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Mathematik – I, Prof. Dr. Julia Kallrath

2.1 Mengenbegriff. Darstellung von Mengen

inkl. Peano-Axiome und vollständige Induktion

2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen

2.3 Einfache Zählformeln

2.4 Permutationen und Kombinationen

2. Grundbegriffe der Mengenlehre und Kombinatorik

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2. Grundbegriffe der Mengenlehre und Kombinatorik

Definition 2.1 (Cantor, 1879)

„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir

jede Zusammenfassung M von

bestimmten wohl unterschiedenen

Objekten m unserer Anschauung

oder unseres Denkens (welche die

‚Elemente‘ von M genannt werden)

zu einem Ganzen“. Georg Cantor, 1845 - 1918

2.1 Mengenbegriff. Darstellung von Mengen

Bildquelle: en.wikipedia.org

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2. Grundbegriffe der Mengenlehre

Beispiel 2.1:

a) A = {4,5,7}

b) B = {1,3,5,7,…}

c) C = Menge aller Buchstaben.

d) D = Menge aller Studierenden an der h-da zu einem Stichtag.

e) F = { } = Ø – leere Menge.

|A| = 3

|B| =

Beispiel 2.2:

A1 = {4,4,5,7} – keine Menge

A2 = {5,4,7} – gleiche Menge wie im Beispiel 2.1 a).

Bezeichnungen:

A, B, …, X, … – Mengen;

a, b, c, .., x,… – Elemente einer Menge

|N| – Anzahl der Elemente der Menge N, Mächtigkeit der Menge

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xM bedeutet „x ein Element der Menge M“ oder „x liegt in M“

xM bedeutet „x ist kein Element der Menge M“

Reservierte Buchstaben:

N = {1,2,3,…} – Menge der natürlichen Zahlen.

N0= {0,1,2,3,..} = N U {0} – erweiterte Menge der natürlichen

Zahlen. Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} – Menge der ganzen Zahlen.

Q – Menge der rationalen Zahlen,

R – Menge der reellen Zahlen,

C – Menge der komplexen Zahlen

Beispiel 2.3: 0.5 N; 0.5 Q

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Darstellung von Mengen

• Vollständiges Aufzählen ihrer Elemente,

z.B. M = {m, e, n, g, l, h, r} – die Buchstaben des Wortes

„Mengenlehre“; C = {a, b, c, d, …, z}

• Aufzählen der ersten Elemente einer Menge, z.B. N = {1,2,3,…} oder B = {1,2,3,…,100}.

• Beschreibung der Menge M mit einer gemeinsamen

Eigenschaft A(x), z.B. M = {x I A(x)} – Menge aller x, für die

die Eigenschaft A(x) erfüllt ist.

G = {2,4,…} oder P = {2,4,8,16, …}

X= {x : x N und x < 5 } = {1,2,3,4}.

G = {2,4,6,…}

K= {nN : k N : k2 = n} = {1,4,9,16,25…}

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Darstellung von Mengen

• Graphische Darstellung (VENN-Diagramme)

z.B. Menge der Fachbereiche der h-da

F = {Architektur, Bauingenieurwesen, Informatik, …}

Bauingenieurwesen

Media

Informatik

Wirtschaft

Chemie- und Biotechnologie

Elektrotechnik

Soziale Arbeit

Gestaltung

Maschinenbau

Mathematik

Architektur

F

Jura

Jura F

M

Bildende Kunst

Produkt Design

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Bauingenieurwesen

Media

Informatik

Wirtschaft

Chemie- und Biotechnologie

Elektrotechnik

Soziale Arbeit

Gestaltung

Maschinenbau

Mathematik

Architektur

F

Jura

M Bildende Kunst

Produkt Design

Definition 2.2 Es seien F und M zwei Mengen (F liegt im M).

Als Komplement von F in M bezeichnet man die Menge

CM(F) = {x | x M und x F } = {Bildende Kunst, Jura, Produkt Design}

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Beispiel Komplementmenge:

Sei G = {2k : k N} und U = {2k – 1 : k N}.

Die Mengen G und U sind komplementär zueinander in N:

CN

(G) = U

und

CN

(U) = G.

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Peano-Axiome


Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.

Bildquelle: famous-mathematicians.com

Giuseppe Peano, 1858 - 1932

(P.1) 1 ist eine natürliche Zahl.

(P.2) Jede natürliche Zahl besitzt

einen Nachfolger S(n) = n+1.

(P.3) Es gibt keine natürliche Zahl n

mit S(n) = 1.

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Peano-Axiome (Fortsetzung)


(P.4) Gilt für m und n die Beziehung S(n) = S(m), so

ist m = n.

(P.5) Von allen Mengen M, welche:

i. die Zahl 1 und

ii. mit jeder natürlichen Zahl n deren Nachfolger

S(n) enthalten, ist die Menge der natürlichen

Zahlen die kleinste.

Bemerkung: (P.5) nennt man auch Induktionsaxiom.

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Peano-Axiome (Fortsetzung)


(P.4) Gilt für m und n die Beziehung S(n) = S(m),

so ist m = n.

(P.5) Gilt für eine Aussage:

1. Sie ist wahr für die Zahl 1,

2. Falls sie für eine Natürliche Zahl n wahr ist, dann auch

für den Nachfolger von n S(n) wahr;

dann ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen wahr.

Bemerkung: (P.5) nennt man auch Induktionsaxiom.

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Folgerungen:


• N hat unendlich viele verschiedene Elemente:

wegen P.1 gibt es mindestens eine natürliche Zahl: 1

wegen P.2 gibt es zu 1 einen Nachfolger S(1), der

wegen P.3 ungleich 1 ist (sei es S(1)=2)

wegen P.2 gibt es zu 2 einen Nachfolger zu S(2), der

wegen P.3 ungleich 2 ist (sei es S(2) = 3) …

• N lässt sich in einer bestimmten Reihenfolge anordnen:

1,2, …, n, n+1, …

Nachfolger von n

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Das Prinzip der vollständigen Induktion


Um eine Aussage A(n) für alle n N zu beweisen,

genügt es nach Axiom (P.5) zu zeigen:

Induktionsanfang: Für n = n0 N ist A(n) erfüllt.

Induktionsschritt (n n+1): Ist die Aussage A(n) für

ein beliebiges nN erfüllt, dann gilt sie auch für den

Nachfolger, also A(n+1)

A(n) gilt für alle n N.

Anmerkung: Meist verwendet man n0=1, muss aber nicht sein.

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Beispiel 2.4 a) (Mitschrift)

Für alle n N gilt: 1+2+...+n=n(n+1)/2


i. Induktionsanfang: 1 = 1(1+1)/2 – richtig

ii. Induktionsschritt (n n+1):

Induktionsvoraussetzung: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

Zu beweisen: Formel für n+1: 1 + 2 + ... n +(n+1) = (n+1)(n+2)/2.

1 + 2 + ... n +(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n2 +n +2n +2)/2 =

= (n(n +1) +2(n +1))/2 = (n+1)(n+2)/2, q.e.d.

(I.V.)

(I.V.)

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Beispiel 2.4 b)

Für alle n N gilt: 2n n+1


i. Induktionsanfang: 21 1+1; 2 2– richtig

ii. Induktionsschritt (n n+1):

Induktionsvoraussetzung: 2n n+1

Zu beweisen: Formel für n+1: 2n+1 (n+1)+1; 2n+1 n+2

2n+1 = 2n 2 (n+1) 2 = 2n + 2 > n+2, q.e.d.

(I.V.)

(I.V.)

da n > 0 (siehe Mitschrift)

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Es existieren im Wesentlichen zwei Aufgabenarten:

Der Beweis der Richtigkeit von Aussagen bzw. Formeln mit

1. „≤“ oder ≥“:

Im Induktionsschritt benötigen wir eine Abschätzung, z.B.:

2. „=“ werden nur mit Äquivalenzumformungen bewiesen,

wie im Beispiel 2.4 a):

n(n+1)/2 + (n+1) = (n2 +n +2n +2)/2 = (n+1)(n+2)/2

Hinweis:

2n+1 = 2n 2 (n+1) 2 = 2n + 2 > n + 2 für n > 0

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Übung (Zuhause):


Berechnen Sie die folgende Summe: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)

Alternativer Beweis für Beispiel 2.4 a) „kleiner Gauss“

1 + 2 + 3 + 4 + … + (n-1) + n

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Vorgehensweise:


1. Induktionsanfang: Aussage bzw. Formel beweisen für eine Anfangszahl n0 N (nicht notwendigerweise die Zahl 1).

2. Induktionsvoraussetzung formulieren:

Formel für die Zahl n aufschreiben (I.V.)

3. Induktionsschritt vorbereiten:

Formel für die Zahl n+1 aufschreiben

4. Induktionsschritt durchzuführen:

a) Was haben wir? Formel für n (LS = RS, LS ≤ RS…).

b) Was brauchen wir? Formel für n+1 beweisen:

beginnend mit der linken Seite der Formel für n+1 (LS) mit

Hilfe von Umformungen und Formel in 4a) die rechte Seite

(RS) der Formel für n+1 erhalten.

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Übung:


Beweisen Sie mit dem Prinzip der vollständigen Induktion,

dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n2 ist, d.h.

Ʃ (2k – 1) = n2

oder

1 + 3 + 5 + 7+ … + (2n-1) = n2

Hinweis: jede gerade Zahl hat die Form 2k, k N

jede ungerade Zahl hat die Form (2k-1), k N

k = 1

n

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Dezimalzahlen:

234,56 = 2102 + 3101 + 4100 + 510-1 + 610-2

Die Zahl 10 heißt Basis des Zahlensystems.

Darstellung der Zahl zur Basis B (B-adische Darstellung):

Z1Bn + Z2B

n-1 + … + Zn+1B0 + Zn+2B

-1 + Zn+3B-2 +…+ Zn+k+1B

-k,

wobei Zi {0,…,B-1}, i={1,…,n+k+1}.


Andere Darstellungen der reellen Zahlen

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Beispiel: Darstellung zur Basis 7 (B = 7)

Jede Zahl wird mit Siebener-Potenzen dargestellt.

Als Koeffizienten stehen nur die Ziffern 0,1,2,3,4,5,6

zur Verfügung. 234 = 2102 + 3101 + 4100 = 200 + 30 + 4 = 234

Z.B. 2347 =


Beispiel: Darstellung zur Basis 16 (Hexadezimale)

Jede Zahl wird mit 16-Potenzen dargestellt.

Als Koeffizienten stehen zur Verfügung die Ziffern: 0,1,2,…,9

und die Buchstaben A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

Z.B. 12F16 = 1162 + 2161 + 15160 = 256 + 32 + 15 = 30310

272 + 371 + 470 = 249 + 37 + 4 = 12310

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Dualzahlen (Binärzahlen): 0 und 1

11012 =

Ganze Dezimalzahl Binärzahl (Divisionsmethode):

13 : 2 = 6 R 1

6 : 2 = 3 R 0

3 : 2 = 1 R 1

1 : 2 = 0 R 1

STOP

Die Reste von unten nach oben aufschreiben:

1101


123 + 122 + 021 + 120 = 8 + 4 + 1 = 13

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„Komma-“Dezimalzahl Binärzahl (Multiplikationsmethode):

0,625 2 = 1,25

0,25 2 = 0,5

0,5 2 = 1,0

STOP

Ganze Zahlen als

NACHKOMMAZAHLEN von oben nach

unten aufschreiben: 0,101

Periodische Binärzahlen:

0,3 2 = 0,6

0,6 2 = 1,2

0,2 2 = 0,4

0,4 2 = 0,8

0,8 2 = 1,6

0,6 2 = 1,2

0,2 2 = 0,4

…………….

0,3 = 0,010011001… = 0,0(1001)


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Übungen (Mitschrift):

1. Stellen Sie die Zahl 81,75 als Binärzahl dar.

2. Welche Dezimalzahl entspricht der binären Darstellung

10101,101?

3. Erklären Sie den Mathematiker-Witz:

Warum können amerikanische Mathematiker Weihnachten (wird dort erst am 25. Dezember gefeiert) nicht von Halloween (31. Oktober) unterscheiden?


Witzquelle:http://zahlwort.blogger.de/stories/424273

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2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen

Definition 2.3

Zwei Mengen A und B heißen gleich (A=B), wenn beide

Mengen die gleichen Elemente besitzen. Ansonsten heißen

sie ungleich.

Definition 2.4 Für zwei Mengen A und B sind definiert:

• Teilmenge

A B := {x | (x A) (x B) }

A ist echte Teilmenge von B: A B := {x| (A B) und (A B)}

B heißt Obermenge (bzw. echte Obermenge) von A:

BA (BA)

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Definition 2.4 (Fortsetzung)

• Schnittmenge

A B:= {x | (x A) und (x B) }

Ist A B = Ø, dann heißen A und B disjunkt oder punktfremd.

• Vereinigungsmenge

A B:= {x | (x A) oder (x B) }

• Differenzmenge

A\B:= {x | (x A) und (x B) }

Venn-Diagramme in der Mitschrift

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Beispiel 2.5 Sei A = {2,4,6} und B = {1,2,3}

• Schnittmenge: A B = {2}

• Vereinigungsmenge: A B = {1,2,3,4,6}

• Differenzmenge: A\B = {4,6}; B\A = {1,3};

• Komplement: Komplement von A im M, CAM

Sei M = {1,2,3,4,5,6}, dann: CAM= {1,3,5}

CBM= {4,5,6}

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Sei A = {1,2,3}, B = {2,3,4} und C = {3,4,5,6}, dann

A B C = {3};

A B C = {1,2,3,4,5,6};

Mit Hilfe von Quantoren kann man dies auch so formulieren:

X {A, B, C}: 3X

X {A, B, C}, x {1,2,3,4,5,6}: xX

Verallgemeinerung Schnittmenge und Vereinigungsmenge

(motivierendes Beispiel):

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Verallgemeinerung Schnittmenge:

Ist F eine sog. Familie (Menge) von Mengen, so

definieren wir X:= { x: (XF : xX ) }


X F

Verallgemeinerung Vereinigungsmenge:

Ist F eine Familie von Mengen, so definieren wir

X:= { x: (XF : xX ) } X F

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Beispiel Vereinigungsmenge:

Sei F = { Mn: nN } eine Familie der Mengen:

nN definiere Mn := { xQ : x 1/n }

Dann: X = Mn = Mn { xQ : x > 0) } = Q+

X F

Beispiel Schnittmenge:

Analog: Ist F eine Familie von Mengen, so definieren wir

Mn = Mn {xQ : x 1} = M1

nN n = 1

nN n = 1

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Beispiel Vereinigungsmenge:

nN definiere Mn := { xQ : x 1/n }

Dann: Mn = Mn { xQ : x > 0) }

Beispiel Schnittmenge:

Analog definieren wir

Mn = Mn {xQ : x 1}

nN n = 1

nN n = 1

= Q+

= M1

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Satz 1 (Mengengesetze)

Seien A, B und C Mengen. Dann gelten die folgenden

mengenalgebraischen Rechenregeln:

• Kommutativgesetz: A B = B A

A B = B A

• Assoziativgesetz: A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

• Distributivgesetz: A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

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Satz 1 (Mengengesetze)

Beweis (Distributivgesetz)

A (B C) = (A B) (A C);

A B

C

A B

C

VENN - Diagramms

Übung: Zweites Distributivgesetz A (B C) = (A B) (A C)

mit Hilfe des VENN-Diagramms beweisen!

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Definition 2.5

Die Menge aller Teilmengen einer Menge A heißt P

Potenzmenge von A, P(A) = {X | X A}

Bemerkung:

• | P (A) | = 2n – die Anzahl der Elemente in Potenzmenge von A,

wobei A – eine endliche Menge mit n Elementen, |A| =n

• Ø und die Menge selbst gehören immer zur Potenzmenge

Beispiel 2.6 M={2,3,5}. Dann gilt:

P(M) = { Ø, } {2},{3},{5}, {2,3},{2,5},{3,5}, {2,3,5}

| P (M) | = 8 = 23

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Beweis (mittels vollständiger Induktion): | P (A) | = 2n

(1) Induktionsanfang: n = 1: linke Seite: |P(A)| = |{Ø, {A}}| = 2

rechte Seite: 21 = 2

(2) I.V.: | P (A) | = 2n , mit |A| = n

Zu beweisen : | P (A*) | = 2n+1, mit |A*| = n+1

(3) Induktionsschritt: Teile Teilmengen von {1, …, n + 1} in

zwei Gruppen ein:

(a) solche, die {n + 1} nicht enthalten (nach I.V.) es gibt

genau 2n Stück (Teilmengen von {1, …, n}),

(b) solche, die {n + 1} enthalten: auch genau 2n Stück

(Mengen aus (a) vereinigt mit {n + 1}).

Insgesamt: 2n + 2n = 2 2n = 2n+1 Teilmengen.

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2.3 Einfache Zählformeln

In diesem Abschnitt werden die Anzahl der Elemente einer

Menge gezählt.

• Summenregel

Sei A und B zwei beliebige Mengen, dann

|A B| = |A| + |B| - |A B|.

Beispiel 2.7 (Fortsetzung Beispiel 2.5)

A = {2,4,6} und B ={1,2,3}

(1) direkt berechnen: A B = {1,2,3,4,6}, also |A B| =5

(2) nach Formel: |A B| = A B = {2}

3 + 3 – 1 = 5

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Beispiel 2.8

In einer Stadt mit 1,000,000 Einwohnern werden zwei

Sprachen gesprochen. Es ist bekannt, dass 90% davon

Deutsch und 20% Französisch sprechen. Wie viele

Einwohner sprechen beide Sprachen?

D = {Menge der Deutsch sprechenden Einwohner}

F = {Menge der Französisch sprechenden Einwohner}

E = {Menge aller Einwohner} = D F

Gesucht ist |D F|.

|DF| = |D| + |F| – |DF| = 900000 + 200000 –1000000 =

= 100000. Einfacherer Weg: 10% von 1000000 = 100000.

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Bemerkung: für disjunkte Mengen A und B gilt:

|A B| = |A | + |B|, da |A B| = 0.

Beispiel 2.9

Auf der Tastatur eines Kinder-PC sind nur Ziffern und

Buchstaben (inkl. Umlaute) abgebildet. Wie viele Tasten gibt

es insgesamt?

Z = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} – Menge der Ziffern

B = {A, B, C,…, Z, Ä, Ö, Ü} – Menge der Großbuchstaben

Gesucht |Z B|.

Da Z B = Ø, dann |Z B| = 0 und

|Z B| = |Z | + |B| = 10 + 29 – 0 = 39

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Kartesisches Produkt oder Produktmenge

Seien A und B zwei beliebige Mengen, dann ist die

Produktmenge A x B definiert als

A x B = { (x,y) : (x A) und (y B) }.

Beispiel 2.10

(a) A = {1,2,3} und B ={x,y}, dann

A x B = {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}

(b) S = {die Menge aller Studierenden}

K= {die Menge aller Klausuren}

S x K = {die Menge aller geschriebenen Klausuren}

(c) R2 = R x R – die Menge aller Punkte in der Ebene

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Beispiel 2.11 (Fortsetzung Beispiel 2.10)

A = {1,2,3} und B ={x,y}

(1) direkt berechnen: |A x B| = 6

(2) nach Formel:

|A x B| = |A||B| = 32 = 6

AxB nennt man das kartesische

Produkt der Mengen A und B

Bildquelle: math.utep.edu

René Descartes, 1596 - 1650

• Produktformel

Sei A und B zwei nichtleere

Mengen, dann |A x B| = |A | |B|

Bemerkung: |A x B|=|B x A|, obwohl A x B B x A.

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• Verallgemeinerung der Produktformel:

Sei M1, M2,…, Mn – nichtleere Mengen, dann

| M1 x M2 x … x Mn | = | M1 | | M2 | … | Mn |

Beispiel 2.12

Die Matrikelnummer der h-da Studirenden besteht aus 6

Ziffern: X X X X X X, wobei an der ersten Stelle darf keine 0

stehen. Wie viele Matrikelnummern gibt es?

Lösung: 9 10 10 10 10 10 = 900000

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Übung:

Ist es besser, zwei 3-stellige Zahlenschlösser oder ein 6-

stelliges zu benutzen? Wie viele 3-stellige Schlösser

ersetzen ein 6-stelliges?

Lösung:


Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten beim 3-stelligen

Schloss ist 10 10 10 = 103 = 1000 (Produktregel);

Zwei Schlösser haben 103 +103 = 2.000 verschiedene

Möglichkeiten für eine Zahlen-Kombination

(Summenregel);

Die Anzahl der Zahlen-Kombinationen beim 6-stelligen

Schloss ist 10 10 10 10 10 10 = 106 =1.000.000

(Produktregel);

106/ 103 = 1.000

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2.4 Permutationen und Kombinationen

Permutationen bzw. Kombinationen sind geordnete bzw.

ungeordnete Auswahlen von Objekten aus einer Menge.


Definition 2.6

Eine Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n

Elementen, bei der die Reihenfolge die Rolle spielt, nennt

man geordnete Auswahl. Wenn k = n, d.h. alle Elemente

ausgewählt werden, spricht man von Permutation.

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Beispiel 2.13

1) Wie viele unterschiedliche Wörter lassen sich aus

allen fünf Buchstaben des Wortes MATHE bilden? Jeder

Buchstabe darf höchstens einmal verwendet werden.


2) Wie viele aus drei Buchstaben bestehende,

unterschiedliche Wörter können aus MATHE gebildet

werden?

Permutation

k-Permutation

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Lösung:

1) X X X X X

für die erste Position gibt es 5 Möglichkeiten;

für die zweite – 4 Möglichkeiten;

für die dritte – nur 3 Möglichkeiten;

für die vierte – nur 2;

für die fünfte – nur 1.

Also insgesamt (nach Produktregel):

5 4 3 2 1= 5!=120


Allgemein: Anzahl der Permutationen in einer Menge mit

n Elemente ist n! = n (n-1) … 2 1

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Lösung:

2) X X X – für die erste Position gibt es 5

Möglichkeiten; für die zweite – 4 Möglichkeiten (ein

Buchstabe belegt die erste Position); für die dritte –

nur 3 Möglichkeiten. Also insgesamt (nach

Produktregel): 5 4 3 = 5! / 2! = 5! / (5-3)! = 60


Allgemein: Anzahl der k-Permutationen in einer Menge

mit n Elemente ist n (n-1) … (n-k+1)= n!/ (n – k)!

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ohne

Zurücklegen

(ohne

Wiederholung)

mit

Zurücklegen

(mit

Wiederholung)

mit Berücksichtigung der

Reihenfolge

ohne Berücksichtigung der

Reihenfolge

Zusammenfassung:

die Anzahl der Möglichkeiten aus n Objekte k

auszuwählen:


k

n

!!

kn

n

kn

k

kn 1

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Definition 2.7

Eine Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n

Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge nennt man

Kombination oder ungeordnete Auswahl.

Bemerkung: Eine Kombination ist das gleiche wie eine

Teilmenge.

Binomialzahlen

Die Anzahl der Teilmengen der

Mächtigkeit k einer n-elementigen

Menge, „n über k“ Schreibweise n

k

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Beispiele:

Sei M = {a,b,c,d}, dann existieren die folgenden 6 zwei-

elementige Teilmengen : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c},{b,d},{c,d}

jede Menge hat nur eine -Teilmenge.

jede Menge hat nur eine n-elementige Teilmenge.

jede Menge mit n Elementen hat genau

n Teilmengen mit einem Element.

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Bildquelle: frustfrei-lernen.de

Definition 2.8

Sei k, nN mit 1 k n. Dann gilt:

0-te Zeile

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Definition 2.9 (explizite Formel)

Sei k, nN mit 1 k n. Dann gilt:

Bemerkung: Falls k > n ist, wird der Binomialkoeffizient gleich 0

gesetzt.

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Rechenregeln:

Symmetrie

Rekursive Formel

Beweis: Tafel (benutzen Sie die Formel auf Folie 53)


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Beispiel 2.15:

Beim „Lotto 6 aus 49“ werden 6 der Zahlen 1, 2, …, 49

gezogen, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt.

Wie viele Möglichkeiten gibt?

Lösung:


Wir suchen die Anzahl 6-elementiger Teilmengen aus

einer 49-elementigen Menge. Sie ist gleich

49 49!

6 6!43!

= = 13.983.816

1

13.983.816 Gewinnchance:

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Übung:

Auf den üblichen Dominosteinen sind die sieben Zahlen

0,1,2,…,6 abgebildet. Dabei kommen alle möglichen

Kombinationen aus zwei Zahlen vor. Aus wie vielen

Dominosteinen besteht ein vollständiges Spiel?

Lösung:


Anzahl aller Kombinationen „2 verschiedene Zahlen aus

7“ zu wählen ist 7 7!

2 2! 5!

Dazu kommen noch Steine mit gleichen Zahlen:

(0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6), also + 7 Steine, und

damit insgesamt 28.

= = (7 6)/2 = 21

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Definition 2.10

Die Anzahl der Möglichkeiten aus n Objekten k Objekte

auszuwählen, wobei jedes Objekt mehrfach in der Auswahl

vorkommen kann, ist nk, falls die Reihenfolge in der Auswahl

eine Rolle spielt, und , falls die Reihenfolge keine

Rolle spielt.

Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Gummibärchen

zwischen 6 Kinder zu verteilen?

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Anwendung (Stichprobe):


Die Binomialkoeffizienten werden vor allem im Rahmen

der Qualitätssicherung bei Stichproben benötigt: Bei

einer Stichprobe wird nämlich gerade aus einer

Gesamtpopulation eine Teilmenge gewissen Umfanges

gezogen, sodass die Anzahl möglicher solcher

Ziehungen gerade durch den Binomialkoeffizienten

gegeben sind.

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In einer Lieferung von zehn Geräten sind drei defekt. Um

nicht jedes Gerät auf seine Funktionstüchtigkeit hin

überprüfen zu müssen, wollen wir dies nur für

jedes zweite Gerät tun und ziehen daher eine Stichprobe

von 5 Geräten aus den gelieferten 10. Dann haben wir nach

Definition des Binomialkoeffizienten gerade 10 über 5

Möglichkeiten diese 5 Teilmengen aus der Menge von 10

Geräten zu ziehen: 10 10! 109876

5 5! 5! 54321


= = = 252

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Wie viele Stichproben enthalten genau zwei defekte

Geräte?

Insgesamt: 10 Geräte: 3 defekte und 7 intakte.

Stichprobe besteht aus 5 Geräte: 2 defekte und


= 3 35 = 105.

3 intakte.

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Wie viele Stichproben enthalten mindestens ein defektes

Gerät?

Insgesamt 10 Geräte: 3 defekte, 7 intakte.

Stichprobe besteht aus 5 Geräte:

1 defektes Gerät

2 defekte Geräte

3 defekte Geräte


und 4 intakte

und 3 intakte

und 2 intakte

Lösung:

Übung

231

anderer

Lösungsweg ?

(als Übung)

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Satz 2 (Binomialsatz):

Seien x,y R. Dann gilt nN die folgende Gleichung:


Beispiel 2.15:

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Anwendung:

Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) 115.

Lösung:


115=(10+1)5 =

= 1105 + 51041 + 1010312 + 1010213 + 510 14 + 115=

= 100000 + 510000 + 101000 + 10100 + 510 + 1 =

= 161051

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ohne

Zurücklegen

(ohne

Wiederholung)

mit

Zurücklegen

(mit

Wiederholung)

mit Berücksichtigung der

Reihenfolge

ohne Berücksichtigung der

Reihenfolge

Zusammenfassung:

die Anzahl der Möglichkeiten aus n Objekte k

auszuwählen:


k

n

!!

kn

n

kn

k

kn 1

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Beispiel:

a) Berechnen Sie die Anzahl der 4-stelligen hexadezimalen

Zahlen.

b) In einem IT-Wettbewerb haben 4 Informatikstudierende 3

Fachbücher gewonnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es

für die Verteilung des Gewinns zwischen den Freunden.

c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 aus 5 Bilder

nebeneinander in der Reihe an der Wand aufhängen?

d) In einem Turnier kämpfen 8 Sportler um drei Medaillen

(G, S und B). Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt

es, die Gewinnergruppe zusammen zu stellen?

164

5! / (5-3)!

3

8

3

4+3-1

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Zusammenfassung:

Operationen mit Mengen, Produkt-, Potenzmenge etc.

Vollständige Induktion

Zahlendarstellung zur verschiedenen Basen.

Kombinatorische Aufgaben.

TEST

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Test: Frage 1

a. Diagramm

b. Diagramm

c. Diagramm

d. Kein passendes Diagramm

Welches VENN-Diagramm passt zur Menge C\(A B).

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Test: Frage 2

a. 11112

b. F16

c. 178

d. B112

Wählen Sie eine Zahl, deren Wert im

Dezimalsystem nicht 15 ist.

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a. drei 4-stellige

b. fünf 3-stellige

c. ein 5-stelliges

d. alle sind gleich sicher

Test: Frage 3

Welche Kombination der Zahlenschlösser ist

sicherer? (Die Abbildung zeigt ein 3-stelliges Schloss)

Bildquelle:http://www.hornbach.de/data/shop/D04/001/780/494/972/86/DV_8_4050581_02_4c_DE_20140919202024.jpg

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Test: Frage 4

a. a

b. b

c. c

d. d 10

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a. a

b. b

c. c

d. d

Test: Frage 5

Welche Formel passt zur folgenden Aufgabe: „In einer

Schulklasse mit 20 Kindern soll zuerst ein Klassensprecher

und danach sein Vertreter gewählt werden“. Wie viele

Möglichkeiten gibt es hierfür?

202

20!

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