Integrales Fourier

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7/23/2019 Integrales Fourier http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 1/17 Métodos Matemáticos I Marta Cordero Gracia Mariola Gómez López Dpto. Matemática Aplicada y Estadística ETSI Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid Dpto. Matemática Aplicada y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)  – p. 1 Dpto. Matemática Aplicada y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM) Análisis de Fourier Definición El  Análisis de Fourier  es un conjunto de técnicas basadas en la descomposición de una función en funciones trigonomé- tricas.  Análisis de Fourier Sistema de Funciones Ortogonales {1 ,f 2 ,...,f k ,... } k  trigonométrica  = a 1 1  + a 2 2  + ··· + a k k  + ···  – p. 2 Dpto. Matemática Aplicada y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM) Análisis de Fourier Serie de Fourier Transformada de Fourier  Análisis de Fourier  : R R  periódica  : [a, b] → R  : R R no periódica  – p. 3

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Métodos

Matemáticos I

Marta Cordero Gracia

Mariola Gómez López

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

ETSI Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

       

       

 – p. 1

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Análisis de Fourier 

Definición

El Análisis de Fourier  es un conjunto de técnicas basadas

en la descomposición de una función en funciones trigonomé-

tricas.

 Análisis deFourier 

Sistema de

Funciones Ortogonales

{f 1, f 2, . . . , f  k, . . .}

f k trigonométrica

f  = a1f 1 + a2f 2 + · · · + akf k + · · ·

 – p. 2

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Análisis de Fourier 

Serie deFourier 

Transformadade Fourier 

 Análisis deFourier 

f   : R → R   periódica

f   : [a, b] →R

f   : R → R

no periódica

 – p. 3

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Conceptos previos

Función par/impar 

Par:   f (

−x) = f (x)

  ∀x

 ∈ [a, b]

Impar:   f (−x) = −f (x)   ∀x ∈ [a, b]

Integración de funciones par/impar 

   a

−a

f (x) dx =

2   a

0

f (x) dx   Si f  es par 

0   Si f  es impar 

 – p. 4

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Conceptos previos

Función periódica

f (x) = f (x + T )  ∀

x ∈

R   con T  ∈

R+

Integración de funciones periódicas

Si   f (x) = f (x + T )   ∀x ∈ R

entonces   a+T a f (x) dx   no depende de a

 – p. 5

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Función periódica

Sea f   : R → R una función 2π-periódica continua a trozos.

Serie de Fourier: forma trigonométrica

f (x) =

 1

2 a0 +

+∞n=1

an cos(nx) + bn sin(nx)

Serie de Fourier: forma exponencial 

f (x) =+∞

n=−∞cn einx

c0 = 1

2 a0   cn  =

 1

2(an − ibn)   c−n  =

 1

2(an + ibn)

 – p. 6

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Cálculo de coeficientes

f (x) =+∞

n=−∞

cn einx

   π−π f (x)e

−ikx

dx =

+∞n=−∞

cn   π−π e

i(n−k)x

dx = 2πck

ya que    π−π

ei(n−k)x dx =

2π   si n  =  k

0   si n = k

cn =   12π

   π−π

f (x)e−inx dx n = 0, ±1, ±2, . . .

 – p. 7

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Cálculo de coeficientes

an  =  cn + c−n =  1

   π−π

f (x)

e−inx + einx

dx =⇒

an =   1π

   π−π

f (x)cos(nx) dx n = 0, 1, 2, . . .

bn  =  i(cn − c−n) =  i

2π    π

−π

f (x)

e−inx − einx

dx =⇒

bn =  1

π

   π−π

f (x)sin(nx) dx n = 1, 2, . . .

 – p. 8

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1

f (t) = |t| − π ≤ t ≤ π f (t) = π

2 −  4

π

∞k=1

cos(2k − 1)t

(2k − 1)2

a0   =   1π

   π

−π

f (t) dt =   2π

   π

0

t dt =  π

an

  =  1

π

   π−π

f (t)cos(nt) dt =  2

π

   π0

t cos(nt) dt =

=

  2

π

(

−1)n

−1

n2   =

0   n = 2k

−   4πn2

  n = 2k + 1

bn   =  1

π

   π−π

f (t)sin(nt) dt = 0

 – p. 9

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1

 – p. 10

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1

 – p. 10

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1

 – p. 10

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 1

 – p. 10

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo 1

 – p. 10

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo 2

f (t) = t   − π < t < π f  (t) = 2∞n=1

(−1)n+1

n  sin(nt)

c0   =  1

2π    π

−π

f (t)dt =  1

2π    π

−π

tdt = 0

cn

  =  1

   π−π

f (t)e−intdt =  1

   π−π

te−intdt = (−1)n+1

in

f (t) =∞

n=−∞

cn eint =n=0

(−1)n+1

in  eint =

=∞

n=1

(−1)n+1

in

  eint +∞

n=1

(−1)−n+1

−in

  e−int =

=∞n=1

(−1)n+1

in

eint − e−int

 – p. 11

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 2

 – p. 12

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 2

 – p. 12

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo 2

 – p. 12

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo 2

 – p. 12

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo 2

 – p. 12

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Serie de Fourier 

f   : R → R   2π-periódica e integrable en [−π, π]

Serie de Fourier: forma trigonométrica

f (x) = 12

 a0 ++∞n=1

an cos(nx) + bn sin(nx)

an  =  1

π

   π−π

f (x)cos(nx) dx bn  =  1

π

   π−π

f (x)sin(nx) dx

Serie de Fourier: forma exponencial 

f (x) =+∞

n=−∞

cn einx cn =  1

   π−π

f (x)e−inx dx

 – p. 13

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Serie de Fourier 

f   : R → R   2L-periódica e integrable en [−L, L]

Serie de Fourier: forma trigonométrica

f (x) =

 1

2 a0 +

+∞n=1

an cos

L x

+ bn sinnπ

L x

an =  1

L

   L−L

f (x)cosnπ

L x

 dx bn =  1

L

   L−L

f (x)sinnπ

L x

 dx

Serie de Fourier: forma exponencial 

f (x) =+∞

n=−∞

cn einπL

 xcn =

  1

2L

   L−L

f (x)e−i

nπL

 xdx

 – p. 14

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Función par 

Si f  es par, 2π-periódica e integrable en [−π, π]

an =  1

π

   π−π

f (x)cos(nx) dx =  2

π

   π0

f (x)cos(nx) dx

bn =  1

π

   π−π

f (x) sin(nx) dx = 0

Serie de Fourier (desarrollo en cosenos)

f (x) = a0

2  +

+∞

n=0

an

 cos(nx)

 – p. 15

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Función impar 

Si f  es impar, 2π-periódica e integrable en [−π, π]

an  =  1

π   π

−π

f (x)cos(nx) dx = 0

bn =  1

π

   π−π

f (x)sin(nx) dx =  2

π

   π0

f (x) sin(nx) dx

Serie de Fourier (desarrollo en senos)

f (x) =+∞n=1

bn sin(nx)

 – p. 16

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Extensión par 

Sea   f   : [0, π] →   R   se define la   extensión par   de   f   como la

función  f   : [−π, π] → R definida por 

f (x) = f (−x)   −π ≤ x < 0

f (x) 0 ≤ x ≤ π

Ejemplo: f (x) = √ 

x x ∈ [0, π]

f (x) =

√ −x   −π ≤ x < 0

√ x   0 ≤ x ≤ π

 – p. 17

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Extensión impar 

Sea  f   : [0, π] →   R  se define la  extensión impar  de  f   como la

función  f   : [−π, π] → R definida por 

˜f (x) =

−f (−x)   −π ≤ x < 0

f (x) 0 ≤ x ≤ π

Ejemplo f (x) = √ 

x x ∈ [0, π]

f (x) = −

√ −

x

  −π

 ≤ x < 0

√ x   0 ≤ x ≤ π

 – p. 18

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo. Extensión par 

Función:

f (x) = π − x x ∈ [0, π]

Extensión par:

f (x) =

π + x

  −π

 ≤ x < 0

π − x   0 ≤ x ≤ π

 – p. 19

Page 8: Integrales Fourier

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo. Extensión par 

Extensión par: =⇒   Desarrollo en cosenos (bn  = 0)

f (x) = π + x   −π ≤ x < 0

π − x   0 ≤ x ≤ πf (x) =

 π

2 +

 4

π

k=1

cos(2k

−1)x

(2k − 1)2

a0   =  1

π

   π−π

f (x) dx =  2

π

   π0

(π − x) dx =  π

an

  =  1

π   π

−π

f (x)cos(nx) dx =  2

π   π

0

−x)cos(nx) dx =

=  2

π

1 − (−1)n

n2  =

0   n = 2k4

πn2  n = 2k + 1

 – p. 20

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo. Extensión impar 

Función:

f (x) = π − x x ∈ [0, π]

Extensión impar:

f (x) =

−(π + x)   −π ≤ x < 0

π − x   0 ≤ x ≤ π

 – p. 21

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo. Extensión impar 

Extensión impar  =⇒   Desarrollo en senos (an  = 0)

f (x) =

−(π + x)   −π ≤ x < 0

π−

x   0 ≤

 x ≤

 πf (x) = 2

n=1

sin(nx)

n

bn

  =  1

π

   π−π

f (x) sin(nx) dx =  2

π

   π0

(π − x) sin(nx) dx =

=  2

π

π

n =

  2

n

 – p. 22

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo. Extensión periódica

Función:

f (x) = π − x x ∈ [0, π]

Extensión π-periódica:

f (x) =

−x   −π ≤ x < 0

π

−x   0

 ≤ x

 ≤ π

 – p. 23

ó ó Ej i i

Page 9: Integrales Fourier

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo. Extensión periódica

Extensión π-periódica:

f (x) = −x   −π ≤ x < 0

π − x   0 ≤ x ≤ πf (x) =

 π

2 +

n=1

sin(2nx)

2n

a0   =  1

(π/2)

   π0

f (x) dx =  2

π

   π0

(π − x) dx =  π

an

  =  1

(π/2)   π

0

f (x)cos(2nx) dx =  2

π   π

0

−x) cos(2nx) dx = 0

bn   =  1

(π/2)

   π0

f (x)sin(2nx) dx =  2

π

   π0

(π − x) sin(2nx) dx =  1

n

 – p. 24

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejercicios

Obtener la serie de Fourier de las funciones:

1.   f (t) = −1   −π < t < 0

1 0 < t < π

(2π-periódica)

2.   f (t) = | sin t| − π < t < π

3.   f (t) = 0   − π < t < 0

sin t   0 < t < π

(2π-periódica)

 – p. 25

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

      

    

 – p. 26

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Conceptos previos

Función continua a trozos

f   : [a, b] → R con −∞ < a < b < +∞ tal que

es continua en [a, b] salvo quizá en un número finito de

puntos {x1, x2, . . . , xn}en cada punto de discontinuidad, el salto es finito.

Función regular a trozos

f   : [a, b] → R con −∞ < a < b < +∞ tal que

f  es continua a trozos en [a, b]

f  es continua a trozos en  [a, b]

 – p. 27

C t i C i t l

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Conceptos previos

Función L1

f   : [a, b] → R tal que    b

a

|f (x)| dx < +∞

f   : R → R tal que

   +∞

−∞

|f (x)| dx < +∞

Función L2

f   : [a, b] → R tal que

   ba

|f (x)|2 dx < +∞

f   : R → R tal que   +∞−∞ |f (x)|

2

dx < +∞

L2

[a, b]

 ⊂ L1

[a, b]

 – p. 28

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Convergencia puntual

Sea f   función 2π-periódica. Si cumple

f  es continua a trozos en [−π, π]

Existe la derivada de  f  por la derecha y por la izquierda ∀x ∈[−π, π)

La serie de Fourier de f  converge puntualmente en  [−π, π]

a0

2  +

+∞

n=1

an cos(nx) + bn sin(nx) =

1

2

f (x+) + f (x−)

  Si x ∈ (−π, π)

1

2

f (π) + f (−π)

  Si x  = −π  ó  x  =  π

 – p. 29

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Convergencia uniforme

Criterio de la mayorante

Dadas la serie funcional  S (x) =+∞n=1

f n(x)   y la serie numérica

+∞n=1

M n, que cumplen:

|f n(x)| ≤ M n   ∀x ∈ [a, b]   y ∀n ∈ N

Si la serie numérica

+∞n=1

M n  converge, entonces la serie  S (x)

converge uniformemente en [a, b]

 – p. 30

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Conv. uniforme. Serie de Fourier 

f (x) = a0

2  +

+∞n=1

an cos(nx) + bn sin(nx)

 =

+∞−∞

cneinx x ∈ [−π, π]

Si las series

an   y

bn   o

cn   convergen absolutamente,entonces la serie de Fourier converge uniformemente a  f   en

[−π, π]

Si  f   es  2π-periódica y continua, y  f  es continua a trozos en

[

−π, π], entonces la serie de Fourier converge uniformemente a

f   en [−π, π]

 – p. 31

Dpto Matemática Aplicada y EstadísticaT a Dpto Matemática Aplicada y Estadística

U i id d

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Teoremas

Si f (x) =+∞n=1

f n(x) siendo la convergencia uniforme en [a, b]

Continuidad Si  f n(x) es una función continua [a, b] para todo n ∈ N, entonces

f  es continua en [a, b]

Integrabilidad 

Si  f n(x) es una función continua [a, b] para todo n ∈

N entonces

se puede integrar la serie término a término:

   x2x1

f (x) dx =+∞n=1

   x2x1

f n(x) dx a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b

 – p. 32

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Unicidad

Si  f   es 2L-periódica y regular a trozos en  [−L, L], entonces la

serie de Fourier de f  es única.

Ejemplo

f (t) = | sin t| =   2

π −  4

π

∞n=1

cos(2nt)

4n2 − 1

g(t) =

0   − π < t < 0

sin t   0 < t < π=

 1

2(sin t + f (t))

g(t) =  1

π −  2

π

∞n=1

cos(2nt)

4n2 − 1  +

 1

2 sin t

 – p. 33

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Derivación

Si   f   es   2L-periódica y continua, y   f  es regular a trozos en

[−L, L], entonces la serie de Fourier (que converge uniforme-

mente a f  en [−L, L])

f (x) = 12

 a0 ++∞n=1

an cos

nπL

 x

+ bn sin

nπL

 x

se puede derivar término a término y converge puntualmente a

f (x) en  [−L, L]

f (x) =  π

L

+∞

n=1

nbn cosnπ

L x−

nan sinnπ

L x

 – p. 34

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Integración

Si   f   es   2L-periódica y continua a trozos, y   f  es continua a

trozos en   [−L, L], entonces la serie de Fourier (que converge

puntualmente a f   en [−L, L])

f (x) = 12

 a0 ++∞n=1

an cos

nπL

 x

+ bn sin

nπL

 x

se puede integrar término a término.

 – p. 35

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

IntegraciónDpto. Matemática Aplicada y Estadística

Ejemplo

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Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Integración

f (x) = 1

2 a0 +

+∞n=1

an cos

L x

+ bn sinnπ

L x

=⇒  12

 A0 + Lπ

+∞n=1

− bn

n  cos

nπL

 x

+ an

n  sin

nπL

 x

converge uniformente a F (x) − a0

2  x en  [−L, L] con

F (x) =    x

0

f (s) ds

  −L

 ≤ x

 ≤ L

1

2 A0  =

  1

2L

   L−L

F (x) dx

 – p. 36

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo

 A partir del desarrollo de la función

f (t) = −1   − π < t < 0

1 0 < t < π

obtener la serie de Fourier de  g(t) = |t| en  [−π, π]

 – p. 37

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

     

     

 – p. 38

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Error cuadrático medio

Sea: f   : [−π, π] −→ R   2π− periódica

Suma parcial N -ésima de su serie de Fourier:

S N (x) = 1

2 a0 +

N n=1

an cos(nx) + bn sin(nx)

Error de la aproximación en cada punto:

E N (x) =f (x) − S N (x)

Error cuadrático medio de la aproximación

EN  =  1

   π−π

f (x) − S N (x)

2dx

 – p. 39

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

Desigualdad de BesselDpto. Matemática Aplicada y Estadística

Convergencia en la media

Page 13: Integrales Fourier

7/23/2019 Integrales Fourier

http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 13/17

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Desigualdad de Bessel

Error cuadrático medio de la aproximación

EN  =  1

2π 

  π

−π

f 2(x) dx

−πa2

0

2

  +N 

n=1

(a2n + b2n)

Como EN  ≥ 0

a20

2  +

n=1

(a2n + b2n) ≤   1

π

   π−π

f 2(x) dx

 – p. 40

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Convergencia en la media

a20

2  +

N n=1

(a2n + b2n) ≤  1

π

   π−π

f 2(x) dx

Si f  ∈ L2([−π, π]) entonces la serie

a20

2  +

∞n=1

a2n + b2n

converge. Además, convergen por separado.

Se cumple (convergencia en la media)

lımN →∞

EN   = lımN →∞

1

   π−π

f (x) − S N (x)

2dx = 0

 – p. 41

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Identidad de Parseval

Como   lımN →∞

EN  = 0,

   π

−π

f 2(x) dx = π

2 a2

0 + π∞

n=1

(a2n + b2n)

Ejemplo: a partir del desarrollo de Fourier de la función   2π-

periódica

f (t) = t2 t ∈ [−π, π]

calcular la suma∞n=1

1n4

 – p. 42

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

           

     

 – p. 43

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

Función delta de DiracDpto. Matemática Aplicada y Estadística

Propiedades

Page 14: Integrales Fourier

7/23/2019 Integrales Fourier

http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 14/17

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Función delta de Dirac

Sea

f ε(t) =

1

ε

  0

 ≤ t

 ≤ ε

0   resto

   +∞−∞

f ε(t) dt = 1

t

 f ε(t)

ε

1/ε

δ (t) = lımε→0

f ε(t)   y

   +∞−∞

δ (t) dt = 1

 – p. 44

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Propiedades

   +∞−∞

δ (t) dt = 1

Si g(t) es una función continua en R, entonces   +∞−∞

g(t)δ (t) dt =  g(0)

Si g(t) es una función continua en R, entonces   +∞−∞

g(t)δ (t − a) dt =  g(a)

 – p. 45

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

serie de Fourier 

δ (t) =

∞   t = 0

0   t = 0− T < t < T  −→ δ (t) =

∞n=−∞

cneinπ

T   t

cn  =  1

2T 

   T −T 

δ (t) e−inπ

T   t dt =

  1

2T   e−i

T   0 =

  1

2T 

δ (t) =∞

n=−∞

cneinπ

T   t =

  1

2T   +

  1

2T 

∞n=1

ei

T   t + e−i

T   t

 =⇒

δ (t) =  1

2T   +

  1

∞n=1

cosnπ

T   t

 – p. 46

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

 – p. 47

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E T S I A á ti (UPM)

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E T S I A á ti (UPM)

Page 15: Integrales Fourier

7/23/2019 Integrales Fourier

http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 15/17

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

 – p. 47

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

 – p. 47

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

      

      

 – p. 48

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

f   : R → R   2L-periódica e integrable en [−L, L]

Serie de Fourier: forma trigonométrica

f (x) = 1

2 a

0 +

+∞

n=1

an

 cos nπ

L x+ b

n sinnπ

L x

an =  1

L

   L−L

f (x)cosnπ

L x

 dx bn  =  1

L

   L−L

f (x)sinnπ

L x

 dx

Serie de Fourier: forma exponencial 

f (x) =+∞

n=−∞

cn einπL

 xcn =

  1

2L

   L−L

f (x)e−i

nπL

 xdx

c0 = 1

2 a0   cn  =

 1

2(an − ibn)   c−n  =

 1

2(an + ibn)

 – p. 49

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E T S I Aeronáuticos (UPM)NotaciónDpto. Matemática Aplicada y Estadística

E T S I Aeronáuticos (UPM)Ejemplo

Page 16: Integrales Fourier

7/23/2019 Integrales Fourier

http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 16/17

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Notación

Periodo

T  = 2L

Frecuencia fundamental 

ω0  = 2π

Frecuencia del armónico  n

ωn = nω0

f (t) =+∞

n=−∞

cn eiωnt cn =  1

   T/2−T/2

f (t)e−iωnt dt

 – p. 50

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo

f (t) =

−1   −T /2 < t < 0

1 0 < t < T/2f (t) =

  4

π

k=1

sin(2k − 1)ω0t

2k

−1

 – p. 51

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Forma exponencial

c0 = 1

2 a0   cn  =

 1

2(an − ibn)   c−n  =

 1

2(an + ibn)

Forma exponencial de los coeficientes  cn

cn  = |cn|eiφn c−n = cn  = |cn|e−iφn

siendo

 Amplitud del armónico  n

|cn| =  1

2 a2n + b2n

Fase del armónico  n

φn = arg(cn)

 – p. 52

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Espectros de frecuencia discreta

 A cada función periódica f (t) le corresponde un único desarro-

llo en serie de Fourier.

f (t) −→ {cn}

Los coeficientes  cn   especifican a  f (t)  en el   dominio de la fre-

cuencia, de la misma manera que  f (t)  especifica la función en

el dominio del tiempo.

 – p. 53

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Espectros de frecuencia discretaDpto. Matemática Aplicada y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)Ejemplo

Page 17: Integrales Fourier

7/23/2019 Integrales Fourier

http://slidepdf.com/reader/full/integrales-fourier 17/17

( )Espectros de frecuencia discreta

Se llama espectro de amplitud  de f (t) a la gráfica que represen-

ta el módulo de los coeficientes cn frente a la frecuencia angular 

ωn  del armónico correspondiente.

Se llama   espectro de fase  de f (t)  a la gráfica que representa

el argumento   φn   de los coeficientes   cn   frente a la frecuencia

angular  ωn  del armónico correspondiente.

Como ωn =  nω0, los espectros son gráficas discretas

 – p. 54

( )Ejemplo

f (t) =

−1   −T /2 < t < 0

1 0 < t < T/2f (t) =

  4

π

∞k=1

sin(2k − 1)ω0t

2k − 1

cn =

0   n par 

−i

  2

nπ  n impar 

 – p. 55