Integralrechnung -...

82
Integralrechnung Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur H¨ oheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite vhm.mathematik.uni-stuttgart.de ur Erl¨ auterungen zur Nutzung und zum Copyright. Integralrechnung 1-1

Transcript of Integralrechnung -...

Integralrechnung

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Hoheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite

vhm.mathematik.uni-stuttgart.de fur Erlauterungen zur Nutzung und zum Copyright.

Integralrechnung 1-1

Riemann-Integral

Das bestimmte Integral einer stuckweise stetigen Funktion f ist durch∫ b

af (x) dx = lim

|∆|→0

∫ b

af∆ = lim

|∆|→0

∑k

f (ξk) ∆xk

definiert. Dabei bezeichnet ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b eine Zerlegungvon [a, b], ∆xk = xk − xk−1,

|∆| = maxk

∆xk

ist die maximale Intervallange und ξk ist ein beliebiger Punkt im k-tenIntervall.Die Summen auf der rechten Seite der Integraldefinition werdenRiemann-Summen genannt und konnen als Integral

∫f∆ einer

Treppenfunktion interpretiert werden.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Riemann-Integral 1-1

f(x)

y

xξka = x0 xk xk+1 xn = b

Fur eine positive Funktion f entspricht∫ ba f (x) dx dem Inhalt der Flache

unterhalb des Graphen von f .

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Riemann-Integral 1-2

Beweis:

zeige Konvergenz der Riemann-Summen fur stetig differenzierbares f mitHilfe des Cauchy-KriteriumsfA 1

4 r eine Folge (∆i ) von Zerlegungen mit |∆i | → 0 betrachte zweiFolgenglieder ∆m und ∆n

Vergleich der Riemann-Summen mit Hilfe einer Zerlegung ∆ durchVereinigung der Unterteilungspunkte von ∆m und ∆n

∆m : x0 < · · · < xkm , ∆n : y0 < · · · < ykn ∆ : z0 < · · · < zk

Riemann-Summe fur ∆

k∑j=1

f (ζj) ∆zj , ζi ∈ [zi−1, zi ]

Mittelwertsatz

|f (t1)− f (t2)| ≤ (t2 − t1) maxt∈[t1,t2]

|f ′(t)|

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Riemann-Integral 2-1

∣∣∣∣∫ f∆ −∫

f∆m

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣k∑

j=1

f (ζj) ∆zj −km∑i=1

f (ξi ) ∆xi

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣km∑i=1

∑xi−1≤zj−1<zj≤xi

(f (ζj)− f (ξi ))∆zj

∣∣∣∣∣∣≤ |∆m| max

t∈[a,b]|f ′(t)|︸ ︷︷ ︸

=c

km∑i=1

∑xi−1≤zj−1<zj≤xi

∆zj︸ ︷︷ ︸=b−a

,

d.h. ∣∣∣∣∫ f∆ −∫

f∆m

∣∣∣∣ ≤ c (b − a) |∆m|

analoge Abschatzung fur |∫f∆ −

∫f∆n | ∣∣∣∣∫ f∆m −

∫f∆n

∣∣∣∣ ≤ c (b − a) (|∆m|+ |∆n|)→ 0 m, n→∞

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Riemann-Integral 2-2

analoges Argument Konvergenz zweier Folgen gegen den gleichen Grenzwert

Beweis fur stuckweise stetiges f benutzt gleichmaßige Stetigkeit:

|f (x1)− f (x2)| ≤ ε fur |x1 − x2| < δ

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Riemann-Integral 2-3

Beispiel:

Berechnung von∫ 1

0 x2 dx mit Riemann-SummenFolge von Partitionen

∆n : xi = i/n , i = 0, . . . , n

Auswertungsstellen

ξi = (2i − 1)/(2n) , i = 1, . . . , n

y = x2

y

xx0 xnxk−1 xkξk

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Riemann-Integral 3-1

Grenzwert der Riemann-Summen∫f∆n =

n∑i=1

1

n

(2i − 1

2n

)2

=1

4n3

(4

n∑i=1

i2 − 4n∑

i=1

i +n∑

i=1

1

)

=1

4n3

(4n(n + 1)(2n + 1)

6− 4n(n + 1)

2+ n

)=

1

3− 1

12n2

=⇒limn→∞

∫f∆n =

1

3

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Riemann-Integral 3-2

Eigenschaften des Integrals

Das bestimmte Integral besitzt folgende Eigenschaften:

Linearitat:

∫rf = r

∫f ,

∫f + g =

∫f +

∫g

Monotonie: f ≤ g =⇒∫

f ≤∫

g

Additivitat:

∫ b

af +

∫ c

bf =

∫ c

af

In Ubereinstimmung mit der letzten Eigenschaft definiert man∫ ab f = −

∫ ba f .

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Riemann-Integral 4-1

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sind f und g auf [a, b] stetig und besitzt g keinen Vorzeichenwechsel, soexistiert c ∈ [a, b] mit ∫ b

afg = f (c)

∫ b

ag .

a c b

f(c)

f

x

y

Insbesondere ist, wie in der Abbildung veranschaulicht,∫ ba f = (b− a)f (c).

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Mittelwertsatz der Integralrechnung 5-1

Beweis:

o.B.d.A. g ≥ 0Abschatzung des Integranden

(min[a,b]

f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max[a,b]

f ) g(x)

Integration erhalt die Ungleichung, d.h.

(min[a,b]

f )

∫g ≤

∫fg ≤ (max

[a,b]f )

∫g

Zwischenwertsatz =⇒Gleichheit fur einen Wert von f zwischen min f und max fGegenbeispiel bei Vorzeichenwechsel von g :∫ 1

−1x2 dx︸ ︷︷ ︸>0

=

∫ 1

−1x︸︷︷︸f

· x︸︷︷︸g

dx 6= c

∫ 1

−1x dx = 0

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Mittelwertsatz der Integralrechnung 6-1

Stammfunktion

Eine Funktion F mit F ′ = f ist eine Stammfunktion von f , und manschreibt ∫

f (x) dx = F (x) + c

fur die Menge aller Stammfunktionen, die als unbestimmtes Integral von fbezeichnet wird.Die Integrationskonstante c ∈ R ist beliebig. Beispielsweise ist

Fa(x) =

∫ x

af (t) dt

mit Fa(a) = 0 eine mogliche Stammfunktion.Nicht zu allen elementaren Funktionen ist die explizite Angabe einersolchen Stammfunktion moglich, ein Beispiel ist f (x) = exp

(x2).

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Stammfunktion 7-1

Stammfunktionen einiger Grundfunktionen

f (x) F (x) f (x) F (x)

x s , s 6= −1 x s+1/(s + 1) 1/x ln |x |exp x exp x ln x x ln x − x

cos x sin x sin x − cos x

tan x − ln | cos x | 1/(1 + x2) arctan x

cosh x sinh x sinh x cosh x

1/√

1 + x2 arsinh x 1/√

1− x2 arcsin x

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Stammfunktion 8-1

Hauptsatz der Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion einer stetigen Funktion f , d.h. f = F ′, so gilt∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a)

bzw. in Kurzschreibweise ∫ b

af = [F ]ba .

Ein bestimmtes Integral lasst sich also als Differenz der Funktionswerteeiner Stammfunktion an den Intervallendpunkten berechnen.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Hauptsatz der Integralrechnung 9-1

Beweis:

betrachte beide Seiten als Funktion von bUbereinstimmung fur b = a (beide Seiten Null) genugt Gleichheit der Ableitungen zu zeigenAbleitung der linken Seite

limh→0

1

h

(∫ b+h

af −

∫ b

af

)= lim

h→0

1

h

∫ b+h

bf

Mittelwertsatz =⇒∫ b+h

bf = (b + h − b) f (c) = h f (c)

mit c ∈ (b, b + h)f (c)→ f (b) =⇒ Ableitung der linken Seite gleich f (b)gleicher Wert fur die Ableitung der rechten Seite (F ′ = f )

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Hauptsatz der Integralrechnung 10-1

Beispiel:

(i) Exponentialfunktion:

d

dxex = ex =⇒

∫ b

aex dx = eb − ea

y = exp(x)

y

x

a b

ea

eb

1

Die Flache unter dem Graph zwischen a und b entspricht einem Rechteckmit Breite 1 und dem Abstand der Funktionswerte als Hohe.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Hauptsatz der Integralrechnung 11-1

(ii) Logarithmusfunktion:

F (x) = ln |x |, f (x) = F ′(x) = 1/x , x 6= 0

=⇒ ∫ b

a1/x dx = ln |b| − ln |a| = ln |b/a| , 0 /∈ [a, b]

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Hauptsatz der Integralrechnung 11-2

Beispiel:

Arkustangensfunktion: Stammfunktion von f (x) = 1/(1 + x2)z.B. ∫ 1

0

dx

1 + x2= arctan(1)− arctan(0) =

π

4

Stammfunktion der Tangensfunkion

F (x) = − ln(cos x), |x | < π/2

(Kontrolle mit der Kettenregel: F ′(x) = −(cos x)−1(− sin x))z.B.∫ π/4

0tan x dx = − [ln(cos x)]

π/40 = − ln(1/

√2) + ln(1)︸︷︷︸

0

=1

2ln(2) ≈ 0.347

Bestimmtes und unbestimmtes Integral Hauptsatz der Integralrechnung 12-1

Beispiel:

Kraft auf einen Korper der Masse m im Gravitationsfeld eines Planetenmit Masse M

f (x) = γmM

x2

γ: Gravitationskonstante, x : Abstand der Schwerpunkte∫f dx = F (x) = −γmM

x+ c

Arbeit bei Bewegung vom Abstand x = a zum Abstand x = b∫ b

af (x) dx = γmM

∫ b

a

1

x2dx = − [γmM/x ]ba = γmM(1/a− 1/b)

a: Radius r des Planeten, b →∞ Fluchtgeschwindigkeit durchGleichsetzen mit der kinetischen Energie:

m

2v2 = γ

mM

r⇒ v =

√γ

2M

r

vErde = 11.2 km/sBestimmtes und unbestimmtes Integral Hauptsatz der Integralrechnung 13-1

Partielle Integration

Aus der Produktregel (fg)′ = f ′g + fg ′ ergibt sich eine analoge Formel furunbestimmte Integrale:∫

f ′(x)g(x)dx = f (x)g(x)−∫

f (x)g ′(x) dx .

Entsprechend gilt ∫ b

af ′g = [fg ]ba −

∫ b

afg ′

fur bestimmte Integrale.Dabei ist zu beachten, dass der Randterm [fg ]ba verschwindet, wenn eineder beiden Funktionen an den Intervallendpunkten Null ist. Er entfalltebenfalls fur periodische Funktionen mit Periodenlange (b − a).

Integrationsregeln Partielle Integration 14-1

Beispiel:∫(1 + x)α dx = (1 + x)α+1/(α + 1) + c fur α 6= −1 =⇒∫

x︸︷︷︸u

√1 + x︸ ︷︷ ︸v ′

dx = x2

3(x + 1)3/2︸ ︷︷ ︸

v

−∫

1︸︷︷︸u′

·23

(1 + x)3/2 dx

=2

3x(1 + x)3/2 − 4

15(1 + x)5/2 + c

analog∫ 1

0x√

1− xu v ′

dx =

[−x 2

3(1− x)3/2

]1

0

+

∫ 1

01 · 2

3(1− x)3/2 dx

= 0−[

4

15(1− x)5/2

]1

0

=4

15

Integrationsregeln Partielle Integration 15-1

Beispiel:

partielle Integration logarithmischer Faktoren, z.B.∫xn ln |x | dx =

1

n + 1xn+1 ln |x | −

∫1

n + 1xn+1 1

xdx

=1

n + 1xn+1 ln |x | − 1

(n + 1)2xn+1 + c

analoge Integration von Ausdrucken der Form∑j ,k

aj ,kxj(ln |x |)k

jede partielle Integration reduziert den Exponenten des Logarithmus

d

x(ln |x |)k = k(ln |x |)k−1 1

x

Integrationsregeln Partielle Integration 16-1

Beispiel:

partielle Integration von Produkten aus Monomen undExponentialfunktionenrekursive Berechnung durch Reduktion des Polynomgrades:∫

xnex dx = xnex −∫

nxn−1ex dx

= xnex − nxn−1ex +

∫n(n − 1)xn−2ex dx = · · ·

= exn∑

k=0

(−1)n−kn!

k!xk + c

analog: partielle Integration von Produkten aus Monomen und Sinus oderKosinus

∫xn{

cos xsin x

}dx = xn

{sin x

− cos x

}−∫

nxn−1

{sin x

− cos x

}dx = · · ·

Integrationsregeln Partielle Integration 17-1

Beispiel:

partielle Integration von Produkten aus Exponentialfunktionen und Sinusoder Kosinus(i) zweimalige partielle Integration:∫

eax sin(bx) dx =1

aeax sin(bx)− b

a

∫eax cos(bx) dx

=1

aeax sin(bx)− b

a2eax cos(bx)− b2

a2

∫eax sin(bx) dx

Umformung ∫eax sin(bx) dx =

aeax sin(bx)− beax cos(bx)

a2 + b2+ c

Integrationsregeln Partielle Integration 18-1

(ii) komplexe Methode:Formel von Euler-Moivre =⇒

cos t = Re (exp(it))

∫ π

0et cos(t) dt = Re

(∫ π

0exp(t + it) dt

)= Re

([exp(t + it)

1 + i

]π0

)= Re

(−eπ − 1

1 + i

)= −(eπ + 1)/2

daeπ+iπ = eπ(−1) = −eπ

und1

1 + i=

1− i

1 + 1=⇒ Re

(1

1 + i

)=

1

2

Integrationsregeln Partielle Integration 18-2

Beispiel:

Orthogonalitat trigonometrischer Funktionenzweimalige partielle Integration ∫ π

−πsin(nx) sin(mx) dx = −

∫ π

−πn cos(nx)(− 1

mcos(mx)) dx

=n2

m2

∫ π

−πsin(nx) sin(mx) dx

(keine Randterme wegen Periodizitat)=⇒ ∫ π

−πsin(nx) sin(mx) dx = 0, m 6= n

m = n: einmalige partielle Integration und cos2(nx) = 1− sin2(nx) =⇒

2

∫ π

−πsin2(nx) dx =

∫ π

−π1 dx = 2π

analoges Argument Orthogonalitat von cos(nx)Integrationsregeln Partielle Integration 19-1

Dirac- und Heaviside-Funktion

Die Diracsche Delta-Funktion δ ist durch∫Rδf = f (0)

definiert, wobei f eine beliebige stetige Funktion ist, die ausserhalb einesIntervalls (a, b) verschwindet.Mit Hilfe von partieller Integration oder uber einen Grenzprozess kann δals verallgemeinerte Ableitung der Heavisideschen Sprungfunktion

H(x) =

{1, fur x > 0

0, sonst

interpretiert werden.

Integrationsregeln Delta-Funktion 20-1

Beweis:

0 ∈ (a, b), f (a) = 0 = f (b) =⇒∫ b

aH ′f = [Hf ] ba −

∫ b

aHf ′ = −

∫ b

0f ′ = −[f ]b0 = f (0)

(partielle Integration)f beliebig

∫H ′f =

∫δf , d.h. H ′ = δ

−2 0 2

0

1

−2 0 1n

2

0

1

−2 0 1n

2

0

1

Heaviside-Funktion H Naherung Hn Naherung δn = H ′n

Integrationsregeln Delta-Funktion 21-1

alternative Herleitung mit Hilfe eines Grenzprozesses:∫ b

aH ′nf = n

∫ 1/n

0f = f (tn)→ f (0)

aufgrund des Mittelwertsatzes

Integrationsregeln Delta-Funktion 21-2

Variablensubstitution

Aus der Kettenregel

d

dxF (g(x)) = f (g(x))g ′(x), f = F ′,

folgt durch Bilden von Stammfunktionen fur eine Substitution y = g(x)∫f (g(x))g ′(x) dx = F (y) + c =

∫f (y) dy .

Entsprechend gilt∫ b

af (g(x))g ′(x) dx = F (g(b))− F (g(a)) =

∫ g(b)

g(a)f (y) dy

fur bestimmte Integrale.

Integrationsregeln Variablensubstitution 22-1

Mit Hilfe von Differentialen laßt sich diese Formel in der Form∫ b

af (g(x))

dy

dxdx =

∫ g(b)

g(a)f (y) dy

schreiben.Ein einfacher Spezialfall ist eine lineare Variablensubstitution:

x 7→ y = px + q .

In diesem Fall ist ∫f (px + q) dx =

1

pF (y) + c

bzw. ∫ b

af (px + q) dx =

1

p[F ]pb+q

pa+q .

Integrationsregeln Variablensubstitution 22-2

Beispiel:

einfache Variablensubstitution bei erkennbarer innerer Ableitungz.B. ∫

(ln x)2

xdx

Substitution y = g(x) = ln x , g ′(x) = 1/x ∫g(x)2 g ′(x) dx =

∫y2 dy =

1

3y3 + c

Rucksubstitution ∫ln x2

xdx =

1

3(ln x)3 + c

Integrationsregeln Variablensubstitution 23-1

Beispiel:

∫e3y

e2y − 1dy

Substitutionx = ey , dx = eydy

Transformation des Integrals, Partialbruchzerlegung ∫x2

x2 − 1dx =

∫ (1 +

1

x2 − 1

)dx

=

∫1 dx +

∫1/2

x − 1dx −

∫1/2

x + 1dx

= x +1

2ln

∣∣∣∣x − 1

x + 1

∣∣∣∣+ c

Rucksubstitution von x = ey

F (y) = ey +1

2

∣∣∣∣ey − 1

ey + 1

∣∣∣∣+ c

Integrationsregeln Variablensubstitution 24-1

Beispiel:

∫ π/ε

0

sin(εx)

xdx

Substitution u = εx , dx = du/εTransformation der Integrationsgrenze x = π/ε↔ u = π ∫ π/ε

0

sin(εx)

xdx =

∫ π

0

sin u

udu

allgemeine Transformationregel:∫ b

af (rx)

dx

x=

∫ rb

raf (u)

du

u

bei Skalierung der Variablen, d.h. u = rx , dx/x = du/u

Integrationsregeln Variablensubstitution 25-1

Beispiel:

∫dx√

x2 − 6x + 5=

∫dx√

(x − 3)2 − 4=

1

2

∫dx√

((x − 3)/2)2 − 1

(i) unbestimmtes IntegralSubstitution y = (x − 3)/2, dx = 2dy ∫

dx√x2 − 6x + 5

=

∫dy√y2 − 1

Substitution y = cosh t, dy = sinh t dt ∫dy√y2 − 1

=

∫sinh t dt

sinh t=

∫dt = t + c

= arcosh y + c = arcosh((x − 3)/2) + c =

= ln

(x − 3

2+

1

2

√x2 − 6x + 5

)+ c

(cosh2 t − 1 = sinh2 t, Formel fur die Umkehrfunktion von cosh)Integrationsregeln Variablensubstitution 26-1

(ii) Beispiel eines bestimmten Integrals

∫ 7

5

dx√x2 − 6x + 5

= ln(4/2 +√

12/2)− ln 1

= ln(2 +√

3)

Integrationsregeln Variablensubstitution 26-2

Beispiel:

ViertelkreisK : y = f (x) =

√1− x2, 0 ≤ x ≤ 1PSfrag repla ements

0 0:5 1 1:500:511:5�101

Flacheninhalt ∫ 1

0f (x)dx =

π

4

Integrationsregeln Variablensubstitution 27-1

(i) Substitution x = sin u, dx = cos u du mit x = 0→ u = 0,x = 1→ u = π

2 =⇒∫ 1

0f (x)dx =

∫ π/2

0

√1− sin2 u︸ ︷︷ ︸

cos u

cos u du =1

2

π

2

(ii) Substitution x = cos u, dx = − sin u du mit x = 0→ u = −π/2,x = 1→ u = 2π =⇒∫ 1

0f (x)dx =

∫ 2π

−π/2− sin2 u du = −5π

4

falsches Ergebnis wegen falscher Berechnung der Wurzelrichtig:

√1− cos2 u = | sin u| korrektes Ergebnis∫ 1

0f (x)dx =

∫ 2π

−π/2| sin u|(− sin u)du =

π

4

Integrationsregeln Variablensubstitution 27-2

Elementare rationale Integranden

Die Stammfunktionen der drei Grundtypen rationaler Funktionen sind∫dx

ax + b=

1

aln |x + b/a|+ c∫

dx

(x − a)2 + b2=

1

barctan

(x − a

b

)+ c∫

(x − a)dx

(x − a)2 + b2=

1

2ln((x − a)2 + b2) + c

Rationale Integranden Elementare rationale Integranden 28-1

Beweis:

Uberprufung der Stammfunktionen durch Differenzierenalternativ: Umformung der Integranden(i)∫dy/y = ln |y |+ c =⇒∫

dx

ax + b=

1

a

∫dx

x + b/a=

1

aln |x + b/a|+ c

(ii) Umformung ∫dx

(x − a)2 + b2=

1

b2

∫dx

((x − a)/b)2 + 1

Substitution y = (x − a)/b, dx = b dy

1

b

∫dy

y2 + 1=

1

barctan y + c =

1

barctan

(x − a

b

)+ c

Rationale Integranden Elementare rationale Integranden 29-1

(iii) Substitution y = (x − a)2 + b2, dx = dy/(2(x − a)) ∫(x − a) dx

(x − a)2 + b2=

1

2

∫dy

y=

1

2ln |y |+ c

=1

2ln((x − a)2 + b2) + c

Rationale Integranden Elementare rationale Integranden 29-2

Beispiel:

replacemen

f(x) = 1/x

0 1 2 3

1

2

3

Inhalt der grauen Flache:

21

2+

∫ 2

1/2

1

xdx = 1 + ln 2− ln

1

2= 1 + ln 4

Rationale Integranden Elementare rationale Integranden 30-1

Beispiel:

−a a

f(x) = 1/(x2 + 1)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

0.5

1

1.5

2

Flache unter dem Graph von f (x) = 1/(x2 + 1):

lima→∞

∫ a

−a

dx

1 + x2= lim

a→∞(arctan a− arctan(−a)) =

π

2+π

2= π

Rationale Integranden Elementare rationale Integranden 31-1

Beispiel:

Berechnung der Stammfunktion von

r(x) =3x + 6

2x2 − 4x + 10

quadratische Erganzung des Nenners

2(x2 − 2x + 5) = 2((x − 1)2 + 22)

Anpassung des Zahlers

3(x + 2) = 3((x − 1) + 3)

Zerlegung in Standardausdrucke:

r(x) =3

2

x − 1

(x − 1)2 + 22+

9

2

1

(x − 1)2 + 22

Rationale Integranden Elementare rationale Integranden 32-1

Stammfunktionen der elementaren Integranden ∫r(x) dx =

3

4ln ((x − 1)2 + 4) +

9

4arctan

(x − 1

2

)+ c

Berechnung eines bestimmten Integrals durch Einsetzen der Grenzen in dieStammfunktionz.B. ∫ 3

1r(x) dx =

3

4(ln 8− ln 4) +

9

4(arctan (1)− arctan (0)) =

3

4ln 2 +

9

16π

Rationale Integranden Elementare rationale Integranden 32-2

Elementare rationale Integranden mit mehrfachenPolstellen

Fur n ∈ N ist ∫(x − a)−n−1dx = −1

n(x − a)−n + c .

Bei mehrfachen komplex konjugierten Polstellen gilt fur denentsprechenden quadratischen Faktor q(x) = (x − a)2 + b2∫

c(x − a) + d

q(x)n+1dx = − c

2n q(x)n+

d(x − a)

2b2n q(x)n+

d(2n − 1)

2b2n

∫dx

q(x)n.

Die Reduktion des Exponenten von q im Nenner ermoglicht eine rekursiveBerechnung der Stammfunktion.

Rationale Integranden mehrfache Pole 33-1

Beweis:

(i) erste Formel:Substitution y = x − a, dx = dy ∫

(x − a)−n−1dx =

∫y−n−1dy = −1

ny−n + c

(ii) zweite Formel, erster Term:Substitution y = (x − a)2 + b2, dx = dy/(2(x − a))

∫c(x − a)

((x − a)2 + b2)n+1dx =

c

2

∫dy

yn+1= − c

2nyn

= − c

2n((x − a)2 + b2)n

Rationale Integranden mehrfache Pole 34-1

(iii) zweite Formel, zweiter Term:zu zeigen ∫

d dx

q(x)n+1=

d(x − a)

2b2nq(x)n+

d(2n − 1)

2b2n

∫dx

q(x)n

mit q(x) = (x − a)2 + b2

Division durch d , Substitution y = (x − a)/b, dy = dx/b undMultiplikation mit b2n+1 aquivalente Identitat∫

b dy

(b2y2 + b2)n+1=

by

2b2n(b2y2 + b2)n+

2n − 1

2b2n

∫b dy

(b2y2 + b2)n

bzw. ∫dy

(y2 + 1)n+1=

y

2n(y2 + 1)n+

2n − 1

2n

∫dy

(y2 + 1)n

Rationale Integranden mehrfache Pole 34-2

Beweis durch partielle Integration des letzten Terms:∫1 · 1

(y2 + 1)ndy

=y

(y2 + 1)n+

∫y · 2ny

(y2 + 1)n+1dy

=y

(y2 + 1)n+ 2n

(∫dy

(y2 + 1)n−∫

dy

(y2 + 1)n+1

)(y2 = (y2 + 1)− 1)Auflosen nach

∫dy/(y2 + 1)n+1 behauptete Identitat

Rationale Integranden mehrfache Pole 34-3

Beispiel:

∫2x + 1

(x2 + 9)2dx

Einsetzen in die allgemeine Formel fur rationale Integranden mitmehrfachen Polen

−2

2(x2 + 9)+

x

18(x2 + 9)+

1

18

∫1

x2 + 9dx

(a = 0, b = 3, c = 2, d = 1 und n = 1)Formel fur die Stammfunktionen der elementaren Terme

x − 18

18(x2 + 9)+

1

18

(1

3arctan(x/3) + c

)

Rationale Integranden mehrfache Pole 35-1

Integration mit Partialbruchzerlegung

Durch reelle Partialbruchzerlegung lasst sich eine reelle rationale Funktionals Summe der drei elementaren Grundtypen

axn ,c

(ax + b)n,

c(x − a) + d

((x − a)2 + b2)n

mit n ∈ N0 , a, b, c , d ∈ R darstellen. Mit Hilfe der Stammfunktionen furdiese Grundfunktionen konnen somit die Stammfunktionen fur beliebigerationale Funktionen bestimmt werden.

Rationale Integranden Integration rationaler Funktionen 36-1

Beispiel:

Berechnung von∫r(x)dx , r(x) =

x5 + 10x3 + 5x2 − x + 25

x4 + 8x2 − 9

mit PartialbruchzerlegungPolynomdivision

r(x) = x +2x3 + 5x2 + 8x + 25

x4 + 8x2 − 9

Faktorisierung des Nenners

x4 + 8x2 − 9 = (x + 1)(x − 1)(x2 + 9)

Rationale Integranden Integration rationaler Funktionen 37-1

Ansatz

r(x)− x =a

x + 1+

b

x − 1+

cx

x2 + 9+

d

x2 + 9

Multiplikation mit dem Hauptnenner

2x3 + 5x2 + 8x + 25 =

a(x − 1)(x2 + 9) + b(x + 1)(x2 + 9) + (cx + d)(x2 − 1)

Koeffizienten-Vergleich =⇒ a = −1, b = 2, c = 1 und d = 2Stammfunktionen der Grundfunktionen ∫

x5 + 10x3 + 52 − x + 25

x4 + 8x2 − 9=∫

xdx −∫

dx

x + 1+

∫2dx

x − 1+

∫xdx

x2 + 9+

∫2dx

x2 + 9=

1

2x2 − ln |x + 1|+ 2 ln |x − 1|+ 1

2ln(x2 + 9) +

2

3arctan

(x3

)+ c

Rationale Integranden Integration rationaler Funktionen 37-2

Integration trigonometrischer Polynome

Aus ∫eikx dx =

1

ikeikx + c , 0 6= k ∈ Z ,

folgt fur ein trigonometrisches Polynom

p(x) =∑|k|≤n

ckeikx ,

dass ∫p(x) dx = c + c0x +

∑06=|k|≤n

ckikeikx

sowie∫ ππ p = 2πc0.

Mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre konnen auf diese Weise auchbeliebige Polynome in sin(kx) und cos(kx) integriert werden.

Trigonometrische Integranden Integration trigonometrischer Polynome 38-1

Beispiel:

Berechnung von ∫ π

−πsin4 x dx

(i) komplexe Methode:Formel von Euler-Moivre, binomische Formel Integrand(

1

2i

(e ix − e−ix

))4

=1

16

(4

2

)e2ixe−2ix︸ ︷︷ ︸=6

+∑k 6=0

ckeikx

Integral: 2π · 6/16 = 3π/4

Trigonometrische Integranden Integration trigonometrischer Polynome 39-1

(ii) partielle Integration:

∫sin4 xdx =

∫sin x sin3 x dx

= − cos x sin3 x + 3

∫cos2 x sin2 x dx

= − cos x sin3 x + 3

∫sin2 x dx − 3

∫sin4 x dx

(cos2 = 1− sin2)Auflosen nach

∫sin4 ∫ π

−πsin4 x dx = −1

4

[cos x sin3 x

]π−π +

3

4

∫ π

−πsin2 x dx = 0 + 3π/4

Trigonometrische Integranden Integration trigonometrischer Polynome 39-2

Trigonometrische Substitutionen

Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe vonelementaren algebraischen Integranden explizit berechnen:

x = a sin t : dx = a cos t dt√a2 − x2 = a cos t

x = a tan t : dx = a/ cos2 t dt√a2 + x2 = a/ cos t

x = a/ cos t : dx = a sin t/ cos2 t dt√x2 − a2 = a tan t

Gegebenenfalls mussen die Argumente der Wurzel zunachst durchquadratische Erganzung auf Standardform gebracht werden.Mit den trigonometrischen Substitutionen werden rationale Funktionen inx und

√. . . in rationale Funktionen von cos t und sin t A 1

4 berfA 14 hrt. Diese

kA¶nnen gegebenenfalls durch die weitere Substitution z = tan(t/2) inrationale Integranden r(z) umgewandelt werden.

Trigonometrische Integranden Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen 40-1

Beispiel:

∫ 1/2

0

√1− x2 dx

(i) trigonometrische Substitution:

x = sin t, dx = cos t dt, x = 0→ t = 0, x = 1/2→ t = π/6

∫ π/6

0cos2 t dt =

[1

2(sin t cos t + t)

]π/6

0

=

√3

8+

π

12

Rucktransformation von [. . .] Stammfunktion∫ √1− x2dx =

x

2

√1− x2 +

1

2arcsin x + c

(cos t =√

1− sin2 t =√

1− x2)

Trigonometrische Integranden Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen 41-1

(ii) geometrisches Argument:

0 1

1

x

A

B

Flache unter dem Graph von√

1− x2: Summe von zwei TeilflachenDreieck: |A| = x

√1− x2/2

Kreissektor mit Offnungswinkel t: |B| = t/2 = (1/2) arcsin x gleiche Stammfunktion |A|+ |B|

Trigonometrische Integranden Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen 41-2

Beispiel:

∫dx

x√

1 + x2

trigonometrische Substitution x = tan t, dx = 1/ cos2 t dt ∫dt/ cos2 t

tan t/ cos t=

∫dt

sin t= ln | tan

t

2|+ c

(√

1 + x2 = 1/ cos t, Formel fur die Stammfunktion von 1/ sin t, die mitHilfe der Substitution z = tan(t/2) hergeleitet bzw. durch Differenzierenkontrolliert werden kann)Rucksubstitution =⇒∫

dx

x√

1 + x2= ln | tan(

1

2arctan x)|+ c

Trigonometrische Integranden Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen 42-1

bestimmtes Integral ∫ ∞1

dx

x√

1 + x2

Verwendung der berechneten Stammfunktion

ln | tanπ

4| − ln | tan

π

8| = ln 1− ln(

√2− 1) = ln(1 +

√2)

Berechnung von tan(π/8) mit Hilfe der Diagonale einer Raute mit spitzemWinkel π/4

(0, 0) (1, 0)

(1/√2, 1/

√2) (1 + 1/

√2, 1/

√2)

=⇒ tan(π/8) = (1/√

2)/(1/√

2 + 1) = 1√2+1

=√

2− 1

Trigonometrische Integranden Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen 42-2

Beispiel:

∫dx√

x2 − 6x + 5

quadratische Erganzung Standardform der Wurzel∫dx√

(x − 3)2 − 4=

1

2

∫dx√

((x − 3)/2)2 − 1

vorbereitende Substitution y = (x − 3)/2, dx = 2dy Vereinfachung:∫dx√

x2 − 6x + 5=

∫dy√y2 − 1

Trigonometrische Integranden Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen 43-1

trigonometrische Substitution y = 1/ cos t, dy = sin t/ cos2 t dt,√y2 − 1 = tan t ∫

dy√y2 − 1

=

∫dt

cos t= ln

∣∣∣∣ 1

cos t+ tan t

∣∣∣∣+ c

(Formel fur∫

cos−1, Uberprufung durch Differenzieren)Rucksubstitution

ln∣∣∣y + y

√y2 − 1

∣∣∣+ c = ln

∣∣∣∣∣∣x − 3

2+

√(x − 3

2

)2

− 1

∣∣∣∣∣∣+ c

Trigonometrische Integranden Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen 43-2

Hyperbolische Substitutionen

Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe vonelementaren algebraischen Integranden explizit berechnen:

x = a sinh t : dx = a cosh t dt√x2 + a2 = a cosh t

x = a cosh t : dx = a sinh t dt√x2 − a2 = a sinh t

Gegebenenfalls mussen die Argumente der Wurzel zunachst durchquadratische Erganzung auf Standardform gebracht werden.Mit den hyperbolischen Substitutionen werden rationale Funktionen in xund√. . . in rationale Funktionen von et A 1

4 berfA 14 hrt. Diese kA¶nnen

gegebenenfalls durch die weitere Substitution z = et in rationaleIntegranden r(z) umgewandelt werden.

Trigonometrische Integranden Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen 44-1

Rationale Funktionen von Sinus und Kosinus

FA 14 r die Substitution

x = tan(t/2), dt =2

1 + x2dx , −π < t < π

ist

cos t =1− x2

1 + x2, sin t =

2x

1 + x2,

und fur eine beliebige rationale Funktion r gilt∫r(cos t, sin t) dt =

∫r

(1− x2

1 + x2,

2x

1 + x2

)2

1 + x2dx .

Damit lasst sich ein trigonometrischer in einen rationalen Integrandenuberfuhren, der mit Partialbruchzerlegung berechnet werden kann.

Trigonometrische Integranden Rationale trigonometrische Funktionen 45-1

Beweis:

Pythagoras

cos(t/2) = 1/√

1 + x2

sin(t/2) = x/√

1 + x2 PSfrag repla ements 1

x = tan(t=2)p1 + x2t=2

d tanϕ/dϕ = 1/ cos2 ϕ

dx =1

2

1

cos2(t/2)dt =

1

2(1 + x2) dt

und Anwendung der Additionstheoreme fA 14 r cos(2ϕ) und sin(2ϕ)

cos t = cos2(t/2)− sin2(t/2) =1− x2

1 + x2,

sin t = 2 cos(t/2) sin(t/2) =2x

1 + x2Trigonometrische Integranden Rationale trigonometrische Funktionen 46-1

Beispiel:

∫dt

sin t

Substitution x = tan(t/2), dt = 2 dx/(1 + x2) ∫1 + x2

2x

2

1 + x2dx =

∫dx

x= ln |x |+ c = ln | tan(t/2)|+ c

analog∫dt

cos t=

∫1 + x2

1− x2

2

1 + x2dx =

∫ (1

1− x+

1

1 + x

)dx = ln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣+c

Rucksubstitution ∫dt

cos t= ln

∣∣∣∣1 + tan (t/2)

1− tan (t/2)

∣∣∣∣+ c

Trigonometrische Integranden Rationale trigonometrische Funktionen 47-1

Uneigentliches Integral

Fur eine auf [a, b) stuckweise stetige Funktion f wird durch∫ b

af = lim

c→b−

∫ c

af

der Integralbegriff auf unendliche Intervalle (b =∞) und unbeschrankteIntegranden (f (b) = ±∞) erweitert.Analog wird eine Singularitat an der unteren oder an beiden Grenzenbehandelt. Im letzteren Fall muss der Grenzwert unabhangig von der Wahlder Folgen c → a+, d → b− sein. Hinreichend fur die Existenz einesuneigentlichen Integrals ist die absolute Intergrierbarkeit von f , d. h.∫ d

c|f (x)| ≤ const

fur alle Teilintervalle [c , d ] ⊂ (a, b).

Uneigentliche Integrale Uneigentliches Integral 48-1

Beispiel:

Berechnung des uneigentlichen Integrals∫ ∞0

e−x dx

Grenzwert

limb→∞

∫ b

0e−x dx = lim

b→∞

[−e−x

]b0

= limb→∞

(−e−b + 1

)= 1

direkte Verwendung uneigentlicher Grenzen bei elementaren Grenzwerten:∫ ∞0

e−x dx = [−e−x ]∞0 = 0− (−1) = 1

Uneigentliche Integrale Uneigentliches Integral 49-1

Beispiel:

uneigentliches Integral ∫ ∞2

1

x(ln x)rdx

Substitution y = ln x , dy = dx/x

∫ b

2

1

x(ln x)rdx =

∫ ln b

ln 2

1

y rdy =

(ln b)1−r − (ln 2)1−r

1− r, r 6= 1

ln(ln b)− ln(ln 2) , r = 1

limb→∞ . . . existiert genau dann wenn r > 1:∫ ∞2

1

x(ln x)rdx =

(ln 2)1−r

r − 1

Uneigentliche Integrale Uneigentliches Integral 50-1

Beispiel:

uneigentliches Integral ∫ π/2

0

sin x√cos x

dx

Singularitat bei x = π/2 betrachte obere Grenze b < π/2:∫ b

0

sin x√cos x

=[−2√

cos x]b

0= −2

√cos b + 2

Grenzwert∫ π/2

0

sin x√cos x

dx = limb→π/2

∫ b

0

sin x√cos x

= limb→π/2

(−2√

cos b + 2)

= 2

Uneigentliche Integrale Uneigentliches Integral 51-1

Beispiel:

uneigentliches Integral ∫ ∞−∞

1 + 2x

1 + x2dx

Stammfuntion des Integranden:

arctan(x) + ln(1 + x2)

(i) falsche Berechnung:

∫ ∞−∞

1 + 2x

1 + x2dx = lim

b→∞

∫ b

−b

1 + 2x

1 + x2dx = lim

b→∞

[arctan(x) + ln(1 + x2)

]b−b

= limb→∞

(2 arctan(b)) = π

(arctan(−b) = − arctan(b))

Uneigentliche Integrale Uneigentliches Integral 52-1

(ii) korrekte Argumentation:unabhangige Betrachtung der unteren und oberen Grenze

∫ 0

c

1 + 2x

1 + x2dx =

(− arctan(c)− ln(1 + c2)

)∫ d

0

1 + 2x

1 + x2dx =

(arctan(d) + ln(1 + d2)

)=⇒ keine endlichen Grenzwerte in beiden Fallen (c → −∞, d →∞)=⇒ Divergenz des uneigentlichen Integrals∫ ∞

−∞

1 + 2x

1 + x2dx

Uneigentliche Integrale Uneigentliches Integral 52-2

Vergleichskriterium fur uneigentliche Integrale

Ist g eine Majorante fur f , d. h. gilt

|f (x)| ≤ |g(x)| a < x < b

so folgt aus der absoluten Integrierbarkeit von g die absoluteIntegrierbarkeit von f und die Existenz des Integrals∫ b

af (x) dx .

Uneigentliche Integrale Vergleichskriterium fur uneigentliche Integrale 53-1

Beweis:

betrachte o.B.d.A. eine Singularitat an der oberen Grenze:∫ ba f = limc→b−

∫ ca f

r(c) =

∫ c

a|f |

monoton wachsend, beschrankt durch∫ ba |g |

=⇒ Konvergenz fur c → b− und somit die Existenz von∫ ba |f |

s(c) =

∫ c

a(f + |f |︸ ︷︷ ︸≥0

)

ebenfalls monoton wachsend, beschrankt durch 2∫ ba |g |

=⇒ Existenz von∫ ba (f + |f |)

Subtraktion =⇒ Existenz von∫ b

af =

∫ b

a(f + |f |)−

∫ b

a|f |

Uneigentliche Integrale Vergleichskriterium fur uneigentliche Integrale 54-1

Beispiel:

Vergleichsfunktion f (x) = x r

∫ b

ax r dx =

br+1 − ar+1

r + 1, r 6= −1

ln(b)− ln(a), r = −1, 0 < a < b <∞

(i) b →∞:Konvergenz fur r < −1 Existenz von∫ ∞

1x r dx , r < −1

(ii) a→ 0+:Konvergenz fur r > −1 Existenz von∫ 1

0x r dx , r > −1

Uneigentliche Integrale Vergleichskriterium fur uneigentliche Integrale 55-1

Beispiel:

uneigentliches Integral ∫ ∞0

sin(x)

xdx

Aufspaltung in zwei Anteile:∫∞

0 . . . =∫ 1

0 . . .+∫∞

1 . . .Existenz des Integrals uber [0, 1] wegen Stetigkeit des IntegrandenUmformung des Integrals uber [1,∞] mit partieller Integration:∫ b

1

sin(x)

xdx =

[−cos(x)

x

]b1

−∫ b

1

cos(x)

x2dx

erster Term → cos(1) fur b →∞zweiter Term: Integrand majorisiert durch∣∣∣∣cos(x)

x2

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 1

x2

∣∣∣∣=⇒ Konvergenz nach dem Vergleichskriterium

Uneigentliche Integrale Vergleichskriterium fur uneigentliche Integrale 56-1

Wert des uneigentlichen Integrals:∫ ∞0

sin(x)

xdx =

π

2

(Berechnung mit Methoden der Fourier-Analysis)

Uneigentliche Integrale Vergleichskriterium fur uneigentliche Integrale 56-2

Gamma-Funktion

Die durch

Γ(x) =

∫ ∞0

tx−1e−t dt, x ∈ (0,∞) ,

definierte Gamma-Funktion erfullt die Funktionalgleichung

Γ(x + 1) = xΓ(x) .

Insbesondere ist Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Uneigentliche Integrale Gamma-Funktion 57-1

Mit Hilfe der Funktionalgleichung lasst sich die Gamma-Funktion auch furnegative Argumente definieren. Wie aus dem abgebildetenFunktionengraphen ersichtlich ist, besitzt sie einfache Pole furx = 0,−1, . . ..Alternativ liefert die Gaußsche Definition der Gamma-Funktion,

Γ(x) = limn→∞

n!nx

x(x + 1) · · · (x + n),

eine Darstellung auf ganz R \ Z−.

Uneigentliche Integrale Gamma-Funktion 57-2

Beweis:

(i) Existenz des Integrals:

Konvergenz von∫ 1

0 f nach dem Vergleichskriterium (x > 0)

f (x) = tx−1e−t ≤ tx−1

Konvergenz von∫∞

1 f ebenfalls nach dem Vergleichskriterium

f (x) ≤ t−2 ⇔ tx+1 ≤ et

erfullt fur t ≥ n! mit n ≥ x + 2Begrundung mit Reihendarstellung der Exponentialfunktion:

tx+1 ≤ tn−1 ≤ tn/n! ≤ et

Uneigentliche Integrale Gamma-Funktion 58-1

(ii) Funktionalgleichung:partielle Integration

Γ(x + 1) =

∫ ∞0

txe−t dt =[−txe−t

]∞0

+

∫ ∞0

xtx−1e−t dt

= 0 + x

∫ ∞0

tx−1e−t dt = xΓ(x)

Γ(1) =∫∞

0 e−t dt = [−e−t ]∞0 = 1 =⇒

Γ(n + 1) = n!, n ∈ N

Uneigentliche Integrale Gamma-Funktion 58-2