Ionisierungsgleichgewichte leichter Elemente in den starken ......Ionisierungsgleichgewichte...

Ionisierungsgleichgewichte leichter Elementein den starken Magnetfeldern

von Neutronensternen

Bachelorarbeit vonDaniel Krüger

28. September 2012

Prüfer: Prof. Dr. Günter Wunner

1. Institut für Theoretische PhysikUniversität Stuttgart

Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 11.1. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Theoretische Grundlagen 32.1. Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Entstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2. Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1. Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2. Saha-Ionisierungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3. Bestimmung der Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4. Autoionisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. Das Wasserstoffatom im starken Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1. Transversale Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2. Longitudinale Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Das Vielteilchenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Lösungen des Vielteilchenproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1. Das Ritz’sche Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.2. Das Hartree-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.3. Das Hartree-Fock-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.4. Finite Kernmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Die genutzten Programme 193.1. HFFER II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Berechnung aller nicht-autoionisierenden Zustände . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Berechnung der Saha-Ionisierungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Auswertung der Saha-Ionisierungsgleichungen 234.1. Saha-Ionisierungsgleichgewichte bei 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1. Einfluss der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2. Saha-Ionisierungsgleichgewichte bei 108 T und 1010 T . . . . . . . . . . . . . 25

5. Zusammenfassung und Ausblick 33

iii

Inhaltsverzeichnis

A. Weitere Saha-Ionisierungsgleichgewichte 35A.1. Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A.1.1. B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.1.2. B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.1.3. B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.2. Lithium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.2.1. B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.2.2. B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.2.3. B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

A.3. Beryllium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.3.1. B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.3.2. B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.3.3. B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.4. Bor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.4.1. B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.4.2. B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.4.3. B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.5. Kohlenstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A.5.1. B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A.5.2. B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.5.3. B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.6. Stickstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67A.6.1. B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67A.6.2. B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.6.3. B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

B. Rydberg-Einheiten 73

Literaturverzeichnis 75

Danksagung 77

iv

Abbildungsverzeichnis

1.1. Spektrum des Neutronensternes 1E 1207.4-5209 . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Coulomb-Potentialtopf unter Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes. . . . 82.2. Energieniveauschema für ein Wasserstoffatom bei einer Magnetfeldstärke von

B = 4,7 · 108 T. Für ~Ωc ergibt sich ein Wert von ≈ 29,6 eV |m| [1]. . . . . . . 13

3.1. Aufreihung der Elektronen entsprechend ihrer (−m, ν)-Tupel. . . . . . . . . . 203.2. Die magnetische Quantenzahl des “letzten” Elektrons (Elektron mit der nied-

rigsten magnetischen Quantenzahl bei gleicher Knotenzahl) wird um eins ge-senkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3. Die Knotenzahl des letzten Elektrons wird um eins erhöht, die magnetischeQuantenzahl wird auf −m = 0 gesetzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Sauerstoff bei einer Temperatur von kT =120 eV und einer Magnetfeldstärke von 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei einer Temperatur von kT =120 eV und einer Magnetfeldstärke von 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



4.5. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei einer Temperatur von kT =150 eV und einer Magnetfeldstärke von B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei einer Temperatur von kT =150 eV und einer Magnetfeldstärke von B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.7. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei einer Temperatur von kT =150 eV und einer Magnetfeldstärke von B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . 28




A.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

v


A.1. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Helium bei unterschiedlichen Tempera-turen und B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.2. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Helium bei unterschiedlichen Tempera-

turen und B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.3. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Helium bei unterschiedlichen Tempera-

turen und B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.4. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Lithium bei unterschiedlichen Tempera-

turen und B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.5. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Lithium bei unterschiedlichen Tempera-

turen und B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.6. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Lithium bei unterschiedlichen Tempera-

turen und B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48A.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.7. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Beryllium bei unterschiedlichen Tempe-

raturen und B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.8. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Beryllium bei unterschiedlichen Tempe-

raturen und B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.9. Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Beryllium bei unterschiedlichen Tempe-

raturen und B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.10.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Bor bei unterschiedlichen Temperaturen

und B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.11.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Bor bei unterschiedlichen Temperaturen

und B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58A.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.12.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Bor bei unterschiedlichen Temperaturen

und B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A.13.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Kohlenstoff bei unterschiedlichen Tem-

peraturen und B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.14.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Kohlenstoff bei unterschiedlichen Tem-

peraturen und B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

vi


A.15.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Kohlenstoff bei unterschiedlichen Tem-peraturen und B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67A.16.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Stickstoff bei unterschiedlichen Tempe-

raturen und B = 107 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.17.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Stickstoff bei unterschiedlichen Tempe-

raturen und B = 108 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71A.18.Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Stickstoff bei unterschiedlichen Tempe-

raturen und B = 1010 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

vii

1. Einleitung

1.1. Motivation

Neutronensterne sind kosmische Objekte, die aufgrund des hohen Entartungsdrucks der Neu-tronen im Inneren nicht zu schwarzen Löchern kollabieren können. Seit Anfang des Jahr-tausends stehen dank der Satelliten XMM-Newton und Chandra X-ray observatory genaueRöntgenspektren von isolierten Neutronensternen zur Verfügung, unter anderem auch vomNeutronenstern 1E 1207.4-5209 (siehe Abbildung 1.1)[2]. Wie man gut erkennen kann, sindim Spektrum deutliche Absorptionsmerkmale bei 0,7 keV, 1,4 keV und 2,1 keV zu erkennen.Es wird angenommen, dass die Oberfläche des Neutronensterns aus einem wenige Zentime-ter dicken, heißen Plasma besteht, dessen Zusammensetzung noch nicht endgültig geklärt ist.Um diese Zusammensetzung zu bestimmen, muss zuerst das Verhalten von Atomen in denextremen Magnetfeldern von Neutronensternen untersucht werden, mithilfe derer dann Ab-sorptionsmerkmale identifiziert werden können. Diese Merkmale hängen auch noch von derGravitationsrotverschiebung, der Plasmatemperatur und der Magnetfeldstärke ab, weswegenebenfalls die Oberflächentemperatur, das Magnetfeld und das Masse-Radius-Verhältnis desNeutronensternes bestimmt werden müssen. Damit können wieder Aussagen über den innerenAufbau des Neutronensternes getroffen werden. Ziel dieser Arbeit ist es, dazu einen Beitrag zuleisten, indem zuerst die energetisch günstigen und stabilsten Zustände für die ersten leichtenElemente von Wasserstoff bis Sauerstoff für verschiedene Magnetfeldstärken berechnet unddie daraus resultierenden Saha-Ionisierungsgleichgewichte untersucht werden.

1.2. Aufbau der Arbeit

In Kapitel 2 werden zunächst die theoretischen Grundlagen besprochen, die für das Verständ-nis dieser Arbeit notwendig sind. Dazu gehört ein kurzer Überblick über Neutronensterneund Plasmen. Außerdem soll in den theoretischen Grundlagen die Schrödinger-Gleichung fürAtome in extrem starken Magnetfeldern und ihre Lösung besprochen werden. Dann werden inKapitel 3 kurz die genutzten Programme und ihre Rechenmethoden erläutert und schließlichin Kapitel 4 die Saha-Ionisierungsgleichgewichte untersucht und ausgewertet. Abschließendwird eine Zusammenfassung und ein Ausblick gegeben.

1

1. Einleitung

Abbildung 1.1.: Spektrum des Neutronensternes 1E 1207.4-5209, aufgenommenvon XMM-Newton [2]. Oben: Messpunkte der Schwarzkörperstrahlung mit Tem-peraturfit. Unten: Abweichung des Spektrums vom oberen besten Temperaturfit inEinheiten der Standardabweichung. Es sind deutlich breite Absorptionsmerkmaleum 0,7 keV, 1,4 keV, 2,1 keV zu erkennen.

2

2. Theoretische Grundlagen

2.1. Neutronensterne

Neutronensterne sind die Überreste von Sternen, die nach einer Supernova übrig bleiben unddamit am Ende der Entwicklung des Sternes stehen. Sie besitzen eine sehr hohe Dichte, dieüblicherweise im Bereich von 1010 kgcm3 bis 10

13 kgcm3 liegt.

2.1.1. Entstehung

Üblicherweise entwickeln sich solche Sterne zu Neutronensternen, deren Masse zwischen un-gefähr 1,46 (Chandrasekhar-Grenze [3]) und 3 Sonnenmassen (Tolmann-Oppenheimer-Volkoff-Grenze) liegt. Beim Übergang eines Sternes zu einem Neutronenstern muss die Fermi-Energiestark ansteigen, um den auftretenden Graviationsdruck zu kompensieren. Es ergibt sich als un-terer Grenzwert der Fermi-Energie [4]

EkritFE = (mn −mp −me)c2 ≥ 0,782 MeV, (2.1)

wobei me die Masse des Elektrons, mp die Masse des Protons, mn die Masse des Neutrons undc die Lichtgeschwindigkeit ist. EkritFE ist der untere Grenzwert, da oberhalb dieses Wertes dieEnergie ausreicht, damit der inverse β-Zerfall

e + p → n + νe (2.2)

stattfinden kann. Bei steigender Dichte entstehen, da die Elektronen und Protonen praktischineinander gedrückt werden, durch den β-Zerfall immer mehr Neutronen, es entstehen alsoneutronenreiche Atomkerne. Da die Anzahl der Elektronen durch den β-Zerfall sinkt, nimmtauch die Elektronendichte ab und damit auch die Gleichgewichtsmasse M(ρ), wobei M(ρ)gegeben ist mit

M(ρ) = mp

(~c

Gm2p

) 32

√

ρ

ρkritfür ρ � ρkrit

1 für ρ � ρkrit,(2.3)

mit ρkrit =µ

λe

3. Dabei ist λe = ~mec die Compton-Wellenlänge des Elektrons und µ die mittlereTeilchenmasse. Dies bedeutet aber auch, dass der Gravitationsdruck deutlich stärker ist alsder Fermi-Druck der Elektronen, der bisher den Stern stabilisiert hat, und damit nicht mehrkompensiert werden kann, der Stern kollabiert und seine Dichte nimmt stark zu, bis schließlichder Entartungsdruck der Neutronen gerade den Gravitationsdruck kompensiert.

3


2.1.2. Eigenschaften

Wie bereits erwähnt, treten auf Neutronensternen üblicherweise Dichten auf, die größer sindals 1010 kgcm3 . Dies liegt daran, dass ab diesem Wert, die Wellenfunktionen der einzelnen Kernesich überlappen, also eine Art „entarteter Kernmaterie“ entsteht. Da die einzelnen Kerne über-wiegend noch aus Neutronen bestanden, besteht auch diese Materie vor allem aus Neutronen,die dafür sorgen, dass sich ein Fermidruck ausbildet.

Da das Volumen des Neutronensternes immer weiter abnimmt, steigt der Entartungsdruckder Neutronen stark an, bis schließlich der Entartungsdruck dem Gravitationsdruck geradeäquivalent ist.

Der minimale Radius Rkrit eines Neutronsternes beträgt ungefähr 10 km [4], womit sich füreinen Neutronstern mit einer Masse von M ≈ 1,5M� eine Dichte von ρ ≈ 2 · 10

30 kg(104 m)3 = 2 · 1012

kgcm3

ergibt. Allgemein ist zu beachten, dass Neutronensterne keinesfalls starre Gebilde im Welt-raum sind, sondern aufgrund der Drehimpulserhaltung beim Sternkollaps mit einer Rotations-frequenz von bis zu mehreren hundert Hertz rotieren und auch Schwingungen ausführen [4].Als Beispiele für solche Neutronensterne sei auf Pulsare verwiesen.

2.2. Plasma

Es besteht die Annahme, dass die Oberfläche eines Neutronensternes aus einem wenige Zen-timeter dicken Plasma besteht. Da in dieser Arbeit die Saha-Ionisierungsgleichung für solchein Plasma ausgewertet werden soll, macht es Sinn, zu klären, was ein Plasma ist und welcheEigenschaften Plasmen haben.

Unter einem Plasma versteht man ein ionisiertes Gas. Der Begriff “Plasma” geht auf Lang-muir und Tonks zurück, die 1929 erstmals ein ionisiertes Gas in einer elektrischen Entladungderart bezeichneten [5]. Oft wird Plasma auch als vierter Aggregatzustand beschrieben, aller-dings findet kein “klassischer” Phasenübergang statt. Trotzdem gibt es einige charakteristischeEigenschaften, die ein Plasma von einem neutralen Gas unterscheiden.

2.2.1. Eigenschaften

Im Gegensatz zu einem kalten Gas liegen in einem Plasma sehr viele bis alle Teilchen in einemgeladenen Zustand vor, wodurch es möglich ist, dass Ströme durch das Plasma fließen. DieseStröme bewirken, wie man es aus der Elektrodynamik kennt, Magnetfelder, die wiederum dieBewegung der Teilchen beeinflussen.

In einem Plasma herrscht annähernd Neutralität, das bedeutet, dass in Summe weitgehendGleichheit von positiven und negativen Ladungen vorliegt. In guter Näherung gilt also∣∣∣∣∣ne −∑

iZini

∣∣∣∣∣ne

= ε � 1, (2.4)

4

2.2. Plasma

wobei ne die Teilchendichte der freien Elektronen im Plasma und ni die Teilchendichte derIonen und Zi die effektive Kernladungszahl ist.

Ist ε klein genug, gilt also ungefähr ε < 10−2 [6], so bezeichnet man das Plasma als quasi-neutral. Üblicherweise liegt ε im Bereich von 10−6, Plasmen sind also stets quasineutral. Diesliegt daran, dass elektrostatische Kräfte auftreten, durch die es nicht möglich ist, dass Ladun-gen sich statisch anhäufen. Abweichungen von der Quasineutralität sind also nur auf zeitlichund räumlich kurzen Skalen zu erwarten.

Die angesprochenen Grundlagen der Plasmaphysik reichen für das Verständnis der Saha-Ionisierungsgleichung und damit für das Verständnis dieser Bachelorarbeit aus, insofern bleibtes dem geneigten Leser überlassen, bei Interesse weiter in die Materie einzudringen [5, 6].

2.2.2. Saha-Ionisierungsgleichung

Die Saha-Ionisierungsgleichung erlaubt es, die Abhängigkeit des Ionisierungsgrades einesPlasmas von der Temperatur zu bestimmen. Sie wurde 1920 vom indischen Physiker Dr. MeghNad Saha aufgestellt und lautet [7, 8]

nini+1ne

=12

(2π~2

mekT

) 32 tanh ηe

ηe

ηisinh ηi

sinh ηi+1ηi+1

eχikT

ZiZi+1

(2.5)

wobei ni die Teilchendichte eines Ionisierungsgrades i ist, ηe mit ηe = ~ωe2kT und ηi mit ηi =~ωi2kT

gegeben ist. χi steht für die Ionisierungsenergie, die benötigt wird, um den Ionisierungsgraddes Atoms um Eins zu erhöhen, und ist damit stets größer 0, Zi ist die Zustandssumme desAtoms mit dem i-ten Ionisierungsgrad.

Um mit dieser Gleichung rechnen zu können, müssen jedoch zuerst die Zustände bekanntsein, die das jeweilige Ion einnehmen kann. Am absoluten Nullpunkt ist thermisch lediglichder Grundzustand besetzt, das bedeutet, dass in die groß-kanonische Zustandssumme nur derGrundzustand eingeht. Jedoch ist dies bei höheren Temperaturen nicht mehr der Fall und dasAtom kann im ungestörten Fall alle, also unendlich viele Zustände einnehmen, die alle in dieZustandssumme eingehen. Da jedoch auf dem Neutronenstern sehr starke Magnetfelder undhohe Dichten vorliegen, sind weitere Effekte zu berücksichtigen, die die Anzahl der tatsächlicheingenommenen Zustände stark reduziert. Diese Effekte drücken sich unter anderem in denKorrekturen zur Kernmitbewegung des Atoms im Magnetfeld aus, die in Kapitel 2.5.4 erläutertwerden.

2.2.3. Bestimmung der Zustandssumme

Die Zustandssumme

Die Zustandssumme einer ist allgemein von der Form

Z =∑α

e−βEα (2.6)

5


mitZα =

ZZ0

=∑α

e−β(Eα−E0), (2.7)

wobei sich die Summe über alle Zustände α erstreckt, β = 1kT die inverse Temperatur undE0 die Grundzustandsenergie ist. Z0 = e−βE0 ist daher der Grundzustand. Generell divergiertdie Zustandssumme für alle Atome und Ionisierungsstufen, da prinzipiell unendlich viele an-geregte Zustände berücksichtigt werden müssten. Für den praktischen Fall von beschränktenDichten im Plasma (Volumenkorrektur), elektrischen Mikrofeldern und Autoionisation jedochkönnen nur endlich viele Zustände berücksichtigt werden und alle Zustandssummen bleibenendlich. Sie betragen praktisch Eins, wenn die Differenz zwischen der Energie des ersten ange-regten Zustandes und der Grundzustandsenergie groß ist gegenüber der thermischen Energie.In diesem Fall ist dann nur der Grundzustand bedeutend und das Verhältnis zwischen denZustandssummen zweier aufeinander folgender Ionisierungsstufen i und j ist praktisch gleichNull, da der Quotient zwischen den Grundzustandsenergien der Ionisierungsstufen annäherndNull ist,

ZiZ j

=Z0 jZ0i· Ziα

Z jα

Ziα≈Z jα≈1≈ Z0iZ0 j� 1. (2.8)

Dabei ist Zi die Zustandssumme der i-ten Ionisierungsstufe und Ziα die Zustandssumme deri-ten Ionisierungsstufe relativ zu dem Grundzustand. Damit verschwindet aber in der Saha-Ionisierungsgleichung das Verhältnis zwischen den Ionenzahldichten [9]

nin j∼ A · eβχ j mit χ j = E0 j − E0i � 0, (2.9)

was bedeutet, dass die i-te Ionisierungsstufe kaum besetzt werden kann.

Atomares Volumen und Plasmadichte

Betrachtet man ein Plasma mit hoher Teilchendichte, so beschränkt das mittlere Volumen fürjedes Teilchen die Zustandssumme, da Zustände sehr großen Volumens nicht mehr zur Zu-standssumme beitragen können. In einer einfachen Näherung berücksichtigen wir daher keineBeiträge zur Zustandssumme von Zuständen, deren Volumen das mittlere Volumen pro Atomüberschreiten. Das Volumen, welches ein Atom einnimmt, ist jedoch nicht leicht zu definieren,da es keine feste Schale oder Radius hat, sondern nur Aufenthaltswahrscheinlichkeitsbereicheder Elektronenwellenfunktionen.

Als Näherung für die Grenzen des Volumens eines atomaren Zustandes verwenden wir da-her in z-Richtung den Bereich, in dem die Wellenfunktion des schwächst-gebundenen Elek-trons – das auch das größte Volumen einnimmt – auf 10−4 des Maximums des Betrags derWellenfunktion abgefallen ist. In transversaler Richtung kann die Fläche des Einelektronen-zustandes über den mittleren Radius des Landauniveaus

〈Φn,m〉r = −1√β

√|m| + 1

2(2.10)

6

2.2. Plasma

abgeschätzt werden. Das Volumen ergibt sich dann aus dem daraus gebildeten Zylinder:

V = πr2 · 2z. (2.11)

Elektrische Mikrofelder und Stark-Sattelpunkt

In einem Plasma ist ein Großteil der Teilchen ionisiert und die Ladungsträger im Plasmawechselwirken elektrisch mit ihren nächsten geladenen Nachbarn. Jeder atomare Zustand wirddurch diese elektrischen Mikrofelder gestört. Eine rigorose Analyse dieser Störung ist jedochschwierig, weshalb hier einige Näherungen gemacht werden.

1. Die Abstände zwischen den geladenen Teilchen im Plasma seien groß genug, dass dieelektrischen Felder auf der Längenskala eines atomaren Zustandes als konstant ange-nommen werden können.

2. Die Verteilung der elektrischen Mikrofeldstärken entspricht der für Plasmen ohne starkeMagnetfelder, wie in [10] gegeben.

3. Die elektronischen Zustände seien stabil senkrecht zur Magnetfeldrichtung und die Elek-tronen können nur in z-Richtung destabilisiert werden. Wir wählen das elektrische Feldalso in z-Richtung.

4. Die Stabilität eines elektronischen Zustandes ist durch die Stabilität des am schwächstengebundenen Einteilchenzustandes gegeben.

Als Kriterium für die Stabilität wird die Stark-Sattelpunktsenergie (SSE) mit der Bindungs-energie eines Elektrons verglichen.

Um den Einfluss der elektrischen Mikrofelder zu bestimmen, muss zuerst geklärt werden,was passiert, wenn sich zu einem Kernpotential das Potential eines elektrischen Mikrofel-des addiert. Das Kernpotential verliert seine Symmetrie, es wächst auf einer Seite deutlichan, während es auf der anderen Seite praktisch vom Potential des elektrischen MikrofeldesVEMF “abgeschnitten” wird, wie in Abbildung 2.1 zu erkennen. Das lokale Maximum des ef-fektiven Potentials für den Teil größer Null heißt auch Stark-Sattelpunkt, da in den anderenRichtungen nicht zwangsweise Maxima vorliegen. Liegt die Bindungsenergie unterhalb derStark-Sattelpunkts-Energie (SSE), betrachten wir den Zustand als nicht mehr stabil. Zur Be-rechnung der SSE rekonstruieren wir zunächst das Einteilchenpotential aus der Einteilchen-Wellenfunktion und -Bindungsenergie gemäß

Vi(z) ≈ εi +∆ψi(z)Ψ(z)

(2.12)

und fitten ein ZeffZ -Potential daran an. Zum Einteilchenpotential

VET ≈ZeffZ

(2.13)

7


0

0

Energ

ie

Ort

SSE

VKernVEMF

VEffΨ(x)

Abbildung 2.1.: Coulomb-Potentialtopf unter Einfluss eines äußeren elektrischenFeldes.

addieren wir nun das Potential VEMF des elektrischen Mikrofeldes (EMF).Das Potential des EMF wird linear unter der Voraussetzung (1) genähert. Es ergibt sich dann

also für das Potential eines elektrischen Mikrofeldes E

VEMF = E ·Z (2.14)

und damit für das effektive Gesamtpotential

V = −ZeffZ− E ·Z. (2.15)

Für den Stark-Sattelpunkt gilt die Bedingung, dass die Ableitung des Potentials nach Z gerade0 ist:

dVdZ

= 0. (2.16)

Damit istZeffZ2− E = 0 (2.17)

8

2.2. Plasma

und damit

Z =

√ZeffE. (2.18)

Wird diese Gleichung für Z nun in Gleichung (2.15) eingesetzt, so erhält man schließlich alsWert für das Potential am Stark-Sattelpunkt

V(SSE) = −2√

Zeff · E (2.19)

und damit ergibt sich für das elektrische Mikrofeld am Stark-Sattelpunkt

E =V(SSE)2

4Zeff. (2.20)

Setzt man die Einteilchenbindungsenergie εi nun mit der SSE gleich, erhält man gerade dieelektrische Feldstärke des EMF, bis zu dem der Zustand näherungsweise stabil ist. Damit lässtsich die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der ein Zustand gewichtet in die Zustandssummeeingeht. Dies entspricht gerade der Wahrscheinlichkeit, mit der die elektrischen Mikrofelderunterhalb der kritischen EMF-Stärke bleiben. Aus [10] erhalten wir die Wahrscheinlichkeits-verteilung P(E) für eine elektrische Mikrofeldstärke über

Q(E) =

E′∫0

P(E) dE. (2.21)

Integriert man diese bis zur kritischen elektrischen Mikrofeldstärke E’, so erhält man denStabilitätswert Q(E) des Zustandes.

2.2.4. Autoionisation

Viele Zustände tragen nicht zur Zustandssumme bei, da ihre Energie größer ist als die Ioni-sierungsenergie des Atoms. Die Ionisierungsenergie ist gerade die Energie, die benötigt wird,um ein Elektron aus seiner Bindung zum Kern zu lösen, das Atom also zu ionisieren.

Um also alle zur Zustandssumme beitragenden Zustände bestimmen zu können, muss dieIonisierungsenergie bekannt sein. Diese ist recht leicht zu bestimmen. Die Ionisierungsenergieist die niedrigste Energie, die das Atom durch Ionisierung erreichen kann. Anschaulich ausge-drückt ist die Ionisierungsenergie des i-fach ionisierten Atoms Ai gerade der Energiewert, dender energetisch am niedrigsten liegende Zustand des Atoms Ai+1 hat.

Im Programm wird die Ionisierungsenergie bestimmt, indem die Zustände der Ionisierungs-stufen nacheinander von der höchsten Ionisierungsstufe zum ungeladenen Atom berechnetwerden. Dabei wird stets der niedrigste auftretende Energiewert eines Zustandes gespeichert.Die Ionisierungsstufe, bei der nur noch ein Elektron gebunden ist, hat eine Ionisierungsenergievon Null. Dies ist logisch, da jeder vorhandene Zustand eine Energie kleiner Null hat.

9


2.3. Das Wasserstoffatom im starken Magnetfeld

Der Hamilton-Operator Ĥ für ein Wasserstoffatom mit unendlicher Kernmasse in einem Ma-gnetfeld der Magnetfeldstärke B ist gegeben mit

Ĥ =1

2me(−i~∇ + eA)2 + e~

2meBσ̂ · ez −

Ze2

4πε0 |r|(2.22)

wobei σ die Paulimatrizen sind, me die Masse des Elektrons, e die Ladung des Elektrons, ezder Vektor in z-Richtung, und Z die Kernladung ist. Dabei wird das VektorpotentialA gemäßder symmetrischen Eichung

A =12B × r, B = Bez (2.23)

angesetzt, wobei das magnetische Feld in z-Richtung zeigt.Der Hamilton-Operator mit Coulombpotential weist zwar nur im ungestörten Fall ohne äu-

ßeres Magnetfeld eine exakte Kugelsymmetrie auf, aber auch bei geringen Magnetfeldstärkenwird diese Kugelsymmetrie nur wenig gestört, so dass sie häufig noch eine ausreichend ge-naue Näherung darstellt. Werden jedoch die magnetischen Feldstärken höher, so wird die Zy-lindersymmetrie dominant, da die Lorentzkraft, die auf das Elektron wirkt, größer ist als dieCoulombsche Anziehungskraft des Protons. Die Magnetfeldstärke B0, ab der die Zylindersym-metrie bestimmend ist, zeichnet sich durch die Gleichheit von Larmorradius und BohrscherRadius aus. Es ergibt sich [1]:

B0 =2α2m2ec

2

e~≈ 4.701 · 105 T (2.24)

Daher wird bei Magnetfeldern mit einer Flussdichte größer B0 der Hamiltonoperator in Zy-lindersymmetrie verwandt. Es bietet sich an atomare Rydberg-Einheiten, zu nutzen (sieheauch [11]), die in B.1 erläutert werden. Diese Rydberg-Einheiten erlauben es, die hier be-schriebenen Gleichungen in dieser einfachen Form aufzuschreiben.

Mit dem dimensionslosen Magnetfeldstärkeparameter β = BB0 ergibt sich der Hamiltonope-rator in Zylinderkoordinaten zu

Ĥ = −(∂2

∂ρ2+

1ρ

∂

∂ρ+

1ρ2

∂2

∂φ2+∂2

∂z2

)− 2iβ ∂

∂φ+ β2ρ2 + 2βσ̂z −

2Z|r| (2.25)

Aus dem Hamiltonoperator lässt sich sofort die Energie zum Umklappen eines einzelnenAtomspins gewinnen, sie beträgt 4β a.u., was bei den betrachteten Magnetfeldstärken B ≥107 T schon > 1 keV ist. Daher kann davon ausgegangen werden, dass keine Umklappprozes-se stattfinden und alle Spins antiparallel zu Magnetfeld ausgerichtet sind [11].

Da der zylindersymmetrische Hamiltonoperator nicht mit allen Operatoren kommutiert,deren Erwartungswerte gerade die guten Quantenzahlen unter Kugelsymmetrie sind, kann

10

2.3. Das Wasserstoffatom im starken Magnetfeld

man diese Quantenzahlen nicht mehr sinnvoll zur Beschreibung eines Zustandes verwen-den. Der Hamiltonoperator kommutiert aber auch unter Zylindersymmetrie mit der Paritätin z-Richtung Πz und mit der z-Komponente des Drehimpulses lz. Damit ergeben sich alsneue gute Quantenzahlen bei Zylindersymmetrie die Parität (−1)ν mit der Knotenzahl derz-Wellenfunktion ν und die magnetische Quantenzahl m sowie im Grenzfall sehr starker Ma-gnetfelder die Landauniveau-Nummer. Anstatt der Parität kann auch die Knotenzahl ν alsZählvariable verwandt werden.

2.3.1. Transversale Lösung

Die Schrödingergleichung für den Hamiltonoperator (2.25) kann mithilfe eines Separations-ansatzes teilweise analytisch gelöst werden. Dafür muss man den Hamiltonoperator in einentransversalen und einen longitudinalen Anteil aufspalten. Dies ist möglich, da die Bewegungder Elektronen transversal zum Magnetfeld deutlich schneller verläuft als parallel zu Magnet-feld, man die Bewegungen also entkoppelt betrachten kann. Letztlich verhindert der Coulomb-term jedoch aufgrund seiner 1|r| -Abhängigkeit eine vollständige Separation, weswegen zuerstder transversale Anteil betrachtet wird

HTΦ = EΦ(−

(∂2

∂ρ2+

1ρ

∂

∂ρ+

1ρ2

∂2

∂φ2

)− 2iβ ∂

∂φ+ β2ρ2

)Φnm(ρ, φ)

= 4β(n +

12

)Φnm(ρ, φ) = ETn Φ(ρ, φ) . (2.26)

Die Lösungen Φnm sind die sogenannten Landauwellenfunktionen mit der Quantenzahl n, dieangibt, in welchem Landauniveau sich der Zustand befindet und der magnetischen Quanten-zahl m (siehe auch [12]). Man sieht an Gleichung (2.24), dass der Spinterm einen Energiebei-trag von −2β liefert, was gerade der negativen Grundzustandsenergie der transversalen Bewe-gung entspricht.

2.3.2. Longitudinale Lösung

Die Separation des Vielteilchen-Hamiltonoperators in einen transversalen und einen longitudi-nalen Anteil legt auch eine Separation der Wellenfunktion in diese Anteile nahe. Man kann dieWellenfunktion als eine Entwicklung nach Landauwellenfunktionen betrachten, also als eineEntwicklung nach einem Satz von Basisfunktionen, die dem Problem des freien Elektronsangepasst sind. Die Wellenfunktion ist dann gegeben durch

Φ(ρ, φ, z) =∞∑

n=0

gnmν(z)Φnm(ρ, φ). (2.27)

11


Dabei ist gnmν(z) der longitudinale Anteil der Wellenfunktion und ν die Knotenzahl in z-Richtung. Dabei wird, wie in der gesamten Arbeit, die adiabatische Näherung verwandt, diesich auf die nullte Ordnung der Entwicklung von Gleichung (2.27) beschränkt.Bisher wurde nur der transversale Anteil des Vielteilchen-Hamiltonoperators betrachtet. Dadies jedoch nicht dem gesamten Operator entspricht, muss nun noch der durch die Separati-on erhaltene longitudinale Anteil des Vielteilchen-Hamiltonoperators untersucht werden. Fürdiesen Anteil Ĥz ergibt sich

Ĥz = −∂2

∂z2− 2Z|r| (2.28)

Wie man gut erkennen kann, besteht dieser Operator, wie durch die Separation vorgesehen,in einem longitudinalen Anteil der Gesamtwellenfunktion und einem Coulombterm, der aucheinen transversalen Anteil enthält, was nicht im Sinne der Separation ist. Für ein festes Lan-dauniveau |Φnm(ρ, φ)〉 lässt sich jedoch aus Gleichung (2.27) das Coulombpotential V(r) = −2z|r|auf ein Potential abbilden, welches von z und den festen Parametern n und m abhängt und dietransversale Abhängigkeit berücksichtigt

V(r) −→ Vnm(z) wobei giltVnm(z) B 〈Φnm(ρ, φ) |V(r)|Φnm(ρ, φ)〉,

(2.29)

wie in [13] beschrieben. Je nach Landauniveau erhält man dann den rein longitudinalen Ha-miltonoperator

Ĥz = −∂2

∂z2− Vnm(z). (2.30)

Die Lösungen dieses Operators müssen dann noch bestimmt werden. Es ergibt sich für Wasser-stoff das in Abbildung 2.2 dargestellte Energieniveauschema. Dabei ist deutlich zu erkennen,dass mit sinkendem m die Energien der Zustände (gestrichelte Linien) deutlich zunehmen.Dies gilt vor allem für die korrigierten Energien (durchgezogene Linien), auf die Korrekturensoll in Kapitel 2.5.4 eingegangen werden. Auch mit steigender Knotenzahl ν steigen die Ener-gien, wie deutlich zu erkennen ist. Dies soll bei der Berechnung aller Zustände von essentiellerBedeutung sein.

2.4. Das Vielteilchenproblem

Aus den Überlegungen, die für das Ein-Teilchen-Problem aufgestellt wurden, kann man meh-rere Erkentnisse für das Vielteilchenproblem gewinnen. So entsteht beim Aufschreiben desHamiltonoperators des Heliumatoms ein Zweiteilchen-Term. Die Verallgemeinerung auf be-liebig viele Teilchen ergibt schließlich folgenden Hamiltonoperator

Ĥ =N∑

i=1

ĥi +N∑

i=1j,i

2∣∣∣ri − r j∣∣∣ (2.31)

12

2.4. Das Vielteilchenproblem

Abbildung 2.2.: Energieniveauschema für ein Wasserstoffatom bei einer Magnet-feldstärke von B = 4,7 · 108 T. Für ~Ωc ergibt sich ein Wert von ≈ 29,6 eV |m| [1].

wobei ĥi der in Gleichung ((2.25)) angegebene Einteilchenoperator für das jeweilige Teilchen i

undN∑

i=1j,i

2|ri−r j| = V(ri, r j) ist. Den Einteilchen-Hamiltonoperator kann man, wie bereits gezeigt

in drei Teile separieren

ĥi = ĥKi + ĥTSi + ĥ

Vi (2.32)

wobei ĥKi den longitudinalen kinetischen Anteil des Teilchens i , ĥTi den transversalen Anteil

des freien geladenen Teilchens im Magnetfeld, ĥVi den potentiellen Anteil und ĥSi den Spi-

nanteil beschreiben. ĥTSi ist dann die Summe aus den beiden Einzeloperatoren ĥTi und ĥ

Si . Die

13


einzelnen Einteilchenoperatoren sind gegeben mit

ĥKi = −∂2

∂z2i, (2.33)

ĥTi = −(∂2

∂ρ2i+

1ρi

∂

∂ρi+

1ρ2i

∂2

∂φ2i

)− 2iβ ∂

∂φ+ β2ρ2i (2.34)

ĥVi = −2Z|ri|

= V(ri) (2.35)

ĥSi = 2βσzi (2.36)

Die transversale Lösung unterscheidet sich nicht von der Einteilchenlösung, ebenso bleibtdie Energieverschiebung durch den Einteilchenspinoperator um 2β erhalten. Daher kann mandie jeweiligen Einteilchenoperatoren zum Operator ĥTSi zusammenfassen, dessen Energieei-genwerte gerade 4βn, also die Eigenwerte der Einteilchenoperatoren sind. Da auch von denWechselwirkungspotentialen der transversale Anteil abgespaltet werden kann, reicht es, auchfür das Vielteilchenproblem die longitudinalen Anteile separiert zu betrachten. Die Potentialehängen damit nur noch von z und den zu den Elektronen i und j gehörenden Quantenzahlenmi, m j, ni und n j ab [13], es gilt also

V(ri, r j) −→ Vnin jmim j(zi, z j)V(ri) −→ Vnimi(zi)

(2.37)

Damit ergibt sich für das Potential

Vnin jmim j(zi, z j) =∑i=1j,i

〈ΦniΦmi

∣∣∣∣∣∣ 1ri − r j∣∣∣∣∣∣ Φn jΦm j

〉. (2.38)

Da in adiabatischer Näherung (in der auch in dieser Arbeit gerechnet wird) die Quantenzahl nauf Null beschränkt bleibt, verbleiben die adiabatischen Kern- und Wechselwirkungspotentia-le:

ŵnin jmim j(zi, z j) −−−−−−−→adiabatisch ŵ00mim j(zi, z j)

Vnimi(zi) −−−−−−−→adiabatisch V0mi(zi).

(2.39)

Generell gilt, dass zur Beschreibung des Vielteilchenproblems nur noch M =N∑

i=1mi und Πz =

N∏i=1πi als gute Quantenzahlen vorhanden sind.

Für die Schrödingergleichung des Vielteilchenproblems gibt es mehrere Näherungsverfah-ren, die im Folgenden vorgestellt werden.

14

2.5. Lösungen des Vielteilchenproblems


2.5.1. Das Ritz’sche Variationsprinzip

Das Ritz’sche Variationsprinzip besagt, dass wenn der Hamiltonoperator Ĥ ein nach untenbeschränktes Spektrum von Eigenwerten und damit eine Grundzustandsenergie E0 besitzt,dann gilt

〈Ψ|Ĥ|Ψ〉 =N∑

i=1

〈Ψ|Ĥ|i〉〈i|Ψ〉 =N∑

i=1

Ei〈Ψ|i〉〈i|Ψ〉

≥ E0N∑

i=1

〈Ψ|i〉〈i|Ψ〉 = E0〈Ψ|Ψ〉,(2.40)

wobei N die Anzahl aller Elektronen i und Ψ ein beliebiger Zustand ist, sodass mithilfe einerTestfunktion die Grundzustandsenergie nach oben abgeschätzt werden kann.

Das Ritz’sche Variationsprinzip ermöglicht nun mithilfe eines Produktansatzes für die Ge-samtwellenfunktion und dem Vielteilchen-Hamiltonoperator das Hartree-Verfahren, um dieEnergieeigenwerte und Eigenfunktionen des Vielteilchensystems zu nähern.

2.5.2. Das Hartree-Verfahren

Um die Hartree-Gleichung herleiten zu können, ist es zunächst empfehlenswert, den Hamil-tonoperator in den Einteilchen- und Zweiteilchen-Hamiltonoperator, der die Wechselwirkungzwischen den Elektronen i und j beschreibt, aufzuteilen.

Ĥ =N∑

i=1

ĥ(i) +N∑

i=1

N∑j=i+1

ŵ(i, j) (2.41)

Dabei sind die Einteilchenoperatoren gemäß Gleichung (2.32) gegeben und ŵ(i, j) entsprichtdem Wechselwirkungspotential V(ri, r j). Für die Gesamtwellenfunktion wird ein Ansatz derForm

Ψ(r1, r2, . . . ,rN) = ψ1(r1)ψ2(r2) . . . ψN(rN) (2.42)

gewählt. Dabei muss jederzeit die Nebenbedingung, nämlich dass die Einteilchenwellenfunk-tionen orthonormiert sind, gelten

〈ψi|ψ j〉 = δi j. (2.43)

Dies wird durch Hinzufügen eines Lagrangeparameters εi in das Energiefunktional berück-sichtigt. Das Funktional lautet dann

〈H̃〉 = 〈Ĥ〉 −N∑

i=1

εi

(∫dri |ψi(ri)|2 − 1

). (2.44)

15


Variiert man das Funktional 〈H̃〉 nach den Wellenfunktionen ψi und fordert, dass diese Varia-tion verschwindet, so ergibt sich

N∑i=1

∫driδψ∗i (ri)

ĥi + N∑j,i

∫dr j

∣∣∣ψ j(r j)∣∣∣2 ŵ(i, j) − εiψi(ri) = 0. (2.45)Da die Variation beliebig ist, folgt, dass der eingeklammerte Term verschwinden muss,

woraus sich die Hartree-Gleichungen ergebenĥi + N∑j,i

∫dr j

∣∣∣ψ j(r j)∣∣∣2 ŵ(i, j) − εiψi(ri) = 0, (2.46)wobei die Lagrangeparameter εi nun die Energieeigenwerte darstellen. Die Eigenfunktionenkönnen nun durch Iteration selbstkonsistent bestimmt werden.

2.5.3. Das Hartree-Fock-Verfahren

Wie bereits im vorhergehenden Abschnitt erwähnt, wird als Ansatz für die Gesamtwellenfunk-tion das Produkt aller Einteilchenwellenfunktionen gewählt. Um nun noch den fermionischenCharakter der Elektronen zu berücksichtigen, wird der Ansatz abgewandelt und die Slater-Determinante

Ψ(r1, . . . , rn) =1√

N!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ψ1(r1) . . . ψ1(rN)...

. . ....

ψN(r1) . . . ψN(rN)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (2.47)eingeführt. Da die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch sein muss, der Spinanteil der Wel-lenfunktion jedoch gemäß Abschnitt 2.3 symmetrisch ist (Spin-Polarisation), ergibt sich dieForderung nach einer vollständig antisymmetrischen Ortswellenfunktion. Die Slaterdetermi-nante kann über den Antisymmetrisierungsoperator

Â =1

N!

∑p∈S n

(−1)pP̂ (2.48)

ausgedrückt werden, wobei P̂ den Permutationsoperator der symmetrischen Gruppe S n be-schreibt. Es gilt dann

|Ψ〉 =√

N!Â|Ψ̃〉 (2.49)Wie bereits in [14] gezeigt, können nun mit dem Antisymmetrisierungsoperator die Erwar-tungswerte der Ein- und Zweiteilchen-Hamiltonoperatoren bestimmet werden. Es ergibt sichals Erwartungswert für den Einteilchen-Hamiltonoperator die Summe über die Erwartungs-werte aller Einteilchenoperatoren

N∑i=1

〈Ψ|ĥi|Ψ〉 =N∑

i=1

∫d3ri ψ∗i (ri) ĥi ψi(ri). (2.50)

16


Der Erwartungswert des Zweiteilchen-Hamiltonoperators ist gegeben mit∑i=1j,i

〈Ψ|ŵi, j(ri, r j)|Ψ〉 =∑i=1j,i

∫ (∫ψ∗i (ri) ψ

∗j(r j) ŵi, j(ri, r j) ψ j(r j) ψi(ri) d

3r j

−∫

ψ∗i (ri) ψ∗j(r j) ŵi, j(ri, r j) ψi(r j) ψ j(ri) d

3r j

)d3ri

(2.51)

Man erhält nun die Hartree-Fock-Gleichungen, indem man analog zur Herleitung der Hartree-Gleichung vorgeht und die Orthonormiertheit der Einteilchenwellenfunktionen fordert undnach den Funktionen ψi variiert. Es ergeben sich die N Gleichungen

ĥiψi(ri) +N∑

j=1

∫ψ∗j(r j) ŵi, j(ri, r j) ψ j(r j) d

3r j ψi(ri)

−N∑

j=1

∫ψ∗j(r j) ŵi, j(ri, r j) ψi(r j) ψ j(ri) d

3r j = εiψi(ri).

(2.52)

Wie man erkennen kann, besteht der Unterschied zu den Hartree-Gleichungen im Austausch-term.

Allerdings muss man beachten, dass nach dem Lösen dieser N gekoppelten Gleichungenzwar neben den Lösungsfunktionen ψi die Eigenwerte εi vorliegen, diese Eigenwerte die Io-nisierungsenergie des i-ten Elektrons angeben. Da dabei die Austausch- und Coulombtermedoppelt zwischen den einzelnen Elektronen gezählt werden, entspricht die Summe der εi abernicht der Gesamtenergie des Vielelektronensystems. Um diese zu erhalten, dürfen die Wech-selwirkungsterme nur einfach gezählt werden. Man erhält dann

E[ΨL] =N∑

i=1

∫ ĥi + 12N∑

j=1

∫ψL∗j (r j) ŵi, j(ri, r j) ψ

Lj (r j) d

3r j

∣∣∣ψLi (ri)∣∣∣2 d3ri−1

2

N∑j=1

"ψL∗j (r j) ψ

L∗i (r j) ŵi, j(ri, r j) ψ

Lj (ri) ψ

Li (ri) d

3r j d3ri.

(2.53)

Die Gleichungen (2.52) müssen nun numerisch gelöst werden, wofür sich das Hartree-Fock-Roothaan-Verfahren [11, 15] anbietet. Auf dieses soll jedoch nicht weiter eingegangen wer-den, da es nicht wesentlich zum Verständnis der Bachelorarbeit beiträgt.

2.5.4. Finite Kernmasse

Im Allgemeinen wird für die Berechnung von Bindungsenergien die Born-Oppenheimer-Nähe-rung verwandt, die besagt, dass ein gebundenes Elektron der Bewegung des Atomkernes je-derzeit unmittelbar folgen kann. Daraus folgt, dass man den Kern als fest annehmen kann.Aufgrund des großen Massenunterschiedes zwischen Elektron und Kern kann zudem der

17


Kern als unendlich schwer behandelt werden. Jedoch muss im Fall extrem starker Magnet-felder ein Korrekturterm berücksichtigt werden, der den Betrag der Gesamtenergie absenkt.Da der Drehimpuls des Atoms, bzw. Ions erhalten bleiben muss, führt der Kern eine Kreisbe-wegung aus, um den Drehimpuls der Elektronen auszugleichen, was aufgrund seiner positi-ven Ladung und der Wechselwirkung mit dem Magnetfeld zu einer Energieverschiebung umM · ~Ωc führt, wobei M =

∑i

mi der elektronische Gesamtdrehimpuls ist und ~Ωc die Proton-

Zyklotronfrequenz [1].Der Radius dieser Zyklotronbewegung kann leicht berechnet werden, wie es in [12] getan

wurde. Es ergibt sich

r20 =~

mω(2s + 1), s = 0, 1, 2, . . . (2.54)

wobei r0 der Radius der Kreiselbewegung, m die Masse des Kernes und ω die Zyklotronfre-quenz des Kernes ist. Wie in Abbildung 2.2 deutlich wird, ist die Korrektur bei extrem starkenMagnetfeldern nicht vernachlässigbar. Zwar tritt auch ohne anliegendes Magnetfeld die Kern-mitbewegung auf, allerdings ist ihr Einfluss in diesem Fall wesentlich geringer. Deutlich zuerkennen ist, dass die ursprünglichen durch punktierte Linien dargestellten Zustände zu höhe-ren Energien hin verschoben werden (durchgezogene Linien). Dies sorgt dafür, dass Zustände,die ohne den Einfluss der Kernmitbewegung nicht autoionisierend werden, unter dem Einflussder Korrektur ins Kontinuum verschoben werden, also nicht mehr zur Zustandssumme beitra-gen.

18

3. Die genutzten Programme

Zur Berechnung der Saha-Ionisierungsgleichung der jeweiligen Elemente in Plasmen mit ver-schiedenen Magnetfeldstärken wurden unterschiedliche Programme verwandt. Auf diese sollnäher eingegangen werden und ihre Funktionsweise genauer erklärt werden.

3.1. HFFER II

Das Programm HFFER II, welches seit 2003 von M.Klews, D.Engel, P. Diemand und C. Schi-meczek erstellt und mehrfach überarbeitet wurde [16–19], berechnet für alle Elemente vonWasserstoff bis Eisen bei vorgegebener Anzahl N an Elektronen und einem dazugehörigenSatz an Quantenzahlen (−m1, ν1)(−m2, ν2) . . . (−mn, νn) mittels des Hartree-Fock-Roothaan-Verfahrens die elektronische Wellenfunktion, ein genähertes Volumen des Zustandes sowiedie Gesamt- und Einteilchenenergien mit und ohne Korrekturen durch die finite Kernmasse(siehe Kapitel 2.5.3), des Zustandes.

Dafür wird die Wellenfunktion in eine variable Anzahl an B-Splines unterteilt. Um zu ver-stehen, was B-Splines sind, muss zuerst geklärt werden, was unter Splines zu verstehen ist.Splines n-ten Grades sind Polynome der Ordnung n − 1, die an Knoten, also an Verbindungs-punkten zu anderen Splines n − 2-mal stetig differenzierbar sein müssen. Diese Knoten tretenauf, da Splines nur auf finiten Elementen definiert sind. So kann prinzipiell jede Funktiondurch Splines dargestellt werden. Dabei können nicht-polynomielle Funktionen nur durchSplines genähert werden. Aufgrund ihrer hohen Flexibilität werden Splines vor allem beimInterpolieren und Approximieren von Funktionen verwandt.

B-Splines sind Splines mit einer Basis mit kompaktem Träger. Dies hat verschiedene Vortei-le, unter anderem, dass sich Änderungen nur lokal, also auf einem kleinen Bereich, auswirken.

Das Programm verwendet weiterhin zur Darstellung der Wellenfunktion finite Elemente underlaubt die Berechnung von Wellenfunktionen mit Quantenzahlen m = 0−200 und ν = 0−20.

3.2. Berechnung aller nicht-autoionisierenden Zustände

Sollen alle Zustände eines Atoms berechnet werden, die unterhalb der Autoionisationsschwel-le liegen, so muss man sich zuerst einmal überlegen, wie alle möglichen Atomzustände berech-nen werden können und welche Zustände von all den unendlich vielen möglichen Zuständenicht autoionisierend sind.

19


Jedes Elektron wird durch ein Tupel von Quantenzahlen (−m,ν) beschrieben wird, wobei−m und ν ∈ N0 sind. Alle Elektronentupel zusammen beschreiben dann den Atomzustand.Die Reihenfolge der Tupel ist aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Elektronen nicht rele-vant, alle Permutationen von N Quantenzahltupeln beschreiben also den gleichen Zustand.Aufgrund des Pauli-Prinzips und der Spin-Polarisation darf jedes Tupel nur einfach vorkom-men. Als Ausgangskonfiguration werden die N Elektronen bei fester Quantenzahl ν = 0 aufdie höchsten m = 0, . . . , (−N+1) Quantenzahlen verteilt, wie in Abbildung 3.1 dargestellt. Um

-m

ν

...

...

...

...... ... ...

0 1 2012

...

N-1Abbildung 3.1.: Aufreihung der Elektronen entsprechend ihrer (−m, ν)-Tupel.

nun systematisch den Zustandsraum, der durch alle verschiedenen Kombinationen der Tupelunter Nicht-Beachtung der Reihenfolge gegeben ist, nach den Zuständen zu durchsuchen, dieunterhalb der Autoionisationsschwelle liegen, beginnt man damit, die magnetische Quanten-zahl des letzten Elektrons schrittweise zu senken, bis die Autoionisationsschwelle erreicht istoder m = −199 ist, da das Programm HFFER II hierauf beschränkt ist. Dies ist in Abbildung3.2 dargestellt, das Elektron mit den Quantenzahlen | − m, ν〉 wird auf das Tupel | − m + 1, ν〉verschoben. Daraufhin erhöht man die Knotenzahl des letzten Elektrons um eins und setztdie magnetische Quantenzahl zurück auf −m = 0. Dann verfährt man wieder so und „fährt“alle magnetischen Quantenzahlen bis zum Erreichen der Autoionisationsschwelle (siehe Ab-bildungen 3.2 und 3.3) durch. So werden schließlich alle möglichen Kombinationen erreicht,bei denen nur die Quantenzahlen des letzten Elektrons verändert werden.

Wir gehen nun zurück zur Ausgangskonfiguration und verändern nun zunächst die „Posi-tion“ des zweitäußersten Elektrons mit den Ausgangsquantenzahlen −m = N − 2 und ν = 0.Seine magnetische Quantenzahl wird um eins gesenkt auf (−m = N − 1, ν = 0). Das letzteElektron, das in der Ausgangskonfiguration eben diese Position inne hatte, wird direkt danebenmit Quantenzahlen (−m = N, ν = 0) platziert. Ausgehend von dieser einfachen Zweiteilchen-Anregung wird wieder wie bei der Einteilchenanregung verfahren, nur das äußerste Elektronwird jeweils bis zur Autoionisationsschwelle in den magnetischen Quantenzahlen variiert,worauf die ν-Quantenzahl erhöht wird. Ist dies vollzogen, wird wieder die Position des vor-letzten Elektrons verändert, und erneut alle Quantenzahlen des letzten Elektrons variiert. Gibtes nach Variation des vorletzten Elektrons keinen neuen Zustand durch Variation des letzten

20

3.2. Berechnung aller nicht-autoionisierenden Zustände

-m

ν

...

...

...

...... ... ...

0 1 2012

... ...N-1 N

Abbildung 3.2.: Die magnetische Quantenzahl des “letzten” Elektrons (Elektronmit der niedrigsten magnetischen Quantenzahl bei gleicher Knotenzahl) wird umeins gesenkt.

-m

ν

...

...

...

...... ... ...

0 1 2012

... ...

NN-1Abbildung 3.3.: Die Knotenzahl des letzten Elektrons wird um eins erhöht, diemagnetische Quantenzahl wird auf −m = 0 gesetzt.

Elektrons, der unterhalb der Autoionisationsschwelle liegt, so ist die Zweiteilchenvariationabgeschlossen und es wird die magnetische Quantenzahl des drittletzten Elektrons verändert.Diese Rekursion wird so lange fortgesetzt, bis alle gegen Autoionisation stabile Zustände (al-so auch Zustände, die nur durch Verändern der Quantenzahlen des ersten Elektrons erreichbarsind) berechnet wurden.

Gemäß dem Schema der Einteilchenenergien von Wasserstoff in Abbildung 2.2 steigt dieGesamtenergie mit zunehmender Knotenzahl ν und abnehmender magnetischer Quantenzahlmonoton. Dies gilt empirisch fast immer auch für Mehrteilchenzustände. Die Variation der ma-gnetischen Quantenzahl kann daher abgebrochen werden, sobald die Autoionisationsschwelleerreicht ist, es müssen keine weiteren Zustände berechnet werden, bei denen die magnetischeQuantenzahl des letzten Elektrons noch weiter gesenkt wird. Dies ist darin begründet, dass die

21


magnetische Quantenzahl m den mittleren Bahnradius

〈r〉 = 1√β

√|m| + 1

2(3.1)

des Elektrons in der Landauebene bestimmt, dieser also mit sinkendem m zunimmt. Dahersinkt die Bindungsenergie also mit betragsmäßig steigendem m. Mit der Methode des Durch-gehens aller Kombinationen werden höchstens νmax autoionisierende Zustände berechnet, wo-bei νmax ein einstellbarer Höchstwert für die Knotenzahl ist. Aufgrund der Drehimpulskorrek-tur der Gesamtenergie durch die finite Kernmasse werden Zustände mit hohem Drehimpulszusätzlich gegenüber Autoionisation destabilisiert.

3.3. Berechnung der Saha-Ionisierungsgleichung

Nachdem alle energetisch günstigen Zustände einer Ionisierungsstufe berechnet sind, kannmithilfe der bereits besprochenen elektrischen Mikrofelder und der Volumenkorrektur (sie-he Kapitel 2.2.3) bestimmt werden, welche der Zustände in die Saha-Ionisierungsgleichungeingehen. Nachdem all die Zustände einer Ionisierungsstufe nicht berücksichtigt werden, dieentweder autoionisierend sind oder gegen die Volumenbeschränkung verstoßen, wird aus denverbliebenen Zuständen mit ihrer durch die elektrischen Mikrofelder verursachten Gewich-tung Q(E) die Zustandssumme erstellt gemäß Abschnitt 2.2.3.

Dies wird für alle Ionisierungsstufen durchgeführt und die Saha-Ionisierungsgleichung ite-rativ gelöst.

22

4. Auswertung derSaha-Ionisierungsgleichungen

Die Saha-Ionisierungsgleichung wurde für die Elemente von Wasserstoff bis Sauerstoff fürjeweils drei verschiedene Magnetfelder (107 T, 108 T und 1010 T) und drei verschiedene Tem-peraturen (kT = 120 eV, 150 eV und 200 eV) ausgewertet. Beispielhaft werden Wasserstoffund Sauerstoff untersucht, die nicht näher besprochenen Diagramme zu den anderen Elemen-ten finden sich in Anhang A. Dabei werden die Anteile der Ionisierungsstufen an der Zu-standssumme über der Dichte aufgetragen, da zwar die Saha-Ionisierungsgleichungen von derTemperatur, der Magnetfeldstärke und der Dichte abhängen, es sich aber aufgrund des größe-ren Rechenaufwandes bei den anderen Parametern als günstig erwiesen hat, die Anteile überder Dichte aufzutragen. Außerdem ist so ein Vergleich zwischen den eigenen Ergebnissen undden in [9] ermittelten Ergebnissen möglich.

4.1. Saha-Ionisierungsgleichgewichte bei 107 T

Im Diagramm 4.1 ist exemplarisch zu sehen, wie sich die Ionisierungsstufen bei unterschied-lichen Dichten verhalten. So nimmt der Anteil der Ionen O6+ und O7+ bei hohen Dichtendeutlich ab. Außerdem sieht man bei Dichten von mehr als 20 gcm3 Fluktuationen in allen Ioni-sierungsanteilen. Die Ursache dieser Fluktuationen der Zustandssummen ist in der Volumen-korrektur begründet. Dies ist vor allem in Abbildung 4.2 sichtbar: die Fluktuationen werdenstärker, je mehr Zustände durch die Volumenkorrektur nicht berücksichtigt werden, währendsie vor dem starken Auftreten der Volumenkorrektur nicht sichtbar sind.

Diese Fluktuationen lassen allerdings darauf schließen, dass die verwandte Volumenkorrek-tur zu ungenau ist. Hierbei wird ein Zustand aus der Zustandssumme abrupt ausgeschlossen,wenn sein Volumen das mittlere Volumen pro Teilchen im Plasma überschreitet. Mikrosko-pisch jedoch kann auch ein Zustand oberhalb des mittleren Volumens besetzt werden, abhän-gig von den Teilchenabständen und den Zuständen der umgebenden Teilchen. Damit ist jedochoffensichtlich, dass die Korrektur nicht ausreichend genau sein kann, stattdessen müsste für je-den Zustand eine Wahrscheinlichkeit berechnet werden, mit der er bei einer bestimmten Dichteauftreten kann. Aufgrund der Komplexität des Sachverhaltes wurde jedoch nur die einfacheNäherung verwandt. In Abbildung 4.2 ist auch zu sehen, dass sich im durch die elektrischenMikrofelder verursachten Anteil Fluktuationen zeigen, was daran liegt, dass die Zustände, diedurch die Volumenkorrektur nicht in die Zustandssumme eingehen, auch nicht unter die vonden elektrischen Mikrofeldern verursachte Korrektur fallen.

23

4. Auswertung der Saha-Ionisierungsgleichungen

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3

Saha Ionisierungsgleichgewichte

OO+

O2+O3+O4+O5+O6+O7+O8+

Abbildung 4.1.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Sauerstoff bei einer Tempe-ratur von kT = 120 eV und einer Magnetfeldstärke von 107 T

Bei allen betrachteten Elementen ist zudem auffällig, dass bei niedrigen Dichten die hohenIonisierungsstufen dominieren. Dies ist in der hohen thermischen Energie von kT = 120 eV −200 eV begründet. Die Abnahme der mittleren Ionisierungsstufe mit zunehmender Dichte liegtdaran, dass das den freien Elektronen zur Verfügung stehende Volumen, welches direkt in dieSaha-Ionisierungsgleichung eingeht [8], bei niedrigen Dichten deutlich größer ist als bei hohenDichten. Für schwerere Elemente (z.B. Eisen) ist jedoch aufgrund der starken Bindung derinneren Elektronen nicht zu erwarten, dass eine vollständige Ionisierung bei den betrachtetenTemperaturen stattfindet.

4.1.1. Einfluss der Temperatur

Alle bisher untersuchten Diagramme zeigten Lösungen der Saha-Ionisierungsgleichungen beieiner Temperatur von 120 eV. Nun soll untersucht werden, welchen Einfluss die Temperaturauf die Ionisierungsgleichgewichte hat. Aus dem Vergleich der Abbildungen 4.3, 4.4 und4.1 ist gut zu erkennen, dass sich das qualitative Verhalten bei den Temperaturen 120 eV und150 eV) kaum ändert. Die Ionisierungsgleichgewichte werden lediglich mit steigender Tempe-ratur zu höheren Dichten hin verschoben. Erst bei großen Temperaturen lässt sich doch erken-nen, dass die Ionisierung durch höhere Temperaturen deutlich steigt, wie in Abschnitt 2.2.4dargelegt. Durch die einfache Volumenkorrektur der Zustandssumme ist diese unabhängig vonder Temperatur, da die gleichen Zustände immer bei den gleichen Dichten aus der Zustands-

24

4.2. Saha-Ionisierungsgleichgewichte bei 108 T und 1010 T

0.001

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3

Saha Ionisationsgleichgewicht

HH+

ZustandssummeVolumen

EMF-Mitnahme

Abbildung 4.2.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei einer Tem-peratur von kT = 120 eV und einer Magnetfeldstärke von 107 T. Es wird zusätzlichdie Korrektur der Zustandssumme von H durch elektrische Mikrofelder (EMF-Mitnahme), der Anteil der durch die Volumenkorrektur nicht berücksichtigten Zu-stände und (in absoluten Werten) die resultierende Zustandssumme angezeigt.

summe entfernt werden. Das sieht man daran, dass die Fluktuationen der Ionisierungsanteileeines Elementes bei allen betrachteten Temperaturen gleich verlaufen.


Mit zunehmender Magnetfeldstärke sinken die Volumina aller Zustände, da sich der mittlereLandauradius invers proportional zur Wurzel der Magnetfeldstärke verhält (siehe Gleichung(2.10)). Zudem steigt mit zunehmender Magnetfeldstärke auch die Energiekorrektur durch diefinite Kernmasse linear an, sodass mehr Zustände potentiell autoionisierend sind, also nicht zurZustandssumme beitragen. Drittens steigt gemäß dem Wasserstoff-Termschema mit der Ma-gnetfeldstärke auch der energetische Abstand zwischen den tightly-bound-Zuständen mit klei-nem Volumen und den wasserstoffähnlichen Zuständen. Alles dies trägt dazu bei, dass bei stei-gender Magnetfeldstärke die Volumenkorrektur der Zustandssummen reduziert wird. Aus dengleichen Gründen schwindet auch der Einfluss der elektrischen Mikrofelder auf die Zustandss-ummen mit steigender Magnetfeldstärke. Im extremen Fall sehr hoher Magnetfeldstärken (z.B.in Abbildung 4.7) trägt auch bei den extremen thermischen Energien von kT = 200 eV nur

25


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


OO+

O2+O3+O4+O5+O6+O7+O8+


der Grundzustand zur Zustandssumme bei. In den Abbildungen 4.9 und 4.8 ist für Sauerstoffzu erkennen, dass vor allem die hohen Ionisierungsstufen nicht mehr auftreten – die höchs-te relevante Ionisierungsstufe bei 1010 T ist O4+ (siehe Abbildung 4.8), was ebenfalls an dererhöhten Bindungsenergie der Zustände bei höheren Magnetfeldstärken liegt. Vergleicht manAbbildung 4.10 mit dem rechten Diagramm in Abbildung 7 in in [9], so erkennt man leichteUnterschiede im quantitativen Verhalten der Saha-Ionisierungsanteile. Da der Kontakt zu denUrhebern leider nicht zustande kam, konnten die Ursachen nicht im Detail geklärt werden.

26


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


OO+

O2+O3+O4+O5+O6+O7+O8+


1e−05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

An

teil

ρ in g/cm3

Saha Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei B = 107 T und kT = 150 eV

HH

+


EMF−Mitnahme

Abbildung 4.5.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei einer Tem-peratur von kT = 150 eV und einer Magnetfeldstärke von B = 107 T

27


1e−05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

An

teil

ρ in g/cm3

Saha Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei B = 108 T und kT = 150 eV

HH

+


EMF−Mitnahme


1e−05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

An

teil

ρ in g/cm3

Saha Ionisierungsgleichgewichte für Wasserstoff bei B = 1010

T und kT = 150 eV

HH

+


EMF−Mitnahme


28


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


OO+

O2+O3+O4+O5+O6+O7+O8+


29


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


OO+

O2+O3+O4+O5+O6+O7+O8+


30


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


OO+

O2+O3+O4+O5+O6+O7+O8+

Abbildung 4.10.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Sauerstoff bei einer Tem-peratur von kT = 200 eV und einer Magnetfeldstärke von 108 T

31

5. Zusammenfassung und Ausblick

Die Untersuchungen der Ionisierungsgleichgewichte entsprechen qualitativ den Erwartungen.Es hat sich gezeigt, dass die verwandte Volumenkorrektur nicht ausreichend genau ist, umdie angenommenen Verhältnisse zu beschreiben, sondern durch diese Korrektur (kleine) un-physikalische Fluktuationen der Ionisierungsanteile verursacht werden. Es konnte außerdembestätigt werden, dass die Zustandssumme von der Temperatur und der Magnetfeldstärke ab-hängt, wobei die Zustandssumme mit der Temperatur steigt und mit steigender Magnetfeld-stärke sinkt. Außerdem konnte das qualitative Verhalten der Saha-Ionisierungsgleichungen,welches in [9] beschrieben wird, bestätigt werden. Es ergaben sich geringe Unterschiede imquantitativen Verhalten, deren Ursache aber nicht geklärt werden konnte.

Das Programm ist auch im momentanen Entwicklungszustand schon nützlich, da es hilft,die Anzahl der Zustände, die bei einer bestimmten Magnetfeldstärke zur Zustandssumme bei-tragen können, relativ genau zu bestimmen. Dies ist hilfreich, um die Zahl der Ausgangs- undEndzustände für gebunden-frei und gebunden-gebunden Übergänge und deren Spektrum zubeschränken.

Für die Zukunft können noch einige Verbesserungen erzielt werden. Dazu zählt das Erar-beiten einer Volumenkorrektur die den angenommenen Verhältnissen im Plasma besser ent-spricht, die Berechnung von Zuständen und Ionisierungsgleichgewichten für Elemente vonFluor bis Eisen, sowie die Erweiterung des HFFER II-Programmes auf nicht-adiabatischeZustände für möglichst viele Quantenzahlen −m = 0, . . . , 1000, um auch bei schwächerenMagnetfeldstärken die Zustandssummen möglichst vollständig bestimmen zu können. Dannkönnen die in dieser Arbeit besprochenen leichten Elemente für Magnetfeldstärken < 107 Tuntersucht werden. Dieser Bereich ist vor allem deshalb schwierig, da in diesem Bereich dieadiabatische Näherung versagt. Das entwickelte Programm zur Bestimmung aller relevantenZustände einer Zustandssumme kann außerdem noch verbessert werden, indem nicht jederZustand berechnet wird, sondern erst über die Summe bereits berechneter Einteilchenenergienaus niedrigen Ionisierungsstufen abgeschätzt wird, ob es sich lohnt, den Zustand zu berechnen.

Für besonders niedrigen Magnetfeldstärken bietet es sich an, auch den Spin bei der Berech-nung der Zustände zu berücksichtigen.

33

A. WeitereSaha-Ionisierungsgleichgewichte

Es wurden noch weitere Saha-Ionisierungsgleichgewichte bestimmt als die in Kapitel 4 unter-suchten. Diese sollen hier gezeigt werden, ohne sie noch weiter zu untersuchen, da sich für siequalitativ die gleichen Resultate ergeben wie bei den bereits besprochenen Saha-Ionisierungsgleichgewichten.

35

A. Weitere Saha-Ionisierungsgleichgewichte

36

A.1. Helium

A.1. Helium

A.1.1. B = 107 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(b)

Abbildung A.1. 37


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(c)

Abbildung A.1.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Helium bei einer Magnet-feldstärke von 107 T und unterschiedlichen Temperaturena) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 120 eVb) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 150 eVc) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 200 eV

38

A.1. Helium

A.1.2. B = 108 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(b)

Abbildung A.2.

39


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(c)


40

A.1. Helium

A.1.3. B = 1010 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(b)

Abbildung A.3.

41


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


HeHe+

He2+

(c)


42

A.2. Lithium

A.2. Lithium

A.2.1. B = 107 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(b)

Abbildung A.4. 43


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(c)

Abbildung A.4.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Lithium bei einer Magnet-feldstärke von 107 T und unterschiedlichen Temperaturena) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 120 eVb) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 150 eVc) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 200 eV

44

A.2. Lithium

A.2.2. B = 108 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(b)

Abbildung A.5.

45


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(c)


46

A.2. Lithium

A.2.3. B = 1010 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(b)

Abbildung A.6.

47


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


LiLi+

Li2+Li3+

(c)


48

A.3. Beryllium

A.3. Beryllium

A.3.1. B = 107 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3

Saha Ionisationsgleichgewichte

BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(b)

Abbildung A.7. 49


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(c)

Abbildung A.7.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Beryllium bei einer Ma-gnetfeldstärke von 107 T und unterschiedlichen Temperaturena) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 120 eVb) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 150 eVc) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 200 eV

50

A.3. Beryllium

A.3.2. B = 108 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(b)

Abbildung A.8.

51


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(c)


52

A.3. Beryllium

A.3.3. B = 1010 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(b)

Abbildung A.9.

53


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BeBe+

Be2+Be3+Be4+

(c)


54

A.4. Bor

A.4. Bor

A.4.1. B = 107 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(b)

Abbildung A.10. 55


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(c)

Abbildung A.10.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Bor bei einer Magnetfeld-stärke von 107 T und unterschiedlichen Temperaturena) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 120 eVb) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 150 eVc) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 200 eV

56

A.4. Bor

A.4.2. B = 108 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(b)

Abbildung A.11.

57


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(c)


58

A.4. Bor

A.4.3. B = 1010 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(b)

Abbildung A.12.

59


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


BB+

B2+B3+B4+B5+

(c)


60

A.5. Kohlenstoff

A.5. Kohlenstoff

A.5.1. B = 107 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(b)

Abbildung A.13. 61


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(c)

Abbildung A.13.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Kohlenstoff bei einer Ma-gnetfeldstärke von 107 T und unterschiedlichen Temperaturena) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 120 eVb) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 150 eVc) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 200 eV

62

A.5. Kohlenstoff

A.5.2. B = 108 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(b)

Abbildung A.14.

63


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(c)


64

A.5. Kohlenstoff

A.5.3. B = 1010 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(b)

Abbildung A.15.

65


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


CC+

C2+C3+C4+C5+C6+

(c)


66

A.6. Stickstoff

A.6. Stickstoff

A.6.1. B = 107 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


NN+

N2+N3+N4+N5+N6+N7+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


NN+

N2+N3+N4+N5+N6+N7+

(b)

Abbildung A.16. 67


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


NN+

N2+N3+N4+N5+N6+N7+

(c)

Abbildung A.16.: Saha-Ionisierungsgleichgewichte für Stickstoff bei einer Ma-gnetfeldstärke von 107 T und unterschiedlichen Temperaturena) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 120 eVb) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 150 eVc) Saha-Ionisierungsgleichgewichte für kT = 200 eV

68

A.6. Stickstoff

A.6.2. B = 108 T

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Ante

il

ρ in g/cm3


NN+

N2+N3+N4+N5+N6+N7+

(a)

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Ionisierungsgleichgewichte leichter Elemente in den starken ......Ionisierungsgleichgewichte...

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