Interstaatliches Berufsbildungszentrum bzb - Goepf …goepf.bettschen.org/Statik4.pdf · Statik -...

BAULEITER HOCHBAU

S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E

4) ZUSAMMENSETZEN UND

ZERLEGEN VON KRAEFTEN

IN DER EBENE

1) Kräfte greifen in einem Punkt an

a) Zusammensetzen (Reduktion) von Kräften - graphisch

b) Zusammensetzen (Reduktion) von Kräften - analytisch

c) Zerlegen von Kräften - graphisch

2) Kräfte greifen an verschiedenen Punkten an

Graph. Methode für die Reduktion beliebig vieler Kräfte

3) Das statische Moment und das Kräftepaar

4) Analytische Bestimmung der Resultierenden bei Kräften

mit parallelen Wirkungslinien

Göpf Bettschen

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 2

1) Kräfte greifen in einem Punkt an

a) Zusammensetzen (Reduktion) von Kräften - graphische Methode Wirken auf einen Körper an einer Stelle mehrere Kräfte, so kann man diese zu einer Kraft zusammenfassen. Man bezeichnet diese zusammengefasste Kraft dann als resultierende Kraft. Diese kann man sowohl grafisch als auch rechnerisch bestimmen.

Zusammensetzen von Kräften in einer Ebene Zuerst einen Kräftemassstab wählen. Dann reiht man die Kräfte aneinander, indem der Anfangspunkt der folgenden Kraft mit dem Endpunkt der vorliegenden Kraft zusammen-fällt. Die Reihenfolge der Kräfte spielt dabei keine Rolle, selbstverständlich muss jedoch deren Wirkungsinn berücksichtigt werden.

Die Resultierende ist dann die Verbindung vom Anfangspunkt der ersten Kraft zum

Endpunkt der letzten Kraft.

Beispiel 1-a:

F1 = 4 kN Massstab für Lösung: 1 cm = 2 kN F2 = 10 kN F3 = -8 kN

Zusammenfassung:

Man nennt dann diese Kraft die Resultierende der Kräftegruppe und die einzelnen Kräfte

welche sie ersetzt die Komponenten.

Die Kräfte greifen in einem Punkt an,

liegen aber nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie

- zwei Kräfte:

Die Physik lehrt uns, dass ein quer zur Stromrichtung vorwärtsgetriebenes Boot in seiner Bewegung und damit in seinem Zielort von der vorwärtstreibenden Kraft und der Strömung bestimmt wird. Dabei seien die Strömung S und die das Boot vorwärtstreibende Kraft F während der Überquerung von konstanter Grösse.

Von Isaac Newton ( 1642 - 1727 ) stammt die klassische Formulierung des Kräfteparallelogramms:

“Wird ein Körper von zwei Kräften gleichzeitig ergriffen, von welchen die eine die Bewegung AB, die andere die Bewegung AC in derselben Zeit hervorrufen würde, so bewegt sich der Körper in derselben Zeit nach AZ”

F

S

B

A

A

C Z

B

S

F

R

F2

F1 F3

F1 F2 F3

Wenn an einem Körper mehrere Kräfte angreifen, so können sie durch eine einzige Kraft ersetzt werden, welche auf den Körper die gleiche Wirkung ausübt, wie die Gesamtheit der anderen Kräfte.


Die vorher gezeigte Formulierung des Kräfteparallel-ogramms gilt allgemein für das Zusammensetzen von zwei Kräften Wenn die Kräfte nicht auf der gleichen Wirkungslinie liegen, wird analog wie vorher vorgegangen.

R(12) ist die Diagonale, welche durch das

Parallelogramm F1 und F2 gebildet wird.

- mehrere Kräfte: Auch hier werden die Kräfte nach obigen Regeln in einer beliebigen Reihenfolge aneinandergereiht.

Lageplan Kräfteplan

F2

F1

R(12)

F1

F2

F4 F3 F1

F2 F3

F4

R

R(12)4

R(23)


F2 F1

R(12)

Beispiel: 1-c

Das über diese Rolle geführte Seil hat eine Zugkraft von F = 8 kN zu übertragen. Die Resultierende ist graphisch zu bestimmen.

Graphische Lösung

Hier wird genau gleich wie vorher vorgegangen. R(12) ist die Diagonale, welche durch das Parallelogramm F1 und F2 gebildet wird.

F = 8 kN

F = 8 kN 45 º

Wichtig: Im Seil wirkt überall die gleiche Zugkraft

Lösung für Rollenachse


b) Zusammensetzen (Reduktion) von Kräften - analytische Methode (Dieses Kapitel gehört nicht zum offiziellen Lehrstoff und soll nur als Zusatzinformation

dienen) Durch den Angriffspunkt der Kräftegruppe wird ein kartesisches (rechtwinkliges) Koordinatensystem gelegt. Die Vektoren F1, F2......Fn werden jeweils auf die x- und y- Achse projiziert und damit in Komponenten in x- und y- Richtung zerlegt. Die Komponenten der Resultierenden findet man, indem die Komponenten der einzelnen Kräfte unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens addiert werden.

Bemerkungen zur Berechnung der Komponenten : Die Komponenten sind durch die Winkel Alpha gegeben. Gültig sind in der Mathematik für die trigonometrischen Funktionen üblicherweise Vorzeichenregelungen für die sin- und cos-Funktionen.

Wichtig : Alle Vektoren müssen vom Koordinatenursprung wegweisen !

Vorzeichenregelung

für

trigonometrische

Funktionen :

Reduktion von Kräften mit Excel – Programm

+

1 y

x

+

+

2

4 3

+

- -

sin - Alpha

= +

1 y

x

+

+

2

4 3

= -

= - =+

tg - Alpha

+

1 y

x

+

+

2

4 3

-

+ -

cos - Alpha

F1 F1

F1

F2

F2

F3

F2 F3

y y

x x

R

Rx

R

y

+ +

+ +


Göpf Bettschen

23-Nov-03

Vertikallasten

Horizontallaste

n

Bezeichnung Kraft F alpha

Last

fakt. x Fv x * Fv y Fh y * Fh

0.0

F1 4.00 30.00 1.00 0.00 2.00 0.0 0.00 3.46 0.0

F2 5.00 315.0

0 1.00 0.00 -3.54 0.0 0.00 3.54 0.0

F3 8.00 240.0

0 1.00 0.00 -6.93 0.0 0.00 -4.00 0.0

F4 6.00 180.0

0 1.00 0.00 0.00 0.0 0.00 -6.00 0.0

0.00 0.0 0.00 0.0

S u m m e n -8.46 0.0 -3.00 0.0

K o o r d i n a t e n

x

res. = 0.00

y

res. = 0.00

R e s u l t i e r e n d e R = 8.98

alpha

= 19.52

Resultierende auf x - Achse x = 0.00

Dieses Excel-Programm dient auch zur analytischen Bestimmung der Resultierenden wenn die Kräfte an verschiedenen Punkten angreifen (siehe Kapitel 2), dann müssen einfach die entsprechenden x- und y- Abstände vom selber gewählten Nullpunkt eingegeben werden.

Berechnung

von Resultierenden

F1 F1

F2 F2 F3

90

y

0 Grad 180

270


c) Zerlegen von Kräften - graphische Methode

Das Zerlegung geschieht wieder nach dem Parallelogrammprinzip; wir legen je durch den Anfangspunkt und den Endpunkt der gegebenen Kraft eine Richtung; durch den Schnittpunkt der beiden Richtungen werden die einzelnen Beträge auf den Richtungen bestimmt.

2) Kräfte greifen an verschiedenen Punkten an

Graphische Methode für die Reduktion beliebig vieler Kräfte Es ist für den Körper unbedeutend, wo die Kraft F1 angreift, sie muss aber unbedingt auf der gleichen Wirkungslinie liegen.

Wir können daraus schliessen:

Eine Kraft kann auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Ohne dass sich Ihre

Wirkung auf den Körper ändert, sofern der Angriffspunkt in Richtung der Wirkungslinie

starr mit dem Körper verbunden ist.

* Zusammensetzen von zwei Kräften Die Kräfte F1 und F2 werden auf Ihren Wirkungslinien verschoben, bis sie sich im Punkt A schneiden. Durch diesen Punkt A muss ebenfalls die Resultierende R (12) gehen.


* Schrittweises Zusammensetzen mehrerer Kräfte

Grösse und Richtung der Resultierenden findet man wieder durch Aneinanderreihen der Kräfte im Kräfteplan. Die Lage lässt sich dann in der Hauptfigur durch schrittweis - paarweises Zusammensetzen der Einzelkräfte ermitteln. So ergeben z.B. im obigen Bild die Kräfte F1 und F2 die Teilresultierende R(12), die durch den Schnittpunkt a dieser beiden Kräfte verlaufen muss. R(12) mit F3 ergibt die Teilresultierende R(123), die durch den Schnittpunkt b von R(12) und F3 geht; und so fort, bis man zur letzten endgültigen Resultierenden R aller Kräfte gelangt. Wichtig: Im obigen Beispiel:

Die drei Kräfte, die im Kräfteplan ein Kräftedreieck bilden,

müssen sich im Lageplan in einem Punkt schneiden.

Die drei Kräfte F1, F2 und

R(1,2) im Lageplan

entsprechen dem Kräftedreieck

F1, F2, R(1,2) im Kräfteplan


Gesucht: Die Resultierende der Kräfte F1, F2, F3 und F4

Lageplan Grösse und Richtung der Resultierenden findet man wie worher gezeigt, wieder durch Aneinanderreihen der Kräfte im Kräfteplan. Die Lage lässt sich dann in der Hauptfigur durch schrittweis - paarweises Zusammensetzen der Einzelkräfte ermitteln.

Schritt 1) Schnittpunkt der Kräfte F1 und F2

Lageplan Kräfteplan für Punkt a

Die Richtung von R(1,2) durch Parallelverschieben vom Kräfteplan in den Lageplan übertragen

Schritt 2) Ersetzen von F1 und F2 durch die Resultierende R(1,2)

Lageplan So ergeben z.B. die Kräfte F1 und F2 die Teilresultierende R(1,2), die durch den Schnittpunkt a dieser beiden Kräfte verlaufen muss. R(1,2) mit F3 ergibt die Teilresultierende R(1,2,3), die durch den Schnittpunkt b von R(12) und F3 geht; und so fort, bis man zur letzten endgültigen Resultierenden R aller Kräfte gelangt.

Wichtig:

Die drei Kräfte, die im Kräfteplan ein Kräftedreieck bilden,

müssen sich im Lageplan in einem Punkt schneiden.

Schrittweises Zusammensetzen mehrerer Kräfte


Im obigen Beispiel:

Schritt 3) Schnittpunkt der Kräfte R(1,2) und F3

Lageplan Kräfteplan für Punkt b

Schritt 4) Ersetzen R(1,2) und F3 durch Resultierende R(1,2,3)

Lageplan Am Körper greifen also jetzt nur noch die zwei Kräfte R(1,2,3) unf F4 an

Schritt 5) Schnittpunkt der Kräfte R(1,2,3) und F4

Lageplan Kräfteplan für Punkt c

Schritt 6) Eintragung der Gesamtresultierenden R

im Lageplan

Die Resultierende R ersetzt die vorherigen Kräfte F1, F2, F3,und F4.

Sie ist in Lage, Richtung und Grösse graphisch bestimmt worden

In der Praxis werden die vorher aufgezeigten Einzelschritte alle im gleichen Lageplan

und im gleichen Kräfteplan eingezeichnet.

Die drei Kräfte F1, F2 und

R(1,2) im Lageplan

entsprechen dem Kräftedreieck

F1, F2, R(1,2) im Kräfteplan


Man kann so die bessere Genauigkeit erreichen und ist auch schneller. Der Vorgang in

Einzelschritten bleibt aber genau wie oben aufgeführt.

Lageplan M 1: ……..

Kräfteplan

1 cm entspricht ……. kN

Die drei Kräfte, die im

Kräfteplan ein Kräftedreieck

bilden,

müssen sich im Lageplan in

einem Punkt schneiden.

Die Resultierende R

ersetzt die Kräfte F1,

F2, F3,und F4.

Sie ist in Lage,

Richtung und Grösse

bestimmt.


Vier Beispiele zur graphischen Bestimmung von Resultierenden:


Lösungen

Gesucht: Die Resultierende aus Eigengewicht und Erddruck

Beispiel 2-a: Stützmauer

Aufteilung vom Mauerquerschnitt in Rechtecke und Dreiecke.

Berechnung der Teil-Eigengewichte und dem Erddruck pro m’

Mauer

Horizontaler Erddruck: 1.0 ∙ 13.0 = 13.0 kN/m’

Eigengewichte Mauer: (Stahlbeton γ = 25.kN/m3)

Mauerteil M1: 1.0 ∙0.2 ∙ 1.6 ∙ 25 = 8.0 kN/m’

Mauerteil M2: 1.0 ∙1/2 ∙ 0.16 ∙ 1.6 ∙ 25 = 3.2 kN/m’

Fundament F: 1.0 ∙0.5 ∙ 0.8 ∙ 25 = 10.0 kN/m’

Mauerteil M1

Mauerteil M2

Fundament F

Erddruck


Schrittweises Zusammensetzen der Kräfte - E und M1 → Resultierende a im Kräfteplan Dann a vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschieben - a und M2 → Resultierende b im Kräfteplan dann b vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschieben - b und F → Gesamtresultierende R im Kräfteplan

dann R vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschieben

M1, M2 und F wirken in den

Schwerpunkten der

Teilflächen.


Schrittweises Zusammensetzen der Kräfte - 30 kN und 50 kN → Resultierende R1 im Kräfteplan Dann R1 vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschieben - R1 und 40 kN → Resultierende R im Kräfteplan dann R vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschieben

Beispiel 2-b: Resultierende von drei Kräften

Die drei Kräfte, die im

Kräfteplan ein

Kräftedreieck bilden,

müssen sich im Lageplan

in einem Punkt schneiden.


Beispiele 2-c und 2-d: Resultierende von Kräften

Darstellungen sind nicht massstabsgetreu !


* Zusammensetzen mehrerer Kräfte mit Seilpolygon

(Dieses Kapitel gehört nicht zum offiziellen Lehrstoff und soll nur als

Zusatzinformation dienen) Schneiden sich die Kräfte nicht mehr auf der Zeichenfläche, oder sind die Kräfte sogar parallel, dann geht man bei ihrem Zusammensetzen in der Weise vor, dass man die gegebenen Kräfte durch solche Komponenten ersetzt, deren Schnittpunkte wieder günstig auf der Zeichenfläche liegen. Wir zeichnen vorerst den Kräfteplan in einer separaten Figur auf und erhalten die Resultierende R. Nun zerlegen wir F 1 in zwei beliebige Hilfskräfte a und b und übertragen deren Wirkungslinien in den Lageplan, diese Linien müssen sich einem Punkt, und zwar auf der Wirkungslinie von F 1, schneiden. Dasselbe machen wir mit F 2, wobei wir wieder die Richtung von b benutzen; die Wirkungslinie der neuen Hilfskraft c geht durch den Schnittpunkt von b und F2. Nach diesem System teilen wir sämtliche Kräfte auf. Am Schluss heben sich die Hilfskräfte b, c und d auf; das Kräftedreieck R, a, e, schliesst sich, d.h. R ist auch die Resultierende der Hilfskräfte a und e, die Wirkungslinie von R muss also durch den Schnittpunkt von a und e gehen.

Der Punkt 0 wird Polpunkt genannt; die Hilfskräfte a bis e sind im Kräfteplan die Polstrahlen

und im Lageplan nennt man die Richtungen dieser Hilfskräfte die Seilstrahlen. (Die drei Kräfte die im Kräfteplan ein Kräftedreieck bilden, müssen sich im Lageplan in einem Punkt schneiden). Eine andere graphische Methode wäre: zuerst eine der Kräfte in zwei Komponenten (z.B. F1a und F1b) aufteilen, dann kann die Aufgabe so gelöst werden, indem der Schnittpunkt der Wirkungslinien z.B. von F1a und F2 gesucht wird und dann gemäss den vorher bespochenen grahischen Methoden die Resultierende Schritt für Schritt mit allen Kräften (auch mit F2b) gebildet wird (im Prinzip entspricht auch diese Lösung dem Seilpolygon).


3) Das statische Moment und das Kräftepaar

Um das folgenden Kapitel (analytische Berechnung der Resultierenden) zu verstehen, muss vorher der Begriff vom statischen Moment bekannt sein.

* Das statische Moment

Definition :

Das statische Moment einer Kraft bezüglich

eines Punktes P ist das Produkt aus Kraftbetrag

multipliziert mit dem senkrechten Abstand a

des Punktes auf die Wirkungslinie der Kraft F.

Das statische Moment hat die Dimension : Nm ( kN m, N mm).

Uhrzeigersinn positiv + , Gegenuhrzeigersinn negativ -. (Je nach Drehsinn kann also das Moment negativ oder positiv sein ).

z.B: F= 8.0 kN, a = 3.0 m, (Drehung in diesem Beispiel: Gegenuhrzeigersinn)

→ Das Drehmoment M um den Punkt P beträgt also MP = - 8.0 x 3.0 = - 24 kNm

* Das Kräftepaar Zwei Kräfte mit gleichem Betrag, die auf zwei parallelen Wirkungslinien liegen und entgegengesetzten Wirkungsinn haben, nennt man ein Kräftepaar.

Die Summe von F1 und F2 beträgt 0. Berechnet man aber die statischen Momente um zwei beliebige Punkte, so erhält man folgende Resultate :

MP1 = - F1 x + F2 (x+5) = -2x + 2x + 2.0 5.0 = +10 kNm

MP2 = 2.0 5.0 = 10.0 kNm

Die obigen Resultate zeigen, dass die Momentensumme auf einen beliebigen Punkt immer konstant bleibt. Diese beiden Kräfte wollen den Körper nicht verschieben, sondern verdrehen. Man sagt, dass diese beiden Kräfte zusammen ein Kräftepaar bilden.

Definition: Zwei Kräfte mit gleichem Betrag, die auf zwei parallelen Wirkungslinien im

Abstand a liegen und entgegengesetzten Wirkungsinn haben, nennt man

ein Kräftepaar.

Das Kräftepaar hat die Grösse eines Momentes F a.

Ein Kräftepaar a kann nur durch ein Kräftepaar b ersetzt werden.

. F

P

a

P1 P2

Moment = Kraft x Hebelarm

M = F x a


4) analytische Bestimmung der Resultierenden bei

Kräften mit parallelen Wirkungslinien

Oft schneiden sich die Kräfte nicht mehr auf der Zeichenfläche oder sind sogar parallel, so gibt es bei deren Wirkungslinien keinen Schnittpunkt. Um die Resultierende graphisch zu bestimmen, kann die Lösung mit dem Seilpolygon erarbeitet werden (siehe Kap. 2).

Das ganze ist etwas aufwändig, einfacher kann man aber die Resultierende bei parallelen Kräfte anhand folgender analytischer Methode bestimmen:

1) Wir kennen die Lage und Grösse der einzelnen Kräfte:

2) Wir können also das statische Moment aller dieser Kräfte um einen von uns gewählten Punkt rechnen.

Also: F1 x1 + F2 x2 + ….

3) Wir kennen die Grösse der Summe aller Kräfte:

R = F1 + F2 + ….

4) Diese Resultierende ersetzt ja die Einzelkräfte, sie ist also gleichbedeutend wie alle Einzelkräfte zusammen

5) Das statische Moment R xres um den gleichen Punkt ist deshalb gleich gross wie das statische Moment aller Einzelkräfte um diesen Punkt.

6) xres ist also die einzige Unbekannte.

7) Aus F1 x1 + F2 x2 + … = R xres ergibt sich so xres = F1 x1 + F2 x2 + … / R

oder xres = Summe (Fn xn) / Summe aller Kräfte Für die Bestimmung von Auflagerkräften (siehe nächstes Kapitel) wird die Kenntnis vom statischen Moment und die Methode der analytische Berechnung von Resultierenden vorausgesetzt.

Drehung im Uhrzeigersinn : +

Drehung im Gegenuhrzeigersinn : -

x +


Beispiel:

Die Resultate um die drei frei gewählten Punkte zeigen folgendes: Die Lage des Drehpunktes hat keinen Einfluss auf das Resultat - Lage und Grösse der Resultierenden sind immer gleich. Es müssen aber immer die Momente mit den Vorzeichen gemäss Drehsinn und die Distanz xres vom gewälten Drehpunkt aus eingezeichnet werden.

Oft wird aus praktischen Gründen der Drehpunkt an der Stelle der ersten Kraft links

angenommen.

Interstaatliches Berufsbildungszentrum bzb - Goepf …goepf.bettschen.org/Statik4.pdf · Statik -...

Documents

Transcript of Interstaatliches Berufsbildungszentrum bzb - Goepf …goepf.bettschen.org/Statik4.pdf · Statik -...