Interpolation, Collocation & Galerkin Methods 8 Galerkin-Verfahren über Gauss Quadratur 9...

mittelgewichtige RestverfahrenVollständigkeit und Randbedingungen

Skalarprodukt & OrthogonalitätGalerkin Verfahren

InterpolationPolynom-Interpolation

Gauß-IntegrationGalerkin-Verfahren über Gauss Quadratur

Trigonometrische & Chebychev Interpolation

Interpolation, Collocation & Galerkin Methods

Daniel De Agazio

09.06.2015

Daniel De Agazio Interpolation, Collocation & Galerkin Methods






Gliederung

1 mittelgewichtige Restverfahren2 Vollständigkeit und Randbedingungen3 Skalarprodukt & Orthogonalität4 Galerkin Verfahren5 Interpolation6 Polynom-Interpolation7 Gauß-Integration8 Galerkin-Verfahren über Gauss Quadratur9 Trigonometrische & Chebychev Interpolation







Definition (Restfunktion)

R(x ;a0,a1, . . . ,an) = HuN − f

uN =N∑

n=0

anφn(x)







Definition (Skalarprodukt)

(u, v)ω =

∫ b

au(x)v(x)ω(x)dx

(N + 1) Bedingungen die Spektralkoeffizienten an zubestimmen

(wi ,R(x ,a0, . . . ,aN))ω = 0, i = 0, . . . ,N

wi(x) geeignete Testfunktionen







Beispiele für Testfunktionen ω(x)

Pseudospektral (Kollokation)

wi(x) = δ(x − xi)

Momentenmethode

wi(x) = x i , i = 0,1, . . . ,N

(x i , f (x)) der i-te Moment von f (x)







kleinste Quadrate

wi(x) = Hφi(x)

Definition (Norm)

‖R‖ =√(R,R)







kleinste Quadrate

SatzIst wi(x) = Hφi(x), H linear, so gilt:

(R,R) ≤ (Hv − f ,Hv − f )

für alle v(x) der Form

v(x) =N∑

n=0

dnφn(x), dn beliebig







Galerkin Verfahren

wi(x) = φi(x)

φn(x) Basisfunktionen







Gliederung








Nützliche Kombination aus Basisfunktionen sollten eine Reihevon Eigenschaften haben

1 müssen leicht zu berechnen sein2 Vollständigkeit

z.b. Fourier-Reihe, Tschebyscheff Polynome, HermiteFunktionen, Kugelflächenfunktionen

Randbedingung homogen: z.b. u(−1) = u(1) = 0. ZweiOptionen

1∑∞

n=0 anTn(±1) = 02 Basisfunktionen wählen, die die Randbedingungen erfüllen







Gliederung








Definition (Skalarprodukt)

f (x) und g(x) zwei beliebige Funktionen, ω(x) Gewichtsfunktion

(f ,g)ω =

∫ b

af (x)g(x)ω(x)dx

Definition (Orthogonalität)

(φm, φn)ω = δmnv2n

vn heißen Normalisierungskonstanten







Vorteil der Orthogonalität

f (x) wird dargestellt als

f (x) =∞∑

n=0

anφn(x)

Das Skalarprodukt von f und φm ist dann

(f , φm)ω =∞∑

n=0

an(φm, φn)ω







Satz (Skalarprodukt für die Spektralkoeffizienten)

f (x) dargestellt als eine Reihe von orthogonalen Funktionen

f (x) =N∑

n=0

anφn(x)

für an gilt

an =(φn, f )ω(φn, φn)ω







Definition (Orthonormal)

{φ1, . . . , φm} Basismenge, φi , i = 1, . . . ,m Basisfunktionen

(φn, φn)ω = 1

an dargestellt als

an = (φn, f )ω







Gliederung








SatzR(x ;a0, . . . ,aN) kann dargestellt werden als

R(x ;a0, . . . ,aN) =∞∑

n=0

rn(a0, . . . ,aN)φn(x)

rn gegeben durch

rn = (R, φn)ω







Im folgenden H ein linearer OperatorH (N + 1)× (N + 1) quadratische Matrixf Spaltenmatrixa Spaltenvektor

Hij = (φi ,Hφj), i , j = 1,2, . . . , (N + 1)

fi = (φi , f ), i = 1,2, . . . , (N + 1)

Ha = f

R(x ;a0,a1, . . . ,aN) = −f (x) +N∑

j=0

ajHφj







Erinnerung

Ff (x) = a0 +∞∑

n=1

ancos(nx) +∞∑

n=0

bnsin(nx)







Beispiel 1:

uxx −12

u = −32

cos(x)− 92

cos(2x)

periodische Randbedingungen, Diese Gleichung hat die FormHu = fH und f haben die Form

H = ∂xx −12; f (x) = −3

2cos(x)− 9

2cos(2x)

mit der Basis {cos(x), cos(2x)} ergibt sich((cos[x ],H cos[x ]) (cos[x ],H cos[2x ])(cos[2x ],H cos[x ]) (cos[2x ],H cos[2x ])

)(a1a2

)=

((cos[x ], f )(cos[2x ], f )

)Daniel De Agazio Interpolation, Collocation & Galerkin Methods






wobei

(g,h) =∫ π

−πg(x) h(x)dx

Es gilt:

H cos(nx) = [cos(nx)]xx −12

cos(nx) = −[n2 +12]cos(nx), ∀n

(cos[mx ], cos[nx ]) = πδmn, ∀m,n > 0(−3

2 00 −9

2

)(a1a2

)=

(−3

2−9

2

)u(x) = cos(x) + cos(2x)







Beispiel 2:

uxx + (cos(x) + cos2(x))u = exp(−1 + cos(x))

periodische Randbedingungen. Sei

u(x) = a0 + a1cos(x) + a2cos(2x) + a3cos(3x)

H = ∂xx + cos(x) + cos2(x), f (x) = exp(−1 + cos(x))







1/2 1/2 1/4 01 −1/4 1/2 1/4

1/2 1/2 −7/2 1/20 1/4 1/2 −17/2

a0a1a2a3

=

f0f1f2f3

Die Matrixelemente sind gegeben durch

Hij = (cos(jx), (−k2 + cos(x) + cos2(x))cos(kx))

fj = (cos(jx),exp(−1 + cos(x)))







n Exakt N = 1 N = 2an an Errors an Errors

0 0.4658 0.5190 -0.0532 0.4702 -0.00441 0.4158 0.4126 0.0032 0.4159 0.00322 0.0998 - - 0.0976 0.00223 0.0163 - - - -4 0.0020 - - - -







Gliederung








Definition (Interpolation)Es bezeichne PN−1 den Interpolanten zu f , der an N Stellen mitf übereinstimmt, also

PN−1(xi) = f (xi), i = 1,2, . . . ,N







Gliederung








Lineare Interpolation

f (x) ≈ (x − x1)

(x0 − x1)f (x0) +

(x − x0)

(x1 − x0)f (x1) [Lineare Interpolation]

P1(x) Interpolationspolynom mit ben beiden Bedingungen

P1(x0) = f (x0) ; P1(x1) = f (x1)

Lineare Interpolation ist nicht sehr genau, aber man kann dieseIdee zu höherer Ordnung erweitern







Lineare Interpolation







quadratische Interpolation

quadratisches Polynom P2(x) approximert f(x) wenn es die dreiBedingungen erfüllt

P2(x0) = f (x0) ; P2(x1) = f (x1) ; P2(x2) = f (x2)

P2(x) =(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f (x0) +

(x − x0)(x − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f (x1)

+(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)f (x2)







Quadratische Interpolation







Lagrange Interpolation

PN(x) =N∑

i=0

f (xi)Ci(x) [Lagrange Interpolations Formel]

Ci (x) Cardinal Funktionen, die die bedingungen erfüllen

Ci(xj) = δij

Ci(x) =N∏

j=0,j 6=i

x − xj

xi − xj[Cardinal Funktionen]







Erinnerung

Tn(t) = cos(n arccos(t))







Satz (Cauchy Interpolation Error Theorem)

f (x) (N + 1)-mal differenzierbar, PN(x) ihreLagrangeinterpolation, dann gilt für ein ξ

f (x)− PN(x) =1

(N + 1)!f (N+1)(ξ)

N∏i=0

(x − xi)

Satz (Chebyshev Minimal Amplitude Theorem)Sei PN ein beliebiges normiertes Polynom vom Grad N

maxx∈[−1,1]

|PN(x)| ≥ maxx∈[−1,1]

|TN(x)2N−1 | =

12N−1







Tschebyscheff Polynome

xi die Nullstellen des Polynoms, insbesondere

12N TN+1(x) =

N+1∏i=1

(x − xi).

Die optimalen Stützpunkte sind die Nullstellen der ChebyshevPolynome, da man den Fehler im Cauchy Theorem Minimierenwill







Gliederung








Einführung

∫ b

af (x)dx ≈

N∑i=0

ωi f (xi).

Die Gewichtsfunktionen ωi sind gegeben durch

ωi =

∫ b

aCi(x)dx . [Quadratur gewicht ]

Ci (x) Cardinal Funktionen mit

Ci(x) =N∏

j=0,j 6=i

x − xj

xi − xj







Satz (Gauss-Jacobi Integration)

Sei ρ eine Gewichtsfunktion, {PN}N+1n=0 orth. Polynome, xi

Nullstellen von PN+1, dann gilt:∫ b

af (x)ρ(x)dx =

N∑i=0

ωi f (xi) [Quadratur Formel]

exakt für Polynome bis zum Grad (2N + 1)







Gliederung








Definition (Diskretes Skalarprodukt)

(f ,g)G =N∑

i=0

ωi f (xi)g(xi)

Satz (Orthogonalität unter dem diskreten Skalarprodukt)

(φi , φj) = δij , i , j = 0,1, . . . ,N

⇒ (φi , φj)G = δij , i , j = 0,1, . . . ,N







Satz (Interpolation by Quadratur)

PN(x) ein Polynom vom Grad N das an eine Funktion finterpoliert wird

PN(xi) = f (xi), i = 0,1, . . . ,N

PN(x) =N∑

n=0

anφn(x)

an =(f , φn)G

(φn, φn)G.







Gliederung








Satz (Trigonometrische Interpolation)

Seien die Kollokationspunkte xk gegeben durch

xk = −π +2πkN

, k = 1,2, . . . ,N.

f (x) dargestellt als eine exakte, unendliche Fourier-Reihe

f (x) =12α0 +

∞∑n=1

αncos(nx) +∞∑

n=1

βnsin(nx).







Trigonometrische Interpolation

Sei SN ein trigonometrisches Polynom, dass an f in NKollokationspunkten interpoliert wird

SN(x) =12

a0 +

N/2−1∑n=1

ancos(nx) +N/2−1∑

n=1

bnsin(nx) +12

aMcos(Mx)

wobei M = N2 gilt und

SN(xk ) = f (xk ), k = 1,2, . . . ,N







Trapezregel

an =2N

N∑k=1

f (xk )cos(nxk )

bn =2N

N∑k=1

f (xk )sin(nxk )







exakte Fourier Koeffizienten

an = αn +∞∑

j=1

(αn+jN + α−n+jN), n = 0,1, . . . ,N2

bn = βn +∞∑

j=1

(βn+jN − β−n+jN), n = 0,1, . . . ,N2− 1







Fehler: Fourier Interpolation

SN(x) das interpolierte trigonometrische Polynom, fN(x) dieinterpolierte exakte Fourier-Reihe

|f (x)− fN(x)| ≤ |b N2|+

∞∑n=1+N

2

(|an|+ |bn|)

|f (x)− SN(x)| ≤ 2(|b N2|+

∞∑n=1+N

2

(|an|+ |bn|))







Satz (Chebyshev Interpolation für das Polynom PN(x))

xk = −cos(kπN

), k = 0,1, . . . ,N [Chebyshev Extrema Gitter ]

PN(x) =12

b0T0(x) +N−1∑n=1

bnTn(x) +12

bNTN(x)

bn =2N(12

f (x0)Tn(x0) +N−1∑n=1

f (xk )Tn(xk ) +12

f (xN)Tn(xN))







Satz (Chebyshev Interpolation für das Polynom QN(x))

xk = −cos((2k + 1)π2(N + 1)

), k = 0,1, . . . ,N

QN(x) =12

c0T0(x) +N∑

n=1

cnTn(x)

cn =2

N + 1

N∑k=0

f (xk )Tn(xk )







Satz (Chebyshev Interpolation)

αn die exakten Spektralkoeffizienten, dann gilt für f (x)

f (x) =12α0T0(x) +

∞∑n=1

αnTn(x)







Fehler: Chebyshev Interpolation

Für alle N und x ∈ [−1,1] gilt:

|f (x)− PN(x)| ≤ 2∞∑

n=N+1

|αn|

|f (x)−QN(x)| ≤ 2∞∑

n=N+1

|αn|


Interpolation, Collocation & Galerkin Methods 8 Galerkin-Verfahren über Gauss Quadratur 9...

Documents

Transcript of Interpolation, Collocation & Galerkin Methods 8 Galerkin-Verfahren über Gauss Quadratur 9...