Job - Touchdown Mathe · Laufbahn. Ob ein duales Studium zu dir passt, erfährst du im großen Test...

Der große Test und Key Facts zum dualen Studium

Welcher Karriereweg passt zu dir?

auf 20 Seiten

Zukunfts- perspektiven

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Ausgabe März 2017 | Bayern www.touchdown-mathe.de

Job

Exklusiv!Interview mitKultusminister Dr. Ludwig SpaenleSeite 10

Berufsportraits

Brancheninfos

Insider-Interviews

Dr. Richard SpiesGründer von TOUCHDOWN Mathewww.touchdown-mathe.de

#abijetzt #abindenjob Mathe macht Karriere – mit www.touchdown-mathe.de

3 Editorial Dr. Richard Spies darüber, warum Mathematik ein konsequenter Türöffner zum Erfolg ist

4 Test Duales Studium Bist du der Typ dafür? Beantworte 10 Fragen und plane deine Karriere 6 Einzelhandel

Hervorragende Aufstiegschancen gerade für junge Leute

8 Baubranche Richtig gut verdienen und vom derzeitigen Boom profitieren

10 Interview mit Dr. Ludwig Spaenle Kontakte knüpfen für die Karriere. Der bayerische Kultusminister über die Chancen eines dualen Studiums

12 Automobilbau Frauen sind bei den deutschen Herstellern besonders umworben

14 Metall- und Elektroindustrie Hier schlägt das Herz der Wirtschaft und internationale Kontakte locken

16 Interview mit Bertram Brossardt Der Hauptgeschäftsführer der Vereinigung der Bayerischen Wirtschaft: „Im globalen Wettbewerb können wir uns nur mit dem nötigen Know-How behaupten“

18 Steuerfachangestellte/r Krisensicher und mit der Option, nach einigen Jahren Berufserfahrung Steuerberater zu werden

20 Dr. Eberhard Sasse, Präsident des Bayerischen Industrie- und Handelskammertags im Gespräch mit TOUCHDOWN Mathe: „Akademiker sind nicht im Vorteil.“ Ein Plädoyer für die Berufsausbildung von einem, der die Praxis kennt

INHALT

Liebe Abiturienten,

das Matheabitur ist für viele Schüler DIE große Herausforderung am Ende

der Schullaufbahn. Das TOUCHDOWN Mathe-Team hat daher für die

Vorbereitung auf das Abitur etwas völlig Neues entwickelt: Originalprüfun-

gen Abitur Bayern 2016 mit Lösungen und wichtigem Hintergrundwissen

und dazu über 100 passenden Erklärvideos auf unserer Video-Lernplatt-

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Zusätzlich bekommt ihr noch über 50 Tipps und Tricks von Tom, unserem

Matheexperten, der nicht nur weiß, worauf es im Mathe-Abitur wirklich

ankommt, sondern Mathe auch verständlich erklären kann. Und das Beste:

unsere Zeitschrift und die Videos auf der Plattform sind absolut kostenlos

für Schüler und Lehrer.

Doch was kommt eigentlich nach dem Abi? Studium, freiwilliges Jahr,

Ausbildung, … Die Möglichkeiten sind so vielfältig, dass man leicht den

Überblick verliert. Und vor allem stellt sich die Frage: Was passt denn

eigentlich zu mir? Was kann ich gut, was ist mir in meinen Job wichtig und

wie kann ich meine Ziele am besten erreichen? Und welcher Arbeitgeber

bietet mir die Chance dazu?

Ein Fokusthema des Karrierespecials ist das duale Studium. Zahlreiche

Arbeitgeber in Bayern bieten dir die Möglichkeit, ein Bachelor-Studium mit

Berufspraxis im Betrieb zu verbinden. So hast du gleich zwei Abschlüsse in

der Hand, verdienst außerdem schon während deines Studiums eigenes

Geld und hast anschließend beste Aussichten auf eine tolle berufliche

Laufbahn. Ob ein duales Studium zu dir passt, erfährst du im großen Test

mit Key Facts zum dualen Studium.

Wir hoffen, dass unsere neuen TOUCHDOWN Mathe Abimaps dir eine

wertvolle Unterstützung bei der Vorbereitung auf das Abitur bieten und

gleichzeitig bei der Orientierung in die berufliche Zukunft helfen.

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EIN DUALES STUDIUM HAT VOR- UND NACHTEILE. DAS HÄNGT VOR ALLEM DAMIT ZUSAMMEN, WIE DIE STUDIENZEIT GESTALTET WERDEN SOLL, WIEVIEL ZEIT DU HAST UND OB DU ZUM BEISPIEL NICHT SO DER WISSENSCHAFTLER ODER DER FORSCHER BIST. MACHE HIER DEN TEST, OB ES FÜR DICH FUNKTIONIEREN KÖNNTE!

Bist du der Typ dafür?

Durch das Gehalt, das man vom Arbeitgeber bei einem dualen Studium bezieht, lassen sich die Kosten für ein Studium (Studienge-bühren, Lehrmaterial, evtl. eigene Wohnung, Essen, Trinken, etc.) besser refinanzieren. Je nach Hochschule oder Berufsakademie bezahlt sogar das Unternehmen die Studiengebüh-

ren und zusätzlich noch ein (allerdings nicht allzu üppiges) Gehalt. Reich wird man durch ein duales Studium natürlich erstmal nicht, wer sich allerdings sonst kein Studium leisten könnte, für den ist die Bezahlung ein großer Vorteil. Allerdings sollte man beachten, dass nicht jedes Gehalt die Studienkosten komplett deckt. Ist dir dieser finanzielle Anreiz wichtig?

JA oder NEIN?

Für die Unternehmen hat das Anbieten eines dualen Studiums natürlich den Sinn, qualifizierte Nachwuchsführungskräfte auszubil-den und für die Firma zu gewinnen. Und wer seinem Schützling drei Jahre lang die Studiengebühren bezahlt hat, hat natürlich ein Interesse, denjenigen weiterhin an sich zu binden. So kommt es, dass

rund 80 Prozent der Absolventen sofort vom Unterneh-men übernommen und fest angestellt werden. Die Suche nach einem ersten Job für die Zeit nach dem Studium entfällt also. Bist du eher der Typ „abgesichert“?

JA oder NEIN?

Bei den Institutionen (Fachhochschu-len, Duale Hochschulen und Berufs-akademien), die solch ein Studienpro-gramm anbieten, studiert man meistens zu guten Bedingungen. Die Studiengruppen bestehen aus 10 bis 40 Personen, solche Verhältnisse sind in einem „normalen“ Vollzeitstudium seltener. Magst du es eher nobel?

JA oder NEIN?

Durch den sehr hohen Praxisanteil im dualen Studium kommt an manchen Stellen die Wissenschaftlichkeit, die ein Studium eigentlich auszeichnet, etwas zu kurz. Zudem wird nur in Randbereichen auf das Thema For-schung eingegangen. Ist dir ein Doktor-titel eher nicht so wichtig?

JA oder NEIN?

Durch den Wechsel von Praxisphasen (in denen man evtl. sogar noch zusätzlich zur Arbeit auch die Berufs-schule besuchen muss) und Vorle-sungszeiten (an deren Ende oft wichtige Klausuren stehen) ist ein duales Studium arbeitsintensiv. Reichen dir 30 Urlaubstage pro Jahr?

JA oder NEIN?

Wer sich einmal für ein duales Studium entschieden hat, der sollte dies nach Möglichkeit auch zu Ende führen. Bist du jemand, der etwas auch durchzieht, wenn er sich mal für etwas entschieden hat? JA oder NEIN?

Anders als bei einem „normalen“ Vollzeitstudium, bei dem man in den Semesterferien unterschiedliche Praktika macht, legt man sich bei einem dualen Studium von Beginn an auf einen Tätigkeitsbereich fest. Bist du dir ziemlich sicher, in welchem Bereich du mal arbeiten möchtest?

JA oder NEIN?

Ein duales Studium hat Vor- und Nachteile. Es ist deshalb wichtig, sich darüber vorab zu informie-ren. Zum Beispiel auf www.wegweiser-duales-studium.de. Wärst du bereit, bei-spielsweise eine Studienbe-ratung aufzusuchen? JA oder NEIN?

Praxisnähe ist sicherlich der ausschlag-gebende Faktor bei der Entscheidung. Wer sich für ein duales Studium ent-scheidet, sammelt schon während der Studienzeit mehrere Jahre Berufserfah-rung und erleidet dementsprechend beim Sprung ins Berufsleben nach dem Bachelorabschluss keinen Praxisschock

mehr. Da die Praxiserfahrung ein sehr wichtiger Punkt bei Bewerbungen bzw. Bewerbungsgesprächen ist, können Absolventen eines dualen Studiums damit punkten. Ist Praxiserfahrung für dich wichtig?

JA oder NEIN?

Mehrere Abschlüsse erzielt, wer sich für das ausbildungsintegrierende Modell des dualen Studiums entschei-det. Dabei muss man zwar zu Studien-

und Ausbildungszeiten mehr Zeit für Berufsschule und Vorlesungen einplanen, kann aber am Ende einen (meist) staatlich anerkannten Berufs- und Hochschulabschluss (Bachelor) vorweisen. Findest du, dass du jemand bist, der großen Wert auf einen Plan B legt – in diesem Fall zum Beispiel eine abgeschlossene Berufsausbildung?

JA oder NEIN?

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+ + + + 0 BIS 3 MAL JA + + + +

+ + + + 4 BIS 8 MAL JA + + + +

+ + + + 8 BIS 10 MAL JA + + + +

Überlege dir ganz genau, ob das der richtige Weg ist

Informiere dich zur Sicherheit über verschiedene Wege

Du bist genau der Typ, der für ein duales Studium geeignet ist

Doppelbelastung: Egal, wie man es dreht und wendet, ein duales Studium fordert einen komplett! Das ist für viele nicht das, was sie sich unter einem Studium vorstellen. Und das ist auch gar nicht schlimm.

Du bist jemand, der es eher mal ruhiger angehen lässt und der vielleicht nicht so sehr von Karrieredenken geprägt ist. In diesem Fall ist ein duales Studium vielleicht sogar kontraproduktiv für einen guten Abschluss. Deshalb: Klassisches Studium oder Berufsausbildung sind nach wie vor sehr gute Möglichkeiten, die eigene Zukunft zu gestalten.

Forschung oder Wissenschaft? Wer vor hat, einmal in diesen Bereichen tätig zu sein, sollte ohnehin auf ein duales Studium verzichten, weil hier der Schwerpunkt viel zu sehr auf der Praxiserfahrung liegt.

Du kannst dich entscheiden: Duales Studium ja oder nein? Höre am besten auf deinen Bauch und auf den Ratschlag von guten Freunden oder auch den Eltern. Denn die wissen als Außenstehende oft ganz gut, was am besten zu dir passt. Übrigens: Auch bei einem dualen Studium gibt es mehrere Wege, die du prüfen solltest:

Ausbildungsintegriert: Hier machst du eine Berufsausbildung und erwirbst einen akademischen Abschluss. Anders gesagt: Studium plus Lehre (2 Jahre).

Kooperativ: Du arbeitest neben dem Studium in einem Unternehmen, erwirbst aber keinen Berufsabschluss. Dafür sammelst du extrem viel Berufserfahrung.

Berufsintegriert: In diesem Fall arbeitest du in einer Firma und das Studium läuft einfach nebenher. Der Arbeitgeber stellt dich dafür dann frei.

Worauf wartest du noch? Du hast das Zeug, in ein duales Studium einzusteigen. Und das solltest du auch, denn den zusätzlichen Stress während dieser Jahre kannst du sehr gut durch dein Zielbewusstsein, deinen Fleiß und deinen Lernwillen kompensieren.

Suche den für dich richtigen Weg! Welche Formen des dualen Studiums es gibt, findest du oben im mittleren Kasten. Bei der Entscheidung kann auch eine Studienberatung helfen. Oder ein guter Kontakt in die Personalabteilung eines Unternehmens.

Das ist dein Preis: Du hast den anderen Kommilitonen voraus, dass deine Studienfinanzierung durch eine Ausbildungsvergütung gesichert ist. Denn wer in einem Unternehmen arbeitet, wird schon während des Studiums entlohnt. Das Gehalt entspricht dem bei einer Lehre.

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DIE 6 SPANNENDSTEN ZAHLEN ⁕ 3 Millionen Mitarbeiter ⁕ Jahresumsatz: 460 Milliarden ⁕ Anstieg im letzten Jahr: 2 % ⁕ 75 % der Angestellten sind Frauen⁕ 50 Mio. Kundenkontakte täglich ⁕ 160.000 Auszubildende derzeit

andro, 20, absolviert ein Abiturientenprogramm bei einer Lebensmittelkette. Sag, wie funktioniert das?

„Dabei handelt es sich nicht direkt um ein duales Studium,

weil kein Bachelor erreicht wird. Aber es soll Leute, die Abitur oder Fachabitur gemacht haben, ziemlich schnell dazu befähigen, Führungspositionen zu übernehmen.“ Und wo arbeitetst du?

„Ganz normal in der Filiale. Ich werde dabei zum Einzelhandelskaufmann und danach zum Handelsfachwirt ausgebildet. Innerhalb von knapp 5 Jahren kann man so Marktmanager werden. Oder ich kann meinen eigenen Markt eröffnen. Das ist eigentlich mein Ziel, weil ich jeden Tag sehen will, wie ich etwas bewege, wie ich Mitarbeiter motivieren kann und wie ich neue Kunden mit guten Ideen gewinne.“

Handelsfachwirte und Handelsfachwirtinnen organisieren und überwachen Arbeitsprozesse im Einzelhandel sowie im Groß- und Außenhandel.Die Ausbildung Handelsfachwirt/in ist eine doppelt qualifizierende Erstausbildung („Abiturientenausbil-dung“). Sie führt zu einem Abschluss in einem anerkannten kaufmännischen Ausbildungsberuf (duale Berufsausbildung) und parallel dazu zu dem bundesweit einheitlich geregelten Abschluss Handelsfachwirt/in. Die in der Regel 3-jährige Ausbildung wird an Bildungseinrichtungen des Handels und der Industrie- und Handelskammern sowie in Wirtschaftsbetrieben und in Berufsschulen durchgeführt.

BERUFSINFO HANDELSFACHWIRT IN 20 SEKUNDEN

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Weitere Informationen im Web unter www.einzelhandel.de

Fachkraft für Lagerlogistik Sichern den reibungslosen und termingerechten Warenfluss in einem Lager. Zudem planen sie sämtliche logistische Abläufe.

Handelsfachwirt Organisieren und über- wachen Arbeitsprozesse, kümmern sich um Ein- und Verkauf, Marketing und Personalwirtschaft.

Außenhandelskaufmann Sie kaufen Güter der unterschiedlichsten Branchen und verkaufen sie an Handel, Handwerk und Industrie weiter.

Gestalter für visuelles Marketing Sie gestalten Verkaufs-, Präsentations- oder Ausstellungsräume und präsentieren Waren.

Kennst du diese Jobs? Top-Berufe im Einzelhandel

Ein Verkäufer ist kein Einzelhandelskauf-mann. Gerade wer eine Führungsrolle anstrebt, sollte sich

unbedingt zum Einzelhandelskauf-mann ausbilden

lassen. Da dauert zwar die Ausbildung

ein Jahr länger (3 Jahre), aber die

Verdienstmöglichkei-ten hinterher sind

besser.

DER JOB-TIPP

+ + + + TOUCHDOWN JOB-LISTE + + + +

Sieben Gründe, warum man im Verkauf immer gewinnt

Verkaufen ist wie flirten. Denn: Man muss den Kunden reden lassen und ein guter Zuhörer sein.

Profiverkäufer verkaufen nicht. Sie finden heraus, was der potentielle Kunde möchte, und helfen ihm dann, es zu erhalten. Das ist kaufen lassen.

Man kann alles verkaufen, wenn es gerade in Mode ist. Die spannende Herausforderung besteht darin, es in Mode zu bringen.

Verkäufer sind die charmantesten Menschen überhaupt. Sagt den Leuten nicht, wie gut ihr die Güter macht, sagt ihnen, wie gut eure Güter sie machen.

Verkaufe an Leute, die Straßenbahn fahren, und du fährst Rolls Royce! Verkaufe an Leute, die Rolls-Royce fahren, und du fährst Straßenbahn!

Ehrlichkeit gewinnt. Unehrlichkeit dem Kunden gegenüber fällt früher oder später dem Verkäufer auf den Kopf – deshalb kannst du mit denen Pferde stehlen.

Verkäufer sind einmalig. Denn Einmaligkeit ist immer verkaufsfördernd. Das macht einen guten Mitarbeiter im Einzelhandel zu einem Menschen, der etwas ganz Besonderes ist, weil er seine eigenen (positiven) Besonderheiten auch in der Freizeit „verkaufen“ kann.

Hervorragende Aufsstiegschancen gibt‘s im

Name Zitatgeber XXXXXX Einzelhandel Die Umsatzstärksten (in Mio. Euro)

Bekleidung

Internet

Bücher

Lebensmittel

Sonstige

Baumärkte

Möbel

Das sind die Top-

Branchen

Sportartikel

Augenoptiker

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2025

Und was machst du

so?

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Dual studieren in über 200 Studiengängen und mehr als 1.300 Unternehmen

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dualen Studium in Bayern

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Du bekommst einen 10-Millionen-Euro-Job auf den Tisch. Das ist in dieser Branche durchaus an der Tagesordnung. Da heißt es: Nerven behalten und – ja: einfach anpacken!

Du bist begehrt. Denn du kannst Dinge, die andere nicht können. Häuser bauen zum Beispiel. Das macht dich zu einem attraktiven Partner. Bibliothekare und Sozialwissenschaftler tun sich da weitaus schwerer.

Du bist bei den Banken willkommen. Die Jobs von Bauingenieuren zum Beispiel sind so sicher, dass sie einer Umfrage zufolge leichter einen Kredit bekommen als ein Arzt oder ein Rechtsanwalt.

Du kannst den Winter in der Sonne planen. Wer über den Sommer hinweg Überstunden ansammelt, darf sich in der kalten Jahreszeit über einen laaaaangen Urlaub freuen.

Du bist nie allein! Die Baubranche ist nichts für Einzelgänger, denn nur im Team kann man was wirklich Großes errichten. Nur wer innerhalb des Teams Gas gibt, hat perfekte Aufstiegschancen mit Top-Verdienstmöglichkeiten.

Du kannst hinaus in die Natur. Das ist zwar bei schlechtem Wetter manchmal nicht ganz so attraktiv, aber das Arbeiten an der frischen Luft hat auch Vorteile. So haben zum Beispiel Mitarbeiter auf dem Bau, egal in welcher Funktion, in der Regel bessere Abwehrkräfte als diejenigen, die den ganzen Tag im Büro sitzen.

DIE 6 SPANNENDSTEN ZAHLEN ⁕ 760.000 Mitarbeiter ⁕ Jahresumsatz: 110 Milliarden ⁕ 36 % mehr Aufträge als in 2005⁕ 132.000 Euro Umsatz je Mitarbeiter⁕ 60 % aller Umsätze für Wohnungsbau ⁕ 18,64 Euro Gesamttarifstundenlohn

liane, 22, absolviert ein duales Studium bei einem großen Baukon-zern. Ein solches duales Studium lebt von der Verknüfung von Theorie und Praxis.

Was möchtest du denn mal werden? „Bauingenieurin. Und frag jetzt nicht,

2-jährige duale Ausbildung im Handwerksberuf (Maler, Lackierer, etc.) im Betrieb und in der Berufsschule.Betriebswirtschaftliches oder technisches Studium im Wechsel von Theorie an der Hochschule sowie Praxis im Betrieb und auf der Baustelle.Nach sechs Semestern international anerkannter Abschluss Bachelor of Arts. Voraussetzungen: Gute allgemeine bzw. fachgebundene Hochschulreife oder Fachhochschulreife bzw. der Meisterbrief, viel Eigeninitiative und Wunsch nach Eigenverantwortung.

STUDIUM BWL-HANDWERK IN 10 SEKUNDEN

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Duale Studiengänge sind perfekt für

Praktiker. Durch den hohen Praxisanteil

kommt an manchen Stellen die

Wissenschaftlichkeit, die ein Studium

eigentlich auszeichnet, etwas

zu kurz. Wer während der

Studienzeit merkt, dass auch eine

wissenschaftliche Laufbahn als Dozent an einer Hochschule in Frage kommt, der hat mit einem dualen

Studienabschluss Schwierigkeiten, in diesen Bereich zu

wechseln.

DER JOB-TIPP

6 Dinge, die nur einem Bauingenieur passieren können

Für alle, die richtiggut verdienen wollen:

Die Vorteile eines Studiums in Verbindung mit einer Ausbildung

Und was machst du so?

Die Zahlen beziehen sich auf ein Jahresgehalt in Tausend Euro und drei Jahre Berufserfahrung.

EINKOMMEN IN DER BAUBRANCHE 75 66 4550

Baubranche

Bauingenieur Bauleiter Projektleiter Werkpolier

warum ich als Frau das studiere.“ Wie sieht dein Alltag aus?

„Ungefähr die Hälfte meiner Zeit bin ich in der Firma und dort natürlich auch draußen auf den Baustellen, ansonsten studiere ich an der Uni.“ Da brauchst du keinen Nebenjob.

„Nein, denn ich verdiene ja in dem Betrieb, in dem ich bin, monatlich 1200 Euro.“

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Praxisnähe! Wer dual

studiert, sam-melt schon

während des Studiums

mehrere Jahre Berufs-

erfahrung.

Top Bedingungen! Die Studien- gruppen bestehen nur aus

10 bis 40 Personen.

Jobgarantie! In den

allermeisten Fällen wird

man vom Ausbildungs-betrieb nach

dem Studi-um über-

nommen.

Zwei Abschlüsse! Meistens hat man

am Ende nicht nur ein Studium,

sondern auch eine Berufsausbildung.

Mehr Geld! Durch das Gehalt, das man vom

Arbeitgeber erhält, lässt sich das Studium viel

leichter finanzieren.

Weitere Informationen im Web unter www.bauindustrie.de

Anlagenmechaniker Anlagenmechaniker/innen für Sanitär-, Heizungs- und Klimatechnik installieren ver- und entsorgungs- technische Systeme.

Baustoffprüfer Sie untersuchen Böden, Bauprodukte, Baurohstoffe und Bindemittel, Altlasten und Recyclingmaterialien. Inklusive Probenentnahme.

Bauzeichner Setzen die Entwurfsskizzen und Vorgaben von Architekten sowie Bauingenieuren um und erstellen Zeichnungen.

Chemielabortechniker Sie beschäftigen sich mit der Synthese und Analyse von chemischen Substanzen. Führen z. B. chemische Reaktionen durch.

Kennst du diese Jobs? Top-Berufe in der Baubranche

TOUCHDOWN Job-Coach

für Ausbildung und duales Studium

8

„Kontakte knüpfen für

die Karriere“DER BAYERISCHE KULTUSMINISTER

DR. LUDWIG SPAENLE ÜBER LEISTUNGSWILLE, INTENSIVE PRAXISERFAHRUNGEN UND ÜBER

DEN 3000-EURO-PREIS DUALISSIMO

Sehr viele Schüler machen Abitur und stehen dann vor der Frage, wie sie ihre Zukunft gestalten möchten. Welche Alternativen zum klassischen Hochschulstu-dium gibt es?Das Abitur eröffnet jungen Menschen vielfältige Zu- kunftschancen. Neben dem klassischen Studium an Universitäten, Hochschulen für angewandte Wissenschaf-ten oder Kunst- und Musik-hochschulen steht jungen

Welchen Abschluss und welche Perspektiven bietet ein duales Studium? Das erfolgreiche Studium mit vertiefter Praxis endet in der Regel mit einem Bachelorab-schluss, im Ausnahmefall auch mit einem Masterab-schluss. Hier enthält aber das Zeugnis einen Hinweis darauf, dass der Absolvent oder die Absolventin ein duales Studium abgeschlossen hat. Dadurch sind die Praxiser-fahrungen bei Bewerbungen sofort ersichtlich. Im Ver-bundstudium erwirbt der Studierende am Ende zwei Abschlüsse, etwa einen Berufsabschluss als Bank-kaufmann und zusätzlich einen Bachelorabschluss in Betriebswirtschaft.Der Abschluss des dualen Studiums ist staatlich und von der Wirtschaft anerkannt und hochgeschätzt.Mit Abschluss des Studiums verfügt der Absolvent über eine exzellente Hochschul-ausbildung und qualifizierte berufliche Praxis. Das eröffnet ihm sehr gute Perspektiven für eine hochqualifizierte, akademi-sche berufliche Entwicklung.

Menschen mit dem Abitur der Weg in die duale Ausbildung offen, um einen Ausbildungs-beruf zu erlernen. Eine interessante Alternative bietet auch das duale Studi-um, das ein Hochschulstudi-um mit einer beruflichen Ausbildung oder mit einem Schwerpunkt auf beruflicher Praxis kombiniert.

Wo kann man ein duales Studium machen und wie läuft es ab? In Bayern bieten alle staatli-chen und kirchlichen Hoch-schulen für angewandte Wissenschaften sowie die Universität Erlangen- Nürnberg zahlreiche duale Studiengänge an. Das Angebot ist wirklich groß, daher empfehle ich Interes-sierten die Online-Datenbank

„hochschule-dual“, in der die Hochschulstandorte, an denen ein duales Studium möglich ist, sowie die entsprechenden Fächer zu finden sind. Die Studiengänge lassen sich grob in zwei Gruppen einteilen: Es gibt das

Was macht Bayern für ein duales Studium interessant und wie wird es gefördert?Im Jahr 2006 wurde von der Hochschule Bayern e.V. die bayerische Dachmarke „hoch-schule dual“ ins Leben gerufen. Das ist eine Initiative aller staatlichen Hochschulen für angewandte Wissenschaf-ten, mit dem Ziel, ein umfang-reiches Angebot an dualen Studiengängen bereitzustel-len, die Interessenslage zu bündeln sowie einheitliche und hohe Qualitätsstandards sicherzustellen. Die Hoch-schulen bieten über 200 verschiedene Studiengänge im dualen Format an. Zahlrei-che Fächergruppen sind hier vertreten, so dass Interessier-te den passenden Studien-gang finden können, der ihren Begabungen und Interessen entspricht. Die Entwicklung der Studierendenzahlen zeigt, dass das duale Studium bei jungen Menschen sehr beliebt ist: In den vergangenen zehn Jahren hat sich die Zahl der dual Studierenden mehr als verzehnfacht.In Bayern absolviert - im Unterschied zu anderen Ländern - jeder dual Studie-rende ein komplettes regulä-res Hochschulstudium, und zwar fast immer gemeinsam

Studium mit vertiefter Praxis und das Verbundstudium. Der Ablauf des dualen Studiums hängt davon ab, für welche Studienform man sich entscheidet. Im Studium mit vertiefter Praxis verbringen die Studierenden die vorle-sungsfreien Zeiten, das Vorpraktikum, das Praxisse-mester und die Zeit, in der sie ihre Bachelorarbeit anferti-gen, in einem Unternehmen. Der Praxisanteil in dieser Studienform ist um mindes-tens 50 Prozent höher als in herkömmlichen Studiengän-gen. Im Verbundstudium wird eine ganze Berufsausbil-dung ins Studium integriert. Hier wechseln sich längere Ausbildungs- und Studienzei-ten miteinander ab.

Welche Vorteile hat ein duales Studium und für wen ist es geeignet?Das duale Studium zeichnet sich dadurch aus, dass die jungen Leute bereits während ihres Studiums sehr viel Praxiserfahrung sammeln können. So können sie auch wichtige Kontakte für ihr späteres Berufsleben knüpfen. Oftmals können Studierende auf diesem Wege bereits ihre Chancen auf einen zukünfti-gen Arbeitsplatz im Unter-nehmen sichern. Zudem besteht hierdurch die Möglichkeit, studienbeglei-tend Geld zu verdienen und z. B. einen Beruf zu erlernen, der eng mit dem Studium verbunden ist. Besonders geeignet ist das duale Studium für leistungsmoti-vierte und zielorientierte Personen, denen ein klassi-sches Studium zu theoretisch ist und die das erlernte Wissen schnell anwenden möchten. Zudem richtet sich das duale Studium an diejenigen, die eine Berufs-ausbildung durchlaufen und dabei auch Hintergrundwis-sen erwerben wollen, das in einer Berufsausbildung nicht in dieser Tiefe vermittelt wird.

mit allen Studierenden des betreffenden Studiengangs. Es werden in der Regel keine Sondergruppen für dual Studierende gebildet. Dies ermöglicht den Studierenden ein gleichgerichtetes Studium in der Fachgemeinschaft, angereichert durch die besondere praktische berufliche Tätigkeit. Zudem gibt es in Bayern spezielle Projektkoordinatoren an den Hochschulen, die die Unter-nehmen beraten, koordinie-ren und akquirieren, aber auch dual Studieninteressier-te und Studierende beraten.Zur finanziellen Förderung – auch eines dualen Studiums – bestehen verschiedene Möglichkeiten, beispielsweise nach dem BAföG oder über Stipendien. Mit dem Max-We-ber-Programm bietet Bayern eine besondere Maßnahme der Hochbegabtenförderung nach dem Bayerischen Eliteförderungsgesetz.Einen besonderen Anreiz für dual Studierende haben wir in Bayern mit dem Preis

„Dualissimo“ geschaffen. Alle zwei Jahre werden mit diesem Preis fünf herausra-gende Absolventen ausge-zeichnet, von denen jeder 3.000 Euro erhält.

Dr. Ludwig Spaenle 55 Jahre Kultusminister in Bayern Dienstantritt: Oktober 2008 Davor: TV-Redakteur

Die Seite www.hochschule-dual.de geht auf eine Initiative von Dr. Ludwig Spaenle zurück. In dieser Datenbank werden alle dualen Studiengänge,

-orte und -fächer in Bayern gebündelt.

DER MANN HINTER HOCH-SCHULE-DUAL

Ludwig Spaenle war vor seiner

Polit-Karriere Fernsehredakteur beim Bayerischen Rundfunk. Auf die Frage, ob er sich

persönlich für ein ein duales Studium

entscheiden würde, könnte er nochmal von vorn anfangen, sagt er: „Ich habe

mich damals für ein einschlägiges

Studium in den Geisteswissenschaf-ten entschieden. Ein duales Studium gab es damals nicht. Ich

bin froh, dass es heute die Vielfalt an

beruflichen und akademischen

Bildungsmaßnahmen gibt, die den

Bedürfnissen und Fähigkeiten der

Menschen Rechnung trägt. Dafür stehen

ich und die Staatsregierung. Die berufliche und die

akademische Ausbildung sind

gleichwertig.Wir brauchen

hochqualifizierte Fachkräfte beider Ausbildungswege. Gerade das duale Studium setzt an

dieser Nahtstelle an und versucht beides

zu verbinden. Es bietet eine

hervorragende Chance zur

Weiterqualifizierung.“

GEWUSST?

1110

DIE 6 SPANNENDSTEN ZAHLEN ⁕ 460.000 Mitarbeiter ⁕ Jahresumsatz: 318 Milliarden ⁕ Anstieg im letzten Jahr: 11 % ⁕ 45 % der Angestellten sind Frauen⁕ 20 Mrd. Ausgaben für Forschung ⁕ 3,2 Mio Neuzulassungen jährlich

ianca, 23, ist Maschinen-bau-Studentin und absolviert ein duales Studium bei einem Automobilhersteller. Sag, wie funktioniert das?

„Ich studiere an der Fachhoch-schule und wenn ich meine Praxisphasen habe, arbeite ich

in der Firma an Ingenieur-Projekten mit.“ Klingt nach Hilfsarbeiterjob?

„Ist es überhaupt nicht. Ganz im Gegenteil, die Studenten bekommen bei uns von Anfang an Verantwortung übertragen. So erkennen ich und mein Betrieb relativ schnell, wie mein Karriereweg aussehen könnte. Danach werden dann die weiteren Einsatzbereiche festgelegt. Im Rahmen eines Praxissemesters an einem unserer internationalen Konzernstandorte oder bei einem theoretischen Auslandssemes-ter kann ich zudem internationale Erfahrun-gen sammeln. “ Wie bist du darauf gekommen, das so zu machen?

„Ehrlich gesagt deshalb, weil ich Autos liebe und ich unbedingt in dieser Branche arbeiten

BDas Studium Fahrzeugtechnik vermittelt das Grundwissen über die Funktionsweise von Kraftfahrzeugen. Das sind die wichtigsten Themenbereiche: Energieverbrauch, Beförderungskosten, Verkehrsaufkommen, Fahrzeugbestand, Umweltbelastung.Fahrwiderstände: Roll-, Luft-, Beschleunigungs- sowie Steigwiderstand.Antrieb: Antriebsart, Auswahl der Kraftmaschine, Anpassung an Fahrzeug, Kupplung, Getriebe, Achsgetriebe, Gelenkwellen, Räder, Reifen.Längskinematik: Berechnung der Kräfte bei Bremsen und Beschleunigung.Bremsen: Bremsvorgang, Bremsbauarten.Fahrwerk: Achsbau- arten, Bewegungs- gesetze der Achsen.

BERUFSINFO FAHRZEUGTECHNIK IN 20 SEKUNDEN

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Elektro- und Informationstechniker Dies ist das klassische Elektrotechnik-Studium mit einer modernen Informatikausbildung.

Fahrzeugtechniker Die Ausbildung, die zu einer eigenverantwortlichen Berufstätigkeit als Ingenieur befähigt. Man kann Studien- schwerpunkte wählen.

Flug- und Fahrzeuginformatiker Im Schwerpunkt Automotive werden Kenntnisse zu technischen Systemen im Automobil vertieft.

Maschinenbauer Hinterher bist du Ingenieur und hast eine intensive, praxisorientierte Ausbildung in den Grundlagenfächern absolviert.

Kennst du diese Jobs? Top-Berufe in der Automobilindustrie

Bei vielen Autofirmen kannst du auch dann

in ein duales Studienprogramm

einsteigen, wenn du bereits mit dem

Studium begonnen hast. Wer schon etwas weiter ist, sollte über die

Schiene „Praktikum“ den Einstieg suchen.

DER JOB-TIPP


8 Argumente, warum es häufiger „Frau Ingenieur“ heißen sollte

Frauen bauen die praktischeren Autos. So wurde zum Beispiel das Öffnen des Kofferraums, das mit einer Fußbewegung funktioniert, von einer Frau erfunden.

Frauen sind schneller. Männliche Ingenieure kommunizieren häufig streng nach Hierarchien. Das macht viele Entscheidungsprozesse langsamer.

Frauen kaufen mehr Autos. In 20 Jahren wird jedes 2. Auto von einer Frau gekauft werden.

Frauen denken praktischer. Zum Beispiel, wenn es darum geht, einen Bordcomputer endlich so zu programmieren, dass man ohne Handbuch zurechtkommt.

Frauen bauen sich keinen Schminkspiegel ins Auto. Sondern: Sie planen einen Spiegel, bei dem auch Männer was sehen, ohne sich verrenken zu müssen.

Frauen fahren besser Auto. Und sie verlassen sich dabei nicht nur auf die Parkhilfe des Autos. Ein britischer Parkplatzbesitzer untersuchte 2500 Parkvorgänge. Ergebnis: Doppelt so viele Frauen wie Männer parkten genau in der Mitte des Parkplatzes.

Frauen sind erfinderischer. Den Scheibenwischer hat beispielsweise Mary Anderson erfunden.

Frauen lieben Autos. Sie geben ihnen sogar Namen!

Frauen werden besonders umworben im

Hast du gewusst ...?

Und was machst du

so?

Automobilbauwollte. Schon als kleines Mädchen habe ich meinen Eltern – beides Anwälte – Zeichnungen mit neuen Autoentwürfen vorgelegt. Die dachten, dass das so eine Phase ist. Mag sein, aber die dauert immer noch an.“ Gibt es ein typisches Frauenauto?

„Nein, und das wäre auch völlig unsinnig. Autos der Zukunft müssen so funktionieren wie ein Apple-Produkt: Anfassen, zurechtfinden, kein Handbuch, praktische Lösungen.“ Wenn du mal fertig bist, was baust du in dein erstes Auto ein?

„Einen Blinker, bei dem man, um ihn zu erreichen, nicht die Finger spreizen muss, sondern der zum Beispiel durch einen kurzen Doppelklick aufs Lenkrad rechts oder links funktioniert. Ehrlich gesagt weiß ich nicht, warum das nicht längst jemand erfunden hat.“ Fährst du viel Auto?

„Ich fahre gern Auto. Aber die meiste Zeit bin ich mit dem Fahrrad unterwegs.“

... dass die meisten Autohersteller, die einen dualen Studiengang unterstützen, eine Übernahmegarantie geben? Das heißt: Wer das Programm erfolgreich abschließt, erhält automatisch ein unbefristetes Arbeitsverhältnis. Und: Viele Firmen helfen inzwischen sogar bei der Wohnungssuche!

TOUCHDOWN Karrieregames

Bist du ein ...? Teste dich jetzt!

12

und eigene Management-Entscheidungen treffen können. “ Du sagst also den Jungs mal wo es lang geht?

„Das wird wohl so kommen (lacht). Aber grundsätzlich halte ich dieses Unterscheiden zwischen Frauen und Männern für Unsinn. Bei mir im Betrieb und auch in der Uni sind zwar die Jungs in der Überzahl – aber das finde ich eigentlich ganz attraktiv.“ Was macht deine Branche, die Metall- und Elektroindustrie, für dich interessant?

„Ingenieure sind Techniker und Manager zugleich. Mit Hilfe von Konstruktionspro-grammen entwickeln sie neue Produkte, sie beraten aber auch Kunden und planen Projekte. In kleineren Betrieben sind sie oft auch für das Marketing und den Vertrieb zuständig. Auch bei Problemen in der Produktion sind Ingeni-eure gefragt: Sie analysieren die möglichen Fehlerquellen und optimieren den Herstel-lungsprozess.“ Welche Voraussetzungen braucht man?

„Viele Aufgaben werden in Projektgruppen durchgeführt, daher sind Qualifikationen wie Teamfähigkeit und Kommunikationsstärke ein absolutes Muss für diese Branche.“

DIE 6 SPANNENDSTEN ZAHLEN ⁕ 3,8 Mio. Mitarbeiter⁕ 250.000 Azubis & dual Studierende ⁕ 24.000 Betriebe ⁕ 1,1 Billionen Euro Jahresumsatz⁕ Über 190 Mrd. Euro/Jahr Gehälter ⁕ 35 Mrd. Euro/Jahr Investitionen abine, 22, absolviert eine

duales Ausbildung in einem Metall verarbeitenden Betrieb. Sag, wie funktioniert das?

„Ich absolviere im Wechsel einen Teil der Ausbildungs-

zeit zur Industriemechanikerin in der Firma und an der Berufsschule. Nebenbei studiere ich Wirtschafsingenieurwesen an der Universität.“ Was machen denn Wirtschaftsingenieure?

„Das Wirtschaftsingenieurwesen ist eine sogenannte Schnittstellendisziplin. Während der Bauingenieur Brücken aus Beton und Stahl baut, fungiert der Wirtschaftsingenieur als Brückenbauer zwischen verschiedenen fachlichen Disziplinen. An der Hochschule werden Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft parallel studiert, um später Verbin-dungen zwischen Ökonomen, Ingenieuren, Sozial- und Naturwissenschaftlern sowie Volkswirten knüpfen zu können. Echte Generalisten also, die ein breites Wissen haben, für funktionierende Zusammenarbeit zwi-schen unterschiedlichen Disziplinen sorgen

S

Weitere Informationen im Web unter www.meberufe.de

Industriekaufmann/-frau Befassen sich mit kaufmännisch-betriebswirt-schaftlichen Aufgaben wie Materialwirtschaft, Vertrieb, Marketing, Finanzwesen.

Industriemechaniker/in Stellen Geräteteile und Baugruppen für Maschinen her, richten sie ein, bauen sie um. Sie überwachen und optimieren die Fertigung.

Mechatroniker/in Bauen verschiedene Komponenten, montieren sie zu Systemen, installieren Software und halten die Systeme instand.

Elektroniker Fachinformatiker Bachelor of Arts Bachelor of Engineering Bachelor of Science (je mit fachl. Vertiefungen)

Kennst du diese Jobs? Top-Berufe in der M+E-Branche

Die M+E-Industrie investiert jedes Jahr in Deutschland rund 8 Milliarden Euro in

die Aus- und Weiterbildung der

Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Das

heißt: Jede Menge Geld für den

Nachwuchs an Führungskräften.

GEWUSST?


5 Argumente, warum sich eine M+E-Ausbildung oder ein dualer

Studiengang lohnt Die Metall- und Elektro-Industrie (M+E-Industrie) ist

das Herz der Wirtschaft. Ohne die Autos, Maschinen, Computer, Züge, Flugzeuge und elektrischen Anlagen von M+E läuft in der Wirtschaft gar nichts!

Deine Stärken zählen! Egal, ob du in der Werkhalle die Produktionsmaschinen ans Laufen bringst oder mit dem Computer die Anlagen steuerst, ob du das Netzwerk für deine Kollegen einrichtest oder die Elektronik für ein ganzes Gebäude planst, du machst das, was du kannst und woran du Freude hast.

In der Ausbildung bzw. im dualen Studium hast du immer die Lernorte „Unternehmen“ (= Praxis) und

„Berufs- bzw. Hochschule“ (= Theorie) fest im Griff.

Bei M+E gibt es jede Menge Chancen für dich: Als führende Exportbranche und als Innovationsmotor der Wirtschaft ist M+E auf hoch qualifizierte Fach- und Führungskräfte angewiesen.

Gute Bezahlung: Schon in der Ausbildung bzw. im dualen Studium zahlen die Unternehmen im Schnitt zwischen 950 Euro (1. Ausbildungsjahr) und 1.100 Euro (4. Jahr) pro Monat.

Das Herz unserer Wirtschaft pocht in der

In der Welt zu Hause!

Und was machst du

so?

Metall- und Elektro-Industrie

Die M+E-Industrie verkauft ihre Fahrzeuge, Maschinen und elektrischen Geräte und Anlagen in fast allen Ländern der Welt. Rund 1,8 Mio. Mitarbeiter sind in ausländischen Niederlassungen. Die Chance auf einen Job im Ausland macht einen Beruf in der M+E-Industrie dadurch besonders spannend.

siemens.de/ausbildung

Alle reden von Digitalisierung –wir bilden darin aus.Als Vorreiter beim Thema Industrie 4.0 und Digitalisierung passen wir unsere Berufsausbildung konsequent an die sich verändernde Arbeits-welt an und statten so unseren Nachwuchs mit den richtigen Kompe-tenzen für die Zukunft aus. Setzen auch Sie auf erfolgsversprechende Zukunftsaussichten und bewerben Sie sich für einen Ausbildungs- oder dualen Studienplatz im technischen, kaufmännischen oder IT-Bereich an einem unserer rund 30 Standorte in Deutschland.

Interessiert? Viele weitere Informationen für angehende Nachwuchs-kräfte finden Sie auf unserer Website. Wir freuen uns ebenso auf Bewerbungen von Menschen mit Behinderung.

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Elektrotechnik kann man als eigenständiges Fach studieren. Ebenso kann das Fach z.B. in Verbindung mit Mechatronik oder Informationstechnik sowie als Schwerpunkt im Rahmen von Studiengängen der Technischen Informatik absolviert werden.Nachfolgend wird das Bachelorstudium Elektrotechnik beschrieben, das zu einem ersten berufsqualifizierenden Abschluss führt.Ausbildungsinhalte:Das Studium umfasst eine wissenschaftliche Ausbildung in Informationstechnik, Elektronik, Mess- und Regeltechnik. Man lernt Methoden, mit denen man elektrotechnische Anlagen und Funktionseinheiten entwickeln und optimieren kann.Die Studierenden besuchen Vorlesungen an der Hochschule.

BERUFSINFO ELEKTROTECHNIK IN 20 SEKUNDEN

14

„Im globalen Wettbewerb können

wir uns nur mit dem nötigen Know-

How behaupten“ BERTRAM BROSSARDT, HAUPTGESCHÄFTSFÜHRER DER VBW – VEREINIGUNG DER BAYERISCHEN

WIRTSCHAFT E. V. UND DER BAYERISCHEN METALL- UND ELEKTROARBEITGEBERVERBÄNDE BAYME VBM, ÜBER MATHE, ALLGEMEINBILDUNG UND DER WIN-WIN-SITUATION BEI EINEM DUALEN STUDIUM

Sagen Sie mal Herr Brossardt, warum ist eigentlich Mathe so wichtig, um zum Beispiel in der Metall- und Elekt-ro-Industrie einen guten Job zu bekommen? Mathematik ist die Basis für zahlreiche Berufsfelder, die in der Metall- und Elektro-In-dustrie stark gefragt sind, wie zum Beispiel Ingenieure, Informatiker oder IT-Exper-ten. Wenn sich mathematisch begabte Abiturienten für MINT-Studiengänge oder Ausbildungsberufe im

MINT-Bereich entscheiden, haben sie ausgezeichnete Karriereperspektiven.

Und außer Mathe, welche Fächer sind noch wichtig? Allgemeinbildung zählt und die Fähigkeit zu vernetztem Denken und Handeln. Genauso grundlegend sind sprachliche Kompetenzen und Fremdsprachenkenntnis-se. Und neben den Fachkom-petenzen sind soziale und kommunikative Kompeten-zen unerlässlich.

Sie unterstützen den Verein MINT-EC. Was liegt Ihnen daran besonders am Herzen? Die bayerische Wirtschaft braucht hochqualifizierte MINT-Nachwuchskräfte. Nur mit Innovationskraft und dem nötigen Know-How in den modernen Schlüsseltech-nologien können wir uns im globalen Wettbewerb behaupten und unseren Wohlstand bewahren. Deshalb benötigen wir schon in den Schulen Programme, die früh die Begeisterung junger Menschen für Technik

fördern und sie später für ein MINT-Studium begeistern. Bei der MINT-EC e. V. steht an den Gymnasien die fachliche Vertiefung und die praktische Anwendung von MINT im Mittelpunkt. Darum starteten wir vor vier Jahren eine Kooperation mit dem MINT-Verein.

Mit welchen Maßnahmen an den Schulen könnten Ihrer Meinung nach die naturwissenschaftlichen Fächer mehr gefördert werden?Ziel muss es sein, die Neugier der Schüler und ihre Experi-mentierfreude frühzeitig zu wecken. So können sie einen

MINT-Fächer sind eine zusammenfassende Bezeichnung von Unterrichts- und Studienfächern beziehungsweise Berufen aus den Bereichen Mathematik, Informatik, Naturwissenschaft und Technik. Der Verein mathematisch-naturwis-senschaftlicher Excellence-Center an Schulen e. V. (abgekürzt MINT-EC) ist ein gemeinnütziger Verein mit Sitz in Berlin. Weitere Infos unter www.mint-ec.de

WAS IST „MINT“?

spielerischen Zugang zur MINT-Welt gewinnen.Schulen haben jenseits der Lehrplan-Vorgaben die Möglichkeit, ihr naturwissen-schaftliches Profil zu stärken. bayme vbw haben hierfür einige Projekte ins Leben gerufen und unterstützen weitere Projekte als Sponsoren.Ein Beispiel ist die Girls‘ Day Akademie. Mädchen ergreifen seltener technisch-naturwis-senschaftliche Berufe als Jungen. In der Akademie treffen sich die Schülerinnen, erproben ihre technischen Fähigkeiten und erhalten einen Einblick in die Berufe der Metall- und Elektroindus-trie. Das Projekt findet in 120 Schulstunden pro Schuljahr zusätzlich zum regulären Unterricht statt und richtet sich an Realschülerinnen und Gymnasiastinnen.Das Forscherinnen-Camp richtet sich an Schülerinnen ab 15 Jahren aus bayerischen Gymnasien und Fachober-schulen. In einer Ferienwoche beschäftigen sich die Teilneh-merinnen mit technisch-na-turwissenschaftlichen Fragestellungen.

Wenn man in diesen Fächern in der Schule schlecht war, ist dann der Zug abgefahren? Nicht unbedingt. Aber es ist dann eher davon auszugehen, dass die Stärken und Neigun-gen nicht im MINT-Bereich liegen sondern in einem ande-ren Fach.

Was sind aus Ihrer Sicht die Vorteile eines dualen Studiums?Das duale Studium bietet eine Win-Win-Situation für alle Beteiligten. Die akademische und zugleich praktische Ausbildung ist am Bedarf der Wirtschaft ausgerichtet und entspricht dem heutigen Anforderungsprofil von Unternehmen. Die dual Studierenden erwerben frühzeitig betriebliches Know-How und eine praxisge-prägte Sicht auf die Lernin-halte der Hochschule. Damit erhöhen sie ihren Marktwert gegenüber Mitbewerbern. Hinzu kommt: Dual Studie-rende schließen ihre akade-mische Ausbildung in der Regel mit besseren Noten ab als Studenten im ,normalen‘ Studium. Zudem gelingt den Absolventen dualer Studien-gänge der Start ins Berufsle-ben besser und sie verfügen über höhere Einstiegsgehäl-ter. Auch die Studienqualität wird von Absolventen des dualen Studiums im Durch-schnitt besser beurteilt.

Wenn ein Schüler nach der Schule keinen Plan hat was er machen soll, was würden Sie ihm als ersten Schritt raten?Er sollte sich informieren und beraten lassen. Die Angebote zur Berufsorientierung sind vielfältig, wie zum Beispiel die der Bundesagentur für Arbeit.Sehr hilfreich ist auch unsere AusbildungsOffensive-Bayern. Sie bietet Aktionen und Maßnahmen für Jugendliche an und zeigt die vielfältigen beruflichen Chancen in der Metall- und Elektroindustrie. Die AusbildungsOffensi-ve-Bayern bietet auch den Berufsorientierungstest berufs-check(me) an. Hier haben junge Menschen die Gelegenheit, mehr über ihre Interessen, Stärken und Talente zu erfahren und herauszufinden, ob sie für einen Beruf in der M+E Industrie geeignet sind.Eine sehr gute Möglichkeit, berufliche Erfahrungen zu sammeln und individuelle Neigungen zu entdecken, sind natürlich auch klassische Praktika in Unternehmen.

Bertram Brossardt 56 Jahre Geschäftsführer vbw Jurist Davor: Referent

DAS IST DIE VEREINIGUNG DER

BAYERISCHEN WIRTSCHAFT

Der vbw ist ein freiwilliger,

branchenübergreifen-der und zentraler Interessenvereini-

gung der bayerischen Wirtschaft und

vertritt 132 bayerische

Arbeitgeber- und Wirtschaftsverbände

sowie 40

Einzelunternehmen. In den Branchen der Mitgliedsverbände

sind etwa 4,4 Millionen

sozialversicherungs-pflichtige

Beschäftigte tätig. Der vbw ist zudem die

Landesvertretung der Bundesvereinigung

der Deutschen Arbeitgeberverbände

und des Bundesverbands der Deutschen Industrie.

Weitere Infos im Web unter www.

vbw-bayern.de, www.arbeitgeber.de, www.bdi.eu

1716

der Auszubildenden nach dem Abschluss im steuerberatenden Beruf verbleiben. Das ist schon eine ganze Menge. Etwa 75 Prozent davon sogar im Ausbildungsbetrieb. Wer gern mit Menschen umgeht, sich gut ausdrücken kann, Lust auf einen abwechslungsreichen Bürojob und ein Faible für Zahlen hat, der hat also gute Karten. “ Wie geht es für dich weiter?

„Nach der Ausbildung gibt es viele Fortbil-dungsmöglichkeiten. So kann ich beispielswei-se mit 3 Jahren Berufser-fahrung die Prüfung zum Steuerfachwirt ablegen und nach weiteren 4 Jahren die Steuerberater-prüfung schreiben.“ Wenn du abends mit Freunden weg bist, was erzählst du denen, wenn ihr über eure Jobs redet?

„Am Anfang dachten die immer, dass das total öde sein muss, was ich mache. Aber für eine wie mich, die gern mit anderen in einem netten Team in einem Büro arbeitet, ist das ideal. Und der Vorteil meiner Ausbildung ist, im Gegen-satz zum Beispiel zu Industriekaufleuten, dass ich meine Karriere sehr genau planen kann. Am Ende hab ich mit Anfang 30 einen Beruf, für den andere lange studieren müssen.

DIE 6 SPANNENDSTEN ZAHLEN ⁕ 659 Mrd. Euro Steuern pro Jahr⁕ 85570 Steuerberater in Deutschland⁕ 37 Steuerarten gibt es bei uns ⁕ 205 Mrd. Umsatzsteuer jährlich⁕ Manche Steuerberater verdienen 8000 Euro ⁕ Anzahl der Tanzsteuern: 1

ina, 20, ist Auszubildende zur Steuerfachangestellten. Steuern! Wenn man das schon hört. Kann es Spaß machen, jeden Tag damit zu tun zu haben?

„Absolut. Außerdem ist das ein krisensicherer Job, denn

die Nachfrage nach Steuerberatungsleistungen ist bei dem bekanntlich ziemlich komplizierten deutschen Steuerrecht nach wie vor groß.“ Was braucht man für Voraussetzungen, um das machen zu können?

„Fachliche Voraussetzung ist ein qualifizierter Schulabschluss, zum Beispiel ein guter Realschulabschluss. Angehende Steuerfachan-gestellte sollten außerdem ein Grundverständ-nis für wirtschaftliche Zusammenhänge und keine allzu große Angst vor Gesetzes- und Fachtexten haben.“ Und wie sind die Chancen, hinterher übernommen zu werden?

„In unserer Branche sehr gut. Neulich habe ich gelesen, dass eine Befragung der Steuerberater-kammern ergeben hat, dass über 90 Prozent

S

Weitere Informationen im Web unter www.SteuerDeineKarriere.de, www.stbk-nuernberg.de/ausbildung/ausbildung1

Steuerberater können eine eigene Kanzlei gründen oder als Angestellte arbeiten. Es gibt mehrere Wege, zum Steuerberaterexamen:

1. Nach einem Studium: Nach dem Bachelorstudium musst du 3 Jahre Berufs- erfahrung im Steuerwesen sammeln, nach einem Mas- ter-Abschluss sind‘s 2 Jahre.

2. Nach der Ausbildung: Zehn Jahre Berufserfahrung nach einer Ausbildung zum Steuerfachangestellten, danach Zulassung zum Steuerberaterexamen.

3. Nach der Prüfung zum Steuerfachwirt: Es müssen mind. 4 Jahre Berufspraxis im Steuerwesen nachge- wiesen werden, dann folgt die Zulassung zum Examen.

Drei Wege zum Steuerberaterexamen

Zahlreiche Hochschulen bieten duale Studiengänge

im Bereich Betriebswirtschafts-

lehre mit Schwerpunkt

Steuern an. Bei bestimmten

Hochschulen kann man neben dem

Studium die Ausbildung zum

Steuerfachangestell-ten absolvieren und kann somit neben

einem akademischen Abschluss auch

noch einen abgeschlossene

Ausbildung vorweisen.

Weitere Infos zur Ausbildung und zum

dualen Studium: www.

SteuerDeineKarriere.de

www.stbk-nuernberg.de/ausbildung/

steuerfachangestell ter/verbundstudium

GEWUSST?


5 Argumente, warum sich eine Ausbildung zum

Steuerfachangestellten lohnt Du willst einen sicheren Job? Darauf kannst du dich

verlassen: Steuern wird es immer geben. Deshalb ist Steuerfachangestellte/-r ein krisensicherer Beruf mit Zukunft, der bundesweit gefragt ist. Einfach eine sichere Bank.

Du suchst ausgezeichnete Karrierechancen? Karriere geht auch ohne Studium: Als Steuerfachangestellte/-r hast du viele Aufstiegsmöglichkeiten. Einfach ein Job mit sehr guten Karrierechancen.

Du brauchst Abwechslung? Anders als du vielleicht denkst: Steuerfachangestellte /-r ist ein vielfältiger Beruf mit viel Teamarbeit und ein Beruf mit Menschen. Einfach was mit richtig viel Abwechslung.

Du möchtest dem Staat kein Geld schenken? Um dieses Ziel zu erreichen, hast du als Steuerfachangestellte/-r die besten Voraussetzungen, denn du kennst schon bald alle (legalen) Tricks.

Du möchtest gut verdienen? Die Empfehlungen für die Vergütung im Kammerbezirk München und Nürnberg für das 1. Ausbildungsjahr liegen bei 850-1000 Euro, für das 2. bei 950 – 1050 Euro und für das 3. bei 1050 – 1100 Euro.

Krisensicher und die besten Karriereoptionen

Schnupper mal rein !

Und was machst du

so?

Steuerfachangestellte/-r

Du interessierst dich für den Beruf zum Steuerfachangestellten? Am besten absolvierst du ein Schnupperpraktikum bei einer Steuerkanzlei. Einfach dort anrufen. Aktuelle Praktikumsangebote findest du in der Praktikumsbörse der Steuerberaterkammern.

Steuerfachangestellte unterstützen die Steuerberater bei der steuerlichen und betriebswirtschaftlichen Beratung der Mandanten. Sie befassen sich u.a. mit Fragen der Lohn- und Gehaltsabrechnung, helfen bei der Finanzbuchführung und der Vorbereitung von Jahresabschlüssen für Unternehmen. Sie sind beteiligt an der Erstellung von Steuererklärungen und

BERUFSINFO STEUERFACH- ANGESTELLTE IN 35 SEKUNDEN

der Prüfung von Bescheiden des Finanzamtes. Eine fundierte Ausbildung ist Basis für die weitere Karriere. Die Ausbildungsdauer beträgt grundsätzlich drei Jahre. Sie kann unter bestimmten Voraussetzungen z.B. bei vorliegender Hochschul- oder Fachhochschulreife verkürzt werden. Prinzipiell arbeiten die Azubis in einer Steuer- kanzlei. Parallel dazu besuchen sie an ein bis zwei Tagen in der Woche die Berufsschule und verknüpfen so Theorie und Praxis. Schwerpunkt der

Ausbildung sind die Fachgebiete Steuer- und Rechnungswesen, Betriebswirtschaft und Wirtschaftsrecht. Nach der Ausbildung, der bestandenen Prüfung und einer dreijährigen Berufs- tätigkeit als Steuerfach- angestellte/-r kann die nächste Herausforderung in Angriff genommen werden: die Fortbil- dungsprüfung zum/zur Steuerfachwirt/in. Nach der Prüfung zum Steuerfachwirt/in und einer Berufspraxis von 7 Jahren seit der Steuer- fachangestelltenprüfung wird man zur Steuerberaterprüfung zugelassen.

18

„Akademiker sind nicht im Vorteil!“

DR. EBERHARD SASSE, PRÄSIDENT DES BAYERISCHEN INDUSTRIE- UND HANDELSKAMMERTAGS (BIHK), ÜBER DIE FRAGE: SOLLEN ABITURIENTEN EINE LEHRE MACHEN?

Wieso raten Sie Abiturienten zu einer Ausbildung?Eine Ausbildung ist ein Karriere-Turbo, gerade für Abiturienten. Der Blick in die Lebensläufe vieler erfolgrei-cher Unternehmer und DAX-Vorstände zeigt, in welche Richtung eine Ausbildung führt: nach oben. Die Ausbildung ermöglicht es, in der realen Welt Erfahrun-gen zu sammeln und sich auszutesten. Für Abiturien-ten gibt es außerdem Ausbil-dungszeitverkürzungen, so dass sie den Abschluss noch schneller bekommen. Nach

einer Ausbildung wissen die Leute, was sie im Leben erreichen wollen und können. Dagegen sind viele Uni-Absol-venten nach dem Studium einfach nur ratlos. Und: Mit einer Ausbildung hat man ein besseres Fundament, diese Ziele zu erreichen, weil man mit beiden Beinen bereits voll im Leben steht.

Welche Berufsfelder kommen für Abiturienten in Frage?Die Stärke der Ausbildung ist ihre Vielfalt und die hervorra-genden Aufstiegsmöglichkei-ten in allen Branchen. Es gibt allein über 240 Berufe im Bereich Industrie, Handel und Dienstleistungen – und eine erfolgreiche Ausbildung kommt praktisch einer Jobgarantie gleich. In jedem Beruf, ob als Bankkauffrau in einem Finanzinstitut, in der Automobilbranche als Mechatroniker oder im Sterne-Betrieb als Hotelfach-kraft, stehen nach der Ausbildung alle Türen offen. Weiterbildungen oder ein

begleitendes oder anschlie-ßendes Studium sind die Überholspur für die Azubis, um für Führungspositionen in ihrer Traumbranche einzunehmen. Mit solchen Zusatz-Qualifikationen stechen die ehemaligen Azubis jeden Akademiker aus.

Kurz gesagt, die „Generati-on Praktikum“ macht einen Fehler, wenn sie die Ausbil-dung nicht im Blick hat?Dessen bin ich mir sicher. Die Praxiserfahrung der Azubis ist für die Betriebe wichtiger denn je. Statt am Arbeits-markt vorbei zu studieren, lernt man in einer Ausbildung vom ersten Tag an, worauf es in einem Betrieb ankommt: Teamarbeit, Kunden beraten, Entscheidungen treffen, Lösungen finden. Dadurch erhalten Azubis einen unbezahlbaren Praxisvor-sprung, den kein Studium in dieser inhaltlichen Tiefe bietet. Während Uni-Absol-

venten oft nur mühsam Tritt am Arbeitsmarkt fassen und lange Praktika in Kauf nehmen, haben Azubis die Praxiserfahrung bereits eingebaut und verdienen ab dem ersten Tag eigenes Geld.

Aber wie sieht es langfristig mit den Verdienstchancen aus? Sind Akademiker da nicht im Vorteil?Nein, das ist ein Vorurteil. Ich behaupte das Gegenteil: IHK-geprüfte Betriebswirte, Meister und Fachwirte verdienen vielfach gleich viel oder mehr als Bachelorabsol-venten und stehen öfter in Führungspositionen als ihre Kolleginnen und Kollegen von der Hochschule. Man darf sich nicht von den Vorabend-serien blenden lassen, wo jeder Germanist ein erfolgrei-cher Romanautor ist und alle Ärzte und Juristen einen Reitstall und eine Yacht besitzen. Es gibt auch viele arbeitslose oder fachfremd arbeitende Juristen. Jeder Ausbildungsabsolvent kann mit einer guten Karrierepla-nung ein überdurchschnittli-ches Gehaltsniveau erreichen, gerade bei uns in Bayern.

Dr. Eberhard Sasse 56 Jahre BIHK-Präsident Davor: Meister Gebäudereinigung Hat rund 5.700 Mitarbeiter

Ausbildungskampagne „Elternstolz“

Der Traum vom eigenen GästehausHanna-Elise Feneberg hat Betriebswirtschaft studiert, jetzt lernt sie Hotelfachfrau

Nach einem erfolgreichen Studium standen Hanna-Elise Feneberg viele Berufswege offen. Sie entschied sich für eine Ausbildung zur Hotelfachfrau, weil sie später einmal das

Gästehaus ihres Vaters Peter Feneberg übernehmen möchte. Die beiden sind Botschafter der Kampagne „Elternstolz“ des Bayeri-schen Wirtschaftsministeriums, der Industrie- und Handelskam-mern in Bayern (BIHK) sowie der Arbeitsgemeinschaft der bayeri-schen Handwerkskammern (HWK).Nach einem erfolgreichen Studium noch eine Ausbildung zu be-ginnen, ist ungewöhnlich. Und gleichzeitig ein guter Hinweis da-rauf, dass sich jemand sehr bewusst für einen Beruf entschieden hat. So ist es auch bei Hanna-Elise Feneberg. Ihre Eltern betreiben in Oberstdorf ein Boutique-Ferienhaus. „Es wäre mein Traum, das später einmal zu leiten“, sagt die junge Frau. Sehr zur Freude ihres Vaters: „Es macht einen stolz, wenn ein Kind das weiterführen will, was man aufgebaut hat.“

Die Eltern unterstützen sie

Das Beispiel zeigt: Manchmal ist gerade eine Ausbildung oder Lehre der beste Weg zum Wunschberuf. Und genau das ist die Bot-schaft der Kampagne „Elternstolz“: Eltern von den Vorteilen einer Handwerkslehre oder Ausbildung überzeugen.Hanna-Elise Feneberg hat ihre Entscheidung jedenfalls nie bereut. „Ich will alles einmal ausprobieren, was zu einem Hotelbetrieb gehört“, sagt sie. Das Wohlfühlresort, in dem sie ihre Ausbildung absolviert, sei schon deshalb ideal, weil das Resort sehr breit auf-gestellt ist: mit Golfplätzen, einer Wellness-Landschaft, mehreren Restaurants, einer Einkaufspassage und einer Ski-Schule. Ihre Familie hat sie von Anfang an in ihrer Entscheidung bestärkt –auch deshalb, weil ihnen der Plan gefällt, dass Hanna-Elise einmal den heimischen Betrieb in die Zukunft führt. Heute berät die Familie gemeinsam, wie man das Angebot für die Gäste verbes-sern kann – und denkt zum Beispiel über eine eigene Skihütte für die Gäste in den Bergen nach. „Im Zentrum steht immer der Gast“, so Hanna-Elise, „und ich möchte dazu beitragen, dass er gerne wieder kommt.“Weitere Infos unter www.elternstolz.de

Ilse Aigner, Bayerns Wirtschaftsministerin„Mit der Kampagne ‚Elternstolz‘ starten wir in Bayern ein einzigartiges Projekt. Wir setzen ein klares Zeichen: Die berufliche Bildung bietet jungen Menschen Karri-ere- und Entwicklungschancen, die einem Studienab-schluss in nichts nachstehen.“

Franz Xaver Peteranderl, Vizepräsident der Arbeitsge-meinschaft der bayerischen Handwerkskammern„Es freut mich, dass wir durch die Kampagne ‚Eltern-stolz‘ unser Angebot im Handwerk, das sich bislang vor allem an Jugendliche und Lehrer gerichtet hat, um die wichtige Zielgruppe der Eltern ergänzen. Eltern sind für die Berufswahl ihrer Kinder die wichtigsten Beeinflusser und Mitentscheider. Die Kampagne zeigt auf, dass Eltern auf ihre Kinder stolz sein können, wenn diese durch eine erfolgreiche Berufsausbildung dauerhafte Beschäftigungsperspektiven erhalten.“

Dr. Eberhard Sasse, Präsident des Bayerischen Industrie- und Handelskammertages„Die Lernorte für eine erfolgreiche Ausbildung sind unsere Betriebe und unsere Berufsschulen. Hier treffen sich Theorie und Praxis, was auch international als Erfolgsfaktor gilt. Jeder Jugendliche kann seinen Neigungen entsprechend lernen. Das macht den Auf-stieg in leitende Funktionen bis hin zur Selbständigkeit möglich. So findet jede und jeder eine Entwicklungs-perspektive und einen Platz in der Gesellschaft.“

20

Original-Prüfungs-aufgaben und über 100 Erklärvideos

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Dein Kick Off für Mathe und Karriere

Impressum

Markups

Backlights

Online

Markups stellen ergänzendes Hintergrundwissen und übergeordnete logische Zusammenhänge dar. Wir setzen sie an Stellen, an denen sie gedanklich notwendig sind. So bringst du Gelerntes ganz einfach mit der Aufgabenstellung in Zusammenhang.

Backlights sind Hintergrundbilder, die wichtige Gedankenschritte visualisieren. Sie verdeutlichen die Aufgabenstellung und den Lösungsansatz – frei nach dem Motto „Ein Bild sagt mehr als tausend Worte!“

Auf www.touchdown-mathe.de bieten wir dir zusätzliches Material, das dir hilft, dich optimal auf deine Prüfung vorzubereiten. QR-Codes am Ende der Prüfungsteile bringen dich schnell zum passenden Material:

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Die typischen Lernhilfen zur Abi-Vorbereitung sehen so aus: Originalprüfung + Musterlösung, streng voneinander getrennt, schwarz-weißes Layout ohne jede Spannung und Abwechslung. Lineare Lösungsschritte, die man versteht oder eben nicht.

Der Gedankengang allerdings, der zum ersten Schritt der Lösung führt, ist nicht enthalten, so dass es oft schwer fällt, den restlichen Lösungsweg nachzuvollziehen geschweige denn von selbst draufzukommen.

Wir von TOUCHDOWN Mathe haben daher die TOUCHDOWN Abimaps entwickelt, die mehr sind als nur die reine Musterlösung. Sie liefern das notwendige Hintergrundwissen und die Gedankenschritte, die man braucht, um die Lösungsschritte nachvollziehen.

Drei Elemente zeigen dir den Weg:

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Viel Erfolg bei der Vorbereitung und im Abitur wünscht dir das Team von TOUCHDOWN MATHE!

Prüfungsteil A Analysis Aufgabengruppe 1 Aufgabengruppe 2

Stochastik Aufgabengruppe 1 Aufgabengruppe 2 Geometrie Aufgabengruppe 1 Aufgabengruppe 2 Prüfungsteil B Analysis Aufgabengruppe 1 Aufgabengruppe 2

Stochastik Aufgabengruppe 1 Aufgabengruppe 2 Geometrie Aufgabengruppe 1 Aufgabengruppe 2

INHALT

4 6

8 9

11 13

15 19

24 26

28 31

3

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zu Aufgabe 1a: Definitionsmenge bestimmen – eine

Standardaufgabe, die in 2 Varianten

vorkommt: entwederohne Rechnung

(„Geben Sie an“, vgl. Aufgabengruppe 2) oder mit Rechnung

(„BestimmenSie“). Hier ist also

auch die Rechnung gefragt.

TOMS TIPP

2 P.

2 P.

3 P.

3 P.

3 P.

2 P.

Zu Aufgabe 2: Hier wird der Nachweis der Punktsymmetrie über die Bedingung f(−x)=−f(x) gefragt; 2017 könnte auch eine Aufgabe zur Achsensymmetrie drankommen. Die Bedingung dafür lautet f(−x)=f(x). Flächen rechts und links von der y-Achse heben sich dann nicht mehr gegenseitig auf, sondern ergänzen sich zur doppelten Fläche, d. h. bei achsensymmetrischen Funktionen sind Integrale über symmetrische Intervalle nicht automatisch gleich null, sondern immer doppelt so groß wie das Integral über die rechte Hälfte.

WIE WEIST MAN SYMMETRIE NACH?

Zu Aufgabe 5: Es gibt 5 Funktionstypen, deren Stammfunktionen du immer parat haben musst. Die wichtigsten davon sind die Potenzfunktionen und die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus. Auf www.touchdown-mathe.de findest du im Lösungscoach zum Video „Die 5 wichtigsten Stammfunktionen“ eine übersichtliche Tabelle.

WELCHE STAMMFUNKTIONEN SOLLTE MAN EIGENTLICH KENNEN?

AUFGABENGRUPPE 1

Prüfungsteil A, Analysis ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

2 P.

2 P.

1 P.

Online geht‘s weiter...Hier gibt‘s die passenden Erklär videos auf www.touchdown-mathe.de:

⇐⇒ ′ ′ ⇐⇒ ′

′

⇐⇒

5. Die Abbildung zeigt den Graphen der in RR definierten Funktion f .

1 2 3 4 5 60−1

1

2

3

x

y

a)(2) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für5∫

3

f (x) dx .

Die Funktion F ist die in RR definierte Stammfunktion von f mit F (3) = 0.b)(1) Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an

der Stelle x = 2 an.

c)(2) Zeigen Sie, dass F (b) =b∫

3

f (x) dx mit b ∈ RR gilt.

′

′

∫

Bayern Abitur 2016

Prüfungsteil A, Analysis Aufgabengruppe 1

1. Gegeben ist die Funktion f : x �−→√

1 − ln x mit Definitionsmenge D.a)(2) Bestimmen Sie D.b)(2) Bestimmen Sie den Wert x ∈ D mit f (x) = 2.

Definitionsmenge

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

f ( x ) = 2

⇐⇒√

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

2.(3) Zeigen Sie, dass der Graph der in RR definierten Funk-tion g : x �−→ x 2 · sin x punktsymmetrisch bezüglich desKoordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des

Integralsπ∫

−π

x 2 · sin x dx an.

punktsymmetrisch

�⇐⇒

⇐⇒∫

3.(3) Skizzieren Sie im Bereich −1 ≤ x ≤ 4 den Graphen einer inRR definierten Funktion f mit den folgenden Eigenschaften:

• f ist nur an der Stelle x = 3 nicht differenzierbar.• f (0) = 2 und für die Ableitung f ′ von f gilt: f ′(0) = −1.• Der Graph von f ist im Bereich −1 < x < 3 linksgekrümmt.

4. Gegeben ist eine in RR definierte ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph Gfan der Stelle x = 1 einen Hochpunkt und an der Stelle x = 4 einen Tiefpunkt besitzt.

a)(3) Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion f ′ von f eine Parabel ist,welche die x -Achse in den Punkten (1|0) und (4|0) schneidet und nach oben geöffnetist.

b)(2) Begründen Sie, dass 2,5 die x -Koordinate des Wendepunkts von Gf ist.

⇐⇒ ′ ⇐⇒ ′

4 5

Motivationspause Ein Mathematiker ist ein Mensch, der einen ihm vorgetragenen Gedanken nicht nur sofort begreift, sondern auch erkennt, auf welchem Denkfehler er beruht.

Bayern Abitur 2016


3. Die Abbildung zeigt den Graphen der in RR definierten Funktion f .

1 2 3 4 5 60−1

1

2

3

x

y

Abb. 1

a)(2) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für5∫

3

f (x) dx .

Die Funktion F ist die in RR definierte Stammfunktion von f mit F (3) = 0.b)(1) Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an

der Stelle x = 2 an.

c)(2) Zeigen Sie, dass F (b) =b∫

3

f (x) dx mit b ∈ RR gilt.

⇐⇒ ′

′

∫

1.

2.

3.

4.(4) Abbildung 2 zeigt den Graphen Gk einer in RR definierten Funktion k . Skizzieren Sie inAbbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion k ′. Berücksichtigen Sie dabeiinsbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen Gk an dessen Wendepunkt(0|−3) sowie die Nullstelle von k ′.

−5 −4 −3 −2 −1 1 20

−4

−3

−2

−1

1x

yGk

Abb. 2

′

⇐⇒

′

1.(7)

2.(4)

3.(5)

4.(4)

(20)

zu Aufgabe 1b: Ableiten kommt in jeder Abiturprüfung

dran, hier wurde dafür die

Quotientenregel gebraucht.

Die anderen 3 gängigen

Ableitungsregeln (Produktregel,

Kettenregel und Potenzregel) sowiedie drei Sonderfälle

(Sinus, Exponentialfunktion

und Logarithmus) findest du im Video

überdie rechnerische

Ableitung.

TOMS TIPP

3 P.

4 P.

2 P.

2 P.

AUFGABENGRUPPE 2

Prüfungsteil A, Analysis ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

2 P.

2 P.

4 P.

1 P.


Bayern Abitur 2016


1. Gegeben ist die Funktion f : x �−→ ln xx 2 mit maximalem Definitionsbereich D.

a)(3) Geben Sie D sowie die Nullstelle von f an und bestimmen Sie limx→0

f (x).

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒

→ →

→

→

1. a)(3)b)(4) Ermitteln Sie die x -Koordinate des Punkts, in dem der Graph von f eine waagrechte

Tangente hat. ′

′

′ ⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒ √

⇐⇒ √ 1.

2. Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die ange-gebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

a)(2) Der Punkt (2|0) ist ein Wendepunkt des Graphen von g .

∈

1.

2. a)(2)b)(2) Der Graph der Funktion h ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.

∈

6 7

Motivationspause Mathe klingt für mich ja ungefähr so: Es waren einmal zwei Kamele, eins davon war grün. Wie viel wiegt der Sand, wenn es dunkel ist?

Merksatz zu Aufgabe 4: Die Ableitung f ʹ einer Funktion f gibt den Steigungsverlauf von f an:

ist f ʹ negativ, so ist f fallend und umgekehrt. An den Stellen, wo f ein Maximum, ein Minimum oder einen Terrassenpunkt hat, ist f ʹ null. Siehe hierzu unser Video zum Thema Monotonie (= Steigungsverhalten).

5 P.

2 P.

3 P.

AUFGABENGRUPPE 1

Prüfungsteil A, Stochastik ABITUR

BAYERN ABITUR 2016


Bayern Abitur 2016

Prüfungsteil A, Stochastik Aufgabengruppe 1

1.(5) Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den EreignissenA und B.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) und ergänzen Sie anschließend an allenÄsten des rechten Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

AB2

3

B13

0,6

AB1

4

B34

0,4

BA

A

BA

A

(Teilergebnis: P(B) = 0,5)

∩

∩

∩ ∩

⇐⇒

∩

∩ ∩

⇐⇒

2. Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweitenMal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wirdfestgelegt: {ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}.

a)(2) Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

⇐⇒

2. a)(2)b)(3) Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe

zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von X .

(10)

2 P.

3 P.

3 P.

AUFGABENGRUPPE 2

Prüfungsteil A, Stochastik ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

Bayern Abitur 2016


1. Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweitenMal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wirdfestgelegt: {ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}.

a)(2) Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

⇐⇒

1. a)(2)b)(3) Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe

zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von X .

2. An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna undTobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern einTeam aus vier Personen zusammengestellt.

a)(3) Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahr-scheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann.A: „Anna und Tobias gehören dem Team an.“B: „Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen.“

⇐⇒

(

)

(

)

Merksatz zu Aufgabe 1a:

Bei einem Laplace-Experi-

ment sind alle möglichen

Ergebnisse gleich

wahrscheinlich (z. B.

Münzwurf, Würfeln, etc.).

Merksatz zu Aufgabe 1: 1. Pfadregel: Entlang von Pfaden werden Wahr-scheinlichkeiten multipli-

ziert, um die Wahrschein-lichkeit des Pfades zu berechnen.2. Pfadregel: Die Wahr-scheinlichkeit mehrerer

Pfade ergibt sich durch Addieren der einzelnen Pfadwahr-scheinlichkeiten.

TOMS TIPP

8 9

zu Aufgabe 2b: Die allgemeine Formel für den Erwartungswert lautet wobei x1, ..., xn die möglichen Werte von X sind. Eselsbrücke: Die Werte werden nach ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet und zusammengezählt. Die Tabelle ist zwar nicht gefragt, aber es ist praktisch, die Zahlen erst mal übersichtlich zusammenzustellen, die dann in die Formel eingesetzt werden.

E (X ) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + ... + xn · P(X = xn)

2 P.


Bayern Abitur 2016


⇐⇒

(

)(

)

(

)(

)

⇐⇒

(

)(

)(

)2. a)(3)

b)(2) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeitdurch den folgenden Term berechnet werden kann:(

144

)−

(64

)

(144

)

(10)

2 P.

2 P.

3 P.

AUFGABENGRUPPE 1

Prüfungsteil A, Geometrie ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

Bayern Abitur 2016

Prüfungsteil A, Geometrie Aufgabengruppe 1

1. Betrachtet wird der abgebildete WürfelABCDEFGH . Die Eckpunkte D, E , F undH dieses Würfels besitzen in einem kar-tesischen Koordinatensystem die folgen-den Koordinaten: D(0|0|−2), E (2|0|0),F (2|2|0) und H(0|0|0).

HE F

G

D CA B

a)(2) Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese.Geben Sie die Koordinaten des Punkts A an.

⇐⇒

a)(2)b)(3) Der Punkt P liegt auf der Kante [FB] des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand

3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts P.

∣∣∣

∣∣∣

∣∣∣

∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

√

√

⇐⇒√

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

2. Gegeben sind die Punkte A(−2|1|4) und B(−4|0|6).a)(2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: −→CA = 2 · −→AB.

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒

Motivationspause Da lernt man Dreisatz und Wahrscheinlichkeitsrech-nung und steht trotzdem ratlos vor dem Backofen und überlegt, welche der 4 Schienen nun die mittlere ist.

Merksatz zu Aufgabe 2b:

Übersetzung Ereignis – Formel

oder + }

vergleiche Pfadregeln

und ·

ohne. . .

bis auf. . .

−

nicht. . .

alle bis auf

1 − (Gegenwahrscheinlichkeit)

10 11

Zu Aufgabe 1b: 1) Verbindungsvektor berechnen (Koordinaten des 2. Punkts minus Koordinaten des 1. Punkts)2) Betrag (Länge) des Verbindungsvektors berechnen (alle Koordinaten hoch 2 nehmen, zusammenzählen und dann die Wurzel ziehen).

WIE BESTIMME ICH DEN ABSTAND ZWEIER PUNKTE?

Merksatz zu Aufgabe 2b:

Übersetzung Ereignis – Formel

oder + }

vgl. Pfadregeln

und ·

ohne...

bis auf... −...

nicht...

alle bis auf... 1−...

(Gegenwahrscheinlichkeit)

TOMS TIPP

zu Aufgabe 1b:Die Bestimmung

eines Normalenvektors

kommt auf jeden Fall immer dran.

Meistens wirder aus zwei

Richtungsvektoren mit dem

Skalarprodukt und einem linearen

Gleichungssystembestimmt (unbedingt

lernen!). Hier sind aber keine

Richtungsvektoren vorgegeben und man

kann einfach den bereits bekannten Normalenvektor

einer anderen Ebene nehmen, die parallel

verläuft.

TOMS TIPP

3 P.


Bayern Abitur 2016


a)(2)b)(3) Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g . Betrachtet werden Geraden, für

welche die Bedingungen I und II gelten:I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal.

II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3.Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

√

⇐⇒

◦

⇐⇒

◦

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

∈

(10)

2 P.

3 P.

2 P.

AUFGABENGRUPPE 2

Prüfungsteil A, Geometrie ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

Bayern Abitur 2016


1. Gegeben sind die Ebene E : 2x1 + x2 + 2x3 = 6 sowie die Punkte P(1|0|2) und Q(5|2|6).a)(2) Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte P und Q senkrecht zur Ebene E

verläuft.

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

a)(2)b)(3) Die Punkte P und Q liegen symmetrisch zu einer Ebene F . Ermitteln Sie eine

Gleichung von F .

⇐⇒ ∈

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

2. Gegeben sind die Punkte A(−2|1|4) und B(−4|0|6).a)(2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: −→CA = 2 · −→AB.

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒

12 13

zu Aufgabe 2b: Immer wenn es um

senkrechte (orthogonale)

Geraden, Vektoren oder Ebenen geht,

brauchst du das

Skalarprodukt:

v1 ⊥ v2⇐⇒

v1 ◦ v2 = 0

3 P.


Bayern Abitur 2016


2. a)(2)b)(3) Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g . Betrachtet werden Geraden, für

welche die Bedingungen I und II gelten:I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal.

II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3.Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

√

⇐⇒

⇐⇒

◦ ⇐⇒

◦

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

∈

(10)

zu Aufgabe 1d: Hier wieder eine Standardaufgabe, die sicher drankommt: Art und Lage von Extrempunkten bestimmen. Achte auf Details: „Geben Sie an“ heißt: keine Rechnung nötig; „Extrempunkt“ heißt x- und y-Koordinate; „Extremstelle“ heißt: nur die x-Koordinate; „Art“ heißt: Hochpunkt oder Tiefpunkt, „Lage“ heißt: Koordinaten.

TOMS TIPP

2 P.

3 P.

4 P.

3 P.

AUFGABENGRUPPE 1

Prüfungsteil B, Analysis ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

1. Gegeben ist die in RR definierte Funktion f : x �−→ e 12 x + e− 1

2 x . Der Graph von f wird mitGf bezeichnet.

a)(2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y -Achse undbegründen Sie, dass Gf oberhalb der x -Achse verläuft.

⇐⇒

∈

1. a)(2)

b)(3) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f fürx −→ −∞ und für x −→ ∞.

±

→±

⇐⇒

→

→

→

→

→

↓

→ 1. a)(2)

b)(3)c)(4) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f ′′ von f die Beziehung f ′′(x) = 1

4 f (x)für x ∈ RR gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist.

(zur Kontrolle: f ′(x) = 1

2

(e 1

2 x − e− 12 x

) ) ′′

⇐⇒ ′

(

)

(

)′′

(

(

))

(

)

∈ ⇐⇒

1. a)(2)b)(3)c)(4)d)(3) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf .

′ →

′

′ ⇐⇒

(

)

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒

TOMS TIPP

Motivationspause Wie befreit sich ein Mathematiker aus einem geschlossenen Käfig? Er definiert: Hier ist außen.

14 15

zu Aufgabe 1b: Bei

Grenzwertaufgaben mit Rechnung

(„Ermitteln Sie“, „Bestimmen Sie“, etc.)

untersucht man immer erst das Grenzverhalten der

Teilterme der Funktion (hier der zwei Summanden;

bei einem Bruch wären

es Zähler und Nenner). Dazu muss

man bestimmte elementare Grenzwerte

auswendig wissen (siehe Lösungscoach zu Grenzwerte ohne

Rechnung): lim

x→∞ex = ∞,

limx→−∞

ex = 0,

limx→∞

ln x = ∞und

limx → 0

ln x = −∞.

3 P.

3 P.

4 P.

1. a)(2)b)(3)c)(4)d)(3)e)(3) Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an Gf im Punkt P(2|f (2)) auf eine De-

zimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystemein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: −4 ≤ x ≤ 4, −1 ≤ y ≤ 9).

1. a)(2)

b)(3)c)(4)d)(3)e)(3)f)(4) Berechnen Sie f (4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezima-

len genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gfim Bereich −4 ≤ x ≤ 4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein.

′

(

)

1. a)(2)

b)(3)c)(4)d)(3)e)(3)f)(4)g)(3) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für x ∈ RR die Beziehung

14 [f (x)]2 − [f ′(x)]2 = 1 gilt.

[

] [′]

[

]

[

(

)]

(()

(

))

(

)((

)

(

))

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

�

1. a)(2)b)(3)c)(4)d)(3)e)(3)f)(4)g)(3) blah

Die als Kurvenlänge La;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen denPunkten

(a|f (a)

)und

(b|f (b)

)mit a < b lässt sich mithilfe der Formel

La;b =b∫

a

√1 + [f ′(x)]2 dx berechnen.

4 P.

2 P.

5 P.

1. a)(2)b)(3)c)(4)d)(3)e)(3)f)(4)g)(3) blahh)(4) Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L0;b des

Graphen von f zwischen den Punkten(0|f (0)

)und

(b|f (b)

)mit b > 0.

(Ergebnis: L0;b = e 1

2 b − e− 12 b

)

[

] [′] ⇐⇒√

[′

] √[

]

∫

√

[′

] ∫

∫

∫

(

)

[

]

(

)

2. Die Enden eines Seils werden an zweivertikalen Masten, die 8,00 m voneinan-der entfernt sind, in gleicher Höhe überdem Erdboden befestigt. Der Graph Gfaus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich−4 ≤ x ≤ 4 modellhaft den Verlauf desSeils, wobei die Fußpunkte F1 und F2 derMasten durch die Punkte (−4|0) bzw.(4|0) dargestellt werden (vgl. Abbildung).Eine Längeneinheit im Koordinatensys-tem entspricht einem Meter in der Reali-tät.

F1

Mast 1

F2

Mast 2

x

y

Seil

x

f (x)

a)(2) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt desSeils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modellsden Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.

⇐⇒

⇐⇒

2. a)(2)b)(5) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das

Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge ausAufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimetergenau.′

(

)

Merksatz zu Aufgabe 1e: Eine Tangente am Graph einer Funktion f an einer Stelle x0 (hier: x0 = 2) ist eine Gerade g, die an dieser Stelle den Graph von f schneidet (also g(x0) = f(x0)) und hier auch dieselbe Steigung hat, wie f (also gʹ(x0) = fʹ(x0)). In dieser Aufgabe ist nur die Steigung gefragt. Um daraus eine vollständige Geradengleichung zu bestimmen, setzt man in die allgemeine Gera-dengleichung y = m·x+t die Steigung m = fʹ(x0)

TOMS TIPP

Motivationspause Treffen sich zwei Funktionen im Unendlichen. Sagt die eine zur anderen: „Lass mich vorbei oder ich leite dich ab!“ Sagt die andere: „Mach doch, mach doch... ich bin eh ne e-Funktion!“

16 17

Merksatz zu Aufgabe 1e: Eine Tangente am Graph einer Funktion f an einer Stelle x0 (hier: x0 = 2) ist eine Gerade g, die an dieser Stelle den Graph von f schneidet (also g(x0)= f(x0)) und hier auch dieselbe Steigung hat, wie f (also gʹ(x0) = f ʹ(x0)). In dieser Aufgabe ist nur die Steigung gefragt. Um daraus eine vollständige Geradengleichung zu bestimmen, setzt man in die allgemeine Geraden-gleichung y = m·x+t die Steigung m = f ʹ(x0) und die Koordinaten (x0| f(x0)) des Tangenten- punktes ein, um den Parameter t zu bestimmen.

Zu Aufgabe 2b: Wenn es in der

Analysis um Neigungswinkel von Funktionsgraphen geht, immer an der

entsprechenden Stelle x zuerst die Steigung m = fʹ(x)

bestimmen und dann den Winkel über die Umkehrfunktion des Tangens berechnen: α = tan−1(m) = tan−1(f ʹ(x)).

4 P.

3 P.


2. a)(2) blahb)(5) blah

Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird diein RR definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt (0|2)hat und durch den Punkt

(4

∣∣∣f (4))

verläuft.c)(4) Ermitteln Sie den Term q(x) der Funktion q, ohne dabei zu runden.

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

2. a)(2)b)(5)c)(4)d)(3) Für jedes x ∈ ]0 ; 4[ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte(

x∣∣∣q(x)

)und

(x

∣∣∣f (x))

der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereichq(x) > f (x) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabelden Graphen Gf im Bereich 0 ≤ x ≤ 4 annähert. Beschreiben Sie die wesentlichenSchritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.

′

6 P.

3 P.

AUFGABENGRUPPE 2

Prüfungsteil B, Analysis ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt,der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwanddurch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnel-bodens liegt dabei auf der x -Achse, sein Mittelpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems;eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für denTunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

I Breite des Tunnelbodens: b = 10 mII Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h = 5 m

III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 mmindestens 4 m hoch. M

h

b

1. Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktionp : x �−→ −0,2x 2 + 5 mit Definitionsbereich Dp = [−5 ; 5].

a)(6) Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berech-nen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linkeTunnelwand auf den Tunnelboden trifft.

(??)

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒ ±

⇐⇒ 1. a)(6) blah

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand d(x) der GraphenpunktePx

(x

∣∣∣p(x))

vom Ursprung des Koordinatensystems.

b)(3) Zeigen Sie, dass d(x) =√

0,04x 4 − x 2 + 25 gilt.

(??)

√

√

√

(

)

√

Motivationspause „Wieviel ist fünf mal fünf, Sandra?“ – „Fünf mal fünf ist fünfundzwanzig.“ - „Recht gut, Sandra.“ – „Wieso recht gut? Besser geht‘s nicht!“

18 19

Zu Aufgabe 1a:Bei mehrteiligen

Aufgabenstellungen, immer eins nach dem anderen bearbeiten: hier zuerst die Breite

des Tunnels bestimmen, dann die

Höhe des Tunnels und schließlich noch den Neigungswinkel

der Tunnelwand.

TOMS TIPP

5 P.

5 P.

1. a)(6) blahb)(3) blahc)(5) Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist.

Bestimmen Sie die x -Koordinaten der Punkte Px , für die d(x) minimal ist, undgeben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.

(??)√

⇐⇒ ′

′ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ±

√

⇐⇒ ±√

±

√

√

√

√

√

√

′

√

√

(±√

)√

(±√

)(±√

)

√

√

⇐⇒

2. Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunk-tion vom Typ k : x �−→ 5 · cos(c · x) mit c ∈ RR und Definitionsbereich Dk = [−5 ; 5], beider offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

a)(5) Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damitden Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels.

(zur Kontrolle: c = π

10 , Inhalt der Querschnittsfläche: 100π

m2)

(??)

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

∫

∫ (

)

∫

[

]

(

) ⇐⇒

2 P.

5 P.

2. a)(5) blahb)(2) Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1

noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist.

(??)

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒ √

√

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒ (

)

⇐⇒ (

)

⇐⇒∣∣∣∣

∣∣∣∣

⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

3. Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingun-gen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion f : x �−→

√25 − x 2 mit Definitionsbereich

Df = [−5 ; 5].a)(5) Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand

von der Bodenmitte M den Abstand 5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in einKoordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: −5 ≤ x ≤ 9,−1 ≤ y ≤ 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch BedingungIII erfüllt ist.

(??)

√

√

(√

)

√

√

⇐⇒

zu Aufgabe 3a:Divide et impera:

Nicht von der langen Aufgabenstellung

einschüchtern lassen, sondern die

drei Anweisungen getrennt bearbeiten!

TOMS TIPP

zu Aufgabe 2b:Hier wird (wie schon

bei Aufgabe 1) die Achsensymmetrie zur y-Achse benutzt, um

die Tunnelbreite durch Verdoppelung

der rechten Nullstelle zu bekommen.

TOMS TIPP

Motivationspause Es ist Funktionen-Party. Tan(y), Log(x) et cetera sind gut drauf, tanzen und lachen. Nur Exp(x) steht einsam in der Ecke. Log(x): „Was ist denn los?“ Exp(x): „Ich ver-suche mich ja zu integrieren, aber es kommt immer dasselbe dabei raus...“

20 21

Zu Aufgabe 1c: Hier wurden die Minima über die Monotonie bestimmt; prinzipiell geht die Extremwertbestimmung auch über die 2. Ableitung, aber die Monotonie zeigt zusätzlich, dass hier keine Randminima auftreten können. Allgemeines Rezept für die Monotonieuntersuchung:1) Nullstellen der Ableitung bestimmen2) Vorzeichen der Ableitung zwischen den Nullstellen und an den Rändern tabellieren3) Rückschlüsse auf den Graphen von f ziehen.

WIE BESTIMMT MAN DAS MONOTONIEVERHALTEN EINER FUNKTION?

5 P.

4 P.

3 P.

2 P.


± √ ±

√

√

⇐⇒

⇐⇒

3. a)(5) blah

Betrachtet wird nun die Integralfunktion F : x �−→x∫

0

f (t) dt mit Definitionsbereich

DF = [−5 ; 5].b)(5) Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass F (5) = 25

4 π gilt.Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F . Entscheiden Sie, welcher diesist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beidenanderen Graphen nicht infrage kommen.

x

y

0

−20

20

−5 5

A

x

y

0

−20

20

−5 5

B

x

y

0

−20

20

−5 5

C

(??)

∫

(

)

�

∫

∫

⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒

3. a)(5) blahb)(5) blahc)(2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels

bei einer Modellierung mit f von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht.

(??)

(

)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

⇐⇒

∣∣∣

∣∣∣

3. a)(5) blah

b)(5) blah

c)(2) blah

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profildes Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung y = − 4

3x + 12modelliert.

d)(4) Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Graphen von f im Punkt R(4

∣∣∣f (4))

parallelzu g verläuft. Zeichnen Sie g und t in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.

(??)

′

√ √

′

√

⇐⇒ ⇐⇒

3. a)(5) blah

b)(5) blah

c)(2) blah

d)(4) blah

e)(3) Der Punkt R aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der imbetrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand e in Metern hat.Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Er-mittlung von e.

(??)

⇐⇒

Motivationspause „Ich bin Meister im Schnell-rechnen.“ – „Okay, was gibt 69 . 35?“ – „9“ – „Das war falsch.“ – „Aber schnell.“

TOMS TIPP

22 23

Zu Aufgabe 3b: Für die Begründung kannst du auch die Krümmung der drei

Graphen betrachten: Da der Graph von f (also die

Tunnelwand) zum rechten Rand hin monoton fällt, gilt

dort f ʹ < 0, also F ʹʹ < 0

(denn F ist Stammfunktion

von f, d. h. Fʹ = f ). Somit muss der

Graph von F in der rechten Hälfte

rechtsgekrümmt sein, was für A und B, aber

nicht für C gilt.

TOMS TIPP

2 P.

2 P.

2 P.

4 P.

AUFGABENGRUPPE 1

Prüfungsteil B, Stochastik ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

3 P.

7 P.

Zu Aufgabe 1d: Achte darauf, dass du in der richtigen Tabelle nachschlägst: in manchen stochastischen Tabellensammlungen gibt es neben der hier gebrauchten kumulierten Binomialverteilung noch die nicht-kumulierte Binomialverteilung und (häufiger) die Standardnormalverteilung (ohne Parameter p und n). Zur kumulierten Binomialverteilung gibt es für unterschiedliche n jeweils eigene Tabellen, z. T. über mehrere Seiten, also erst oben im Titel nach der kumulierten Binomialverteilung Ausschau halten, dann die Tabelle zum richtigen n finden.

WIE SCHLÄGT MAN WAHRSCHEINLICHKEITEN IN STOCHASTISCHEN TABELLEN NACH?


Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlenzu erhöhen. Bei 100 000 der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wirdauf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von denGewinnmarken sind 12 000 jeweils 5 € wert, der Rest ist jeweils 1 € wert. Alle Flaschen derWerbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus derWerbeaktion betrachtet.

1. Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:A: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“B: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“

a)(2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B).

1. a)(2) blah

b)(2) Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt,ob das Ereignis A eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungs-weise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.

1. a)(2) blahb)(2) blah

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets P(A) = 0,05 und P(B) = 0,044.c)(2) Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrschein-

lichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. keine

⇐⇒ ()

(

)

1. a)(2) blahb)(2) blahc)(2) blahd)(4) Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man min-

destens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5 % mindestenszwei Gewinnmarken zu finden.

∈

⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

�

⇐⇒

1. a)(2) blahb)(2) blahc)(2) blahd)(4) blahe)(3) Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der

20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.

blahNachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. DerGetränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede 20. Flasche eine Gewinnmarke enthält. Auf-grund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass derAnteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als 0,05 ist,und beschwert sich beim Getränkehersteller.

2.(7) Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von 200 zufällig ausgewählten Flascheneinen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flascheeine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05.“ auf einem Signifikanzniveau von1 % durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich derNullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfenund die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschlie-ßend unter der Annahme, dass im Mittel nur 3 % der Saftschorle-Flaschen eine Gewinn-marke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genusseiner kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.

⇐⇒

⇐⇒ ∈

⇐⇒

⇐⇒

24 25

Zu Aufgabe 2: Achtung bei den Hypothesentests: Hier ist die Nullhypothese mit „≥“ formuliert, manchmal aber auch mit „≤“ – dementsprechend hat der Ablehnungsbereich manchmal die Form {k; ... ;n}. In dem Fall kann man P(X ≥ k) für die verschiedenen k nicht direkt nachschlagen, sondern muss die Gegenwahrscheinlichkeit einsetzen: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).

3 P.

4 P.

5 P.

AUFGABENGRUPPE 2

Prüfungsteil B, Stochastik ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

4 P.

2 P.

2 P.

Zu Aufgabe 2a: Die „Dreimal-mindestens-Aufgabe“ ist eine Standardaufgabe im Abitur, deren Lösung du dir gut einprägen musst. Die häufigste Fehlerquelle ist, dass man beim Teilen durch den Logarithmus von p (hier: p = 0,75) vergisst, das Ungleichheitszeichen umzudrehen und das Ergebnis immer aufzurunden.

WIE LÖSE ICH DIE „DREIMAL-MINDESTENS-AUFGABE“?


1.(3) Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschlandjeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. 41 % aller Allergiker reagierten allergischauf Tierhaare.Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens 10 % der EinwohnerDeutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründen Sie Ihre Antwort.

⇐⇒

⇐⇒ 1.(3)

2. Nach einer aktuellen Erhebung leiden 25 % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie.Aus den Einwohnern Deutschlands werden n Personen zufällig ausgewählt.

a)(4) Bestimmen Sie, wie groß n mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlich-keit von mehr als 99 % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergieleidet.

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

(

)

⇐⇒ ()

⇐⇒

⇐⇒

auf größer

⇐⇒ 1.(3)

2. a)(4)b)(5) Im Folgenden ist n = 200. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Personen

unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie dieWahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße X höchs-tens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht.

√

√

√

⇐⇒

⇐⇒

3. Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwi-ckelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus derBevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von39,5 % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, soist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % positiv. Das Testergebnis istjedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrschein-lichkeit von 35 % ebenfalls positiv.

a)(4) Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch aufTierhaare reagiert.

(Ergebnis: 9 %

)

∩

∩

∩

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

3. a)(4)

b)(2) Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet;das Testergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diesePerson tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet.

∩

3. a)(4)b)(2)c)(2) Aus der Bevölkerung Deutschlands wird eine Person zufällig ausgewählt und getestet.

Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang mitdem Term 0,09 · 0,15 + 0,91 · 0,35 berechnet wird.

∩ ∩

[

]

zu Aufgabe 3: Das ist eine typische Aufgabe zum Thema

bedingte Wahrscheinlichkeit,

dazu brauchst du nurdie Formel

(sprich: die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A

unter der Bedingung B ist die W-keit, dass

A und B beide eintreten geteilt durch die W-keit,

dass die Bedingung erfüllt wird).

Manchmal kommt an dieser Stelle stattdes-

sen eine Aufgabezum Thema stochasti-sche Unabhängigkeit.

TOMS TIPP

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

26 27

4 P.

3 P.

AUFGABENGRUPPE 1

Prüfungsteil B, Geometrie ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

4 P.

4 P.

2 P.

Zu Aufgabe a: 1) einen Punkt als Zentrum wählen, Verbindungsvektoren zu den anderen 2 Punkten berechnen (das sind die Richtungsvektoren der Ebene)2) Normalenvektor aus den Richtungsvektoren bestimmen (mit Skalarprodukt und linearem Gleichungssystem oder mit dem Kreuzprodukt)3) die Koordinaten des Normalenvektors als Koeffizienten in die Ebenengleichung einsetzen; den letzten Koeffizienten frei lassen4) die Koordinaten eines Punktes der Ebene in die Gleichung einsetzen, um den letzten Koeffizienten zu bestimmen.

WIE BESTIMMT MAN DIE KOORDINATEN-GLEICHUNG EINER EBENE AUS 3 VORGEGEBENEN PUNKTEN?

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A(6|3|3), B(3|6|3) und C(3|3|6)das gleichseitige Dreieck ABC fest.

a)(4) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E , in der das Dreieck ABC liegt, in Normalen-form. (

mögliches Ergebnis: E : x1 + x2 + x3 − 12 = 0)

⇐⇒ ⇐⇒

◦

◦

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒ ∈

∈ ⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒ a)(4) blah

Spiegelt man die Punkte A, B und C am Symmetriezentrum Z (3|3|3), so erhält man diePunkte A′, B ′ bzw. C ′.

b)(3) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, im Koordi-natensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke [CC ′] senkrecht auf dieser Ebene steht.

A(6|3|3)⇐⇒ B(3|6|3)

⇐⇒ ⇐⇒ ′ ⇐⇒ ′

a)(4) blah

b)(3)

c)(4) Begründen Sie, dass das Viereck ABA′B ′ ein Quadrat mit der Seitenlänge 3√

2 ist.

′

′

√

√

′ ′

′′′ ′ ′′

⇐⇒ �

⇐⇒ �

√

a)(4)

b)(3)

c)(4) Begründen Sie, dass das Viereck ABA′B ′ ein Quadrat mit der Seitenlänge 3√

2 ist.

Der Körper ABA′B ′CC ′ ist ein sogenanntes Okta-eder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Qua-drat ABA′B ′ als gemeinsamer Grundfläche und denPyramidenspitzen C bzw. C ′.

d)(2) Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Vo-lumen 36 besitzt.

(√)

′′

⇐⇒ ′′

⇐⇒

′′′

⇐⇒

e)(4) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen denSeitenflächen ABC und AC ′B.

′

� ′

Motivationspause Unterricht: 9 . 7 = 63 Hausaufgabe: 8(x2–3y)=8x2–24yPrüfung: Ein Elch im Kongo sucht ein Überraschungsei. Berechnen Sie x!

28 29

zu Aufgabe a: In Teilaufgabe c)

braucht man keine dreidimensionale Anschauung, weil sich die Situation

ohne Informationsverlust

auch zweidimensional darstellen lässt,

darauf weist das Stichwort „Quadrat“ hin. Analog ist es mit

anderen ebenen Figuren (Kreis, Dreieck, etc.).

TOMS TIPP

4 P.

AUFGABENGRUPPE 2

Prüfungsteil B, Geometrie ABITUR

BAYERN ABITUR 2016

Für die Fernsehübertragung eines Fußballspiels wird über dem Spielfeld eine bewegliche Ka-mera installiert. Ein Seilzugsystem, das an vier Masten befestigt wird, hält die Kamera inder gewünschten Position. Seilwinden, welche die Seile koordiniert verkürzen und verlängern,ermöglichen eine Bewegung der Kamera.In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der x1x2-Ebene eineskartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte W1, W2, W3 und W4 beschreiben diePositionen der vier Seilwinden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in derRealität, d. h. alle vier Seilwinden sind in einer Höhe von 30 m angebracht.

Der Punkt A(45|60|0) beschreibt die Lage des Anstoßpunkts auf dem Spielfeld. Die Kamerabefindet sich zunächst in einer Höhe von 25 m vertikal über dem Anstoßpunkt. Um den Anstoßzu filmen, wird die Kamera um 19 m vertikal abgesenkt. In der Abbildung ist die ursprünglicheKameraposition durch den Punkt K0, die abgesenkte Position durch den Punkt K1 dargestellt.

a)(4) Berechnen Sie die Seillänge, die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss,um dieses Absenken zu ermöglichen, wenn man davon ausgeht, dass die Seile geradlinigverlaufen.

∣∣∣

∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣√

√

∣∣∣

∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣√

√

⇐⇒

⇐⇒


3 P.

⇐⇒

∣∣∣∣∣∣

◦

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

√

√

√

⇐⇒ (

√

)

⇐⇒ � ′

a)(4)

b)(3)

c)(4)

d)(2)

e)(4)

f)(3) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieserKugel an.Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.

⇐⇒

Merksatz zu Aufgabe e:

Bei Winkeln zwischen

Ebenen immer mit den

Normalenvektoren

arbeiten!

Motivationspause Dieser Moment, wenn deine Freunde nach dem Abi dis-kutieren, ob das Ergebnis 80 oder 79 war und du einfach -4 raus hast.

30 31

zu Aufgabe a: Allgemeines Rezept für den Abstand zweier Punkte:1) Verbindungsvektor der Punkte berechnen (Endpunkt minus Anfangspunkt)2) Betrag (Länge) des Verbindungsvektors berechnen (alle Koordinaten hoch 2 nehmen und zusammenzählen, dann die Wurzel ziehen).

TOMS TIPP

3 P.

7 P.

4 P.

a)(4) blah

Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß sollvon der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweiseVerkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunktbewegt, der in einer Höhe von 10 m über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunktdurch den Punkt K2 beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt K1 entlang

der Geraden g mit der Gleichung g : −→X = −→K1 + λ ·

3202

, λ ∈ RR, zum Punkt K2.

b)(3) Bestimmen Sie die Koordinaten von K2.(Ergebnis: K2(51|100|10)

)

∈ ⇐⇒

∈

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

a)(4)

b)(3)

c)(4) Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position desBalls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt B(40|105|0) beschrieben wird, mussdie Kamera gedreht werden. Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels.

◦

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

√

√

√

⇐⇒ (

√

)

a)(4)

b)(3)

c)(4) blah

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modelldurch den Punkt H(50|70|15) beschrieben.

d)(7) Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte W1, W2 und K2 festgelegten EbeneE in Normalenform und weisen Sie nach, dass H unterhalb von E liegt.

(Mögliches Teilergebnis: E : x2 + 5x3 − 150 = 0

)

Merksatz zu Aufgabe d:

Das Vektorprodukt (auch

Kreuzprodukt genannt)

zweier Vektoren liefert

einen dritten Vektor, der

auf beiden anderen

senkrecht steht. Mehr

dazu auf unserer Platt-

form. Alternativ kann

man auch (wie bei

Aufgabengruppe 1,

Aufgabe a) mit dem

Skalarprodukt und einem

linearen Gleichungssys-

tem einen Normalenvek-

tor bestimmen.

2 P.

⇐⇒

⇐⇒ ∈

∈ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

a)(4)

b)(3)

c)(4) blah

d)(7)

e)(2) Machen Sie plausibel, dass folgende allgemeine Schlussfolgerung falsch ist: „Liegender Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modellunterhalb der Ebene E , so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch [W1K2]und [W2K2] beschrieben werden, nicht berühren.“


Die hier aufbereiteten Prüfungsaufgaben sind typisch für Abiturprüfungsaufgaben in Bayern und eignen sich daher perfekt zur Vorbereitung auf dein erfolgreiches Abi. Aber keine Bange, so lang wird deine Prüfung nicht sein! In jedem Prüfungsteil wählt dein Lehrer eine der beiden Aufgabengruppen aus, die andere musst du nicht bearbeiten — damit fällt die Hälfte der Aufgaben weg.Eine gute Vorbereitung und viel Erfolg in der Prüfung wünschenTom & das gesamte Team von TOUCHDOWN Mathe

GESCHAFFT!

TOMS TIPP

32 33

zu Aufgabe d: Einen

Normalenvektor bekommt man

ausgehend von zwei Richtungsvektoren

am schnellsten mit dem

Vektorprodukt (=Kreuzprodukt), aber es geht auch mit einem kleinen

linearen Gleichungssystem,

das mit dem Skalarprodukt

aufgestellt wird:

v1 ◦ n = 0und

W1K2 ◦ n = 0.

Job - Touchdown Mathe · Laufbahn. Ob ein duales Studium zu dir passt, erfährst du im großen Test...

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