Iterationsverfahren zur Berechnung von Unterschallstromungen urn Profile und axial angeblasene Drehkorper.

Herrn GEORG HAMEL zum 75. Geburtstag gewidmet.

\'on ROBERT SAUER in Munchen.

(Eingegangen am 3.7.1952.)

In der vorliegenden Abhandlung wird ein lterationsverfahren zur Berech- nung von Unterschallstroniungen uni Profile oder axial angeblasene Drehkorper entwiclielt, niif das sclion friiher hingewiesen wurdel), das aber erst jetzt niit Hilfe der nvniiiehr in Gebraucli kominenden programmgesteuerten Reclien- maschinen praktischen Nutzen verspricht. Es ist eine Weiterentn icklung des Iterationsverfahrens von LORD R A ~ E I G H ~ ) und P. JANZEN3) sowie einer von B. G O T E E R T ~ ) angewandten ~~erschlagsrechnnng. Gegeniil jer anderen lrer- fahren hat es den Vorteil, daB der Arbeitsaiifwand von Iteration zu Iteration gleich hleibt nnd dalier die Iterationen so lange fortgesetzt werden lionnen, bis die Reclinung ,,stelit'' (vgl. ZiIf. 1).

Der Hauptaufwand liegt in einer ein fur allemal zu leistenden Vorarbeit, niimlich der Berechnung gewisser ,,EinfluBzahlen". Wenn die Tabelle dieser EinfhBzalilen einmal vorliegt, kann die Stromung um jedes Profil und jede Dreliflache in verhaltnismkBig kurzer Zeit ermittelt werden. Die Durchfiihrung der Iterationen erfolgt rein nurnerisch ; es bleiben also keinerlei subjektive Freiheiten wie bei graphischen Differentiationen u. dgl. Abgesehen von der Approximation der auszuwertenden Integrale durrh Summen enthalt das Ver- fahren keine Yernachlhssigungen.

1. Grnndgedanke des Iterationsprozesses. Unter den iiblichen Voraussetzungen geniigt das Geschwindigkeitspotential

p(x, y) einer eloenen (0 = 0) oder einer drehsymnietrischen raiinilichen ((T = 1) Stromung eines koiiipressiblen idealen Gases der PotentiaIgleichnng

(1) LIP, = p r z + pyy = dnt

1) Vgl. hierzu R. SAUER, lhoulements des fluides compressibles. Paris 1951, S. 208. 2) LORD RAYLEIGH, Philos. Mag., J. Sci., London, VII. Ser. 32, Iff. (1916). 3) P. JANZEN, Physik. Z. 14, 639ff. (1913). 4 ) B. GOTHERT, Deutsche Luftfahrt-Forsohurg, Zentr. wiss. Ber.-LVes., Unters. Mitt.

1117 (1943).

214 Sauer, Iterationsverf~liren ziir Berecliiiiing von Uiiterschallstroniungen.

niit 1 O D

. ' . Z Z = ~ ( $ w p : +2yrup.rpy + y 5 J y q g - y p y 3

2 - 1 2

(4 - a, - - ( & + I& - U L ) .

Daljei sind z , y ini Fall o = 0 kartesische und im Fall (T = 1 Zylinderkoordinaten (Z-Aclise = Zylincleraclise). Die Konstanten x , ti,, a , liuben folgende Be- deuturig :

z = ITerh&ltnis cp jc , der spezifisc.lien Wirmen Ijei Bonstsnteni Druck bzw.

'urn = Sc l i a l lgesc l~~~ ind ig~e i t ? am = Strijinuiigsgesclin-indiglreit

Man kann Gleicliung (1): nie dies L. POUGI~) und C. KAPLAH~) geton llsben, als Potentialgleicliung einer ebenen inkonipressiblen Stroniung denten, bei der die Ebene kontinuierlicli mit Quellen yon der Ergiebigkeit t je Fllclieneinlieit helegt ist. Bei Iielionnter Quellverteilung z ( n , y) ist also

T'olunien, } i n 1 Cnendliclien (Striiniring ~iarallel zur 2-Achse).

eine Liisung tler Difierentinlgleichung (1) . Die Gleichnngen (1) und (3) fuhren zu folgendeni IterationsprozeB fiir die

Ermitt lung der Unters~liallstriiiilung uiii eine vorgegebene l iontur hei vor- gegehener An st i~iitnungsgesclinindigkeit :

(a) Als Ausgnngsnalieriing qo(z ~ y) wird etwa die inkonipressihle Strijtnung genominen. uelciie die Randhedingungen streng erfullt und a n Stelle der

Gleivliung ( 1 ) tler ~rsatzdiffereiiti:ilgleicliung A p =

(11) Mit den ersten unrl ziveiten Ableitungen der Fnnktion p0(x, y) bcreclinet itian ~ i ( . c . y) nacli Gleicliung ( 2 ) fur den AixBenbereicli der gegebenen Kontur. Ferner IJestiiiinit man fiir don lnnenbereicli der Kontur eine ..gespiegelte" Quell~-erteilnng~ng z;' (X , y) derart, d a B die Quellverteilungen T; nnd .A' zusamnien an der Kontur die Soriiialgeschwindigkeit Null liefern. Die Rantlbedingnng im Unendliclien wird durcli die hinzugefugte Verteilung Z: (x. y) nicxlit gest6rt. Dann herevlinet inan a d Chiirid von Gleicliung (3)

pr geniigt. Y

ql(x* y) = / - / T l ( 6 , 11) log 1 ( X - f ) * + (y - Tl)"dSdY, + auDen

(4) -~ + uT;l(:. ? i ) log 1 ( X ~ f ) 2 + ( y q)"&, inurn

und die ersten und z\veiten dbleitungen \-on p1 (z, y) . (c) Jlit cler neiien Saherung ql(z> y) n-ird der in (b) beschriebene ProzeB

wiederliolt, woclurcli sich die ersten iind zneiten Xldeitungen einer weiteren Siilierung p2(x y) ergellen, usf.; allgeniein erliiilt iiian p r ( x , y) nrit k = 1 ~ 2 . 3 , . . . , ),is die R~clinung ,.stelit''.

5 , L. I'oGGI, &rotecnica 12, 1859-1593 (1932): 14. 53f-550 (1934). 6 , C . I<APLAK, XACA Rep. 6'21 (1938); 611 (1939).

Sauer, Iterationsverfahren zur Berechnung von Unterschallstroiiiungen. 215

Wie sich disser allgerneine IterationsprozeB in eine praktiscli brauclihare Form bringen la&, wird in den folgenden Abschnitten gezeigt.

2. Stromung urn Kreis und Kugel. Das Verfahren 1iiBt sich in sehr einfacher Weise scheiriatisieren, wenn die

Kontur kreisforniig ist, wenn es sicli also u m die ebene Xtroriiung niit oder ohne Zirkulation uin einen Kreis (Drehzylinder) oder um die drehsymiiietrische rauniliche Stromung uni eine Kugel liandelt :

Die Doppelintegrale (4) werden durch Doppelsuimnen approsimiert. Hierbei wird das ;?;uBere der Kreiskontur dureh konzentrische Hreise und Radien in ,,Trapeze" zerlegt. Wir nehnien etwa fiinf zur Kreislrontur r = 1 konzentrisclic Kreise

TI 1 ~~~~, yII = s+, rIII = 5 i , rIv = 5+, rv = 53 , T \ I = 5 ,

welche init den linter gleichen Winkeln verteilteri Radicn

sechs Kranze von Trapezen erzeugen. Jedeni l'rapez wird durch Mittelung der eben angegebenen Werte von r und 0 ein ,,Mittelpunkt" zugeordnet.

Die kontinuierlichen Quellverteilungen z; (x , y) werden nun durch unstetipe Verteilungen approximiert : 111 jedern der genannten Trapeze wird z: (x. y) durch einen konstanten Wert, namlich den Wert von T; ini Trapezmittelpunlit, ersetzt; aul3erhalb der Trapezkranze, d. h. fur r > 5 , setzt man zf = 0. Die gespiegelte Quellverteilung zy (x , y) ergiht sirli hierauf Iolgenderniahen : Mittels Abbildiing durch reziproke Rndien entsprechen den sechs auBeren Trapez- kriinzen ebenso viele innere Trapezkranze. Da sich bei der Abbildiing durch reziproke Radien die Flachenelemente genial3

1 df f f = dj f - 7 (df' auhen, d f f f innen)

transformieren, setzen wir in entsprechenden Punkten fur die Quellergiebig- keiten

zf ld f f f = zfdff, also zff 1 z f / r 114. ,

dam niirnlich ergibt sicli an der Kreislrontur, wie es sein soll, als h-ornial- komporiente der Geschwindigkeit Null. Wahrend also bei unserer Approximation in den 5iuBeren Trapezen jeweils zf = const w i d , ist in den inneren Trapezen -8' variabel, nainlich umgelrehrt proportional zu rff4,

Bei dem ganzen Iterntionsprozeh sind die Rechnungen imnier nur fur die Mittelpunkte der auBeren Trapeze als Aufpunlite durchzufiihren. Ferner faBt man bei der Berechnung der Doppelsuiniiien, welche die Doppelintegrale (-1) approximieren, zweckmaBig je zwei bezuglich der y-Ache symin: trische AuBen - trapeze und ilire beiden zugeordrieten Innentrapeze zu eineiri Trapezyuartett zusamrnen ; falls aiicli die r-Achse Symnietrieaclise ist, Ijildet man in maloger Weise Tra pezoktette.

Zur schematischen Berecshnung der Doppelsumriien verscahafft nlan sich ein fur allenial eine Tabelle der ,,EinfluDzahlen", d. 11. eine Tabelle der Werte tler

216 Sauer, Iterationsverfahren zur Berechnullg von Unterschallstronlungen.

ersten uncl zweiten Ableitungen der Funktion p (x, y) , die sich fiir die Nlittel- punkte der Adentrapeze als Aufpunkte ergeben, wenn man fur je ein Quartett

bzw. Oktett die Quellverteilung t’ = 1 , t” = r1/4 vorscdhreibt und auBerhalb

des betreffenden Quartetts bzw. Oktetts durcliweg t = 0 setzt. Diese EinfluR- zahlen lasven sic11 elementar berechnen. llire numerisrhe Erniittlnng erfordert einen einninligen drbeitsaufwaiid, der sich bei B-niitznng einer progranini- gesteuerten Rechenmaschine leiclit bewaltigen lafit.

Wenn die Tabelle der EinfluBzahlen einnial vorliegt, kanri inan die durch Doppelsuninien approximierten Saherungen fur die Ablditungen \-on qk (X , y) jeweils in eineni Arbeitsgang fur jeden Au€punkt mit gewolinlichen Rechen- maschinen bilden, i d e m iiian die EinfluOzahlen niit den ails der 1 orangehenden Xalieriing vorlier gebildeten Werten fur jecles Quartett bzw. Oktett mnlti- pliziert iind die Produkte foi tlaufend addiert.

1

3. StrSmung urn heliebige Profile und axial angeblasene Drehkorpcr. J h s in %iff. 2 fur Zireise nnd Gugeln e~lauter te Verfahren lafit sich unter

T’eru,endung der niinilichen Einflu Ijzahlentabelle auf heliebige Kontnren uber- tragen. incleni limn c~as AuBere der uorgege\Jenen Bontur aof dits AuBere des Einheitskreises lionforin abbildet. Die Rechnung verlluft ditnn in folgenden Schrit’ten : (a) Erniittlung der lionformen Abbildung der (x, y)-Ebene des Kreises (n)

auf die (z, g)-Ebene der gegebenen Kontur (5). (I)) Erniittlung tler inkompressiblen Unistr6riiung von (5) und der entsprechen-

den inkonipressiblen Unistrijmung \-on (z) . ( ( q ) Bxeclinung der Ergiebigkeiten t in der (Z, g)-El,ene der [Eiontiir ( E ) aus

der inliompressiblen Striiiiiung. (cl) ehertragung der Ergiehigkeiten von cler (3, g)-Ehene auf die ( 5 , y)-Ehene

genibfi der B-zieliung t df = t d f ; hierbei ist, - die Flachenverzerrung hei cler konforinen Alihildung.

(e) B-rechniing tler niicliaten Siilierung in der (x, y)-Ebene niicli Ziff. 2 und thertragung in die (Z , jj)-F:hene durcli konforme Abbildung, und analog neiter .

4 df

4. Vergleich mit dem Yerfahren voii Poggi iind Kaplan; Konvergenzproblem. Yoggi5) und huplan6) 1ial)en ebenfalls niittels Gleicliung (3) eine zweite

Xiherung ermittelt. Sie haben jedocli analytisclie Darstellungen gesucht und iiiuBten siclt dnher auf einfnche Sonderfklle (Ellipse, Joukowski-Profil) be- sellranken. Die Fortsetzung des Iterationsrerfalirens auf holiere Ntiherungen fuhrt bei analytischen Darstelliingen I ~ l d zu pralitisch unuberwincllit hem Auf - wand. Beini vorliegenden nunierisrhen Verfahren Lleiht dagegen der Aufwand fiir jeden weiteren Jterationsecliritt immer derselbe. Infolgedessen kann in jedein konkreten Fall praktisch gepruft nerden, ob die Iterationen konver- gieren. Allgenieine theoretistlie Konvergenzanssagen wurden hislier nicht gewonnen.