Interaktionseffekte von Dummy- und zentrierten Variablen · Dr. Wolfgang Langer - Integrierte...
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6.1.2 Die Interaktionseffekte von Dummy- und zentrierten metrischen Variablen
Bei der Zentrierung handelt es sich um eine lineare Transformation des exogenen metrischenMerkmals, die den geschätzten Steigungskoeffizienten im Haupteffekteffektmodell nichtbeeinflusst. Sie wirkt sich lediglich auf die Definition der Regressionskonstanten aus. Letzteerfasst nunmehr den Erwartungswert der Kriteriumsvariablen für diejenige Gruppe, die nunmehrden Nullpunkt des zentrierten metrischen Prädiktors darstellt. Ziehen wir beispielsweise vomAlter des Befragten das Mindestalter von 18 Jahren ab, so erfasst die Regressionskonstantenunmehr den Erwartungswert der Ausländerfeindlichkeit der 18-jährigen. Erfolgt hingegen dieZentrierung am Durchschnittsalter, so bildet die Regressionskonstante den Erwartungswertdieser speziellen Altersgruppe ab. Für die Schätzung unseres Kovarianzmodell mit den Inter-aktionseffekten zentrieren wir zunächst das Lebensalter der Befragten am Mindestalter von 18Jahren. Hierfür benötigen wir im Menü „Transformieren - Berechnen” die folgenden Einträge:
SPSSfWin-Menü: Transformieren - Berechnen...
Alternativ hierzu können wir mit Hilfe des COMPUTE-Befehls der SPSS-Syntax diese Daten-transformation direkt durchführen:
Anschließend bilden wir die beiden Hilfsvariablen für den jeweiligen Interaktionseffekt zwi-schen POSTMAT bzw. MATERIAL und dem zentrierten Lebensalter. Dies geschieht entwederüber das „Transformieren - Berechnen”- Menü oder mit Hilfe der Befehlssprache von SPSS.
compute v247c18=v247-18.var labels v247c18 'um Mindestalter 18 zentriertes Lebensalter'.execute.
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SPSSfWin-Menü: Transformieren - Berechnen...
Alternativ hierzu bilden wir die Hilfevariablen mit zwei COMPUTE-Befehlen:
Mit Hilfe der Einschlussmethode von SPSS schätzen wir im ersten Schritt zunächst ein linear-
compute matc247=material*v247c18.compute postc247=postmat*v247c18.execute.
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additives Haupteffektmodell, welches wir anschließend im zweiten Schritt um die beidenInteraktionseffekte zwischen den Wertorientierungstypen POSTMAT bzw. MATERIAL unddem zentrierten Lebensalter erweitern.
SPSSfWin-Menü: Analysieren - Regression - Linear...
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Im „Statistiken...”- Untermenü fordern wir zusätzlich die deskriptiven Maße der untersuchtenVariablen, die Veränderung des Determinationskoeffizienten R2 sowie den zugehörigen partiel-len F-Test an.
SPSSfWin-Untermenü: Lineare Regression - Statistiken
Für die graphische Darstellung benötigen wir die unstandardisierten geschätzten Werte derKriteriumsvariablen des zweiten Regressionsmodells. Wir fordern sie über das Untermenü„Speichern ...” an.
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Alternativ hierzu spezifizieren wir das Haupteffekt- und Interaktionseffektmodell mit Hilfe desREGRESSION-Befehls von SPSS. Mit Hilfe der hinter der „/SAVE PRED”-Option in Klam-mern angegebenen Variablen vereinbaren wir einen Namen für die neu zu bildende Variable,welche die geschätzten Werte der Kriteriumsvariablen enthalten soll. In unserem Fall nennenwir sie PYMI1.
Für die Befragten in den alten Bundesländern, deren Ablehnung von Ausländern im Allgemei-nen erhoben wurde erhalten wir die folgenden deskriptiven Statistiken und Interkorrelationen:
Deskriptive Statistiken
13,3834 5,8075 1072
28,1147 16,9803 1072
,2285 ,4201 1072
,1567 ,3637 1072
5,3172 11,9621 1072
5,7351 15,0523 1072
SummenindexAusländerfeindlichkeit
um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
Postmaterialist vs.andere
Materialist vs. andere
POSTC247
MATC247
MittelwertStandardabweichung N
Durch die Zentrierung vermindert sich der Mittelwert der zentrierten Altersvariablen um 18Einheiten, ohne dass hierdurch die Varianz der Altersvariablen verändert wird.
REGRESSION /MISSING LISTWISE /DESCRIPTIVES=DEFAULT /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA CHA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT xenophob /METHOD=ENTER v247c18 postmat material /METHOD=ENTER postc247 matc247 /SAVE PRED (PYMI1).
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Modellzusammenfassungc
,421a ,177 ,175 5,2743 ,177 76,821 3 1068 ,000
,425b ,181 ,177 5,2693 ,003 2,022 2 1066 ,133
Modell1
2
R R-QuadratKorrigiertesR-Quadrat
Standardfehler desSchätzers
Änderung inR-Quadrat Änderung in F df1 df2
Änderung inSignifikanz
von F
Änderungsstatistiken
Einflußvariablen : (Konstante), Materialist vs. andere, um Mindestalter 18 zentriertes Lebensalter, Postmaterialist vs. anderea.
Einflußvariablen : (Konstante), Materialist vs. andere, um Mindestalter 18 zentriertes Lebensalter, Postmaterialist vs. andere,POSTC247, MATC247
b.
Abhängige Variable: Summenindex Ausländerfeindlichkeitc.
Korrelationen nach Pearson
1,000 ,328 -,302 ,190 -,181 ,198
,328 1,000 -,156 ,215 ,107 ,384
-,302 -,156 1,000 -,235 ,817 -,207
,190 ,215 -,235 1,000 -,192 ,884
-,181 ,107 ,817 -,192 1,000 -,170
,198 ,384 -,207 ,884 -,170 1,000
SummenindexAusländerfeindlichkeit
um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
Postmaterialist vs.andere
Materialist vs. andere
POSTC247
MATC247
Summenindex
Ausländerfeindlichkeit
umMindestalter
18 zentriertesLebensalter
Postmaterialist vs. andere
Materialistvs. andere POSTC247 MATC247
Wie zu erwarten gewesen ist, korrelieren die für die Interaktionsterme gebildeten HilfsvariablenPOSTC247 und MATC247 mit den beiden Dummyvariablen der Wertorientierung POSTMATund MATERIAL mit jeweils einem Koeffizienten von über +0,80. Hingegen korrelieren sie mitdem zentrierten Lebensalter nur in geringem Maße, wie die Koeffizienten von +0,107 bzw.+0,384 zeigen.
Die folgende Übersichtstabelle fasst die Anpassungsmaße der beiden geschätzten Regressions-modelle zusammen:
Das Haupteffektmodell erklärt rd. 17,7 % der Varianz der geäußerten Ausländerfeindlichkeit,wobei der zugehörige partielle F-Wert (Änderung in F) von 76,821 bei 3 bzw. 1068 zeigt, dassdas Modell mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als 1 Promille auch für die Grund-gesamtheit gilt. Durch die zusätzliche Berücksichtigung der beiden Interaktionsvariablen erhöhtsich die Varianzaufklärung des zweiten Regressionsmodells um 0,3 %. Wie wir am zugehörigenpartiellen F-Wert von 2,022 bei 2 bzw. 1066 Freiheitsgraden ablesen können, ist dieser Informa-tionsgewinn in der Grundgesamtheit Alte Bundesländer 1994 nicht signifikant von Null ver-schieden. Die zugehörige Nullhypothese besagt, dass die Steigungskoeffizienten der beidenHilfsvariablen in der Grundgesamtheit jeweils Null sind. Wir müssen sie beibehalten, da die
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zugehörige Irrtumswahrscheinlichkeit von 13,3 % die übliche 5-´%-Schwelle deutlich über-schreitet. Da das zweite Regressionsmodell einen signifikanten globalen F-Wert von 46,989 bei5 bzw. 1066 Freiheitsgraden hat, können wir den Stichprobenbefund auf die Grundgesamtheitverallgemeinern. Die zugehörige Nullhypothese, dass sämtliche Steigungskoeffizienten in derGrundgesamtheit Null sind, verwerfen wir mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als1 Promille.Wir erhalten für das Haupteffekt- und Interaktionseffektmodell die folgenden globalen F-Tests:
ANOVAc
6411,156 3 2137,052 76,821 ,000a
29710,269 1068 27,819
36121,424 1071
6523,412 5 1304,682 46,989 ,000b
29598,012 1066 27,765
36121,424 1071
Regression
Residuen
Gesamt
Regression
Residuen
Gesamt
Modell1
2
Quadratsumme df
Mittel derQuadrate F Signifikanz
Einflußvariablen : (Konstante), Materialist vs. andere, um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter, Postmaterialist vs. andere
a.
Einflußvariablen : (Konstante), Materialist vs. andere, um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter, Postmaterialist vs. andere, POSTC247, MATC247
b.
Abhängige Variable: Summenindex Ausländerfeindlichkeitc.
Für die beiden geschätzten Modelle hat SPSS die folgenden Regressionskoeffizienten berechnet:
Koeffizientena
11,322 ,340 33,258 ,000
,094 ,010 ,275 9,609 ,000
-3,349 ,397 -,242 -8,434 ,000
1,180 ,464 ,074 2,542 ,011
11,017 ,396 27,846 ,000
,105 ,012 ,307 8,614 ,000
-3,099 ,752 -,224 -4,123 ,000
2,989 1,012 ,187 2,953 ,003
-,009 ,026 -,018 -,328 ,743
-,052 ,026 -,135 -2,008 ,045
(Konstante)
um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
Postmaterialist vs.andere
Materialist vs. andere
(Konstante)
um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
Postmaterialist vs.andere
Materialist vs. andere
POSTC247
MATC247
Modell1
2
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: Summenindex Ausländerfeindlichkeita.
Betrachten wir zunächst die geschätzten Regressionskoeffizienten des Haupteffektmodells:
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Haupteffektmodell mit zentrierter�Altersvariable:
XENOPHOB � a � b1�V247C18 � b2�POSTMAT � b3�MATERIAL � ei
Bedeutung der Regressionparameter:
a � E (Y |V247C18�0 � POSTMAT�0 � MATERIAL�0)
� E (Y |V247�18 � MISCHTYP�1) � 11,322
b1 � E (�Y |�V247C18��1) � �0,094
b2 � E (�Y |�POSTMAT��1) � �3,349
b3 � E (�Y |�MATERIAL��1) � �1,180
Prognosegleichung des Haupteffektmodells:
Y � 11,322 � 0,094�V247C18 � 3,349�POSTMAT � 1,180�MATERIAL
Kurzinterpretation des Haupteffektmodells
Die im Haupteffektmodell enthaltenen exogenen Merkmale erklären rd. 17,7 % der Varianz dergeäußerten Ausländerfeindlichkeit. Wie dem F-Wert von 76,82 bei 3 bzw. 1068 Freiheitsgradenzu entnehmen ist, erweist sich dieser Erklärungsbeitrag als statistisch signifikant. Wir könnenden Stichprobenbefund mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als einem Promille aufdie Grundgesamtheit der Wohnbevölkerung der Alten Bundesländer 1994 verallgemeinern.
Für die18-jährigen Befragten, die sich zum Mischtyp bekennen, erwarten wir bei der geäußertenAusländerfeindlichkeit einen Skalenwert von 11,322 Punkten im Durchschnitt. Wie dem T-Wertvon 33,26 zu entnehmen ist, erweist sich dieser Effekt als statistisch signifikant. Mit einerIrrtumswahrscheinlichkeit von weniger als einem Promille können wir ihn auf die Grund-gesamtheit verallgemeinern. Unter Kontrolle der Altersunterschiede äußern sich Postmaterialis-ten im Durchschnitt um 3,349 Skalenpunkt weniger ausländerfeindlich als die Angehörigen desMischtyps. Dieser Gruppenunterschied erweist sich ebenfalls als statistisch signifikant, wie demzugehörigen T-Wert von Betrag 8,43 zu entnehmen ist. Hingegen äußern sich die Materialistenim Durchschnitt um 1,180 Skalenpunkte ausländerfeindlicher als gleichaltrige Mischtypen.Dieser Gruppenunterschied ist ebenfalls statistisch signifikant, wie der T-Wert von 2,54 belegt.
Das Ergebnis der Schätzung stellen wir erneut als zweidimensionales Streudiagramm dar, wobeiauf der X-Achse die zentrierte Altersvariable und auf der Y-Achse die geschätzten Werte fürXENOPHOB abbilden.
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Abbildung 1: Regression von XENOPHOB auf die Werttypen und das umdas Mindestalter zentrierte Lebensalter. (R2 = 17,7 %)
Im Regressionsmodell mit Wechselwirkungstermen ändert sich die Interpretation der in sieeingehenden Haupteffekte. Bei ihnen handelt es sich nunmehr um konditionale Regressions-koeffizienten, die jeweils den Einfluss des betrachten exogenen Merkmals auf die Kriteriums-variable unter der Bedingung erfassen, dass die anderen Haupteffektvariablen jeweils Null sind.Durch die Zentrierung des metrischen Merkmals Lebensalter am Mindestalter erreichen wir,dass die bedingten Haupteffekte der Dummyvariablen POSTMAT und MATERIAL nicht dieAbweichung ihrer Wertgruppen vom Mischtyp im „Säuglingsalter” sondern im Alter von 18Jahren erfassen. Mit Hilfe des zum unstandardisierten Steigungskoeffizienten gehörenden T-Tests, überprüfen wir, ob die geschätzten Gruppenunterschiede der Befragten dieser Alters-gruppe statistisch signifikant sind. Der Steigungskoeffizient der zentrierten Altersvariablenerfasst unmittelbar den Alterseffekt der Mischtypen auf die geäußerte Ausländerfeindlichkeit.Für die Bestimmung der Alterseffekte in den Gruppen der Postmaterialisten und Materialistenbenötigen wir neben den Prognosegleichungen die zugehörigen partiellen Ableitungen:
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Regressionsmodell mit den Interaktionseffekten von POSTMAT bzw.MATERIAL und der zentrierten�Altersvariablen:
XENOPHOB � a � b1�V247C18 � b2�POSTMAT � b3�MATERIAL� b4� (POSTMAT�V247C18) � b5� (MATERIAL�V247C18) � ei
Bedeutung der Regressionsparameter:
Bedingte Haupteffekte:
a � E (Y |V247C18�0 � POSTMAT�0 � MATERIAL�0)
� E (Y |V247�18 � MISCHTYP�1) � 11,017
b1 � E (�Y |�V247C18��1 � POSTMAT�0 � MATERIAL�0) � �0,105
b2 � E (�Y |�POSTMAT��1 � V247C18�0 � MATERIAL�0) � �3,099
b3 � E (�Y |�MATERIAL��1 � V247C18�0 � POSTMAT�0) � �2,989
Interaktionseffekte:
b4 � E (��Y |�POSTMAT��1 � �V247C18��1) � �0,009
b5 � E (��Y |�MATERIAL��1 � �V247C18��1) � �0,052
Prognosegleichung des Regressionsmodell mit Interaktionseffekten:
Y � 11,017 � 0,105�V247C18 � 3,099�POSTMAT � 2,989�MATERIAL
� 0,009� (POSTMAT�V247C18 ) � 0,052� (MATERIAL�V247C18 )
Wir bestimmen die konditionalen Altereffekte der Wertorientierungsgruppen zunächst mit Hilfeihrer Prognosegleichungen:
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Modellgleichungen für die Berechnung der konditionalen Alterseffekte:
Mischtyp: YMischtyp � a � b1�V247C18 � 11,017 � 0,105�V247C18
Postmaterialisten:YPostmat � a � b1�V247C18 � b2�POSTMAT � b4�(POSTMAT�V247C18)
� 11,017 � 0,105�V247C18 � 3,099�1 � 0,009�(POSTMAT�V247C18)
� 7,918 � 0,105�V247C18 � 0,009�(1�V247C18)
� 7,918 � (0,105 � 0,009)�V247C18 � 7,918 � 0,096�V247C18
Materialisten:YMaterial � a � b1�V247C18 � b3�MATERIAL � b5�(MATERIAL�V247C18)
� 11,017 � 0,105�V247C18 � 2,989�1 � 0,052�(MATERIAL�V247C18)
� 14,006 � 0,105�V247C18 � 0,052�(1�V247C18)
� 14,006 � (0,105 � 0,052)�V247C18 � 14,006 � 0,053�V247C18
Während wir beim Mischtyp eine Zunahme der geäußerten Ausländerfeindlichkeit pro Lebens-jahr um 0,105 Punkte im Durchschnitt erwarten, fällt der Alterseffekt bei den Materialisten miteiner geschätzten durchschnittlichen Zunahme von 0,054 Punkten nur halb so groß aus wie beimMischtyp aus. Der Alterseffekt der Postmaterialisten unterscheidet sich mit einer geschätztenZunahme von 0,096 Punkten nicht signifikant vom Alterseffekt des Mischtyps, wie demzugehörigen T-Wert von 0,74 zu entnehmen ist. Hingegen erweist sich die Abweichung desAlterseffekts der Materialisten von demjenigen des Mischtyps als statistisch signifikant, wie derT-Wert von Betrag 2,008 belegt.
Da sich der Interaktionseffekt zweier Prädiktoren in ihrer gemeinsamen Wirkung auf dieKriteriumsvariable in beide Richtungen interpretieren lässt, haben wir als nächsten Schritt dieAltersabhängigkeit der geschätzten Gruppenunterschiede zwischen den Postmaterialisten bzw.Materialisten und dem Mischtyp zu bestimmen. Hierfür betrachten wir zunächst die Alters-graden der drei betrachteten Wertorientierungstypen im zweidimensionalen Streudiagramm:
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Abbildung 2: Regression von XENOPHOB auf die Werttypen, das zentrierteAlter und ihre Interaktionsterme
In Abbildung 2 zeichnet sich deutlich ab, daß mit zunehmenden Alter der geschätzte Gruppen-unterschied zwischen den Materialisten und dem Mischtyp im Hinblick auf ihre geäußerteAusländerfeindlichkeit deutlich abnimmt. Hingegen nimmt der Gruppenunterschied zwischenden Postmaterialisten und dem Mischtyp mit zunehmenden Alter leicht zu. Das exakte Ausmaßdieser Alterabhängigkeit der Gruppenunterschiede bestimmen wir mit Hilfe der partiellenAbleitungen unserer Regressionsgleichung:
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Berechnung der Altersabhängigkeit der Gruppenunterschiede mit Hilfeder partiellen Ableitungen nach POSTMAT und MATERIAL:
Regressionsgleichung:
XENOPHOB � a � b1�V247C18� b2�POSTMAT � b3�MATERIAL� b4�(POSTMAT�V247C18 ) � b5�(MATERIAL�V247C18 )
Partielle Ableitung nach POSTMAT:
�XENOPHOB�POSTMAT
� b2 � b4�V247C18 � �3,099 � (�0,009�V247C18 )
� �3,099 � 0,009�V247C18
Partielle Ableitung nach MATERIAL:
�XENOPHOB�MATERIAL
� b3 � b5�V247C18 � �2,989 � (�0,052�V247C18 )
� �2,989 � 0,052�V247C18
Berechnung der konditionalen Alterseffekte mit Hilfe partieller Ableitungen:
Alterseffekt der Postmaterialisten:
�XENOPHOB�V247C18 |POSTMAT
� b1 � b4�POSTMAT � �0,105 � 0,009 � �0,096
Alterseffekt der Materialisten:
�XENOPHOB�V247C18 |MATERIAL
� b1 � b5�MATERIAL � �0,105 � 0,052 � �0,053
Alterseffekt des Mischtyps:
�XENOPHOB�V247C18 |MISCHTYP
� b1 � �0,105
Für die befragten 18-jährigen beträgt der geschätzte Gruppenunterschied zwischen den Postma-terialisten und dem Mischtyp bei der geäußerten Ausländerfeindlichkeit rd. -3,099 Punkte. Mitjedem Jahr, dass die Befragten älter werden, nimmt die geschätzte Abweichung der Postmateria-listen zusätzlich um 0,009 Punkte zu. Dieser Effekt erweist sich aber nicht als statistischsignifikant, wie dem T-Wert von Betrag 0,328 zu entnehmen ist.Für die 18-jährigen Befragten beträgt der geschätzte Gruppenunterschied zwischen den Materia-listen und dem Mischtyp rd. +2,989 Punkte auf unserem Index der geäußerten Ausländer-feindlichkeit. Mit jedem Jahr, das die Befragten älter werden, nimmt der geschätzte Gruppen-unterschied im Durchschnitt um 0,052 Punkt ab. Dieser Interaktionseffekt ist auf dem üblichen
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5-%-Niveau statistisch signifikant, wie der T-Wert belegt.
In welchem Alter unterscheiden sich die Materialisten vom Mischtyp nicht mehr im Hinblickauf ihre Ausländerfeindlichkeit ?
Wir ermitteln das Indifferenzalter zwischen beiden Gruppen, indem wir die zu MATERIALgehörende partielle Ableitung mit Null gleichsetzen und nach V247C18 auflösen. Da wir dasAlter zuvor um das Mindestalter von 18 Jahren zentriert haben, addieren wir 18 Jahre zumermittelten Ergebnis hinzu.
Berechnung der Indifferenzalters von Materialisten und Mischtyp:
0 � �2,989 � 0,052�V247C18
V247C18 �2,9890,052
� 57,48
V247 � V27C18�18 � 57,48 � 18 � 75,48 Dezimaljahre
Im Alter von rd. 75,5 Dezimaljahren unterscheiden sich im Hinblick auf ihre Ausländerfeind-lichkeit die Angehörigen des Materialismus und des Mischtyps nicht mehr voneinander.
Mit Hilfe der partiellen Ableitung des Alterseffektes für die einzelnen Gruppen der Wert-orientierung erhalten wir dieselben konditionalen Steigungskoeffizienten, wie wir sie bereitszuvor mit Hilfe der Einsetzmethode berechnet haben.
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6.2.2 Der Interaktionseffekt zweier zentrierter metrischer Prädiktoren
Wir haben alternativ zur Inglehart Typologie die politische Orientierung der Befragten mit Hilfeder 10-stufigen Links-Rechts-Selbsteinstufung gemessen, wobei den Skalenenden „1" Linksund „10" Rechts entsprechen. Um die Wechselwirkung zwischen dem Lebensalter und derpolitischen Orientierung in ihrer Wirkung auf die Ausländerfeindlichkeit zu überprüfen, zen-trieren wir zunächst die Links-Rechts-Selbsteinstufung an ihrem Minimalwert von 1. An-schließend bilden wir die zugehörige Hilfsvariable für den Interaktionseffekt zwischen demzentrierten Lebensalter (V247C18) und der zentrierten Links-Rechts-Selbsteinstufung(V123C1). Wir schätzen zunächst ein reines Haupteffektmodell, das wir anschließend um denInteraktionseffekt der beiden exogenen Merkmale erweitern. Letzterem entspricht das folgendePfadmodell, das die erwarteten Effektrichtungen bereits beinhaltet.
INTERAKTION vonALTER und LR-SELBST
(V123C1*V247C18)
ALTER (V247C18)
LINKS-RECHTS- SELBSTEIN-STUFUNG (V123C1)
e
XENOPHOB
+
+
-
Abbildung3: Regression von XENOPHOB auf die zentrierten Prädiktoren Lebensalter undLinks-Rechts-Selbsteinstufung sowie ihren Interaktionseffekt
Für die Substichprobe der Befragten aus den Alten Bundesländern 1994, deren Vorurteilegegenüber Ausländern insgesamt erhoben worden sind, berechnen wir zunächst die zentrierteLinks-Rechts-Selbsteinstufung, indem wir im SPSS-Menü „Transformieren - Berechnen” diefolgenden Angaben eintragen:
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SPSSfWin-Menü: Transformieren - Berechnen...
Im Untermenü „Typ und Label...” tragen wir das folgende Variablenetikett ein:
SPSSfWin-Untermenü: Variable berechnen - Typ und Label...
Alternativ zu Menüführung zentrieren wir die Links-Rechts-Selbsteinstufung mit Hilfe desCOMPUTE-Befehls im SPSS-Syntaxeditor:
Für die Schätzung unseres Regressionsmodells mit Interaktionseffekt benötigen wir noch diezugehörige Hilfsvariable C123C247, die wir durch die Multiplikation der beiden zentriertenexogenen Merkmale Lebensalter und Links-Rechts-Selbsteinstufung bilden.
compute v123c1=v123-1.var labels v123c1 'L-R-Selbst.Wert 1 zentriert'.execute.
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SPSSfWin-Menü: Transformieren - Berechnen...
Alternativ zu Menüführung bilden wir die Hilfsvariable C123C247 mit Hilfe des COMPUTE-Befehls im Syntaxfenster:
Für die Schätzung der Regressionsmodelle mit Haupt- und Interaktionseffekten nehmen wir imSPSSfWin-Menü „Regression - Linear...” die folgenden Eintragungen vor. Nach der Auswahlder abhängigen Variablen XENOPHOB tragen wir im ersten Block der exogenen MerkmaleV247C18 und V123C1 ein. Der zweite Block enthält als zusätzlichen Prädiktor die für denInteraktionseffekt gebildete Hilfsvariable C123C247. Im Untermenü „Statistiken...” wählen wirals zusätzliche Optionen die „Deskriptiven Statistiken” und die „Änderung in R-Quadrat” aus.Letztere berechnet uns die Differenz der Determinationskoeffizienten zwischen demInteraktions- und Haupteffektmodell sowie den zugehörigen partiellen F-Test. Mit Hilfe derdeskriptiven Statistiken überprüfen wir das Ausmaß der Multikollinearität zwischen der durchMultiplikation gebildeten Hilfsvariablen und den beiden exogene Merkmalen Lebensalter undLinks-Rechts-Selbsteinstung. Im Untermenü „Speichern...” fordern wir SPSS auf, die ge-schätzten unstandardisierten Werte der Kriteriumvariablen in der Arbeitsdatei extern zu spei-chern.
compute c123c247=v247c18*v123c1.execute.
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SPSSfWin-Menü: Analysieren - Regression - Lineare ...
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SPSSfWin-Untermenü: Statistiken....
SPSSfWin-Untermenü: Speichern...
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Alternativ zur Menüführung geben wir im Syntaxeditor den folgenden „Regression”-Befehl ein,wobei wir SPSS mit Hilfe der „/SAVE”-Option auffordern, die geschätzten unstandardisiertenWerte von XENOPHOB in der neu zu bildenden Variablen PYMI2 zu speichern. Um dieKorrelationstabelle nicht zu groß werden zu lassen, verzichten wir auf die Angaben ihrerSignifikanzen und Fallzahlen. Dies erreichen wir, indem wir die Angaben „SIG” und „N” ausder „/DESCRIPTIVES”-Option löschen.
Wir erhalten die folgenden Tabellen für die deskriptiven Statistiken und Korrelationen:
Deskriptive Statistiken
13,3451 5,7551 1081
28,1277 16,9977 1081
4,2266 1,6582 1081
122,5809 97,1197 1081
SummenindexAusländerfeindlichkeit
um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
L-R-Selbst.Wert 1zentriert
C123C247
MittelwertStandardabweichung N
Korrelationen nach Pearson
1,000 ,325 ,209 ,329
,325 1,000 ,131 ,818
,209 ,131 1,000 ,600
,329 ,818 ,600 1,000
SummenindexAusländerfeindlichkeit
um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
L-R-Selbst.Wert 1zentriert
C123C247
Summenindex
Ausländerfeindlichkeit
umMindestalter
18 zentriertesLebensalter
L-R-Selbst.Wert 1
zentriert C123C247
Die von uns gebildet Hilfsvariable C123C247 korreliert mit ihren Urspungsvariablen V247C18und V123C1 mit einem Koeffizienten von +0,818 bzw. +0,600. Damit liegt zwar ein hohesMaß an Multikollinearität vor, das aber nicht automatisch die Kleinste-Quadrate-Schätzer
REGRESSION /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA CHANGE /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT xenophob /METHOD=ENTER v247c18 v123c1 /METHOD=ENTER c123c247 /SAVE PRED (PYMI2) .
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verzerren muß, wie Maddala (1992) gezeigt hat. Für die beiden Regressionsmodelle erhalten wirdie folgenden Angaben zur Modellanpassung:
Modellzusammenfassungc
,366a ,134 ,132 5,3610 ,134 83,310 2 1078 ,000
,372b ,139 ,136 5,3484 ,005 6,074 1 1077 ,014
Modell1
2
R R-QuadratKorrigiertesR-Quadrat
Standardfehler desSchätzers
Änderung inR-Quadrat
Änderungin F df1 df2
Änderung inSignifikanz
von F
Änderungsstatistiken
Einflußvariablen : (Konstante), L-R-Selbst.Wert 1 zentriert, um Mindestalter 18 zentriertes Lebensaltera.
Einflußvariablen : (Konstante), L-R-Selbst.Wert 1 zentriert, um Mindestalter 18 zentriertes Lebensalter,C123C247
b.
Abhängige Variable: Summenindex Ausländerfeindlichkeitc.
ANOVAc
4788,640 2 2394,320 83,310 ,000a
30981,656 1078 28,740
35770,296 1080
4962,379 3 1654,126 57,826 ,000b
30807,917 1077 28,605
35770,296 1080
Regression
Residuen
Gesamt
Regression
Residuen
Gesamt
Modell1
2
Quadratsumme df
Mittel derQuadrate F Signifikanz
Einflußvariablen : (Konstante), L-R-Selbst.Wert 1 zentriert, um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
a.
Einflußvariablen : (Konstante), L-R-Selbst.Wert 1 zentriert, um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter, C123C247
b.
Abhängige Variable: Summenindex Ausländerfeindlichkeitc.
Für die Haupt- und Interaktionseffektmodelle erhalten wir die folgenden Regressionskoeffizien-ten:
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Koeffizientena
7,981 ,497 16,070 ,000
,103 ,010 ,303 10,606 ,000
,586 ,099 ,169 5,902 ,000
6,227 ,867 7,181 ,000
,164 ,027 ,485 6,134 ,000
1,006 ,197 ,290 5,100 ,000
-,014 ,006 -,242 -2,464 ,014
(Konstante)
um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
L-R-Selbst.Wert 1zentriert
(Konstante)
um Mindestalter 18zentriertes Lebensalter
L-R-Selbst.Wert 1zentriert
C123C247
Modell1
2
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: Summenindex Ausländerfeindlichkeita.
Mit einem Anteil von 13,4 % erklärter Varianz weist unser Haupteffektmodell dieselbe An-passung auf wie dasjenige ohne eine vorherige Zentrierung der exogenen Merkmale Lebensalterund Links-Rechts-Selbsteinstufung. Wie wir dem globalen empirischen F-Wert von 83,31 bei 2bzw. 1078 Freiheitsgraden entnehmen, gilt der Stichprobenbefund mit einer Irrtumswahr-scheinlichkeit von weniger als einem Promille für die Grundgesamtheit Alte Bundesländer 1994.Bei der Interpretation der geschätzten Regressionskoeffizienten haben wir die Zentrierung derexogenen Merkmale zu berücksichtigen:
Haupteffektmodell mit Zentrierung von Alter (V247C18 ) undLinks�Rechts�Selbsteinstufung (V123C1 ) :
XENOPHOB � a � b1�V247C18 � b2�V123C1 � ei
Bedeutung der Regressionparameter:
a � E (Y |V247C18�0 � V123C1�0)
� E (Y |V247�18 � V123�1) � 7,981
b1 � E (�Y |�V247C18��1) � �0,103
b2 � E (�Y |�V123C1��1) � �0,586
Prognosegleichung des Haupteffektmodells:
Y � 7,981 � 0,103�V247C18 � 0,586�V123C1
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Für diejenigen Befragten, die sich im Alter von 18 Jahren als Links einstufen, erwarten wir imDurchschnitt einen Punktwert von 7,981 auf unserer Skala der Ausländerfeindlichkeit. Wie wirdem zugehörigen T-Test entnehmen, ist dieser Erwartungswert signifikant von Null verschieden.Unter Kontrolle der politischen Orientierung der Befragten erwarten wir eine durchschnittlicheZunahme der Ausländerfeindlichkeit um 0,103 Punkte, wenn die Befragten ein Jahr älterwerden. Dieser Effekt ist ebenfalls statistisch signifikant, wie der empirische T-Wert von 10,61belegt. Stufen sich die Befragten auf unserer Links-Rechts-Skala um einen Punktwert weiterRechts ein, so erwarten wir eine Zunahme ihrer Ausländerfeindlichkeit um 0,586 Punkte imDurchschnitt , wenn wir ihre Altersunterschiede gleichzeitig kontrollieren. Dieser Effekt erweistsich ebenfalls als statistisch signifikant, wie der T-Wert von 5,90 zeigt. Hinsichtlich ihrerrelativen Effektstärken zeigt sich, dass die Altersvariable im Sinne der Kohortenzugehörigkeitmit einem standardisierten Regressionskoeffizienten von +0,303 einen fast doppelt so großenEffekt wie die Links-Rechts-Selbsteinstufung (+0,169) ausübt. Die Effekte der beiden exogenenMerkmale lassen sich ebenfalls am folgenden dreidimensionalen Streudiagramm ablesen. Esstellt die vom Regressionsmodell geschätzten Werte der Ausländerfeindlichkeit in Abhängigkeitvon den beiden exogenen Merkmalen dar. Wir gehen hierbei von den Annahmen aus. Erstensentfalten die beiden exogenen Merkmale entfalten ihre Wirkung unabhängig voneinander auf dieAusländerfeindlichkeit. Zweitens addieren sich ihrer Einzelwirkungen im Sinne des linear-additiven Modells auf.
1080
^Y XENOPHOB
8
10
970
12
14
8
16
60
18
7
20
22
50 6
L-R-Selbst. um 1 zentriertAlter um 18 zentriert540 430 320 210 1
Abbildung4: GeschätzteWerte für XENOPHOB des Regressionsmodells mit denHaupteffekten von V247C18 und V123C1
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Um unsere Forschungshypothese zu überprüfen, dass sich die beiden exogenen MerkmaleLebensalter und Links-Rechts-Selbsteinstufung in ihrer Wirkung auf die geäußerte Ausländer-feindlichkeit wechselseitig mindern, haben wir unser Haupteffektmodell um die HilfsvariableC123C247 erweitert. Letztere erfasst die wechselseitige Verstärkung bzw. Minderung unsererbeiden Prädiktoren in ihrer gemeinsamen Wirkung auf die Kriteriumsvariable. Durch ihreEinbeziehung verbessert sich die Modellanpassung um 0,5 % auf 13,9 % Varianzaufklärung.Wie der partielle F-Test-Wert von 6,07 bei 1 bzw. 1077 Freiheitsgraden zeigt, ist der zusätzlicheErklärungsbeitrag des Interaktionseffekts mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1,4 %statistisch signifikant. Da die Haupteffekt der exogenen Merkmale im Regressionsmodell mitInteraktionstermen bedingte Effekte sind, betrachten wir zunächst ihre zugehörigen Erwartungs-werte.
Regressionsmodell mit dem Interaktionseffekt von V247C18 und V123C1
XENOPHOB � a � b1�V247C18 � b2�V123C1 � b3� (V247C18�V123C1 ) � ei
Bedeutung der Regressionsparameter:
Bedingte Haupteffekte:
a � E (Y |V247C18�0 � V123C1�0) � E (Y |V247�18 � V123�1) � 6,227
b1 � E (�Y |�V247C18��1 � V123C1�0) � �0,164
b2 � E (�Y |�V123C1��1 � V247C18�0) � �1,006
Interaktionseffekt:
b3 � E (��Y |�V247C18��1 � �V123C1��1) � �0,014
Prognosegleichung des Regressionsmodell mit Interaktionseffekt:
Y � 6,227 � 0,164�V247C18 � 1,006�V123C1 � 0,014� (V247C18�V123C1 )
Für unsere 18-jährigen Befragten, die sich auf unserer Skala der politischen Orientierung linksaußen positionieren, erwarten wir im Durchschnitt einen Skalenwert von 6,227 für ihre Aus-länderfeindlichkeit. Dieser Wert ist signifikant von Null verschieden, wie der zugehörige T-Wert von 7,18 zeigt. Pro Lebensjahr, das unsere „Linksextremen” älter werden, nimmt ihreAusländerfeindlichkeit im Durchschnitt um 0,164 Punkte zu. Dies entspricht einer Steigerungvon 1,64 Punkten innerhalb eines Jahrzehnts. Dieser bedingte Alterseffekt ist ebenfalls sta-tistisch signifikant, wie der T-Wert von 6,13 belegt. Stufen sich unsere 18-jährigen Befragtenauf dem Links-Rechts-Skalometer um einen Punktwert weiter rechts ein, so nimmt ihre Aus-länderfeindlichkeit im Durchschnitt um 1,006 Punkte zu. Wechseln die 18-jährigen vom links-ins rechtsextreme Lager, so erhöht sich ihre Ausländerfeindlichkeit um 9,054 Punkte. Dieserkohortenspezifische Effekt der politischen Orientierung erweist sich ebenfalls als statistischsignifikant, wie der zugehörige T-Wert von 5,10 belegt. Der Steigungskoeffizient b3 für dieInteraktion zwischen der Kohortenzugehörigkeit und der Links-Rechts-Selbsteinstufung weist
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ein negatives Vorzeichen auf. Aus inhaltlicher Sicht bedeutet dies, dass sich beide exogenenMerkmale in ihrer gemeinsamen Wirkung auf die Ausländerfeindlichkeit wechselseitig mindernbzw. abschwächen. Dies veranschaulicht das dreidimensionale Streudiagramm in Abbildung 5.
1080
^Y XENOHPHOB
8
10
970
12
8
14
60
16
7
18
20
50 6
L-R-Selbst.um 1 zentriertAlter um 18 zentriert540 430 320 210 1
Abbildung5: Geschätzten Werte von XENOHOB im Regressionsmodell mitInteraktionseffekt zwischen V247C18 und V123C1
Im Gegensatz zu Abbildung 4 verlaufen die zehn geschätzten Altersgraden der Gruppen politi-scher nicht mehr parallel zueinander, sondern mit zunehmender Rechtsorientierung nimmt dieSteigung und damit der Alterseffekt auf die Ausländerfeindlichkeit deutlich ab.
Um diesen differentiellen Alterseffekt zu bestimmen, berechnen wir ihn zunächst mit Hilfe derPrognosegleichung für spezifische Gruppen der politischen Orientierung. Für die Gruppen der„Linksextremen”, der „neuen bzw. alten Mitte” sowie den „Rechtsextremen setzen wir jeweilsden Werte 0, 4 bzw. 9 in die Prognosegleichung ein.
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Modellgleichung für das linear additive Modell mit Interaktionseffekt(Bedingte /konditionale Schätzer ! )
y � a � b1�V247C18 �b2�V123C1 �b3� (V123C1�V247C18 )
� 6,227 � 0,164�V247C18 � 1,006�V123C1 � 0,014� (V123C1�V247C18 )
Linksextreme (V123C1�0):
yLinksextrem � 6,227 � 0,164�V247C18 � 1,006�0 � 0,014� (0�V247C18)
� 6,227 � 0,164�V247C18
Neue / Alte Mitte (V123C1�4):
yNeue Mitte � 6,227 � 0,164�V247C18 � 1,006�4 � 0,014� (4�V247C18)
� 6,227 � 0,164�V247C18 � 4,024 � 0,056�V247C18
� (6,227 � 4,024) � (0,164 � 0,056)�V247C18
� 10,251 � 0,108�V247C18
Rechtsextreme (V123C1�9):
yRechtsextrem � 6,227 � 0,164�V247C18 � 1,006�9 � 0,014� (9�V247C18)
� 6,227 � 0,164�V247C18 � 9,054 � 0,126�V247C18
� (6,227 � 9,054) � (0,164 � 0,126)�V247C18
� 15,281 � 0,038�V247C18
Mit einer geschätzten durchschnittlichen Zunahme von 0,164 Punkten der Ausländerfeindlich-keit pro Lebensjahr übt das Alter in der Gruppen der „Linksextremen” den stärksten Einflussaus. Hingegen beträgt bei den Angehörigen der „politischen Mitte” die erwartete durchschnitt-liche Zunahme pro Lebensjahr 0,108 Punkte. Mit deutlichem Abstand folgen die Rechts-extremen mit einer geschätzten Zunahme der Ausländerfeindlichkeit pro Lebensjahr um 0,038Punkte. Letztere weisen aber im Alter von 18 Jahren mit 15,281 Punkten den höchsten Wert derAusländerfeindlichkeit auf. Ihnen folgen in umgekehrter Reihenfolge die Angehörigen derpolitischen Mitte sowie die Linksextremen mit geschätzten Punktwerten von 10,251 bzw. 6,227.
Mit Hilfe der Einsetzmethode haben wir für die drei betrachteten Gruppen sowohl ihre Niveau-unterschiede im Alter von 18 Jahren als auch ihre unterschiedlichen Alterseffekte bestimmt. Umdie Altersabhängigkeit der Gruppenunterschiede genauer zu bestimmen, benötigen die ent-sprechenden partiellen Ableitungen von XENOPHOB nach V123C18 und V247C18.
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Modellgleichung für das linear additive Modell mit Interaktionseffekt(Bedingte /konditionale Schätzer ! )
y � a � b1�V247C18 � b2�V123C1 � b3� (V123C1�V247C18 )
� 6,227 � 0,164�V247C18 � 1,006�V123C1 � 0,014� (V123C1�V247C18 )
Partielle Ableitung nach V247C18:
�XENOPHOB�V247C18
� b1 � b3�V123C1 � 0,164 � 0,014�V123C1
Partielle Ableitung nach V123C1:
�XENOPHOB�V123C1
� b2 � b3�V247C18 � 1,006 � 0,014�V247C18
Mit Hilfe der partiellen Ableitungen bestimmen wir exakt das Ausmaß der Wechselwirkung derbeiden exogenen Merkmale hinsichtlich ihrer Effekte auf die Ausländerfeindlichkeit. Wenn wirXENOPHOB nach dem zentrierten Alter (V247C18) ableiten, zeigt sich folgendes. Mit einembedingten Steigungskoeffizienten von +0,164 fällt der Alterseffekt in der Gruppe der Links-extremen (V123C1=0) am stärksten aus. Pro Skalenwert, den sich die Befragter auf dem Links-Rechts-Skalometer weiter rechts einordnen, nimmt der Effekt des Alters auf die Ausländer-feindlichkeit um exakt 0,014 Punkte pro Lebensjahr ab. Da die Wechselwirkung in beideRichtungen verläuft, betrachteten wir ebenfalls die partielle Ableitung von XENOPHOB nachder zentrierten Links-Rechts-Selbsteinstufung. Wie wir ihrem konditionalen Haupteffekt ent-nehmen, entfaltet die politische Orientierung im Alter von 18 Jahren ihren stärkste Wirkung. Fürdiese Kohorte erwarten wir eine durchschnittliche Zunahme der Ausländerfeindlichkeit um+1,006 Punkte pro Punktwert, den sich der Befragte auf dem Skalometer weiter rechts einstuft.Pro Lebensjahr, das die Befragten älter werden, nimmt der Effekt der politischen Orientierungauf die Ausländerfeindlichkeit um exakt 0,014 Skalenpunkte ab. Diese negative Wechsel-wirkung zwischen dem Alter im Sinne der Kohortenzugehörigkeit und der politischen Orientie-rung ist statistisch signifikant, wie der partielle F-Test und der T-Test belegen. Daher könnenwir davon ausgehen, dass dieser Befund nicht nur für Stichprobe sondern auch für die Wohnbe-völkerung der Alten Bundesländer im Jahre 1994 gilt.