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Informationsökonomik: AnwendungVersicherungsmarkt

Tone Arnold

Universität des Saarlandes

13. Dezember 2007

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 1 / 54

Anwendung: Der Versicherungsmarkt

Bisher haben wir immer die Situation betrachtet, in der es einenPrincipal und mehrere Typen von Agents gibt. Im folgenden Beispielwird dieser Rahmen erweitert auf den Fall, in dem mehrere Ps um Askonkurrieren .

Die Anwendung behandelt den Versicherungsmarkt z.B. fürKranken– oder Unfallversicherungen.

Es gibt zwei Typen von As : sicher und riskant .

Das Modell orientiert sich an dem Artikel von Rothschild/Stiglitz(1976): Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on theEconomics of Imperfect Information, Quaterly Journal of Economics,90, 629-649.

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Das Modell

Die Natur wählt einen A als sicher (Typ s) mit derWahrscheinlichkeit 0.6 oder riskant (Typ r) mit derWahrscheinlichkeit 0.4. (Alternative Interpretation: 60% einergegebenen Population sind ‘gute’ Risiken, und 40% sind‘schlechte’ Risiken.)

Jede Versicherungsgesellschaft bietet Verträge (x , y) an, wobeider A eine Prämie x = py zahlt, 0 < p < 1, und eineKompensationszahlung y im Fall einer Krankheit/eines Unfallserhält.

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Das Modell

Der A wählt die Auszahlung im Schadensfall y , die Versicherungwählt die Prämie p. Die Prämienzahlung des A an die V beträgtdann py .

Dabei kann jede Versicherung für die beiden Typen verschiedeneVerträge anbieten: (ps, ys) für den sicheren und (pr , yr ) für denriskanten Typ.

Der A akzeptiert einen Vertrag oder lehnt alle Verträge ab.

Die Erstausstattung (Vermögen) jedes A beträgt 12.

Die Natur wählt, ob A krank wird/einen Unfall hat. Dies geschiehtmit einer Wahrscheinlichkeit von qs = 0.5 für Typ s und mitWahrscheinlichkeit qr = 0.75 für einen Typ r . In diesem Fallbeträgt das Vermögen null.

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Das Modell

Die erwarteten Auszahlungen für die Typen des A sind

EUs(x , y) = 0.5u(12 − psys) + 0.5u(0 + ys − psys)

EUr (x , y) = 0.25u(12 − pr yr ) + 0.75u(0 + yr − pr yr )

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Das Modell

Die Auszahlungen der Versicherungsgesellschaften sind

0 keine Verträge

0.5psys + 0.5(psys − ys) nur sichere As

0.25pr yr + 0.75(pr yr − yr ) nur riskante As

0.6[0.5psys + 0.5(psys − ys)]

+0.4[0.25pr yr + 0.75(pr yr − yr )] beide Typen von As

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Symmetrische Information

Gleichgewicht auf dem Versicherungsmarkt: Gewinne von null.

Erwarteter Gewinn der Versicherungsgesellschaft bei Typ i ,i = r , s:

G = qi(piyi − yi) + (1 − qi)piyi = 0

⇒ pi = qi , i = s, r .

Bei einem fairen Vertrag ist die Prämie gleich derSchadenswahrscheinlichkeit für jeden Typ:

ps = 0.5, pr = 0.75.

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Symmetrische Information

Welche Versicherungssumme wählt der A?

Erwartungsnutzen von Typ s:

EUs(x , y) = 0.5u(12 − psys) + 0.5u(0 + ys − psys).

Die B.1.O. bezügl. ys lautet

−0.5psu′(12 − psys) + 0.5(1 − ps)u′(ys(1 − ps)) = 0.

Daraus folgt

u′(ys − psys)

u′(12 − psys)=

ps

1 − ps. (1)

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Symmetrische Information

Allgemein gilt:

q u′(krank)(1 − q) u′(gesund)

=p

(1 − p).

(Bei Typ s kürzt sich q mit 1 − q, da q = 0.5.)

Die B.1.O. für einen A vom Typ r lautet analog

−0.25pr u′(12 − pr yr ) + 0.75(1 − pr )u′(yr − pr yr ) = 0.

Daraus folgt

3u′(yr − pr yr )

u′(12 − pr yr )=

pr

(1 − pr ). (2)

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Symmetrische Information

Die Bedingungen besagen, dass für jeden Typ die Grenzrate derSubstitution (GRS) zwischen den Zuständen krank und gesund,gewichtet mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, gleich demVerhältnis der Prämienzahlungen ist:

Für jeden Typ giltq

1 − qGRS =

p1 − p

.

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Fairer Vertrag

Für den Fall eines fairen Vertrages gilt p = q.

Man sieht, dass in diesem Fall GRS = 1, d.h. beide wählen Typeneine vollständige Versicherung , so dass der Nutzen in beidenZuständen gleich ist. Dann ist yi = 12 für i = s, r .

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Vollständige Versicherung

GRS =u′(krank)

u′(gesund)= 1

⇒ u(krank) = u(gesund)

⇒ y − py = 12 − py

⇒ y = 12.

Dies gilt für beide Typen.

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Vollständige Versicherung

GRS =u′(krank)

u′(gesund)= 1

⇒ u(krank) = u(gesund)

⇒ y − py = 12 − py

⇒ y = 12.

Dies gilt für beide Typen.

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 12 / 54

Vollständige Versicherung

GRS =u′(krank)

u′(gesund)= 1

⇒ u(krank) = u(gesund)

⇒ y − py = 12 − py

⇒ y = 12.

Dies gilt für beide Typen.

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 12 / 54

Vollständige Versicherung

GRS =u′(krank)

u′(gesund)= 1

⇒ u(krank) = u(gesund)

⇒ y − py = 12 − py

⇒ y = 12.

Dies gilt für beide Typen.

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 12 / 54

Ein Vertrag für alle Risiken

Angenommen, die V. kann nur eine Prämie für alle Risiken anbieten.

Wenn beide Typen des A die selbe Prämie p zahlen, folgt aus demVergleich von (1) und (2), dass GRSS > GRSR:

u′(ys − pys)

u′(12 − pys)=

p1 − p

>u′(yr − pyr )

u′(12 − pyr )=

p3(1 − p)

.

Das bedeutet: Typ s ist eher bereit, Vermögen vom Zustand krank inden Zustand gesund zu transferieren.

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GRS nimmt in y ab

u′(ys − pys))

u′(12 − pys)=

p1 − p

>u′(yr − pyr )

u′(12 − pyr )=

p3(1 − p)

.

Daraus ergibt sich ys < yr , da die GRS in y abnimmt. Wieso?

Betrachten wir eine Erhöhung von y .

Zähler: y(1 − p) steigt in y , daher sinkt u′(y(1 − p)) in y (dau′′ < 0), und der Bruch wird kleiner.

Nenner: (12 − py) sinkt in y , daher steigt u′(12 − py) in y , und derBruch wird kleiner.

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Ein Vertrag für alle Risiken

Da GRSs > GRSr folgt ys < yr .

Ergebnis:Wenn beide Typen die selbe Prämie zahlen, wählt der sichere Typ einegeringere Versicherungssumme als der riskante Typ.

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Zustandsraum–Diagramm bei symmetrischerInformation

krank(e)

gesund (e)12·

12

4

·

·

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Isogewinngerade der Versicherung

Da die Versicherungsgesellschaften risikoneutral sind, sind ihreIndifferenzkurven (Isogewinnlinien) gerade Linien.

Gewinn der Versicherung bei

Krankheit: πk = py − y = −y(1 − p),

Gesundheit: πg = py .

Die Steigung der Isogewinngeraden ist dann

πk

πg = −1 − p

p.

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Isogewinngerade der Versicherung

πk

πg = −1 − p

p.

Für p = q (Gewinn von null) folgt für Typ s ps = 0.5 und somit

πks = −π

gs .

Die Steigung der Isogewinngeraden bei Typ s ist demnach minuseins.

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Isogewinngerade der Versicherung

πk = −1 − p

pπg .

Für Typ r folgt (1 − p)/p = 0.25/0.75 = 1/3 und somit

πkr = −

13π

gr .

Die Steigung der Isogewinngeraden bei Typ r ist minus ein drittelund somit flacher als die für Typ s.

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Zustandsraum–Diagramm bei symmetrischerInformation

krank(e)

gesund (e)12·

12

4

·

·

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Zustandsraum–Diagramm bei symmetrischerInformation

krank(e)

gesund (e)12·

12

4

·

·

Ur

Us

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Zustandsraum–Diagramm bei symmetrischerInformation

krank(e)

gesund (e)3 6 12· · ·

3

6

12

·

·

·

Ur

Us

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Vollständige Versicherung

Bei einem fairen Vertrag ist der erwartete Gewinn derVersicherung gleich null.

Daraus folgt, dass die Prämien gleich den Risiken derVersicherten sein müssen: ps = 0.5 für Typ s und pr = 0.75 fürTyp r .

Bei symmetrischer Information würde die V. diese Prämien setzen.

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Vollständige Versicherung

Bei einem fairen Vertrag gilt:

Beide Typen würden sich vollständig versichern: ys = yr = y = 12.

Die Prämienzahlungen sind dann

psy = 0.5 · 12 = 6

undpry = 0.75 · 12 = 9.

Das bedeutet, dass ihr jeweiliger Nutzen in beiden Zuständen (krankund gesund) jeweils gleich ist:

us(krank) = us(6) = us(gesund),

ur (krank) = ur (3) = ur (gesund).

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 24 / 54

Vollständige Versicherung

Bei einem fairen Vertrag gilt:

Beide Typen würden sich vollständig versichern: ys = yr = y = 12.

Die Prämienzahlungen sind dann

psy = 0.5 · 12 = 6

undpry = 0.75 · 12 = 9.

Das bedeutet, dass ihr jeweiliger Nutzen in beiden Zuständen (krankund gesund) jeweils gleich ist:

us(krank) = us(6) = us(gesund),

ur (krank) = ur (3) = ur (gesund).

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 24 / 54

Interpretation

Typ s : Versicherung bietet einen Vertrag Cs an, bei dem der Avollständig versichert ist.

Vollständige Versicherung bedeutet, dass der Nutzen eines A inbeiden Zuständen gleich ist, also y = 12.

Solche Verträge liegen auf der 45–Grad Linie.

In diesem Fall erhält er in beiden Zuständen den Nutzen u(6), unddie Versicherungsgesellschaft bekommt einen Gewinn von null.

Der Preis pro Einheit Versicherung beträgt ps = 0.5.

Analog für Typ r .

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Asymmetrische Information

Typ des A nicht beobachtbar

Angenommen, die Versicherung kann den Typ des A nichtbeobachten. Die Prämie (bei null Gewinn) ist gleich der erwartetenWahrscheinlichkeit der Krankheit:

p = prob(s) · 0.5 + prob(r) · 0.75 = 0.6 · 0.5 + 0.4 · 0.75 = 0.6.

Die Steigung der Isogewinngeraden der Versicherung ist

−1 − p

p= −

0.40.6

= −23.

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Typ des A nicht beobachtbar

krank

45o

gesund

12

8 Ur

Us

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Asymmetrische Information

Typ s wählt Unterversicherung: ys < 12.

Typ r wählt Überversicherung: yr > 12.

Beweis:

Aus der Bedingung erster Ordnung von Typ s (1) folgt

u′(krank)

u′(gesund)=

u′(0.4ys)

u′(12 − 0.6ys)=

p1 − p

=0.60.4

=32.

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Asymmetrische Information

u′(krank)

u′(gesund)=

0.60.4

=32.

Daraus folgtu′(krank) = (3/2) u′(gesund)

⇒ u′(krank) > u′(gesund)

⇒ u(krank) < u(gesund).

Die letzte Ungleichung folgt aus der Konkavität der Nutzenfunktion(u′′ < 0). Sie besagt, dass der Nutzen im Krankheitsfall geringer ist alsbei Gesundheit, es liegt eine Unterversicherung vor. Demnach istys < 12.

Analog für Typ r .

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Verlust der Versicherung

Unterversicherung von Typ s und Überversicherung von Typ rimplizieren, dass die Versicherung einen erwarteten Verlustmacht.

Erhöht die Versicherung jedoch die Prämie, so werden Leute vomTyp s sich noch weniger versichern, und Leute vom Typ r werdensich noch mehr überversichern. Dadurch wird der Verlust derVersicherung noch grösser.

Letztendlich kann der Markt zusammenbrechen, da nur noch Typr Versicherung nachfragt (analog zum Lemmons–Problem).

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Unterschiedliche Verträge

Betrachten wir die Situatiuon, in der eine Versicherungsgesellschaftverschiedene Arten von Verträgen anbieten kann, die sowohl dieBeitragszahlung x = py des A als auch die Auszahlung yfestschreiben, also Punkte im Zustandsdiagramm darstellen.

Da es nur zwei Typen von As gibt, werden die Verträge entweder

pooling Verträge (x , y) sein, die für beide Typen von Asintendiert sind, oder

separierende Verträge (xs, ys), (xr , yr ) sein, die zu einerSelbst–Selektion führen.

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Kein Pooling Gleichgewicht

Zuerst wird gezeigt, dass ein pooling Vertrag im Gleichgewicht nichtexistieren kann.

Beweis: Ein pooling Vertrag muss eine Prämie von

p = 0.6 · 0.5 + 0.4 · 0.75 = 0.6

(erwartete W. für Krankheit) aufweisen (Null–Gewinn Bedingung).

Die Steigung der Isogewinngeraden ist dann −0.4/0.6 = −2/3.

Wähle einen beliebigen Punkt C1 auf dieser Linie.

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Kein Pooling Gleichgewicht

krank

gesund12

8

•C1

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Kein Pooling Gleichgewicht

Die Indifferenzkurven der beiden Typen kreuzen sich in diesemPunkt: Die von Typ s ist steiler, da Typ s eher bereit ist, Vermögenim Zustand ‘krank’ gegen Vermögen im Zustand ‘gesund’ zutauschen. (Vermögen im Zustand ‘gesund’ ist ihm mehr wert, daer mit geringerer Wahrscheinlichkeit krank wird).

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 34 / 54

Kein Pooling Gleichgewicht

krank

gesund12

8

•C1

Ur

Us

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Kein Pooling Gleichgewicht

krank

gesund12

8

•C1

•C2

Ur

Us

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Kein Pooling Gleichgewicht

krank

gesund

•C1

12

8

Ur

Us Us(C2)

Ur (C2)

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Kein Pooling Gleichgewicht

Wenn jetzt eine Konkurrenzgesellschaft einen Vertrag C2

oberhalb der Isogewinnlinie anbietet, wird dieser Vertrag nur vonden guten Risiken (Typ s) gekauft und ist daher profitabel. (DasWeglocken der guten Risiken aus einem pooling–Arrangementwird in der Literatur als Cream skimming bezeichnet.)

Der ursprüngliche Vertrag C1 wird nur von den schlechten Risikenunterschrieben werden und führt daher zu Verlusten.

Da diese Überlegung für jeden Pooling Vertrag gilt, ist gezeigt,dass ein Pooling Gleichgewicht nicht existiert .

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Separierendes Gleichgewicht

Wenn die Null–Gewinn Bedingung erfüllt ist, muss jeder Typ einePrämie in Höhe seines Risikos zahlen. Dann muss Typ i auf derLinie mit Steigung (1 − qi)/qi versichert werden, i = s, r .

Dabei müssen gleichzeitig dieAnreizkompatibilitätsbedingungen erfüllt sein, d.h. kein Typwürde lieber den Vertrag des anderen Typs unterschreiben.

Wir starten mit dem First–Best Vertrag, der bei vollständigerInformation optimal wäre.

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Separierendes Gleichgewicht

krank

gesund

45o

C3

C4

3 6 12· · ·

3

6

12

·

·

·

Ur

Us

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Separierendes Gleichgewicht

Auf der Isogewinnlinie durch C3 ist der Vertrag C3 der beste fürTyp r . Für die guten Risiken ist dieser Vertrag nicht interessant,d.h. Typ s hat keinen Anreiz, sich für Typ r auszugeben.

Die guten Risiken würden den Vertrag C4 vorziehen. Aber: DieserVertrag würde auch von Typ r präferiert werden. Aus diesemGrunde kann C4 kein Bestandteil eines separierendenGleichgewichtes sein.

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Separierendes Gleichgewicht

krank

gesund

45o

C3

C4

3 6 12· · ·

3

6

12

·

·

·

Ur

Us

C5

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 42 / 54

Separierendes Gleichgewicht

Ein neuer Vertrag für die guten Risiken, der auch dieIsoprofit–Beschränkung erfüllt, wird wie folgt konstruiert:

Man bewegt sich auf der Linie durch C4 nach unten bis zu einemPunkt, wo die Indifferenzkurve eines Typ r diese Linie schneidet.

Hier, in diesem Punkt C5, ist ein schlechtes Risiko indifferentzwischen C3 und C5. (Wir nehmen an, dass in diesem Fall dieschlechten Risiken den für sie gedachten Vertrag C3 wählen.)

Die Verträge (C3, C5) sind separierende Verträge.

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 43 / 54

Separierendes Gleichgewicht

krank

gesund

45o

C3

C4

3 6 12· · ·

3

6

12

·

·

·

Ur

Us(C5)

C5

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 44 / 54

Separierendes Gleichgewicht

Separierendes GleichgewichtIm separierenden Gleichgewicht sind die guten Risiken (Typ s)unterversichert, während die schlechten Risiken (Typ r ) vollständigversichert sind.

Beachte: Typ s ist im separierenden GG schlechter gestellt als beivollständiger Information!

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Separierendes Gleichgewicht

Um zu zeigen, dass dieses Paar auch ein Gleichgewicht ist, müssenwir noch untersuchen, ob es nicht vielleicht einen Pooling Vertrag gibt,der die separierenden Verträge dominiert. Wie wir sehen werden,hängt das vom Anteil der guten Risiken in der Population ab. Es gilt:

Je grösser die W. ρ für Typ s (Anteil an der Bevölkerung), umso steilerist die Isogewinnlinie.

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Separierendes Gleichgewicht

Beweis Null–Gewinn Bed. impliziert Prämie = erwartete W. fürKrankheit:

p = ρqs + (1 − ρ)qr = ρ(qs − qr ) + qr .

Da qr > qs gilt ρ(qs − qr ) < 0. Die Steigung der Isogewinnlinie ist somit

−1 − p

p= −

1 − ρ(qs − qr ) − qr

ρ(qs − qr ) + qr

= −1 + ρ(qr − qs) − qr

−ρ(qr − qs) + qr.

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Separierendes Gleichgewicht

−1 + ρ(qr − qs) − qr

−ρ(qr − qs) + qr.

Der Bruch der rechten Seite steigt in ρ. Deshalb wird die Linie mitsteigendem ρ steiler (i.e. die Steigung wird negativer). D.h., je mehrgute Risiken, umso steiler die Iso–Gewinn–Gerade.

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 48 / 54

Kein separierendes Gleichgewicht

krank

gesund

45o

C3

C4

3 6 12· · ·

3

6

12

·

·

·

Ur

Us(C5)

C5

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Kein separierendes Gleichgewicht

Wenn der Anteil von Typ s in der Bevölkerung hoch (Iso–Profit Liniesteil) ist, dann wird die Isoprofitlinie mit Null–Gewinn für PoolingVerträge die Indifferenzkurve eines Typ s, die durch den Punkt C5

verläuft, schneiden.

Jeder Pooling Vertrag zwischen der Isogewinnlinie und derIndifferenzkurve wird von beiden Typen bevorzugt.

In diesem Fall sind die separierenden Verträge kein Gleichgewicht. Dawir bereits gesehen haben, dass es kein Pooling Gleichgewicht gibt,können wir den Schluss ziehen, dass in diesem Fall keinGleichgewicht existiert .

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Separierendes Gleichgewicht

krank

gesund

45o

C3

C4

3 6 12· · ·

3

6

12

·

·

·

Ur

Us(C5)

C5

Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13. Dezember 2007 51 / 54

Separierendes Gleichgewicht

Wenn der Anteil der guten Risiken in der Population niedrig(Iso–Gewinn Linie flach) ist, dann liegt die Indifferenzkurve eines gutenRisikos immer oberhalb der Null–Gewinn Isoprofitlinie für PoolingVerträge.

In diesem Fall können keine profitablen Pooling Verträge angebotenwerden., d.h. die separierenden Verträge sind in der Tat einGleichgewicht.

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Interpretation

Dieses Ergebnis kann wie folgt erklärt werden:

Wenn es in der Population nur wenige gute Risiken gibt, dannlohnt es sich für die Versicherungsgesellschaft nicht, einenVertrag anzubieten, den alle Typen von A akzeptieren (i.e. einenPooling Vertrag). Da alle As den Vertrag unterzeichnen sollen,muss der Preis recht niedrig sein.

Allerdings sind die meisten As schlechte Risiken (Typ r ), die einennegativen erwarteten Gewinn verursachen. Dieser kann durch diewenigen guten Risiken nicht kompensiert werden.

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Ergebnis

Schlussfolgerung:

Wenn ein Gleichgewicht existiert, dann werden die schlechtenRisiken voll versichert sein, d.h. sie erhalten einen effizientenVertrag.

Die guten Risiken müssen aber für die asymmetrische Informationbezahlen (sie können sich nicht glaubhaft als gute Risiken zuerkennen geben).

Obwohl die Versicherung fair ist, können die guten Risiken sichnicht voll versichern.

As, die als gute Risiken identifiziert werden möchten, können diesnur, indem sie einen Vertrag mit einer teilweisen Versicherungakzeptieren.

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