Ionen-Bindung (z.B Gruppe I+VII) Salze sehr stark: ~5-10 eV · Ionen-Bindung (z.B Gruppe I+VII)...

Ionen-Bindung (z.B Gruppe I+VII) Salze sehr stark: ~5-10 eV

Repetition Einführung in die Festkörperphysik

Halogenelemente und Alkalimetalle können durch Elektronen-aufnahme, bzw. -abgabe eine Edelgaskonfiguration erreichen

der eigentliche Energiegewinn entsteht aufgrund des Coulomb-Potentials durch die regelmäßige Anordnung der geladenen Ionen in einem dreidimensionalen Gitter, das insgesamt elektrisch neutral ist

einfachste Kristallstrukturen der Salze

±1 rij

NaCl-Struktur CsCl-Struktur

⎤⎡ − q2R q = Ionenladung

∑≠

±=α

ij ijp1

Rr

p ijij = + / - = anziehend/abstoßendMadelung-Konstante

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡α−λ= ρ

−

RqezNRU N = Anzahl Ionenpaare

z = Anzahl nächster Nachbarn (Koordinationszahl)

R = Abstand nächster NachbarnBindungs-Potential

z = Anzahl nächster Nachbarn (Koordinationszahl)ρ = Abklinglänge der abstoßenden Wechselwirkungλ = Amplitude der abstoßenden Wechselwirkung

Potential im KCl-Kristall


ote t a C sta

repulsiver Anteil

Rρ

−λ∝ ez

q2

α−∝

Coulomb-AnteilR

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)

kovalente Bindung Halbleiter sehr stark: ~3-8 eV


g(Gruppe IV, III+V)

Überlapp der Wellenfunktionen führt zu einer Elektronenpaarbindung gerichtete Bindung

Ψ1,2 ∈ R (1s-Einelektron-Wellenfunktionen)

ACdVH ±ψψ∫ ∗

21 ψ±ψ=ψ

dVHdVHC ∫∫ ∗∗

Bindungsenergie (H2

+-Molekül)

C = Coulomb-IntegralS1AC

dVE

±±

=ψψ

ψψ=

∫∫

∗dVHdVHC 2211 ψψ=ψψ= ∫∫ ∗∗

dVHdVHA ψψ=ψψ= ∫∫ ∗∗dVdVS ψψ=ψψ= ∫∫ ∗∗

A = Austausch-IntegralS = Überlapp-Integral

dVHdVHA 1221 ψψ=ψψ= ∫∫dVdVS 1221 ψψ=ψψ= ∫∫

C Si G h b l V l l k k fi i 2 2

→ sp1-Hybridisierung: zwei gleiche Orbitale in linearer Anordnung

C, Si, Ge haben als Valenzelektronenkonfiguration s2p2

spx -Hybridorbitale

3 H b idi i i l i h

→ sp2-Hybridisierung: drei gleiche Orbitale in planarer Anordnung mit 120°

Diamant-Struktur

→ sp3-Hybridisierung: vier gleiche Orbitale in tetraedrischer Anordnung

→ starke und gerichtete Bindung

Kovalente BindungRepetition Einführung in die Festkörperphysik

Orbitale im H2+-Molekül

(Q ll Ch Ki l(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)(Quelle: Ibach/Lüth,

Festkörperphysik, Springer, Berlin)

Elektronendichte im Germanium


Einheiten: e− / Einheitszelle

p-Orbitale sp-Hybridorbitale


p-Orbitale sp-Hybridorbitale

sp1-Hybridorbitalesp -Hybridorbitale

(Quelle: K. Krane, Modern Physics, Wiley, New York)

sp2-Hybridorbitale

Diamantstruktur sp3-Hybridorbitale

(Quelle: K. Krane, Modern Physics, Wiley, New York)

(Quelle: Ibach/Lüth, Festkörperphysik, Springer, Berlin)

Van-der-Waals-Bindung (Gruppe VIII)

Edelgaskristalle schwach: ~ meV


(Gruppe VIII)gegenseitig induzierte Dipole in den Atomen; auch bei T = 0 K vorhanden wegen der quantenmechanischen Nullpunktsenergie

Ursache:

10tot HHH += 22

22

21

210 xf

21p

m21xf

21p

m21H +++=

zwei harmonische OszillatorenHamilton-Operator (für zwei ident. Atome)

{ 44 344 2143421WWKernElektron

2

2

1

2

WW.Elektr.Elektr

12

2

WWKernKern

2

1 xRe

xRe

xxRe

ReH

−−−−−−

++

−+

−++= Coulomb-WW

WW

Taylorentwicklung attraktive Wechselwirkung!213

2

1 xxRe2H −≅

Neue Resonanzfrequenzen

( )62

3

2

021

as21

0 R4

Rfe2

812U2UU ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

ε−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ω−ω+ω=−=Δ hhEnergiedifferenz

im Grundzustand

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

ε=612

RR4RU zwischen zwei Atomen

⎠⎝⎠⎝im Grundzustand

Lennard-Jones-Potential⎥⎦⎢⎣

0R

Utot =∂

∂ 09.1R0 =σ

Gleichgewichtsabstand im Kristall

Edelgas-Kristalle (van-der-Waals-Bindung)


dichteste Kugelpackung(kubisch flächenzentriert)

g ( g)

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)Lennard-Jones-Potential

N A K X1.09

Ne1.14R0/σ

Ar1.11

Kr1.10

Xe1.09



Metall-Bindung (Gruppe III) Metalle stark: ~1-8 eV

ausgedehnte Wellenfunktionen der äußersten Elektronen (4s, 5s)→ positive Atomrümpfe und relativ frei bewegliche, delokalisierte Elektronen→ Abschirmung durch „Elektronengas“ führt zu ungerichteter Bindung→ hohe elektrische und thermische Leitfähigkeit

Ursache:

→ hohe elektrische und thermische Leitfähigkeit→ kristallisieren vorwiegend in dichtester Kugelpackung→ gute mechanische Verformbarkeit

Wasserstoffbrücken-Bindung Faltung von org. Molekülenschwach:~0.1 eV

H gibt bei Bindung an ein stark elektronegatives Ion sein Elektron fast vollständig ab. Der kleine H-Kern (Proton) kann dann ein negativ geladenes Atom binden.

Ursache:

A - H - A

A - H ... B

Bindung zwischen gleichen Ionen A

Bindung zwischen ungleichen Ionen A, B

Bravais-Gitter (Translationsgitter)


Z∈++= i332211 n,anananrrrrr

(= periodische Anordnung von Punkten im Raum mit Translationsinvarianz)

i iti Gitt kt→

r =Gittervektor→

ai = primitive Gittervektoren

rittervektoT,Trr G=+=′vrrr

jeder Gittervektor kann durch eine Translation erreicht werden:

,

primitive Gittervektoren spannen das gesamte Translationsgitter auf

∃ mehrere Sätze primitiver Gittervektoren für ein bestimmtes Bravais-Gitterp

Bravais-Gitter in 2D 5 Bravais-Gitter: Parallelogramm-Gitter

Quadrat-Gitter

hexagonales Gitter

Rechteck-GitterQuadrat Gitter Rechteck Gitter(primitiv, zentriert) Punktsymmetrien

1 (Identität) C (E)

Drehungen: Drehinversion / Drehspiegelung:i1 (I i )

_

internat. Notation

(Hermann-

1 (Identität)

Schön-flies

C1 (E)

2 (180°) C2

3 (120°) C3

i

σ

S6

1 (Inversion)

2 (m = Spiegelung)_

3_

(HermannMauguin) 4 (90°) C4

6 (60°) C6

S4

S3

4_

6_Drehung +

InversionDrehung + Spiegelung

Bravais-Gitter in zwei Dimensionen


Parallelogramm-Gitter Quadratgitter hexagonales Gitter

Beispiele primitiver Gittervektoren (blau). D ( i h l ) Pf il i i hDas rote (gestrichelte) Pfeilpaar ist nicht primitiv!

fünf Bravais-Gitter:fünf Bravais Gitter:

Quadrat-Gitter:

Parallelogramm-Gitter: a1 ≠ a2, ϕ ≠ 90°

a1 = a2, ϕ = 90°

a1 = a2, ϕ = 120°

Rechteck-Gitter:

hexagonales Gitter:

a1 ≠ a2, ϕ = 90°

→ → Rechteckgitter zentrierteszentriertes Rechteck-Gitter: a1 ·a2 = a1

2/2→ → Rechteckgitter zentriertes

Rechteckgitter (Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)

Bravais-Gitter in 3D


Bravais Gitter in 3D

in drei Dimensionen gibt es insgesamt 14 Bravais-Gitter, die in 7 Kristallsysteme unterteilt sind

Klassifizierung nach zunehmender Punktsymmetrie

jedem der sieben Kristallsysteme kann eine minimale Symmetrie zugeordnet werden die durch ein Punktsymmetrieelement charakterisiert wird

14 Bravais-Gitter (minimales Symmetrieelement):

werden, die durch ein Punktsymmetrieelement charakterisiert wird

triklin ⇒ 1 oder 1_

monoklin (primitiv und basiszentriert) ⇒ 2 oder 2_

orthorhombisch (primitiv, basiszentriert, raumzentriert, flächenzentriert) ⇒ zweimal 2 oder 2

_

hexagonal ⇒ 6 oder 6 _

rhomboedrisch (trigonal) ⇒ 3 oder 3 _

tetragonal (primitiv, raumzentriert) ⇒ 4 oder 4_

kubisch (primitiv, raumzentriert, flächenzentriert) ⇒ viermal 3 oder 3 _

Die 14 Bravais-Gitter in drei Dimensionen


system no. of lattices

restrictions

triklinprimitiv basiszentriert

monoklinlattices

triclinic 1 a1 ≠ a2 ≠ a3α ≠ β ≠ γ

orthorhombisch

monoclinic 2 a1 ≠ a2 ≠ a3α = γ = 90°≠ β

orthorhombic 4 a1 ≠ a2 ≠ a3β 90° orthorhombisch

primitiv basis-zentriert

flächen-zentriert

raum-zentriert

α = β = γ = 90°

tetragonal 2 a1 = a2 ≠ a3α = β = γ = 90°

hexa-rhombo-edrisch primitiv raum-

tetragonal

cubic 3 a1 = a2 = a3α = β = γ = 90°

trigonal 1 a = a = a gonaledrisch

(trigonal)primitiv raum

zentrierttrigonal 1 a1 = a2 = a3

α = β = γ < 120°, ≠ 90°

hexagonal 1 a1 = a2 ≠ a3α = β = 90° γ = 120°

(Quelle: Ibach/Lüth, Festkörperphysik, Springer, Berlin)

kubischprimitiv flächen-

zentriertraum-

zentriert

α = β = 90 , γ = 120

Primitive Elementarzelle Parallelepiped, das genau einen Gitterpunkt enthält


( ) ( ) ( )213132321EZ aaaaaaaaaVrrrrrrrrr

×⋅=×⋅=×⋅= Volumen der primitiven Elementarzelle

primitive Gittervektoren 321 a,a,arrr

kleinste Einheit, aus der das Gitter raumfüllend aufgebaut werden kann

Wigner-Seitz-Zelle

3

besitzt im Zentrum genau einen GitterpunktWigner-Seitz-Zelle besitzt im Zentrum genau einen Gitterpunkt

Konstruktion durch Bildung der mittelsenkrechten

hat die volle Symmetrie des Bravais-Gitters

gEbenen auf den Verbindungslinien zu den nächsten(und ev. über- und überübernächsten) Nachbarn

Kristallsystem = Punktgitter + BasisKristallsystem = Punktgitter + BasisBasis: wird ausgedrückt durch Gittervektoren, die aus Gründen der Symmetrie auch nicht primitiv gewählt werden können

a2→

→

a2→

→

a2→

→

+Bemerkung:Di T l i i i a1 a1 a1

→Die Translationsinvarianz muss nach wie vor für jedes Atom in der Basis erfüllt sein Punktgitter + Basis = Kristallsystem

Primitive ElementarzelleRepetition Einführung in die Festkörperphysik

( ) ( ) ( )213132321EZ aaaaaaaaaV rrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅= Volumen der primitiven

Parallelepiped, das genau einen Gitterpunkt enthält

( ) ( ) ( )213132321EZ aaaaaaaaaV pElementarzelle

= primitive Gittervektoren321 a,a,arrr

kleinste Einheit, aus der das Gitter raumfüllend aufgebaut werden kann

(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics SaundersPhysics, Saunders, Philadelphia)

bcc-Struktur fcc-Struktur

Wigner-Seitz-ZelleRepetition Einführung in die Festkörperphysik

besitzt im Zentrum genau einen Gitterpunkt


Konstruktion durch Bildung der mittelsenkrechten Ebenenauf den Verbindungslinien zu den nächsten (und ev. über-und überübernächsten) Nachbarn


und überübernächsten) Nachbarn

ebenes Parallelepiped fcc-Struktur(face-centered cubic)

bcc-Struktur(body-centered cubic)

(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)

Miller-Indizes beschreibt die Schar aller parallelen Gitterebenen (Netzebenen) im Kristall: (h k l), wobei h, k, l ganze Zahlen sind


( ), , , g

Schnittpunkte der Ebene mit den durch die (primitiven) Gittervektoren definierten Koordinatenachsen → 3 2 2

1.Bestimmung der Miller-Indizes:

Gittervektoren definierten Koordinatenachsen → 3, 2, 2

nehme den Reziprokwert → 1/3, 1/2, 1/2

finde die kleinsten ganzen Zahlen mit gleichem

2.

3. finde die kleinsten ganzen Zahlen mit gleichem Verhältnis → 2, 3, 3 Miller Indizes: (2 3 3)

3.

Beispiele von Miller-Indizes(1 0 0) (1 0 0)

_(2 1 3) {1 0 0}

negative Abschnitte mit

Balken

Gesamtheit aller Ebenen mit Symmetrie

der (1 0 0) Ebene

parallele Abschnitte

ergeben 0“(h k l)

Balken der (1 0 0)-Ebeneergeben „0

Richtungen im Kristall haben eckige Klammern: [u v w]Richtungen im Kristall

[1 0 0] [1 1 0]_

[1 1 1]

(u, v, w sind die kleinsten ganzen Zahlen mit dem gleichen Verhältnis wie die Komponenten der die Richtung beschreibenden Gittervektoren

<1 0 0>parallel zum

a1-Gittervektor→Entlang der Winkelhal-bierenden zwischen a1-

und -a2-Gittervektor→

→parallel zur

Raumdiagonalen der Elementarzelle

Gesamtheit aller Rich-tungen mit Symmetrie der [1 0 0]-Richtung

Netzebenen im KristallRepetition Einführung in die Festkörperphysik

Beispiele von Netzebenen im kubischen Kristall

Miller Indizesim kubischen Kristall

(1 0 0) (1 1 0) (1 1 1)

bestimme die Schnittpunkte mit


1.

(1 0 0) (1 1 0) (1 1 1)

pden Koordinatenachsen → 3, 2, 2

nehme den Reziprokwert → ⅓, ½, ½2.(2 0 0) (1 0 0)

_

finde die kleinsten ganzen Zahlen mit gleichem Verhältnis → 2, 3, 3

Mill I di (2 3 3)

3.( )


( )

Miller Indizes: (2 3 3)


Anzahl nächster Nachbarn im KristallsystemKoordinationszahl

N Cl S k

y

NaCl-Struktur zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [½ 0 0] verschoben Basis: Cl: 0 0 0, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½

Na: ½ 0 0, 0 ½ 0, 0 0 ½, ½ ½ ½Koordinationszahl: 6 (d.h. 6 nächste Nachbarn)4 NaCl-Einheiten pro kubische Elementarzelle

CsCl-Struktur zwei verschachtelte einfach kubische StrukturenCsCl Struktur zwei verschachtelte einfach kubische Strukturen um [½ ½ ½] verschoben

Basis: Cs: 0 0 0Cl: ½ ½ ½Cl: ½ ½ ½

Koordinationszahl: 8 (d.h. 8 nächste Nachbarn)1 CsCl-Einheit pro kubische Elementarzelle

Einfache KristallstrukturenRepetition Einführung in die Festkörperphysik

NaCl-Struktur CsCl-Struktur

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)Physics, Wiley, New York)

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics Wiley New York)

zwei verschachtelte fcc (= kubisch flächenzentrierte)-Strukturen um

Physics, Wiley, New York)

zwei verschachtelte einfach kubische Strukturen um [½ ½ ½] verschobenflächenzentrierte) Strukturen um

[½ 0 0] verschobenStrukturen um [½ ½ ½] verschoben


Diamant-Struktur zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [¼ ¼ ¼] entlang der Raumdiagonalen verschoben

Basis: 0 0 0, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½¼ ¼ ¼, ¾ ¾ ¼, ¾ ¼ ¾, ¼ ¾ ¾

Koordinationszahl: 4 (d.h. 4 nächste Nachbarn)

8 Atome pro kubische Elementarzelle

Packungsdichte: 34%Packungsdichte: 34%

Zinkblende-Struktur zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [¼ ¼ ¼]Zinkblende Struktur(ZnS)

zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [¼ ¼ ¼] entlang der Raumdiagonalen verschoben

Basis: 0 0 0, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½Zn: , , ,¼ ¼ ¼, ¾ ¾ ¼, ¾ ¼ ¾, ¼ ¾ ¾


S:

4 ZnS-Einheiten pro kubische Elementarzelle


Diamant-Struktur Zinkblende (ZnS)-Struktur( )

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York) (Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)

zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [¼ ¼ ¼] verschoben


hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp)

60°-Basis: 0 0 0, ½3 1 3/1/

1 3/2 3/zwei verschachtelte hexagonale Gitter um [ ½] (in einer 120°-Basis) oder um [ ½] (60°-Basis) verschoben1 3/1 3/


120°-Basis: 0 0 0, ½1 3/2 3/

2 Atome pro hexagonale ElementarzellePackungsdichte: 74%

S lf l ABABABStapelfolge: ABABAB...

kubisch dichteste = fcc-Gitter (entlang der Raumdiagonalen betrachtet)!kubisch dichteste Kugelpackung (ccp)

fcc Gitter (entlang der Raumdiagonalen betrachtet)!

Basis: 0 0 0, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½

Koordinationszahl: 12 (d.h. 12 nächste Nachbarn)Koordinationszahl: 12 (d.h. 12 nächste Nachbarn)4 Atome pro kubische ElementarzellePackungsdichte: 74%

Stapelfolge: ABCABCABC...

Dichteste KugelpackungenRepetition Einführung in die Festkörperphysik

hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp)

kubisch dichteste Kugelpackung (fcc)

A

B

AC

(Quelle: Ashcroft, Mermin, (Quelle: Ashcroft, Mermin,

B

B

C

Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)

Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)

AA

AC



BC

Stapelfolge ABABAB... Stapelfolge ABCABCABC...

Bedeutung der Symmetrie


Bedeutung der Symmetrie

wenn eine Kristallstruktur invariant unter einer Symmetrieoperation Sist, dann besitzt auch der Hamilton-Operator H diese Symmetrie

H und der Symmetrieoperator S sind vertauschbar: [S, H] = 0

H und S besitzen ein gemeinsames System von EigenzuständenH und S besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

Die Eigenzustände von H lassen sich nach den Eigenwerten derSymmetrieoperation klassifiziereny p


Gitterkonstante Ausdehnung der Elementarzelletypische Werte: 1-10 Å (1 Å = 0.1 nm)

Beugung an Kristallen Voraussetzung: Wellenlänge λ ≤ 1 Å

Röntgenstrahlung im keV-Bereich

Elektronenstrahlen ab 100 eVNeutronenstrahlen ab 50 meV

Bragg-Bedingung n = Ordnung des BeugungsreflexesN∈λ=θ n,nsind2Bedingung für konstruktive Interferenzg g

θ

keine Information über Intensität der Reflexe

konstruktive Interferenz von den an parallelen Gitterebenen reflektierten Teilstrahlen

d

θ

2θ

Elektronendichte ( ) ( )rnTrn rrr=+ 0i332211 n,anananT Z∈++=

rrrrRepetition Einführung in die Festkörperphysik

Elektronendichte ( ) ( )rnTrn =+orenGittervektprimitiveai =

r

Streuung der Röntgenstrahlen an der Elektronendichte

Translationsinvarianz des Gitters führt zur Periodizitätaller physikalischen Eigenschaften

Elektronendichte kann als Fourier-Reihe dargestelltwerden

1-dim. komplexe ( ) ∑π xp2i nn =∗mit1 dim. komplexe

Fourier-Darstellung der Elektronendichte

( ) ZC ∈∈= ∑>

p,n,enxn p0p

ap

pp nn =−mit

damit n(x) ∈ R

besitzt Periodizität a, d.h. n(x + a) = n(a)

der Faktor 2πp/a hat die Dimensioneiner reziproken Länge und

n(x)

einer reziproken Länge undbeschreibt einen Gitterpunkt imFourier-Raum des Kristalls, der alsreziproker Raum bezeichnet wird

x (m)

G (m )-1

a

2πa

4πa

-2πa

-4πa

-6πaezip oke aum be e c et w d

die Fourier-Darstellung von n besitzt nur Werte an denreziproken Gitterpunkten 2πp/a

a aaaa

Elektronendichte ( ) ∑ ⋅= rGiGenrn

rr

rr

G = reziproker Gittervektor →


Elektronendichte(dreidimensional)

( ) ∑G

Ger

p

GG nn rr =∗−mit damit n(x) ∈ R

die Vektoren sind so zu wählen, dass ( ) ( )rnTrnrrr

=+Gr

( )∫ ⋅− rGidV1 rrr V V l d( )∫ ⋅−=EZV

rGi

EZG erndV

Vn r

r VEZ = Volumen der Elementarzelle

die Fourier-Zerlegung einer Funktion, die periodischdie Fourier Zerlegung einer Funktion, die periodischim Kristallgitter ist, hat nur Komponenten anreziproken Gitterpunkten des Kristalls

primitive reziproke 32 aa2brrr ×

π [ ] 1mb −=


primitive reziproke Gittervektoren ( )321

321 aaa

2b rrr×⋅

π=

13 aa2brrr ×

π=

[ ]i mb =

ai = primitive Gittervektoren im realen Raum

→

( )3212 aaa

2b rrr×⋅

π=

21 aa2brrr ×

π=

im realen Raum

( )3213 aaa

2b rrr×⋅

π=

bi spannen das reziproke Gitter auf→

ijji 2ab πδ=⋅rr

t h k ht j i i iti Gitt kt⎩⎨⎧

=≠

=δji,1ji,0

ij

stehen senkrecht zu je zwei primitiven Gittervektoren des Kristallgitters

0i332211 v,bvbvbvG Z∈++=rrrr

jede Kristallstruktur hat zwei charakteristische Gitter:

reziproker Gittervektor [ ] 1mG −=

Kristallgitter im realen Raumreziprokes Gitter im reziproken Raum

Reziprokes GitterRepetition Einführung in die Festkörperphysik

kubisch raumzentrierte Struktur

kubisch flächenzentrierte Struktur

(Quelle: Ch. Kittel,

(Quelle: Ch. Kittel,

Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)

R l b i k R f

Realraum: fcc


Realraum: bcc reziproker Raum: fcc

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid

reziproker Raum: bcc


Streubedingung kkk,Gkrrrrr

−′=Δ=Δ G = reziproker Gittervektor →


g g ,G p

die Menge der reziproken Gittervektoren enthält alle möglichen Beugungsreflexe

( ) ( )∑∫∫ ⋅Δ−⋅Δ− rkGirki dVdVFrrrrrr

St lit d

alternative Formulierung (identisch mit Bragg-Bedingung

2GGk2 =⋅rr

( ) ( )∑∫∫ ⋅Δ−⋅Δ− ==G

rkGiG

rki endVerndVFr

rr

GnVF r= falls Streubedingung erfüllt, sonst

Streuamplitude

0F =

N t b b t d 2π afür kubische

die Streuamplitude hat nur Beiträge an Punkten des reziproken Gitters

Netzebenenabstand[für Netzebene (hkl)] hkl

hklG2d r

π= 222hkl

lkhad

++=für kubische

Systeme gilt:

( )lkhblbkbhrrrr

der reziproke Gittervektor steht senkrecht zur Netzebenenschar mit Miller-Indizes gleich den Komponenten des reziproken Gittervektors

( )lkhblbkbhG 321hkl ⊥++=

Miller-Indizes gleich den Komponenten des reziproken Gittervektors

die Miller-Indizes sind die Komponenten des kürzesten reziproken Gittervektors, der senkrecht zur Netzebenenschar steht

Ewald Konstruktion


Ewald-KonstruktionEwald-Kugel: Kugel mit Radius k

der Wellenvektor k der einfallenden Welle endet auf→

→k

→Δk = G

→

jeder Schnittpunkt der Kugel mit dem reziproken Gitter definiert die Richtung eines Beugungsreflexes

der Wellenvektor k der einfallenden Welle endet auf einem beliebigen Gitterpunkt

→k‘

Brillouin Zone di 1 B ill i Z i t di Wi S it Z ll

Gitter definiert die Richtung eines Beugungsreflexes

Brillouin-Zone die 1. Brillouin-Zone ist die Wigner-Seitz-Zelledes reziproken Gitters

der Rand der n Brillouin-Zone definiert= ½ G

der Rand der n. Brillouin-Zone definiert alle k-Vektoren, die im Kristall Bragg-reflektiert werden können

rr 1rr

→G→

k

2GGk2 =⋅rr

2G21Gk =⋅

rr

= mittelsenkrechte Ebene auf G→

= Streubedingung

Brillouin-ZonenRepetition Einführung in die Festkörperphysik

1. Brillouin-Zone: Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Gitter

alle Brillouin-Zonen haben das gleiche Volumenn. Brillouin-Zone:lassen sich durch Translation um einen reziprokenGittervektor lückenlos in die erste Brillouin-Zone verschieben

1 BZ1. BZ2. BZ3. BZ


St kt f kt ( ) ( )∑ ∫ ρ⋅−⋅−s

GirGi dVS jrrrr r s = Anzahl Atome


Strukturfaktor ( ) ( )∑ ∫=

ρρ=1j

Gi

Vj321G endVev,v,vS

EZ

jr s Anzahl Atomein der Basis

rj = (xj, yj, zj) = Koordinaten der B i t0i332211 v,bvbvbvG Z∈++=

rrrr

( ) ( )∑ ++π−=s

zvyvxv2ij321G

j3j2j1efv,v,vS r

Basisatome033

=1jder Strukturfaktor beschreibt die Interferenzen durch die Streuung an identischen und elektronische gleichwertigenAtomen innerhalb einer ElementarzelleAtomen innerhalb einer Elementarzelle

jrrrrr

−=ρAtomfaktor ( )∫ ρ⋅−ρ= Gijj endVf

rrrgilt allgemeinjrrρ

( ) ( )∫ ρ

ρρρρπ= j

2j G

Gsinnd4f nj(ρ) = kugelsymmetrischeElektronendichte

( )∫ ρV

jj g g

∫ ρV G Elektronendichte

zusätzlich: nj(ρ) bei ρ = 0 zentriert( ) Znd4fV

j2

j =ρρρπ= ∫Z = Anzahl Elektronen im AtomV Z Anzahl Elektronen im Atom

der Atomfaktor beschreibt die Stärke der Streuung an einem Atom (Thomson-Streuung)


Methoden der Strukturanalyse

Laue-Methode:nutzt breitbandige Röntgenstrahlung λ - λ0 um Ewald-Kugel zu verbreitern

liefert nur die Symmetrie nicht die StrukturStreubedingung häufiger erfüllt

Drehkristall-Methode:

liefert nur die Symmetrie nicht die Struktur

Der Kristall wird um eine Achse gedreht. Die Reflexe werden auf einem Film aufgezeichnet, der um den Kristall fixiert ist.

di R fl d l ti K i t ll i ti f i h t

Debye-Scherrer (Pulver)-Methode:

die Reflexe werden relativ zur Kristallorientierung aufgezeichnet

y ( )

gemessen wird ein Kristallpulver. Die Reflexe werden auf einem Filmstreifen aufge-zeichnet, der ringförmig um die Pulverprobe parallel zur Einfallsrichtung gelegt ist.

sehr genaue Methode

Methoden der StrukturanalyseRepetition Einführung in die Festkörperphysik

Laue-Methode:nutzt breitbandige Röntgenstrahlung λ1 - λ0

Wellenvektorbereich: k0 – k1

„Verdickung“ der Ewald-Kugel

Streubedingung häufiger erfüllt k

k1g g g

liefert nur die Symmetrie nicht die Struktur


0k0

Drehkristall-Methode:Der Kristall wird um eine Achse gedreht. Die Reflexe werden auf einem Film aufgezeichnet, der um den Kristall fixiert ist.

Bragg-Reflexe laufen auf Kreisendurch die Ewaldkugel kdurch die Ewaldkugel

die Reflexe werden relativ zurKristallorientierung aufgezeichnet

(Quelle: Ashcroft Mermin

k


Methoden der StrukturanalyseRepetition Einführung in die Festkörperphysik

Debye-Scherrer (Pulver)-Methode:y ( )gemessen wird ein Kristallpulver. Die Reflexe werden auf einem Filmstreifen aufgezeichnet, der ringförmig um die Pulverprobe parallel zur Einfallsrichtung

Δkk k‘

k‘Δk

kPulverprobe parallel zur Einfallsrichtung gelegt ist.

Mittelung über alle RichtungenKugel mit Radius Δk

k k k

Kugel mit Radius Δk

Schneidet Ewald-Kugel in Kreisensehr genaue Methode


k‘

(Quelle: G. Burns, Solid State Physics, Academic, Orlando)

Temperaturabhängigkeit Bragg-Reflexe bleiben scharf


Temperaturabhängigkeit der Röntgenreflexe

Bragg Reflexe bleiben scharf

Intensität nimmt ab mit zunehmender TemperaturIntensität nimmt ab mit wachsendem

Debye-Waller-Faktor

Intensität nimmt ab mit wachsendem Streuvektor bzw. reziprokem Gittervektor

( ) ( )s

tuGirGij eeftS j∑ ⋅−⋅−=

rrrr

r

( ) ( )turtr jjrrr

+= thermische Fluktuation um die Gleichgewichtslage

zeitlich gemittelter St kt f kt( )

t1jjtG eeftS ∑

=

r Strukturfaktor

( ) ( )∑ ⋅−− s

rGiGtu61

j2

t2

efSSetSrr

T l E t i kl( ) ∑=

==1j

jGG6

tGjefS,SetS rrr aus Taylor-Entwicklung

( ) ( ) 2Gtu312

SIIetSI2

t2

rr ===−

Intensität( ) G00tG SI,IetSI rr ===

TGk 2

Intensität

Debye-Waller-Faktor:( ) 2

t2 Gtu

31

e−

0M

TGk

IeI 2B

ω−

=Intensität für harmonischen Oszillator:(Masse M, Resonanzfrequenz ω)

ebye W e o e

Temperaturabhängigkeit der Röntgenreflexe in Aluminium


Röntgenreflexe in Aluminium

Beobachtungen:

Bragg-Reflexe bleiben scharf

(200)

(400)

Intensität nimmt ab mit zunehmender Temperatur

Intensität nimmt ab mit

(600)

wachsendem Streuvektor bzw. reziprokem Gittervektor

(800)

(10 00)(10 00)


Gitterschwingungen Modell: jedes Atom ist ein harmonischer Oszillator


Atome sind durch die Bindungskräfte gekoppelt

N gekoppelte harmonischen Oszillatoren in drei Dimensionen

dli h l li K i N A

Anwendung: für Wellen in kubischen Kristallen, die entlang hoch-symmetrischer Richtungen ([100], [111], [110]) laufen

unendlich lange, lineare monoatomare Kette mit N Atomen1-dim.

Bewegungsgleichung: ( )s1s1s2s

2

u2uufdt

udM −+= −+

us = Auslenkung des s. Atoms aus der Ruhelage

M = Masse des AtomsM = Masse des Atomsf = Federkonstante zwischen

zwei Atomena = Gitterkonstante

Ansatz: ( ) ( )taski0

txki0s eueuu ω−ω− ==

ebene Welle x = s a, s ∈ Z

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ω

2kasin

Mf4Dispersionsrelation der

linearen monoatomaren Kette

k ∈ [- π/a, π/a] 1. Brillouin-Zone: reziprokes Gitter: b = 2π/adefiniert alle sinnvollen Werte von ω(k)!

GitterschwingungenRepetition Einführung in die Festkörperphysik

longitudinale Welle transversale Welle

u u u u uus+4

us+2us+1usus-1us-2

us-1 us us+1 us+2 us+3

a a

K K


s-1 s s+1 s+2 s+3 s+4 s-1 s s+1 s+2s-2s-3

a

physikalische Relevanz der 1 B Z k π≤≤

π− ZB1k ∈


physikalische Relevanz der 1. B.Z.

die 1. Brillouin-Zone enthält ll ö li h W t (k)

ak

a≤≤ .Z.B.1k ∈

Periode des reziproken Gitters: b = 2π/aalle möglichen Werte von ω(k)

( ) ( ) ti0

stisi0

taski0s eu1eeueuu max ω−ω−πω− −===an der Zonengrenze:

(k = k = ± π/a)(k = kmax = ± π/a) stehende Welle!

,dkdvgω

= ( )kv kg

rrrr ω∇=Gruppengeschwindigkeit ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2kacosa

Mfvg,

dkg ( )kgpp g g⎠⎝ 2Mg

langwelliger Grenzfall kaMf

≅ω constaMf

kvvg ==

ω==

(ka << 1) Melastischer Grenzfall (Kontinuumslimit)

Mkg

Bedeutung vonBedeutung von periodischen Randbedingungen

sNs uu =+

1e aNki =periodische Randbedingung (N = Periode)

Z∈π

= n,Nn

a2k

genau N diskrete k-Werte in der 1. B.Z.


Relevanz der B ill i Z

Dispersionsrelation für lineare K tt it id ti h At ersten Brillouin-ZoneKette mit identischen Atomen

Wellen bezüglich At iti i ht

1. BZAtomposition nicht

unterscheidbar!

/ 0 / 2 /a



-π/a 0 π/a 2π/a

Gitterschwingungen in Kristallen mit zweiatomiger Basis


Modell: 2N gekoppelte harmonischen Oszillatoren in drei Dimensionenlineare biatomare Kette mit 2N Atomen, period. Randbeding.

Anwendung: Wellen in NaCl-, CsCl-, Diamant-Strukturen entlang der [111]-Richtung

Bewegungsgleichung ( )s1ss2s

2

1 u2vvfdt

udM −+= − ( )ss1s2s

2

2 v2uufdt

vdM −+= +2dtMi = Masse der Atome

Ansatz ( )taskieuu ω−= ebene Wellen x = s a s ∈ Z

2dt

( )taskievv ω−=

f = gleiche Federkonstante

Ansatz s euu = ebene Wellen x s a, s ∈ Zs evv =

Dispersionsrelation ( )kacosMM2MMMMf

MMMMf 21

22

21

2121

2122,1 ++±

+=ω

ka << 1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ω+

21

2

M1

M1f2( )

22

21

2 akMM2

f+

=ω−akustischer Ast [ω(k→0) = 0]

optischer Ast [ω(k→0) ≠ 0]

ka = ±π/a1

2

Mf2

=ω−2

2

Mf2

=ω+akustischer Ast (M1 > M2)

optischer Ast (M1 > M2)


Dispersion für Germanium (80 K) in [111]-Richtung

O

Dispersionsrelation für lineare Kette mit zwei Atomen

LO

TOoptische Phononen

(Quelle: Ch. Kittel, TA

LA

Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)akustische

Phononen

Dispersion für KBr (90 K) in [111]-Richtung

LO

TO(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)


TALA


Anzahl Moden p Atome / primitiver Elementarzelle


(periodische Randbeding.) 3p Äste der Dispersionsrelation ω(k)

3 akustische Äste [ω(k → 0) = 0] pro Elementarzelle

(3p-3) optische Äste [ω(k → 0) ≠ 0] pro Elementarzelle

ein longitudinal polarisierter Ast: LA oder LO

zwei transversal polarisierte Äste: TA oder TO

akustische Äste: 1 LA + 2 TA

bei N Elementarzellen gibt es genau N Moden pro Ast

optische Äste: (p-1) LO + 2(p-1) TO

g g p

insgesamt 3pN Moden für N Elementarzellen mit p Atomen

3N akustische und (3p-3)N optische Moden

Phonon Energiequantum einer Gitterschwingung, bzw.


Phonon

( )1 nnE N∈ω+= h

n = Besetzungszahl

Energie eines Phonons

Energiequantum einer Gitterschwingung, bzw. quantisierter Gitterschwingungszustand

N = Anzahl Atome( ) 02phon n,nE N∈ω+= h

( )ωρ

+=

Vn2u 2

120

hquantisierte Amplitude:

Energie eines PhononsM = Masse des Atoms

V = Volumen des KristallsDi ht d K i t llωρV

Kristall Impuls hk i kpr

hr

= k h = Wellenvektor des Phonons→

ρ = Dichte des Kristalls

Kristall-Impuls(Phononen-Impuls)

phonkrist kp h kphon Wellenvektor des Phonons

das Phonon verhält sich in Streuprozessen als ob es einen Impuls hätte. Aber es hat keinen

Bemerkung:

physikalischen Impuls, da der Gesamtimpuls des Kristalls verschwindet außer für k ≡ 0

inelastische Streuung an Phononen

Gkkk phon

rrrr+=+′ Phonon-Erzeugung G = reziproker

Gittervektor

→

Gkkk phon

rrrr++=′ Phonon-Vernichtung

k, k’ = Wellenvektor des ein-/ausfallenden Teil-chens (z. B. Photon, Neutron, Elektron)

→ →

Zustandsdichte Anzahl Moden im Wellenvektorintervall dk( ) dNkD =


(im k-Raum in 1-D)Anzahl Moden im Wellenvektorintervall dk( )

dkkD =

Modell: lineare monoatomare Kette der Länge L = Na

Randbedingung: Enden fest N: Anzahl Atome

N32k π=

ππππ= L

( ) ( ) 0kLsinNkasin ==a: Atomabstand

N-1 k-Werte (Moden)aL

,L

,L

,L

k == L N-1 k-Werte (Moden)

jede Eigenmode kann eindeutig einem k-Wert zugeordnet werden d h man kann die k Werte

Bemerkung:

( ) ==L1kDk π

=ΔModenabstand:

zugeordnet werden, d.h. man kann die k-Werte stellvertretend für die Eigenmoden betrachten

( )πΔk

periodische Randbedingung: us = us+N

L

1ee ikLiNka ==

Modenabstand:

( )aL

N,L4,

L2,0,

L2,

L4,,

L2N,

LNk π

=ππππ

−π

−π−

−π

−= LL

( )π

=2LkD

L2k π

=Δ N k-Werte (Moden) in der 1. BZ(N gerade)

periodische Rand- ( ) ( ) z,y,xi,eee izyx eLrkizkykxkirki === +⋅++⋅rrrr Würfel der Kan-


bedingung in 3-D,y,,

tenlänge L = Na, d.h. N3 prim. E.Z. im Volumen V = L3aL

N,L4,

L2,0k,k,k zyx

π±=

π±

π±

π±= L

( )( ) ( )33

3

2V

2LkD

π=

π=3-D Zustandsdichte im k-Raum

(periodische Randbedingung)

êi = Einheitsvektorin x-, y- oderz Richtung

( ) ( )( )

33 k

34

2VkdkDkN π

=′′= ∫Anzahl Zustände mit Betrag ≤ k:

z-Richtung

( ) 2

2

2kVkD =

Zustandsdichte Anzahl Zustände im

( ) ( )( )3

kRadiusmitKugel 32π∫g

(Kugel im k-Raum)

( ) ( ) 1kDdkdNdND ===ω

( ) 22π

Zustandsdichte (im Frequenzraum)

Anzahl Zustände im Frequenzintervall dω

( ){ {

( )g

Ableitunginnere

Ableitungäußere

vkD

ddkdD =

ω=

ω=ω

dkVk23 D Zustandsdichte vg = dω/dk = Gruppeneschwind. ( )ωπ

=ωddk

2VkD 2

23-D Zustandsdichte(im Frequenzraum)

diese Herleitung berücksichtigt keine PolarisationBemerkung: g gg

für große N liegen die k-Werte sehr dichtquasikontinuierliche, homogene Verteilung

Zahl der Zustände ( )( ) ( ) ( ) =ω+ω=ω+ω=ω+ω constdkconstdkconstdk

VV


Zahl der Zustände im Freq.intervall dω ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

∫∫∫=ω

⊥ω=ω=ω π

=π

==ωωconstk

3constk

33

constk

3 dkdS2Vkd

2VkdkDdD

r

3mit ⊥ω= dkdSkd3 dSω = Flächenelement im k-Raum auf der Fläche ω(k) = const

dk⊥ = Komponente von k senk-→

die Zahl der Zustände im Frequenzintervall dω ist gegebenBemerkung:

dk⊥ Komponente von k senkrecht zur Fläche dSω

die Zahl der Zustände im Frequenzintervall dω ist gegeben durch das Produkt von D(k) mit dem Volumen des k-Raums zwischen den Flächen ω(k) = const und ω(k) + dω = const

Bemerkung:

( )mit ( ) ( ) ( ) ⊥ω∇=⋅ω∇=ω dkkkdkkd kk

rrrrrrrr

( )( )kkddk

k

rr

r

rω∇

ω=⊥

( )( ) ( ) ( ) ∫∫

=ω

ω

=ω

ω

π=

ω∇π=ω

const g3

const k

3 vdS

2V

kdS

2VD rrr

r

3-D Zustandsdichte(im Frequenzraum)

Ableitung von D(ω) hat einen Pol für vg = 0van Hove-Singularität

Zustandsdichte der Phononen


Berechnung der Zustandsdichte im 2-D k-Raum

π/a2π/10a

Zustandsdichte im Silizium

π/a

k→

period. Randbedin-gungen für L = 10a

2π/10a

chte

D(ν

)

(Quelle: Ch Kittel

1. BZ:2π/a

k

(Quelle: Ibach/Lüth, F kö h ikus

tand

sdicFläche pro k-Punkt:

(2π/L)2 = (2π/10a)2


erlaubte k-


Frequenz ν (1012 s-1)

Zu

(1012

s-1)Punkte im

Kreis k: πk2/(2π/L)2

(Quelle: Ibach/Lüth, requ

enz

ν


Zustandsdichte D(ν)

Fr

Γ KX ΓΓ LX


Planck-Verteilung ∑∞

=ωλ

=

−

=0s

sTk

,k Ps1e

1nB

hr 1

Tkxfür,Tkn

B

B,k <<

ω=

ω≅

λ

h

hr

<nk,λ> = mittlere Besetzungszahl

−1e

<nk,λ>

λ = Polarisationsindex

innere Energie ( )∑∫λ

ω

ωωω= DdU

Tkh

h x-1 = kBT/hω

Wärmekapazität UC ⎟⎞

⎜⎛ ∂

= betrachten hier nur Gitteranteil C l

λ−1e TkB

von Phononen constVV T

C=

⎟⎠

⎜⎝ ∂

= betrachten hier nur Gitteranteil CV ,lat


Debye-Näherung kv=ω berücksichtigt nur akustische Phononen (v = const.)

Nv6 323 π

=ωcut-off Frequenz wird so gewählt, dass gleich i l M d Ph i i VD =ωviele Moden pro Phononenast existieren:

Debye-Temperatur DD k

ω=θh

∫Dx 344

B xdTVk3Uinnere Energie ωh Faktor 3 berücksichtigt

y pB

D k

∫ −π=

0x332

B

1edx

v2U

hinnere Energie

Tkx

B

= Faktor 3 berücksichtigt alle Polarisationen λ

33⎞⎛⎞⎛

3⎞⎛

Debye T3-Gesetz(T << θD)

3

DB

3

DB

4

lat,VTkN234TNk

512C ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ

π=

DB

4 TTNk53U ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ

π=

Gesetz von Dulong-Petit(T >> θD)

constNk3C Blat,V ==

klassischen Grenzwert eines 3D schwingenden Systems mitklassischen Grenzwert eines 3D schwingenden Systems mit N Atomen, bei dem alle Schwingungsmoden angeregt sind

Wärmekapazität der Phononen


ä e apa tät de o o e

Wärmekapazität der Wärmekapazität vonWärmekapazität der Phononen (Debye)

Wärmekapazität von Germanium und Silizium

Ge

SiSi



Wärmekapazität der Phononen


p

T3-Gesetz von Debye fü f t A

Vergleich des Debye- mit d Ei t i M d llfür festes Argon dem Einstein-Modell

)

Debye

mol

-1K

-1)

Einstein

Cv

(mJ

m

(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics Saunders Philadelphia)T3 (K3)

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)Physics, Saunders, Philadelphia)( )

b l t T t 1S ⎞⎛ ∂ S E t i


absolute Temperatur(statistische Definition) T

1US

V,N

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂dSTdU = S = Entropie

S

U = innere Energie

glnkS B= g = Anzahl möglicher Zustände

BkS

eg =Entropie und Anzahl Zustände

chemisches Potential(mit Massenaustausch) TN

S

V,U

μ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ N = Teilchenzahl

U = innere Energie

( ) ( )NS1

USEN,US1N,EUS

V,UV,N00 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−≅−− Taylor-Entwick-lung

F i Di V il ( ) ( ) 1

( ) TTEUS 0 μ+−=

Fermi-Dirac-Verteilung

T 0 E

( ) ( )1e

1T,EfE,1PTkµE

B +

== −

Boltzmann-Verteilung

T = 0 µ = EF

E - µ >> kBT ( ) TkµE

BeT,Ef−

−

=

Freies ElektronengasRepetition Einführung in die Festkörperphysik

Fermi-Dirac-Verteilung

500 K

2 5⋅104 K

104 K 5⋅103

K

5⋅104 K

2.5⋅10 K

5 10 K

105 K

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid StateIntroduction to Solid State Physics, Wiley, New York)

Modell Freies gut für Alkalimetalle (Li, Na, K, Rb, Cs)


Elektronengasg f ( )

N Leitungselektronen, N einfach positiv geladene Ionenrümpfe

Elektron wird nicht gestreut an periodisch angeordneten At (M t i ll !)Atomen (Materiewelle!)

Elektron-Elektron-Streuung selten wegen Pauli-Prinzip

( ) ( ) ( )rErkkkm2 kkk

2z

2y

2x

2 rrhrrr ψ=ψ++Freies Elektronengas

(in 3-D)zeitunabhängigeSchrödinger-Gleichung

( ) ( )trki0k et,r ω−⋅ψ=ψ

rr

rr

Wellenfunktion ebene Welle

( ) ( ) z,y,xi,reLr kik =Ψ=+Ψrr

rrperiodische Randbedingungen

êi = Einheitsvektor in x-, y-, z-Richtung

LL6,

L4,

L2,0k z,y,x

π±

π±

π±= kx,y,z quantisiertWellenvektor

( )2222

22

k zyx kkkm2

km2

E ++==hh

r kx,y,z quantisiertEnergie in 3-D

Teilchenzahl ( ) ( ) 33

kVk342kN =π

= Pauli-Prinzip:


31

2N3k ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ πFermi Wellenvektor

Teilchenzahl(im k-Raum)

( )( ) 23 k

3L22kN

π=

π= z p

jedes Orbital wird mit zweiElektronen besetzt

F Vk ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

=

32

222

2 N3kE ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ π

==hh

Fermi-Wellenvektor

Fermi-Energie EF = höchster besetzterFF Vm2

km2

E ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

==

FF

ET =

Fermi-Energie

Fermi-Temperatur

EF höchster besetzterEnergiezustand

BF k

TFermi Temperatur

( ) Em22V

dEdNED

23

22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==h

Zustandsdichte ( ) EED ∝( )2dE 22 ⎠⎝π h

( )

temperaturabhängige Z standsdichte

( ) ( ) ( )EDT,EfT,ED = f(E,T) = Fermi-Dirac-VerteilungZustandsdichte

Wärmekapazität in Metallen

3V ATTC +γ= elektronischer (γ) + phononischer Beitrag (A)

(prop zu T) (prop zu T3)in Metallen(T << TF, θD)

(prop. zu T) (prop. zu T )


Fermi-Kugel Zustandsdichte des freien Elektronengas

kBT)

→Fermi-Oberfläche bei Energie E

kBT

icht

e D

(E)

T = 0 K

(Quelle: Ch Kittel

kF→ bei Energie EF

(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to S lid St t Ph iZ

usta

ndsd


Solid State Physics, Wiley, New York)

Energie EF

Z T > 0 K


Wärmekapazität von Kalium (Quelle: Ch Kittelm

ol-1

K-2 )

C/T = 2.08 + 2.57 T2

von Kalium (Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)

T2 (K2)C/T

(mJ

m

γ-Konstante der Wärmekapazität

T (K )C


( )kd rrr

Bewegungsgleichung


( )BvEedtkd r

h ×+−=Bewegungsgleichung in äußeren Feldern 2. Newton‘sches Gesetz

für B = 0→

Verschiebung der Fermi-Kugel als Ganzes um δk→

τ−=δ Eekr

h

r τ = mittlere Stoßzeit

elektrische Leitfähigkeit ne2τ m1− ifi h Wid t d

τvF=l

elektrische Leitfähigkeit

mittlere freie Weglänge

m=σ

τneσρ 2

1 == ρ = spezifischer Widerstand

Bsp. Cu: τ4K = 2⋅10-9 s, l4K = 3 mm, l300K = 30 nm

Bewegung mit Reibung ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×δ+−=×+−=δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ Bk

mEeBvEek1

dtd rrhrrrrr

h⎠⎝⎠⎝ τ mdt

v = hδk/m = Geschwindigkeit→ →δk/τ = Reibungsterm→

thermische Leitfähigkeit κ = WärmeleitzahlTκjQ ∇−=rr

thermische Leitfähigkeit in Metallen

TκjQ ∇

Wiedemann-Franz-Gesetz LTTk 2B

2

=⎟⎞

⎜⎛π

=κ 2

B2 kL ⎟

⎞⎜⎛π

= Lorenz-ZahlWiedemann Franz Gesetz LTTe3

=⎟⎠

⎜⎝

=σ e3

L ⎟⎠

⎜⎝

=

= 2.45⋅10-8 W Ω K-2

Lorenz-Zahl


Verschiebung der Fermi-Kugel im elektrischen Feld

Ft = 0 t > 0ky ky

kx kx


Temperaturab-hängigkeit des

Umklapp-StreuungGelektrischen

Widerstands in Kalium

R/R

290

K

k

q

G

Rre

l= 1

02R k

k

q

k’k’


R

T (K)(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)

Modell des fast freien Einbezug der Periodizität des Gitters aber nur schwache


Modell des fast freien Elektronengases

Einbezug der Periodizität des Gitters, aber nur schwacheWechselwirkung mit dem periodischen Potential derIonenrümpfe

fast freies Elektronengas(in 1-D)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

+ axπcosψee

2ψψ 0

axπi

axπi

0

stehende Wellen

2

am Zonenrand (k = ±π/a)⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−

− axπsiniψee

2ψψ 0

axπi

axπi

0

Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ±(x)|2 verschiedenführt zu einer Energielücke am Zonenrand

potentielle EnergieAbschätzung der Energielücke

( )[ ]a22

∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=a

x2cosUU 0

die Energielücke ist gleich der Fourier-

( )[ ] 00

22g UψψxUdxEEEE =−==−=Δ ∫ −+−+

Eg

freies Elek-

2. Band

1. Band

Komponente des Kristallpotentialstronengas

Bloch-Theorem Die Lösung der Schrödinger Gleichung für ein periodisches


Bloch-Theorem

( ) ( ) rkikk erurψ

rr

rrrr ⋅=

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein periodisches Potential hat die Form von Bloch-Wellen

( ) ( )Truru kk

rrrrr += T = Gittervektor

→mit

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rψeeerueTruTrψ kTkiTkirki

kTrki

kk

rrrrrrr

rrrrrr

r

rrr

rr⋅⋅⋅+⋅ ==+=+

Translationsverhalten von Bloch-Wellen im direkten Gitter

( ) ( )rψeTrψ kTki

k

rrrr

rr

r⋅=+

nicht periodisch im direkten Gitter

aber |ψ|2 ist periodisch im direkten Gitter:

( ) ( ) ( ) ( ) 2

k

2

k

2Tki

2

kTki2

k rψrψerψeTrψ rrrrrrr

rr

r

rr

r ===+ ⋅⋅

Translationsverhalten von Bloch-Wellen im reziproken Gitter

( ) ( )rψrψ kGk

rrrrr =

+G = reziproker

Gittervektor

→

periodisch im reziproken Gitter

Energieeigen- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222

hk GkGkGkkEGkEkE +++++==+=hrrrr

l


Energieeigenwerte der Bloch-Wellen

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zzyyxxhk GkGkGkm2

kEGkEkE +++++==+= l

G = reziproker Gittervektor →

321 bbkbhGrrrr

l++=

Energie ist periodisch im reziproken Raum

Schar von Parabeln im Abstand G(in der Näherung des leeren Gitters)

→

(in der Näherung des leeren Gitters)

es genügt E(k) in der 1. Brillouin-Zone zu diskutieren→

zu jedem k gibt es ∞ viele Energieeigenwerte Ehkl(k)→ →

es genügt E(k) in der 1. Brillouin Zone zu diskutieren

Ursache der Entartung am Rand jeder Brillouin-Zone wird durch das i di h P i l f h bEnergiebänder periodische Potential aufgehoben

E(k) i t h b d t b h ä kt d i di h

es entsteht eine Energielücke am Zonenrand

E(k) ist nach oben und unten beschränkt und periodisch

es entstehen Energiebänder zwischen den Energielücken

Anzahl Zustände im Energieband

jedes Energieband enthält genau 2N Zustände

Fast freies Elektronengas


Entstehung der Energiebänder

Bandverlauf anBandverlauf an der Zonengrenze

Zonengrenze

Ene

rgie

zweites Band

erstes Banderstes Band


k/(½G1)

Energie-bänder

State Physics, Wiley, New York)


Ionen-Bindung (z.B Gruppe I+VII) Salze sehr stark: ~5-10 eV · Ionen-Bindung (z.B Gruppe I+VII)...

Documents

Transcript of Ionen-Bindung (z.B Gruppe I+VII) Salze sehr stark: ~5-10 eV · Ionen-Bindung (z.B Gruppe I+VII)...