Ist VaR-basierte Risikosteuerung kontraproduktiv? von Prof. Dr. Siegfried Trautmann Gliederung: 1....

Ist VaR-basierte Risikosteuerung kontraproduktiv?

von Prof. Dr. Siegfried Trautmann

Gliederung:

1. Value-at-Risk (VaR) als Risikomaß

2. Kritikpunkt 1: VaR ist nicht kohärent

3. Kritikpunkt 2: VaR-basierte Risikosteuerung ist kontraproduktiv3.1 Intuitive Erklärung3.2 Modelltheoretische Erklärung von Daníelsson/Zigrand (2001)3.3 Modelltheoretische Erklärung von Basak/Shapiro (2001)

4. Schlußfolgerungen

2 ist VaR-basierte risikosteuerung kontraproduktiv ?prof. dr. s. trautmann

1. Value-at-Risk (VaR) als Risikomaß

Value-at-Risk (VaR) ist das derzeit in der Finanzwelt populärste Risikomaß.

„Over the last few years measures of market risk have become synonymous with the term Value-at-Risk.“ (J.P. Morgan)

• Griffige, aber unpräzise Definition: Maximaler Vermögensverlust innerhalb eines vorgegebenen Zeitraums unter „normalen“ Bedingungen.

• Präzisere Definition: Der VaR für ein Konfidenzniveau (1- ), VaR( ), ist jener Vermögensverlust über die nächsten H Handelstage, der mit einer Wahrscheinlichkeit von (1- ) nicht überschritten wird.

• Beispiel: Für ein Portefeuille mit einem VaR von € 100.000 ist für =1% und H=1 damit zu rechnen, daß in einem aus 100 Fällen der Verlust über einen Handelstag größer als € 100.000 ist.


Gewinn / Verlust in Mio. €

• Statistische Definition: Der VaR( ) ist das -Quantil der Wahrscheinlichkeits-verteilung der Vermögensänderungen. Mit Vermögen (Portefeuillewert) zum Zeitpunkt t gilt dann formal:

• Bei normalverteilten Vermögensänderungen und Überschreitenswahrscheinlichkeit

=1% gilt VaR=2,33*Vola mit Vola Volatilität von .

tW )](VaR)[(Prob tHt WW

)( tHt WW

Wahrschein-lichkeit=1%

Wahrscheinlich-keitsdichte

VaR=2.33*Vola

ErwarteterGewinn


W-Dichte

Kreditverluste

99% Konfidenzniveau

erwarteterVerlust(EL)

unerwarteterVerlust(UL)

gedeckt durch Pricing und

Rückstellungen

gedeckt durchEigenmittel

(CVaR)

• In gängigen Kreditrisikomodellen dient der sogenannte Credit-Value-at-Risk (CVaR) als Risikokapital zur Abdeckung unerwarteter Kreditverluste:

Extreme

Kreditereignisse


Realisationen eines driftlosen Zufallsprozessesfür kumulierte Tagesrenditen mit Vola(Tagesrend.)=1

Haltedauer H(=Handelstage)

HH )1 ;(VaR);(VaR

1,16)1 ;(VaR250 ;(VaR )

• Bei voneinander unabhängigen, identisch verteilten Tagesrenditen gilt das sogenannte Quadratwurzelgesetz: mit H=250 Handelstagen pro Jahr.

• Bei einer Haltedauer von H Handelstagen beträgt der VaR das -fache des VaR

der Haltedauer von 1 Tag für alle :

• Beispiel: Bei einer Haltedauer von H=250 Handelstagen gilt:

H rend.)Vola(Tagessrend.)Vola(Jahre

);6/1( HVaR

H


2. Kritikpunkt 1: VaR ist nicht kohärent

. XBX T

. YXYX

.0mit XX

. falls YXXY (1) Monotonie

(2) Positive Homogenität

(3) Subadditivität

(4) Translationsinvarianz

• Artzner/Delbaen/Ebner/Heath (1999) führen die Klasse kohärenter Risikomaße ein und begründen deren Sinnhaftigkeit.

• Bezeichnet X bzw. Y den zufälligen Liquidationswert von zwei Handelsbüchern, so erfüllt ein kohärentes Risikomaß die folgenden Bedingungen (Axiome):

• Das spezielle Risikomaß VaR verletzt i.a. das Subadditivitätsaxiom: Die Aufteilung einer Risikoposition in zwei neue Positionen erfordert daher i.a.

weniger Risikokapital.

(.)


3. Kritikpunkt 2: VaR-basierte Risikosteuerung ist kontraproduktiv

• Der Baseler Ausschuß für Bankenaufsicht hat im Januar 1998 beschlossen, großen Banken die Nutzung des Risikomaßes VaR zu erlauben, um die zur Deckung des Marktrisikos erforderliche Höhe der Kapitalreserven zu bestimmen.

• Allgemein wird davon ausgegangen, daß VaR-basierte Risikosteuerung vor Banken-Schieflagen im großen Umfang schützt.

• Die wissenschaftliche Literatur zu den Implikationen einer VaR-basierten Risikosteuerung (insbesondere Daníelsson/Zigrand (2001) und

Basak/Shapiro (2001)) zeigt bisher allerdings das Gegenteil.

• Insbesondere letztere Arbeit zeigt auf, daß wenn große Handelsverluste auftreten, diese größer sind als im Fall eines ansonsten identischen Händlers, der keiner VaR-Restriktion unterliegt.


3.1 Intuitive Erklärung


Erwarteter Gewinn

VaR = 1%

Erwarteter Gewinn

VaR

• Verkauf von Puts bewirkt eine Verringerung des VaR für ein Portefeuille, obwohl der erwartete Verlust ansteigt.

= 1%



3.2 Modelltheoretische Erklärung von Daníelsson/Zigrand (2001)

• Das VaR-beschränkte Anlageproblem

des Händlers h im Zeitpunkt t

Zielfunktion:

Nebenbedingungen: – Budget-Restriktion

– VaR-Restriktion

• Optimales Portefeuille

im Falle (nur) eines risikobehafteten Wertpapieres mit Marktpreis und

Rendite fragt Händler h die folgende Stückzahl nach:

mit und Lagrange-Multiplikator der VaR-Restriktion.

)(2

)( max 11

htt

hhtt

xxWVarxWE

ht

tS

) ,( ~ NR

22

)(1

t

tht

hht S

Srx

0 , cc ht

ht h

t


• Gleichgewichtspreise

Wird die aggregierte Nachfrage gleich dem Angebot gesetzt, führt dies zum folgenden Gleichgewichtspreis im Zeitpunkt t :

mit

• Weitere Modellimplikationen

2

t

tt

rS

11

0

1

dhht

ht

(1) VaR-Regulierung führt zu riskanteren Strategien bei weniger risikofreudigen Händlern.

(2) VaR-Regulierung führt zu einer geringeren Marktliquidität.

(3) VaR-Regulierung führt zu volatileren Gleichgewichtspreisen.


Verteilungsannahme

Nachfrage

Preise

Renditen

Realisierte Auszahlungen

),σ(μ tt

htx

tS 1tD

1tR

• Simulation gleichgewichtiger Preisentwicklungen

Daníelsson/Shin/Zigrand (2001) revidieren dabei die Renditeverteilung auf der Basis realisierter Renditen:


• Simulation des Einflusses einperiodiger Anlageentscheidungen auf Marktpreise und deren Volatilität bei einer VaR-Regulierung:

(2) VaR-Regulierung erhöht die Volatilität insbesondere in Baisse-Phasen

(1) VaR-Regulierung führt zu niedrigeren Marktpreisen

Preise

Vola

Zeit

Zeit


3.3 Modelltheoretische Erklärung von Basak/Shapiro (2001)

• Das Entscheidungsverhalten von Portfoliomanagern unter einer VaR-Restriktion wird in einem zeitstetigen Modellrahmen à la Black/Scholes/Merton untersucht.

• Danach halten VaR-Manager gerade in relativ schlechten Marktsituationen, d.h. bei hohen Werten von (den normierten Zustandspreisen) riskantere Positionen (im Vergleich zum unregulierten B-Manager), um unter günstigen Marktbedingungen zum Anlagehorizont T den vorgegebenen VaR nicht zu überschreiten:

ξ(t)


Die optimale Position eines VaR-Managers entspricht • der eines PI-Managers (der eine perfekte Portefeuille-Absicherung betreibt) plus

einer Short-Position von entsprechenden Binär-Optionen, oder• der einer B-Managers (der keiner Regulierung unterliegt) plus einer Long-

Position von entsprechenden Korridor-Optionen.


Der VaR-Manager erleidet demnach gerade in bad-case-Szenarien höhere Vermögensverluste als der nicht regulierte B-Manager:


Wird dagegen in diesem Modellrahmen eine Regulierung über das Risiko-Maß LEL (Limited Expected Loss = begrenzter erwarteter Verlust) betrieben, so ist der LEL-Manager gerade in bad-case-Szenarien besser gestellt als der nicht regulierte B-Manager:


• Verwendung alternativer Konzepte ist auch aus Regulatoren-Sicht bedenkenswert, z.B. ES-basierte Risikosteuerung (ES = Expected Shortfall = erwarteter Ausfall)

anstelle VaR-basierte Risikosteuerung

konzentriert sich derzeit auf dieses Forschungsfeld.

• Erste Ergebnisse findet man z.B. bei Schulmerich/Trautmann (2001): Local Expected Shortfall Hedging in Discrete Time, erscheint in: European Finance Review.

•

4. Schlußfolgerungen

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