapartzitten.Ookhetexamenishetzelfde.Dezelfdeopmerkinggeldtvoordetweeverschillende4-uurs-richtingen.

• Destudierichtingenmetcomponentwiskundehebbenofwel6ofwel6+2uurwiskunde.*Met6uwiskundebiedenwijopschoolLatijn-WiskundeenWetenschappen-Wiskunde-6aan.*Met6+2uwiskundebiedenwijopschoolWetenschappen-Wiskunde-6+2aan.Deinhoudvanhetvak"wiskunde-6"isindezestudierichtingeninprincipehetzelfde.Ookhetexamenishetzelfde,eventueelop1of2vragenna.Ditlaatstekaneengevolgzijnvaneenverschillendenadrukdieeenandereleerkrachtlegt.Hetkanookzijndaterinde6+2watmoeilijkereoefeningenbehandeldworden.Inhetverledeniseraleenseenhoofdstukweggevalleninde6uo.w.v.tijdsdruk,terwijlweditindeWe-Wi-6+2welbehoudenhebben.DeleerlingendiekiezenvoorWe-Wi-6+2hebbeneenvak"wiskunde-6"endaarnaasttweeuurperweek"wiskunde-plus".Wevertellenhieropheteindevandezeuiteenzettingmeerover.

Hoemaakjeeenkeuze?Voorwedekeuzemogelijkhedenoverlopenwillenwebenadrukkendathetmakenvaneenkeuzeeenprocesis.Hetiseenbeslissingdiejenochineens,nochalleenmaakt.Weradenaanommetverschillendemensenoverdezekeuzetepraten:verschillendemensenzoalsfamilie(ouders,broersofzussen,nonkelsoftantes,meterofpeter),vrienden(vanjezelfofvanjeouders)enmensenopschool(jetitularis,jevakleerkrachten,deleerlingenbegeleidsters,decoördinatie,hetCLB)kunnenjeindezekeuzebegeleiden.Nuvolgtwatmeeruitlegvoordeverschillendepakkettenwiskunde.

3

3uurwiskunde-algemeen.

Ditis(hieropschool)vantoepassingvoorLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappen.WiegoedisinLatijn,talen,ofhumanewetenschappen,kannatuurlijkeenpositievekeuzevooréénvandezerichtingenmaken.Echter,voorleerlingendiekiezenvoor3uwiskundeindederdegraad,zijnhogerestudiesmeteenzwaarpakketwiskundeeigenlijkniethaalbaar.Erzijndaarnaastookveelstudierichtingeninhethogeronderwijsbinnenhetdomeinmenswetenschappen(zoalspsychologieofpedagogie),waarstatistiektraditioneelvoorveelstudentenhetmoeilijkstevakis.Omhieraantegemoettetreden,komenstatistischeonderzoeksvaardighedenvoordeleerlingenhumanewetenschappenreedsaanbodbinnenhetseminarie(2uperweekinhet6ejaar).Daarnaastiserdemogelijkheidomindevrijeruimteinhet6ejaartekiezenvoorhetvak"Statistiekenkansrekenenvoor<6u"(2uperweekgedurendehethelejaar).

Interessegebied = talen en Latijn, humane wetenschappen

3 U

UR

WIS

KUN

DE

–A

LGEM

EEN

Latijn – Moderne Talen of Humane Wetenschappen

• Voor HuWe: aandacht voor statistische onderzoeksvaardig-

heden binnen het seminarie

• Mogelijkheid om de vrije ruimte “Statistiek en Kansrekenen

voor leerlingen met <6u” te kiezen

Hogere studies met zwaar pakket wiskunde niet haalbaar

4

4uwiskunde-algemeen.

Ditis(hieropschool)vantoepassingvoorLatijn-WetenschappenenModerneTalen-Wetenschappen.Wedenkendat,vanalleverschillendeoptiesvoorwiskunde(dus3-4-6-8u),hetvieruurspakketinhetvijfdequawerklast,niveauenmoeilijkheidsgraadhetmeestindelijnligtvan5uwiskundeinhetvierde.Datmaakteigenlijkookdateenkeuzevoor4uwiskundeindederdegraadnietlogischisalsjejaartotaalwiskundeinde5uursinhetvierde55%ofminderis.Hetisookmogelijkomvoor4uwiskundeindederdegraadtekiezenalsjeinhetvierdejaarinLat4ofHumWet4zat.Maarallichtzaljeinhet4evoor4uwiskundegekozenhebbenomdat5uniethaalbaarwas.Indatgevalis4uwiskundeindederdegraad,denkenwe,ookhooggegrepen.Eenstudiekeuzebinneneenwetenschappelijkecontext,waarduseenvak"hogerewiskunde"of"calculus"of"differentiaal-enintegraalrekening"inkanvoorkomen,ismogelijk.Wedenkenbv.aanfarmaceutischewetenschappenofT.E.W.Eenstudiekeuzewaareenzwaarderpakketwiskundeinvoorkomt,zoalsbio-ingenieur,industrieelingenieur,handelsingenieur,burg.ingenieur,offysica,isnietevident.(Wezeggennietdathetonmogelijkis.)Leerlingenmet4uwiskundehebbeninhet6ejaarookdemogelijkheidomdevrijeruimteinhet6ejaar"Statistiekenkansrekenenvoor<6u"(2uperweekgedurendehethelejaar)tekiezen.

Interessegebied = talen/Latijn en exacte wetenschappen

Resultaat in het vierde situeert zich rond de 60% of hoger

4 U

UR

WIS

KUN

DE

–A

LGEM

EEN

Latijn – Wetenschappen of Moderne Talen – Wetenschappen

• Mogelijkheid om de vrije ruimte “Statistiek en

Kansrekenen voor leerlingen met <6u” te kiezen

Hogere studies met zwaar pakket wiskunde niet evident

5

6uwiskunde-algemeen.

Ditis(hieropschool)vantoepassingvoorLatijn-WiskundeenWetenschappen-Wiskunde-6enWetenschappen-Wiskunde6+2.Leerlingendievoor6ukiezen,hebbenvoldoendeaanlegeninteressevoorwiskunde.Indepraktijkzienwedatleerlingenuitde5-uursvanhet4e,wiensjaartotaalwiskundeminstens65%is,hiervoorinaanmerkingkunnenkomen.Gemiddeldgezienzakkendepuntenwiskundemet10%bijdeoverstapnaarhetvijfdejaarindezesuurs.Voorleerlingendiegeen60%alsjaartotaalwiskundehaleninhet4ejaar,is6uwiskundeindederdegraadvaaktehooggegrepenis.Voorleerlingendieindetweedegraad4uwiskundevolgen,is6uwiskundeindederdegraadinprincipeuitgesloten.Webenadrukkendaterbestwelwatverschilistussen"6uwiskundeinhet5e"en"5uwiskundeinhet4e":

• Jehebt1umeerlesinhet5edaninhet4e;• Erwordtopéénlesuurmeerleerstofbehandeldinhet5edanopéénlesuurin

het4e;• Jehebtmeerwerkthuis.Jezounaelkelesjeleerstofthuismoeten

inoefenen/studeren/herhalen.• Erwordtmeernadrukoptheorieenbewijzengelegd.Erwordtmeerinzicht

gevraagd.Erwordtmeercreativiteitenzelfstandigheidbijmoeilijkereoefeningenverwacht.Erzijnsomsoefeningendieinverschillendestukkenuiteenvallenofwaarjeverschillendestukkenleerstofmoetcombineren.

Jezietdat"6uwiskundeinhet5e"wezenlijkmeerenmoeilijkerisdan"5uwiskundeinhet4e".Onderschatditniet.Hetisnietvooriedereenweggelegd,enookdesterkeleerlingengaaneentandjemoetenbijsteken.

Interessegebied = Latijn/wetenschappen en wiskunde

Leerlingen met voldoende aanleg en interesse voor wiskunde

Resultaat in het vierde situeert zich rond 65% of hoger

6 U

UR

WIS

KUN

DE

–A

LGEM

EEN

Latijn – Wiskunde of Wetenschappen – Wiskunde

• “6u in het 5e” is wezenlijk meer en moeilijker dan “5u in het 4e”

• Iedereen moet tandje bijsteken, ook ‘sterkere’ leerlingen

• Eventuele adviezen goed in overweging nemen!

Hogere studies met zwaar pakket wiskunde mogelijk

6

AfentoehorenwedaterleerlingenzijndiezonderveelnadenkenindederdegraadWeWi6kiezen,omdatditzondermeeralshetvervolgopWetenschappenindetweedegraadgezienwordt.Ditisgeenjuistezienswijze.Hetiséénvandemogelijkevervolgen.ErzijnveleanderevervolgopleidingenindederdegraadnaWetenschappenindetweedegraad,enWeWi6isdaaréénvan,enéénwaarjeeigenlijkbewustenkritischvoorzoumoetenkiezen.Devolgendepuntjesgevenonzeverwachtingenvoordeleerlingeninde6uverderweer:

• Jekomtindederdegraadineenklasleerlingendieallemaalvoorwiskundekiezenendieallemaalsterkerinwiskundezijn.Inhetvierdejaarzatjeineenklaswaarvanersommigenvoorhetdrie-uurspakketkozen.Deklaswordtdushomogenerensterker.

• Erzijnookgroteregehelen.ErzijngeenPaasexamensindederdegraad.• Houdinhetachterhoofddatookvooranderevakkendeeisenindederdegraad

hogerliggen.DeervaringleertdatleerlingeninWeWi6nietenkelvoorhetvakwiskunde,maarookvooráldewetenschapsvakken,methogereeisengeconfronteerdwordenbijdeoverstapnaarhetvijfdejaar.

• Somsvraagtmenonshoeveeljealsleerlingzoumoetenlerenalsje6uwiskundedoet.Hetantwoordhieropisperleerlingverschillend.Maargemiddeldgezienverwachtenwedatjeelkeavondnaeenleswiskundeookeenhalfuurbesteedtaandeverwerkingvandeleerstofofhetmakenvanoefeningen.Endanzoujeéénoftweekeerperweeknogeenseengrotergeheelgrondigmoeteninstuderenofaaneentaakwerken.Alsjedeoptelsommaakt,denkikdatjegemiddeldaanvijfofzesuurperweekzalkomen.

• Gaera.u.b.nietvanuitdathetvoldoendeisomdeavondvoordetoetsinactieteschieten…ditwerktéchtniet,zelfsindienditinhetvierdewelwerkte.

Wevermeldennogeensdatdeinhoudvanhetvak"wiskunde6"hetzelfdeofzogoedalshetzelfdeisinderichtingenLatijn-Wiskunde,Wetenschappen-Wiskunde-6enWetenschappen-Wiskunde-6+2.Dezeleerlingenkunnenooksamenleshebben.Leerlingenmet6uwiskundekunneninhetzesdejaardevrijeruimte"Wiskundeennatuurkunde"kiezen,waarinzetijdenshettweedesemester2uperweekdewisselwerkingtussenwiskundeennatuurkundezien.DaarnaasthebbendeleerlingenvandeWe-WidekeuzeomWe-Wi-6tedoenofWe-Wi-6+2.

7

DanwillenwenogevenophetverschiltussenWe-Wi-6enWe-Wi-6+2focussen.

• AlsjevoorWe-Wi-6kiesthebjeinhetvijfdejaar1uDuitsen1uWetenschappen-Plus,eninhetzesdejaar1uDuits.Jehebtsteeds32uperweekles.

• AlsjevoorWe-Wi-6+2kiest,hebjeinhetvijfdejaarenhetzesdejaar2uwiskunde-plus.Inhetvijfdejaarhebje32uperweekles.Inhetzesdejaarhebje33uperweekles.

• Alleandereuren(dus30uinhet5een31uinhet6e)zijnhetzelfde.Voorleerlingendieeenrichtingmet6uwiskundemetgoedgevolgafgewerkthebben,zijnhogerestudiesmeteenzwaarderpakketwiskundemogelijk.Denkbijvoorbeeldaaneeningenieursrichting.

• Inhetidealegevalmaakjeeenpositievekeuzevoorwiskunde.Wehopendaterveelleerlingenindezesuursrichtingzitten,dieookgraagwiskundedoen,diegraagpuzzelen,diehetplezierigvindenomergensoptezoeken,diehetfijnvindenomzelfietstevinden,diedeuitdagingaangaanomeenbewijshelemaaltebegrijpenennietgewoonvanbuitenteleren,diezichaangesprokenvoelenalsdeleerkrachteenuitdagendeoefeningopgeeft.

• Voordetwijfelaars:bekijkhetalseenuitdagingomopjePaasexameneenstetonenwatjeéchtkan.

Wewillennudeverwachtingendiewijhebbenvoorleerlingeninde6-uurs(endeandereopties)watconcretermaken:

Wetenschappen-Wiskunde 6

• Vijfde jaar: 1u Duits, 1u Wetenschappen Plus

• Zesde jaar: 1u Duits

• Zowel in het vijfde als zesde: 32u/w les.

Wetenschappen-Wiskunde 6+2

• Vijfde jaar: 2u wiskunde-plus

• Zesde jaar: 2u wiskunde-plus

• Vijfde jaar 32u/w les; zesde jaar 33u/w les.

• Alle andere lesuren zijn hetzelfde.

WEW

I6 O

F W

EWI 6

+2?

8

Vergelijkingtussendepakketten:Goniometrischefuncties.Indezeslideziejehetverschiltussendeverschillendeoptiesaandehandvanéénenkelonderwerp.

Vergelijkingtussendepakketten:Eenvoorbeeldvraag.Omhetverschiltussendeverschillendeoptiesteverduidelijken,hebbenweeenvraaguithetvierdejaaropverschillendemanierenvoorgesteld.Delinkerkolomverduidelijktonzeverwachtingenvoorde3-uurs,derechterkolomvoorde6-uurs.

vb. G

ON

IOM

ETR

ISCH

E FU

NCT

IES

3 uur 4 uur 6 uurDomein, bereik, periodiciteit, stijgen/ dalen, extrema van de functie

aflezen van de grafiek en beschrijven.

Domein, bereik, periodiciteit, stijgen/ dalen, extrema van de functies

aflezen van de grafieken en beschrijven.

Domein, bereik, periodiciteit, stijgen/ dalen, extrema van de functies , en aflezen van de grafieken en beschrijven.

uitbreidingsleerstof Som- en verschilformules en de formules van Simpson hanteren met een formularium.

Som- en verschilformules, verdubbelingsformules en formules van Simpson bewijzen en gebruiken om goniometrische uitdrukkingen te vereenvoudigen, vergelijkingen op te lossen en eenvoudige identiteiten te bewijzen.

f(x) sinx= f(x) cosx=f(x) tanx=f(x) sinx en= f(x) cosx=f(x) sinx=

9

Wiskunde-plusenWe-Wi-6+2.

Leerlingendieéchtgebetenzijnvoorwiskunde,kunnenvoorWe-Wi-6+2kiezen.Naast"wiskunde-6"hebbenzenogtweeuurperweek"wiskunde-plus".Dezestudierichtingisduseigenlijkbedoeldvoordeleerlingendieerggoedzijninwiskundeenhierookvoorwillenwerken.Indepraktijkisdezestudierichtingeigenlijkeerderbedoeldvoorleerlingenmetalsjaartotaalwiskundeinhet4ejaarminstens75%.Alsleerkrachthebbenwehogeverwachtingenvanjealsleerling,zowelvoorhetvakwiskunde-6alsvoorhetvakwiskunde-plus.KiesdezestudierichtingdusnietenkelenalleenmaaromdatjegeenDuitswilhebben.Beschouwwiskunde-plusnietzomaaralseenleukextraatje.Jezalweekperweektijdmoeteninvestereninditvak,enerisookeenexamenvoorhetvakwiskunde-plus.Dekeuzevandeonderwerpenvanhetvakwiskunde-pluskanjeverdervoorbereidenopeenwiskundigestudierichtinginhethogeronderwijs.Eenaantalonderwerpenlaattoeomhetabstractievermogenenwiskundigredeneringsvermogenverderaantescherpen.Bijenkeleonderwerpenzullenwedefinitiesopstriktrigoureuzewijzegeven,watinhethogeronderwijskanterugkomen.Inhethogeronderwijsmoetjeookvaakeenerggrootstuktheoriebeheersen(bv.bewijzenofafleidingenvaneenformule)terwijldeleerstofdiejetotnutoehebtmoetenstuderenbeperktwas.Viahetvakwiskunde-pluswordjeookvoorbereidopdezegrotereleerstofgehelen.

6 +

2 U

UR

WIS

KUN

DE

–A

LGEM

EEN

• Resultaat wiskunde situeert zich rond 75% of hoger.

• Goed zijn in wiskunde en er ook voor willen werken.

• 2 uur extra als apart vak bovenop ‘gemeenschappelijk programma’ van 6 uur.

• Er is een examen van dit vak.

• Soms aparte klas, soms niet

10

Inwiskunde-pluszullenweookenkeleonderwerpenuitdedifferentiaal-enintegraalrekening(m.n.limieten,reeksontwikkelingenendubbeleintegralen)behandelendiejetypischineencursushogerewiskundeinhethogeronderwijstegenkomt.Enkeleonderwerpendieopditmomentinhet5een6eophetprogrammastaan,zijn:

• limieten(de𝜀-𝛿-definitie)• meetkundigeplaatsen• determinanten,eigenwaardeneneigenvectoren• reeksontwikkelingen• dubbeleintegralen.

Ditkannatuurlijkperschooljaarverschillen.

Lessentabellen.Inonderstaandoverzichtvergelijkenwedeverschillendelessentabellenindeverschillendestudierichtingenmet6+2,6,en4uurwiskunde.

WIS

KUN

DE

PLU

S

Enkele onderwerpen:

Ø Limieten (! − #-definitie)

Ø Meetkundige plaatsen

Ø Determinanten, eigenvectoren,

eigenwaarden

Ø Reeksontwikkelingen

Ø Dubbele integralen

5. Rekenregels.

Stelling 2 (Veelvoud van een eindige limiet).

Veronderstel a, b, c � R en limx�a

f(x) = b. Dan bestaat de limiet limx�a

c · f(x) ook, en deze

limiet is eindig en gelijk aan c · b.

Bewijs van Stelling 2. Laat � > 0 een willekeurig getal zijn.

We moeten nu aantonen dat er een � > 0 bestaat zodat, voor elke x � R \ {a}, van zodra|x � a| < � ook geldt dat |c · f(x) � c · b| < �.

Eerste geval. Als c = 0, dan nemen we bijvoorbeeld � = 17. Als |x � a| < 17 dan is|c · f(x) � c · b| = |0 · f(x) � 0 · b| = |0 � 0| = 0 en dit is strikt kleiner dan �.

Tweede geval. Veronderstel nu dat c �= 0. Omdat limx�a

f(x) = b kan je een � kiezen

waarvoor |f(x) � b| < �|c| van zodra |x � a| < � en x � R \ {a} .

Veronderstel nu dat x � R \ {a} en |x � a| < �. Dan is

|c · f(x) � c · b| = |c · (f(x) � b)| = |c| · |f(x) � b| < |c| · �

|c| = � .

Dit beeindigt het bewijs. q.e.d.

Stelling 3 (Som van eindige limieten).

Veronderstel a, p, q � R en limx�a

f(x) = p en limx�a

g(x) = q. Dan bestaat de limiet

limx�a

�f(x) + g(x)

�ook, en deze limiet is eindig en gelijk aan p + q.

Bewijs van Stelling 2. Laat � > 0 een willekeurig getal zijn.

Omdat limx�a

f(x) = p kan je een �1 � R+0 kiezen zodat, voor elke x � R \ {a},

|x � a| < �1 � |f(x) � p| <�

2.

Omdat limx�a

g(x) = q kan je een �2 � R+0 kiezen zodat, voor elke x � R \ {a},

|x � a| < �2 � |g(x) � q| <�

2.

We noemen nu � = min {�1, �2}. Veronderstel x � R \ {a}, en |x � a| < �. Dan is|x � a| < �1 en |x � a| < �2. Dan volgt dat

��(f(x)+g(x))�(p+q)�� = |(f(x) � p) + (g(x) � q)| � |f(x) � p|+ |g(x) � q| <

�

2+

�

2= � .

Dit beeindigt het bewijs. q.e.d.

5 WW 8 — Limieten van Functies 15.

WeWi 6+2 WeWi-6 Lat-Wisk LaWet MtWet

5de 6de 5de 6de 5de 6de 5de 6de 5de 6de

Wiskunde 6+2 6+2 6 6 6 6 4 4 4 4Moderne vreemde talen(Duits+Eng+Fra)

5 5 6 6 5 5 5 5 9 9

Wetenschappen(Aard+Bio+Chem+Fys+WetPlus)

8 7 9 7 6 4 8 7 8 7

Latijn 0 0 0 0 4 4 4 4 0 0Totaal (alle vakken) 32 33 32 32 32 32 32 33 32 33

11

Maakeengoedestudiekeuze.Totslotbenadrukkenwedatjeinhetvijfdeenzesdemiddelbaardezelfdestudierichtingdienttevolgen.Bovendienishetgeenszinsdebedoelingomindeloopvanhetvijfdemiddelbaarvanstudierichtingteveranderen.Somsiszo’nveranderingvanstudierichtingindeloopvanhetjaarookpraktischonmogelijkomdateenklasvolzetis.Maakdusonmiddellijkdejuistestudiekeuze!Opmerking.Informatieondervoorbehoud.Deplanningendebinnendevrijeruimteaangebodenkeuzemogelijkhedenkunnenperschooljaargewijzigdworden.Vakgroepwiskundederdegraad.