Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation I Vorlesung 5 WS...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Geoinformation IVorlesung 5

WS 2000/2001

Topologie, Landkarten, Datenstrukturen

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5

2 2

Zusammenhang II

• Ein Pfad ist homeomorphes Bild (entsteht durch elastische Verformung aus) einer geraden Kante.

• Eine Menge X eines topologischen Raumes heißt (pfad-) zusammenhängend, wenn jedes Paar von Punkten durch einen Pfad verbunden werden kann, der ganz in X liegt.

• (Für Flächen mit „vernünfti-gen“ Grenzen äquivalent zu Definition auf voriger Folie)

elastischeVerformung

Pfadzusammenhang


3 3

Regularisierung

• X sei eine Punktmenge der Euklidischen Ebene mit der Standardtopologie (offene Kreisscheiben).Die Regularisierung von X ist der Abschluß des Inneren von Xreg(X) = X°¯

• Ergebnis ist ein rein flächenhaftes Objekt (ohne Beimengung von Punkten und Linien, die nicht zur Flächenbildung beitragen)

InneresAbschluß

X

reg(X)


4 4

Tesselation

• Eine Tesselation ist eine vollständige und überlappungsfreie Zerlegung der euklidischen Ebene in flächenhafte Objekte (Maschen).

• vollständig: jeder Punkt ist Element mindestens einer Masche

• überlappungsfrei: kein Punkt liegt im Inneren zweier Maschen


5 5

Landkarten

• Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften:a) jede Masche ist der

geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent

b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent

• Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis-scheibe äquivalent ist


6 6

Einschränkungen

Um die Mathematik zu vereinfachen, sind in Landkarten folgende Fälle zunächst nicht vorgesehen (Hinweis: Blau ist Außen, Grün ist Innen):

Übung: Zeigen Sie die Verstöße gegen a) und b) unter Verwendung der Definition der topologischen Äquivalenz.

• Isthmen: linienhafte Verbindungen zwischen auseinander liegenden Maschen Kontinenten, z.B. Hindenburgdamm/Sylt

• Mehrere Kontinente, die sich in genau einem Punkt berühren

• Auseinander liegende „Kontinente“: die Aggregation Grün ist nicht zusammenhängend

• Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg)


7 7

Topologische Beziehungen in Landkarten

Adjazenz von Knoten und Kanten

Adjazenz von Kanten und Maschen

Adjazenz von Kanten und Kanten

Adjazenz von Maschen und Maschen


8 8

Geometrisch-Topologische Datenstrukturen für Landkarten

• Problem: Die Topologie kann im Prinzip aus der Geometrie hergeleitet werden

• Option: „Wieviel“ Topologie wird explizit repräsentiert?


9 9

1. Spaghetti - Struktur

- nur Geometrie

- keine Topologie

Repräsentationen von Landkarten


10 10

Flächen:

A: 2.0 0.0 5.0 1.0 7.0 3.0 5.0 4.0 1.0 1.0

B: 5.0 4.0 7.0 3.0 7.0 6.0 5.0 6.0

C: 5.0 4.05.0 6.0 5.0 7.00.0 3.0 1.0 1.0

(5.0 4.0)

(5.0 1.0)

(2.0 0.0)

(7.0 3.0)

(1.0 1.0)

(7.0 6.0)

(5.0 6.0)

(5.0 7.0)

(0.0 3.0)

A

BC

x y

Spaghetti


11 11

UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur

M asche

Koordinate

2n

1..1

{geordnet}

Paare von Koordinaten

geordnete Folgevon Koordinaten

[0,0,1,0,1,1,0,1] [0,0,1,1,0,1,1,0]


12 12

P2

P1

P3bP4a

P5a

P6

P7b

P8

P9

A

BC

Flächen:

A: P1 P2 P3aP4a P5a

B: P4b P3b P6 P7b

C: P4c P7b P8 P9 P5c

P5c

P4b

P7c

P3a

P4cP1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3a 7.0 3.0P3b 7.0 3.0P4a 5.0 4.0P4b 5.0 4.0P4c 5.0 4.0...........

Spaghetti (Kompositionvon Punktobjekten)

Punkte:


13 13

Flächen:

A: P1 P2 P3aP4a P5a

B: P4b P3b P6 P7b

C: P4c P7b P8 P9 P5c

Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3a 7.0 3.0P3b 7.0 3.0P4a 5.0 4.0P4b 5.0 4.0P4c 5.0 4.0...........

P2

P1

P3bP4a

P5a

P6

P7b

P8

P9

A

BC

P5c

P4b

P7c

P3a

P4c

Spaghetti (Kompositionvon Punktobjekten)


14 14

UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten

Masche

Punkt

n

1..1

{geordnet}

Komposition


15 15

2.0, 5.0

3.0, 6.0

7.0, 2.0

Vor- und Nachteile

• Vorteile:– bequem für

Flächenberechnung

– gut für Graphikprogramme

• Zeichnen von Polygonen

• Nachteile:– Topologie nur implizit

– fehleranfällig

– wenig änderungsfreundlich

– Beispiel: Korrektur von Punktkoordinaten

P1

P1P2

P3P5

P4


16 16

vorher

nachher

Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines gemeinsamen Punktes


17 17

Flächen:

A: P1 P2 P3 P4 P5

B: P4 P3 P6 P7

C: P4 P7 P8 P9 P5

Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3 7.0 3.0P4 5.0 4.0P5 1.0 1.0P6 7.0 6.0.............................

Punktobjekte ohne Redundanz

P1

P2

P3

P6P7

P8

P9

A

BC

P5

P4


18 18

Flächen:

A: P1 P2 P3 P4 P5

B: P4 P3 P6 P7

C: P4 P7 P8 P9 P5

Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3 7.0 3.0P4 5.0 4.0P5 1.0 1.0P6 7.0 6.0.............................

Punktobjekte ohne Redundanz

P1

P2

P3

P6P7

P8

P9

A

BC

P5

P4


19 19

UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten ohne Redundanz

Masche

Punkt

n

1..n

{geordnet}

AggregationBeachte: Redundanzfreiheitkann durch dies UML-Diagrammnicht erzwungen werden.


20 20

Knoten:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten-Maschen-Struktur

E6

P1

E11

P2

P3

P6P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen


21 21


P1

E11

P2

P3

P6P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

E6

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

Knoten:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................


22 22


P1

E11

P2

P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

P3

P6

E6

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................


23 23


P1

E11

P2

P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

P3

P6

E6

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................


24 24


P1

E11

P2

P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

P3

P6

E6

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................


25 25


P1

E11

P2

P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

P3

P6

E6

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................


26 26


P1

E11

P2

P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

P3

P6

E6

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................


27 27


P1

E11

P2

P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

P3

P6

E6

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................


28 28

Masche

Kante

Knoten

Punkt

2

3..*

begrenzt

2

2..*

begrenzt

1

1Geometrie

neuTopologie explizit

Redundanzfreiheit wirderzwungen

UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur


29 29

Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur

• Vorteile:– Geometrie ist

redundanzfrei

– Topologie ist explizit

– bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden

• Nachteil– der Kantenumring ist nicht

direkt gegeben, sondern muß berechnet werden

• Lösung: Kanten mit Flügeln

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