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Integração Numérica- continuação

McGraw-Hill

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Cambridge University Press

Prentice-Hall

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Euler explícito:

Métodos Explícitos em Dinâmica:. O equilíbrio no instante t usa-se para calcular o deslocamento em t+Δt

Instabilidade Numérica

. Sempre que o erro local de round –off se propaga e cresce.

como se mostrou na lição anterior.

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2ª ordem

4ª ordem

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Derivando (2) e substituindo em (4-a, b, c):

Abordagem construtiva de métodos de integração

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Fazendo:

i.e.

e, conhecido o operador de aproximação C, B e dgn/dt, a solução em tn+1 obtem-se da solução em tn

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...

Pode escrever-se, para oscilações livres,

Sendo o vector inicial “limitado”, para que un o seja, pretende-se que C e Cn o sejam também.

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Por conveniência, considere-se g(t)=0 , i.e. un+1= C un

e veja-se que

i.e.

un+1= C un

un+1- un= C un – un

(un+1- un) / Δt = (C – I) un / Δt

du C IA u com A lim quando t 0dt t

−⎡ ⎤= = Δ →⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

n 1 n n (6)u Cu g(t )+ = +

Defina-se, agora, o operador A, útil para a exposição que se segue

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Noção de operador consistente

Teorema de Lax e Richtmayer: o método de integração apresentado é convergente se o operador C for consistente e estável.

Questão: o que significa “consistente”?

(un+1- un) / Δt = (C – I) un / Δt

du C IA u com A lim quando t 0dt t

−⎡ ⎤= = Δ →⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

n 1 nu Cu+ =

O operador C é consistente se o operador A, definido pelo limite acima para Δt tendendo para zero, for exacto, i.e. verificar du/dt= A u

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Exemplo de Consistência

E duas identidades :

aceleração=aceleração e velocidade= velocidade

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CONCEITO DE ESTABILIDADE

Viu-se que:

O operador aproximação C, à potência n, tem que se manter limitado quando Δt tende para zero e n tende para infinito para que o processo conduza a valores finitos

Partindo do vector inicial tem-se:

Da ALGA sabe diagonalizar-se C através da transformação

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Obtem-se

com

i.e. se os valores próprios de C forem de módulo <= 1

e equação quadrática:

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Em polares:

Prosseguindo, pode provar-se que:

para

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Métodos de Newmark

Retome-se (4) que foi usada assim para que dela emanem vários métodos.

Substituindo (4-a) nas duas seguintes, obtem-se:

que é o método de Newmark generalizado. Com r1=r2=r3=1 tem-se o método de Newmark

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Oscilação Simples

r2=2

r2=4

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Exemplo de amortecimento numérico no livro de texto de Anik Chopra

PE = period elongation; AD= amplitude decay

Para que o erro seja pequeno, não basta assegurar estabilidade.

Δt/T deve ser, em geral, muito menor do que o limite imposto por estabilidade

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Método das Diferenças Centrais – Chopra, Cap. 5

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Nota importante:

Obs. - Exercícios resolvidos no texto

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Variantes de Newmark in Chopra

Leia, interprete e aplique, se necessário:

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Formulação para problemas não lineares

mu cu f (s)u p(t)+ + =&& &

Escrevendo

Permite-se incluir na 3ª parcela comportamento material não linear.

Sendo:

i i s i i

s i i sec i

obtem sem u c u ( f ) p

Se usar o mo´dulo secante ( f ) (k ) u

−Δ + Δ + Δ = Δ

Δ = Δ

&& &

Como os valores em t+Δt não são conhecidos, pode tentar-se usar o módulo tangente em t, kt

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i i i i im u c u k u pΔ + Δ + Δ = Δ&& &

Usando ki para módulo tangente em ti, fica:

com aspecto similar ao de sistemas lineares para que se recomendou o método de Newmark.

Há 2 erros adicionais:- O módulo tangente;- A detecção do ponto em que se inicia a descarga

Este erro diminui se se usar Δt menor, e.g. Δt/5, e se iterar atéa velocidade ser, dentro de critério estabelecido, “nula”.

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A formulação do método de integração com r1, r2 e r3 foi feita,mas retome-se o processo com a notação de Chopra, no caso linear

observando

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No caso não linear tem-se

E usa-se um método iterativo para resolver o problema do modo esquematizado na figura (ver os livros de texto para detalhes)

O procedimento, na exposição do texto de Chopra, pg. 179, mostra-se tabelado no slide seguinte.

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Termina-se aqui esta rápida incursão nos métodos computacionais.O comportamento não linear prevalece na resposta dinâmica e osfuturos engenheiros têm que deter conhecimentos que lhes permitamabordar estas questões e aprofundar conhecimentos se deles vierema ter necessidade.

Recorda-se que a compreensão de aspectos básicos exige compreensãode dissipação de energia e de espaços de fase, sendo os slides seguintesreferência complementar a esses temas.

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Apêndices referentes a aulas anteriores

Do texto de Anik Chopra

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Energia em sistema com amortecimento viscoso

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Espaço de fase

Rubens Sampaio – PUC RJ

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Recordar:

Reescrever:

Diagrama de Fase

2 4= −D I R

0=D amortecimento crítico

A D=0 corresponde uma parábola no plano de amortecimento versus rigidez da figura seguinte

22 4 0 4 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c kI R oum m

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R=0.25 I2I

R

k>0

c>0

1º Quadrante

Acima da parábola tem duas raízes reais, portanto sobreamortedcidos.

Abaixo da parábola estão os sub-amortecidos, assintoticamente estáveis.

No eixo OR é c=0, sistemas conservativos, estáveis.

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Métodos explícitos e implícitos