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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren ZeitintegrationEinführung

Numerische Methoden

- Einführung- Raumdiskretisierung- Numerische Verfahren (FD, FV, FE)- Zeitintegration

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Wieso CFD?• CFD heisst Computational Fluid Dynamics• Hohe Rechenleistung dank Computertechnik• Analytische Lösungen haben Einschränkun-gen

• Verschieden numerische Verfahren - Finite Differenzen (FD), finite Volumen (FV) und finite Elemente (FE)

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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration

Die Raumdiskretisierung• 1. Schritt: Diskretisierung des Raums, d.h.

Unterteilung in Teilgebiete.• 2 Haupmöglichkeiten: strukturierte oder

unstrukturierte Netze.• Netzgenerierung braucht im Allgemeinen

einen Netzgenerator.• Die Diskretisierung ist häufig schwieriger

als die Rechnung.Raumdiskretisierung

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Strukturierte Gitter

• Jedes Element und jeder Knoten ist durch ndim Zeiger identifi-zierbar.

1 2 N12

NP(5,4)

• Untertypen struktu-rierter Gitter sind:– Reguläre Gitter,– Orthogonale Gitter und– krummlinige Gitter

1 2 N12

NP(5,4)

Raumdiskretisierung

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Vor-/Nachteile strukturierter Gitter

• Wenig Speicherbedarf• Geringer Verwaltungsaufwand, schnelle

Rechenzeiten• Gut geeignet bei “ausgeschalteten” Teilgebieten• Geringe, geometrische Flexibilität• Nicht geeignet bei beweglichen Rändern

Raumdiskretisierung

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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren ZeitintegrationRaumdiskretisierung

Vor-/Nachteile strukturierter Gitter

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Numerische VerfahrenGrundlagen

• Analogie zwischen Experiment und Numerik.• Anstelle einer kontinuierlichen Variablenvertei-

lung verwenden numerische Verfahren diskrete Knotenwerte.

• Die Verfahren unterscheiden sich durch die Art, wie sie aus diskreten Knotenwerten die Variablen-verteilung annähern.

• Bekannteste Verfahren sind FD, FV und FE.

Numerische Verfahren

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Modellgleichung - Poisson Gleichung

fx

2

2


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Übersicht numerische Methoden• FD arbeitet mit der Differentialform der

PDGL– Massenerhaltung ist nicht gewährleistet

• FV benutzt die Integralform der PDGL– Massenerhaltung im Element ist gewährleistet

• FE stützt sich auf die schwache Integralform– Massenerhaltung über Gesamtgebiet i.O.


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FD• Älteste Methode, wurde von Euler 1768 für die

Lösung von Differentialgleichungen erfunden.• Differentialquotienten werden durch

Differenzenquotienten approximiert, diese sind u.U. nicht stetig, was zu numerischen Fehlern führen kann. Aus einer Taylor-Reihenentwicklung folgt:

xx 213

2

2

231

22

2 2xx


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FD• FD benötigen reguläre Netze, üblicherweise

strukturierte, um die Differenzenapproximation einfach bilden zu können.

• Die Netze dürfen nur geringe Variationen aufweisen (Dehnung/Verzerrung der Zellen), da sonst der numerische Fehler gross wird.

• Grundnetz in 3D bildet ein sechs seitiger Körper, der den effektiven Rändern angepasst werden kann.

• Multiblock reduziert diese Einschränkung.


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FV

• Ueber ein Kontrollvolumen werden die Flüsse bilanziert: „Rein gleich Raus plus Quelle/Senke“:

fxx

integriert xfxx w

WP

e

PE


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FV• Wurden von McDonald (1971) bzw. McCormack und

Paullay (1972) zum ersten Mal in 2D verwendet und 1973 von Rizzi auf 3D erweitert.

• Da die Formulierung über Zellvolumen und nicht Netzschnittpunkte erfolgt, ist hohe geometrische Flexibilität gegeben. Die Zellen können aus beliebigen Körpern gebildet werden.

• Man unterscheidet Zellmittelpunkt bzw. Zelleckpunkt FV-Methoden. Zellmittelpunkt hat Stabilitätsvorteile, bei Zelleckpunkt lassen sich RB’s besser formulieren.

• FV ist die verbreitetste Diskretisierungsmethode.


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FE• FE geht von der schwachen Integralform aus, d.h. die

Ausgangsgleichung wird gewichtet und integriert.• Durch Integration der gewichteten Ausgangsglei-

chung über das Gebiet verschwindet der Fehler der Diskretisierung.

• FE nimmt Verteilfunktionen der Variablen über die Elemente an, diese sind linear oder Polynome höherer Ordnung.


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• Am Punkt A innerhalb des Elements 1 wird die Variab-le A linear aus den Werten 1 und 2 der Nachbarkno-ten interpoliert:

212

11

12

2)12(12

11

XX

XAX

XX

AXX

XX

XAXA

• Die Brüche vor den Variablen 1 und 2 nennt man “Ansatzfunktionen”. Sie werden auch zur Gewichtung der schwachen Integralform gebraucht. Ansätze höherer Ordnung sind möglich.


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FE• FE wurde von R. Courant im Jahr 1943 entwickelt.• Die Elemente werden durch Netzschnittpunkte

gebildet, wo auch die Unbekannten sitzen. • Die Stabilität ist reduziert aber RB’s lassen sich

einfach formulieren.• Die Genauigkeit kann durch den Grad der

Ansatzfunktionen beliebig erhöht werden.• Vergleich der Rechenzeiten mit FV ist schwierig, da

die Genauigkeit bei FE a priori höher ist.


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Was sind Verfahren höherer Ordnung?

• In der Taylor-Reihenentwicklung werden Terme höherer Ordnung berücksichtigt (FD)

• Berücksichtigung von Ansatzfunktionen höherer Ordnung (FE).

• Verwendung von MUSCL, mit dem die Ordnung beliebig erhöht werden kann (FV).

• Achtung: Schemen höherer Ordnung neigen zu Oszillationen!

Zeitintegration

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Upwind Verfahren• Bis jetzt waren alle Verfahren sog. “zentrale”

Verfahren, d.h. Information floss von ober- und unterstrom mit gleichem Gewicht ein.

• Bei schiessender Strömung ist dieser Ansatz nicht gerechtfertig, da von unterstrom keine Beeinflussung stattfinden kann.

• Upwind Verfahren berücksichtigen den Infor-mationsfluss korrekt, d.h. sie gewichten die Seite stärker, von der Information einfliesst.

Zeitintegration

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Upwind Verfahren höherer Ordnung

• Analog wie Verfahren höherer Ordnung, aber nur Information oberstroms wird berücksich-tigt.

Zeitintegration

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Welche Methode eignet sich für meine Bedürfnisse?

• Grundsätzlich kann man mit jeder Methode alles machen. Teilweise erfordert die Anpassung hohes Fachwissen.

• Ich würde bei der Wahl die gewünschte Netzauflösung in den Vordergrund stellen.

• Keine Methode hat nur Vorteile!• FV ist sicher für CFD ein sehr guter

Kompromiss.Numerische Verfahren

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ENDE

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Randbedingungen

• Zur Lösung der PDG braucht es Randbedingungen.• Randbedingungen beeinflussen die Lösung am

Rand und oftmals bis tief ins Rechengebiet.• Schlecht gesetzte RB bewirken eine schlechte Lö-

sung, unabhängig von der Güte der Numerik!• Als Regel kann gelten: überall wo eine charakteri-

stische Information ins Rechengebiet eintritt, muss eine RB gesetzt werden.

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Anfangsbedingungen

• Die Randbedingungen in Zeitrichtung nennt man Anfangsbedingungen.

• Stationäre Probleme werden oft mit instationären Algorithmen gelöst. In diesen Fällen spielt die AB eine untergeordnete Rolle.

• Komplexe, nichtlineare Systeme konvergieren nur, wenn physikalisch sinnvolle AB gesetzt werden. Dies kann u.U. die Ruhe sein (h=konst., v=0).

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Methode der finiten Differenzen FD• Die FD geht von der Differentialform der PDG

aus (siehe Modellgleichung).• Die Variable wird in einer Taylor-Reihe um 2

entwickelt und als Näherung von 1 benutzt. Da-raus resultieren Ausdrücke für die Ableitungen.

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• Subtraktion bzw. Addition der beiden, Gleichungen ergibt:

xx 213

2

2231

22

2 2xx

....21

22

22

221

x

xx

x

....21

22

22

223

x

xx

x

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Modellgleichung in FD

• Unsere Modellgleichung kann damit ange-nähert werden durch:

211 2

xf iiii

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• Anwendung auf jeden Punkt im Rechenge-biet resultiert in:

2100000121..00

0121..00.121000..121000.01210000012

12x

A

A · x = b

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Vor-/Nachteile von FD

• Anschauliche Formulierung• Schnelle Rechenzeiten.• Geringe, geometrische Flexibilität.• Vorsicht bei numerischen Stössen, wo sich

unendliche Gradienten ergeben können!

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Methode der finiten Volumen FV• Die FV geht von der Integralform der Modellglei-

chung aus. Diese resultiert aus:

fxx

integriert

xfxx w

WP

e

PE

0

dxfxx

e

wwe

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Vorteil von FV

• Durch die Verwendung der Integralform ist der Erhalt von Masse, Impuls und Energie gesichert (Bilanzierung).

• In 2D und 3D ist die Formulierung unabhängig von der Geometrie der Elemente. Die geometrische Flexibilität ist grösser als bei FD.

• Schnelle Rechenzeiten.

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Methode der finiten Elemente FE• FE geht von der schwachen Integralform aus.

Diese resultiert durch Anwendung der Methode der gewichteten Residuen.

• Durch Integration der gewichteten Ausgangsglei-chung über das Gebiet verschwindet der Fehler der Diskretisierung.

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• Anwendung der gewichteten Residuen auf die Modellgleichung ergibt:

02

2

1

dxfx

Wi

i

x

x

• Es wird angenommen, dass Aenderungen über ein Element durch ein Polynom angenähert werden können, im einfachsten Fall durch:

x21 bzw.

Kxx

e

2

1

2

1

2

1

11

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• Aus den vorhergehenden Gleichungen erhalten wir die Ansatzfunktionen durch folgende Umformungen:

• Von den Ansatzfunktionen wird gefordert, dass sie den Wert 1 am betreffenden Knoten und den Wert 0 an allen anderen Knoten aufweisen.

eKx 11 und 11 KxN i

x21 bzw.

Kxx

e

2

1

2

1

2

1

11

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• Am Punkt E innerhalb des Elements 1 wird die Variab-le E linear aus den Werten 1 und 2 der Nachbarkno-ten interpoliert:

212

11

12

2)12(12

11

XX

XEX

XX

EXX

XX

XEXE

• Die Brüche vor den Variablen 1 und 2 nennt man “Ansatzfunktionen”. Sie werden auch zur Gewichtung der schwachen Integralform gebraucht. Ansätze höherer Ordnung sind möglich.

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• Von den Ansatzfunktionen wird gefordert, dass sie den Wert 1 am betreffenden Knoten und den Wert 0 an allen anderen Knoten aufweisen.

212

11

12

2

XX

XX

XX

XX EEE

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• Da die Ansatzfunktionen Polynome sind, sind sie einfach differenzierbar, d.h. falls die Koeffizienten bestimmt sind, so können die Ableitungen der Ansatzfunktionen einfach entwickelt werden.

• Die Modellgleichung lässt sich diskretisieren durch Matrixprodukte aus unbekannten Knoten-werten und Ansatzfunktion bzw. deren Ableitung.

• Bei der Methode von Galerkin wird die Gewichts-funktion identisch der Ansatzfunktion gesetzt.

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