Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik I · 22 Experimentalphysik I 2. Kinematik vom Massenpunkten...

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Experimentalphysik I

Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik I

Teil 1: Mechanik

1. Physikalische Größen und Einheiten2. Kinematik von Massepunkten

2.1 Massenpunkte2.2 Geschwindigkeit2.3 Beschleunigung2.4 Mehrdimensionale Bewegung2.5 Kreisbewegung

3. Dynamik von Massepunkten4. Gravitation5. ...

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2. Kinematik vom Massenpunkten

Kinematik meint die Beschreibung einer Bewegung in Form einer Gleichung, ohne die Ursache der Bewegung zu

Ein Massenpunkt ist ein idealisierter Körper, dessen gesamte Masse in einem Punkt vereint ist. Die Lage des Massen-punktes wird durch einen Ortsvektor beschrieben:

��

�

�

��

�

�

=)()()(

)(tz

ty

tx

tr�

Mit dem Superpositionsprinzip kann die Bewegung durch Angabe der (voneinander unabhängigen) Koordinaten x, y, und z beschrieben werden.

Trägt man den Ort über der Zeit auf, so erhält man (hier: eindimensionaler Fall) die Bahnkurve x(t) der Bewegung.

t

)(tx

Das Ort-Zeit-Diagramm oder Bahn-kurve x(t) enthält die gesamte Information der Bewegung. Ais ihr lassen sich die Größen Geschwindig-keit und Beschleunigung ableiten.

2.1 Massenpunkte

23


Hat ein Körper eine konstante Geschwin-digkeit, dann wird ihr Wert angegeben durch den Quotienten

Da neben dem Betrag auch die Richtung wichtig ist, ist die Geschwindigkeit (im dreidimensionalen Fall) ein Vektor:

tr

v�

� =

Hierbei ist t die Zeit, die zur Verschiebung um die Strecke r benötigt

Bei konstanter Geschwindigkeit ergibt sich im Weg-Zeit-Diagramm (Bahn-kurve) eine Gerade:

t

)(tx

t∆

x∆

Die Geschwindigkeit ist in diesem Fall also

tx

v∆∆=

��

�

�=sm

ZeitWeg

gkeitGeschwindi

2.2 Geschwindigkeit

tx

v =

In einer Dimension schreibt man auch

24


Definition der momentanen zur Zeit tvorhandenen Geschwindigkeit v(t):

��

�

�==∆

∆=→∆ s

m)(lim)(

0x

dtdx

ttx

tvt

�

Bei nicht konstanter Geschwindigkeit ergibt sich eine beliebige Funktion:

tx

v∆∆=

Die mittlere Geschwindigkeit ist hier

Umgekehrt kann man aus dem Verlauf der Geschwindigkeit v(t) auch die Bahn berechnen:

==�

=�=

tt

dttvdxtx

dttvdxdtdx

tv

00

')'()(

)()(

Sei die Geschwindigkeit konstant, alsov(t) = v0 = const., dann folgt

Ctvtdvdtvtxtt

+=== 00

00

0 '')(

Die Integrationsvariable "Zeit" wird hier mit t' bezeichnet, um sie von der Integrationsgrenze t zu unterscheiden.

25


Wenn der Körper zum Zeitpunkt t = 0 am Ort x(0) = x0 war, dann folgt sofortC = x0

00)( xtvtx +=

Die Definition der Momentanbeschleu-nigung in einer Dimension lautet:

��

�

�=== 2sm

xdt

xddtdv

ta ��2

2

)(

Ändert sich die Geschwindigkeit v(t) mit der Zeit t, spricht man von Beschleu-nigung.

Anschaulich ist die Beschleunigung die Krümmung der Bahnkurve bzw. die Steigung in der v(t)-Kurve.

Aus der Beschleunigung kann auch wieder rückwärts die Geschwindigkeit und der Ort berechnet werden:

=t

dttatv0

')'()(

��

��

�==

t tt

dtdttadttvtx0

''

00

''')'(')'()(

2.3 Beschleunigung

Dies ist vom Typ eine Geradengleichung.

tv

a∆∆=

Die mittlere Beschleunigung ist dann

��

�

�= 2sm

ZeitgkeitGeschwindi

gungBeschleuni

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Die Integrationsvariablen "Zeit" werden wieder mit t' bzw. t'' bezeichnet, um sie von den Integrationsgrenzen zu unter-scheiden.

Wenn der Körper zum Zeitpunkt t = 0 am Ort x(0) = x0 war und die Geschwindigkeit v(0) = v0 hatte, und weiter die Beschleunigung a = a0 = const. ist, dann folgt

2000 2

1)( tatvxtx ++=

Dies ist vom Typ eine Parabelgleichung.

Vorzeichen der Beschleunigung:

a > 0 : "Beschleunigung"a < 0 : "Verzögerung"a = 0 : "gleichförmige Bewegung"

Beispiel: Vollbremsung eines PKW's

Ein PKW bremst von der Geschwin-digkeit 100km/h bis zum Stillstand ab; der Bremsweg beträgt 38m. Gesucht: Bremszeit ∆t, Verzögerung

ttv

a∆

−=∆∆= km/h1000

= const. � v nimmt linear mit t zu:mittlere Geschwindigkeit km/h50=v

2sm

skm/h

skm/h

m

3.107.2

100

7.250

38

−==

==∆=∆⇔∆∆=

-a

vx

ttx

v

a

a

27


Beispiel: Freier Fall

Auf der Erdoberfläche wirkt die konstante Be-schleunigung

2sm

81.9== gaa

Nach t = 5s freier Fall ist die Geschwin-digkeit (am Anfang sei v0 = 0m/s):

sm

5.49''00

==== tgdtgdtavtt

und der zurückgelegte Weg x :

m6.1222

''''' 2

0 0

'

0

===��

��

�= t

gdttadtdtax

t tt

2.4 Mehrdimensionale Bewegung

Auch im dreidimensionalen Raum wird die Bewegung wieder durch eine Bahnkurve beschreiben:

)(tr�

��

�

�

��

�

�

=)()()(

)(tz

ty

tx

tr�

28


Die Ableitung eines Vektors erfolgt durch Ableitung der Komponenten. Der Geschwindigkeitsvektor liegt tangen-tial zur Bahnkurve .

)(tv�

)(tr�

��

�

�

��

�

�

=��

�

�

��

�

�

===

z

y

x

v

v

v

tz

ty

tx

trdt

trdv

)()()(

)()(

�

�

�

��

�

Die Bewegung lässt sich zusammen-setzen ("superpositionieren") aus den (Teil-) Bewegungen entlang der drei Koordinatenachsen.

In kartesischen Koordinaten ist

zyx etzetyetxtr��

)()()()( ++=

mit den Einheitsvektoren ., zyx eee��

und

Für die (momentane) Geschwindigkeit giltDie (momentane) Beschleunigung ist wieder die Änderung der Geschwin-digkeit pro Zeit, jetzt aber als Vektor:

��

�

�

��

�

�=

��

�

�

��

�

�===

zyx

vvv

dtvd

va

z

y

x

��

��

��

�

�

��

��

dtds

zyxv =++= 222��

�

Der Betrag der Geschwindigkeit ist dann gegeben durch

222 )()()( dzdydxds ++=

Das Wegelement ist dann

29


Beispiel: Sprung von einer Mauer

x(t)

y(t)

v0x

r(t)

xe

y0

Die Anfangsgeschwindigkeit habe nur eine Komponente v0x in x-Richtung. Die wirksame Beschleunigung ist die Erdbeschleunigung ay = −g.

Superpositionsprinzip:

20

200

02

00

21

21

)(

21

)(

gtytatvyty

tvtatvxtx

yy

xxx

−=++=

=++=

Für die Berechnung der Sprungdauer t0 wird der Landepunktpunkt am Boden (Höhe gleich null) gewählt:

gyt

gtytty

/221

0)(

00

2000

=

=⇔==

Hiermit erhält man die Sprungweite xe

gyvttxx xe /2)( 000 ===

Für die Auftreffgeschwindigkeit ve gilt:

000

00

2)(

.)(

gygttv

constvtv

y

xx

−=−=

==

02

022

0 2gyvvvv xyxe +=+=

30


a�

0v�

Beispiel: Schräger Wurf

2sm

81.900

=��

�

�

��

�

�

−= g

g

a�

Die Geschwindigkeit ist dann

00

' vtadtavt

�� +==

Die Integration eines Vektors erfolgt durch Integration der Komponenten.

Nochmalige Integration liefert den zeitabhängigen Ortsvektor

+=t

dttvrtr0

0 ')'()(��

��

�

�

��

�

�

++−

++

=��

�

�

��

�

�

=

00,2

00,

00,

21)(

)()(

)(

ztvtg

ytv

xtv

tz

ty

tx

tr

z

y

x�

Für vy,0 = 0 und x0 = y0 = z0 = 0 ist also y(t) = 0 und:

22

0,0,

0,

0,2

0,0,

2)(

21

)(

)(

xvg

xv

vxz

tvtgtz

vx

ttvtx

xx

z

z

xx

−=�

+−=

=�=

31


Schräger Wurf in xy-Ebene

0v�

α

xw

x

y

ymax

Wurf mit Geschwindigkeit v0 unter Winkel α

Der Geschwindigkeitsvektor lautet

��

��

�=��

�

��

�=

αα

sin

cos

0

0

0

0

v

vv

vv

y

x�

Die Bahnkurve in der xy-Ebene wird durch separate für x und y dargestellt

20

0

21

)sin()(

)cos()(

gttvty

tvtx

−=

=

α

α

Berechnung der Wurfdauer t0

α

α

sin2

21

)sin(0)(

00

20000

gv

t

gttvty

=⇔

=�=

Berechnung der Wurfweite xm

αα

α

cossin2

)cos()(2

0

000

gv

tvxtx w

=

==

32


Versuch: Wasserstrahl (1)

Wasserstrahlx

y

Der Wasserstrahl tritt aus einer Düse horizontal mit einer Anfangs-geschwindigkeit v0 aus, die kon-stant bleibt, so dass der Weg linear mit der Zeit zunimmt:

Beide unabhängigen Bewegungen zusammen ergeben die Wurf-parabel.

Die maximale Wurfweite erhält man aus dem Extremum der Funktion xw(α)

( )

( )

°=⇔=⇔

−=

+−=

==

4521

sin

)sin21(2

coscossinsin2

sincos2

0

2

22

0

20

20

αα

α

αααα

αααα

gv

gv

dd

gv

ddxw

Die maximale Wurfweite (hier: unter Vernachlässigung von Luftreibung) wird also für einen Abwurfwinkel α = 45°erreicht.

33


Beispiel: Wasserstrahl (2)

In einem Brunnen sind zwei Wasserdü-sen im Abstand von 2b = 8.0 m montiert und um jeweils den Winkel α = 70°geneigt. Aus den Düsen tritt das Wasser mit der Anfangsgeschwindigkeit vonv0 = 10 m/s. Wie groß ist die Höhe h ?

0v�

α

b bx

y

α

h

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in vek-torieller Schreibweise

sm��

��

�=��

�

��

�=��

�

��

�=

40.942.3

sin

cos

0

0

0

00 α

αv

v

v

vv

x

x�

Die Zeit, die das Wasser von der Düse bis zum Kreuzungspunkt braucht, ist

s17.10,

==xvb

t

Der Bahnvektor im Kreuzungspunkt ist

m��

�

�

��

�

�

=��

�

�

��

�

�

+−=

28.40.0

00.4

21

0)(

0,2

0,

tvtg

tv

tr

z

x�

Mit t = 1.17 s ergibt sich so eine Höhe Wasserstrahlen von h = 4.28 m.

34


Die Geschwindigkeit ist immer tangen-tial zur Bahn des Massenpunktes.

Bahn

v�

||e�

1||

||

=

=

e

e�

�ktorEinheitsve

Dann ist die Geschwindigkeit

vvevv�� == mit||

Bei der Bewegung verändert sich mit der Zeit t sowohl der Betrag v(t) der Geschwindigkeit als auch deren Richtungsvektor e||(t).

2.5 Kreisbewegung

)(tr�

)(tϕ

Für die Kreisbewegung werden auf Grund der Symmetrie (ebene) Polar-koordinaten benutzt

.,)(

)( constrt

rtr =��

�

��

�=

ϕ�

Die gesamte Zeitabhängigkeit wird durch die Funktion ϕ (t) beschrieben.

35


Die Winkelgeschwindigkeit ω ist die Winkeländerung pro Zeit:

dttd

t)(

)(ϕω =

mit dem Kreisbogenabschnitt σ wird im Bogenmaß mit der Einheit rad (Radian) angegeben. Ein Winkel von 2π rad ent-spricht 360°im Gradmaß.

Die Bahngeschwindigkeit v ist der zu-rückgelegte Weg s pro Zeit, also

Meist wird die Größe ω als Kreis-frequenz (Einheit s-1) bezeichnet.

rdtd

rts

v ωϕ ===

Der Winkel

rs=ϕ

Der Vektor legt mit seiner Richtung die Drehachse der Rotation fest und mit seinem Betrag die (Kreis-) Frequenz.

ω�

Die Bahngeschwindigkeit ist dann:

rv�� ×= ω

ω�

v�

0

r�

ϕ

dtdϕω =

�

36


Im Falle einer gleichförmigen Kreisbe-wegung mit ω = const. wirkt nur die so genannte Zentripetalbeschleunigung az

)( rvaa z

�� ××=×== ωωω

Beispiel: Kurvenflug eines Düsenjets

Düsenjet fliege mit v0 = 2.000 km/h (Mach 2) eine Kurve mit Radius r = 5 km

gms 2- 3.67.61||2

2 ≈===rv

raz ω

Es wirkt mehr als die sechsfache Erdbe-schleunigung (g = 9.81 ms-2) auf den Piloten; bereits bei Beschleunigungen von mehr als 4g kommt es aufgrund von Blutmangel im Gehirn zur Ohnmacht.

Die Zentripetalbeschleunigung az zeigt zum Mittelpunkt der Kreisbahn, also entgegengesetzt zum Ortsvektor r.

2

2 )()()(

dttd

dttd

tϕωα ==

Zeigt der rechte (!) Daumen in Rich-tung von ω (Drehachse), so geben die Finger die Drehrichtung an.

Die Winkelbeschleunigung α ist defi-niert durch:

In vektorieller Schreibweise lautete die vorherige Beziehung also

rvrv��

,, ωω ⊥×= d.h.

Dagegen gilt für die Bahnbeschleuni-gung a:

vrdtrd

rdt

ddt

rddtvd

a

��

��

�

��

×+×=

×+×=

×==

ωα

ωω

ω )(

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