IST Transferencia de massa.pdf

Apontamentos de Transferncia de Massa

Joo Lus Toste de Azevedo Prof. Auxiliar do DEM/IST

Fevereiro 2000

Transferncia de Massa I Joo Lus Toste de Azevedo

Indice

Transferncia de Massa.............................1 M1 Equaes fundamentais para transferncia de massa..................................1

Lei de Fick...................................................................................................................1

Coeficiente de difuso ................................................................................................2

Movimento do fluido ....................................................................................................4

Fluxo em relao a referencial absoluto.....................................................................5

Balano de massa a espcies individuais .................................................................5

M2 Analogia entre problemas de transferncia de massa e de calor ................6

Analogia entre equaes de transferncia de massa e de calor...............................7

Problemas de difuso.................................................................................................8

Difuso de massa sem fontes em regime estacionrio.................................................8

Difuso de massa em regime transiente.....................................................................9 Transferncia de massa na presena de reaces qumicas ..................................9

Reaces qumicas homogneas.............................................................................10

Reaco qumica na superfcie................................................................................11 Transferncia de massa por conveco..................................................................11

M3 Transferncia de massa em escoamentos no confinados........................13

Escoamento inicialmente forado ............................................................................14

Disperso de massa em escoamento uniforme......................................................17

M4 Soluo de problemas com transferncia de calor e massa. .....................19

Problema de evaporao..........................................................................................19

Conveco natural ....................................................................................................24

Referncias................................................................................................................25

Transferncia de Massa 1 Joo Lus Toste de Azevedo

Transferncia de Massa O estudo da transferncia de massa efectuado com o objectivo de quantificar o fluxo de matria de uma determinada espcie qumica numa mistura. A transferncia de massa ocorre por mecanismos de difuso e adveco devido ao movimento do meio quando existe. Estes processos apresentam analogias com a transferncia de calor, excepto para o caso de radiao onde a transferncia de energia ocorre sem recorrer a um meio contnuo de suporte.

Na primeira seco estabelece-se a equao de balano de massa para uma espcie qumica, definindo-se o fluxo difusivo e advectivo. Na seco seguinte M2 apresentam-se solues de problemas de transferncia de massa que correspondem a solues estudadas previamente em transmisso de calor. Pela particular importncia da transferncia de massa em escoamentos exteriores no confinados, apresentam-se algumas solues com interesse na seco M3. Finalmente na seco M4 apresentam-se solues para o processo de transferncia de calor e de massa para problemas onde os dois mecanismos podem ter igual importncia.

M1 Equaes fundamentais para transferncia de massa

A quantificao do fluxo de matria pode ser efectuado numa base molar ou mssica. A utilizao de uma ou outra base depende da situao fsica a analisar. Por exemplo a base molar preferida em problemas envolvendo gases considerados como perfeitos a temperatura e presso constante, onde o nmero de moles por unidade de volume constante. O uso da base mssica pode ser favorecido, por exemplo para problemas com reaces qumicas em fase homognea. A forma das equaes para as duas bases apresenta semelhanas, sendo apreentados exemplos para ambas as bases.

Lei de Fick

A difuso de massa resulta de variaes na concentrao de uma espcie. A lei que traduz este resultado a lei de Fick. Esta lei exprime o fluxo de matria de uma espcie qumica num meio em repouso. A quantidade de massa pode ser expressa em termos do fluxo mssico (ji).

dx

dmDj iiji r-= [kg/m2s] (M 1)

em funo do gradiente de fraces mssicas (mi), da massa especfica (r) e do coeficiente de difuso da espcie i na espcie j. O coeficiente de difuso expressa-se em unidades [m2/s] e definido com dois ndices, indicando a espcie considerada e o meio onde ocorre a difuso. Para a difuso de massa utiliza-se tambm o coeficiente de difuso mssico definido por Gij=rDij [kg/m2s].

O fluxo de matria pode tambm ser expresso em base molar por:

dx

dXCDJ iiji -= [kmol/m2s] (M 2)


em funo do gradiente de fraces molares Xi e da concentrao molar (C) ou nmero de moles especfico definido com unidades [kmol/m3]. A lei de difuso de massa apresenta claras semelhanas com a equao de Fourier para a transmisso de calor.

dx

dTc

dx

dTkq par-=-= [kJ/m

2s] (M 3)

Ambas as leis exprimem um fluxo em funo do gradiente de uma propriedade. Estas expresses quantificam a velocidade a que ocorrem os processos descritos pela segunda lei da termodinmica. A lei de Fick quantifica a transferncia de massa, enquanto a lei de Fourier quantifica a transferncia de energia.

Coeficiente de difuso

O coeficiente de difuso de massa em slidos tem de ser determinada experimentalmente pois no existe um modelo terico para a prever. Para lquidos existem mtodos de estimar o coeficiente de difuso quando a concentrao do soluto baixa [1,2]. No caso de gases quando a concentrao e presso permite considerar o gs como perfeito a teoria cintica de gases permite derivar uma expresso para o clculo do coeficiente de difuso [1,2]:

ji)j,i(,D2

j,i

233

ij M

1

M

1

P

T10*8583.1D +

Ws=

-

em (cm2/s) (M 4)

onde os valores das propriedades so especificados nas unidades indicadas na tabela M1.

Grandeza P - Presso TTemperatura absoluta sij Dimetro de coliso

Unidades Atmosfera Kelvin Angstron

Tabela M1 Unidades para os parmetros para o coeficiente de difuso molecular.

O coeficiente de difuso de massa tanto maior quanto menores forem as molculas; dimetro de coliso (sij) e massas moleculares Mi, Mj menores. O dimetro de coliso para um par de molculas calculado como a mdia aritmtica dos valores para cada um dos componentes sij=(si+sj)/2. Valores da massa molecular e de si para algumas espcies no estado gassoso encontram-se indicados na tabela M2.

O coeficiente de difuso de massa inversamente proporcional ao integral de coliso WD,(i,j) que um parmetro adimensional cujo valor depende do seguinte parmetro envolvendo a temperatura:

( )( )kkTkT

jiij ee=

e (M 5)

Os valores de e i/k para algumas espcies tambm se encontram indicado na tabela M2, enquanto o integral de coliso em funo do parmetro introduzido na equao M5 indicado na tabela M3. O integral de coliso introduz implicitamente uma dependncia da temperatura que preciso ter em conta.


Tabela M2 Parmetros de espcies. Tabela M3 Valores do integral de coliso.

O valor do coeficiente de difuso de massa aumenta com a velocidade mdia das molculas, proporcional raiz quadrada da temperatura, e com o volume especfico proporcional a T/P. Deste modo conclui-se que o coeficiente de difuso de massa apresenta uma dependncia explicita de T1.5/P. No entanto, devido dependncia do integral de coliso na temperatura conclui-se que valores do coeficiente de difuso de massa variam com TN com N entre 1.6 e 2.

Os valores do coeficiente de difuso de massa medido experimentalmente, referem-se a pares determinados de substncias para temperatura e presso especificadas. A tabela M4 apresenta alguns valores, devendo recorrer-se a manuais (e.g. [2]) para a obteno de outros valores. A influncia da temperatura e da presso deve ser considerada para interpolar ou extrapolar valores experimentais do coeficiente de difuso de massa.

Mistura de Ar com: T (C) D (cm2/s) Mistura de CO2 com: T (C) D (cm2/s) Vapor de gua 25 0.260 Vapor de gua 25 0.164 Benzeno 25 0.0962 Benzeno 45 0.0715 lcool Etlico 25 0.132 lcool Etlico 0 0.0693 Dixido de Carbono 0 0.136 Azoto 25 0.158 Mercrio 341 0.473 Hidrognio 0 0.550 Oxignio 0 0.175 Mistura de O2 com: T (C) D (cm2/s) Dixido de Enxofre 0 0.122 Benzeno 20 0.253 Amnia 0 0.198 Amnia 23 0.039

Tabela M4 Coeficiente de difuso de massa para pares de gases presso atmosfrica [1].


Quando se pretende considerar o coeficiente de difuso de uma espcie i em mistura de componentes este pode ser estimada pela formula de Wilke [2]:

( )

-=

=

N

1k k

kkm DX/X1D

ll l

l (M 6)

vlida para difuso equimolecular.

A aplicao da lei de Fick no vlida para fluidos sob grande presso situao na qual poder existir fluxo relativo de massa devido a gradientes de temperatura e presso.

Movimento do fluido

A lei de Fick permite analisar a transferncia de uma dada espcie no seio de outra considerando que no existe velocidade da mistura. A definio de velocidade da mistura depende de se considerar uma base molar ou mssica como se pode ilustrar no exemplo de mistura de dois gases perfeitos i, j a presso e temperatura constante.

No processo de mistura de dois gases perfeitos i, j com a mesma presso e temperatura iniciais, a concentrao molar de acordo com a lei dos gases perfeitos (C=P/R0T) constante ao longo do processo de mistura. Deste modo numa base molar facilmente se reconhece que no existe movimento da mistura. O fluxo molar de uma espce pode assim ser calculado a partir da lei de Fick em base molar e pode concluir-se que o fluxo molar da outra espcie igual em mdulo e em sentido contrrio. O fluxo de massa de cada espcie pode ser calculado multiplicando o fluxo molar pela massa molecular. No caso da massa molecular das duas espcies serem diferentes, pode-se assim concluir que globalmente existe movimento numa base mssica.

Do exemplo anterior reconhece-se a necessidade de definir a velocidade da mistura em diferentes bases consoante a aplicao. Para o fluxo mssico de uma dada espcie em relao a coordenadas fixas vamos utilizar o smbolo ni. A quantificao do movimento do fluido pode tambm ser feita numa base molar, utilizando-se ento o smbolo Ni para designar o fluxo. O fluxo de uma espcie individual pode ser expresso como o produto da sua concentrao pela sua velocidade para qualquer das bases consideradas: molar Ni= CiVi ou mssica ni = rivi..

O fluxo global definido a partir da soma do fluxo de todas as espcies. Para o fluxo mssico global utiliza-se o smbolo n ou G [kg/m2s], sendo usado o smbolo N para o fluxo molar. O fluxo absoluto permite definir a velocidade mdia da mistura em base molar ou mssica. Conclui-se que a velocidade mdia a mdia ponderada das velocidades de espcies individuais, utilizando as fraces molares ou mssicas:

jjiijjiiji

VXVXC

VCVC

C

NN

C

NV +=

+=

+== (M 7a)

jjiijjiiji vmvm

vvnnnv +=

rr+r

=r+

=r

= (M 7b)


Fluxo em relao a referencial absoluto

A velocidade das espcies individuais no fcil de definir, pelo que usual exprimir o fluxo absoluto (molar ou mssico) de uma espcie como a soma do fluxo relativo com a componente de transporte devida ao movimento da mistura. O fluxo relativo pode ser calculado a partir da lei de Fick permitindo obter em forma vectorial:

NXXCDVCJN iiimiiirrrr

+-=+= (M 8a)

nmmDvjn iiimiiirrrr

+r-=r+= (M 8b)

Estas equaes podem ser apresentadas nos diversos sistemas de coordenadas [3,4]. Para uma dada direco em coordenadas cartesianas pode-se ento escrever o fluxo para uma espcie i como a soma do fluxo difusivo com o de conveco:

Gmdx

dmDn i

iimi +r-= ; VXdx

dXCDN i

iimi r+-= (M 9 a,b)

Para estabelecermos a relao entre o coeficiente de difuso de massa entre pares de substncias pode-se somar o fluxo de duas espcies constituindo a totalidade da mistura:

NV)XX(dx

dXD

dx

dXDCNN ji

jji

iijji =r++

+-=+ (M 10)

Como a soma das fraces molares das espcies que constituem a mistura unitria e N=rV o primeiro membro dever ser nulo. Como o gradiente da concentrao de uma espcie simtrico do outro, os coeficiente de difuso de massa devem ser iguais Dij = Dji. No caso de se considerar misturas de mais componentes obtem-se uma relao entre os coeficiente de difuso de massa entre todos os pares de espcies[4], compatvel com a formula de Wilke (Equao M4).

Balano de massa a espcies individuais

O balano de massa para cada espcie pode ser definido considerando um elemento infinitesimal de volume e a variao do fluxo mssico em cada direco. Para um problema unidimensional em coordenadas cartesianas:

i'''i

imii M)

x

mDvm(

xt=

r-r

+r

(M 11)

onde i'''M representa a fonte de massa da espcie i resultante por exemplo de reaces qumicas. A presena de fontes de massa para espcies no implica necessariamente a existncia de fontes de massa globais. No caso de estas existirem tm de ser consideradas na equao da continuidade que resulta da soma de todas os balanos s espcies que constituem a mistura.

'''M)v(xt

=r

+r

(M 12)


A fonte de massa global '''M pode ser considerada no caso de se tratar o problema de um meio gasoso no interior do qual existam partculas ou gotas que libertem gs. A equao de balano de massa para a espcie individual pode ser simplificada tendo em considerao a equao da continuidade. A soma do termo no estacionrio e convectivo pode ser simplificada do seguinte modo:

'''Mm)x

mv

t

m(

)x

m(vm

x)v(

tm

tm

)vm(xt

iii

iii

ii

i

++

r=

=r+

r+

r+

r=r

+

r

(M 13)

No caso de no existirem fontes de massa globais i.e. 0MM '''i''' == a equao M11 pode ento escrever-se na forma:

i'''i

imii M)

x

mD(

x)

x

mv

t

m( +

r

=

+

r (M 14)

A forma completa do balano de massa pode ser encontrada em [3,4]. Os balanos de massa unidimensionais em coordenadas cilndricas e esfricas so expressos por:

i'''i

imii M)

r

mrD(

rr

1)

r

mv

t

m( +

r

=

+

r (M 15)

i'''i2

im2ii M)

rm

rD(rr

1)

rm

vt

m( +

r

=

+

r (M 16)

No caso de r e Dim serem considerados constantes podem-se retirar da derivada simplificando a equao. A semelhana entre as equaes apresentadas e as equaes de transferncia de calor so evidentes.

Em termos de concentraes molares as equaes M11 e M14 podem ser escritas como:

i'''i

imii N)x

XCD(

x)CUX(

x)CX(

t+

=

+

(M 17)

i'''i

imii N)

x

XCD(

xx

XU

t

XC +

=

+

(M 18)

M2 Analogia entre problemas de transferncia de massa e de calor

Nesta seco analisam-se as semelhanas e analogias entre as equaes de balano de massa para uma determinada espcie qumica e a equao de balano de energia considerada para o estudo de transmisso de calor. Seguidamente analisam-se alguns problemas de transferncia de massa cuja formulao conduz a equaes anlogas s consideradas para problemas de transmisso de calor. A analogia por vezes no completa devido ao movimento associado transferncia de massa que pode ser desprezvel. O uso destas aproximaes analisado.


Analogia entre equaes de transferncia de massa e de calor.

A equao de transporte de massa tem uma forma semelhante equao de transferncia de calor que, representa o balano de energia. As equaes apresentados antes para a transferncia de massa, representam o balano de massa para uma determinada substncia qumica. Este balano pode ser expresso em funo da fraco mssica ou molar ou ainda em funo da quantidade de matria (em massa ou nmero de moles) por unidade de volume. Em analogia com as fraces molares ou mssicas define-se a quantidade de energia por unidade de massa como o produto do calor especfico pela temperatura. Convm relembrar que a equao de transmisso de calor representa um balano de energia sendo o transporte de energia quantificado pela entalpia explicitada em funo da temperatura. O uso da temperatura na equao de transmisso de calor, prende-se com a utilizao da lei de Fourier e na convenincia para definir condies fronteira. A partir da comparao efectuada, podemos assim estabelecer analogias entre a equao de calor e de balano de uma espcie qumica:

Dim -a O coeficiente de difuso de massa Dim equivalente ao coeficiente de difuso trmica a.

mi ou Xi - cpT A fraco mssica ou molar equivalente entalpia relativa.

Ci ou ri - rcpT A concentrao molar ou a massa especfica da espcie i equivalente ao produto rcpT representando energia por unidade de volume.

Mi ou Ni - q"' A taxa de gerao de massa ou moles da componente i equivalente taxa de gerao interna de calor.

C - r A concentrao molar C equivalente massa especfica.

Para alm dos parmetros que so directamente utilizados nas equaes de transporte, podem-se estabelecer equivalncias entre outros parmetros definidos no estudo da transmisso de calor.

A equivalncia entre nmeros adimensionais referida nos prximos pontos, sendo aqui apenas necessrio estabelecer a equivalncia com o coeficiente de conveco [W/m2K]. Este representa a energia transferida por unidade de tempo e rea e por unidade de diferena de temperatura. A utilizao da diferena de temperatura entre o fluido e a superfcie para o clculo do fluxo considerada por a lei de Fick ser definida em relao temperatura. Com efeito o equilbrio trmico resulta da igualdade de temperatura.

Para a transferncia de massa podem-se utilizar fraces mssicas ou molares pelo que conveniente definir um coeficiente sem expressar a quantidade de matria. O coeficiente de transferncia de massa definido como a velocidade de transferncia hm (m/s). O fluxo de

matria obtido do produto deste coeficiente pela diferena de concentrao molar da espcie Ci para o fluxo molar ou pela diferena da massa especfica da espcie ri=r*mi para o fluxo mssico.

Tendo em conta a analogia j estabelecida entre a quantidade de matria por unidade de volume Ci ou ri e a energia por unidade de volume rcpT, pode-se ento estabelecer:


hm h/(rcp) O coeficiente de transferncia de massa por conveco equivalente ao valor do coeficiente de conveco de calor dividido por rcp.

Problemas de difuso

A difuso de gs ou lquidos em slidos normalmente tratada como um problema de difuso pura, j que a fraco ocupada pelo fluido pequena quando comparada com a do slido. Na realidade o movimento do fluido no slido implica a existncia de uma velocidade mdia da mistura (fluido+slido) que normalmente pode ser desprezvel. No caso de difuso de uma espcie gasosa noutra pode-se em alguns casos considerar que a mistura no tem movimento. Esta situao acontece por exemplo considerando gases perfeitos a temperatura e presso uniforme pelo que a concentrao molar C=P/RoT tambm constante e em termos molares no existe movimento. Nesta situao verifica-se difuso equimolar j que os fluxos molares so simtricos.

Difuso de massa sem fontes em regime estacionrio

Para problemas de difuso em regime estacionrio definem-se resistncias transferncia de massa de modo anlogo s resistncias trmicas de conduo. A partir da equao de balano de massa para a espcie i sem fontes:

0)dx

dCD(

dx

d iim = (M 19)

pode-se concluir que a variao da concentrao molar linear e o caudal molar Qm atravs de placa com rea A e espessura L dado por:

M

iL0iiL0i

imm R

CC)CC(

L

ADQ

-=-= (M 20)

permitindo definir a resistncia transferncia de massa por difuso RM. Por um processo anlogo podem-se definir resistncias transferncia de massa para coordenadas cilndricas e esfricas:

im

ieM LD2

)r/rln(R

p= e )

r1

r1

(D41

Reiim

M -p= (M 21 a,b)

onde ri e re representam os raios interior e exterior da superfcie cilindrica ou esfrica e L representa a altura do cilindro considerado.

As resistncias para a transferncia de massa podem tambm ser aplicadas para calcular caudais utilizando a diferena de fraces mmolares ou ainda para o caso de gases perfeitos a diferena entre presses parciais como se exemplifica a seguir.

m

iL0i

0m

iL0i

m

iL0im R

PP

TR

1

R

XXC

R

CCQ

-=-=-= (M 22)


Difuso de massa em regime transiente

As solues estudadas para difuso transiente em placas, cilindros e esferas podem ser utilizadas para transferncia de massa, aplicando-se por exemplo caracterizao de processos de secagem ou de tratamento de materiais (carburao de metais por ex.). Os parmetros para a descrio do problema so os nmeros adimensionais de Fourrier e de Biot. Estes nmeros adimensionais so definidos para a transferncia de massa por:

2im

mL

tDFo = e

im

mm D

LhBi = (M 23 a,b)

onde L representa uma dimenso caracterstica do problema. No caso de no exterior no se verificar uma condio de conveco mas sim imposta na superfcie pode-se considerar o caso limite de 1/Bi=0. A soluo do problema pode ser expressa em termos de concentrao molar ou fraco molar ou mssica. Os valores so apresentados de forma adimensional na seguinte forma:

i

0

0i

0

0ii XX

XX

XX

XX

XX

XX

qq

qq=

--

--

=--

=q

q

(M 24)

considerando a soluo separada em duas parcelas representando respectivamente a influncia da posio e do tempo. Para objectos que correspondem interseco de duas geometrias (e.g. cilindro finito como interseco de cilindro infinito e placa de altura igual do cilindro) a soluo obtida como o produto das solues das geometrias que permitem a formao do objecto.

Para a situao do nmero de Biot ser muito pequeno no existem gradientes importantes de concentraes no interior e pode-se descrever o processo de transferncia de massa por um balano global envolvendo o coeficiente de transferncia de massa. Para situaes em que no se possa usar as solues analticas indicadas para geometrias simples, pode-se utilizar um mtodo numrico para o clculo da difuso transiente.

Convm relembrar que a decomposio indicada na equao M24 uma aproximao. A soluo analtica do problema de difuso transiente em corpos finitos corresponde a um desenvolvimento em srie e a decomposio apresentada representa apenas o primeiro termo. Para nmeros de Fourier baixos pode ser necessria a considerao de mais termos da srie pelo que os valores apresentados em grficos no podem ser usados.

Para alm das solues referidas anteriormente para a difuso transiente em slidos com uma dimenso finita, existem solues referentes a problemas de difuso no estacionria em corpos semiinfinitos [1,3]. Estas solues podem ser aplicadas para descrever o processo inicial de transferncia de massa por difuso em corpos de pequena dimenso ou para representar a disperso de massa unidimensional na atmosfera ou gua a partir da superfcie.

Transferncia de massa na presena de reaces qumicas

As reaces qumicas podem dar-se em fase homognea quando se realizam na presena de uma nica fase ou podem ser heterogneas quando envolvem mais que uma fase. Nesta ltima


categoria incluem-se reaces gs-fludo nas quais o slido pode participar como reagente ou produto, ou apenas como catalisador (promotor) ou inibidor da reaco. No caso do slido no reagir, no liberta nem recebe massa do fludo enquanto se reagir altera a massa do fludo mas pode no alterar o nmero total de moles.

A velocidade a que se do as reaces qumicas em fase gasosa ou sobre superfcies slidas so caracterizadas por taxas de reaco que dependem em geral da temperatura e da concentrao de reagentes na fase gasosa para alm de outros factores. A dependncia da taxa na concentrao de reagentes pode ser caracterizada pela ordem da reaco que limitamos neste estudo aos casos de ordem 0 e 1. No caso de ordem 0 a taxa de reaco independente da concentrao do reagente, enquanto no caso de taxa de primeira ordem a taxa de reaco proporcional concentrao da espcie que reage (i). Vamos aqui analisar dois casos correspondentes ao caso de reaco homognea ocorrendo no seio do meio e o caso da reaco ser promovida junto a uma superfcie slida.

Reaces qumicas homogneas

No caso de reaces em fase homognea existem fontes de massa para as espcies que reagem que tm de ser contabilizadas. No caso de se considerar uma aproximao do tipo unidimensional e o coeficiente de difuso constante pode-se escrever a equao de balano de massa para a espcie i com fonte de massa como:

0Ndx

CdD '''i2

i2

im =+ (M 25)

A dependncia da fonte de i na concentrao Ci pode ser de ordem 0 ou 1 para as quais se

tem respectivamente 0'''

i kN -= e i1'''

i CkN -= sendo o sinal negativo de se considerar que a espcie i consumido na reaco. No caso da ordem ser 0 a soluo da equao muito simples e tem a analogia com as solues de conduo de calor com fontes internas de calor uniformes. No caso da ordem da reaco ser 1 a equao de balano de massa pode ser escrita na forma:

0Ckdx

CdD i12

i2

im =- (M 26)

que uma equao anloga obtida na anlise unidimensional de conduo de calor em alhetas. A soluo geral para esta equao :

( ) mx2mx1A eCeCxC -+= onde im1 Dkm = (M 27) e as constantes C1 e C2 so determinadas pelas equaes fronteiras especficas do caso. A soluo apresentada na equao M 25 anloga equao de dist ribuio de temperatura em alhetas. Esta equao tambm pode ser aplicada para a situao de difuso no interior de poros com reaco qumica de primeira ordem na sua superfcie. Esta situao equivalente ao problema de transferncia de calor numa alheta, com difuso unidimensional com trocas na direco transversal.


Reaco qumica na superfcie

Quando existem reaces qumicas em superfcies a sua taxa pode ser expressa por unidade de rea (externa) dessa superfcie. No caso de difuso em poros essa contribuio considerada como uma fonte de massa na equao de balano de massa unidimensional. De uma forma mais geral, reaco qumica na superfcie representa uma equao fronteira para os problemas de transferncia de massa.

No caso do fluido no se encontrar em movimento na direco paralela superfcie onde se d a reaco o problema unidimensional na direco perpendicular superfcie. Uma situao semelhante a esta tratada na ltima seco M4. Na maior parte das aplicaes quando ocorre uma reaco qumica em superfcies o fluido escoa-se paralelamente superfcie. O movimento das espcies que reagem bidimensional, podendo considerar-se no entanto que o movimento da mistura se verifica apenas na direco paralela superfcie. Na realidade esta situao verifica-se numa base mssica se a superfcie no reagir (caso dos catalisadores) ou numa base molar se o nmero de moles na reaco no variar. Nestas circunstncias pode-se quantificar a transferncia de massa do escoamento para a superfcie por um coeficiente de conveco de massa hm.

No caso da taxa de reaco qumica na parede ser de primeira ordem o fluxo de massa da espcie i consumido na parede proporcional sua concentrao junto parede. Normalmente a concentrao conhecida num ponto afastado da parede. A transferncia de massa do fluido at parede pode ser contabilizado por um coeficiente de conveco de massa hm, devendo verificar-se a igualdade de fluxos.

( )0iim0i1''i CChCkN -=-= (M 28) A partir das expresses apresentadas para os fluxos podem-se definir resistncias transferncia de massa para os dois processos: transferncia de massa por conveco e reaco qumica, permitindo definir uma expresso para a taxa de consumo de i com base nas resistncias em srie:

( )

-=

+-

= igm1

i''i Ckh1k1

CN (M 29)

No caso da taxa de reaco ser independente da concentrao junto superfcie ou no caso da taxa de reaco ter uma ordem diferente da unitria estabelece-se uma equao anloga a M 28, no sendo possvel no entanto estabelecer uma taxa global.

Transferncia de massa por conveco

A transferncia de massa por conveco j foi referida anteriormente quando se mencionou as reaces qumicas em superfcies. Para estabelecer uma analogia com a transferncia de calor deve-se considerar o movimento do fluido apenas na direco paralela superfcie. Para considerar o movimento do fluido na direco perpendicular superfcie pode-se recorrer a correlaes que consideram a transpirao das superfcies. No entanto na presena de reaces qumicas ou em problemas de evaporao o fluxo de massa na direco


perpendicular superfcie desprezvel. Esta aproximao pode ser verificada para casos concretos comparando o fluxo na direco perpendicular obtido a partir do coeficiente de conveco de massa hm com o fluxo na direco paralela.

A analogia entre o coeficiente de transferncia de massa e de conveco de calor j foi apresentado na seco M2.1. O coeficiente de transferncia de massa caracteriza uma velocidade que equivalente ao valor de h/(rcp). Este parmetro utilizado na definio do nmero de Stanton que compara a velocidade de transferncia de calor com a velocidade tpica do escoamento considerado (St= h/(vrcp).).

Para a transferncia de massa pode-se definir um nmero de Stanton de igual forma comparando a velocidade de transferncia de massa com a velocidade do escoamento:

=

U

hSt mm (M 30)

As correlaes para coeficientes de conveco de calor estudadas em transferncia de calor para escoamentos laminares, resultaram em grande parte de solues analticas enquanto para escoamentos turbulentos se usaram correlaes semi-empiricas expressas em termos de nmeros adimensionais. O coeficiente de conveco de calor normalmente apresentado em termos adimensionais pelo nmero de Nusselt em funo de uma dimenso caracterstica X e da conductividade Nu=hX/k.

O nmero de Nusselt expresso em funo do nmero de Reynolds e do nmero de Prandtl. O nmero de Reynolds no envolve nenhuma grandeza de transferncia de calor pelo que no alterado. O nmero de Prandtl que compara a difuso de momento com a trmica substitudo pelo nmero de Schmidt Sc = n/Dim que compara a difuso de momento com a de massa. O nmero adimensional equivalente ao Nusselt pode ser facilmente definido, tendo em ateno que Nu=St*Re*Pr, permitindo definir o nmero de Sherwood:

im

m

im

mm D

LhD

*LU

*Uh

ScRe**StSh =nn

==

(M 31)

Este nmero representa assim o coeficiente de conveco de massa de uma forma adimensional utilizando uma escala de comprimento e o coeficiente de difuso de massa. Comparando directamente com o nmero de Nusselt pode-se ver a analogia, isolando a velocidade de transferncia de calor termo h/(rcp) na sua definio Nu= (h/(rcp))L/a. A partir da analogia estabelecida pode-se ento considerar as correlaes Nu=f(Re,Pr) para representar a transferncia de massa por:

( )ScRe,fD

XhSh

im

m == (M 32)

Nos problemas com transferncia de massa por conveco pretende-se contabilizar o fluxo de uma espcie na direco perpendicular ao escoamento principal quer seja interior ou exterior numa camada limite. Para a transferncia de calor utilizou-se a lei de Fourier para contabilizar o fluxo de calor na parede considerando que a componente de velocidade na direco


perpendicular parede nula. Nos problemas de transferncia de massa como j referido a condio do fluxo nulo junto parede pode no ser vlida, por exemplo no caso de se evaporar vapor de uma superfcie lquida. Deste modo torna -se importante avaliar esta aproximao.

A forma das correlaes empricas para transferncia de massa pode no ser totalmente igual obtida para a transferncia de calor. Por exemplo no escoamento de vapor no interior de tubos com uma pelcula de lquido na parede a dependncia do nmero de Reynolds apresenta um expoente de 0.83 em vez de 0.8, devido rugosidade formada pela pelcula de lquido.

M3 Transferncia de massa em escoamentos no confinados

O estudo de transferncia de massa toma uma importncia particular para o caso de escoamentos exteriores, mesmo que longe de superfcies. Existem diversas situaes reais relacionadas com a disperso de poluentes na atmosfera ou em meio aqutico que se podem analisar a partir de solues da equao de balano de massa. Em muitos destes casos existe movimento do fluido quer por efeitos de conveco forada como por conveco natural. Para estes casos torna-se portanto necessrio considerar a soluo de equaes de balano de quantidade de movimento que no caso de conveco natural se encontra fortemente dependente do balano de energia caso existam gradientes trmicos.

A disperso de poluentes na atmosfera complicada pelo facto de se tratar de um escoamento de camada limite e tambm pelo facto da atmosfera poder apresentar condies de estabilidade ou no. O perfil de temperatura, presso e massa especfica ao longo da altura dependem das condies climatricas. Estes perfis so importantes pois condicionam o movimento do ar na direco vertical dependendo da sua massa especfica. Podemos avaliar as condies de estabilidade da atmosfera se analisarmos o que pode acontecer a uma parcela de ar que se desloque no sentido ascendente.

A variao da temperatura de uma parcela de ar em movimento pode ser estimada por uma evoluo adiabtica reversvel, desprezando as trocas de calor com a vizinhana. Se a temperatura da atmosfera variar de uma forma mais rpida que a correspondente expanso adiabtica, significa que quando uma parcela de ar inicia o movimento ir continuar o seu movimento. Como exemplo uma parcela de ar em movimento ascendente diminui a sua temperatura menos que a vizinhana e assim fica com um maior volume especfico continuando o seu movimento. Nesta situao a atmosfera encontra-se em condies instveis, sendo estvel quando a variao de temperatura ao longo da altura varia menos que a correspondente evoluo adiabtica.

As condies de estabilidade ou instabilidade da atmosfera so influenciadas pela humidade requerendo um mtodo de anlise mais completo. Quando a estabilidade da atmosfera depende da humidade designa-se por condicional enquanto que quando independente da humidade designa-se por absoluta.


Escoamento inicialmente forado

Nesta seco referem-se exemplos de escoamentos no confinados a partir de fontes de quantidade de movimento tal como no caso de jactos que podem ser planos ou cilndricos. A designao de jacto aplica-se a um escoamento promovido por uma corrente forada a partir de uma zona limitada num meio no confinado. A figura M1 ilustra o desenvolvimento inicial de camadas de corte e a formao de um jacto plano. Na zona inicial do escoamento os gradientes de velocidade verificam-se numa zona localizada junto fronteira por onde o fluido alimentado. O escoamento promovido nessa zona designa-se por camada de corte sendo caracterizado pela diferena entre a velocidade de injeco e a exterior que poder ser nula. Os jactos so definidos a partir da distncia na qual as camadas de corte se intersectam crescendo a sua espessura assim como o caudal uma vez que existe arrastamento de fluido.

Figura M1 Desenvolvimento de camadas de corte e de jacto plano

Como se pode observar da figura a origem do jacto no coincide com a seco de sada do escoamento, sendo definida pela interseco das linhas que representam a espessura do jacto. A anlise do desenvolvimento das camadas de corte isoladas e de jactos baseiam-se na anlise das equaes de quantidade de movimento com a aproximao de escoamento tipo camada limite. Esta aproximao considera que a escala de comprimento transversal no escoamento muito menor que a escala axial, permitindo escrever a equao de quantidade de movimento na direco axial como:

( )

n+n

+r

-=

+

y

u

ydx

dP1

y

uv

x

uu T (M 33)


O gradiente de presso considerado conhecido e igual ao valor correspondente para uma distncia y afastada da perturbao no escoamento. Nesta equao a viscosidade cinemtica somada com o valor nT que representa o coeficiente de difuso equivalente de quantidade de movimento devido turbulncia. A maior parte dos escoamentos com interesse prtico em problemas de engenharia envolve escoamento turbulento e o coeficiente de difuso de quantidade de movimento turbulento preponderante.

A anlise de ordens de grandeza da equao de quantidade de movimento permite estabelecer uma relao entre a ordem de grandeza dos parmetros envolvidos em M33:

2c

T

2c

D

uxu n (M 34)

onde D e x so escalas de comprimento respectivamente na direco transversal e axial. uc a escala de velocidade mxima em cada distncia axial. Para a camada de corte este valor constante enquanto para o caso de jactos este valor diminui medida que o jacto se desenvolve [5]. Considerando a observao experimental do crescimento da dimenso transversal proporcionalmente distncia axial desde a origem virtual do jacto (D a x), pode-se obter a ordem de grandeza da viscosidade turbulenta.

A definio e uso de um coeficiente de difuso turbulenta, permite fechar a equao de quantidade de movimento representando o efeito de flutuaes de velocidade que so interpretadas como tenses de corte (Tenses de Reynolds). O coeficiente de difuso turbulento deve-se ao movimento dos turbilhes que se geram nas zonas de maiores gradientes de velocidade. O seu clculo envolve em geral um modelo de turbulncia sendo o mais simples o modelo do comprimento de mistura aplicado ao caso considerado com gradientes importantes de velocidade axial na direco transversal [5]:

y

u2T

=n l (M 35)

A escala de comprimento caracterstica da turbulncia da ordem de grandeza da espessura do jacto permitindo tal como pela anlise das ordens de grandeza estabelecer uma escala para a viscosidade turbulenta. Pode-se concluir que a viscosidade turbulenta depende da posio axial mas independente da coordenada transversal. A soluo para a distribuio de velocidade determinada considerando a coordenada transversal em termos adimensionais h=s (y/x) com base na observao da proporcionalidade entre y e x. A soluo assim determinada com base em condies de semelhana entre os perfis. As solues para a distribuio de velocidade e temperatura para camadas de corte e jactos planos podem ser analisadas em [5].

Pelo maior interesse prtico, apresenta-se a soluo para o caso do jacto cilndrico com gradiente axial de presso nulo. As equaes de balano de massa e de quantidade de movimento para a direco axial com a aproximao de quantidade de movimento so:

0r

)rv(

r

1

x

u=

+

(M 36)


n=

+

ru

rrrr

uv

xu

u T (M 37)

A partir da equao M34 e da proporcionalidade entre a dimenso transversal D e axial x pode-se concluir que nT a ucx. A variao da velocidade na linha central ao longo da distncia axial calculada com base no principio de conservao de quantidade de movimento. Com efeito se globalmente no actuam foras sobre o fluido em movimento pode-se considerar que a quantidade de movimento se mantm constante:

p=0

2rdru2K (M 38)

que permite, por uma anlise de ordens de grandeza, verificar que a velocidade na linha central varia inversamente com a distncia com a dimenso transversal ou com a distncia axial, j que estas duas so proporcionais. Desta anlise pode ento concluir-se que para o caso do jacto cilndrico a viscosidade turbulenta constante.

)tetanCons(KD

Kxxu2/1

cT n (M 39)

O facto da viscosidade turbulenta para o jacto cilndrico ser constante e independente da coordenada axial e radial, permite obter uma soluo para o perfil de velocidade em condies de semelhana na forma [5]:

2221210

41

x

K3

2u

-

h+

pg

= (M 40)

onde g0 uma constante emprica com o valor 15.2 e h= g0 (r/x) a coordenada radial adimensional definida para os perfis de semelhana. Em alternativa soluo terica apresentada usual correlacionar o perfil de velocidade em funo da coordenada transversal por uma funo exponencial na forma:

-=

2

c b

rexpuu (M 41)

onde b uma dimenso caracterstica radial que aumenta com a distncia axial como j se referiu. Com base em resultados experimentais verifica-se:

b = (0.107+ 0.003) x (M41a)

Tendo em considerao este valor e a equao M38, pode-se rescrever o perfil de velocidade na forma:

-=

221

x

r35.9exp

x

K46.7u (M 42)

em funo da distncia axial desde a origem virtual do jacto.


Esta expresso para a distribuio de velocidade utilizada em modelos aproximados para o clculo do campo de velocidade resultante de um ou da sobreposio de diversos jactos. A partir da analogia entre o balano de quantidade de movimento e o balano de energia ou ainda o balano a uma espcie qumica, pode-se concluir que a soluo para a distribuio de temperatura ou de concentrao de uma espcie qumica emitida como jacto apresenta uma forma anloga com a equao M40. Concretizando:

( ) ( )

--=-

2

Tc

b

rexpTTTT (M 43)

( ) ( )

--=-

2

Mc

b

rexpCCCC (M 44)

O valor dos parmetros b para estas ltimas equaes so superiores ao valor para a quantidade de movimento, como resultado do maior valor dos coeficientes de difuso trmica e de massa. Para o caso da distribuio de temperatura obtm-se bT/b=1.19, podendo considerar-se o mesmo valor para a distribuio de concentrao molar.

Disperso de massa em escoamento uniforme

Nesta seco apresenta-se a soluo para a distribuio de concentrao de uma espcie num escoamento uniforme proveniente de uma fonte pontual ou em linha. Para a anlise deste problema consideram-se as equaes de balano de massa com aproximao de camada limite num referencial cilndrico e cartesiano respectivamente. A soluo obtida para a zona de semelhana, afastada da origem da fonte, considerando que o perfil de concentraes mantm a mesma forma em termos adimensionais.

Para o caso de uma fonte em linha da espcie i (kg/ms ou kmol/ms) pode-se formular a equao de balano de massa para a espcie i num escoamento uniforme. Nesta hiptese despreza-se o caudal injectado em relao ao caudal uniforme. Considerando apenas o termo de conveco na direco do escoamento e a difuso na direco prependicular podemos escrever a equao de balano de massa como:

2i

2

efi

y

XD

x

Xu

=

(M 45)

obtida considerando a concentrao molar (C) uniforme. Nesta equao introduziu-se um coeficiente de difuso de massa Def effectivo que pode representar para alm do coeficiente de difuso molecular o resultado da turbulncia ou outros efeitos (escoamento em meio poroso). As solues que se vo obter so obtidas utilizando um valor constante para esse parmetro. No caso da disperso de massa se verificar num meio poroso a escala de comprimento de flutuaes de velocidade constante e condicionada pela escala de comprimento dos poros. Para o caso de escoamentos uniformes de um fluido a escala de comprimento de turbulncia


tambm constante, no sendo no entanto fcil de determinar. Utilizando uma anlise de escalas para as diversas grandezas na equao pode-se estimar a dimenso transversal da esteira (Dt dimenso em y) como:

uxDD eft (M 46)

O caudal (molar Qm) da espcie i deve-se manter constante a juzante da linha de injeco ao longo da esteira e pode ser calculado em cada seco por:

( ) [ ]kmol/ms dyXXCuQ iim -= - (M 47) sendo igual ao caudal injectado por unidade de comprimento. A escala da diferena entre a fraco molar na esteira e a infinito Xi-Xi pode ser estimada a partir de:

uxDC

QCuDQ

XXef

m

t

mii - (M 48)

Com base na ordem de grandeza da fraco molar e na dimenso transversal da esteira Dt pode-se propor uma soluo de semelhana na forma:

( )hq=- uxDC

QXX

ef

mii com xD

uy

ef=h (M 49)

A funo q determinada da substituio desta soluo na equao de balano de massa:

02 "' =q+hq+q (M 50)

com as condies fronteira hq com 0 e q=0 para h=0.

A resoluo da equao M50 em conjunto com a condio de conservao do caudal

=hq- 1d permite determinar o resultado:

( )ph-=q

2

4exp 2 (M 51)

e substituindo na equao M49 permite definir a distribuio de fraco molar:

( )p

-=- uxDC2

xD4uyexpQXX

ef

ef2

mii (M 52)

O problema de disperso de massa a partir de uma fonte pontual pode ser caracterizado de uma forma equivalente utilizando a equao para coordenadas cilndricas:

)r

Xr(

rr

D

x

Xu iefi

=

(M 53)

A escala radial tem a mesma ordem de grandeza que para o caso plano. A equao de conservao do caudal para o caso cilndrico escreve-se como:


( ) [ ]kmol/s rdrXXCu2Q 0 iim -p= (M 54) permitindo determinar a soluo como:

( )hq=- xCD

QXX

ef

mii com xD

ur

ef=h (M 55)

sendo agora a equao para q:

0)/12/( "' =q+qh+h+q (M 56)

com as mesmas equaes fronteira. A condio de conservao agora =hqhp - 1d2 .

O resultado para a distribuio da fraco molar resultante :

( )xCD4

xD4urexpQXX

ef

ef2

mii p

-=- (M 57)

A soluo expressa nesta equao permite caracterizar a distribuio de massa a partir de fontes pontuais de massa. Quando existam diversas fontes de massa a fraco de massa pode ser obtida adicionando as contribuies das diversas fontes. Esta expresso pode ser usada para calcular as fraces molares de uma espcie qumica em torno da linha central do escoamento que pode ser deflectido.

M4 Soluo de problemas com transferncia de calor e massa.

Em situaes em que ocorra simultaneamente transferncia de calor e massa importante comparar os dois processos. A comparao entre os coeficientes de difuso trmica e de massa efectuada pelo nmero adimensional de Lewis Le = a/Dim = Sc/Pr que compara difuso de calor com massa. Este nmero adimensional para os gases da ordem de grandeza da unidade, permitindo considerar uma analogia entre os problemas de transmisso de calor e de massa. Nesta seco refere-se o problema de evaporao de um lquido e apresenta-se uma introduo a problemas de conveco natural envolvendo gradientes de temperatura e de composio qumica.

Problema de evaporao

Consideremos o problema da evaporao de um lquido contido num recipiente e a sua difuso ao longo de uma altura L para uma zona onde a fraco molar do vapor se mantm constante (CvL). A soluo para este problema pode ser considerada unidimensional de acordo com o referencial indicado na figura com origem na superfcie livre do lquido. Vamos considerar a soluo do problema de transferncia de calor e de massa independentemente e no final analisar qual a ligao entre as duas solues.

O liquido evapora-se na superfcie do lquido gerando assim vapor (V) que se difunde para o topo do reservatrio atravs do gs (G) que ocupa a coluna. Considera-se que a superfcie livre do lquido no varia de posio e que a fraco de vapor junto a essa superfcie (x=0) e no topo da coluna (x=L) so constantes. Para alm da difuso existe tambm conveco ao


longo da coluna resultante do caudal evaporado. Como no existem fontes de vapor ao longo da alura da coluna o fluxo de vapor constante e igual ao fluxo total de vapor evaporado.

Ndx

dXCDNXN VVGVV =-= (M 58)

que tambm pode ser rescrito como:

( )1

VGV

V CCD

N

X1

dxdX==

--

(M 59)

O perfil da fraco molar de vapor tem ento a forma:

( ) 21V CxCX1ln +=- (M 60) sendo C1 e C2 calculados utilizando as equaes fronteira:

XV=XV0 para x=0 e XV=XVL para x=L conduzindo a:

( )0V2 X1lnC -= e LX1X1

lnC0V

VL1

--

= (M 61)

permitindo obter a distribuio da fraco mssica como:

Lx

0V

VL

0V

V

X1X1

X1X1

--=

--

(M 62)

em funo das fraces molares junto superfcie do lquido e no topo da coluna. Tendo em ateno o valor da constante C1=N/CDVG podemos tambm escrever a fraco molar em funo do caudal evaporado como:

( ) ( )VG0VV CD/NxexpX11X --= (M 63) O fluxo mssico evaporado pode ser calculado a partir desta equao para x=L em funo das fraces molares em x=0 e x=L ou directamente do balano de massa:

--

==

-

-=0V

VLVG1VG

V

VVG X1

X1ln

L

CDCCD

X11

dx

dXCDN (M 64)

O argumento do logartmo pode ser rescrito como 1+B com B=(XV0-XVL)/(1-XV0) que representa uma grandeza (driving force) responsvel pela massa evaporada. A soluo do problema em termos molares exacta se considerarmos a presso e temperatura uniformes ao longo da altura da coluna e a mistura de gas e vapor como gas perfeito. Nessas condies a massa especfica varia ao longo da altura, sendo no entanto razovel consider-la como constante quando a fraco molar do vapor pequena.

--

r=0V

VLVG

m1

m1ln

L

DG (M 65)

xCv=Cvo

Cv=CvL

Figura M2 Esquema de problema de evaporao em coluna


Quando se consideram tambm variaes na temperatura ambas as bases molar e mssica permitem obter solues aproximadas considerando as propriedades constantes.

A fraco molar de vapor junto superfcie do lquido pode ser determinada pelas condies de saturao. A evaporao do lquido requer que se fornea energia ao lquido o que se pode verificar atravs da base e lados do reservatrio ou pela superfcie do lquido. Neste caso criam-se gradientes de temperatura ao longo da coluna que se analisam de seguida para o caso de todo o calor necessrio evaporao ser fornecido atravs da superfcie livre do lquido.

O balano de energia para tratar este problema considera uma situao unidimensional em regime estacionrio. Neste caso a equao diferencial apresenta apenas os termos de conveco e difuso para a direco vertical acima do lquido. Considera-se as propriedades constantes como aproximao e uma base mssica por ser mais usual o seu uso em transmisso de calor. Na conveco a energia transportada associada apenas ao vapor uma vez que no existe movimento do gas que constitui o meio (normalmente ar). Deste modo vai considerar-se para o transporte convectivo nv cpV +nG cpG= G cpV. A condutividade k resulta

da mdia das duas espcies cuja concentrao varia ao longo de x. No vamos detalhar este clculo, considerando apenas uma conductividade k uniforme em todo o domnio. Com estas hipteses a equao de balano de energia resulta em:

=

dxdT

kdxd

dxdT

Gc pV (M 66)

Esta equao pode tambm ser integrada considerando como condies fronteira a temperatura para x=0 e x=L permitindo obter:

( )( ) 1kLGcexp

1kxGcexp

TTTT

pV

pV

0L

0--

=--

(M 67)

Como no caso de transferncia de massa pretende-se exprimir o fluxo mssico evaporado em funo das temperaturas em x=0 e L e de outros parmetros. No caso do calor necessrio evaporao ser totalmente fornecido atravs da camada de gs e vapor acima do lquido, o fluxo de calor para o lquido Q0 igual ao necessrio para vaporizar o lquido -Q0=Ghfg.

fg0x

0 Ghdx

dTkQ -=-=

= (M 68)

Integrando a equao de balano de energia uma vez podemos obter:

00pVpV QTGctetanconsdx

dTkTGc +==- (M 69)

de onde se pode obter:

kdx

Q)TT(GcdT

00pV=

-- (M 70)


que integrando na forma

[ ]L

0

L

000pVpV k

xQ)TT(Gcln

Gc1 =-- (M 71)

conduz a:

-

--=

0

00LpVpV

Q

Q)TT(Gcln

k

LGc (M 72)

Substituindo nesta equao o fluxo de calor para a superfcie permite obter:

-+=

fg

0LpV

pV h

)TT(c1ln

LckG (M 73)

sendo o argumento do logaritmo na forma (1+B). Nesta expresso pode-se substituir o conjunto k/cpV por ra sendo estas as propriedades da mistura se considerarmos o transporte convectivo com o calor especfico da mistura. A expresso obtida muito semelhante ao resultado obtido da anlise de transferncia de massa com a forma:

-

-+

r=

0V

VL0VVGm1

mm1ln

L

DG (M 74)

Em ambas as equaes o fluxo mssico determinado por driving forces referentes ao processo de transferncia de masa e de calor. Eliminando o fluxo mssico entre as duas expresses obtm-se uma equao relacionando os dois parmetros B atravs de:

VGpV Dck

fg

0LpV

0V

VL0Vh

)TT(c1

m1

mm1

r

-+=

-

-+ (M 75)

sendo o expoente um nmero adimensional equivalente ao nmero de Lewis que compara a transferncia de calor com a transferncia de massa. Para gases o nmero de Lewis de ordem de grandeza da unidade donde as driving forces tm valores equivalentes. A equao acima permite relacionar a fraco mssica de vapor na superfcie do lquido com a temperatura do lquido. No caso de se usar o fluxo em termos molares podemos tambm escrever uma equao semelhante anterior com o mesmo expoente. Para alm das equaes apresentadas a fraco mssica ou molar relaciona-se com a temperatura do lquido atravs da curva de saturao do lquido. A soluo das duas equaes pode ser representada esquematicamente num grfico representando a fraco molar ou mssica em funo da temperatura.


A partir desta figura possvel analisar casos limites em que o processo controlado principalmente por transferncia de massa ou de calor. Para o caso da temperatura TL ser maior que a temperatura de ebulio, a temperatura do lquido tende para a temperatura de ebulio e a fraco molar ou mssica fica prxima da unidade. Neste caso a expresso para a transferncia de massa fica indefinida e mais conveniente utilizar a expresso da transferncia de calor. No caso da temperatura TL ser prxima de T0 as variaes das fraces molar ou mssica tambm so baixas. Para este caso podemos calcular o valor do caudal evaporado da transferncia de massa usando mV0 ou XV0 igual aos valores de saturao para a temperatura TL.

O problema apresentado para a evaporao em coluna pode tambm ser formulado e apresentado para o caso de evaporao de gotas. Neste caso o calor para promover a vaporizao provem do gs sendo tambm a taxa de evaporao expressa em funo de parmetros de transferncia de calor e de massa. Para este caso a taxa de evaporao calculada respectivamente por:

-

-+

r=

0V

V0V

0

VGm1

mm1ln

r

DG (M 76)

-+=

fg

0pV

0pV h

)TT(c1ln

rc

kG (M 77)

em funo do raio da gota e das propriedades numa posio afastada das gotas. Para o caso das gotas o clculo do tempo de evaporao pode ser realizado integrando este fluxo em funo do raio da gota permitindo calcular o tempo de vaporizao respectivamente por:

T0

mV0 ou XV0

1

XVL

Temperatura de Ebulio

TL

TL=T0

Curva de mudana de fase

Figura M3 Soluo grfica da equao M75 e interseco com a curva de mudana de fase.


( )

-+

r=

fg

0pV

pV

20Liq

Vap

h

TTc1ln

ck8

Dt (M 78)

-

-+r

r=

V

V0VVG

20Liq

Vap

m1

mm1lnD8

Dt (M 79)

em funo da massa especfica do lquido e do dimetro inicial das gotas.

Conveco natural

Para problemas de conveco natural a anlise pode ser complexa no caso do movimento do fluido ser provocado simultaneamente por variaes de temperatura e de composio. A anlise da camada limite laminar com conveco natural efectuada a partir da equao de balano de quantidade de movimento na direco vertical escrito na forma:

( )r-rr

+

n=

+

g

x

v

y

vv

x

vu

2

2 (M 80)

Quando se efectuou o estudo de transmisso de calor considerouse a variao de massa especfica proporcional diferena de temperatura utilizando o coeficiente de expanso trmica b definido como a variao da massa especfica com a temperatura. Para quantificar a variao de massa especfica associada a gradientes de concentrao pode-se de igual modo definir o coeficiente de expanso devido variao da concentrao.

PiC C

1i

rr

-=b (M 81)

Podemos assim definir a variao da massa especfica em funo das variaes de concentrao de uma espcie e da temperatura por:

( ) ( ) ( ) -b+-b=rr-r

iiC CCTT i (M 82)

A soluo de problemas com efeitos de conveco natural devidos a ambos os efeitos requer a soluo da equao de quantidade de movimento em simultneo com as equaes de balano de massa

Figura M4 Esquema de camada limite trmica e de concentrao qumica.


para a espcie i considerada e o balano de energia. A soluo depende da grandeza relativa dos termos apresentados na equao M82 ou seja da diferena de temperatura e de concentrao envolvidos no problema. Adicionalmente a taxa de crescimento das camadas limites trmica e de concentrao molar dependem dos nmeros adimensionais de Sc e Pr, conduzindo a diversas solues que so discutidas em [5].

Quando o movimento do fluido unicamente determinado por variaes de massa especfica devido variao da concentrao molar de uma espcie define -se um nmero de Rayleigh referente transferncia de massa.

im

3i0iC

my D

y)CC(gRa i

n

-b= (M 83)

Normalmente o movimento do fluido provocado principalmente pelas variaes de massa especfica devidas a variaes de temperatura. Uma situao de interesse prtico que interessa considerar para conveco natural corresponde s plumas formadas numa zona afastada de chamins onde a contribuio da quantidade de movimento inicial pequena comparada com a impulso trmica.

Referncias

[1] Heat Transfer-A Basic Approach, M.N. Ozizik, McGraw Hill, 1985.

[2] Chemical Engineers Handbook, R.H. Perry and C.H. Chilton, 6th Ed., McGraw Hill, 1984.

[3] Fundamentals of Heat and Mass Transfer, F.P. Incropera and D.P. De Witt, John Wiley & Sons, 1990.

[4] Transport Phenomena, R.B. Bird, W.E. Stewart and E.N. Lightfoot, John Wiley & Sons, 1960.

[5] Convection Heat Transfer, A. Bejan, John Wiley & Sons, 1984.

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