Jochen Ziegenbalg Elementare Zahlentheoriebaumeist/ext_pages/... · 2019. 12. 27. · •...

Elementare Zahlentheorie

Jochen Ziegenbalg

Beispiele, Geschichte, Algorithmen

. Auflage

Elementare Zahlentheorie

Jochen Ziegenbalg

ElementareZahlentheorie

Beispiele, Geschichte, Algorithmen

2., überarbeitete Auflage

Jochen ZiegenbalgInstitut für Mathematik und InformatikPädagogische Hochschule KarlsruheKarlsruhe, Deutschland

ISBN 978-3-658-07170-7 ISBN 978-3-658-07171-4 (eBook)DOI 10.1007/978-3-658-07171-4

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1. Auflage 2002: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main

Vorwort

Die „Erfindung“ des Zählens stellt eine der faszinierendsten Leistungen des menschlichen Geistes dar; Zahlen und Zahlschreibweisen sind eng mit unserer Kulturgeschichte verwoben. Ohne Zahlen gäbe es (ob zum Besseren oder zum Schlechteren sei dahingestellt) keine Mathematik, keine Naturwissenschaften, keine Technik, keine Medizin und keine Ingenieurwissenschaften in der Form, wie wir sie kennen. Die vom Menschen geprägte Welt wäre eine völlig an-dere.

Zahlen sind einfach und kompliziert zugleich. Das Zählen stellt sich beim Menschen „fast automatisch“ ein; die meisten Kinder können schon zählen, bevor sie in die Schule kommen. Aber die Zahlen sind zugleich auch der Stoff, der (zusammen mit der räumlichen Anschauung) den menschlichen Geist zur Konstruktion gedanklicher Gebäude anregt, deren Untersuchung zu den hochgradig abstrakten Strukturen der modernen Mathematik geführt hat.

Zahlen sind zugleich anschaulich und abstrakt. Vermutungen über zahlentheo-retische Gesetzmäßigkeiten entstehen oft durch das Betrachten von konkreten Beispielen und insbesondere von strukturierten Punkt- oder Flächenmustern, den sogenannten „figurierten“ Zahlen. Der Satz des Pythagoras gab so Anlass zur Fermatschen Vermutung, welche die Mathematiker Jahrhunderte lang be-schäftigte und die Entwicklung zur modernen abstrakten Algebra maßgeblich beeinflusste.

Zahlen machen Spaß. Spiele mit Zahlen und Zahlenrätsel faszinieren immer wieder Menschen aus allen Altersschichten und mit der unterschiedlichsten Vorbildung.

Das Thema „Zahlen“ ist zugleich alt und jung. Schon die frühesten mensch-lichen Kulturen verfügten über Zahlen (man kann sich fragen, ob es ohne Zahlen überhaupt menschliche Kulturen gegeben hätte) und einige der bemer-kenswertesten jüngsten Ergebnisse der Wissenschaft sind Ergebnisse über Zahlen.

Ein besonderes Merkmal dieser Einführung in die elementare Zahlentheorie ist nicht zuletzt auch die bewusste inhaltliche Beschränkung. Der Umfang dieser Darstellung entspricht etwa dem, was ich im Sommersemester in einer einfüh-renden Basisvorlesung von zwei Semesterwochenstunden behandeln kann. Im

VI VORWORT

Rahmen eines modular aufgebauten Vorlesungsprogramms ist dies ein Bau-stein, auf dem andere Lehrveranstaltungen aufbauen können.

Möglichkeiten zur Weiterführung, Vertiefung und zum Ausbau sind in vielfäl-tiger Weise gegeben; hier einige Anregungen:

• Faszination Zahl: Figurierte Zahlen, Fibonacci Zahlen, Pythagoreische Zahlen, Zahlen und Kombinatorik

• Zahlen in Natur und Kultur: der Goldene Schnitt, Phyllotaxis (die Lehre von den Blatt-Ständen von Pflanzen), Zahlen und Kalender (historisches Beispiel: die Ermittlung des Osterdatums nach Gauß)

• Praktische Anwendungen: Prüfziffern (EAN, ISBN, ...), Geheimcodes, Verschlüsselungssysteme (insbesondere: Public Key Cryptography, RSA Verfahren), Primzahltests, Kalenderrechnungen, Planung von Tournieren

• Zahlentheoretische Spielereien: Kartentricks mit zahlentheoretischen Er-klärungen, Auszählverfahren, Magische Quadrate, Zahlentheorie zur Er-mittlung von Gewinnstrategien in Spielen aller Art (z.B. NIM)

• Bruch-Zahlen: ägyptische Brüche, Dezimal- und Systembrüche, Kettenbrü-che, Irrationalität, Kommensurabilität

• Zahlentheoretische Vertiefungen: Diophantische Gleichungen, zahlentheo-retische Funktionen, Primzahlsätze, Siebmethoden, Gitterpunktverfahren, quadratische Reste, p-adische Zahlen

• Algebra: Restklassenringe, Gruppe der primen Restklassen, Quadratische Erweiterungen, Ring der Gaußschen Zahlen, Polynomringe, Euklidische Ringe, Hauptidealringe, faktorielle Ringe, Integritätsringe

• Zahlentheorie und Informatik bzw. algorithmische Zahlentheorie: Algorith-men in der Zahlentheorie, Zahlentheorie in Codierung und Kryptologie, computerbasierte Experimente in der Zahlentheorie, internetbasierte Metho-den in der Zahlentheorie (wie z.B. das Projekt GIMPS − Great Internet Mersenne Prime Search)

• Geschichte der Mathematik: Entstehung der Zahlensysteme, zahlentheo-retische Fragestellungen in Antike, Mittelalter, Renaissance und Neuzeit

Sowohl zum Basistext als auch zu den weiterführenden Themen habe ich im Internet neben themenbezogenen Computeralgebra-Quelltexten auch eine Rei-he interaktiver Seiten zum Experimentieren zur Verfügung gestellt. Näheres dazu ist im „Verzeichnis der internetbasierten Materialien des Autors“ im An-

VORWORT VII

schluss an das Abbildungsverzeichnis zusammengestellt; grundsätzlich sind alle diese Materialien unter der Adresse www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de (als „Wurzel“) zu finden.

Der vorliegende Text ist aus einem Manuskript zu meiner Vorlesung „Basis-wissen Zahlentheorie“ am Institut für Mathematik und Informatik der Pädago-gischen Hochschule Karlsruhe hervorgegangen. Er stellt einen ersten Einstieg in die Zahlentheorie dar und ist, wie oben erläutert, die Basis für vielfältige Ausbaumöglichkeiten.

Bei der Überarbeitung des Buches konnte ich auch Erfahrungen einfließen lassen, die ich im Zusammenhang mit der von der Humboldt Universität zu Berlin organisierten Sommerschule „Lust auf Mathematik“ und mit Schüler-gruppen des Heinrich-Hertz-Gymnasiums in Berlin gewinnen konnte.

Die Voraussetzungen für das Verständnis dieses Buchs sind bewusst niedrig gehalten. Einige Details zum Thema „Vorwissen“ sind kompakt in den An-hängen zusammengestellt. In Anhang 8.1 sind die in diesem Buch verwende-ten Beweisprinzipien aufgeführt. Anhang 8.2 kann auch als kleine Einführung in das Prinzip der vollständigen Induktion genutzt werden. Zielgruppe des Buches ist nicht die „scientific community“ sondern es sind Leser, die sich nicht unbedingt als Berufsmathematiker verstehen. Die Bereitschaft zum Mit-denken und Mitarbeiten muss für eine sinnverstehende Lektüre des Buches allerdings vorhanden sein.

Von Ludwig Wittgenstein stammt der Ausspruch „Wenn du wissen willst, was ein Satz besagt, schau nach, was sein Beweis beweist“. So richtig dies grund-sätzlich ist, so ergänzungsbedürftig ist es im Hinblick auf das Erlernen von Mathematik bei Menschen, die erst am Anfang ihres mathematischen Lebens-wegs stehen. Formale mathematische Beweise sind für sie oft undurchsichtige Rituale. Wirkliches Verständnis kommt bei ihnen selten aus einem abstrakten Beweis sondern viel öfter aus einem gut ausgewählten, typischen Beispiel. Die richtigen Beispiele auszuwählen, ist eine Kunst; gute Beispiele geben der Mathematik etwas von der Sinnlichkeit des Lebens. Manche Wissenschafts-Schulen der Mathematik sind geneigt, die Bedeutung von Beispielen herun-terzuspielen. Für die Phasen des Mathematik-Lernens meine ich aber im Ge-gensatz dazu, dass die Bedeutung guter Beispiele kaum überbetont werden kann.

VIII VORWORT

Zum Adressatenkreis dieses Buches gehören natürlich auch die Studierenden, insbesondere in den Lehramtsstudiengängen. Der Zielgruppe entsprechend, stand bei der Konzeption die Redundanzfreiheit des Textes nicht im Vorder-grund. Viele formal sehr kompakt beschreibbare Begriffe wurden durch er-läuternde Beschreibungen, durch geeignete Beispiele oder durch graphische Veranschaulichungen verständlich gemacht.

Das Interesse am Thema „Zahlen“ scheint universell zu sein. Kürzlich war ich bei einer Hochzeit eingeladen. Das Datum bot sich an, um spontan eine Ver-bindung zu den „perfekten Zahlen“ herzustellen. Im Laufe des Abends wurde ich dann immer wieder von verschiedenen Hochzeitsgästen gebeten, die voll-kommenen Zahlen noch etwas näher zu erläutern. Bei vielen Menschen ist also offenbar ein ganz natürliches Bedürfnis da, etwas mehr über die Zahlen zu erfahren als sie von ihrer Schulzeit her wissen.

Meinen Kollegen Kurt Neubert (Reutlingen) und Erich Wittmann (Dortmund) bin ich für viele und vielfältige Anregungen und Diskussionen inhaltlicher und methodologischer Art dankbar.

Für die verlegerische Unterstützung bei der vorliegenden Neuauflage dieses Buches danke ich Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch vom Verlag Springer Spektrum und ebenso Herrn Klaus Horn vom damals noch existierenden Ver-lag Harri Deutsch für die entsprechende Unterstützung bei der ersten Auflage.

Über Anmerkungen, Kommentare und Rückmeldungen aller Art freue ich mich. Per electronic mail bin ich unter der Adresse

[email protected]

erreichbar.

Berlin, im August 2014 Jochen Ziegenbalg

Inhaltsverzeichnis

1 Geschichtliches zu Zahl und Zahldarstellung ............................................... 1

1.1 Zahlen und Zahldarstellungen: Vorgeschichte .................................... 1

1.2 Die Entstehung von Mathematik und Zahlensystemen in den ersten Hochkulturen .................................................................. 2

1.3 Zur Entwicklung der schriftlichen Rechenverfahren......................... 15

1.4 Erste Höhepunkte der neuzeitlichen Entwicklung............................. 18

2 Die Division mit Rest und die Teilbarkeitsrelation..................................... 25

2.1 Die Division mit Rest ........................................................................ 25

2.2 Die Teilbarkeitsrelation ..................................................................... 29

2.3 Teilerzahl, Teilersumme, Multiplikativität........................................ 35

2.4 Perfekte, abundante, defiziente und befreundete Zahlen................... 37

3 Euklidischer Algorithmus, größter gemeinsamer Teiler (GGT), kleinstes gemeinsames Vielfaches (KGV).................................................. 39

3.1 Begriffsbeschreibung von GGT und KGV ........................................ 39

3.2 Der Euklidische Algorithmus ............................................................ 41

3.3 Exkurs: Paradigmatisches Beweisen und Visualisierung ................. 52

4 Primzahlen................................................................................................... 55

4.1 Der Begriff der Primzahl ................................................................... 55

4.2 Die Unendlichkeit der Primzahlmenge.............................................. 56

4.3 Die Suche nach Primzahlen: Das Sieb des Eratosthenes.................. 60

4.4 Primeigenschaft und Unzerlegbarkeit................................................ 62

4.5 Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie ............................................ 66

4.6 Die kanonische Darstellung der Primfaktorzerlegung....................... 68

4.7 Fermatsche Zahlen............................................................................. 70

4.8 Mersennesche Zahlen ........................................................................ 71

4.9 Die Goldbachsche Vermutung........................................................... 75

4.10 Formeln und Polynome für Primzahlen............................................. 76

4.11 Die Verteilung der Primzahlen .......................................................... 77

X INHALTSVERZEICHNIS

5 Kongruenzen und Restklassen.....................................................................85

5.1 Die Kongruenzrelation.......................................................................85

5.2 Restklassenarithmetik ........................................................................90

5.3 Systeme linearer Kongruenzen und der Chinesische Restsatz ..........95

6 Stellenwertsysteme, Teilbarkeitsregeln und Rechenproben........................99

6.1 Stellenwertsysteme ............................................................................99

6.2 Stellenwertdarstellung und Kongruenzen ........................................104

6.3 Rechenproben – eine Anwendung mit historischer Bedeutung.......105

7 Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson ..................................................109

7.1 Die Eulersche ϕ-Funktion („Eulersche Totientenfunktion“) ...........109

7.2 Die Sätze von Euler und Fermat ......................................................113

7.3 Der Satz von Wilson – ein Primzahlkriterium.................................116

8 Anhänge.....................................................................................................119

8.1 Allgemeine Beweisprinzipien und Beweisverfahren.......................119

8.2 Axiomatische Beschreibung der natürlichen Zahlen und das Prinzip der vollständigen Induktion ...................................122

8.3 Mengentheoretische Grundbegriffe .................................................130

8.4 Zur Multiplikativität der Eulerschen ϕ-Funktion – ein ausführliches Beispiel .............................................................134

Abbildungsverzeichnis...................................................................................141

Verzeichnis internetbasierter Materialien des Autors ....................................144

Literaturverzeichnis........................................................................................145

Index...............................................................................................................153

1 Geschichtliches zu Zahl und Zahldarstellung

1.1 Zahlen und Zahldarstellungen: Vorgeschichte

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker (1823−1891)

Wenn man heute irgendwo auf der Welt den symbolischen Ausdruck 90217 sieht, so vermutet man (in der Regel meist zu Recht), dass es sich dabei um eine bestimmte Zahl im Zehnersystem handelt. Die Art und Weise, wie wir heute üblicherweise Zählen und die Zahlen aufschreiben, ist jedoch beileibe nicht selbstverständlich; sie hat sich erst im Laufe eines langen Entwicklungsprozesses herauskristalli-siert.

Ein wesentliches strukturelles Kennzeichen unserer Art und Weise, die Zahlen aufzuschreiben, ist die Methode der Stellenwertdarstellung. Sie wurde etwa im 6. Jahrhundert n. Chr., also menschheitsgeschicht-lich gesehen relativ spät, in Indien entwickelt und setzte sich danach erst im Verlaufe eines außer-ordentlich langwierigen historischen Prozesses durch. Eine entscheidende Voraussetzung dafür, dass eine konsequente Stellenwertdarstellung überhaupt mög-lich wird, ist die Existenz eines Symbols für das Nichts. Die Erfindung eines solchen Symbols in der Form der Zahl Null ist eine der großen Leistungen der indischen Mathematik.

Zunächst war die Zahlschreibweise jedoch rein addi-tiv. Man verwendete feste Symbole für bestimmte Zahlenwerte und setzte diese Symbole additiv neben-einander. Da es sich in der Frühzeit noch nicht um eine Stellenwertdarstellung handelte, spielte es z.B.

Abb. 1.1: Wolfsknochen mit Einkerbungen Quelle: siehe Abbildungsver-zeichnis

J. Ziegenbalg, Elementare Zahlentheorie, DOI 10.1007/978-3-658-07171-4_1 © Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

2 1 GESCHICHTLICHES ZU ZAHL UND ZAHLDARSTELLUNG

auch keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Zahlsymbole aufgeschrieben wurden.

Erste menschliche Zahldarstellungen (Einkerbungen in Tierknochen, Hölzern u.ä.) sind aus der Steinzeit bekannt. Ihr Alter wird auf etwa 20.000−30.000 Jahre geschätzt (vgl. Wußing 2008). Einer der ältesten Funde ist ein im Jahre 1937 in Dolni Véstonice (Unter-Wisternitz), in der damaligen Tschechoslowa-kei (Mähren), gefundener Wolfsknochen mit 55 Einkerbungen in zwei Serien mit jeweils 25 und 30 Kerben (vgl. Abb. 1.1). Sein Alter wird auf 12.000 bis 20.000 Jahre geschätzt.

Die Perioden der Steinzeit waren in grober Datierung:

Altsteinzeit (Paläolithikum): ab etwa 2 Mill. Jahren bis etwa 10. Jahrtau-send v. Chr.

Jungsteinzeit (Neolithikum): ab etwa 10. Jahrtausend bis etwa 4. Jahrtau-send v. Chr.

1.2 Die Entstehung von Mathematik und Zahlensystemen in den ersten Hochkulturen

Die Ägypter (ca. 3000–500 v. Chr.) verwendeten Zehnerpotenzen (Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, ...) zur Darstellung der natürlichen Zahlen.

Ihre Zahlschreibweise war jedoch rein additiv und enthielt noch keine Ele-mente einer Stellenwertdarstellung. Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen führten sie mit Hilfe eines sehr effizienten Verfahrens der Halbierung

1 10 100 1000 10000 100000 1000000 133FA 13386 13362 131BC 130AD 13190 13068 Strich Joch

für Rind

Seil-rolle

Lotus, Wasser-

lilie

Finger Kaul-quappe, Frosch

Gott der Unendlich-

keit

Abb. 1.2: Ägyptische Zahlzeichen mit ihren Unicode Werten in der 3. Zeile (zum Thema "Unicode": vgl. Kapitel 6)

1.2 MATHEMATIK UND ZAHLENSYSTEME IN DEN ERSTEN HOCHKULTUREN 3

und Verdopplung durch. Sie entwickelten eine interessante Form der Bruch-rechnung. Aufgrund ihrer Notation konnten sie (mit Ausnahme des Bruches

3

2 ) nur „Stammbrüche“ aufschreiben, also nur Brüche der Form n

1. Dies

führte zu dem folgenden Problem (in moderner Sprechweise): Wie kann man einen beliebigen Bruch möglichst „optimal“ als eine Summe von Stamm-brüchen darstellen? Dabei entsteht automatisch die Frage, welche Optimali-tätskriterien man hierbei zugrunde legen sollte. Algorithmische Fassungen der ägyptischen Multiplikation und Bruchrechnung sind in Ziegenbalg 2010, Ab-schnitt 4.1.2 und 5.3, in größerem Detail dargestellt.

Griechische Geschichtsschreiber (Herodot, Demokrit) berichten, dass die ägyptischen Landvermesser das „gespannte Seil“ als Werkzeug benutzten. Es wird vermutet, dass ein Seil mit den durch Knoten markierten äquidistanten Teilungen an den Teilungspunkten 3, 4 und 5 in geeigneter Form von drei Seilspannern („Harpedonapten“) auseinander gezogen wurde, um einen rech-ten Winkel zu erzeugen. Die ägyptischen Seilspanner wandten somit schon sehr früh den erst später voll formulierten und bewiesenen Satz des Py-thagoras an (genauer: sie nutzten die Umkehrung des pythagoreischen Satzes).

Die Babylonier (ca. 3000–200 v. Chr.) verfügten über eine für diese Zeit außerordentlich hochstehende Mathematik. Die Basis des numerischen Rech-nens bildete ein Sechzigersystem, das bereits deutliche Ansätze eines Stellen-wertsystems aufwies (es fehlte im wesentlichen nur ein Symbol für die Null).

Abb. 1.3: Die ägyptische Seilspanner-Methode (der "Harpedonapten") zur Erzeugung eines rechten Winkels


Dieses Zahlensystem war den anderen Zahlensystemen in der Antike derart überlegen, dass es auch in späteren Zeiten und anderen Kulturen für wissen-schaftliche Arbeiten verwendet wurde – so z.B. von dem um etwa 100 n. Chr. in Alexandria wirkenden hellenistischen Mathematiker und Astronomen Klau-dios Ptolemaios der mit seinem Almagest das bedeutendste astronomische Werk der Antike schuf. Auf dieses babylonisch-ptolemäische Sechziger-system geht z.B. noch die in unserer Zeitrechnung (und unseren Uhren) ver-wendete Sechziger-Teilung zurück.

Die Babylonier waren weiterhin gute „Algebraiker“ (der Begriff der Algebra wurde jedoch erst sehr viel später geprägt). Eine Keilschrift aus der Epoche von Hammurapi (um ca. 1700 v. Chr.) dokumentiert ihre Fähigkeit, Quadrat-wurzeln auf eine sehr effiziente Weise zu ziehen und quadratische Gleichun-gen zu lösen.

Die Chinesen (die kulturgeschichtliche Entwicklung setzte ab etwa 2000 v. Chr. ein) verwendeten für das Rechnen eine Form des Abakus (ein frühes Recheninstrument), den sogenannten Suan-pan, der in seiner Urform bis in das 11. Jahrhundert v. Chr. zurückverfolgt werden kann. Eine weiterentwickelte

Abb. 1.4: Babylonische Keilschrift-Zahlzeichen Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis


Version dieses Abakus war noch bis vor wenigen Jahren in vielen Regio-nen Asiens in Gebrauch. Dieser Aba-kus kann durchaus als eine der frü-hesten Urformen des modernen Com-puters angesehen werden.

Die Chinesen entwickelten besondere Fähigkeiten zum Lösen von Systemen linearer Gleichungen und simultaner Kongruenzen (vgl. Kapitel 5). Sie ver-fügten über ein algorithmisch durch-gearbeitetes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Der heute als Chinesischer Restsatz bekannte mathematische Satz von großer Bedeutung in Algebra und Zahlentheorie geht auf Sun-Tse (etwa 3. Jahrhundert n. Chr.) zu-rück. Eine typische Aufgabe, die mit diesen Kenntnissen gelöst wurde, lautete (vgl. Scheid 1972):

Eine Bäuerin geht mit einem Korb Eier auf den Markt. Ein Pferd tritt auf den Korb und alle Eier zerbrechen. Der Rei-ter will für den Schaden aufkommen und fragt, wieviel Eier im Korb waren. Die Bäuerin erinnert sich nicht genau, sie weiß nur noch folgendes: „Wenn ich die Eier zu je zwei, drei, vier, fünf oder sechs aus dem Korb nahm, blieb jedesmal ge-nau eines übrig. Wenn ich sie aber zu je sieben aus dem Korb nahm, blieb keines übrig.“

Die Maya (ab dem 3. Jahrtausend v. Chr.), eine mittelamerikanische Hochkultur der Frühzeit, verfügten über ein sehr gut ent-wickeltes Zahlensystem (zur Basis 20), das sie insbesondere auch für ihre präzisen Ka-lenderberechnungen nutzen konnten.

Abb. 1.5: Chinesisches Rechengerät Suan-pan Quelle: siehe Abbildungs- verzeichnis

Abb. 1.6: Zahlzeichen der Maya Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis


P. Beckmann schreibt in dem Buch A History of π (1971) „... it is clear that with a positional notation closely resembling our own of today, the Maya could outcalculate the Egyptians, the Babylonians, the Greeks, and all Europe-ans up to the Renaissance“.

Unter den Griechen (die Epoche der griechischen Antike umfasst etwa den Zeitraum von 800 v. Chr. bis 600 n. Chr.) setzte eine erhebliche Vertiefung und die erste systematische „wissenschaftliche“ Beschäftigung mit der Mathe-matik ein. Sie prägten auch den Begriff der Mathematik; für sie bedeutete

mathema: das Lernen, die Kenntnis, die Wissenschaft

Im Folgenden sind die Beiträge einzelner herausragender griechischer For-scherpersönlichkeiten dargestellt – vorrangig (aber nicht ausschließlich) aus der Perspektive der Zahlentheorie.

• Thales von Milet (ca. 624–547 v. Chr.) war Kaufmann, erster griechischer Astronom, Mathematiker und Philosoph. Auf seinen ausgedehnten Reisen lernte er die assyrisch-babylonische Astronomie des Zweistromlandes kennen.

Thales von Milet war einer der ersten, die versuchten, mathematische Sätze „streng“ zu beweisen und ihre Begründung nicht einfach der Anschauung oder der Empirie zu überlassen.

• Pythagoras von Samos (ca. 569–475 v. Chr.) war in der Antike eher als Mystiker, Prophet und Begründer eines Geheimbundes denn als Mathematiker bekannt. Die Schule (oder besser: der Geheimbund) der Pythagoreer beschäf-tigte sich mit Harmonielehre und elementarer Zahlentheorie (pythagoreische Zahlentripel, vollkommene und befreundete Zahlen, figurierte Zahlen, Lehre von Gerade und Ungerade). Erkennungszeichen des Geheimbundes der Py-thagoreer war das aus den Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks gebildete Sternfünfeck (Pentagramm), für dessen Konstruktion der Goldene Schnitt eine Rolle spielt. Die später erkannte Inkommensurabilität von Seite und Diago-nale des Pentagramms führte zu einer philosophischen Grundlagen-Krise. Ob der „Satz des Pythagoras“ wirklich von Pythagoras stammt, muss eher als un-gewiss angesehen werden. Die Mathematiker Theodorus, Theaitetos und Eu-doxos waren maßgeblich an der Ausformung und Vervollkommnung der py-thagoreischen Ideen beteiligt.

• Theodorus von Kyrene (ca. 465–398 v. Chr.) bewies, unter Verwendung der „Wurzelschnecke" (in unserer heutigen Sprache formuliert) die Irrationalität


der Zahlen 3 5 17, , , . Als wesentliches Hilfsmittel verwendete er die später auch von Euklid im „Euklidischen Algorithmus“ eingesetzte Methode der Wechselwegnahme.

• Theaitetos von Athen (ca. 417–369 v. Chr.) schuf, aufbauend auf Theodorus, eine umfassende Lehre von den Irrationalitäten. Seine Ergebnisse bilden den Inhalt des Buches X der „Elemente“ des Euklid.

• Eudoxos von Knidos (ca. 408–355 v. Chr.) ist der Begründer der Größen- bzw. Proportionenlehre – unter Einbezug auch irrationaler („inkommensurabler“) Größen. Wesentliche Ergebnisse von ihm gingen in Buch V und XII der Elemente des Euklid ein. Die später von Archi-medes zur Bestimmung des Flächeninhalts von Parabelsegmenten herangezo-gene und für die moderne Analysis (Integralrechnung) bedeutsame Exhau-stionsmethode geht auf Eudoxos zurück.

• Euklid1 von Alexandria (ca. 325–265 v. Chr.) wird heute als Autor des enzyklopädischen Werks „Die Elemente“ angesehen. Die Existenz seiner Per-son bleibt jedoch im Dunkeln. Es wird gelegentlich sogar die These vertreten, dass es sich bei Euklid nicht um einen einzigen sondern um eine Gruppe von Autoren handelt. Insgesamt scheinen Mathematikhistoriker mehrheitlich aber

1 Die Geschichte der Wissenschaft kennt zwei Männer des Namens Euklid: Den um 400 v. Chr. lebenden Philosophen aus Megara und den etwa ein Jahrhundert später in Alexandria wirkenden Mathematiker. Über letzteren berichtet sein Kommentator Proklos Diadochos (um 450 n. Chr.): Wenig jünger als diese Mathematiker der Akademie ist Euklid, der die Elemente schrieb, der dabei vieles aus Eudoxos ver-wendete, vieles von Theaitetos Behandelte zum Abschluss brachte und, was von den Früheren nur oberflächlich dargestellt war, durch unanfechtbare Beweise stützte. Dieser Mann lebte zur Zeit des ersten Ptolemaios (*), denn Archimedes, der nach dem ersten kam, erwähnt den Euklid; auch erzählt man, dass Ptolemaios ihn einmal nach einem kürzeren Weg durch die Geometrie als das Elementwerk gefragt habe; er habe darauf geantwortet, einen besonderen Zugang für Könige zur Geometrie gebe es nicht. (nach Clemens Thaer 1991, S 415) (*) Der erste von insgesamt 15 hellenistisch geprägten Herrschern Ägyptens nach dem Zerfall des von Alexander dem Großen eroberten Weltreichs

2 1

2

3

Abb. 1.7: Die Wurzel-schnecke des Theodorus von Kyrene


der Auffassung zu sein, dass ein Mathematiker namens Euklid in Alexandria wirkte, also in der von Alexander dem Großen gegründeten Stadt, die sich rasch zu einem bedeutenden Wissenschaftszentrum der Antike entwickelte. Er fasste das gesamte mathematische Wissen seiner Zeit in den „Elementen“ zu-sammen, einem aus dreizehn Büchern bestehenden Werk, das vielfach als eines der einflussreichsten Bücher der gesamten Weltliteratur bezeichnet wird und das mitunter bis ins 19. Jahrhundert hinein unverändert als Lehrbuch für Mathematik verwendet wurde. (Es war zweifellos das langlebigste und eines der erfolgreichsten Lehrbücher aller Zeiten.) In diesem Buch, das uns nur in-direkt über Bearbeitungen und Kommentare seiner Nachfolger bekannt ist, trug er vieles von dem Wissen seiner Vorgänger zusammen und fügte eigene Erkenntnisse hinzu. Was im Einzelfall von ihm selbst stammt und was er übernommen hat, ist nicht immer mit Sicherheit zu sagen. Das auf dem Prin-zip der Wechselwegnahme basierende Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen ist heute untrennbar mit sei-nem Namen verbunden (Euklidischer Algorithmus) – ebenso wie der Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Euklid verwendet sogar genauer die folgende hochinteressante Formulierung, mit der er den Begriff der („aktual“) unendlichen Menge vermeidet (Neuntes Buch, §20): Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.

• Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) war zweifellos der größte Wissenschaftler des Altertums und einer der größten Wissenschaftler aller Zeiten (Zitat nach van der Waerden 1966). Er nahm durch die systematische Anwendung der Exhaustionsmethode zur Ermittlung des Flächeninhalts von Parabelsegmenten die erst weit über tausend Jahre später formulierten Grund-ideen der Integralrechnung vorweg. Durch genialen Einsatz des Hebelgesetzes gelang es ihm, das Volumen der Kugel zu bestimmen. Eingekleidet in die Aufgabe, alle Sandkörner im Universum zu zählen, entwickelte er mit dem „Sandrechner“ eine Systematik, um beliebig große Zahlen darzustellen (für die Griechen war ansonsten die Myriade, also 10.000, die größte benannte Zahl.)

• Eratosthenes von Kyrene (ca. 276–194 v. Chr.) lehrte, dass die Erde eine Kugel sei. Er bestimmte den Erdumfang mit erstaunlich hoher Genauigkeit auf 250000 „Stadien“. Dies entspricht etwa der Strecke von 46000 Kilometern (heute wird als Wert für den Umfang des Äquators das Maß von 40075 Kilo-metern verwendet). Sein Name ist in der Zahlentheorie verbunden mit dem Sieb des Eratosthenes, dem Verfahren zur Ermittlung von Primzahlen.


• Apollonius von Perge (ca. 262–190 v. Chr.) war nach Archimedes einer der kreativsten Mathematiker der griechischen Antike. Er verfasste ein berühmtes achtbändiges Werk über Kegelschnitte (die Konika), in dem er – ohne Ko-ordinatengeometrie und Formeln – als erster die einheitliche Herleitung aller Kegelschnitte durch ebene Schnitte ein und desselben Kegels beschrieb.

• Heron von Alexandria lebte um etwa 60 n. Chr. Seine Werke stellen eine Art Enzyklopädie in angewandter Geometrie, Optik und Mechanik dar. Sie haben oft den Charakter einer Formelsammlung. Viele der ihm zugeschriebe-nen Formeln und Verfahren waren schon vorher bekannt – so soll die „Heron-sche Formel“ für den Flächeninhalt von Dreiecken von Archimedes stammen; das „Heron-Verfahren“ zum Wurzelziehen wurde schon Jahrhunderte vorher von den Babyloniern praktiziert.

• Klaudios Ptolemaios (ca. 85–165 n. Chr.) schuf mit dem Almagest das bedeutendste astronomische Werk der Antike; er benutzte dafür die babylo-nischen Zahlen (also das 60-er System) und trug dadurch zu ihrer Verbreitung bei. Die Auswirkungen davon sind bis in unsere heutige Zeit festzustellen; am direktesten in der 60-er Teilung unserer heutigen Uhren oder auch in der Win-kelmessung (1 Stunde = 60 Minuten; 1 Vollkreis = 360 Grad).

• Diophantos von Alexandria (etwa 200−284 n. Chr.) knüpfte an die ba-bylonische Tradition der Algebra und Zahlentheorie an. Er entwickelte Ver-fahren zur Lösung ganzzahliger Gleichungen, die ihm zu Ehren heute als Dio-phantische Gleichungen bezeichnet werden. Sein Hauptwerk, die Arithmetika (ein 13-bändiges Werk, von dem sechs Bände in Griechisch erhalten sind), ist der einzige erhaltene umfassende Text zu Algebra, Arithmetik und Zahlen-theorie aus der griechischen Antike. Es beeinflusste maßgeblich die Ent-wicklung von Algebra und Zahlentheorie sowohl im arabisch-islamischen Kulturkreis als auch (wesentlich später) im christlichen Abendland.

Die Zahlschreibweise der Griechen hatte jedoch nicht den hohen Stand ihrer Mathematik (insbesondere ihrer Geometrie). Die griechische, auf Buchstaben basierende Zahlschreibweise eignete sich nicht zum Rechnen; Astronomen (wie Ptolemaios) verwendeten die babylonischen Zahlen für ihre umfangrei-chen Berechnungen. Und wenn es nicht um das konkrete Zahlenwerte ging sondern um allgemeine Aussagen („Gesetze“) zahlentheoretischer Natur, dann stellten sie sich die Zahlen sowieso als Strecken, Flächen oder Punktmengen („figurierte“ Zahlen) vor.


Den Indern verdanken wir unser Zehnersystem in seiner heutigen Form. Ihr entscheidender Beitrag zur vollen Ausbildung dieses Stellenwertsystems war die Verwendung eines Symbols für die Zahl Null („Erfindung der Null“). Die Entstehung der ersten indischen mathematischen Werke setzte ab etwa 500 n. Chr. ein. Die Inder waren darüber hinaus gute Algebraiker; sie entwickelten hochstehende Verfahren zum Lösen von Gleichungen.

Im Folgenden sind einige der führenden Forscherpersönlichkeiten aus dieser frühen Periode beschrieben:

• Aryabhata I schrieb etwa im Jahre 500 die für die Folgezeit einflussreiche Abhandlung Aryabhatiya über die indische Astronomie und Mathematik.

• Brahmagupta verfasste etwa im Jahre 628 das in Versen geschriebene Werk Brahmasphuta Siddhanta (Vervollkommnung der Lehre Brahmas), in dem er Themen aus Arithmetik, Algebra und Geometrie behandelte.

• Der von Bhaskara II um 1150 verfasste Siddhanta siromani (Der Kranz der Wissenschaften) stellt einen Höhepunkt der indischen Mathematik dar. In ihm wird das damalige Wissen in den Gebieten Arithmetik, Geometrie, Algebra und Astronomie zusammengefasst.

In den folgenden Zeilen ist die Verbreitung der „indischen“ Ziffern skizziert. Die Araber hatten an diesem historischen Prozess einen großen Anteil. Sie trugen entscheidend zur Verbreitung der indischen Zahlschreibweise bei. Ge-lehrte des europäischen Mittelalters lernten diese Zahlen über Kontakte zu den Arabern (sei es durch Reisen in arabische Länder, wie z.B. Leonardo von Pisa, oder sei es über Kontakte zu herausragenden Stätten der arabischen Gelehr-samkeit in Spanien – besonders Cordoba, Sevilla, Granada) kennen. Deshalb werden die Zahlen in unserer heutigen Schreibweise auch als die „arabischen“ Zahlen bezeichnet.

Skizze zur Entwicklung der Zahlschreibweise im Zehnersystem:

Die Brahmi-Ziffern (1 2 3 4 5 6 7 8 9), etwa ab dem 3. Jahrhundert v.Chr.:


Die Gwalior-Ziffern, Indien, (1 2 3 4 5 6 7 8 9 0), etwa ab dem 8. Jahr-hundert n. Chr.:

Die Devanagari-Ziffern (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9), etwa ab dem 9. Jahrhundert n.Chr.:

Die ostarabischen Ziffern (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9), etwa ab dem 9. Jahrhun-dert n.Chr.:

Die westarabischen (Gobar-) Ziffern (1 2 3 4 5 6 7 8 9), etwa ab dem 9. Jahrhundert n.Chr.:

Die Gutenberg-Ziffern (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9), 15. Jahrhundert:

Die Ziffern nach Dürer (1 2 3 4 5 6 7 8 9 0), 16. Jahrhundert:

Die Mathematik der Araber bzw. die Mathematik in den Ländern des Islam (ab ca. 750 n. Chr.): Gegen Ende des 6. Jahrhunderts entstand die Religions-bewegung des Islam auf der arabischen Halbinsel und breitete sich sehr schnell in den Ländern des Nahen Ostens, im Zweistromland, über Persien bis

Abb. 1.8: Entwicklung der Zahlzeichen des Zehnersystems


nach Indien hinein und über Nordafrika bis auf die Iberische Halbinsel aus. Durch die Kontakte mit der indischen Kultur lernten die Araber das indische Zahlensystem kennen, das sie im Laufe der Zeit übernahmen. Da dieser Pro-zess über Jahrhunderte hinweg verlief, veränderte sich die Zahlschreibweise, ohne dass aber am Prinzip des Zehnersystems gerüttelt wurde. Die Araber assimilierten vieles von dem Wissen der eroberten oder benachbarten Kultur-kreise (Perser, Ägypter, Inder) und insbesondere von der sich im Niedergang befindenden griechischen Kultur. Sie übersetzten wichtige griechische Werke der Wissenschaft ins Arabische. So blieben z.B. die Elemente des Euklid nur deshalb erhalten, weil sie als arabische Übersetzung überliefert sind.

In der Epoche der Abbasiden-Dynastie (etwa Mitte des 8. bis Mitte des 13. Jahrhunderts) erlebte die arabische Wissenschaft ihre Glanzzeit. In der Blüte-zeit (ca. 750–1000) entwickelte sich Bagdad unter den Kalifen al-Mansur und (dem aus den Märchen aus 1001 Nacht bekannten) Harun al Raschid zum Wissenschaftszentrum. Nach griechischem Vorbild wurde in Bagdad eine Akademie (genannt „Haus der Weisheit“) eingerichtet, zu deren Aufgaben es gehörte, in systematischer Weise die überlieferten griechischen, ägyptischen, persischen und indischen Quellen durch Übersetzung ins Arabische zu er-schließen. Es entstanden langfristige astronomische und geographische For-schungsprogramme. In der Physik, Chemie, Medizin, Pharmakologie, Zoolo-gie, Botanik, Mineralogie und Philosophie setzte sowohl in Bagdad als auch in anderen Zentren des arabisch-islamischen Raumes (insbesondere in Cordoba, Granada und Sevilla) eine rege Forschungstätigkeit ein. In den arabischen Zentren der Wissenschaft im Süden des heutigen Spaniens lernten später abendländische Mönche (Gerbert, Johannes von Sevilla, Adelard von Bath) die arabische und mit ihr auch die griechische Wissenschaft kennen und brachten sie von dort in die Länder des europäischen Abendlandes.

Einige herausragende mathematische Forscherpersönlichkeiten aus jener Zeit:

• Der persisch-arabische Mathematiker al-Khwarizmi (auch: al-Khowarizmi, al-Hwarizmi), ca. 790–850 n. Chr., erkannte den Wert der indischen Zahl-schreibweise und schrieb das einflussreiche, später unter dem Titel „Über die indischen Ziffern“ (lateinisch: de numero indorum) bekannt gewordene Re-chenbuch, das sehr viel zur Verbreitung und Popularisierung der indischen Ziffern beigetragen hat. Al-Khwarizmi war Autor weiterer berühmter und ein-flussreicher Bücher über Algebra und Astronomie; die Begriffe Algorithmus und Algebra gehen auf sein Wirken zurück.


• Ibn al-Haitam (ca. 965 – ca. 1039), auch Alhazen genannt, war Mathema-tiker, Astronom, Naturwissenschaftler und Arzt. Er formulierte (ohne Beweis) den heute nach J. Wilson benannten Satz: „Ist p eine Primzahl, dann ist 1 1+ −( )!p durch p teilbar“ (siehe Kapitel 7). Mit Hilfe seiner Ergebnisse

über die Summation von Potenzen natürlicher Zahlen gelang ihm die Berech-nung der Rauminhalte von Rotationskörpern.

• Unter al-Biruni (973–1048) und al-Tusi (1201–1274) entwickelte sich die Trigonometrie zu einem eigenständigen Zweig der Mathematik. In der Prä-zision der Berechnung astronomischer und trigonometrischer Tabellen (Si-nustafel) ging er weit über Ptolemaios hinaus.

• Al-Mu’taman ibn Hud war von 1081 bis 1085 Herrscher des muslimischen Reiches von Zaragoza. Er unternahm den Versuch, mit dem Istikmal ein der Zeit gemäßes Nachfolgewerk für die Elemente des Euklid zu schreiben.

• Al-Kashi (1390–1450) war der letzte bedeutende Mathematiker des islami-schen Mittelalters. Er berechnete die Kreiszahl π mit großer Genauigkeit (auf 17 Dezimalstellen) auf der Basis eines dem Kreis umbeschriebenen

2823 ⋅ –Ecks und einer hochgradig effizienten iterativen Berechnung von

Abb. 1.9: Statue von Al-Khwarizmi in Khiva (Usbekistan) Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis


1sin . Sein Verdienst besteht besonders auch in der systematischen Abhand-lung und Verallgemeinerung wichtiger Ergebnisse und Verfahren früherer mit-telalterlicher Gelehrter.

Die Zeitepoche der Römer und das europäische Mittelalter: Das Niveau der mathematisch-naturwissenschaftlichen Wissenschaften war in dieser Zeit durchweg sehr bescheiden und fiel weit hinter den Stand der Griechen zurück. Das römische Zahlensystem eignete sich für in Stein gemeißelte Inschriften; zum Rechnen war es höchst ungeeignet. Bestimmte Anwendungen (Militär, Handel, Architektur) erzwangen bestenfalls eine rudimentäre Beschäftigung mit mathematischen Fragestellungen.

Der römische Philosoph Boethius (ca. 480–525) übersetzte und kommentierte u.a. Schriften von Aristoteles, Euklid und des Neupythagoreers Nikomachos. Der für den Lehrbetrieb des Mittelalters prägende Begriff des „Quadriviums“ (Arithmetik, Geometrie, Musik, Astronomie) soll auf ihn zurückgehen. Er verfasste eine Schrift zur Arithmetik, die ihm im Mittelalter zu einem relativ hohen Bekanntheitsgrad verhalf; diesem Umstand ist vermutlich sein Einbezug in die historische Darstellung „Arithmetica, Pythagoras und Boethius“ in der Enzyklopädie Margarita Philosophica von Gregor Reisch zu verdanken (vgl. Abb. 1.12).

Der Mönch Gerbert (946–1003), der im Jahre 999 den päpstlichen Thron be-stieg, lernte in Spanien die indisch-arabischen Ziffern kennen. Er erfasste ih-ren eigentlichen Sinn jedoch nicht und verwendete sie nur, um sie auf runde Scheiben („Apices“) aufzutragen und dann auf einem herkömmlichen Rechen-brett zu verwenden, ähnlich wie die schon vorher in Gebrauch befindlichen Rechensteine.

Umfangreichere Teile der islamischen Mathematik flossen im 12. Jahrhundert nach Europa ein – solche, die ursprünglich griechischer Herkunft waren und nun aus dem Arabischen ins Lateinische übersetzt wurden, und solche, die das Ergebnis eigenständiger Entwicklungen im Bereich des Islam darstellten. Da-bei spielte die Übersetzerschule von Toledo eine herausragende Rolle. Um 1140 wurde das Rechenbuch des al-Khwarizmi durch Johannes von Sevilla (auch: Johannes Hispalensis bzw. Johannes Hispaniensis) ins Lateinische übertragen, und damit wurden die indisch-arabischen Ziffern den Europäern im Prinzip zugänglich. Eine arabische Euklid-Auswahl wurde durch Adelard von Bath um 1150 übersetzt. Die systematische Erschließung der wis-


senschaftlichen Werke der Antike unter bewusstem Rückgriff auf die griechi-schen Originaltexte (soweit noch vorhanden) erfolgte aber erst während der Periode der Renaissance.

1.3 Zur Entwicklung der schriftlichen Rechenverfahren

It is like coining the Nirvana into dynamos.

Der Mathematikhistoriker G. B. Halsted – zur Erfindung der Null durch die Inder

In der Folgezeit nach al-Khwarizmi entwickelten sich die schriftlichen Re-chenverfahren in einem sehr langwierigen Prozess, der schließlich zu einer allmählichen Überwindung des Abakus-Rechnens führte. Es kam zum Metho-denstreit zwischen Abakisten und Algorithmikern (im Sinne von „Ziffernrech-nern“) – von Gregor Reisch (ab 1503) in der Enzyklopädie Margarita Philo-sophica (vgl. Abb. 1.12) versinnbildlicht.

Das Rechnen mit den Ziffern setzte sich nur sehr langsam und gegen großen Widerstand gegenüber dem Rechnen am Rechenbrett (Abakus) durch. Protagonisten des Ziffernrechnens waren:

• Leonardo von Pisa („Fibonacci“, 1170–1250), Autor des Buches Liber Abaci (1202), mit dem er entscheidend zur Po-pularisierung der indisch-arabischen Zahlschreibweise beitrug. Eine außeror-dentlich kenntnisreiche Darstellung da-von ist in dem Buch Leonardi Pisani Li-ber Abaci ... von H. Lüneburg zu finden.

• Die „Rechenmeister“, die an Rechenschu-len den Umgang mit Zahlen, ihren Schreibweisen, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division sowie die An-wendungen auf Probleme des täglichen Lebens (Handel, Geldgeschäfte, ...) lehr-ten, so z.B. die

Abb. 1.10: Leonardo von Pisa ("Fibonacci") Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis


– Practica welsch (französisch-italienische Praktik)

oder die

– Arte dela Mercandantia (die Kunst der Kaufmannschaft)

Diese Formen des kaufmännischen Rechnens sind auch der Ursprung von Begriffen wie Saldo, Diskont, Bilanz, Kredit, Valuta, Netto, Tara, Konto und Bankrott.

• Populäre Rechenbücher und ihre Autoren:

– das Bamberger Rechenbuch (1483) – Widmann: Behende und hubsche Rechenung auf allen kauffmannschafft

(Leipzig, 1489) – Köbels Rechenbuch (1514) – Adam Ries oder auch Riese (1492–1559): Autor der weit verbreiteten

Rechenbücher: * Rechnung auff der Linihen (1518) * Rechnung auff der Linien und Federn (1522) * Rechenung nach der lenge auff den Linihen und Feder (1550)

Die Widerstände gegen das Ziffernrechnen hatten vor allem folgende Ursa-chen:

• die über tausendjährige Tradition des Abakus-Rechnens

Abb. 1.11: Adam Ries Denkmal in Erfurt Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis

1.3 ZUR ENTWICKLUNG DER SCHRIFTLICHEN RECHENVERFAHREN 17

• die Ablehnung des Ziffernrechnens durch Theologen („heidnische Praxis, Teufelswerk“) – dies führte z.B. im Jahre 1299 zum Verbot der indisch-arabischen Ziffern in Florenz

• die (vermeintlich) größeren Fälschungsmöglichkeiten beim Ziffernrechnen (aber Fälschungen waren auch mit den römischen Ziffern möglich; sprich-wörtlich geworden ist der Ausdruck „Jemandem ein X für ein U vorma-chen“, der auf die römische Schreibweise für die Zahlen fünf (römisch: V, auch gelesen als U) und zehn (römisch: X) zurückgeht).

• der ungewohnte Gebrauch der Null

• die fehlende Einheitlichkeit in der Ziffernschreibweise

Der Höhepunkt der Auseinandersetzung zwischen Abakisten und Algorithmi-kern lag etwa in der Zeit zwischen Ende des 15. und Anfang des 16. Jahrhun-derts. Zwar blieben die Re-chentische noch lange in Gebrauch (zum Teil bis ins 18. Jahrhundert hinein); aber all-mählich setzte sich das schrift-liche Rechnen mit den indisch-arabischen Ziffern durch. Ein wichtiges Motiv für die Ver-wendung der Ziffern war der Umstand, dass man in den Handelskontoren, Schreib- und Rechenstuben der Kaufleute mit diesen Ziffern nicht nur rechnen, sondern die Rech-nungen zugleich auch doku-mentieren konnte. Damit wur-de es im großen Stil möglich, Abrechnungsbücher und Kon-ten zu führen.

Die Abbildung mit Pythagoras, Boethius und der Dame Arith-metica von Gregor Reisch (Abb. 1.12), aus der Enzyklo-

Abb. 1.12: Gregor Reisch, Margarita Philosophica Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis


pädie Margarita Philosophica (ab 1503) symbolisiert diesen Streit zwischen den Abakisten und den Algorithmikern.

Die Zahldarstellung im Zehnersystem bot sich in hervorragender Weise für den weiteren Ausbau des Ziffernrechnens an. Die wichtigsten Stationen waren dabei:

• die Einführung der Dezimalbrüche durch Simon Stevin (1548–1620, Hol-land), Autor des Buches De Thiende (1585)

• die Entwicklung des logarithmischen Rechnens durch

– Michael Stifel (ca. 1487–1567), Autor des Buches Arithmetica integra (1544)

– Jost Bürgi (1552–1632, Uhrmacher und Feinmechaniker)

– Lord John Napier bzw. Neper (1550–1617, Schottland): Autor der Schrift Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Beschreibung einer Tafel wunderbarer Rechnungszahlen) aus dem Jahre 1614.

– Henry Briggs (1561–1630, England): ab etwa 1615 Übergang zu den dekadischen Logarithmen

1.4 Erste Höhepunkte der neuzeitlichen Entwicklung

Pierre de Fermat (1601–1665), Jurist und Ma-thematiker, gab der Zahlentheorie wichtige neue Impulse. Nach ihm ist der „kleine Fermatsche Satz“ benannt: Ist p eine Primzahl,

so gilt: )mod(11 pa p ≡− .

Eine Serie von Primzahlen (heute als Fermat-sche Primzahlen bezeichnet, vgl. Abschnitt 4.7) ist nach ihm benannt. Mit seinem (von ihm nicht bewiesenen) „großen Fermatschen Satz“ bzw. seiner „Fermatschen Vermutung“:

Die Gleichung nnn zyx =+ hat für 2>n

in der Menge der natürlichen Zahlen (größer oder gleich 1) keine Lösungen.

Abb. 1.13: Pierre de Fermat Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis

die kein

Teiler

von a ist,

1.4 ERSTE HÖHEPUNKTE DER NEUZEITLICHEN ENTWICKLUNG 19

beeinflusste er die Entwicklung von Mathematik und Zahlentheorie über Jahr-hunderte hinweg. Ganze Bereiche der modernen Algebra, besonders die Ring- und Körpertheorie, verdanken ihre Entstehung dem Versuch, die Fermatsche Vermutung zu beweisen. Die Aussage wurde erst kürzlich „mit sehr schwe-rem Geschütz“ bewiesen. Den Schlussstein auf die extrem lange Beweiskette, an der die besten Mathematiker aller Zeiten beteiligt waren, setzte der eng-lische Mathematiker Andrew Wiles.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) wird wegen seiner Aktivitäten als Mathematiker, Philosoph, Theologe, Rechtsgelehrter, Natur-wissenschaftler, Geologe, Geschichts- und Sprachforscher heute als einer der „letzten Universalgelehrten“ bezeichnet. Vielfach ist er primär wegen seines Prioritätenstreits mit dem großen englischen Mathematiker und Physiker Isaac Newton (1643−1727) über die Erfindung des Infinitesimalkalküls bekannt. Auf ihn geht aber noch eine Vielzahl anderer bedeutender Ideen zurück, welche die Ent-wicklung der Mathematik (und später der In-formatik) massiv beeinflusst haben − und zwar sowohl im theoretischen als auch im praktischen Bereich.

1673 konstruierte er in London eine der ersten Vierspezies-Rechenmaschinen mit Staffelwalze. Es gab jedoch feinmechanische Probleme durch relativ große Fertigungstoleranzen, so dass die Maschine erst später als Nachbau ent-sprechend seinen Originalplänen wirklich funktionierte.

Ein fundamentaler theoretischer Beitrag zur Mathematik und Informatik ist die von Leibniz formulierte Idee einer logisch-mathematischen Universalsprache, in der alle Probleme kalkülhaft „durch Nachrechnen“ gelöst werden können („Ich hätte gehofft, eine Art allgemeiner Charakteristik zu geben, in der alle Vernunftwahrheiten auf eine Art von Kalkül zurückgeführt würden. Dies könnte gleichzeitig eine Art universeller Sprache oder Schrift sein, doch wäre sie unendlich verschieden von allen denen, die man bislang projektiert hat ...“, Zitat nach Specht 1979).

Abb. 1.14: G.W. Leibniz Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis


Für die Entwicklung der Zahlentheorie war seine die Entdeckung des Zweier-systems (vgl. Kapitel 6) von Bedeutung, mit der Leibniz darüber hinaus noch eine der theoretischen Grundlagen für die heutige Computertechnik (lange vor ihrer technischen Realisierung) vorbereitete.

Leonhard Euler (1707–1783) erzielte bahnbrechende Resultate auf fast allen damals bearbeiteten mathematischen Gebieten. In der Zahlentheorie verallgemeinerte und korrigierte er manche Ergebnisse von Fermat. Die dabei entwickelte Eulersche Funktion trägt heute seinen Na-men. Euler zeigte u.a. auch. dass die „Fermatsche“ Zahl

42949672971212 3225

5=+=+=F

den Teiler 641 hat und somit (im Gegensatz zu Fermats Vermutung) keine Primzahl ist.

Euler entwickelte bei der Lösung des ihm von Kant2 gestellten Königsberger Brückenproblems das neue Gebiet der Graphentheorie. Seine Entdeckung des später nach ihm benannten Eulerschen Polyedersatzes war der Ausgangspunkt für die Entwicklung der neuen mathematischen Disziplin der „Topologie“.

2 Immanuel Kant (1724−1804), deutscher Philosoph

Abb. 1.15: Leonhard Euler, Sowjetische Briefmarke 1957


Carl Friedrich Gauß (1777–1855), einer der größten Mathematiker aller Zei-ten, bereicherte die Mathematik und Astronomie durch tiefliegende Ergebnisse auf allen Gebieten.

Gauß wurde im Alter von sieben Jahren in die Katharinen-Schule in Braun-schweig geschickt. Schon als Schüler in der Elementarschule entdeckte er zur Überraschung seines Lehrers die Methode des „kleinen Gauß“:

Um die Schulklasse des kleinen Gauß eine Weile lang zu beschäftigen, gab ihr der Lehrer J. G. Büttner eines Tages die Aufgabe, die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 aufzuaddieren. Völlig überraschend für den Lehrer kam Gauß nach kurzer Zeit mit der (richtigen) Antwort nach vorn. Er hatte mit den zu addie-renden Zahlen folgendermaßen gespielt: Zu berechnen war der Ausdruck

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 .

Gauß schrieb noch den Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge dazu

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 .

Wenn er alle Zahlen in diesem doppelzeiligen Schema addierte, so erhielt er das Doppelte der gesuchten Summe. Er entdeckte, dass die Spaltensummen alle gleich waren, und zwar jeweils gleich 101. Insgesamt gab es 100 Spalten, jede mit der Summe 101. Durch spaltenweise Addition erhielt er also die Ge-samtsumme 101 • 100 (=10100) für das doppelzeilige Schema. Das war das

Abb. 1.16: Carl Friedrich Gauß, Briefmarke DDR 1977


Doppelte dessen, was der Lehrer berechnet haben wollte. Die Antwort auf die vom Lehrer gestellte Frage lautete also:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = 101 • 50 = 5050 .

Gauß hatte auf diese Weise als junger Schüler eine paradigmatische Begrün-dung für die folgende Formel entdeckt:

)1(2

1)1()2(321 +⋅⋅= nn + n n- + n- + ... + + + (* G *)

Sein Lehrer erkannte bald das Talent des jungen Gauß und bemühte sich, ihn zu fördern. Im Alter von etwa 20 Jahren, zu Beginn seines Studiums, löste Gauß das Jahrhunderte alte Problem der Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks mit Zirkel und Lineal. Dieses (nicht zuletzt im Hinblick auf sein Alter) grandiose Erlebnis motivierte ihn, sein Berufsleben der mathematischen For-schung zu widmen.

Auf Gauß gehen weitere bahnbrechende Entdeckungen und Ergebnisse zu-rück im Zusammenhang mit den Themen: Kongruenzen, quadratische For-men, Kreisteilung, komplexe Zahlen, Großer Primzahlsatz (Vermutung), Fun-damentalsatz der Algebra, Funktionentheorie, konforme Abbildungen, Rezi-prozitätsgesetz für quadratische Reste, nichteuklidische Geometrie, Astrono-mie (Bahnberechnung des Planetoiden Ceres), Vermessungskunde, Methode der kleinsten Quadrate, Differentialgeometrie u.v.m.

Sein zahlentheoretisches Hauptwerk, die Disquisitiones arithmeticae (1801) ist eines der bedeutendsten mathematischen Werke aller Zeiten. Mit dem Er-scheinen dieses Werkes durfte die Zahlentheorie als selbständige, systematisch

Abb. 1.17: Gauß auf 10 DM Schein


geordnete Disziplin gelten und ihre weitere Entwicklung nahm einen rasanten Verlauf. Von Gauß soll auch das Bonmot stammen: Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Arithmetik (Zahlentheorie) ist die Köni-gin der Mathematik.

Zur Leistung großer Mathematiker (z.B. Fermat, Gauß, Riemann3, Hilbert4 u.a.) gehören nicht nur die von ihnen bewiesenen „Sätze“ sondern gelegentlich auch berühmte und zukunftsweisende Vermutungen. Der von Gauß vermutete „große Primzahlsatz“ konnte erst nach über 100 Jahren vollständig bewiesen werden, und zwar, aufbauend auf Ergebnissen des russischen Mathematikers P. L. Chebyshev (1821–1894), unabhängig voneinander durch die französi-schen Mathematiker J. Hadamard (1865–1963) und C. de la Vallée-Poussin (1866–1962).

Ab Mitte des 19. Jahrhunderts entwickelte sich die Zahlentheorie durch die Verschmelzung mit den Methoden und Gebieten der modernen Al-gebra (Körpertheorie, Idealtheorie, algebraische Zahlentheorie) in neue Richtungen. Diese Ent-wicklung ist mit der Arbeit einer großen Zahl von brillanten Mathematikern verbunden (Kum-mer5, Kronecker6, Dedekind7, Hensel8, Min-kowski9 und anderen). David Hilbert, einer der größten Mathematiker des 20. Jahrhunderts schuf mit seinem vielbeachteten Zahlbericht im Jahre 1897 eine Plattform, von der aus die Ent-wicklung der Zahlentheorie im 20. Jahrhundert konsequent weiter ging.

Dieser kleine historische Einblick in die Ge-schichte der Zahlentheorie soll nicht beendet werden, ohne Hinweis auf eine der faszinie-

3 Bernhard Riemann (1826−1866) 4 David Hilbert (1862−1943) 5 Ernst Eduard Kummer (1810−1893) 6 Leopold Kronecker (1823−1891) 7 Richard Dedekind (1831−1916) 8 Kurt Hensel (1861−1941) 9 Hermann Minkowski (1864−1909)

Abb. 1.18: David Hilbert Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis


rendsten Persönlichkeiten in der Zahlentheorie: Srinivasa Ramanujan. Rama-nujan wurde 1887 in Süd-Indien geboren. Er brachte sich als Schüler auto-didaktisch ein erstaunliches mathematisches Wissen bei, das ihn teilweise bis an die Grenzen der mathematischen Forschung führte. Da er fast völlig iso-liert arbeitete, praktizierte er hochgradig unübliche Notations-, Darstellungs- und Argumentationsformen. Als er versuchte, mit Mathematikern in England in Kontakt zu treten, scheiterte dies fast an der Unverständlichkeit dessen, was er aufgeschrieben hatte. Nur der große englische Zahlentheoretiker God-frey H. Hardy (1877−1947) erkannte Ramanujans Talent, holte ihn nach Cam-bridge, förderte ihn und begann eine mathematisch außerordentlich fruchtbare Kooperation mit ihm, die allerdings durch den frühen Tod von Ramanujan be-reits im Jahre 1920 beendet wurde.

Abb. 1.19: Srinivasa Ramanujan Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis

Abb. 1.20: G. H. Hardy Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis

2 Die Division mit Rest und die Teilbarkeitsrelation

Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. Euklid, Die Elemente VII. Buch, Definition 2

Vorbemerkung: Einige für das folgende wichtige Begriffsbildungen und Vor-aussetzungen sind im Anhang zusammengestellt; insbesondere in Anhang 8.1: Allgemeine Beweisprinzipien und Beweisverfahren, Anhang 8.2: Axiomati-sche Beschreibung der natürlichen Zahlen, Anhang 8.3: Mengentheoretische Grundbegriffe

2.1 Die Division mit Rest

Fundamental für die gesamte Zahlentheorie ist der

Satz 2.1 (Division mit Rest): Zu je zwei natürlichen Zahlen a und b (mit 0≠b ) gibt es stets eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen q und r mit der Eigenschaft

brrbqa <≤+⋅= 0und

Bemerkungen:

• Der Satz drückt (etwas formaler aufgeschrieben) den Sachverhalt der aus dem Grundschulunterricht bekannten Division mit Rest aus. Wenn man eine natürliche Zahl a durch eine natürliche Zahl b dividiert, dann be-zeichnet man die Vielfachheit, mit der b „ganz“ in a aufgeht, als den Quotienten q. Bei dieser Division bleibt unter Umständen ein Rest r üb-rig, wie z.B. im Falle 25317 +⋅= ( 17=a ; 5=b ; 3=q ; 2=r ). Ist

der Rest gleich Null, wie etwa im Falle 06424 +⋅= , dann sagt man auch, dass die Zahl b die Zahl a (ohne Rest) teilt – man vergleiche dazu die Ausführungen zur Teilbarkeitsrelation weiter unten.

• Die Bedeutung des Satzes für die gesamte Schulmathematik – und darüber hinaus – kann kaum überschätzt werden (nicht zuletzt deswegen werden im Folgenden auch zwei Beweise gegeben); die Division mit Rest tritt spä-ter im Zusammenhang mit der Division von Polynomen wieder auf; sie spielt in der gesamten Algebra (Ringtheorie) eine große Rolle.


26 2 DIE DIVISION MIT REST UND DIE TEILBARKEITSRELATION

Im Folgenden werden zwei Beweise für den Satz angegeben; der erste basiert auf dem Prinzip des kleinsten Elements, der zweite auf dem Verfahren der vollständigen Induktion. Auf diese Weise soll auch die Austauschbarkeit der beiden Beweisprinzipien an einem konkreten Beispiel demonstriert werden.

Erster Beweis des Satzes von der Division mit Rest (mit dem Prinzip des kleinsten Elements):

Zunächst zur Existenzaussage (d.h. zu dem Teil des Satzes, der besagt: „Es gibt ...“). Wir betrachten die Menge }mit:{: 00 ∈⋅−=∈= kbkaxxA .

Die Menge A ist eine nichtleere Teilmenge von 0 (denn mit 0=k ist z.B.

Aa ∈ ); sie enthält also ein kleinstes Element – es sei mit r bezeichnet. Dieses r entsteht, anschaulich gesprochen, dadurch, dass man von a alle Vielfachen von b abzieht: a, ba − , ba 2− , ba 3− , ba 4− , ... Die ent-stehende Differenz wird dabei immer kleiner, und irgendwann auch einmal negativ; r ist die letzte (kleinste) nichtnegative Zahl unter diesen Differenzen.

bma ⋅+− )1( bma ⋅− ba 2− ba − a

Notwendigerweise gilt br < , denn sonst wäre ′ = −r r b: eine noch kleinere

zu A gehörende Zahl (im Widerspruch zu der Annahme, dass r das kleinste Element von A sei). Es gilt also bmar ⋅−= für eine ganze Zahl m. Mit r und mq =: haben wir genau die Zahlen gefunden, deren Existenz im Satz von

der Division mit Rest behauptet wird.

Nun zur Eindeutigkeitsaussage (also zu dem Teil der Aussage, der besagt: „ ... gibt es eindeutig bestimmte ...“): Angenommen, es sei 11 rbqa +⋅= und a q b r= ⋅ +2 2 mit 0 1≤ <r b und 0 2≤ <r b . Dann ist: q b r q b r1 1 2 2⋅ + = ⋅ + . (*)

Zwischenbehauptung: Die Faktoren q1 und q2 können nicht verschieden sein. Denn sonst wäre einer davon größer, etwa q q1 2> . Dann wäre aber auch q b q b1 2⋅ > ⋅ . Wegen r b2 < wäre sogar q b q b r1 2 2⋅ > ⋅ + und so-

r 0

Abb. 2.1: kleinstes Element

2.1 DIE DIVISION MIT REST 27

mit erst recht 2211 rbqrbq +⋅>+⋅ – im Widerspruch zur anfangs ge-machten Annahme (*). Also sind die Faktoren q1 und q2 gleich.

Dann folgt aber sofort aus (*), dass auch die Reste r1 und r2 gleich sein müs-

sen und die Eindeutigkeitsaussage ist bewiesen.

Bemerkung und Übung: Die in der Existenzaussage gegebene Konstruktion des Elements r ist auch gültig für die Fälle, wo ba = oder ba < ist. Ge-ben Sie für diese beiden Fälle die im Satz von der Division mit Rest genannten Größen q und r an.

Zweiter Beweis des Satzes von der Division mit Rest (mit vollständiger Induk-tion):

Zunächst zur Existenzaussage: Der Beweis wird mit vollständiger Induktion (nach a) geführt. Die (natürliche) Zahl b sei im Folgenden beliebig (aber fest) gewählt. (Wegen ∈b ist insbesondere 1≥b .) Induktionsverankerung: Es ist zunächst zu zeigen, dass die Aussage für 1=a richtig ist. Wir führen eine Fallunterscheidung durch.

1. Fall: Es sei b = 1. Dann ist die Aussage richtig mit q = 1 und r = 0 .

2. Fall: Es sei nun b > 1. Dann ist die Aussage richtig mit q = 0 und r = 1.

Induktionsschritt: Die Aussage gelte für a k= (Induktionsannahme). Es ist zu zeigen, dass dann die Aussage auch für 1+k gilt (Induktionsschluss).

Nach Induktionsannahme ist also a q b r= ⋅ + mit 0 ≤ <r b . Es ist zu zei-gen: a q b r+ = ′ ⋅ + ′1 für geeignete natürliche Zahlen ′q und ′r mit

0 ≤ ′ <r b . (Bemerkung: Der „Strich“ hat hier nicht die Bedeutung der in den Peano-Axiomen auftretenden Nachfolgerfunktion; er soll jeweils einfach ein alternatives q bzw. r andeuten.)

Wir machen eine Fallunterscheidung bezüglich der Variablen r:

1. Fall: r sei so groß wie möglich, d.h., es sei r b= − 1. Dann ist 0)1(11 +⋅+=+⋅=++⋅=+ bqbbqrbqa und die Aussage ist richtig mit 1+=′ qq und 0=′r .

2. Fall: r sei nicht so groß wie möglich, d.h., es sei r b< − 1. Dann ist a q b r+ = ⋅ + +1 1( ) und die Aussage ist ebenfalls richtig, denn

dann ist brr <+=′ 1: .

Die Eindeutigkeitsaussage wird wie oben bewiesen.


Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung kann man q und r auch als Funk-tionswerte geeigneter Funktionen deuten. Häufig (so z.B. auch in den meisten Programmiersprachen) werden diese Funktionen als Div und Mod bezeich-net:

rbaModbaMod

qbaDivbaDiv

=→

=→

),(),(:

),(),(:

Der Satz von der Division mit Rest kann also auch folgendermaßen ausge-drückt werden:

),(),( baModbbaDiva +⋅=

Veranschaulichung

Im folgenden Beispiel sei a = 17 und b = 5 gewählt. Die nach dem Satz von der Division existierenden Zahlen q und r haben dann die Werte q = 3

und r = 2 . Die in dem Satz auftretende Gleichung lautet dann 17 3 5 2= ⋅ + . Ergänzend zum formalen Beweis ist die Veranschaulichung des Sachverhalts von großer Bedeutung. Dazu stellen wir uns die Zahlen a und b, ganz im Sinne der Griechen, als Strecken vor; a möge die größere und b die kleinere Strecke sein. Dann kann man b einmal oder mehrmals auf a abtragen (bzw. „von a wegnehmen“), bis nichts mehr übrig bleibt oder bis ein Rest übrig bleibt, der kleiner ist als b.

Die im obigen Satz auftretende Zahl q ist die Vielfachheit (bzw. der Quo-tient), mit der man b „ganz“ auf a abtragen kann; r ist der Rest, der danach übrig bleibt. Es ist offensichtlich, dass r kleiner als b ist (wie im Satz for-muliert). Wenn r = 0 ist sagt man auch, dass die Strecke b die Strecke a misst bzw. dass die Zahl b die Zahl a teilt.

Diese Veranschaulichung macht deutlich, warum die Division häufig als „ite-rierte“ (wiederholte) Subtraktion erklärt und eingeführt wird.

5 55 2 17 3 5 2= ⋅ +

17

Abb. 2.2: Division mit Rest

2.1 DIE DIVISION MIT REST 29

Vorsicht

Veranschaulichung ist zwar wichtig, sie kann gelegentlich aber auch zu Täu-schungen Anlass geben. Hier eine kleine Warnung vor allzu blindem Ver-trauen in die Anschauung:

2.2 Die Teilbarkeitsrelation

Zur Wiederholung der Grundbegriffe Menge, Relation, Relationseigenschaf-ten, Äquivalenzrelation, Ordnungsrelation siehe Anhang 8.3.

Definition 2.1: Die (ganze) Zahl b teilt die (ganze) Zahl a, wenn es eine (ganze) Zahl n gibt mit der Eigenschaft a n b= ⋅ .

(Entsprechendes kann man auch bezogen auf die Menge der natürlichen Zah-len formulieren; überall, wo „ganze“ Zahl steht, ist dann jeweils „natürliche“ Zahl einzusetzen.)

Im Zeichen: ab |

Gleichwertige Sprechweisen: b teilt a, b misst a, b ist ein Teiler von a, a ist ein Vielfaches von b

Mit anderen Worten: b teilt a, wenn der im Satz von der Division mit Rest auftretende Divisionsrest bei der Division von a durch b gleich Null ist.

Aufgabe 2.1:

• Jede natürliche Zahl a hat die „trivialen“ Teiler 1 und a (wie viele sind das?).

Zerschneiden

und umlegen

Abb. 2.3: Zerschneiden und Umlegen ... Konsequenz ?


• Für welche Zahlen gilt x|1 , 1|x , x|0 , 0|x ?

Man sagt, eine natürliche Zahl ist gerade, wenn sie von der Zahl 2 geteilt wird (anders ausgedrückt: wenn sie ein Vielfaches von 2 ist); andernfalls wird sie als ungerade bezeichnet.

Eine ganze Zahl a heißt Quadratzahl, wenn es eine ganze Zahl b gibt mit

der Eigenschaft: 2: bbba =⋅=

Aufgabe 2.2: 1, 22431 ==+ , 239531 ==++ , 24167531 ==+++ sind Quadratzahlen. Zeigen Sie (einmal durch eine geeignete Visualisierung, einmal durch vollständige Induktion), dass die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend bei 1, stets eine Quadratzahl ist.

Teilermengen und Vielfachenmengen

Im Folgenden sei mit diejenige „Grundmenge“ bezeichnet, in deren Kon-

text die Teilbarkeitsrelation jeweils diskutiert wird; also z.B. = ,

0= oder = .

Wir definieren:

{ }=|:)( axxaT ∈= Menge aller Teiler von a

{ }=|:)( xaxaV ∈= Menge aller Vielfachen von a

Aufgabe 2.3: Diskutieren Sie die Frage, für welche Werte von und für

welche Werte von a die Mengen )(aT und )(aV jeweils endlich oder

unendlich sind. Zur Darstellung von Teilermengen

• Venn-Diagramme10 Beispiel: T(432) Während Venn-Diagramme eine relativ unübersichtliche Darstellung der je-

10 John Venn (1834–1923), englischer Mathematiker

1 2 3 4 6 8 9

12 16 18 24 27 36

48 54 72 108 144

216 432

T(432)

Abb. 2.4: Venn-Diagramm

x

2.2 DIE TEILBARKEITSRELATION 31

weiligen Teilermenge liefern, sind Hasse-Diagramme (sofern anwendbar) we-sentlich besser strukturiert.

• Hasse-Diagramme11 Beispiel: T(432) Ein weiteres Beispiel: T(1400)

Die Beispiele machen deutlich, dass Hasse-Diagramme für die Darstellung der Teilermengen von natürlichen Zahlen geeignet sind, die maximal drei Prim-teiler besitzen. (Zum Begriff des Primteilers: siehe Kapitel 4).

11 Helmut Hasse (1898–1979), deutscher Mathematiker

•3 •2 1

4

8

16

2

48

3

9

27

72

36

18 54

108

144

432

216

24

6

12

Abb. 2.5: Hasse-Diagramm

1

25

200

100 50 40

20 10

8 4

2 5

7

70 35

56 28 14

1400 700

350 175

140 280

•2

•7

•5

Abb. 2.6: Hasse-Diagramm mit drei Primteilern


Erste Beobachtungen zur Teilbarkeits-Relation

• Teiler treten in der Regel paarweise auf: Ist cba ⋅= ( ∈cba ,, ) so ist

mit b stets auch c ein Teiler von a. Welche Konsequenzen hat das?

Zusatzbemerkung: Ist a b c= ⋅ , so gilt: b a≤ oder c a≤

(Nicht beide Faktoren können größer als a sein. Und entsprechend kön-

nen auch nicht beide Faktoren kleiner als a sein.)

Beweis: Übung

Ist cba ⋅= mit cb ≠ , so nennt man b und c auch Komplementärteiler.

• Teilermengen mit ungerader Elementezahl

Aufgabe 2.4: Welche Zahlen passen zum nebenstehenden Teilerdiagramm?

Aufgabe 2.5: Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm zu den Teilern von 128.

Aufgabe 2.6: Zeigen Sie: Für jede natürliche Zahl n gilt )1(|)1( nxx −−

und bestimmen Sie den Komplementärteiler.

Allgemeine Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation

Bezogen jeweils auf die Grundmenge der natürlichen oder der ganzen Zahlen gilt:

• Transitivität der Teilbarkeitsrelation

(T-1) Aus a b| und b c| folgt a c| .

Beispiel: Es gilt 18|6 und 72|18 . Deshalb gilt auch 72|6 .

Beweis: a b| bedeutet: Es gibt eine ganze Zahl n mit n a b⋅ = .

b c| bedeutet: Es gibt eine ganze Zahl k mit k b c⋅ = .

Daraus folgt: c k b k n a r a= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ (mit r k n= ⋅ ). Also gilt: a c| .

Abb. 2.7: Hasse-Diagramm mit ungerader Teilerzahl


• Verträglichkeit der Teilbarkeitsrelation mit der Multiplikation

(T-2) Aus ba | folgt a c b c⋅ ⋅| . (Beweis: Übung)

Beispiel: Es gilt 45|15 . Deshalb gilt auch 445|415 ⋅⋅ , also 180|60 .

Folgerung: Aus ba | und c d| folgt dbca ⋅⋅ | .

Beweis: Aus ba | folgt nach (T-2) a c b c⋅ ⋅| . Ebenso folgt aus c d| die Gültigkeit von dbcb ⋅⋅ | . Aus der Transitivität der Teilbarkeitsrela-tion folgt schließlich dbca ⋅⋅ | .

Aufgabe 2.7: Zeigen Sie für 0≠c : Aus cbca ⋅⋅ | folgt ba | .

• Die Teilbarkeitsrelation in Verbindung mit Addition und Subtraktion

(T-3) Aus ba | und a c| folgt a b c| ( )+ und a b c| ( )− .

Beispiel: Es gilt 78|6 und 54|6 . Deshalb gilt auch 5478|6 + und 5478|6 − , also 132|6 und 24|6 .

Beweis: Die Aussage a b| bedeutet, es gibt eine ganze Zahl n mit n a b⋅ = ; a c| bedeutet, es gibt eine ganze Zahl k mit k a c⋅ = .

Also gilt: b c n a k a n k a r a+ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ = ⋅( ) (mit r n k= + ), d.h. a b c| ( )+ .

Folgerung: Aus a b| und a c| folgt für beliebige ganze Zahlen q und r: a q b r c| ( )⋅ + ⋅ .

Beispiel und Beweis: Übung

• Die Teilbarkeitsrelation und die Durchschnittsbildung

(T-4) In der Menge der ganzen Zahlen gilt: )()()()( bTbaTbTaT ∩−=∩

Beispiel: { }54,27,18,9,6,3,2,1)54( =T ; { }24,12,8,6,4,3,2,1)24( =T

302454 =− ; { }30,15,10,6,5,3,2,1)30( =T ;

{ }6,3,2,1)24()54( =∩ TT ; { }6,3,2,1)24()30( =∩ TT .

Beweis: (1.) zunächst wird gezeigt: T a T b T a b T b( ) ( ) ( ) ( )∩ ⊆ − ∩ . Sei also )()( bTaTt ∩∈ . Dies bedeutet t a| und t b| . Damit teilt t


aber nach (T-3) auch a b− . Somit gilt t T a b T b∈ − ∩( ) ( ) , wie zu zei-

gen war.

(2.) Es ist noch zu zeigen: T a b T b T a T b( ) ( ) ( ) ( )− ∩ ⊆ ∩ . Sei also

t T a b T b∈ − ∩( ) ( ) . Dies bedeutet t a b| − und t b| . Damit teilt t auch ( )a b b− + , also a. Und somit gilt t T a T b∈ ∩( ) ( ) .

• Die Teilbarkeitsrelation und Absolutbeträge

Der Absolutbetrag Abs(x) oder x einer ganzen (oder reellen) Zahl x

ist definiert durch:

≥

==0< xfallsx-

0falls||)(

xxxxAbs

Beispiel: 18)18()18(1818 =−==−= AbsAbs

(T-5) In gilt: )(|)()(|| bAbsaAbsbAbsaba ⇔⇔

Beispiel: 5|5− , denn )5()1(5 −⋅−=

Beweis: Übung

Aufgabe 2.8: Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion Abs.

Spezielle Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation

Bezogen auf die Grundmenge der natürlichen Zahlen ( ) gilt:

• Teilbarkeit und die gewöhnliche „kleiner-gleich“-Relation

(T-6) Aus a b| folgt a b≤ . Dies folgt unmittelbar aus der Definition der

Teilbarkeitsrelation.

• Antisymmetrie der Teilbarkeitsrelation

(T-7) Aus a b| und b a| folgt a b= .

Beweis: a b| heißt nach Definition: Es gibt eine natürliche Zahl n mit n a b⋅ = . Entsprechend heißt b a| : Es gibt eine natürliche Zahl k mit

abk =⋅ . Daraus folgt: bknanb ⋅⋅=⋅= .


Die einzigen natürlichen Zahlen, welche die letzte Gleichung erfüllen, sind: n k= = 1 . Also ist a b= .

Bemerkung: Diese Argumentation gilt nicht in Bezug auf die Grundmenge der ganzen Zahlen. (Aufgabe: ... warum nicht ?)

In Verbindung mit der oben bewiesenen Transitivität gilt somit: Auf der Menge der natürlichen Zahlen ist die Teilbarkeitsrelation also eine Ord-nungsrelation.

• Teilbarkeit und Teilermengen

(T-8) Aus a b| folgt T a T b( ) ( )⊆ .

Beweis: Übung

• Teilbarkeit und Stellenwert-Schreibweisen, Endstellen-Regeln, Quersum-men-Regeln: Dies wird später (in Kapitel 6) im Zusammenhang mit Stellenwertsystemen und Kongruenzrelationen behandelt.

2.3 Teilerzahl, Teilersumme, Multiplikativität

Die Teilersumme )(aσ einer natürlichen Zahl a ist, wie der Begriff aus-

drückt, gleich der Summe ihrer Teiler: =

ax

xa|

)(σ .

Beispiel: 391896321)18( =+++++=σ

Die Teilerzahl )(aτ einer natürlichen Zahl a ist gleich der Anzahl ihrer Tei-

ler: =

ax

a|

1)(τ .

Beispiel: 81)24(24|

==

x

τ (die Teiler sind: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

Ist b ein Teiler von a mit ab ≠ (also ab < ), dann heißt b auch ein ech-

ter Teiler von a. Gelegentlich ist es günstig, nur die Summe aller echten Tei-ler zu bilden:

Die Summe der echten Teiler (in der englischsprachigen Fachliteratur: the aliquot parts) von a wird bezeichnet durch aaxa

axundax

−==

<

)()(|

0 σσ .


Beispiel: 22105421)20(0 =++++=σ

Aufgabe 2.9: Zeigen Sie: 12)2(0 −= nnσ .

Bemerkung: In der Regel gilt für die Teilersummenfunktion nicht, dass stets )()()( baba σσσ ⋅=⋅ ist.

Beispiel: 6=a , 10=b , }6,3,2,1{)( =aT , }10,5,2,1{)( =bT , 126321)( =+++=aσ , 1810521)( =+++=bσ .

Das Produkt )10521()6321()()( +++⋅+++=⋅ ba σσ besteht aus allen

Summanden der Form ji ba ⋅ , wo ia ein Teiler von 6 und jb ein Teiler

von 10 ist. Damit kommen die Produkte )12(21 ⋅=⋅ , )101(52 ⋅=⋅ , )61(23 ⋅=⋅ und )103(56 ⋅=⋅ mehrfach in )()( ba σσ ⋅ vor, während sie in

)( ba ⋅σ nur jeweils einmal auftreten. Dementsprechend ist 2161812)10()6( =⋅=⋅σσ größer als 168)60()106( ==⋅ σσ ; genauer:

301062)10()6(168)106( −−−−⋅==⋅ σσσ .

Das soeben beschriebene Phänomen hängt offenbar damit zusammen, dass in den Teilermengen von a und b gleiche Teiler vorkommen, die dann beim distributiven Ausmultiplizieren von

)10521()6321()()( +++⋅+++=⋅ ba σσ

zu mehrfachen gleichen Summanden führen, während diese in )( ba ⋅σ

entsprechend der Definition von jeweils nur einmal auftreten.

Besitzen a und b jedoch keine gemeinsamen Teiler, so kommt dieses Phä-nomen der Doppelzählung nicht vor. Die gemeinsamen Teiler von ba ⋅ sind dann genau die Produkte der Paare aus dem kartesischen Produkt (vgl. Anhang 8.3) )()( bTaT × und es gilt:

Satz 2.2 (Multiplikativität der Teilersummen-Funktion): Sind a und b teilerfremde natürliche Zahlen, so gilt:

)()()( baba σσσ ⋅=⋅ .

Man drückt dies auch folgendermaßen aus (vgl. Kapitel 7): Die Teilersum-menfunktion ist multiplikativ.

Aufgabe 2.10: Zeigen Sie, dass auch die Teilerzahlfunktion multiplikativ ist, d.h. dass für alle natürlichen Zahlen a und b gilt: )()()( baba τττ ⋅=⋅ .

2.4 PERFEKTE ZAHLEN 37

2.4 Perfekte, abundante, defiziente und befreundete Zahlen

Die Griechen nannten eine natürliche Zahl vollkommen (perfekt), wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler war aa =)(0σ . Die kleinste perfekte

Zahl ist 6, denn 6 = 1+2+3. Weitere niedrige (schon im antiken Griechenland bekannte) vollkommene Zahlen sind 28, 496 und 8128.

Ist aa <)(0σ , so nennt man a defizient (lateinisch für unzureichend), ist

aa >)(0σ so heißt a abundant (lateinisch für reichlich).

Beispiele: 10 ist defizient, denn 1+5 < 10 und 12 ist abundant, denn 1+2+3+4+6 > 12.

Aufgabe 2.11:

• Verifizieren Sie durch direktes Ausrechnen der Teilersummen, dass 28, 496 und 8128 perfekte Zahlen sind.

• Finden Sie weitere abundante und defiziente Zahlen.

• Falls entsprechende Programmierkenntnisse vorliegen: Schreiben Sie ein Programm, das ein vorgegebenes Zahlenintervall durchläuft und von jeder Zahl feststellt, ob sie perfekt, abundant oder defizient ist.

• Erweitern Sie das Programm durch einen kleinen Statistik-Modul.

Bemerkung: Es ist derzeit weder bekannt, ob es ungerade vollkommene Zah-len , noch ob es unendlich viele perfekte Zahlen gibt. Man vermutet aber, dass unendlich viele vollkommene Zahlen existieren (siehe Abschnitt 4.8: Spezielle Zahlen und Primzahlen, insbesondere „Mersennesche Primzahlen und voll-kommene Zahlen“). Bereits Euklid kannte ein wichtiges Ergebnis über die Struktur vollkommener Zahlen; es wird in Kapitel 4 im Zusammenhang mit den Mersenneschen Primzahlen behandelt.

Definition 2.2: Die n-te Dreieckszahl ist definiert als nTn ++++= 321: .

Das Beispiel 100T kennen wir schon von der Geschichte des Grundschülers

Gauß.

Aufgabe 2.12: Zeigen Sie, dass allgemein gilt: 2

)1( +⋅=

nnTn .


Die Dreieckszahlen lassen sich wie folgt veranschaulichen:

Zahlenmuster, besonders in der Form der figurierten Zahlen (Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Pentagonalzahlen, Hexagonalzahlen, ...) spielten schon in der griechischen Antike eine große Rolle. Und perfekte Zahlen gaben Anlass für allerlei Zahlenmystik. So spielte die Zahl 6 bereits bei den Pythagoreern eine große Rolle als vollkommene Zahl und als Dreieckszahl.

Ausgehend von der Beobachtung, dass die ersten drei vollkommenen Zahlen auch Dreieckszahlen sind: 33216 T=++= , 7765432128 T=++++++= ,

31314321496 T=+++++= lässt sich zeigen, dass jede gerade vollkom-

mene Zahl auch eine Dreieckszahl ist. Im Abschnitt über Mersennesche Zah-len werden wir in Kapitel 4 sehen, dass jede gerade vollkommene Zahl von der

Form )28421(2 nn +++++⋅ , also gleich )12(2 1 −⋅ +nn ist.

Aus der Gleichung 2

)12(2)12(2

111 −⋅

=−⋅++

+nn

nn folgt dann, dass die

perfekte Zahl )12(2 1 −⋅ +nn gleich der Dreieckszahl 12 1 −+nT ist.

Abschließend sei an dieser Stelle noch eine weitere von den Griechen unter-suchte Teilbarkeitseigenschaft erwähnt:

Die natürlichen Zahlen a und b heißen befreundet, wenn jede der Zahlen gleich der Summe der echten Teiler der jeweils anderen Zahl ist, wenn also

ba =)(0σ und ab =)(0σ ist. Das kleinste Paar befreundeter Zahlen besteht

aus den Zahlen 220 und 284.

Aufgabe 2.13: Verifizieren Sie, dass 220 und 284 befreundete Zahlen sind und suchen Sie (ggf. unter Nutzung eines Computers) weitere befreundete Zahlen.

1 3 6 10

Abb. 2.8: Die ersten vier Dreieckszahlen

3 Euklidischer Algorithmus, größter gemeinsamer Teiler (GGT), kleinstes gemeinsames Vielfaches (KGV)

3.1 Begriffsbeschreibung von GGT und KGV

Die folgende Begriffsbildung bezieht sich auf die Grundmenge der natür-

lichen Zahlen.

Definition 3.1: Es seien a und b natürliche Zahlen mit den Teilermengen )(aT und )(bT . Mit ),( baGGT sei der größte gemeinsame Teiler von a

und b bezeichnet, also das größte Element der Menge T a T b( ) ( )∩ .

Sind )(aV und )(bV die Vielfachenmengen von a und b, so sei mit ),( baKGV das kleinste Element von V a V b( ) ( )∩ , also das kleinste gemein-

same Vielfache von a und b bezeichnet.

Bemerkung: Die Menge T a T b( ) ( )∩ ist niemals leer, denn sie enthält in jedem Fall die natürliche Zahl 1. Ist T a T b( ) ( ) { }∩ = 1 (d.h. 1),( =baGGT ),

so nennt man die Zahlen a und b teilerfremd (oder relativ prim).

Aufgabe 3.1: Zeigen Sie, dass auch die Menge V a V b( ) ( )∩ niemals leer ist.

Beispiele: 6)24,18( =GGT ; 72)24,18( =KGV .

Veranschaulichung im Venn-Diagramm:

24

12

8 4

6

3 2

1

18

9

T(18) T(24)

GGT(18,24)

Abb. 3.1: GGT im Venn-Diagramm


40 3 EUKLIDISCHER ALGORITHMUS, GGT UND KVG

Eine Veranschaulichung des GGT im Hasse-Diagramm:

108)972864( , GGT =

Erste Rechenregeln für den GGT

Satz 3.1 (Eigenschaften des GGT): Für alle natürlichen Zahlen a und b gilt: (GGT-1) ),(),( abGGTbaGGT = (GGT-2) Ist a ein Teiler von b, so gilt GGT a b a( , ) = . Für alle natürlichen Zahlen a gilt aaGGT =)0,( . (GGT-3) Ist ba > , so ist GGT a b GGT a b b( , ) ( , )= − .

24 48 96 120 168 192 240 264 312 336

...

72 144 216 288 ...

18 36 54 90 108 126 162 180 198 234

...

V(18) V(24)

KGV(18,24)

Abb. 3.2: KVG im Venn-Diagramm

144

81

1

32

8

2

4

16

243

27

9

3

96

24

6

12

48 72

36

864

216

54

108

432

324

972

486 162

288

18

Abb. 3.3: GGT im Hasse-Diagramm

3.1 BEGRIFFSBESCHREIBUNG VON GGT UND KGV 41

Beweise: zu (GGT-1): Dies folgt unmittelbar aus der Definition. zu (GGT-2): Übung zu (GGT-3): Nach Kapitel 2, (T-4) gilt T a T b T a b T b( ) ( ) ( ) ( )∩ = − ∩ .

Dies besagt, dass die Menge der gemeinsamen Teiler von a und b gleich der Menge der gemeinsamen Teiler von a b− und b ist. Damit sind dann aber auch die jeweils größten Elemente, also die größten gemeinsamen Teiler gleich.

Ein Beispiel zu (GGT-2): 52=a , 24=b . 42452 ) , GGT( = , a b− = 28 , 42428 ) , GGT( = .

GGT und der Satz von der Division mit Rest

Erinnerung (Satz von der Division mit Rest): Zu je zwei natürlichen Zahlen a und b ( 0≠b ) gibt es stets eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen q und r mit der Eigenschaft brrbqa <≤+⋅= 0und .

Satz 3.2 (GGT und die Division mit Rest): (GGT-4) Für alle natürlichen Zahlen a und b gilt: ),(),( brGGTbaGGT = ,

wobei r der Rest bei der (Ganzzahl-) Division von a durch b ist.

Beweisidee: Iteration von (GGT-3): a a b a b a q b r→ − − − ⋅ =, , ,2 .

Folgerung: )),(,(),(),( baModaGGTraGGTbaGGT ==

3.2 Der Euklidische Algorithmus (Euklid von Alexandria ca. 365-300 v. Chr.)

Nimmt man abwechselnd immer das Kleinere vom Größeren weg, dann muss der Rest schließlich die vorhergehende Größe messen ...

Euklid, Die Elemente, Zehntes Buch §3

Vorbemerkung: Der Euklidische Algorithmus ist einer der wichtigsten Algo-rithmen in der gesamten Mathematik und der Begriff des größten gemeinsa-men Teilers spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik wie auch im Mathe-


matikunterricht (z.B. in der Bruchrechnung im Zusammenhang mit der Er-mittlung des Hauptnenners zweier Brüche, in Verbindung mit dem Kürzen u.s.w.). Es gibt höchst unterschiedliche Verfahren zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen a und b:

• Im Schulunterricht wird überwiegend eine Methode praktiziert, die auf der Primfaktorzerlegung der Zahlen a und b beruht (vgl. Kapitel 4).

• Historisch, sowie aus Optimalitäts- und innermathematischen Gründen ist der Euklidische Algorithmus zur Ermittlung des GGT von größter Bedeu-tung. Er bietet darüber hinaus den Vorteil, dass er sehr anschaulich zu be-schreiben ist, dass er im engsten Zusammenhang mit einem grundlegenden Thema des Primarstufenunterrichts steht, nämlich mit dem Verfahren der Division mit Rest, dass er intensiv mit anderen wichtigen mathematischen Themen vernetzt ist (Kettenbrüche, Fibonacci-Zahlen, Goldener Schnitt, Restklassenringe, Verschlüsselungsverfahren: Public Key Cryptography, RSA-Verfahren, ...) und dass er in natürlicher Weise zu fundamentalen philosophischen Fragen führt (Kommensurabilität).

Die entscheidende Idee des Euklidischen Algorithmus besteht darin, den Satz von der Division mit Rest nach dem Prinzip der „Wechselwegnahme“ zu iterieren (man vergleiche dazu das Eingangszitat von Euklid) – hilfreich ist auch hierbei wieder die geometrische Deutung der Situation im Sinne der grie-chischen Mathematik in der Antike (d.h. die Deutung der Zahlen a und b als Strecken). Dazu ersetzt man nach der Durchführung der Division mit Rest die ursprünglich größere Strecke a durch die ursprünglich kleinere Strecke b und b durch den Rest r. Mit diesen neuen Zahlen (oder Strecken) a und b führt man wiederum das Verfahren der Division mit Rest durch und erhält ein neues q und ein neues r. Mit diesen Strecken verfährt man wiederum nach dem Prinzip der Wechselwegnahme und nimmt die kleinere so lange von der größeren weg, wie es geht.

Es ist nun an der Zeit, das Verfahren etwas systematischer darzustellen. Mit den Umbenennungen:

aa =:0 a b1:= ra =:2 und qq =:1 (* EA-1 *)

geht die Gleichung rbqa +⋅= über in 2110 aaqa +⋅= und die wieder-

holte Anwendung des Satzes von der Division mit Rest führt zu dem folgen-den System von Gleichungen:

3.2 DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS 43

1)+k (Zeile )0(

k) (Zeile )0(

1)-k (Zeile )0(

2) (Zeile )0(

1) (Zeile )0(

0) (Zeile )0(

233221

12211

111

344332

233221

122110

++++++

+++++

++−

<≤+⋅=

<≤+⋅=

<≤+⋅=

<≤+⋅=

<≤+⋅=

<≤+⋅=

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

aaaaqa

aaaaqa

aaaaqa

aaaaqa

aaaaqa

aaaaqa

Für die Divisionsreste gilt nach dem Satz von der Division mit Rest:

b = a > a > a > > a > a > a > k k k1 2 3 1 1− +

Da alle Divisionsreste nichtnegative ganze Zahlen sind, muss die Kette dieser (streng monoton fallenden) Reste abbrechen; es muss also einen letzten von Null verschiedenen Divisionsrest an geben. Der nächste auf an folgende Divisionsrest ist dann gleich Null: an+ =1 0 . Die letzten Zeilen des obigen

Gleichungssystems lauten also:

a q a a a a

a q a a a

a q a

n n n n n n

n n n n n

n n n

− − − −

− + +

−

= ⋅ + ≤ < −

= ⋅ + = −

= ⋅

2 1 1 1

1 1 1

1

0

0

( )

( )

(Zeile n 2)

(Zeile n 1)

d.h.:

Satz 3.3 (Satz vom Euklidischen Algorithmus): Der letzte von Null verschiedene Divisionsrest ( an ) im Euklidischen Algo-

rithmus ist der größte gemeinsame Teiler der natürlichen Zahlen a und b: a GGT a bn = ( , ) .

Beweis: Aus dem Zeilenschema des Euklidischen Algorithmus folgt im Zu-sammenhang mit (GGT-4) bzw. der anschließenden Folgerung:

...),(),(),(),( 322110 ==== aaGGTaaGGTaaGGTbaGGT ),(),(),( 1112 +−−− === nnnnnn aaGGTaaGGTaaGGT

nn aaGGT == )0,(

Der Euklidische Algorithmus eignet sich hervorragend zur Abarbeitung mit einem Computer. Die ursprüngliche Form der Wechselwegnahme bezeichnen


wir als die Subtraktionsform des Euklidischen Algorithmus. Wir formulieren zunächst in der Umgangssprache:

EuklidSubtraktionsform(a, b) Solange a und b beide von Null verschieden sind, fuehre folgendes aus: Wenn a>=b, so ersetze a durch a-b, sonst ersetze b durch b-a. Die uebrig bleibende von Null verschiedene ganze Zahl ist der gesuchte groesste gemeinsame Teiler GGT(a, b).

Im Folgenden sind zwei Formulierungen in der Programmiersprache des Com-puteralgebra Systems Maxima (aus der „open source“-Welt) gegeben; zu-nächst die Subtraktionsform:

EuklidSub(a0, b0):= block([a : a0, b : b0], while not(a*b = 0) do /* solange a und b beide von Null verschieden sind */ (print(a, " ", b), if a > b then a : a-b else b : b-a ), return(a+b) ) /* Jetzt ist einer der Summanden gleich Null */

Bemerkung: Die zwischen den „Klammern“ /* und */ stehende Texte sind Kommentare ohne Auswirkung auf den Programmablauf. Der Print-Befehl im obigen Programm dient nur dazu, die Zwischenergebnisse auszudrucken. Dies kann aus didaktischen Gründen sinnvoll sein, solange man das Programm zu Lernzwecken diskutiert und laufen lässt. In einer (funktionalen) „Arbeits“-Version des Programms sollte man auf den Print-Befehl verzichten, da mit dem Ausdruck oft die Erzeugung unerwünschter Nebeneffekte verbunden ist.

Ein konkreter Aufruf (mit aktivem Print-Befehl):

EuklidSub(136, 60) 136 60 76 60 16 60 16 44 16 28 16 12 4 12 4 8 4 4

Ergebnis: 4


Die folgende graphische Darstellung dieses Beispiels verdeutlicht noch einmal die obige Argumentation, dass der letzte von Null verschiedene Divisionsrest (hier die Zahl 4) jeden der vorangehenden Divisionsreste und schließlich auch die Ausgangszahlen a und b teilt.

60 60 16

16 16 16 12

12 4

4

In der Subtraktionsform des Algorithmus treten u.U. sehr lange Subtraktions-ketten auf, bis jeweils ein neuer Divisionsrest entsteht. Dies lässt sich durch die „Divisionsform“ EuklidDiv, die dem oben dargestellten Gleichungs-system nachgebildet ist, erheblich beschleunigen.

EuklidDiv(a0, b0) := block([a : a0, b : b0], while not(a*b = 0) do (print(a, " ", b), /* Print-Befehl ggf. entfernen */ if a >= b then a : mod(a, b) else b : mod(b, a) ), return(a+b) )

Ein Aufrufbeispiel (mit aktivem Print-Befehl): EuklidDiv(136, 60) 136 60 16 60 16 12 4 12

Ergebnis: 4

Dieses „Laufzeit-Protokoll“ entspricht den Gleichungen: 136 = 2 ⋅ 60 + 16 60 = 3 ⋅ 16 + 12 16 = 1 ⋅ 12 + 4 12 = 3 ⋅ 4 + 0

Abb. 3.4: Euklidischer Algorithmus


Satz 3.4 (Satz von der Vielfachsummendarstellung): Für jeden der Reste ka im Zeilenschema des Euklidischen Algorithmus

gilt: Es gibt ganze Zahlen kx und ky mit der Eigenschaft:

byaxa kkk ⋅+⋅= .

Die Werte von kx und ky können dabei wie folgt gewählt werden:

01 00 == yx

10 11 == yx

und für 2≥k : 112 −−− ⋅−= kkkk xqxx bzw. 112 −−− ⋅−= kkkk yqyy .

Beweis: Der Beweis ergibt sich mit vollständiger Induktion (nach der Zeilen-zahl k) aus dem Iterationsschema des Euklidischen Algorithmus. (Die voll-ständige Induktion wird dabei in einer Variante durchgeführt, bei der in der Induktionsannahme von der Gültigkeit der Aussage für die letzten beiden Werte, hier 2−k und 1−k , ausgegangen wird.)

Induktionsverankerung: Die Aussage gilt für 0=k und 1=k , denn es gilt

Zeile 0: aa =0 und mit 10 =x und 00 =y ist

ababyaxa =⋅+⋅=⋅+⋅= 01000 .

Mit der obigen Definition, siehe (* EA-1 *), folgt weiterhin:

Zeile 1: ba =1 und bbabyaxa =⋅+⋅=⋅+⋅= 10111 .

Im Induktionsschritt ist nun zu zeigen, dass aus der Induktionsannahme (d.h. der Gültigkeit der Aussage für die Zeilen 2−k und 1−k ) der Induktions-schluss (also die Gültigkeit für die Zeile k) folgt. Es sei also

byaxa kkk ⋅+⋅= −−− 222 und byaxa kkk ⋅+⋅= −−− 111 .

Dann ist

byax

byqyaxqx

byaxqbyax

aqaa

kk

kkkkkk

kkkkk

kkkk

⋅+⋅=

⋅⋅−+⋅⋅−=

⋅+⋅⋅−⋅+⋅=

⋅−=

−−−−−−

−−−−−

−−−

)()(

)()(

112112

11122

112

Der Satz von der Vielfachsummendarstellung besitzt viele wichtige Anwen-dungen; meist bezieht man sich dabei jedoch auf die


Folgerung (Lemma von Bachet12 oder auch Lemma von Bézout13): Für alle natürlichen Zahlen a und b gibt es ganze Zahlen x und y mit der Eigen-schaft byaxbaGGT ⋅+⋅=),( . (* V *)

Beweis: Mit den Bezeichnungen aus dem Euklidischen Algorithmus gilt:

byaxbyaxabaGGT nnn ⋅+⋅=⋅+⋅==),( (mit nxx =: und nyy =: ).

Bemerkung: Die Bezeichnung „Vielfachsummendarstellung“ ist zwar tref-fend, aber nicht standardisiert. Die Gleichung (* V *) wird in der Literatur gelegentlich auch als „Linearkombination“ und die ganzzahligen Faktoren x und y werden dementsprechend (nicht falsch, aber ungenau) als „Linearfakto-ren“ bezeichnet. Welche Bezeichnung auch immer gewählt wird; es bleibt festzuhalten, dass die Faktoren x und y nicht eindeutig bestimmt sind.

Beispiel: Für 136=a und 60=b ergibt sich der folgende Verlauf

Euklidischer Algorithmus Vielfachsummendarstellung

136 = 2⋅60 + 16 16 = 136 - 2⋅60 60 = 3⋅16 + 12 12 = 60 - 3⋅16 = 60 - 3⋅(136 - 2⋅60) = (-3)⋅136 + 7⋅60 16 = 1⋅12 + 4 4 = 16 - 12 = (136 - 2⋅60)–((-3)⋅136 + 7⋅60) 12 = 3⋅4 + 0 = 4⋅136 - 9⋅60

Die Darstellung ist jedoch nicht eindeutig; es gilt z.B. auch:

4 = 4⋅136 - 9⋅60 + (60⋅136 - 136⋅60) = 64⋅136 - 145⋅60 = ...

Folgerung: Sind die natürlichen Zahlen a und b teilerfremd (d.h. ist GGT a b( , ) = 1), dann gilt: Es gibt ganze Zahlen x und y mit der Eigen-schaft x a y b⋅ + ⋅ = 1.

Bemerkung: Die Formulierungen 1=⋅+⋅ byax und b x a| ⋅ − 1 sind

offensichtlich gleichwertig. In der später einzuführenden Sprache der Kon-gruenzen (Kapitel 5) drückt man diesen Sachverhalt auch durch die Schreib-weise x a mod b⋅ ≡ 1 ( ) aus. Man sagt im letzteren Fall auch: x und a sind

„invers zueinander modulo b“, bzw. x ist ein Inverses von a modulo b. 12 Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581–1638) französischer Mathematiker 13 Etienne Bézout (1730−1783) französischer Mathematiker


Für viele Aufgaben (so z.B. im Zusammenhang mit dem Auffinden von inver-sen Elementen in der Restklassenarithmetik) ist es nicht nur wichtig zu wissen, dass es solche ganze Zahlen x und y gibt, sondern auch konkrete numerische Werte für x und y zu finden. Dies leistet der Berlekamp-Algorithmus, eine naheliegende Verallgemeinerung des Euklidischen Algorithmus, bei der i.w. über die obigen sukzessive gebildeten Vielfachen xk und yk „Buch ge-

führt“ wird, so dass sie am Ende des Programmlaufs zusammen mit dem größten gemeinsamen Teiler ausgegeben werden können.

Aufgabe 3.2 (für Leser mit entsprechenden Programmierkenntnissen): For-mulieren Sie den Berlekamp-Algorithmus und setzen Sie ihn in ein Compu-terprogramm um.

Hinweis: „Das Lemma von Bachet“ in Deutsches Institut für Fernstudien (DIFF), Tübingen), Computer im Mathematikunterricht, Heft CM 1, Algo-rithmen der elementaren Zahlentheorie, 30-31.

Wir fahren fort mit der Diskussion grundlegender Eigenschaften des GGT.

(GGT-5) Es gilt T a T b T GGT a b( ) ( ) ( ( , ))∩ = .

(In Worten: Jeder gemeinsame Teiler von a und b ist ein Teiler des größ-ten gemeinsamen Teilers von a und b und jeder Teiler von GGT(a, b) ist ein gemeinsamer Teiler von a und b.)

Beispiel: T T( ) ( ) { , , , , , } { , , , , , , , } { , , , }18 24 1 2 3 6 9 18 1 2 3 4 6 8 12 24 1 2 3 6∩ = ∩ =

= =T T GGT( ) ( ( , ))6 18 24

Beweis von GGT-5:

(1.) Zu zeigen: Jeder gemeinsame Teiler t von a und b ist ein Teiler von ),( baGGT .

Aus at | und bt | folgt t a q b| − ⋅ , also rt | , wo q und r die durch

die Division mit Rest bestimmten Größe sind. Mit einem entsprechenden Argument folgt, dass t alle im Iterationsverfahren des Euklidischen Algo-rithmus auftretenden Divisionsreste teilt, insbesondere also den letzen von Null verschiedenen Divisionsrest – und dies ist ),( baGGT .

(2.) Zu zeigen: Jeder Teiler t von ),( baGGT ist ein gemeinsamer Teiler

von a und b.

Dies folgt aber unmittelbar aus der Transitivität der Teilbarkeitsrelation.


Charakterisierung des GGT

In der Mathematik sagt man, eine Eigenschaft charakterisiert einen Begriff, wenn die Menge der Elemente, die diese Eigenschaft erfüllen mit derjenigen Menge zusammenfällt, die dem Begriff unterliegen.

(GGT-6) Jeder gemeinsame Teiler von a und b teilt ),( baGGT .

(GGT-7) ),( baGGT ist durch die Aussage (GGT-6) charakterisiert; d.h., ist

t ein gemeinsamer Teiler von a und b, der von jedem gemeinsamen Teiler von a und b geteilt wird, dann gilt: GGT(a, b)t = .

Bemerkung: Man kann die Aussage (GGT-7) also folgendermaßen als Be-weisstrategie verwenden: Wenn man zeigen will, dass eine natürliche Zahl u der größte gemeinsame Teiler von a und b ist, so zeige man, dass u ein gemeinsamer Teiler von a und b ist, der von jedem gemeinsamen Teiler von a und b geteilt wird.

Beweis: (GGT-6) ist nur noch einmal eine Umformulierung von (GGT-5).

Zu (GGT-7): Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b, der von jedem ge-meinsamen Teiler von a und b geteilt wird. Dann wird t insbesondere auch von ),( baGGT (=: d) geteilt; d.h. td | . Andererseits ist (nach Definition)

d t≥ und dies ist nur möglich für d t= .

Charakterisierung des KGV

(KGV-1) ),( baKGV teilt jedes gemeinsame Vielfache von a und b.

(KGV-2) ),( baKGV ist durch die Aussage (KGV-1) charakterisiert; d.h.,

ist v ein gemeinsames Vielfaches von a und b, das jedes gemeinsame Viel-faches von a und b teilt, dann gilt: ),( baKGVv = .

Beweis: Übung

Weitere Rechenregeln für den GGT

Satz 3.5 (Eigenschaften des GGT): Für alle natürlichen Zahlen a, b und c (mit 0≠c ) gilt: (GGT-8) GGT c a c b c GGT a b( , ) ( , )⋅ ⋅ = ⋅

Beispiel: 42)168,126( =GGT


6742,247168,187126 ⋅=⋅=⋅=

)24,18(7)247,187( GGTGGT ⋅=⋅⋅

Beweis von (GGT-8): Sei d GGT c a c b: ( , )= ⋅ ⋅ . Da c ein gemeinsamer Teiler von c a⋅ und c b⋅ ist, gilt: dc | .

Also ist dd

c1:= eine natürliche Zahl.

Zwischenbehauptung: d GGT a b1 = ( , ) . (*)

Beweis: 1. Es ist zu zeigen: ad |1 und bd |1 .

Nach Definition von d ist dkac ⋅=⋅ für ein geeignetes k; also gilt

1dckac ⋅⋅=⋅ . Durch Kürzen mit c ( 0≠c ) folgt sofort 1dka ⋅= , d.h.

ad |1 .

Ebenso wird gezeigt: bd |1 . Also ist 1d ein gemeinsamer Teiler von a

und b.

2. Es bleibt noch zu zeigen: Jeder gemeinsame Teiler von a und b teilt auch 1d .

Sei u ein solcher gemeinsamer Teiler: au | und bu | . Dann gilt auch: u c a c⋅ ⋅| und u c b c⋅ ⋅| und somit u c d⋅ | , denn ),( bcacGGTd ⋅⋅= .

Daraus folgt ud

cd| ( )= 1 .

Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen.

Gleichung (*) besagt nun: GGT a bGGT c a c b

c( , )

( , )=

⋅ ⋅ und die Aussage

(GGT-8) folgt sofort.

(GGT-9) Aus ac| und bc| folgt GGTa

c

b

c

GGT a b

c( , )

( , )=

Beispiel: 462|6,210|6

6

)462,210(

6

427)77,35()

6

462,

6

210(

GGTGGTGGT ====

Beweis von (GGT-9): Es sei c

aa =:1 und b

b

c1:= ; das heißt caa ⋅= 1 und

b b c= ⋅1 . Nach (GGT-8) folgt dann: ),(),( 1111 baGGTccbcaGGT ⋅=⋅⋅ ,


also c

baGGT

c

b

c

aGGT

),(),( = .

(GGT-10) Ist d GGT a b= ( , ) , so ist 1),( =d

b

d

aGGT ;

(mit anderen Worten: GGTa

GGT a b

b

GGT a b(

( , ),

( , )) = 1).

Beweis von (GGT-10): Wendet man (GGT-9) speziell auf den gemeinsamen Teiler d GGT a b: ( , )= an, so folgt unmittelbar:

1),(

),( ===d

d

d

baGGT

d

b

d

aGGT .

Fibonacci-Zahlen

In seinem Liber Abaci formulierte Leonardo von Pisa (Fibonacci) im Jahre 1202 das inzwischen als „Kaninchenaufgabe“ berühmt gewordene Problem:

Ein Mann hielt ein Paar Kaninchen an einem Ort, der ringsum von einer Mauer umgeben war, um herauszufinden, wie viele Paare daraus in einem Jahr entstünden. Dabei ist es ihre Natur, jeden Monat ein neues Paar auf die Welt zu bringen, und sie gebären erstmals im zweiten Mo-nat nach ihrer Geburt. ...

Die Mathematisierung dieser Aufgabe führt zu einer der bekanntesten Zahlen-folgen, der Folge der Fibonacci-Zahlen. Sie beginnt folgendermaßen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181

Die charakteristische Eigenschaft der Fibonacci-Zahlen ist, dass (ab der drit-ten) jede Zahl die Summe ihrer beiden Vorgänger ist. Die Fibonacci-Zahlen sind eine der am besten untersuchten Folgen überhaupt (es gibt ganze Bücher über die Fibonacci-Zahlen; siehe z.B. Posamentier 2007).

Aufgabe 3.3: Berechnen Sie die Fibonacci-Zahlen mit Hilfe geeigneter Com-putersoftware • rekursiv • iterativ • mit Hilfe einer Tabellenkalkulationsprogrammes Führen Sie Laufzeittests durch.

Aufgabe 3.4: Zeigen Sie: Je zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen sind teilerfremd.


3.3 Exkurs: Paradigmatisches14 Beweisen und Visualisierung

Eine wichtige Veranschaulichung des größten gemeinsamen Teilers der natür-lichen Zahlen a und b besteht darin, dass man ihn als die Seitenlänge des größten Quadrats deutet, mit dem ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b lückenlos „gepflastert“ werden kann.

Beispiel: 8=a , 6=b , 2 GGT(a, b)d : ==

Entsprechend ist das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b die Seiten-länge des kleinsten Quadrats, das mit Rechtecken der Seitenlängen a und b lückenlos (wie in der folgenden Abbildung) gepflastert werden kann:

14 Paradigma (griechisch): Beispiel, Muster paradigmatisch: von modellhaftem Charakter

Abb. 3.6: Pflasterung des KGV mit GGT-Quadraten

Abb. 3.5: Pflasterung mit GGT-Quadraten

a

b

d

a

b

KGV(a, b)

KGV(a, b)

d = GGT(a, b)

3.3 EXKURS: PARADIGMATISCHES BEWEISEN UND VISUALISIERUNG 53

Wir wollen diese Veranschaulichung nutzen, um eine paradigmatische Be-gründung für den folgenden Satz zu geben.

Satz 3.6 (Produkt aus GGT und KGV): a b GGT a b KGV a b⋅ = ⋅( , ) ( , )

Dazu betrachten wir im Rechteck in Abb. 3.5 die folgenden Größen:

• Anzahl der „fett umrahmten“ Spalten: 8

24( )= ; allgemein:

d

as =

• Anzahl der „fett umrahmten“ Zeilen: 6

23( )= ; allgemein:

d

bz =

Daraus folgt

• Anzahl der „fett umrahmten“ Quadrate 4 3 12⋅ =( ) ; allgemein: d

b

d

a⋅ .

Wir bezeichnen diese Anzahl mit A: d

b

d

aA ⋅=: .

Die Größe A d ab

d

a

db⋅ = ⋅ = ⋅( ) ist dann ein gemeinsames Vielfaches von

a und b.

Abbildung 3.6 macht deutlich, dass das Quadrat mit der Seitenlänge KGV(a, b)V : = mit Quadraten der Seitenlänge d gepflastert werden kann.

Es gilt: • im Beispiel: szdzsdV ⋅⋅=⋅⋅=

)2

8

2

62()

2

6

2

82(2424 ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅VV

• allgemein: V V da

d

b

dd

b

d

a

d

a b

d

a b

d⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅⋅

⋅( ) ( ) .

Mit A da b

d⋅ =

⋅ folgt 22 )( dAV ⋅= , und da alle Zahlen positiv sind, gilt:

V A d= ⋅ .

A d⋅ ist also das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b und daraus folgt:

bad

baddAdVdbaKGVbaGGT ⋅=

⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅ ),(),( .


Aufgabe 3.5:

• Informieren Sie sich über den Begriff des paradigmatischen Beweisens (ein Literaturhinweis: A. Kirsch, 1979).

• Geben Sie einen geometrisch-anschaulichen Beweis für die vom jungen Gauß entdeckte Formel (* G *) − siehe Kapitel1. (Hinweis: Treppendarstellung).

Die Methode der Visualisierung ist sowohl für das Erlernen von Mathematik, wie auch für das mathematische Problemlösen grundsätzlich sehr hilfreich. Ein Thema, wo dies besonders deutlich wird, ist der

Satz 3.7 (Satz von Sylvester15): Die natürliche Zahl a (a > 1) besitzt genau dann einen ungeraden Teiler, wenn sie sich als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen schrei-ben lässt.

Beispiele: a = 30 = 4+5+6+7+8 = 5 • 6 bzw. a = 14 = 2+3+4+5 = 2 • 7

Aufgabe 3.6: Beweisen Sie den Satz von Sylvester.

Hinweise: Überführung der Rechtecksdarstellung in die Treppendarstellung und umgekehrt anhand einer geeigneten „Mittenzahl“.

Fallunterscheidungen:

1. Die Anzahl der Summanden ist ungerade: Dann gibt es eine „Mittenzahl“. Idee: Verteilung der Nachbarsummanden nach dem Prinzip: links eins mehr,

weniger, rechts eins u.s.w.

2. Die Anzahl der Summanden ist gerade. Dann gibt es keine Mittenzahl, aber eine Mitten-Senkrechte. Verteilung der Nachbarsummanden nach dem Prinzip: links 1/2 mehr, rechts 1/2 weniger, u.s.w.

15 James Joseph Sylvester (1814−1897), englischer Mathematiker

4 Primzahlen 2 is the oddest of all primes.

Zugeschrieben: Philip Hall, englischer Mathematiker (Gruppentheorie) des 20. Jahrhunderts

4.1 Der Begriff der Primzahl

Die Primzahlen sind einer der ältesten und interessantesten Untersuchungs-gegenstände der Mathematik. Sie stellen die Bausteine dar, aus denen die na-türlichen Zahlen aufgebaut sind. Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie be-sagt, dass sich jede natürliche Zahl multiplikativ aus Primzahlen zusammen-setzt, wobei diese Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig ist (vgl. Satz 4.3). Die Primzahlen sind also, multiplikativ gesehen, die Atome, aus denen sich die natürlichen Zahlen zusammensetzen.

Auch für andere Zahlensysteme oder algebraische Systeme sind Primzahlen, Primelemente oder dem Primzahlbegriff nachgebildete Begriffe (wie z.B. Irre-duzibilität) von zentraler Bedeutung. Eine faszinierende Eigenschaft der Primzahlen ist die Unregelmäßigkeit, mit der sie in der Zahlenreihe auftreten. Gesetzmäßigkeiten in der Primzahlreihe zu entdecken, war schon immer eine wichtige Forschungsrichtung in der Mathematik.

Ausgangspunkt: Es gibt natürliche Zahlen, die sehr wenige Teiler besitzen; nämlich nur die „trivialen“ Teiler (1 und die Zahl selbst). Solche Zahlen nennt man Primzahlen, wenn sie von 1 verschieden sind. (Es gibt gute Gründe, die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zu rechnen. Einer dieser Gründe wäre, dass bei Einbezug der 1 der Hauptsatz der Zahlentheorie nicht gelten würde.)

Definition 4.1: Eine natürliche Zahl a ( )a > 1 heißt Primzahl, wenn sie (in

der Menge der natürlichen Zahlen) nur die beiden (trivialen) Teiler 1 und a besitzt.

Eine natürliche Zahl a, die sich schreiben lässt als a x y= ⋅ (mit nichttrivialen

ganzzahligen Faktoren x und y) heißt zerlegbar oder zusammengesetzt. Jede natürliche Zahl a ( )a > 1 ist entweder eine Primzahl oder sie ist zerlegbar.

In der Menge der natürlichen Zahlen fallen also die Begriffe Primzahl und unzerlegbare (irreduzible) Zahl zusammen.

Die folgende Tabelle enthält alle (168) Primzahlen zwischen 0 und 1000:


56 4 PRIMZAHLEN

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,

97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,

227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,

283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359,

367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433,

439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503,

509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593,

599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,

661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743,

751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827,

829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911,

919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Die größte im Jahr 2013 bekannte Primzahl war die „Mersennesche“ Primzahl

1-2 M 5788516157885161 = (die Mersenneschen Zahlen werden in Abschnitt

4.8 behandelt). Im Dezimalsystem geschrieben, benötigt sie 17.425.170 Stellen. Geht man davon aus, dass etwa 3000 Ziffern auf eine DIN A4 Seite passen, so benötigte man etwa 5.800 Seiten, um diese Zahl dezimal aufzu-schreiben.

Bemerkung zum Auftreten von Primzahlen in Teilermengen: Für jede natürli-che Zahl a ( )a > 1 ist der kleinste von 1 verschiedene Teiler von a stets eine

Primzahl. (Beweis: Übung)

4.2 Die Unendlichkeit der Primzahlmenge

Die folgende wortgetreue Wiedergabe von Euklids Formulierung (Euklid von Alexandria: ca. 365–300 v. Chr.) beruht auf Heibergs Text, aus dem Griechi-schen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer (Ostwald‘s Klassiker 1973).

Satz 4.1 (Satz von Euklid): Die Elemente, Neuntes Buch, §20: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.

4.2 DIE UNENDLICHKEIT DER PRIMZAHMENGE 57

Beweis: Die vorgelegten Primzahlen seien a, b, c. Ich behaupte, dass es mehr Primzahlen gibt als a, b, c.

Man bilde die kleinste von a, b, c gemessene Zahl; sie sei DE, und man füge zu DE die Einheit DF hinzu. Entweder ist EF dann eine Primzahl, oder nicht. Zunächst sei es eine Primzahl. Dann hat man mehr Primzahlen als a, b, c gefunden, nämlich a, b, c, EF.

Zweitens sei EF keine Primzahl. Dann muss es von irgendeiner Prim-zahl gemessen werden; es werde von der Primzahl g gemessen. Ich behaupte, dass g mit keiner der Primzahlen a, b, c zusammenfällt. Wenn möglich, tue es dies nämlich. a, b, c messen nun DE; auch g müsste dann DE messen. Es misst aber auch EF. g müsste also auch den Rest, die Einheit DF messen, während es eine Zahl ist; dies wäre Unsinn. Also fällt g mit keiner der Zahlen a, b, c zusammen; und es ist Primzahl nach Voraussetzung. Man hat also mehr Primzahlen als die vorgelegte Anzahl a, b, c gefunden, nämlich a, b, c, g – q.e.d.

Einige Bemerkungen zum Satz von Euklid und seinem Beweis:

1. Dem Euklidischen Bewies liegt die für die Griechen typische Methode der Deutung von Zahlen durch Strecken zugrunde:

2. Streng genommen, beweist der Beweis nicht das, was der Satz aussagt.

Denn Euklid spricht im Satz von jeder vorgelegten Menge von Primzahlen; er führt den Beweis aber nur anhand einer dreielementigen Menge von Primzahlen aus. Nach den heute in der Mathematik üblichen Gepflogen-heiten müsste der Beweis etwa folgendermaßen beginnen:

Sei M p pn: { ,... , }= 1 eine beliebige Menge endlich vieler

Primzahlen. ...

Obwohl der Euklidische Beweis also nicht die Behauptung in voller Allge-meinheit aufgreift, enthält er doch aber alles Wesentliche. Es ist unmittel-

E D F

a ⋅ b ⋅ c1

Abb. 4.1: zu Euklids Beweis für den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt

58 4 PRIMZAHLEN

bar klar, dass sich die gegebene Begründung sofort auch auf vorgegebene Mengen von 4, 5, oder einer anderen, beliebigen endlichen Anzahl von Primzahlen übertragen ließe. Der an einem (typischen) Beispiel gegebene Beweis ist ohne weiteres auf jedes beliebige andere Beispiel übertragbar. Beweise bzw. Begründungen oder Argumentationen dieser Art bezeichnet man auch als paradigmatisch.

3. Der Satz des von Euklid und sein Beweis in „moderner“ Formulierung:

Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis: Wir zeigen, dass zu jeder beliebigen vorgegebenen endlichen Menge von Primzahlen, etwa zur Menge der Primzahlen { , ... , }p pn1 , eine

neue Primzahl konstruiert werden kann, die nicht in dieser Menge enthalten ist. (Damit ist klar, dass die Menge der Primzahlen nicht endlich sein kann, dass sie also unendlich ist; d.h., dass sie unendlich viele Elemente enthält). Sei v ein gemeinsames Vielfaches (z.B. das Produkt) dieser vorgegebenen Primzahlen: nppv ⋅⋅= ...1 . Man betrachte die Zahl v p pn+ = ⋅ ⋅ +1 11 ... .

Sie besitzt, wie jede natürliche Zahl (größer als 1), einen kleinsten Primtei-ler q (dies schließt als Möglichkeit auch den Fall ein, dass v + 1 selbst eine Primzahl, dass also v q+ =1 ist). Die Primzahl q ist von jeder der Primzahlen p pn1 , ... , verschieden, denn die Zahl v + 1 ist zwar durch q, aber durch keine der Primzahlen p pn1 , ... , teilbar (sie lässt bei der

Division durch jede dieser Primzahlen ja offensichtlich den Rest 1). Also haben wir mit q eine neue Primzahl gefunden, die noch nicht unter den ur-sprünglich gegebenen Primzahlen p pn1 , ... , vorkam.

4. Der Unterschied in der ursprünglichen und modernen Formulierung des Satzes von Euklid ist nicht nur stilistischer Natur – in diesen Formulie-rungen kommen grundlegende Unterschiede philosophischer Natur zum Ausdruck. Sie betreffen die Frage: Von welcher Art ist das Unendliche? Euklid beschreibt mit der Menge der Primzahlen eine unendliche Menge, ohne den Begriff „unendlich“ überhaupt zu erwähnen. Die Menge der Primzahlen ist in Euklids Formulierung in dem Sinne unendlich, dass jede vorgegebene endliche Menge von Primzahlen durch neue Primzahlen er-weiterbar ist; dass also keine endliche Menge von Primzahlen die Gesamt-heit aller Primzahlen erschöpfend umfasst.

4.2 DIE UNENDLICHKEIT DER PRIMZAHMENGE 59

Die Unendlichkeit der Primzahlmenge besteht bei Euklid in der Möglich-keit, jede endliche Menge von Primzahlen zu erweitern. Man bezeichnet heute diese Auffassung vom Unendlichen als die des potentiell16 Unendli-chen.

Im Gegensatz dazu liegt der Formulierung „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ – oder noch deutlicher der Fassung „Die Menge der Prim-zahlen ist unendlich“ die Vorstellung zugrunde, dass es sich bei dieser Menge um etwas Abgeschlossenes handelt; die Menge aller Primzahlen ist in diesem Sinne wie ein (sehr) großer Sack, der alle Primzahlen (und nichts weiter) enthält. Dies sei auch unbeschadet der Tatsache richtig, dass der menschliche Geist diese unendliche Gesamtheit nie auf einmal völlig erfas-sen kann. Die Idee der Menge aller Primzahlen ist eine der Ideen in Pla-tons „Ideenhimmel“, von der wir Menschen immer nur einen Schatten erha-schen können. Wenn man von dieser Vorstellung über die Unendlichkeit ausgeht, dann ist die Menge aller Primzahlen etwas Fertiges, Abgeschlos-senes, Aktuales. Man bezeichnet diese Auffassung vom Unendlichen heute als die des aktual17 Unendlichen.

Aufgabe 4.1:

Dem kleinen Fritz kommt die Formulierung

... Man betrachte die Zahl v p pn+ = ⋅ ⋅ +1 11 ... Sie besitzt, wie jede

natürliche Zahl (größer als 1), einen kleinsten Primteiler q ...

im Beweis des Satzes von Euklid etwas umständlich vor. Nach der Betrach-tung einiger Beispiele kommt er zu dem Schluss, dass man nach dem folgen-den Schema stets sofort eine neue Primzahl bekommt. Er beginnt mit den Primzahlen 2 und 3 und rechnet:

2•3 + 1 = 7 (Primzahl) 2•3•5 + 1 = 31 (Primzahl) 2•3•5•7 + 1 = 211 (Primzahl) 2•3•5•7•11 + 1 = 2311 (Primzahl) ... Überprüfen Sie die Argumentation des kleinen Fritz.

16 potentiell (lateinisch): möglich, denkbar 17 aktual (lateinisch): tatsächlich vorhanden; im Gegensatz zu: potentiell

60 4 PRIMZAHLEN

Aufgabe 4.2: Es sei n zusammengesetzte Zahl. Dann hat n einen Primteiler

p mit der Eigenschaft np ≤ .

4.3 Die Suche nach Primzahlen: Das Sieb des Eratosthenes

Schon im Altertum war man bestrebt, einen möglichst guten Überblick über die Primzahlen zu gewinnen. Euklid zeigte, dass es unendlich viele Primzah-len gibt. Der griechische Mathematiker Eratosthenes von Kyrene (ca. 276-194 v. Chr.) gab das folgende Verfahren an, um alle Primzahlen bis zu einer be-stimmten vorgegebenen Zahl n zu bestimmen. Es sei hier am Beispiel

20=n erläutert.

1. Schreibe alle Zahlen von 1 bis 20 auf: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. Streiche die Zahl 1 (sie wird aus guten Gründen nicht zu den Primzahlen gerechnet): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. Unterstreiche die Zahl 2: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4. Streiche alle echten Vielfachen von 2; also die Zahlen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 und 20: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. Unterstreiche die erste „freie“ (d.h. noch nicht unterstrichene oder gestri-chene) Zahl; in diesem Fall also die Zahl 3: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. Streiche aus den verbleibenden Zahlen alle echten Vielfachen von 3; also die Zahlen 9 und 15: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. Unterstreiche die kleinste freie Zahl; in diesem Fall also die Zahl 5: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. Streiche aus den verbleibenden Zahlen alle echten Vielfachen der Zahl 5. Da die in Frage kommenden Zahlen 10, 15 und 20 bereits gestrichen sind, tritt in diesem Fall (Obergrenze = 20) keine Veränderung auf. 9. Setze das Verfahren so lange fort, bis jede der Zahlen entweder unterstri-chen oder gestrichen ist. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. Ende des Verfahrens. Die unterstrichenen Zahlen sind die Primzahlen zwischen 1 und 20.

4.3 DAS SIEB DES ERATOSTHENES 61

Durch dieses Verfahren werden, wenn man so will, also genau die Primzahlen „ausgesiebt“. Man nennt das Verfahren deshalb auch das Sieb des Eratosthe-nes bzw. kurz das Siebverfahren.

Aufgabe 4.3:

1. Führen Sie das Siebverfahren von Hand für die natürlichen Zahlen von 1 bis 200 durch.

2. Geben Sie eine allgemeine Beschreibung des Siebverfahrens, die von der Zahl 20 unabhängig ist; die Obergrenze sei allgemein mit g bezeichnet.

3. Zeigen Sie: Ist die Zahl a zerlegbar, z.B. yxa ⋅= (mit von 1 verschie-

denen Faktoren x und y), so ist einer der Faktoren kleiner oder gleich

a . 4. Aufgabenteil 3. hat zur Folge, dass das Siebverfahren erheblich verkürzt werden kann, denn man ist mit dem Streichen der Vielfachen schon fertig,

wenn die Zahl g erreicht und verarbeitet ist. Formulieren Sie den Algo-

rithmus so, dass diese Verbesserung der „Laufzeiteffizienz“ realisiert wird.

Eine „dynamische“ Version des Siebverfahrens ist im Internet zu finden unter der Adresse: http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/ Sieb-des-Eratosthenes/Sieb-des-Eratosthenes-Simulation.htm

Bemerkung: Gelegentlich kann man lesen, dass das Sieb des Eratosthenes dazu dient, die Primzahlen (d.h. alle Primzahlen) zu ermitteln. Ein Blick auf den Algorithmus genügt aber, um festzustellen, dass er nur dann funktionieren kann, wenn man sich von vorn herein auf einen endlichen Zahlenabschnitt beschränkt (im Beispiel: die natürlichen Zahlen von 1 bis 20). Das Sieb des Eratosthenes liefert also stets nur die Primzahlen bis zu einer bestimmten, von vorn herein festzulegenden oberen Grenze. Diese Grenze lässt sich jedoch durch mehrere „Läufe“ des Verfahrens immer weiter nach oben verschieben. Die (unendliche) Menge der Primzahlen wird durch das Sieb des Eratosthenes also als potentiell unendliche Menge erschlossen. Es sei an dieser Stelle nochmals an die weise Formulierung von Euklid erinnert: Es gibt mehr Prim-zahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.

62 4 PRIMZAHLEN

Aufgabe 4.4 (für Leser mit entsprechenden Programmierkenntnissen):

1. Man kann die Idee von der Menge der Primzahlen als potentiell unendlicher Menge dadurch operationalisieren, dass man die Obergrenze im Sieb des Eratosthenes immer weiter nach oben verschiebt.

Setzen Sie diese Idee in ein Computer-Programm um. Versuchen Sie da-bei, bei der Erhöhung der Obergrenze so vorzugehen, dass die in vorange-gangenen Läufen erzielten Ergebnisse nach Möglichkeit übernommen wer-den (dass sie also nicht vor jedem neuen Lauf „weggeworfen“ werden). Da dies stark von den Möglichkeiten der verwendeten Programmiersprache ab-hängt, soll an dieser Stelle nicht näher darauf eingegangen werden.

Damit das Programm überhaupt einmal stoppt, muss an strategisch geeigne-ter Stelle eine Abfrage („Ende des Verfahrens?: Ja/Nein“) eingebaut wer-den.

2. Beginnend mit der Primzahl 2 führt das in Euklids Beweis beschriebene Verfahren zu einer eindeutig bestimmten Folge von Primzahlen, wenn man als neue Primzahl immer den kleinsten Teiler des um 1 vergrößerten Pro-dukts aller in der jeweiligen Stufe bekannten Primzahlen nimmt.

Diese Folge wird auch als Euclid-Mullin-Folge bezeichnet. Sie hat die Nr. A000945 in Sloanes On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS, vgl. https://oeis.org/). Die Folge hat das Anfangsstück: 2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, ...

Schreiben Sie ein Programm zur sukzessiven Berechnung der Glieder der Euclid-Mullin Folge.

4.4 Primeigenschaft und Unzerlegbarkeit

Ein Fundamental-Lemma18 über Primzahlen19: Teilt eine Primzahl p ein Produkt a b⋅ von zwei natürlichen Zahlen a und b, so teilt p (min-destens) einen der Faktoren.

18 Lemma (griechisch): Hilfssatz (Manches Lemma startet seine Existenz relativ bescheiden – eben als „Hilfs“-Satz. Gelegentlich kommt es aber vor, dass die Bedeutung des zunächst unscheinbaren Lemmas stark zunimmt, und so ist manches Lemma, wie z.B. das vorliegende Fundamental-Lemma oder das Lemma von Sperner oder das Lemma von Zorn, berühmter als mancher Satz.)

4.4 PRIMEIGENSCHAFT UND UNZERLEGBARKEIT 63

Beweis: Wir zeigen: Wenn p einen der Faktoren (z.B. den Faktor b) nicht teilt, so teilt es den anderen Faktor (in diesem Fall also den Faktor a). Die Primzahl p sei also kein Teiler von b. Dann sind p und b teilerfremd und nach dem Lemma von Bachet gibt es ganze Zahlen x und y mit der Eigenschaft bypx ⋅+⋅=1 . Daraus folgt baypxaa ⋅⋅+⋅⋅= . Da p nach

Voraussetzung die rechte Seite dieser Gleichung teilt, muss es auch die linke Seite, also a, teilen.

Folgerung: Teilt eine Primzahl p ein Produkt a an1⋅ ⋅... aus n natürlichen Zahlen a an1 ,... , , so teilt p (mindestens) einen der Faktoren.

Beweis: Übung (Hinweis: vollständige Induktion)

Satz 4.2 (Primzahlkriterium): Für die natürliche Zahl p ( )p > 1 sind die beiden folgenden Aussagen

gleichwertig:

(P1) p ist eine Primzahl.

(P2) Für alle natürlichen Zahlen a und b gilt: Aus p a b| ⋅ folgt p a| oder p b| .

Beweis: Die Teilaussage „aus (P1) folgt (P2)“ ist gerade die Aussage des Fundamentallemmas.

Beweis der Teilaussage „aus (P2) folgt (P1)“: Es ist zu zeigen: Jede natürli-che Zahl p mit der Eigenschaft (P2) ist eine Primzahl. Sei d ( )d ∈ ein Teiler von p. Dann ist also p d n= ⋅ für eine natürliche Zahl n; insbeson-dere gilt dann p d n| ⋅ . Nach Voraussetzung (P2) folgt daraus p d| oder p n| . 1. Fall: Es gelte p d| . Mit d p| (wegen ndp ⋅= ) folgt daraus

d p= . 2. Fall: Es gelte p n| . Wegen n p| ( p d n= ⋅ ) folgt daraus p n=

und d = 1.

Das heißt: Jeder Teiler d von p ist ein „trivialer“ Teiler und p ist eine Primzahl. 19 Das Fundamental-Lemma wird auch als „Lemma von Euklid“ bezeichnet. Euklid formuliert in den Elementen, Siebentes Buch, §30: „Wenn zwei Zahlen, indem sie einander vervielfältigen, irgendeine Zahl bilden und irgendeine Primzahl dabei das Produkt misst, dann muss diese auch eine der ursprünglichen Zahlen messen“.

64 4 PRIMZAHLEN

Primeigenschaft und Unzerlegbarkeit − ein Exkurs zur Begriffsbildung

Die im obigen Fundamentallemma beschriebene Eigenschaft zeichnet die „Re-chenbereiche“ der natürlichen und ganzen Zahlen aus. Es gibt andere für die Mathematik bedeutsame Rechenbereiche, wo die entsprechende Aussage nicht gilt.

So gilt z.B. im Rechenbereich [ ] : { : , }− = + ⋅ − ∈5 5a b a b , in dem

man ähnlich „rechnen“ kann wie im Bereiche der ganzen Zahlen (siehe unten-stehende Bemerkung), für die dort ebenfalls unzerlegbaren Zahlen 2 und 3:

2 3 6 1 5 1 5⋅ = = + − ⋅ − −( ) ( ) .

Das heißt also: 2 1 5 1 5| ( ) ( )+ − ⋅ − − , aber man kann zeigen, dass weder

2 1 5| ( )+ − noch 2 1 5| ( )− − gilt.

Man kann sich den Zahlbereich [ ]− 5 als Erweiterung der ganzen Zahlen

vorstellen, denn für b = 0 enthält er auch die gewöhnlichen ganzen Zahlen.

Im Bereich der Zahlen [ ]− 5 rechnet man (aus Gründen, die mit dem von

Hermann Hankel20 im Jahre 1867 formulierten Permanenzprinzip zusammen-hängen) folgendermaßen:

Die Addition:

5)()(:)5()5( 21212211 −⋅+++=−⋅++−⋅+ bbaababa

Das heißt, die Addition wird „komponentenweise“ durchgeführt.

Für die Multiplikation gilt: 555 −=−⋅− und

=−⋅+⋅−⋅+ :)5()5( 2211 baba

5)()5( 21212121 −⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅ abbabbaa

Die Motivation für die Definition der Multiplikation besteht offenbar in dem Wunsch, dem in geltenden Distributivgesetz auch in dem neuen, erweiter-

ten Zahlbereich zur Gültigkeit zu verhelfen. Man nennt [ ]− 5 einen qua-dratischen Erweiterungsring der ganzen Zahlen ; die Bezeichnung „quadra-

tisch“ soll signalisieren, dass gewisse quadratische Gleichungen, die in

keine Lösung besitzen, in dem Erweiterungsring lösbar werden; so z.B. die

20 Hermann Hankel (1839−1873) deutscher Mathematiker

4.4 PRIMEIGENSCHAFT UND UNZERLEGBARKEIT 65

Gleichung 052 =+x (mit den Lösungen 5−=x und 5−−=x ).

In entsprechender Weise lässt sich für jede „quadratfreie“ natürliche Zahl a

der Rechenbereich ][ a− konstruierten:

},:{:][ ∈−⋅+=− yxayxa .

Man bezeichnet einen solchen Rechenbereich in der Algebra auch als (kom-mutativen) Ring. Eine natürliche Zahl a heißt dabei quadratfrei, wenn 1

( 21= ) die einzige Quadratzahl ist, von der a geteilt wird. Der Zahlbereich

]1[ − wurde intensiv von C. F. Gauß studiert; ihm zu Ehren bezeichnet

man ]1[ − heute als die Gaußschen Zahlen. Die „imaginäre Einheit“

1− wird oft auch kurz als i geschrieben. Für dieses i gilt dann die funda-

mentale Gleichung 12 −=i .

Im Venn-Diagramm:

In den Rechenbereichen der natürlichen und der ganzen Zahlen sind die Prim-zahlen offenbar durch die beiden folgenden gleichwertigen Eigenschaften aus-gezeichnet:

• durch die Eigenschaft (P1) im obigen Primzahlkriterium, die man als (multiplikative) Unzerlegbarkeit bzw. als die „Trivial-Teiler-Eigenschaft“ bezeichnen kann;

• durch die Eigenschaft (P2) im obigen Primzahlkriterium, für die es keine „griffige“ allgemein gebräuchliche Bezeichnung gibt. Umgangssprachlich (und ziemlich „sperrig“) ausgedrückt könnte man sie als die „teilt p ein Produkt, so teilt es (mindestens) einen der Faktoren“ – Eigenschaft be-zeichnen.

]5[ −

Abb. 4.2: Der Ring der ganzen Zahlen und eine seiner quadratischen Erweiterungen – eingebettet in die reellen und komplexen Zahlen

66 4 PRIMZAHLEN

In Rechenbereichen, wo die Gleichwertigkeit dieser beiden Eigenschaften

nicht gilt (wie z.B. in [ ]− 5 ) wird die erste Eigenschaft des Primzahlkriteri-

ums als Unzerlegbarkeit (Irreduzibilität) und die zweite Eigenschaft des Prim-zahlkriteriums als Primeigenschaft bezeichnet. Im Rechenbereich der natür-lichen Zahlen gilt mit diesen Bezeichnungen also:

Eine von 1 verschiedene natürliche Zahl ist genau dann unzerlegbar, wenn sie die Primeigenschaft besitzt.

4.5 Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie

Satz 4.3 (Fundamentalsatz der Zahlentheorie): Jede natürliche Zahl n ( )n > 1 ist als Produkt von Primzahlen darstellbar: n p p ps= ⋅ ⋅ ⋅1 2 . Abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren ist diese

Darstellung eindeutig.

Bemerkung: Nach dem üblichen mathematischen Sprachgebrauch ist der „In-dex“ s eine natürliche Zahl, die auch gleich 1 sein darf. In diesem Fall ist n p= 1 selbst eine Primzahl. Auch diese Möglichkeit ist in der obigen For-

mulierung des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie enthalten.

Beweis des Satzes: Es ist sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zu zeigen.

(1.) Zur Existenz der Primfaktorzerlegung: Wir führen einen Widerspruchs-beweis durch (vgl. Anhang 8.1). Angenommen, die Aussage sei falsch. Dann gibt es gewisse natürliche Zahlen, die keine Primfaktorzerlegung besitzen, die Menge dieser „Verbrecher“ ist also nichtleer und es gibt darunter einen kleinsten; dies sei die natürliche Zahl m. Die Zahl m kann keine Primzahl sein, denn sonst wäre sie kein Verbrecher (vgl. obige Bemerkung); m besitzt also nichttriviale Teiler. Der kleinste darunter sei p. Er ist eine Primzahl (denn der kleinste nichttriviale Teiler einer zerlegbaren natürlichen Zahl ist stets eine Primzahl – vgl. Übungen). Es sei etwa m p r= ⋅ . Jeder der Fakto-

ren p und r ist kleiner als m. Da m der kleinste Verbrecher war, ist r kein Verbrecher; d.h. r besitzt eine Primfaktorzerlegung, etwa r q q j= ⋅ ⋅1 ... . Aber

dann ist p q q j⋅ ⋅ ⋅1 ... eine Primfaktorzerlegung von m – im Widerspruch zur

Annahme, dass m keine Primfaktorzerlegung besitzt.

(2.) Zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Angenommen, dieser Teil

4.5 DER FUNDAMENTALSATZ DER ZAHLENTHEORIE 67

der Aussage sei falsch. Dann gibt es gewisse natürliche Zahlen, die keine ein-deutige Primfaktorzerlegung besitzen, die Menge dieser „Verbrecher“ ist also nichtleer und es gibt darunter einen Kleinsten; dies sei die natürliche Zahl m. m p ps= ⋅ ⋅1 ... und m q qt= ⋅ ⋅1 ... seien zwei unterschiedliche Primfaktorzerle-gungen von m. Da die Primzahl p1 das Produkt q qt1⋅ ⋅... teilt, muss sie nach dem Fundamentallemma einen der Faktoren q qt1 ,... , teilen; p1 teile etwa q j . Da q j eine Primzahl ist, muss p1 gleich q j sein: q pj = 1.

Die natürliche Zahl tjjj

s qqqqq

mpp

p

m⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅= +− ......... 1112

1 ist klei-

ner als m und ihre Primfaktorzerlegung ist deshalb bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig (denn m war der kleinste Verbrecher). Daraus folgt insbesondere, dass die Anzahl der Faktoren gleich ist (d.h. es ist s t− = −1 1 und somit auch s t= ) und dass die Primfaktoren p ps2 ,... , und q q q qj j t1 1 1,... , , ,... ,− + (bis auf die Reihenfolge) übereinstimmen. Aber

damit stimmen dann auch sämtliche Primfaktoren der beiden obigen Zerle-gungen von m überein, denn die Primfaktorzerlegungen von m ergeben sich

aus denjenigen von m

p1, indem man einmal (im ersten Fall) 1p und einmal

(im zweiten Fall) jq hinzufügt. Wegen 1pq j = führt dies (abgesehen von

der Reihenfolge) zum gleichen Ergebnis – im Widerspruch zur Annahme, dass m unterschiedliche Primfaktorzerlegungen besitze.

Aufgabe 4.5:

1. Begründen Sie: Jede ungerade Primzahl p lässt sich (für eine geeignete ganze Zahl m) in der Form 14 +⋅= mp oder 34 +⋅= mp schreiben.

2. Zeigen Sie: Jedes Produkt )14()14()14( 21 +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅ kmmm von

natürlichen Zahlen der Form 14 +⋅ im hat die Form 14 +⋅ x mit einer

geeigneten Zahl x. 3. Zeigen Sie: Sind kppp ,,, 21 Primzahlen der Form 34 +⋅= ii mp ,

dann hat die Zahl 14: 21 −⋅⋅⋅⋅= kpppa einen Primteiler q der Form

34 +⋅= mq . (Hinweis: Nicht alle Primteiler von a können von der Form

14 +⋅ im sein.)

4. Zeigen Sie, dass q mit keinem der ip übereinstimmt.

5. Zeigen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 34 +⋅ m .

68 4 PRIMZAHLEN

4.6 Die kanonische21 Darstellung der Primfaktorzerlegung

Die Primzahlen sind in natürlicher Weise der Größe nach geordnet: 2 < 3 < 5 < 7 < 11 < ... . Schreibt man die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl unter Berücksichtigung dieser Reihenfolge auf, so ist sie völlig eindeutig; z.B. 1960 2 2 2 5 7 7= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Fasst man dann noch gleiche Faktoren unter Verwen-dung der Potenz-Schreibweise zusammen, so gelangt man zur kanonischen

Primfaktorzerlegung; im Beispiel: 213 7521960 ⋅⋅=

Allgemein lässt sich so jede natürliche Zahl a in der kanonischen Primfaktor-

zerlegung darstellen als: rmr

mm pppa ⋅⋅⋅= ...2121 mit der natürlichen Zahl r,

den Primzahlen p p pr1 2< < <... und den Exponenten 11 ≥m , 12 ≥m ,

..., 1≥rm .

Satz 4.4 (Teilerstruktur und die kanonische Primfaktorzerlegung): Jeder Teiler t der Zahl a mit der kanonischen Primfaktorzerlegung

a p p pm m

rmr= ⋅ ⋅ ⋅1 2

1 2 ... hat die Form t p p pk k

rkr= ⋅ ⋅ ⋅1 2

1 2 ... mit 0 ≤ ≤k mi i .

Beweis: Offensichtlich ist jede solche Zahl der Form p p pk k

rkr

1 21 2⋅ ⋅ ⋅... ein

Teiler von a (Übung). Umgekehrt ist noch zu zeigen, dass jeder Teiler t von a eine derartige Form hat. Sei also t ein Teiler von a; t hat seinerseits eine

kanonische Primfaktorzerlegung; etwa t q qs s= ⋅ ⋅1 2

1 2 ... . Jeder der Primteiler

iq von t ist wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation aber auch ein

Teiler von a und muss deswegen mit einem Primfaktor jp aus der kanoni-

schen Primfaktorzerlegung von a übereinstimmen. Der Exponent is von

iq kann nicht größer sein als der entsprechende Exponent jm von jp ,

denn sonst hätte zwar die Zahl ′ =tt

qimj

noch den Primteiler iq – nicht

aber das Vielfache jm

iq

aa =′ von t’.

21 Kanon (lat.): Richtschnur, Leitfaden kanonisch: als Vorbild dienend

4.6 DIE KANONISCHE PRIMFAKTORZERLEGUNG 69

Folgerung: Die natürliche Zahl a mit der kanonischen Primfaktorzerlegung

a p p pm m

rmr= ⋅ ⋅ ⋅1 2

1 2 ... hat genau ( ) ( ) ... ( )m m mr1 21 1 1+ ⋅ + ⋅ ⋅ + Teiler.

GGT, KGV und die kanonische Primfaktorzerlegung

Auch die kanonische Primfaktorzerlegung kann zur Ermittlung von GGT und KGV herangezogen werden. Im Schulunterricht ist dies häufig (leider) sogar die einzige Methode, die vermittelt wird – „leider“ deshalb, weil der Euklidi-sche Algorithmus wesentlich fundamentaler, anschaulicher und effizienter ist. (Man vergleiche dazu auch das Zitat von Stan Wagon, weiter unten.)

Ein Beispiel zur Verdeutlichung:

1. Wir betrachten die natürlichen Zahlen 25480=a und 61740=b .

2. Wir schreiben a und b jeweils in der kanonischen Primfaktorzerlegung:

13752 23 ⋅⋅⋅=a und 322 7532 ⋅⋅⋅=b .

3. Wir reichern die Primfaktorzerlegungen von a und b so an, dass jeweils alle vorkommenden Primzahlen (notfalls mit dem Exponenten 0) auftreten:

12103 137532 ⋅⋅⋅⋅=a und 03122 137532 ⋅⋅⋅⋅=b .

4. Wir versehen jede der auftretenden Primzahlen mit einem Exponenten, der gleich dem Minimum der in den angereicherten Primfaktorzerlegungen auf-

tretenden Exponenten ist: 980137532 02102 =⋅⋅⋅⋅ und erhalten so )61740,25480(GGT .

5. Wir versehen jede der auftretenden Primzahlen mit einem Exponenten, der gleich dem Maximum der in den angereicherten Primfaktorzerlegungen

auftretenden Exponenten ist: 1605240137532 13123 =⋅⋅⋅⋅ und erhalten so )61740,25480(KGV .

Aufgabe 4.6: Bestimmen Sie zum Vergleich der beiden Verfahren )2536,7618(GGT einmal mit dem Euklidischen Algorithmus und einmal mit

der kanonischen Primfaktorzerlegung – von „Hand“.

Man beachte (vgl. obiges Beispiel):

a b⋅ = 6174025480 ⋅ = 1573135200

),(),( baKGVbaGGT ⋅ = 1605240980 ⋅ = 1573135200 = ba ⋅

70 4 PRIMZAHLEN

Aufgabe 4.7: Formulieren und beweisen Sie den im vorangegangenen Beispiel ausgedrückten Sachverhalt in voller Allgemeinheit (unter Verwendung der kanonischen Primfaktorzerlegung). Hilfreich erweist sich dabei der

Hilfssatz: ),(),( baMaxbaMinba +=+ und ),(),( baMaxbaMinba ⋅=⋅

Beweis des Hilfssatzes: Übung (Fallunterscheidungen)

Satz 4.5 (Produkt aus GGT und KGV): Für beliebige natürliche Zahlen a und b gilt stets:

),(),( baKGVbaGGTba ⋅=⋅ .

Eine Bemerkung zur Effizienz der Verfahren

In der Divisionsform ist der Euklidische Algorithmus sehr viel schneller als das auf der Primfaktorzerlegung basierende Verfahren zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers. Stan Wagon schreibt in dem Buch Mathema-tica in Action (sinngemäß):

Mit dem Euklidischen Algorithmus (in der Divisionsform) lässt sich der größte gemeinsame Teiler von zwei 500-stelligen Zahlen in wenigen Se-kunden ermitteln. Mit dem Verfahren, das auf der Primfaktorzerlegung basiert, würde dies Hunderte von Jahren dauern.

Im Hinblick auf die Diskussion der Effizienz des Euklidischen Algorithmus sei an dieser Stelle auch auf Ziegenbalg (2010), Abschnitt 5.5, verwiesen.

4.7 Fermatsche Zahlen

Aufgabe 4.8: Zeigen Sie: Die Operation des Potenzierens ist nicht assoziativ. Geben Sie Gegenbeispiele an.

Bemerkung: Da das Potenzieren von natürlichen Zahlen (im Gegensatz zur Addition und Multiplikation) keine assoziative Operation ist, d.h. da nicht all-

gemein ( ) )( cbcb aa = gilt, müsste man den Ausdruck cba im Prinzip strikt

mit Klammern versehen. Es gilt jedoch im allgemeinen die folgende Konven-

tion: Sind a, b, c natürliche Zahlen, so versteht man unter cba in der Regel

den Ausdruck )( cba , denn an Stelle von ( )cba schreibt man meistens cba ⋅ .

4.7 FERMATSCHE ZAHLEN 71

Definition 4.2: Die Fermatschen Zahlen (nach Pierre de Fermat, vgl. Kapitel

1) sind definiert durch: )mit(12 02 NInF

n

n ∈+= .

In den ersten fünf Fällen )4,3,2,1,0( =n ergeben sich für nF Primzahlen:

65537,257,17,5,3 43210 ===== FFFFF . Deshalb vermutete Fer-

mat, dass auch alle folgenden Zahlen dieser Art Primzahlen seien. Im Jahre 1732 konnte Leonhard Euler jedoch zeigen, dass F5 zerlegbar ist:

6700417641429496729712325 ⋅==+=F

Ist eine Fermatsche Zahl nF eine Primzahl, so nennt man sie eine Fermat-

sche Primzahl. Es ist zur Zeit unbekannt, ob es außer den genannten fünf noch weitere Fermatsche Primzahlen gibt.

Seit der griechischen Antike war die Konstruktion regelmäßiger Polygone (n-Ecke) mit Zirkel und Lineal ein wichtiges mathematisches Ziel. Im Jahre 1801 konnte C. F. Gauß zeigen, dass ein regelmäßiges n-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn n eine Fermatsche Primzahl oder ein Produkt Fermatscher Primzahlen ist.

4.8 Mersennesche22 Zahlen

In seinem Satz über vollkommene Zahlen (s.u.) betrachtete Euklid (für 1≥n ) den in der folgenden Tabelle dargestellten Prozess. Er war besonders an den-jenigen Summen interessiert, die Primzahlen ergeben.

Exponent n

n22221 32 +++++ Wert Primzahl?

1 1+2 3 ja 2 1+2+4 7 ja 3 1+2+4+8 15 nein 4 1+2+4+8+16 31 ja 5 1+2+4+8+16+32 63 nein 6 1+2+4+8+16+32+64 127 ja 7 1+2+4+8+16+32+64+128 255 nein

22 Marin Mersenne (1588−1648), französischer Mönch, Philosoph und Mathematiker

72 4 PRIMZAHLEN

8 1+2+4+8+16+32+64+128+256 511 nein 9 1+2+4+8+16+32+64+...+512 1023 nein

10 1+2+4+8+16+32+64+...+1024 2047 nein 11 1+2+4+8+16+32+64+...+2048 4095 nein 12 1+2+4+8+16+32+64+...+4096 8191 ja 13 1+2+4+8+16+32+64+...+8192 16383 nein 14 1+2+4+8+16+32+64+...+16384 32767 nein 15 1+2+4+8+16+32+64+...+32768 65535 nein

Die Summen der Form: nn 222221 132 ++++++ − sind also manchmal Primzahlen, manchmal nicht.

Aufgabe 4.9: Zeigen Sie: Für jede natürliche Zahl n gilt

1222221 132 −=+++++ − nn und (*)

1)1()1( 132 −=−⋅+++++ − nn xxxxxx (**)

Der französische Mönch und Mathematiker M. Mersenne beschäftigte sich mit den Zahlen der Form

1232 222221 −− ++++++ nn

(d.h. mit Zahlen der Form 12 −n).

Ihm zu Ehren werden heute Zahlen der

Form 12 −= nnM als Mersennesche Zahlen

bezeichnet.

Mersenne war besonders an der Frage interes-siert, wann solche Zahlen Primzahlen sind. Ein erstes Ergebnis lautet:

Satz 4.6 (notwendige Bedingung für Mersennesche Primzahlen):

12 −= nnM eine Primzahl ist, ist

n eine Primzahl ist.

Abb. 4.3: M. Mersenne

Eine notwendige Bedingung dafür, dass

dass auch

4.8 MERSENNESCHE ZAHLEN 73

Beweis: Ist srn ⋅= eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch

1)2(1212 −=−=− ⋅ srsrn zusammengesetzt. Denn wegen (**) ist mit rx 2=

)12()22221(1)2(1212 )1(32 −⋅+++++=−=−=− −⋅⋅⋅⋅ rsrrrrsrsrn .

Für die Primzahlen p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, ... ist M p eine Primzahl; nicht jedoch für alle Primzahlen,

denn es ist z.B. M11112 1 2047 23 89= − = = ⋅ .

Die Vermutung, dass pM stets eine Primzahl sei, wenn p eine Primzahl ist,

ist also nicht haltbar.

Definition 4.3: Ist eine Mersennesche Zahl 12 −= ppM eine Primzahl, so

nennt man sie eine Mersennesche Primzahl.

Mersennesche Zahlen eignen sich sehr gut für die Suche nach großen Prim-zahlen. Die meisten der heute im Zusammenhang mit Primzahlrekorden auf-tretenden Primzahlen sind Mersennesche Primzahlen. Für diese Suche ist heute der Computer ein unerlässliches Werkzeug. Unter der Abkürzung GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search) läuft seit einigen Jahren ein Projekt, bei dem im Internet individuelle Arbeitsplatzcomputer zusam-mengeschaltet werden, um auf der Basis der Parallelverarbeitung nach Mer-senneschen Primzahlen zu suchen; siehe:

http://www.mersenne.org und http://primes.utm.edu (The Prime Pages).

Die bis zum Jahr 2013 größte bekannte Primzahl war zugleich eine Mersenne-

sche Primzahl, nämlich: 12M 5788516157885161 -= (vgl. Abschnitt 4.1).

Mersennesche Zahlen und vollkommene Zahlen

Schon Euklid behandelte perfekte Zahlen in den „Elementen“ und konnte ein wichtiges Ergebnis über perfekte Zahlen beweisen. Seine Darstellung sei hier zunächst im ursprünglichen Wortlaut wiedergegeben, um einen Eindruck von seiner Formulierungskunst zu vermitteln (die fast 2000 Jahre später ent-wickelten sprachlichen Mittel der modernen Algebra standen ihm ja nicht zur Verfügung).

74 4 PRIMZAHLEN

Die Sätze von Euklid und Euler über vollkommene Zahlen

1. In wörtlicher Formulierung (vgl. Euklid, Die Elemente, neuntes Buch, §36): Verschafft man sich beliebig viele Zahlen, von der Einheit aus in der Reihe nach dem Verhältnis 1 : 2, bis die Summe aus allem eine Primzahl wird, und bildet die Summe, mit dem letzten Glied vervielfältigt, eine Zahl, so muss das Produkt eine vollkommene Zahl sein.

2. In moderner Formulierung:

Satz 4.7 (hinreichende Bedingung für vollkommene Zahlen): Ist 1 2 2 2 22 3+ + + + +... n eine Primzahl, so ist die Zahl

)2...2221(2 32 nn +++++⋅ vollkommen.

Beweis: Es sei np 2...2221: 32 +++++= eine Primzahl und

a n n= ⋅ + + + + +2 1 2 2 2 22 3( ... ) ; d.h.: a pn= ⋅2 . Da p eine Primzahl ist,

hat a genau die Teiler n2,...,2,2,2,1 32 und

ppppp n2,...,2,2,2, 32 . Also ist

)2...2221()2...2221()( 3232 nn pa +++++⋅++++++=σ

)2...2221( 32 npp +++++⋅+=

)121()12( 11 −+⋅=−⋅+= ++ nn ppp

pn22 ⋅=

a⋅= 2

Fast 2000 Jahre später konnte Euler zeigen, dass für gerade vollkommene Zah-len auch die Umkehrung gilt.

Wir erinnern an dieser Stelle an den folgenden Satz (vgl. Abschnitt 2.3): Die Teilersummenfunktion ist multiplikativ, d.h. für teilerfremde natürliche Zahlen a und b gilt )()()( baba σσσ ⋅=⋅ .

Satz 4.8 (notwendige Bedingung für gerade vollkommene Zahlen): Ist a eine gerade, vollkommene Zahl, dann ist sie (notwendigerweise) von

der Form )2...2221(2 32 nn +++++⋅ , wobei 1 2 2 2 22 3+ + + + +... n

eine Primzahl ist.

4.8 MERSENNESCHE ZAHLEN 75

Beweis: Es sei a eine gerade, vollkommene Zahl. Dann lässt sich a dar-

stellen in der Form ba s ⋅= 2 , wobei b eine ungerade Zahl ist.

Für die Teilersumme von a gilt wegen der Multiplikativität von

)()2()( ba s σσσ ⋅= . (*)

Aus der Definition der Teilersummenfunktion (vgl. 2.3) folgt unmittelbar:

1222221)2( 132 −=+++++= +sssσ .

Da a vollkommen ist, gilt baa s ⋅=⋅= +122)(σ . Daraus folgt mit (*)

)()12(2)( 11 bba ss σσ ⋅−=⋅= ++ . Da 12 1 −+s eine ungerade Zahl ist, folgt

aus der letzten Gleichung, dass sie ein Teiler von b sein muss; es gibt also

eine natürliche Zahl d mit der Eigenschaft: bds =⋅−+ )12( 1 . (**)

In die letzte Gleichung eingesetzt, ergibt das:

)()12()12(2 111 bd sss σ⋅−=⋅−⋅ ++ ; gekürzt: )(2 1 bds σ=⋅+ .

Die Teiler d und b von b treten in )(bσ als Summanden auf; also ist

ddddbbd sss ⋅=+⋅−=+≥=⋅ +++ 111 2)12()(2 σ .

Das erzwingt dbb +=)(σ und dies wiederum ist nur möglich, wenn b eine

Primzahl und 1=d ist. Aus der Gleichung (**) folgt schließlich

12 1 −= +sb

und somit ist

)22221(2)12(22 321 sssss ba +++++⋅=−⋅=⋅= + .

4.9 Die Goldbachsche Vermutung

Im Jahre 1742 teilte der Mathematiker und Diplomat Christian Goldbach (1690–1764) dem führenden Mathematiker Leonhard Euler die folgende Ver-mutung mit:

Jede gerade Zahl größer als 2 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar.

So ist zum Beispiel: 17320 += .

Es kann auch mehrere solche Darstellungen geben; z.B.: 13720 += .

Die berühmte Vermutung entzog sich über die Jahrhunderte hinweg einer Ent-scheidung, d.h. einem Beweis oder einer Widerlegung.

+

76 4 PRIMZAHLEN

Im Jahre 2000 brachten die Verlagshäuser Bloomsbury und Faber & Faber die englische Ausgabe des Buches „Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture“ von Apostolos Doxiadis heraus. Als Publicity-Maßnahme stifteten sie im März 2000 einen Preis von 1 Million U.S. Dollar für die Lösung der Goldbachschen Vermutung. Die Lösung musste allerdings bis März 2002 eingereicht und der vollständige Beweis bis März 2004 veröffentlicht sein. Das Preisgeld wurde nie eingefordert. Der Verkauf des Buches brachte den Verlagen im Jahr 2000 (laut The Guardian, Saturday 3 March 2001) einen Gewinn in Höhe von 256.000 Englische Pfund ein. Bloomsbury und Faber & Faber hätten sich sich aber keine allzu großen Gedanken über die eventuell entstehende Deckungs-lücke machen müssen. Sie hätten sie leicht mit den Einnahmen aus dem Ver-kauf von Harry Potter decken können. Ihr Risiko, dass sie den Preis hätten auszahlen müssen, war zudem nicht sehr hoch. Die Vermutung konnte bis heute weder bewiesen noch widerlegt werden.

Die schwache (oder ternäre) Goldbachsche Vermutung besagt, dass jede unge-rade Zahl größer als 5 als Summe dreier (nicht notwendigerweise verschiede-ner) Primzahlen dargestellt werden kann. Für diese Vermutung legte der peru-anische Mathematiker H. Helfgott im Jahre 2013 einen Beweis vor. Bezeich-net man die ursprüngliche Vermutung als starke Goldbachsche Vermutung, so gilt: Aus der Gültigkeit der (starken) Goldbachschen Vermutung, würde so-fort die der schwachen Goldbach-Vermutung folgen.

Aufgabe 4.10: Begründen Sie die letzte Aussage.

4.10 Formeln und Polynome für Primzahlen

„Ein Problem mathematisch zu lösen“ wurde in der Vergangenheit – und wird auch heute noch vielfach – damit identifiziert, „eine Formel (einen Rechen-ausdruck, ein Polynom, ...) zu finden, welche die Lösung des Problems be-schreibt“. Polynome, also Ausdrücke der Form

012

23

31

1)( axaxaxaxaxaxP nn

nn +⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= −

−

(wobei die „Koeffizienten“ ia in der Regel natürliche, rationale, reelle oder

komplexe Zahlen sind) hängen eng mit der Suche nach Primzahlen zusammen.

Leonhard Euler untersuchte das Polynom 41)( 2 +−= xxxH und entdeckte, dass die 41 Werte )40(,),2(),1(),0( HHHH alles Primzahlen sind.

4.10 FORMELN UND POLYNOME FÜR PRIMZAHLEN 77

Es gilt jedoch der folgende

Satz 4.9 (Primzahlen und Polynome): Es existiert kein Polynom

012

23

31

1)( axaxaxaxaxaxP nn

nn +⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= −

−

mit ganzzahligen Koeffizienten },,0{ niai = vom Grad 1≥n , das für

alle ∈x Primzahlwerte annimmt.

Beweis: 1. Fall: Ist 0)0( aP = keine Primzahl, so sind wir fertig.

2. Fall: Es sei also qaP == 0)0( eine Primzahl.

Für jede natürliche Zahl m sei =

−⋅⋅=n

i

iii qmab

1

1 . Die Zahl b lässt sich

deuten als der Wert des Polynoms

)()( 122

32

11 axaxaxaxamxQ n

nn

n +⋅+⋅++⋅+⋅⋅= −−

−

an der Stelle qmx ⋅= .

Für alle natürlichen Zahlen m gilt

)1(

)()()()(

0

011

1

+⋅=

+⋅=

+⋅=

+⋅++⋅+⋅=⋅ −−

bq

qbq

abq

aqmaqmaqmaqmP nn

nn

Dieser Wert ist eine zusammengesetzte Zahl, d.h. eine Nicht-Primzahl, falls b von Null verschieden ist. Ein solches b gibt es, denn das Polynom )(xQ ist

nicht das Nullpolynom (nach Voraussetzung ist 0≠na ) und besitzt nach

dem Fundamentalsatz der Algebra höchstens 1−n Nullstellen. Es muss also natürliche Zahlen m geben mit 0)( ≠⋅ qmQ . Wählt man ein solches m, so ist b von Null verschieden und )1()( +⋅=⋅ bqqmP ist keine Primzahl.

4.11 Die Verteilung der Primzahlen

Besonders faszinierend an den Primzahlen ist die Unregelmäßigkeit, mit der sie auftreten. Es gibt zwar unendlich viele davon, diese sind aber sehr un-gleichmäßig auf der Zahlengeraden „verstreut“. Wie werden sehen, dass es in

78 4 PRIMZAHLEN

den natürlichen Zahlen einerseits beliebig große primzahlfreie Lücken gibt, dass aber auch sehr viele sehr eng benachbarte Primzahlen, „Primzahlzwil-linge“ genannt, vorkommen. Ob es unendlich viele solcher Primzahlzwillinge gibt, ist derzeit eine offene Frage.

Empirische Untersuchungen zeigen, dass es sich mit den Primzahlen ähnlich verhält wie mit der Luft: je weiter man „nach oben“ steigt, desto „dünner“ wird ihre Konzentration (ihre „Dichte“, wie man auch sagt).

Ein beliebter Zeitvertreib, angesiedelt zwischen Unterhaltungsmathematik und Zahlentheorie, besteht darin, Primzahlen nach bestimmten (geometrischen) Mustern darzustellen – und auf diese Weise Gesetzmäßigkeiten über sie zu entdecken.

Es gibt auch eine sportliche Variante in Verbindung mit den Primzahlen. So werden seit Jahrhunderten Listen mit Primzahlrekorden geführt (was ist die größte bekannte Primzahl, welches sind die größten bekannten Primzahlzwil-linge, was ist die größte bekannte Mersennesche Primzahl, u.s.w.). Der Ma-thematiker P. Ribenboim hat sogar ein ganzes Buch unter diesem Aspekt ge-schrieben: The Book of Prime Number Records; Springer Verlag, New York / Berlin 1989. Es wurde im Jahre 1997 aktualisiert und erschien unter dem Titel The New Book of Prime Number Records.

Da solche Rekorde sehr rasch veralten, bietet es sich heute an, die Rekord-listen auf elektronischer Basis im Internet zu führen, wo sie sehr schnell zu aktualisieren und praktisch jederzeit und von jedem Ort aus einzusehen sind. Eine besonders ergiebige Quelle für alles, was Primzahlen betrifft, findet sich unter der Internetadresse der University of Tennessee (U.S.A.):

http://www.utm.edu/research/primes/

Satz 4.10 (Primzahl-Lücken): Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es n aufeinanderfolgende natürliche Zah-len, die keine Primzahlen sind.

Beweis: Man betrachte die n Zahlen ( )!n + +1 2 , ( )!n + +1 3 , ... , ( )!n n+ +1 und ( )! ( )n n+ + +1 1 . Die erste dieser Zahlen ist durch 2, die

zweite durch 3, ... , die vorletzte durch n und die letzte durch n + 1 teilbar; es sind also alles keine Primzahlen.

4.11 DIE VERTEILUNG DER PRIMZAHLEN 79

Primzahlzwillinge

Primzahlpaare der Form { }p p, + 2 heißen Primzahlzwillinge; so sind z.B.

die Paare { }5 7, , { }11 13, und { }101 103, Primzahlzwillinge. Das im Jahr

2011 gefundene Zahlenpaar 126853756801695 666669 ±⋅ (im Dezimal-system geschrieben mit jeweils 200.700 Stellen) ist bis heute (August 2014) das größte bekannte Paar von Primzahlzwillingen. Es ist derzeit unbekannt, ob es nur endlich viele oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Es gilt jedoch (auf den Beweis muss an dieser Stelle verzichtet werden):

(1.) Die (unendliche) Summe aus den Reziproken der Primzahlen ist diver-gent; d.h. die Summe

...47

1

43

1

41

1

37

1

31

1

29

1

23

1

19

1

17

1

13

1

11

1

7

1

5

1

3

1

2

1+++++++++++++++

besitzt keinen Grenzwert.

(2.) Die Summe aus den Reziproken der Primzahlzwillinge ist endlich oder konvergent; bzw. etwas genauer: Die Summe

...)43

1

41

1()

31

1

29

1()

19

1

17

1()

13

1

11

1()

7

1

5

1()

5

1

3

1( ++++++++++++

besitzt einen Grenzwert B (Bruns23 Konstante: 049021605831,1≈B ).

Im Jahre 2013 bewies der chinesisch-amerikanische Mathematiker Yitang Zhang, dass es unendlich viele Primzahlpaare gibt, die höchstens den Abstand a = 70.000.000 voneinander haben. Danach setzte eine intensive Jagd nach kleineren solchen Grenzen ein. James Maynard (University of Montreal) konnte den Wert von a auf 600 drücken. Im Rahmen des kollaborativen Pro-jekts polymath8 gelang es, den Abstand immer weiter zu verkleinern. Der-zeit liegt der von Terence Tao (University of California, Los Angeles, Fields Medaille 2006) erzielte Rekord bei a = 246 (vgl. PolyMath homepage / poly-math8). Mit der unteren Grenze a = 2 wäre schließlich der Nachweis der Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge erbracht.

Überraschenderweise haben Primzahlzwillinge bei der Aufdeckung von Feh-lern in der Architektur bestimmter Mikroprozessoren eine entscheidende Rolle

23 Viggo Brun, 1885−1978, norwegischer Mathematiker

80 4 PRIMZAHLEN

gespielt. Hier eine Darstellung dazu aus dem Jahrbuch der Mathematik 1996/97, 135–143:

Das 470 Millionen Dollar Zwillingspaar (824 633 702 441, 824 633 702 443)

Primzahlzwillingsforschung ist mathematische Grundlagenforschung, eine direkte Anwendung gibt es - zumindest zur Zeit - nicht. Trotzdem waren es letztendlich Primzahlzwillinge, die die wahrscheinlich teuerste Rückrufaktion der Welt auslösten. Mitte 1994 begann der amerikani-sche Mathematiker Thomas R. Nicely, Primzahlzwillinge zu zählen. Zu-nächst setzte er einige PCs älterer Bauart ein, im März 1995 kam dann ein Rechner mit dem Pentium-Prozessor der amerikanischen Firma Intel hinzu. Nach Problemen mit Speichermodulen und Compilerfehlern, die zu Beginn seiner Berechnungen aufgetreten waren, hatte er sich dazu entschlossen, sämtliche Teilrechnungen auf jeweils zwei Maschinen un-terschiedlicher Bauart laufen zu lassen. Dabei trat plötzlich eine Diskre-panz bei der Berechnung der Summe über die reziproken Primzahlzwil-linge zutage. Die Ursache dieser Diskrepanz fand sich schließlich im Prozessor selbst. Der Pentium verrechnete sich beim Bilden der Kehr-werte des Paares (824 633 702 441, 824 633 702 443). Ein Fehler in der sogenannten FPU (floating point unit) des Pentiums führte zu gele-gentlich auftretenden Ungenauigkeiten. Dieser Fehler zwang Intel schließlich dazu, die Prozessoren durch korrigierte Versionen auszutau-schen. Insgesamt soll diese Umtauschaktion etwa 470 Millionen Dollar gekostet haben.

Primzahldrillinge, Primzahl-Cousinen und sexy Primzahlen

Primzahltripel der Form { }p p p, ,+ +2 4 heißen Primzahldrillinge.

Aufgabe 4.11: Zeigen Sie, dass die Zahlen 3, 5 und 7 das einzig mögliche Primzahldrillings-Tripel bilden.

Weitere Primzahl-„Verwandtschaften“ geben zu vielerlei Untersuchungen An-lass: Primzahlpaare der Form (p, p+4), also z.B. (3, 7), (7, 11), (13, 17), ... werden als Primzahl-Cousinen und Primzahlpaare der Form (p, p+6), also z.B. (5, 11), (7, 13), (11, 17), ... werden aus offensichtlichen Gründen als sexy Primzahlen bezeichnet (vgl. mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html).


Einige empirische Befunde

It is a capital mistake to theorise before one has data. Sir Arthur Conan Doyle

Für große Mathematiker war das Betrachten konkreter Bei-spiele schon immer eine wichtige Quelle der Intuition. Srinivasa Ramanujan, genialer indischer Mathematiker (erste Hälfte des 20. Jahrhunderts)

Mathematisches Wissen entwickelt sich häufig durch das „freie Spielen“ mit mathematischen Objekten (Zahlen, Linien, Kurven, Konfigurationen, ...). Am Anfang stehen dabei spontane Entdeckungen an konkreten Beispielen. Man bewegt sich dabei zunächst völlig im Bereiche der empirischen Arbeitsweise. Durch dieses freie Spiel kommt man zu ersten (empirischen) Entdeckungen, Vermutungen, Hypothesen. So arbeiteten und arbeiten selbst berühmte Ma-thematiker; eine ganze Serie berühmter Vermutungen (Fermat, Gauß, Riemann u.v.m.) ist so entstanden.

Das Aufstellen und Verifizieren von Hypothesen setzt i.a. ein solides Studium der dem Problem zugrundeliegenden „Daten“ voraus. Solche Experimente sollte man zunächst „von Hand“ ausführen. Bei etwas komplexerer Sachlage wird aber sehr bald der (mit geeigneter Software ausgestattete) Computer ein unverzichtbares Werkzeug beim Experimentieren. In der Zahlentheorie ist der Computer und seine Software (meist in der Form von Computeralgebra Sy-stemen) insbesondere auch bei der Untersuchung „großer“ Zahlen unentbehr-lich.

Ein Beispiel möge dies belegen: Es dauerte fast 100 Jahre, bis die Zerlegbar-keit der Fermatschen Zahl

6700417641429496729712325 ⋅==+=F

nachgewiesen werden konnte und es forderte das Talent eines der genialsten Mathematiker aller Zeiten – Leonhard Euler. Heute findet ein Computeralge-bra System die Zerlegung auf einem ganz normalen PC in kaum messbarer Zeit.

Im Folgenden sind einige Primzahltabellen angegeben, die (sei es in der vorliegenden oder in ähnlicher Form) als Vorstudien bei der Erstellung der Hypothese des „großen Primzahlsatzes“ eine Rolle gespielt haben. Auch

82 4 PRIMZAHLEN

große Mathematiker verbrachten z.T. viel Zeit mit der Erstellung solcher Ta-bellen. Heute ist das Aufstellen derartiger Tabellen oft eine gute Program-mierübung, ein kleiner Beitrag zur „algorithmischen Zahlentheorie“.

Die folgende Tabelle gibt an, wie viele Primzahlen es „unterhalb“ von gewis-sen natürlichen Zahlen gibt. Dabei sei )(nπ die Anzahl der Primzahlen

unterhalb von n.

n π(n)

10 4

100 25

1.000 168

10.000 1229

100.000 9592

1.000.000 78498

10.000.000 664579

100.000.000 5761455

1.000.000.000 50847534

Die nächste Tabelle gibt an, wie viele Primzahlen es in den ersten „Hundert-tausender-Intervallen“ natürlicher Zahlen gibt.

Intervall Anzahl der Primzahlen in dem Intervall

0 – 100.000 9592

100.000 – 200.000 8392

200.000 – 300.000 8013

300.000 – 400.000 7863

400.000 – 500.000 7678

500.000 – 600.000 7560

600.000 – 700.000 7445

700.000 – 800.000 7408

800.000 – 900.000 7323

900.000 – 1.000.000 7224

Diese, wie auch die nächste Tabelle sind ein empirischer Beleg dafür, dass die Primzahlen mit der Größe des Zahlbereichs, den wir betrachten, tendenziell in


immer geringerer Anzahl auftreten, dass also, wie man auch sagt, die Dichte der Primzahlen mit wachsender Größe abnimmt.

Hier noch einige weitere Daten (mit der Intervallgröße: 1000, einer sog. Chili-ade):

Intervall Anzahl der Primzahlen in der Chiliade

0 – 1000 168

1000 – 2000 135

2000 – 3000 127

3000 – 4000 120

4000 – 5000 119

5000 – 6000 114

6000 – 7000 117

7000 – 8000 107

8000 – 9000 110

9000 – 10000 112

104 – 104 + 1000 106

105 – 105 + 1000 81

106 – 106 + 1000 75

107 – 107 + 1000 61

108 – 108 + 1000 54

109 – 109 + 1000 49

Bemerkung: C. F. Gauß war nicht nur ein genialer Mathematiker sondern auch ein vorzüglicher „Rechner“ (was bei weitem nicht immer dasselbe ist). Gauß scheint seine Untersuchungen über Primzahlen etwa im Alter von 14 Jahren begonnen zu haben und setzte sie sein ganzes Leben lang fort. In einem Brief an den Astronomen Encke erzählt er, wie gern er ab und zu ein Viertelstünd-chen damit verbringe, die Primzahlen einer Chiliade von Zahlen auszuzählen.

Satz 4.11 (Der große Primzahlsatz von Gauß): 1

ln

)(lim =

∞→ xx

x

x

π

Der im Jahre 1792 von Gauß vermutete „große Primzahlsatz“ konnte erst nach über 100 Jahren im Jahre 1896 vollständig bewiesen werden, und zwar, auf-

84 4 PRIMZAHLEN

bauend auf Ergebnissen des russischen Mathematikers P. L. Chebyshev (1821–1894). Dies gelang unabhängig voneinander dem französischen Mathe-matiker Jacques Hadamard (1865–1963) und dem belgischen Mathematiker Charles de la Valleé-Poussin (1866–1962).

Schaubilder zum großen Primzahlsatz

Dass die Mathematik eine hochgradig „lebendige“ Wissenschaft ist, in der es noch vieles zu entdecken und erforschen gibt, zeigt die folgende Liste mit of-fenen Primzahl-Problemen, die in den Internetseiten der University of St An-drews (Schottland) zu finden ist:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Prime_numbers.html

25 50 75 100 125 150 175

10

20

30

40

π(x)

x / ln(x)

Abb. 4.4: Primzahlfunktion und Logarithmus

1.000.000 5.000.000 9.000.000

1,07

1,08

1,09

xx

x

ln

)(π

Abb. 4.5: zum Gaußschen Primzahlsatz

5 Kongruenzen und Restklassen Kontext: Die folgenden Überlegungen spielen sich stets in der Grundmenge der ganzen Zahlen ab, falls nichts anderes festgelegt ist.

5.1 Die Kongruenzrelation

Definition 5.1: Es seien a, b und m ganze Zahlen; m ≥ 0 . Man vereinbart die folgende Schreib- und Sprechweise:

)(|)mod( abmmba −⇔≡ .

Andere Schreibweise: )(mba ≡ an Stelle von )mod( mba ≡

In Worten: a b m≡ ( )mod : a ist kongruent zu b modulo m

Die Zahl m wird der Modul der Kongruenz genannt.

Als Moduln wollen wir im Folgenden nur nichtnegative ganze Zahlen betrach-ten; wenn also von einem Modul m die Rede ist, so wird stets stillschweigend vorausgesetzt, dass 0≥m (und in der Regel sogar 2≥m ) ist.

Hilfssatz: Für ∈ba, gilt a b m≡ ( )mod genau dann, wenn a und b

bei der Division durch m denselben Rest haben. (Beweis: Übung)

Die folgende Abbildung kann als Veranschaulichung dieses Sachverhalts an-gesehen werden.

Satz 5.1 (Die Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation):

Die Relation „a ist kongruent zu b modulo m“ ist eine Äquivalenzrela-tion.

Abb. 5.1: zur Kongruenz von natürlichen Zahlen modulo m

a

b

m

b-a

r


86 5 KONGRUENZEN UND RESTKLASSEN

Beweis: Übung

Definition 5.2: a x x a m: { : ( )}= ∈ ≡ mod , also die Menge der zu a

modulo m kongruenten ganzen Zahlen, heißt die Restklasse von a modulo m.

Bemerkungen:

1. Es ist a a a m a m a m a k m: { , , , , , , }= ± ± ± ± ⋅2 3 . Jede der Zahlen

a v m+ ⋅ kann als Repräsentant dieser Restklasse verwendet werden; ins-besondere (im Falle v = 0) auch a selbst. Die Zahl a ist also einer der (i.a. unendlich vielen) Repräsentanten dieser Restklasse.

2. Die Menge aller Restklassen modulo m wird (bei festem Modul m) auch

durch Rm bzw. durch m ⋅ oder auch ( )m bezeichnet.

3. Eine Menge ganzer Zahlen { , , , }a a am1 2 mit der Eigenschaft, dass die

Menge der Restklassen { , , , }a a am1 2 mit der Menge m ⋅ über-

einstimmt, nennt man ein vollständiges Repräsentantensystem von Rm . Im

Falle 2≥m gibt es für jede Restklasse stets unendlich viele Repräsentan-ten (siehe Bemerkung 1.) und dementsprechend auch unendlich viele Re-präsentantensysteme.

4. Für jedes m ( 2≥m ) stellt die Menge { , , , , , }0 1 2 3 1m − ein voll-

ständiges Repräsentantensystem von m ⋅ dar (Übung); man nennt es

auch das kanonische Repräsentantensystem.

5. Ist { , , , }a a am1 2 ein weiteres vollständiges Repräsentantensystem, so

gilt { , , , }a a am1 2 = { , , , , , }0 1 2 3 1m −

Die Mengen { , , , }a a am1 2 und { , , , , , }0 1 2 3 1m − sind dann also

gleich – allerdings nicht notwendigerweise „elementweise“ in der aufge-schriebenen Reihenfolge. Ist dies der Fall, so sagt man auch: Die Mengen { , , , }a a am1 2 und { , , , , , }0 1 2 3 1m − stimmen modulo m überein

bzw. sie sind modulo m gleich.

5.1 DIE KONGRUENZRELATION 87

Ein Beispiel: m = 6

Das kanonische Repräsentantensystem ist dann { , , , , , }0 1 2 3 4 5 . Ein anderes

vollständiges Repräsentantensystem wäre z.B. die Menge

}51,24,32,118,77,13{ . Anders ausgedrückt ist

R6 = 6 6⋅ = ( ) = { , , , , , }0 1 2 3 4 5 = { , , , , , }13 77 118 32 24 51 .

Die Restklassen dieses Restesystems stimmen modulo 6 folgendermaßen paarweise überein:

0 24= , 1 13= , 2 32= , 3 51= , 4 118= , 5 77= .

Aufgabe 5.1:

1. Was bedeuten die folgenden Aussagen • )0mod(ba ≡

• )1 mod(ba ≡

2. Wie viele Elemente haben die folgenden Mengen von Restklassen

• 0 ⋅

• ⋅1

3. Geben Sie der folgenden Aussage einen konkreten Sinn: Kongruent zu sein modulo 2 heißt, dieselbe „Parität“ zu besitzen.

4. Machen Sie sich den folgenden Sachverhalt an einem typischen Beispiel klar und zeigen Sie allgemein:

Aus mk | und )mod( myx ≡ folgt )mod( kyx ≡ .

Aus der Perspektive der Informationstheorie könnte man dies auch folgen-dermaßen ausdrücken: Bezüglich eines „größeren“ Moduls kongruent zu sein, ist aussagekräftiger (hat einen höheren Informationsgehalt) als bezüg-lich eines „kleineren“ Moduls. (Hierbei wird als natürliche Ordnungsrela-tion die Teilbarkeitsrelation verwendet).

Satz 5.2 (vollständige Repräsentantensysteme): Jedes System von Repräsentanten modulo m, das m Elemente enthält, von denen keine zwei modulo m gleich sind, ist ein vollständiges Reprä-sentantensystem von Rm .


Beweis. Übung

Satz 5.3 (Verträglichkeit der Kongruenzrelation mit der Addition und Multiplikation): Die Relation „a ist kongruent zu b modulo m“ ist verträglich mit den Rechenoperationen der Addition und der Multiplikation, d.h., für alle gan-zen Zahlen a, b, und c gilt:

(1) Aus a b m≡ ( )mod folgt a c b c m+ ≡ + ( )mod .

(2) Aus a b m≡ ( )mod folgt a c b c m⋅ ≡ ⋅ ( )mod .

Beweis: Zu (1): Zu zeigen ist: Aus m b a| ( )− folgt m b c a c| ( ) ( )+ − + .

Wenn irgendwo die Sprechweise „das ist trivial“ angebracht ist, dann in die-sem Fall. Entsprechendes gilt für (2).

Folgerungen: Für alle ganzen Zahlen a, b, c und d und alle natürlichen Zahlen n gilt:

(1) Aus a b m≡ ( )mod folgt a c b c m− ≡ − ( )mod . (2) Aus a b m≡ ( )mod und )mod( mdc ≡

folgt a c b d m+ ≡ + ( )mod . (3) Aus a b m≡ ( )mod und c d m≡ ( )mod

folgt a c b d m− ≡ − ( )mod . (4) Aus a b m≡ ( )mod und c d m≡ ( )mod

folgt )mod( mdbca ⋅≡⋅ .

(5) Aus a b m≡ ( )mod folgt a b mn n≡ ( )mod .

Beweis: Übung

Bemerkung: Diese Folgerungen besagen, informell gesprochen, dass man in Bezug auf Addition, Multiplikation (sowie den daraus abgeleiteten Operatio-nen der Subtraktion und der Potenzierung) mit Restklassen und Kongruenzen „praktisch genau so rechnen kann“ wie mit gewöhnlichen natürlichen Zahlen und der Gleichheitsrelation.

Die Division bildet jedoch eine Ausnahme, der in den folgenden Ergebnissen Rechnung getragen wird.

Hilfssatz: Aus cba ⋅| und 1),( =baGGT folgt ca | .

Beweis: Nach dem Lemma von Bachet gibt es ganze Zahlen x und y mit der

5.1 DIE KONGRUENZRELATION 89

Eigenschaft byax ⋅+⋅=1 . Somit ist bycaxcc ⋅⋅+⋅⋅= . Da a nach

Voraussetzung die rechte Seite der letzten Gleichung teilt, teilt es auch die linke Seite, d.h. ca | .

Satz 5.4 (Kongruenz und GGT): Für alle ganzen Zahlen a, b, c und m gilt – mit ),(GGT: mcd = :

Aus a c b c m⋅ ≡ ⋅ ( )mod folgt a bm

d≡ ( )mod .

Beweis: Die Kongruenz a c b c m⋅ ≡ ⋅ ( )mod besagt nach Definition: m a c b c| ⋅ − ⋅ . D.h., m a b c| ( )− ⋅ bzw. k m a b c⋅ = − ⋅( ) (*) für eine geeignete ganze Zahl k. Es sei weiterhin (mit d c m= GGT( , ) ):

d

mq =: und

d

cs =: . Mit anderen Worten: m q d= ⋅ und c s d= ⋅ . Aus (*)

folgt durch Einsetzen k q d a b s d⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅( ) . Da d von Null verschieden ist, kann gekürzt werden. Es gilt also k q a b s⋅ = − ⋅( ) , d.h. es ist

km

da b

c

d⋅ = − ⋅( ) . (**)

Man beachte: qm

d= und s

c

d= sind ganze Zahlen. Die ganze Zahl

m

d ist

wegen (**) ein Teiler von ( )a bc

d− ⋅ . Wegen d c m= GGT( , ) sind q

m

d=

und sc

d= teilerfremd (vgl. Regel GGT-9). Also ist

m

d nach dem vorigen

Hilfssatz ein Teiler von ( )a b− ; es ist also a bm

d≡ ( )mod .

Folgerung 1: Für alle ganzen Zahlen a, b, c und m mit mc | gilt:

Aus a c b c m⋅ ≡ ⋅ ( )mod folgt )mod(cmba≡ .

Beweis: Aus mc | folgt cmcGGT =),( .

Folgerung 2 („Kürzungsregel“): Für alle ganzen Zahlen a, b, c und m gilt:

Ist GGT( , )c m = 1 (d.h. sind c und m teilerfremd), dann gilt: Aus a c b c m⋅ ≡ ⋅ ( )mod folgt a b m≡ ( )mod .


Bemerkung: Die letzte Aussage lässt sich auch folgendermaßen formulieren: Eine Kongruenz modulo m lässt sich mit c kürzen (bzw. mit c „durchdivi-dieren“), wenn c teilerfremd zu m ist.

Beispiel: Es ist )7mod(10218 ≡ . Da 18 6 3= ⋅ , 334102 ⋅= und

GGT ( , )3 7 1= ist, gilt auch )7 mod(3

102

3

18≡ , d.h. )7 mod(346 ≡ .

Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt die entsprechende Aussage nicht; so ist z.B. 26 38 12≡ ( )mod ; aber im Falle von 2=c gilt nicht 13 19 12≡ ( )mod .

Man beachte in diesem Zusammenhang auch die Folgerung aus dem Euklidi-schen Algorithmus (Vielfachsummendarstellung bzw. Lemma von Bachet):

Sind die natürlichen Zahlen a und b teilerfremd (d.h.: GGT a b( , ) = 1), dann gilt: Es gibt ganze Zahlen x und y mit: x a y b⋅ + ⋅ = 1.

Anders ausgedrückt, heißt das: b x a| ⋅ − 1, bzw. )(mod1 bax ≡⋅ bzw.

x a⋅ = 1 in Rb

b( )= . Die Restklasse x ist also „multiplikativ in-

vers“ zur Restklasse a .

Im „Rechenbereich“ Rb

gibt es also genau dann ein Inverses x zur Rest-

klasse a , wenn a und b teilerfremd sind. Man findet dieses inverse Ele-ment mit Hilfe der aus dem erweiterten Euklidischen Algorithmus (Berle-kamp-Algorithmus) folgenden Vielfachsummendarstellung.

5.2 Restklassenarithmetik

Die Verträglichkeit der Kongruenzrelation mit den arithmetischen Grundope-rationen der Addition und der Multiplikation ermöglicht die Übertragung die-

ser Operationen auf das Restklassensystem R mm = wie folgt:

Definition der Restklassenaddition: a b a b⊕ = +:

Definition der Restklassenmultiplikation: a b a b⊗ = ⋅:

Diese Definitionen unterliegen dem folgenden im Zusammenhang mit Äqui-valenzrelationen oft verwendeten universellen Prinzip:

5.2 RESTKLASSENARITHMETIK 91

Das Ergebnis der neuen Operation, angewandt auf die jeweiligen Rest-klassen, wird definiert als die Restklasse der alten (ursprünglichen) Operation, angewandt auf die Repräsentanten der Restklassen.

Dies führt zum immer wieder auftretenden Problem der Wohldefiniertheit der neuen Operationen: Ist diese Definition unabhängig von der Wahl der Reprä-sentanten für die jeweiligen Restklassen? Nur dann ist ja die neu definierte Operation wohldefiniert – d.h. sinnvoll.

Konkret heißt das (nach dem Prinzip „Gleiches zu Gleichem ergibt Gleiches“):

Sind 2121 ,,, bbaa und m ganze Zahlen derart, dass in

⋅m 21 aa = und 21 bb = ist, dann ist stets

2211 baba ⊕=⊕ und 2211 baba ⊗=⊗ .

Beispiel zur Erläuterung des Problems der Wohldefiniertheit: Als Modul be-trachten wir im Folgenden 6=m .

1. Addition von Restklassen modulo 6: 285353 ==+=⊕

Nun ist aber z.B. 273 = und 415 = . Wir hätten die Summe 53 ⊕ also

genauso gut als 4127 ⊕ schreiben können. Aber dann wäre die Summe bei ganz direkter Anwendung der Additionsregel folgendermaßen zu be-

rechnen gewesen: 6841274127 =+=⊕ . Es wäre nun nicht akzeptabel, wenn das Ergebnis der Restklassenaddition

von der Wahl der Repräsentanten abhinge, wenn also z.B. der Ausdruck

2 5⊕ ein anderes Ergebnis liefern würde als der Ausdruck 4127 ⊕ . Im konkreten Fall ist auch alles in Ordnung, denn 68 ist kongruent zu 2 mo-

dulo 6, d.h. 268 = in 6R . Im betrachteten Beispiel war das Ergebnis

also tatsächlich unabhängig von der Wahl der Repräsentanten.

2. Multiplikation von Restklassen modulo 6: Führen Sie diese Überlegung zur Übung parallel zum soeben diskutierten

Beispiel durch.

Aufgabe 5.2: Zeigen Sie allgemein, dass die oben eingeführten Operationen der Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation wohldefiniert sind.

Wegen der engen („kanonischen“) Verbindung zwischen der alten und der neuen Operation übernimmt man (da Verwechslungen und Zweideutigkeiten praktisch ausgeschlossen sind) oft die Schreibweise der alten Operation für die


neue Operation, also in diesem Fall ba + an Stelle von ba ⊕ und ba ⋅ an

Stelle von ba ⊗ . Man beugt so der Verbreitung einer Vielzahl neuer, exo-

tischer Operations- und Funktionssymbole vor. (Gelegentlich wird in der Lite-ratur sogar auch noch das die Restklassen symbolisierende Überstreichungs-zeichen weggelassen).

Da mR im Falle 2≥m nur aus den endlich vielen Elementen { }1,...,2,1,0 −m

besteht, kann man die Restklassenaddition und -multiplikation in diesem Falle in der Form einer kompletten Verknüpfungstabelle darstellen.

Beispiel: m = 6 : { }5,4,3,2,1,066 ==R .

Das Beispiel macht einige bemerkenswerte Eigenschaften der Restklassen-addition und Restklassenmultiplikation deutlich. Zum einen zeigt es die enge Verwandtschaft der Restklassenoperationen mit den entsprechenden Operatio-nen in den ganzen Zahlen. Viele Eigenschaften der Ganzzahladdition und Ganzzahlmultiplikation (wie z.B. das assoziative und kommutative Gesetz oder das Distributivgesetz) übertragen sich durch die Art der Definition un-mittelbar auf die Restklassen. Man sagt auch, die Restklassenaddition und -multiplikation „erben“ diese Eigenschaften von der gewöhnlichen Addition und Multiplikation im Bereiche der ganzen Zahlen. Dies sei exemplarisch am Beispiel der Kommutativität der Restklassenaddition gezeigt.

Zu zeigen ist, dass für alle a und b aus Rm stets gilt: a b b a+ = + .

• 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

5.2 RESTKLASSENARITHMETIK 93

Nach Definition ist a b a b+ = + , wobei auf der rechten Seite die gewöhnli-che Addition der ganzen Zahlen steht. Für diese gilt aber a b b a+ = + und somit auch a b b a+ = + . Das heißt, es ist a b b a+ = + .

Ganz entsprechend wird der Beweis für die anderen oben genannten Opera-tionseigenschaften durchgeführt. Durch die „kanonische“ Art der Definition der Restklassenoperationen werden wesentliche allgemeine Eigenschaften „vererbt“.

Sowohl die Tabellendarstellung wie auch die allgemeine Definition machen weitere Gemeinsamkeiten deutlich. So ist z.B. 0 das neutrale Element der

Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation in Rm . (In den Ta-

bellen kommt dies dadurch zum Ausdruck, dass 0 in der Additionstabelle die Eingangsspalte und Eingangszeile „reproduziert“; entsprechendes gilt für 1 in Bezug auf die Multiplikationstabelle.) In Bezug auf die Restklassenmulti-plikation ist 0 das „Nullelement“; Multiplikation mit diesem Element macht jedes Produkt zu Null. In der Sprache der modernen Algebra gesprochen ist

Rm (wie auch ) ein kommutativer Ring (mit Einselement 1 ).

Andererseits treten, wie das Beispiel R6 zeigt, bei den Restklassen auch

neuartige Phänomene auf, die in nicht bekannt sind. Wenn man die Rest-klasse 1 hinreichen oft „aufaddiert“, erhält man als Ergebnis die Null:

1 1 1 1 1 1 0+ + + + + = (m.a.W.: Rm ist eine endliche zyklische Gruppe).

In der Multiplikationstabelle von R6 tritt die folgende neuartige Gleichung

auf: 2 3 0⋅ = .

Ein Produkt von zwei Zahlen, die beide von Null verschieden sind, wird also zu Null! Man kann die letzte Gleichung auch durch die Sprechweise aus-drücken (vgl. Definition der Teilbarkeitsrelation):

2 und 3 sind Teiler von 0.

Elemente mit dieser Eigenschaft, die selbst von Null verschieden sind, werden dementsprechend auch als Nullteiler bezeichnet.

Allgemein werden in Ringen von Null verschiedene Elemente a und b, de-ren Produkt gleich Null ist ( )a b⋅ = 0 , als Nullteiler bezeichnet. In

Restklassenringen können also Nullteiler auftreten.


Aufgabe 5.3: Zeigen Sie: Wenn der Modul m eine Primzahl ist, so ist der Restklassenring nullteilerfrei.

Eine weitere interessante Gleichung in R6 ist 4 4 4⋅ = . Das heißt 4 42=

und daraus folgt sofort 4 4 4 4 43 4 5= = = = =... n . Alle Potenzen von 4

sind gleich 4 . Solche Elemente nennt man idempotent24. Auch im Bereiche der ganzen Zahlen gibt es idempotente Elemente, nämlich die Zahlen 0 und 1. Dies sind die trivialen idempotenten Elemente. In gibt es keine wei-tere (also keine nichttriviale) idempotente Elemente; in Restklassenringen tre-ten jedoch, wie das obige Beispiel zeigt, solche nichttriviale idempotente Ele-mente auf.

Aufgabe 5.4: Deuten Sie die Kongruenz modulo 12, den Prozess des Zählens und die Restklassenaddition modulo 12 am Ziffernblatt einer Uhr.

Eine typische Aufgabe, die leicht mit Hilfe der Kongruenzrechnung gelöst werden kann, lautet z.B. folgendermaßen: Was ist im Dezimalsystem die

letzte Ziffer der Zahl 19997 ?

Lösungsskizze: Die gesuchte Zahl stimmt offenbar mit dem kanonischen Re-

präsentanten von 19997 modulo 10 überein.

Nun gilt: )10(mod94972 ≡≡ . Daraus folgt:

)10(mod18197 24 ≡≡≡ und somit )10(mod11)7(7 44 ≡≡≡⋅ kkk .

Also ist z.B. )10(mod177 49941996 ≡≡ ⋅ und schließlich

)10(mod334317777 31996319961999 ≡⋅≡⋅≡≡ + .

Aufgabe 5.5: Zeigen Sie

1. Jede Quadratzahl ist kongruent 1 oder kongruent 0 modulo 4.

2. Die Summe zweier Quadratzahlen ist nie kongruent 3 modulo 4.

3. Eine Primzahl p der Form 34 +⋅= kp ist nie als Summe zweier Qua-

dratzahlen darstellbar.

24 idem (lateinisch): derselbe, dasselbe

5.3 SYSTEME LINEARER KONGRUENZEN UND DER CHINESISCHE RESTSATZ 95

5.3 Systeme linearer Kongruenzen und der Chinesische Restsatz

Der Name des Satzes geht auf die folgende Aufgabe im Handbuch der Arith-metik des Chinesischen Mathematikers Sun-Tse (etwa 3. Jahrhundert n. Chr.) zurück:

Es soll eine Anzahl von Dingen gezählt werden. Zählt man sie zu je drei, dann bleiben zwei übrig. Zählt man sie zu je fünf, dann bleiben drei üb-rig. Zählt man sie zu je sieben, dann bleiben zwei übrig. Wie viele sind es?

In der Terminologie der Kongruenzen kann man dies folgendermaßen aus-drücken: Gesucht ist eine ganze Zahl x mit der Eigenschaft:

x ≡ 2 3( ) , x ≡ 3 5( ) und x ≡ 2 7( ) .

Man bezeichnet ein solches System von Kongruenzen auch als ein System (si-multaner) linearer Kongruenzen. Die Lösungen derartiger Systeme werden durch den folgenden Satz beschrieben.

Satz 5.5 (Chinesischer Restsatz): Es seien kmmm ,...,, 21 paarweise teilerfremde natürliche Zahlen. Weiter-

hin seien kbbb ,...,, 21 beliebige ganze Zahlen. Dann besitzt das System

linearer Kongruenzen )( 11 mbx ≡

)( 22 mbx ≡

... )( kk mbx ≡

eine ganzzahlige Lösung x.

Diese erhält man wie folgt: Man setze m m m mk: ...= ⋅ ⋅ ⋅1 2 und

i

i m

ma =: . Dann ist ai teilerfremd zu mi und die Kongruenz

a x b mi i i i⋅ ≡ ( ) besitzt eine Lösung ix (vgl. Bemerkungen zum

Euklidischen Algorithmus bzw. zur Vielfachsummendarstellung). Man setze nun

x a x a x a xk k: ...= + + +1 1 2 2


und erhält damit eine Lösung des oben angegebenen Systems linearer Kon-gruenzen.

Alle Lösungen des Gleichungssystems sind „modulo m“ eindeutig; d.h.: Eine ganze Zahl x’ ist genau dann eine Lösung des oben angegebenen Systems linearer Kongruenzen, wenn gilt: x x m' ( )≡ .

Beweis: Zur Existenz der Lösung: Es ist zu zeigen, dass die ganze Zahl

x a x a x a xk k: ...= + + +1 1 2 2 eine Lösung des Systems linearer Kongru-

enzen ist.

Für jedes i und jedes von i verschiedene j gilt: m ai j| – oder mit

anderen Worten: )(0 ij ma ≡ . Deshalb gilt für alle i: )( iii mxax ≡ . Da nach

Voraussetzung )( iiii mbxa ≡⋅ gilt, folgt )( ii mbx≡ .

Die oben angegebene ganze Zahl x löst also das System der linearen Kon-gruenzen.

Zur Eindeutigkeitsaussage: Es sei x’ eine weitere Lösung. Dann folgt für alle i: )(' imxx ≡ ; d.h. m x xi | ( ' )− . Da die ganzen Zahlen

m m mk1 2, , ... , paarweise teilerfremd sind, ist dann )'( xx − auch durch m teilbar; d.h. )(' mxx ≡ .

Dass schließlich (umgekehrt) jede ganze Zahl x’ mit der Eigenschaft )(' mxx ≡ eine Lösung des Systems linearer Kongruenzen ist, ergibt sich

durch direktes Nachrechnen.

Beispiel: Wir betrachten das von Sun-Tse angegebene System linearer Kon-gruenzen

x ≡ 2 3( ) für x b m≡ 1 1( ) x ≡ 3 5( ) für x b m≡ 2 2( ) x ≡ 2 7( ) für x b m≡ 3 3( ) .

Mit den Bezeichnungen des Chinesischen Restsatzes gilt:

m m m m:= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1 2 3 3 5 7 105; sowie

am

m11

3 5 7

35 7 35:= =

⋅ ⋅= ⋅ =

am

m22

3 5 7

53 7 21:= =

⋅ ⋅= ⋅ =

5.3 SYSTEME LINEARER KONGRUENZEN UND DER CHINESISCHE RESTSATZ 97

am

m33

3 5 7

73 5 15:= =

⋅ ⋅= ⋅ = .

Die Kongruenzen a x b mi i i i⋅ ≡ ( ) stellen sich nun wie folgt dar:

i = 1: a x b m1 1 1 1⋅ ≡ ( ) 35 2 31⋅ ≡x ( ) „Reduktion der Koeffizienten“ modulo 3 ergibt: 2 2 31⋅ ≡x ( ) „Durchmultiplizieren“ mit 2 ergibt (modulo 3): x1 1 3≡ ( ) i = 2: a x b m2 2 2 2⋅ ≡ ( ) 21 3 52⋅ ≡x ( ) x2 3 5≡ ( ) i = 3: a x b m3 3 3 3⋅ ≡ ( ) 15 2 73⋅ ≡x ( ) x3 2 7≡ ( )

Mit den so ermittelten Werten a a a x x x1 2 3 1 2 3, , , , , erhält man nun

128215321135: 332211 =⋅+⋅+⋅=++= xaxaxax .

Modulo m ( )= 105 lautet die kleinste nichtnegative Lösung: x’ = 128–105

= 23.

Probe: 23 2 3≡ ( ) ist richtig 23 3 5≡ ( ) ist richtig )7(223 ≡ ist richtig

Aufgabe 5.6: Lösen Sie die in Kapitel 1 beschriebene Aufgabe des „Chinesi-schen Reiters“ mit Hilfe der im Chinesischen Restsatz entwickelten Methode.

Aufgabe 5.7: Innerhalb desselben Kalendermonats sind die Tagesdaten der Sonntage (Montage, Dienstage,...) jeweils kongruent modulo 7. Finden Sie für 2014 einen Monat mit 5 Sonntagen und überprüfen Sie die Aussage an dem Beispiel.

Aufgabe 5.8: Zeigen Sie: Jede ungerade Quadratzahl ist kongruent zu 1 mo-dulo 8.

Aufgabe 5.9: Ausdrücke der Form )!(!

!

knk

n

k

n

−⋅= heißen Binomial-

koeffizienten. Zeigen Sie: Ist p eine Primzahl und }1,,3,2,1{ −∈ pk ,

dann ist k

p durch p teilbar (d.h. )(mod0 p

k

p≡ .

Aufgabe 5.10: Zeigen Sie: Für beliebige ganze Zahlen x und y und jede

Primzahl p gilt: )(mod)( pyxyx ppp +=+ .


Aufgabe 5.11: Für jede reelle Zahl x ist [ ]x („Gaußsche Klammer“) defi-

niert als die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen der Funktion [ ]xx → im Bereich von

-5 bis 10.

Aufgabe 5.12 (Berechnung des Wochentags): Sie behaupten, dass Sie als Sonntagskind geboren sind, aber Ihre Freunde glauben Ihnen nicht und einen Kalender aus Ihrem Geburtsjahr haben Sie nicht zur Verfügung. In Form der Gleichung (* W *), weiter unten, finden Sie eine Formel, nach der Sie den Wochentag (auf der Basis des Gregorianischen Kalenders, also für jedes Datum nach Freitag, dem 15. Oktober 1582) berechnen können. Die Datumsangabe erfolgt (man vergleiche die Beispiele unten) nach dem Schema: Jahrhundert (H), Jahr (J), Monat (M), Tag (T).

Codierung der Wochentage: So=0, Mo=1, Di=2, Mi=3, Do=4, Fr=5, Sa=6. Codierung der Monate: März=1, April=2, Mai=3,..., Dez=10, Jan=11, Feb=12

Die Monate Januar und Februar werden zum Vorjahr gerechnet; der 8. Februar 2006 ist also wie folgt zu codieren: H=20, J=5, M=12, T=8.

Mit diesen Bezeichnungen berechnet sich der Wochentag W wie folgt:

[ ] [ ] [ ] )7(mod24/4/5/)113( HHJJMTW ⋅−+++−⋅+≡ . (* W *)

1. Berechnen Sie weitere Beispiele; z.B. Ihr Geburtsdatum. 2. Analysieren Sie die Formel für den Wochentag. (Hinweis: Ore 1967)

Beispiele: Tag des Mauerfalls: 9. Nov. 1989; H=19, J=89, M=9, T=9 ==> W=4 (Donnerstag) 19. September 1971: T=19, M=7, J=71, H=19 ==> W=0 (Sonntag) 3. Oktober 1990: T=3, M=8, J=90, H=19 ==> W=3 (Mittwoch) 1. Januar 2000: T=1, M=11, J=99, H=19 ==> W=6 (Samstag) 29. Februar 2016: T=29, M=12, J=15, H=20 ==> W=1 (Montag)

6 Stellenwertsysteme, Teilbarkeitsregeln und Rechenproben

Smog-Alarm in Paris – nur Autos mit ungerader End-ziffer dürfen fahren, die Autos mit gerader Endziffer nicht. Es gab Unklarheiten: Ist die Endziffer 0 eine gerade Zahl? Fahrer mit der Endziffer 0 gingen straf-frei aus, denn die Polizei wusste auch keine Antwort.

ZDF Nachrichtensendung „heute“ 1. Oktober 1997, 19 Uhr

6.1 Stellenwertsysteme

In der heute üblichen Darstellung im Zehnersystem bedeutet die Schreibweise 7285 dasselbe wie

15108100210007 ⋅+⋅+⋅+⋅ bzw.

0123 105108102107 ⋅+⋅+⋅+⋅ .

Diese Darstellungsform ist eine Stellenwertschreibweise zur Basis 10.

Mit Hilfe einer Stellenwerttafel kann man dies folgendermaßen anschaulich darstellen:

Tausender Hunderter Zehner Einer

T H Z E

7 2 8 5

Man kann ebenso andere Stellenwertsysteme (d.h. Stellenwertschreibweisen mit anderen Basen) betrachten. Voraussetzung für jede Form der Stellenwert-darstellung ist die „Erfindung“ der Null durch die Inder etwa im 6. Jahrhundert n. Chr. Die Null macht es möglich, Positionen in der Stellenwerttafel, die nicht besetzt sind, zu kennzeichnen und so z.B. die Zahldarstellungen 345, 3045, 3405, 30405, 30045, 34005, 304005, ... zu unterscheiden. Sie ist darüber hinaus die Voraussetzung für die Realisierung unserer heute ge-bräuchlichen Grundrechenarten, so wie sie z.B. in der Grundschule gelehrt und erlernt werden.


100 STELLENWERTSYSTEME, TEILBARKEITSREGELN UND RECHENPROBEN

Satz 6.1 (Existenz und Eindeutigkeit der Zahldarstellung in Stellenwert-systemen):

Es sei b eine natürliche Zahl )1( >b . Dann besitzt jede beliebige natürli-

che Zahl n eine Stellenwertdarstellung im Stellenwertsystem zur Basis b, d.h., es gibt eindeutig bestimmte Zahlen r sowie ganze Zahlen rm , 1−rm ,

2−rm , ... , m2 , m1 , m0 ( , ... , )mit für und0 0 0≤ < = ≠m b i r mi r mit

der Eigenschaft:

n m b m b m b m b m b m brr

rr

rr= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅−

−−

−1

12

22

21

10

0 .

Die Zahlen mi heißen auch die Ziffern von n bei der Darstellung im System

zur Basis b – kurz im b-System. Die Eindeutigkeitsaussage besagt in dieser Terminologie, dass die Ziffernfolge mr , mr−1, mr−2 , ... , m2 , m1 , m0

eindeutig ist.

Beweis: Die Existenz der Stellenwertdarstellung wird als Widerspruchsbeweis mit „kleinstem Verbrecher“ k durchgeführt. Die Division mit Rest von k durch b ergibt k q b r= ⋅ + mit 0 ≤ <r b .

1. Fall: Wäre in der vorangehenden Gleichung 0=q , so folgte daraus

k r= . Dann wäre aber k r b= ⋅ 0 eine Darstellung von k im b-System.

Dies stünde im Widerspruch zu der Annahme, dass k keine solche Darstel-lung besitzt. Also kann q nicht gleich Null sein.

2. Fall: Zu untersuchen bleibt also der Fall q ≥ 1. Wegen b > 1 ist q k< .

Der Quotient q kann also kein „Verbrecher“ sein, q besitzt also eine ein-deutige Stellenwertdarstellung im b-System:

q z b z b z b z b z b z bss

ss

ss= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅−

−−

−1

12

22

21

10

0 .

Dann ist aber im Widerspruch zur Annahme, k sei ein Verbrecher,

010

21

32

121

1 brbzbzbzbzbzbz

rbqk

ss

ss

ss ⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=

+⋅=

−−−

+

eine Darstellung von k im b-System.

Beweisskizze für die Eindeutigkeit der Darstellung (Widerspruchsbeweis): Angenommen, es gäbe eine natürliche Zahl k mit zwei verschiedenen Stel-lenwertdarstellungen; etwa

6.1 STELLENWERTSYSTEME 101

k z b z b z b z b z b z bss

ss

ss= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅−

−−

−1

12

22

21

10

0 und

00

11

22

22

11 bcbcbcbcbcbck t

tt

tt

t ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅= −−

−− .

Es sei j der größte Index, wo sich die Koeffizienten ci und zi unterschei-den und es sei etwa (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) c zj j< . Dann

beträgt der Unterschied an dieser Stelle ( )z c bj jj− ⋅ . Diese Differenz ist

größer oder gleich b j und der „Fehlbetrag“ kann durch die Ziffernfolgen an den „niedrigeren“ Stellen nicht mehr wett gemacht werden, denn die maximale Zahl an den niedrigen Stellen wäre

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b b b b b b bj j− ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅− −1 1 1 1 11 2 2 1 0

und dies ist immer noch kleiner als b j („Kilometerzähler“-Argument).

Ein Beispiel zur Verdeutlichung: Im Zehnersystem ( )b = 10 gilt – etwa an

der Stelle j = 3: 0123 )1()1()1(99910001 bbbbbbb ⋅−+⋅−+⋅−=>=⋅ .

Spezielle Stellenwertsysteme

b = 2: Das Zweiersystem (Binärsystem, Dualsystem) wird heute besonders in der Datenverarbeitung angewandt. Es wurde erstmals im Jahre 1705 von G. W. Leibniz unter dem Titel „Explication de l’Arithmétique Binaire“ (Erläu-terung der binären Arithmetik) in der Zeitschrift der Académie Royale des Sciences (Paris) beschrieben (vgl. Abb. 6.1).

Die Bedeutung des Zweiersystems für die Datenverarbeitung rührt daher, dass Computer physikalisch aus Speicherelementen aufgebaut sind, die genau zwei unterscheidbare Zustände besitzen. Der eine dieser Zustände wird meist mit 0, der andere mit 1 bezeichnet (in der Elektrotechnik werden oft auch die Sym-bole O und L verwendet). Jedes solche Speicherelement wird als Bit (bi-nary digit) bezeichnet. Das „Bit“ ist in der Informationstheorie zugleich auch die Grundeinheit des von C. Shannon25 eingeführten Informationsmaßes.

b = 8: Auch das Achtersystem (Oktalsystem) kommt gelegentlich in der Da-tenverarbeitung zur Anwendung

25 Claude E. Shannon (1916−2001), amerikanischer Mathematiker, Elektrotechniker und Kryptologe, „Vater der Informationstheorie“


b = 10: Das Zehnersystem ist unser heutiges, auf die Inder zurückgehendes System (vgl. Abschnitt 1.2)

b = 16: Das Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem) wird heute häufig zur Beschreibung der Byte-Struktur von Computern verwendet. Dabei werden jeweils 4 Bit zu einem Halbbyte zusammengeschaltet, das jeweils einen von 16 Zuständen („Werten“) annehmen kann. Als „Ziffern“ benutzt man im He-xadezimalsystem meist die 16 Symbole 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F.

Schaltet man zwei Halbbytes, also 8 Bits, zu einer Einheit zusammen, so erhält man die als Byte bezeichnete Speichereinheit, die über viele Jahrzehnte hin-

Abb. 6.1: G.W. Leibniz zum Zweiersystem

6.1 STELLENWERTSYSTEME 103

weg weltweit fast durchgängig die Basis für den Computerbetrieb abgab. Je-des Byte kann also einen der 256 (= 16•16) Werte 00 bis FF annehmen.

Die Bedeutung der einzelnen Byte-Belegungen wurde im Rahmen des soge-nannten ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange) festgelegt. Dabei verwendete man ursprünglich nur die 7 „niedrigst-wertigen“ Bits eines Bytes zur Zeichen-Codierung (7-Bit-ASCII). Dies macht es mög-lich, 128 verschiedene Zeichen darzustellen. Bald erkannte man, dass dies nicht ausreichte, um die in nicht-englischen Sprachen mit lateinischem Grund-alphabet vorkommenden speziellen Zeichen (wie z.B. Umlaute, „accents“ und ähnliche Zeichen) darzustellen. Dies lies sich relativ leicht reparieren, indem man alle 8 Bits eines Bytes zur Codierung heranzog. Man konnte so 256 Zei-chen darstellen. Als sich die Computer immer stärker verbreiteten, sah man sich gezwungen, vom 8-Bit-Codierungs-Prinzip abzurücken. Man entwarf einen neuen Standard, den Unicode Standard, mit dem neben mathematischen und technischen Zeichen auch die Zeichen aller anderer „lebenden“ Sprachen (arabisch, asiatisch ...) darstellbar sein sollten. Die 2-Byte-Unicode-Codierung ermöglichte die Darstellung von 256 • 256 = 65536 Zeichen. Als man auch historische Schriften (wie z.B. die ägyptischen Hieroglyphen oder die babylo-nischen Keilschriftzeichen) in das Unicode-System integrieren wollte, musste man die 2-Byte-Codierung zu einer 4-Byte-Codierung erweitern. Damit ist die Darstellung von 4.294.967.296 Zeichen möglich und man hofft, dass dies ausreicht, um jedes jemals geschriebene Zeichen darstellen zu können26. In Abb. 1.2 sind beispielsweise die Ägyptischen Zahlzeichen für 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 und 1000000 mit ihren Unicode Werten dargestellt.

b = 20: Das System der Maya − siehe Abschnitt 1.2.

b = 60: Das babylonische System (ein noch nicht voll entwickeltes Stellen-wertsystem) − siehe Abschnitt 1.2.

26 Damit, dass man eine "Code-Nummer" für jedes mögliche Zeichen festlegt, ist das Gesamtproblem jedoch noch nicht gelöst. Zur Darstellung der Schriftzeichen benötigt man noch die graphische Fassung der Zeichen (in Form von Zeichentabel-len), die es derzeit noch nicht für alle Unicode-Zeichen gibt.


Aufgabe 6.1: Informieren Sie sich (z.B. in Ziegenbalg 2010, Abschnitt 5.4) über Algorithmen zur Umwandlung von Stellenwertdarstellungen eines Stel-lenwertsystems in ein anderes System, und realisieren Sie die Algorithmen in einer geeigneten Programmiersprache.

6.2 Stellenwertdarstellung und Kongruenzen

Auch im Zusammenhang mit der Stellenwertdarstellung erweist sich das Rechnen mit Kongruenzen als sehr nützlich.

Hilfssatz: Es ist b b≡ −1 1( )mod und b b≡ − +1 1( )mod .

Beweis: Übung

Also gilt speziell: 10 1 9≡ ( )mod und 10 1 11≡ − ( )mod .

Folgerungen:

(1) )1mod(1,),1mod(12 −≡−≡ bbbb n

(2) ),1mod(1),1mod(1),1mod(1 432 +≡+−≡+≡ bbbbbb ...

)1mod()1( +−≡ bb nn

Speziell im Zehnersystem gilt

(3) 10 1 9 10 1 92 ≡ ≡( ), , ( )mod modn

(4) ,)11mod(110),11mod(110),11mod(110 432 ≡−≡≡ ...

)11mod()1(10 nn −≡

Definition 6.1: Die Stellenwertdarstellung der natürlichen Zahl n im b-System sei

00

11

22

22

11 bmbmbmbmbmbmn r

rr

rr

r ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅= −−

−− .

Als b-Quersumme von n wird die Summe der Ziffern von n bezeichnet:

Q n m m m m m mb r r r( ) = + + + + + +− −1 2 2 1 0 .

Die alternierende b-Quersumme von n ist folgendermaßen definiert:

rr

iib mmmmmmmmnQ )1()( 12243210 −++−+−+−+−=′ + .

Im Zehnersystem schreibt man kürzer )(nQ an Stelle von Q n10 ( ) und

6.2 STELLENWERTDARSTELLUNG UND KONGRUENZEN 105

′Q n( ) an Stelle von ′Q n10 ( ) und spricht kurz von der Quersumme statt von

der 10-Quersumme.

Satz 6.2 (Quersummenregel): Mit den obigen Bezeichnungen gilt: n Q n bb≡ −( ) ( )mod 1 und n Q n bb≡ ′ +( ) ( )mod 1 .

Beweis:

n m b m b m b m b m b m brr

rr

rr= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅−

−−

−1

12

22

21

10

0

Der Beweis beruht fast gänzlich auf der Verträglichkeit der Kongruenzrelation mit den arithmetischen Operationen.

Erinnerung: Aus )1(mod1 −≡ bb folgt )1(mod1 −≡ bbk für beliebi-

ges k ∈ .

Daraus folgt: )1(mod −≡⋅ bmbm kk

k und schließlich (formal mit voll-

ständiger Induktion):

)1 mod()(00

−=≡⋅=

==

bnQmbmn b

r

kk

r

k

kk .

Folgerung: Im Zehnersystem gilt )9mod()(nQn ≡ und entsprechend n Q n≡ ′( ) ( )mod 11 .

Folgerungen (Teilbarkeitsregeln):

(1) Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

(2) Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

6.3 Rechenproben – eine Anwendung mit historischer Bedeutung

Diese Folgerungen ermöglichen im Zehnersystem die historisch und vom Schulunterricht her wohlbekannte „Neunerprobe“.

Es seien x und y natürliche Zahlen, deren Produkt x y⋅ zu berechnen ist.


Es gilt: )9mod()(xQx ≡ , )9mod()(yQy ≡ und )9mod()( yxQyx ⋅≡⋅ .

Weiterhin gilt wegen der Verträglichkeit der Kongruenzrelation mit der Multi-plikation: x y Q x Q y⋅ ≡ ⋅( ) ( ) ( )mod 9 .

Daraus folgt: Q x Q y Q x y( ) ( ) ( ) ( )⋅ ≡ ⋅ mod 9 .

Dies ermöglicht die folgende Rechenprobe: Gegeben x und y. (1.) Berechne das Produkt x y⋅ . (2.) Berechne die Quersummen )(und)(),( yxQyQxQ ⋅ . (3.) Berechne das Produkt der Quersummen: Q x Q y( ) ( )⋅ . (4.) Prüfe: Q x Q y Q x y( ) ( ) ( ) ( )⋅ ≡ ⋅ mod 9 .

Ist die Gleichung in (4.) verletzt, so ist die Rechnung fehlerhaft. Ist die Glei-chung nicht verletzt, so erhöht dies die Plausibilität, dass die Rechnung richtig war (es ist aber kein definitiver Beweis für die Richtigkeit der Rechnung).

Beispiel: Stimmt die Rechnung 523 9874 5164102⋅ = ?

Q Q Q( ) , ( ) ( )523 10 9874 28 5164102 19= = =und

Q Q( ) ( )523 9874 10 28 280⋅ = ⋅ =

)9mod(19280 ≡ , denn 26119280 =− und 261 wird von 9 geteilt.

Die Rechnung ist also nicht falsifi-ziert; der Grad der Plausibilität, dass die Rechnung richtig ist, hat sich durch die Probe erhöht.

Schematisch wird die Rechenprobe oft wie in der nebenstehenden Gra-phik dargestellt:

Historische Darstellung nach Adam Ries (1492–1559)

Q(523)=10 Q(9874)=28

Q(5164102) =19

10 • 28 =280

Q(x) Q(y)

Q(x • y)

Q(x) • Q(y)

Abb. 6.2: Rechenprobe Deutsche Bundespost 1959

6.3 RECHENPROBEN 107

Bemerkung: Die Vorgehensweise im Zusammenhang mit der Rechenprobe war in mehrfacher Hinsicht exemplarisch:

1. Analog zur Multiplikation funktioniert die Probe auch mit der Addition bzw. Subtraktion (die Methode erweist sich aber bei der Multiplikation am nützlichsten).

2. Analog zur Neunerprobe (mit Hilfe der Quersumme) kann man auch die Elferprobe (mit der alternierenden Quersumme) durchführen.

3. Analog zur Basis 10 funktionieren die Rechenproben auch im b-System mit 1−b an Stelle von 9 und 1+b an Stelle von 11.

4. Man kann von der Quersumme )(nQ wieder die Quersumme ))(( nQQ

bilden, u.s.w. Man nennt dies die iterierte Quersumme von n. Es gilt dann aus denselben Gründen wie im Falle der einfachen Quersumme

)(...)))((())(()( nQnQQQnQQnQn k≡≡≡≡≡ . Die Rechenproben lassen

sich auch mit der iterierten Quersumme durchführen.

5. Falsche Rechnungen werden durch die Neunerprobe nicht aufgedeckt, wenn sich das (falsche) Ergebnis um ein Vielfaches von 9 vom richtigen Ergebnis unterscheidet.

Ein Beispiel: 17847623 =⋅ ?

Neunerprobe: 65135)76()23( =⋅=⋅ QQ ; 20)1784( =Q ; 65 20 9≡ ( )mod , aber das Ergebnis war falsch; korrekt ist: 17487623 =⋅ .

Aufgabe 6.2: Erläutern Sie, ob und ggf. zu welcher Rechnung Abb. 6.3 als Re-chenprobe zu verstehen ist.

Abb. 6.3: Rechenprobe Deutsche Bundespost 1992


Bemerkung: Die Quersumme von 10, 100, 1000, 10000 ist jeweils 1. Man kann sich also vorstellen, dass man jedes (additiv) in einer Zahl steckende Zehner-, Hunderter-, Tausender-, Zehntausender-Paket durch 1 ersetzt, um zur Quersumme dieser Zahl zu gelangen. An Stelle von 10, 100, 1000, 10000 nimmt man jeweils nur die 1. Man „wirft“ also jeweils 9, 99, 999, 9999 „weg“, wenn man zur Quersumme einer Zahl übergeht. Dies ist offenbar der Grund dafür, warum man die Quersummenbildung (bzw. die damit verbun-denen Rechenproben) im englischen Sprachraum auch als „casting out nines“ bezeichnet.

Weitere Rechenproben

Satz 6.3 (Endstellen-Regeln): Die Darstellung der Zahl n im Zehnersystem sei

n m m m m m mrr

rr

rr= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +−

−−

−10 10 10 10 1011

22

22

1 0 .

Dann gilt: • Die Zahl n ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0m

durch 2 teilbar ist. • Die Zahl n ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer m0

durch 5 teilbar ist. • Die Zahl n ist genau dann durch 4 teilbar, wenn ihr „Zweier-Ende“ m m1 010⋅ + durch 4 teilbar ist.

• Die Zahl n ist genau dann durch 25 teilbar, wenn ihr „Zweier-Ende“ 01 10 mm +⋅ durch 25 teilbar ist.

Beweis: Die Endstellen-Regeln folgen unmittelbar aus den Grundeigenschaf-ten der Teilbarkeitsrelation. An dieser Stelle sei exemplarisch der Beweis für die dritte Regel ausgeführt.

Wir betrachten dazu die Zahl

′ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅−−

−−n m m m mr

rr

rr

r10 10 10 1011

22

22 .

Sie ist unabhängig von den Ziffern in stets durch 4 teilbar, denn man kann

den Faktor 100 aus der Summe ausklammern. Also ist n genau dann durch 4 teilbar, wenn nn ′− )10( 01 mm +⋅= durch 4 teilbar ist.

Aufgabe 6.3: Formulieren und beweisen Sie allgemeine Quersummengesetze und Rechenproben für Zahlen und Rechnungen im b-System.

7 Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson

7.1 Die Eulersche ϕϕϕϕ-Funktion („Eulersche Totientenfunktion“)

Definition 7.1:

1. Unter einer zahlentheoretischen Funktion versteht man eine Funktion

f : → oder f : → .

2. Gilt für eine zahlentheoretische Funktion f für alle teilerfremden natürli-chen Zahlen m und n

f m n f m f n( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ ,

so nennt man die Funktion f multiplikativ.

3. Es sei n eine natürliche Zahl. Mit )(nϕ wird die Anzahl der zu n teiler-

fremden Zahlen zwischen 1 und n bezeichnet. Die Funktion ϕ heißt Eulersche ϕ-Funktion (gelegentlich auch Eulersche Totientenfunktion).

Beispiel: Für n = 12 sind die entsprechenden teilerfremden Zahlen: 1, 5, 7, 11; also ist 4)12( =ϕ .

Bemerkung: Weitere multiplikative zahlentheoretische Funktionen sind (vgl. Abschnitt 2.4):

τ( )n = Anzahl der Teiler von n (Teilerzahl)

σ( )n = Summe der Teiler von n (Teilersumme)

Satz 7.1 (Multiplikativität der Eulerschen ϕϕϕϕ-Funktion): Die Eulersche ϕ-Funktion ist multiplikativ.

(In Anhang 8.4 ist ein ausführliches Zahlenbeispiel zur Multiplikativität der ϕ-Funktion gegeben.)

Beweis: Seien m und n teilerfremde natürliche Zahlen. Es ist zu zeigen: ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( )m n m n⋅ = ⋅ . Wir ordnen die Zahlen 1 bis m n⋅ entsprechend

dem folgenden rechteckigen Schema an:


110 7 DIE SÄTZE VON EULER, FERMAT UND WILSON

1 2 3 ... n n+1 n+2 n+3 ... 2n

2n+1 2n+2 2n+3 ... 3n ... ... ... ... ...

(m-1)⋅n +1 (m-1)⋅n +2 (m-1)⋅n +3 ... m⋅n

Jede dieser Zahlen lässt sich eindeutig in der Form q n r⋅ + mit 1 ≤ ≤r n und 0 1≤ ≤ −q m schreiben.

Jede Spalte ist durch ihren „Anfangswert“ r ( )1 ≤ ≤r n charakterisiert. Ist r

teilerfremd zu n, so auch jede weitere Zahl in dieser Spalte. Denn diese Zah-len sind von der Form q n r⋅ + mit 0 1≤ ≤ −q m und es ist

GGT q n r n GGT q n r n GGT r n( , ) (( ) , ) ( , )⋅ + = − ⋅ + = =1 .

In der ersten Zeile sind nach Definition der Eulerschen Funktion genau ϕ( )n

der Zahlen teilerfremd zu n. Folglich sind auch alle Zahlen der zugehörigen ϕ( )n Spalten teilerfremd zu n.

Zwischenbehauptung: Jede dieser )(nϕ Spalten enthält )(mϕ zu m tei-

lerfremde Zahlen.

Beweis der Zwischenbehauptung: Wir betrachten die durch das „Anfangs-element“ r gekennzeichnete Spalte. Sie besteht aus den Elementen:

rnmrnrnrnr +⋅−+++ )1(,,3,2,, . (*)

Keine zwei dieser Zahlen sind kongruent modulo m. Denn wäre etwa )mod(21 mrnqrnq +⋅≡+⋅ , so würde daraus )mod(21 mnqnq ⋅≡⋅ fol-

gen, und somit wäre wegen der Teilerfremdheit von m und n: )mod(21 mqq ≡ . Da 1q und 2q jeweils zwischen 0 und 1−m liegen,

würde daraus 21 qq = folgen – im Widerspruch zur Voraussetzung, dass

die beiden Zahlen verschieden sein sollten.

Modulo m gibt es genau die m verschiedenen Reste 0, 1, 2, ..., 1−m . Die m Zahlen in (*) sind also modulo m ein vollständiges Restesystem; sie sind insgesamt modulo m kongruent zu den Zahlen 0, 1, 2, ... , 1−m . Das heißt insbesondere, dass es unter den Zahlen in (*) genau )(mϕ gibt, die

zu m teilerfremd sind.

7.1 DIE EULERSCHE ϕ-FUNKTION 111

In dem rechteckigen Zahlenschema gibt es also insgesamt )(nϕ Spalten mit jeweils ϕ( )m Zahlen, (also insgesamt ϕ ϕ( ) ( )n m⋅ Zahlen), von denen jede

sowohl zu n als auch zu m teilerfremd ist. Dies sind also genau die zu n m⋅ teilerfremden Zahlen und somit ist ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( )m n m n⋅ = ⋅ .

Satz 7.2 (Die Eulersche ϕϕϕϕ-Funktion und Primzahlen): Für jede Primzahl p ist 1)( −=ϕ pp .

Beweis: Dies folgt unmittelbar aus dem Begriff der Primzahl.

Satz 7.3 (Die Eulersche ϕϕϕϕ-Funktion und Primzahlpotenzen): Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n gilt:

)1

1()(p

pp nn −⋅=ϕ .

Beweis: Von den Zahlen m mit 1≤ ≤m pn besitzen genau die folgenden

Zahlen einen von 1 verschiedenen Teiler mit pn :

p p p p p p pn n, , , , ,2 3 4 1− ⋅ = .

Dies sind pn−1 Zahlen. Die anderen Zahlen zwischen 1 und pn sind teiler-

fremd zu pn . Ihre Anzahl ist: )1

1(1

pppp nnn −=− − .

Satz 7.4 (Produktformel für die Eulersche ϕϕϕϕ -Funktion): Die natürliche Zahl n ( )n > 1 habe die Primfaktorzerlegung

n p p pm m

rmr= ⋅ ⋅ ⋅1 2

1 2 ... .

Dann ist ϕ( ) ( ) ( ) ( )n np p pr

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −11

11

11

1 2.

Beweis: Wegen der Multiplikativität der Eulerschen Funktion gilt:

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( ... ) ( ) ( ) ... ( )n p p p p p pm m

rm m m

rmr r= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅1 2 1 2

1 2 1 2

)1

1(...)1

1()1

1(2

21

121

r

mr

mm

pp

pp

pp r −⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=

)1

1(...)1

1()1

1(21 rppp

n −⋅⋅−⋅−⋅= .


Satz 7.5 (Summenformel für die Eulersche ϕϕϕϕ -Funktion): Für jede natürliche Zahl n gilt =ϕ

nd

nd|

)( .

Ein Beispiel: n = 12 Teiler von 12: d = 1 2 3 4 6 12 ϕ(d) = 1 1 2 2 2 4

Beweis der Summenformel: Zunächst sei an das folgende Ergebnis aus Kapitel

3 erinnert (vgl. GGT-10): Ist d GGT a b= ( , ) , so ist GGTa

d

b

d( , ) = 1.

Wir zerlegen die Zahlen n,,3,2,1 in disjunkte (d.h. elementfremde) Klas-

sen. Die Klassen sind so definiert, dass zu jedem Teiler t von n diejenigen Elemente },,3,2,1{ nx ∈ in einer Klasse tA zusammengefasst werden, für

die GGT x n t( , ) = ist.

Dies sei zunächst am Beispiel 20=n und 4=t erläutert: GGT x( , )20 4=

ist erfüllt für die Zahlen 4, 8, 12 und 16; man erhält so die Klasse { }16,12,8,44 =A .

Führt man Entsprechendes mit jedem Teiler von n durch, so erhält man eine Klasseneinteilung, die im Falle 20=n folgendermaßen tabellarisch darge-stellt werden kann:

t

=tA

{ }{ }tnxGGTnx =∈ ),(:,,1

n

t zu

n

t teiler-

fremde Zahlen )(

t

nϕ

tA

1 A1 = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19} 20 = A1 8 8

2 A2 = {2, 6, 14, 18} 10 {1, 3, 7, 9} 4 4

4 A4 = {4, 8, 12, 16} 5 {1, 2, 3, 4} 4 4

5 A5 = {5, 15} 4 {1, 3} 2 2

10 A10 = {10} 2 {1} 1 1

20 A20 = {20} 1 {1} 1 1

Summen: 20 20

Wie das Beispiel zeigt, stellen die Mengen A A A A A A1 2 4 5 10 20, , , , , eine Zerlegung der Menge }20,,3,2,1{ dar. Da im Beispiel stets

7.1 DIE EULERSCHE ϕ-FUNKTION 113

| | ( )An

tt = ϕ gilt, lässt sich die Zahl 20=n wie folgt zerlegen:

ϕ==

ntntt t

nA

||

)(||20 .

Nun zum allgemeinen Fall:

Für jeden Teiler t von n sei also { }{ }A x n GGT x n tt = ∈ =1, , : ( , ) . Für

verschiedene Teiler t und s von n ist dann offenbar stets ∅=∩ st AA .

Jedes x mit { }nx ,...,1∈ liegt in der Menge rA , wo ),( nxGGTr = ist.

Also bilden die Mengen tA eine Zerlegung der Menge { }n,...,1 , d.h.

=

nttAn

|

|| .

Nach (GGT-10) gilt: GGT x n t GGTx

t

n

t( , ) ( , )= ⇔ = 1 .

Also ist { } ϕ==∈=t

n

t

n

t

xGGTnxAt 1),(:,,1|| .

Mit t durchläuft auch t

n alle Teiler von n. Also ist ϕ=ϕ

ntnd t

nd

||

)()( .

Und daraus folgt schließlich ϕ=ϕ==

ndntntt d

t

nAn

|||

)()(|| .

7.2 Die Sätze von Euler und Fermat

Satz 7.6 (Satz von Euler): Es sei n eine beliebige und a eine zu n teilerfremde natürliche Zahl.

Dann gilt )(1)( na n ≡ϕ .

Beweis: Nach Definition der Eulerschen Funktion gibt es ϕ( )n verschiedene

zu n teilerfremde Zahlen zwischen 1 und n; sie seien mit

r r r n1 2, , , ( )ϕ

bezeichnet. Wir betrachten im Folgenden die Produkte )(21 ,,, nrarara ϕ⋅⋅⋅


Zwischenbehauptung 1: Für jedes i n∈{ , , ( )}1 ϕ gilt: a ri⋅ ist teilerfremd

zu n.

Beweis: Besäßen a ri⋅ und n einen gemeinsamen Teiler t )1( >t , so be-

säßen sie insbesondere einen gemeinsamen Primteiler p (aus der Primfaktor-zerlegung von t). Da die Primzahl p das Produkt a ri⋅ teilt, müsste sie einen der Faktoren (a oder ri ) teilen. Dann wäre dieser Faktor aber, im

Widerspruch zur Voraussetzung, nicht teilerfremd zu n.

Zwischenbehauptung 2: Für verschiedene Indizes )}(,,1{, nji ϕ∈ ist stets

)(nrara ji ⋅≠⋅ .

Beweis: Aus )(nrara ji ⋅≡⋅ folgt )(0 nrara ji ≡⋅−⋅ ; d.h.

)(0)( nrra ji ≡−⋅ . Mit der Teilerfremdheit von a und n folgt hieraus

(nach Kürzung mit a) )(0 nrr ji ≡− .

Die Zahl n ist also ein Teiler von ji rr − . Die (positiven) Zahlen ir und

r j sind nach Definition beide kleiner als n. Ihre Differenz muss deshalb

(betragsmäßig) auch kleiner als n sein. Da n diese Differenz teilt, muss die Differenz gleich Null sein. Mit anderen Worten: ji rr = .

Aus )(nrara ji ⋅≡⋅ folgt also ji rr = , d.h., i j= .

Fortsetzung des Hauptbeweises: Aus den beiden Zwischenbehauptungen folgt, dass die Mengen },,,{ )(21 nrrr ϕ und { , , , }( )a r a r a r n⋅ ⋅ ⋅1 2 ϕ mo-

dulo n übereinstimmen. Die jeweiligen Produkte der in diesen Mengen ent-haltenen Elemente sind also kongruent modulo n:

)()(21)(21 nrarararrr nn ϕϕ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≡⋅⋅⋅ .

Daraus folgt:

)()(21)(

)(21 nrrrarrr nn

n ϕϕ

ϕ ⋅⋅⋅⋅≡⋅⋅⋅ .

Da alle ir (nach Definition) teilerfremd zu n sind, kann man mit diesen

Faktoren kürzen; d.h., es folgt )(1 )( na nϕ≡ .

7.2 DER SATZ VON EULER 115

Folgerung („Kleiner Fermatscher Satz“): Es sei p eine Primzahl und a eine

natürliche Zahl, die kein Vielfaches von p ist. Dann gilt )(11 pa p ≡− .

Bemerkung: Der Eulersche Satz nimmt im Kontext der modernen Algebra (genauer: der Gruppentheorie) eine besonders klare und durchsichtige Form an. Er ist in diesem Zusammenhang als Satz von Lagrange27 bekannt und lau-tet:

Die Ordnung jeder Untergruppe einer beliebigen (endlichen) Gruppe teilt stets die Ordnung der Gruppe.

Aufgabe 7.1 (für Leser, die mit den Grundbegriffen der Gruppentheorie ver-traut sind): Zeigen Sie

1. Im Restklassenring n bilden die zu n teilerfremden Restklassen mit

der üblichen Restklassenmultiplikation (vgl. Kapitel 5) eine Gruppe. Sie wird auch als die Gruppe der primen Restklassen modulo n bezeichnet.

2. Sei G eine endliche Gruppe, Ga ∈ und },,,,,{: 32 naaaaa = .

Zeigen Sie a ist eine Untergruppe von G.

Die von a ( 1≠a ) erzeugte Untergruppe der Gruppe der primen Restklassen habe die Ordnung k. Nach dem Satz von Lagrange ist dann k ein Teiler von

)(nϕ . Es sei skn ⋅=)(ϕ . Dann gilt: )(mod11)()( naaa sskskn ≡≡== ⋅ϕ .

Ein erster Primzahltest

Der kleine Fermatsche Satz kann bei der Suche nach Primzahlen auch als Test verwendet werden, um auszuschließen, dass eine natürliche Zahl n eine Prim-zahl ist. Man wähle eine natürliche Zahl a mit na <<1 und berechne

)(mod1an− . Ist letzteres von 1 verschieden (modulo ), dann kann n kei-

ne Primzahl sein.

27 Joseph-Louis Lagrange: geb. 1736 in Turin, gest. 1813 in Paris; Mathematiker, Physiker, Astronom. Lagrange setzte sich u.a. auch stark für die Verbreitung des in Mitteleuropa heute weit verbreiteten metrischen Maß- und Gewichtssystems ein.

nn


Wenn allerdings )(mod11an ≡− ist, so ist dies keine Garantie dafür, dass

n eine Primzahl ist. So ist z.B. )91(mod13 191 ≡− , aber 91 (=7*13) ist kei-

ne Primzahl. Man bezeichnet 91 auch als Pseudoprimzahl zur Basis 3.

7.3 Der Satz von Wilson – ein Primzahlkriterium

Satz 7.7 (Satz von Wilson28): Für jede Primzahl p gilt: )!1(1| −+ pp Bzw. in gleichwertiger Formulierung: )(1)!1( pp −≡− .

Bemerkung: Der Satz wurde (allerdings in der Form einer unbewiesenen Hypothese) bereits von dem arabischen Mathematiker Ibn al-Haitam (vgl. Ka-pitel 1) angewandt. Vollständig wurde der Satz (und seine Umkehrung – s.u.) erstmals 1773 von J.-L. Lagrange bewiesen.

Beweis: Nach Definition ist )1()2()3(...321)!1( −⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅=− pppp .

Wir betrachten die Menge { })2(),3(,...,3,2: −−= ppM der von 1 und 1−p

verschiedenen Faktoren im obigen Produkt.

Zwischenbehauptung: Modulo p besitzt jeder der Faktoren a M∈ ein mul-tiplikativ Inverses b mit der Eigenschaft: a b≠ . Für das Zahlenpaar

},{ ba gilt also: a b b a p⋅ = ⋅ ≡ 1 ( ) .

Die Gültigkeit der Zwischenbehauptung folgt aus dem Euklidischen Algo-rithmus und seinen Folgerungen (insbesondere der Vielfachsummendar-stellung). Da p eine Primzahl ist, sind a und p teilerfremd; es gibt also ganze Zahlen x und y mit der Eigenschaft

GGT a p x a y p( , ) = = ⋅ + ⋅1 .

Setzen wir b x:= , und betrachten wir die daraus resultierende Gleichung modulo p, so folgt daraus: 1 ≡ ⋅b a p( ) ; a und b sind also „modulo p

zueinander invers“.

Es bleibt zu zeigen: a b≠ . Wäre a b= , so hieße das a p2 1≡ ( ) .

Daraus würde aber folgen a a a p2 1 1 1 0− = − ⋅ + ≡( ) ( ) ( ) , also

28 John Wilson (1741−1793) englischer Mathematiker

n

7.3 DER SATZ VON WILSON 117

p a a| ( ) ( )− ⋅ +1 1 und somit p a| ( )− 1 oder p a| ( )+ 1 . Wegen 2 2≤ ≤ −a p liegen aber die beiden Faktoren ( )a − 1 und ( )a + 1 zwi-schen 1 und ( )p − 1 und es ist unmöglich, dass sie von p geteilt werden.

Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen.

Zurück zum Hauptbeweis des Wilsonschen Satzes: Modulo p betrachtet, las-sen sich in dem Produkt 1 2 3 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −... ( ) ( ) ( )p p p alle Faktoren, mit Ausnahme der Faktoren 1 und ( )p − 1 , zu „inversen Paaren“ zusammen-

fassen; d.h.,

)(11)1()2()3(...321)!1( pppppp −≡−≡−⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅=− .

Beispiel: Für p = 13 gilt

2 7 14 1 13 1 1 13⋅ = = ⋅ + ≡ ( ) , 3 9 27 2 13 1 1 13⋅ = = ⋅ + ≡ ( ) , 4 10 40 3 13 1 1 13⋅ = = ⋅ + ≡ ( ) , 5 8 40 1 13⋅ = ≡ ( ) , 6 11 66 5 13 1 1 13⋅ = = ⋅ + ≡ ( ) .

Also ist ( )! !13 1 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12− = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ≡ −1 2 7 3 9 4 10 5 8 6 11 12 1 12 1 13( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

Probe: 12! = 479001600 = 36846277 13 ⋅ − ≡ −1 1 13( )

Bemerkung: Es gilt auch die Umkehrung des Wilsonschen Satzes; d.h., es gilt insgesamt der

Satz 7.8 (Ein Primzahlkriterium): Für jede natürliche Zahl n ( )n > 1 gilt: n ist eine Primzahl )(1)!1( nn −≡−⇔ .

Bemerkung: In dieser Form ist der Satz von Wilson eines der ältesten Prim-zahlkriterien.

Beweis: Der Aussageteil „ “ stellt genau den soeben bewiesenen Wilson-schen Satz dar.

Zum Aussageteil „⇐“: Sei also n eine natürliche Zahl ( )n > 1 mit der Eigenschaft )(1)!1( nn −≡− . Es ist zu zeigen, dass n dann eine Primzahl

ist. Wäre n zusammengesetzt, etwa n a b= ⋅ , so würden in dem Produkt ( )! ... ( ) ( )n n n− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −1 1 2 3 2 1 die Faktoren a und b auftreten; das

Produkt wäre damit ein Vielfaches von n, also kongruent zu 0 modulo n und


nicht, wie vorausgesetzt, kongruent zu − 1 modulo n. Also kann n nicht zusammengesetzt sein, d.h. n ist eine Primzahl.

Beispiele zur Anwendung des Wilsonschen Satzes als Primzahlkriterium:

Beispiel 1: (Als Hilfsmittel wird ein Computeralgebra System verwendet)

Ist 133 eine Primzahl? Es ist: (133-1)! = 11182486511960043074499630760761690299756247557184263383841216756 8361169672820118454045730260688510087990927196104962685462595837360336094267205134948250389032461924909766607715924086489297715200000000000000000000000000000000

Direktes Nachrechnen ergibt: )133(mod0)!1133( ≡− ; 133 ist also keine

Primzahl.

Bemerkung: Der Wert der Fakultätsfunktion !)( nnf = wird durch wieder-

holtes Multiplizieren ermittelt. Reduziert man die Zwischenergebnisse nach jedem Rechenschritt sofort modulo n, so erhält man das Ergebnis

)133mod(0)!1133( ≡− mit sehr viel geringerem Rechenaufwand.

Konkret erkennt man bei diesem Beispiel sehr schnell, dass 133 das Produkt der Zahlen 7 und 19 ist. Beim fortlaufenden Ausmultiplizieren von 132! er-hält man also im Falle der sofortigen Reduktion modulo 133 beim Faktor 19 (nachdem der Faktor 7 schon „dran“ war) das Ergebnis Null (modulo 133). Es ist klar, dass damit auch das Gesamtprodukt 132! gleich Null (modulo 133) sein muss – und man braucht nicht weiterzurechnen.

Beispiel 2: Ist 97 eine Primzahl? Es ist:

96! = 9916779348709496892095714015418938011581836486512677954443760548384922

2280909149998768947603700074898207509473896575430563987456000000000000000000

0000

Auch in diesem Fall erhält man durch sofortige Reduktion der Zwischenergeb-nisse modulo 97 das Ergebnis )97mod(1)97mod(96!96 −≡≡ ; 97 ist

also eine Primzahl.

Diese (sehr kleinen) Beispiele zeigen aber bereits, dass der Rechenaufwand für die Anwendung des Wilsonschen Satzes erheblich ist; dies schmälert die Nütz-lichkeit dieses Primzahlkriteriums deutlich.

8 Anhänge 8.1 Allgemeine Beweisprinzipien und Beweisverfahren

Das Prinzip des „tertium non datur“

Jede Aussage A ist entweder wahr oder falsch; es gibt kein „drittes“ (latei-nisch: tertium non datur).

Dies gilt unabhängig davon, ob die Wahrheit oder Falschheit der Aussage zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt ist. So ist z.B. bis heute der Status (ob wahr oder falsch) der „Goldbachschen Vermutung“ nicht bekannt; dennoch geht man davon aus, dass eines davon zutrifft, dass sie also entweder wahr oder falsch ist.

Die Goldbachsche Vermutung besagt (vgl. Abschnitt 4.9): Jede gerade Zahl (die größer ist als 2) lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben.

Nach dem Prinzip des tertium non datur gilt: Ist die Aussage A wahr, so ist die Aussage (nicht A) falsch – und umgekehrt. Dies führt zum folgenden Be-weisverfahren des indirekten Beweises bzw. Widerspruchsbeweises.

Indirekter Beweis / Widerspruchsbeweis

Die Gültigkeit (Wahrheit) einer Aussage A ist zu zeigen.

Man nimmt an, dass die Aussage A falsch (und somit die Aussage „nicht A“ wahr) ist – und leitet aus dieser Annahme einen Widerspruch her. Wenn die gesamte Schlusskette korrekt ist, dann kann der Widerspruch nur daher kom-men, dass die gemachte Annahme (A ist falsch) selbst falsch ist; und damit muss nach dem Prinzip vom tertium non datur die Aussage A wahr sein.

Ein klassisches Beispiel für den Widerspruchsbeweis ist der folgende

Satz 8.1 (Irrationalität von 2 ): Ist a eine reelle Zahl mit der Eigenschaft 2=⋅ aa , dann ist a irrational.

(Mit anderen Worten: 2 ist irrational.)

Beweis: Wir nehmen im Widerspruch zur Aussage des Satzes an, die Zahl a sei nicht irrational, d.h. sie sei rational. Dann lässt sie sich schreiben als


120 8 ANHÄNGE

q

pa = mit ganzen Zahlen p und q. Wir können annehmen, dass die Zahlen

p und q teilerfremd sind, d.h., dass also der Bruch q

p in „gekürzter Form“

geschrieben ist (denn wäre dies nicht der Fall, dann könnte man den Bruch ja kürzen und dann mit dem gekürzten Bruch weiterarbeiten). Nun ist

2

22 2

q

pa == , also 22 2qp = . Da 2p eine gerade Zahl ist, muss auch p

gerade sein, denn wäre p ungerade, so wäre auch 2p ungerade – das Pro-

dukt zweier ungerader Zahlen ist stets ungerade (Übung!). Da p also gerade ist, lässt es sich schreiben als rp 2= mit einer geeigneten natürlichen Zahl r.

Aus 22 2qp = folgt dann 22 24 qr = , d.h. 222 qr = . Das heißt, 2q ist

eine gerade Zahl und somit ist (wie oben im Falle von 2p ) auch q gerade.

Somit sind p und q beides gerade Zahlen. Dies steht aber im Widerspruch

zu der Annahme, dass der Bruch q

p eine Darstellung des Bruches a in ge-

kürzter Form sei.

Der Widerspruch resultiert aus der Annahme, dass a eine rationale Zahl sei. Diese Annahme ist also zu verwerfen, d.h. die Zahl a muss eine irrationale Zahl sein.

Beweis mit Hilfe von Fallunterscheidungen

Die Gültigkeit (Wahrheit) eines Schlusses „aus A folgt B“ (symbolisch BA ) ist zu zeigen. Zerfällt die Aussage A in die Teilaussagen

nAAA ,,, 21 , genauer: ist A gleichwertig zur Aussage „ 1A oder 2A

oder 3A oder ... oder nA “ (symbolisch: nAAAA ∨∨∨⇔ 21 ) und gilt

BAi für alle n,i 1= dann gilt auch BA .

Bemerkungen: In den meisten konkreten Anwendungen hat man es mit einem (exklusiven) „oder“ im Sinne von „entweder-oder“ zu tun; für die Anwend-barkeit des Prinzips der Fallunterscheidung ist dies aber irrelevant.

8.1 ALLGEMEINE BEWEISPRINZIPIEN UND BEWEISVERFAHREN 121

Satz 8.2 (Endziffern von Quadratzahlen): Keine Quadratzahl hat im Zehnersystem die Endziffer 8.

Beweis: Die Quadratzahl sei 2a . Wir betrachten die möglichen Endziffern von a.

Fall 1: Die Endziffer von a ist ungerade. Dann ist auch die Endziffer von

2a ungerade.

Fall 2: Die Endziffer von a ist 0. Dann ist auch die Endziffer von 2a gleich 0.

Fall 3: Die Endziffer von a ist 2 oder 8. Dann ist die Endziffer von 2a gleich 4.

Fall 4: Die Endziffer von a ist 4 oder 6. Dann ist die Endziffer von 2a gleich 6.

Beweis der Gleichwertigkeit zweier Aussagen

Es seien A und B zwei beliebige Aussagen. Man sagt: A ist gleichwertig zu B oder A ist äquivalent zu B (symbolisch BA ⇔ ), wenn folgendes gilt:

(1.) Aus A folgt B (symbolisch BA ) und

(2.) aus B folgt A (symbolisch AB ).

Beweis der Gleichheit zweier Mengen

Der Beweis für die Gleichheit zweier Mengen A und B (symbolisch BA = ) wird oft dadurch geführt, dass man zeigt:

(1.) Die Menge A ist eine Teilmenge von B (symbolisch BA ⊆ ) und

(2.) die Menge B ist eine Teilmenge von A (symbolisch AB ⊆ ).

122 8 ANHÄNGE

8.2 Axiomatische Beschreibung der natürlichen Zahlen und das Prinzip der vollständigen Induktion

Eines der wichtigsten Objekte der Mathematik (und insbesondere auch der „Rohstoff“ für die Zahlentheorie) sind die natürlichen Zahlen. Sie sind kon-struktiv beschrieben durch die Axiome von G. Peano29. Im Folgenden ist der Aufbau der natürlichen Zahlen in der Formulierung von E. Landau30, aus dem Jahre 1929 wiedergegeben:

Axiom 1: 1 ist eine natürliche Zahl. (Die Menge der natürlichen Zahlen ist also insbesondere nicht leer. Sie

enthält ein Ding, das 1 heißt.)

Axiom 2: Zu jeder natürlichen Zahl x gibt es genau eine natürliche Zahl, die der Nachfolger von x heißt und mit x’ bezeichnet werden möge.

Axiom 3: Stets ist 1'≠x . (Es gibt also keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist.)

Axiom 4: Aus '' yx = folgt yx = .

(Mit anderen Worten: unterschiedliche natürliche Zahlen haben unter-schiedliche Nachfolger.)

Axiom 5 (Induktionsaxiom): Es sei eine Menge natürlicher Zahlen mit

den Eigenschaften:

(1) 1 gehört zu . (2) Wenn x zu gehört, so gehört x’ zu .

Dann umfasst alle natürlichen Zahlen.

Vollständige Induktion

Eine besondere Rolle in der Definition der natürlichen Zahlen spielt Axiom 5, das Induktionsaxiom. Diejenige mathematische Beweistechnik, die auf der Verwendung des Induktionsaxioms beruht, nennt man die vollständige Induk-tion (im Kontrast zu der aus den empirischen Wissenschaften bekannten so-genannten „unvollständigen“ Induktion). Praktisch jeder Beweis über natürli-che Zahlen (und darüber hinaus noch viele andere) beruht direkt oder indirekt auf dem Prinzip der vollständigen Induktion. Jeder Beweis, der auf dem In-

29 Giuseppe Peano (1858–1932), italienischer Mathematiker 30 Edmund Landau (1877–1938), deutscher Mathematiker

8.2 AXIOMATISCHE BESCHREIBUNG DER NATÜRLICHEN ZAHLEN 123

duktionsaxiom aufbaut, muss strukturell aus den folgenden Teilen bestehen.

Kontext: Eine Aussage n über natürliche Zahlen ist zu beweisen. Zunächst wird als die Menge derjenigen natürlichen Zahlen definiert, wel-che die Aussage erfüllen.

1. Es ist zu zeigen, dass die Zahl 1 zu gehört. Dieser Schritt wird im Folgenden als Induktionsverankerung bezeichnet.

2. Es ist zu zeigen: Wenn eine natürliche Zahl x zu gehört, so gehört auch stets deren Nachfolger x’ zu . Dieser Schritt wird im Folgenden als Induktionsschritt bezeichnet. Im Induktionsschritt ist unter Verwen-dung von Axiom 5 zu zeigen, dass für jede beliebige natürliche Zahl x gilt:

Aus der Induktionsannahme „x gehört zu “ folgt der Induktionsschluss „der Nachfolger x’ von x gehört ebenfalls zu “

Bemerkungen:

1. Die axiomatische Beschreibung der natürlichen Zahlen formalisiert den Zählprozess:

1 (ist vorgegeben), 2 := 1’, 3 := 2’, 4 := 3’, u.s.w.

2. Wenn später die Addition der durch die Peano-Axiome definierten natürli-chen Zahlen eingeführt worden ist, schreibt man dann meist 1+x an Stel-le von x’.

Einige Beispiele zur vollständigen Induktion

Die Zahlenbeispiele

2333333

233333

23333

2333

233

21441654321

1522554321

101004321

636321

3921

==+++++

==++++

==+++

==++

==+

legen die Vermutung nahe, dass für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung

2333 )21(21 nn +++=+++ (*)

gilt.

124 8 ANHÄNGE

Wir beweisen dies mit Hilfe der vollständigen Induktion: Es sei die

Menge der natürlichen Zahlen, für welche die Gleichung (*) gilt.

Induktionsverankerung: Die Zahl 1 gehört zu , denn es ist 23 11 = .

Induktionsschritt: Zu zeigen ist: Aus der

Induktionsannahme: Die natürliche Zahl k gehört zu

folgt der

Induktionsschluss: Die natürliche Zahl 1+k gehört ebenfalls zu

Es gelte also 2333 )21(21 kk +++=+++ . Dann ist

.))1(21(

2

)1()2(4

)1()2(4

)1()44(4

)1(4)1(

)1(2

)1(

)1()21()1(21

2

2

22

22

322

32

323333

++++=

+⋅+=

+⋅+=

+⋅++=

+⋅++⋅=

+++⋅

=

+++++=+++++

k

kk

kk

kkk

kkk

kkk

kkkk

Aus der Tatsache, dass die behauptete Aussage (*) für die beliebige natürliche Zahl k gilt, folgt also, dass sie auch für 1+k gilt. Damit gilt die Aussage nach dem Induktionsaxiom für alle natürlichen Zahlen.

Aufgabe 8.1: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Aussage:

Für jede natürliche Zahl n gilt: 1)2222(2 1210 +++++= −nn .

Bemerkung: Die Induktionsverankerung erfolgt meist bei der Zahl 1; gele-gentlich aber auch bei der Zahl 0. Sie kann aber im Prinzip bei jeder natürli-chen (oder ganzen) Zahl b beginnen. Die Aussage gilt dann eben für alle natürlichen (bzw. ganzen) Zahlen größer oder gleich b.

Aufgabe 8.2: Die Gleichung 22 nn > gilt für alle natürlichen Zahlen ober-


halb einer bestimmten Grenze b. Bestimmen Sie diese Grenze und beweisen Sie die Aussage mit vollständiger Induktion.

Beweise mit vollständiger Induktion kommen auch in Situationen vor, die nicht so offensichtlich mit den natürlichen Zahlen zusammenhängen.

Aufgabe 8.3: Zeigen Sie (vgl. Skizze): Eine Landkarte, deren Ländergrenzen aus (endlich vielen) Geraden besteht, die von Rand zu Rand verlaufen, lässt sich mit zwei Farben so färben, dass benachbarte Länder stets verschieden ge-färbt sind. Wie jedes Beweisprinzip, so ist auch das Prinzip der vollständigen Induktion nicht frei von der Gefahr, in Scheinbeweisen verwendet zu werden. Ein Bei-spiel:

„Satz 8.3“: Alle Knöpfe haben dieselbe Farbe.

„Beweis“: Wir betrachten n-elementige Mengen von Knöpfen und zeigen, dass alle Knöpfe in einer beliebigen solchen n-elementigen Menge dieselbe Farbe haben.

Induktionsverankerung: In jeder ein-elementigen Menge haben alle Knöpfe trivialerweise dieselbe Farbe.

Induktionsschluss: Wir nehmen an, die Aussage gelte für beliebige k-elemen-tige Mengen und zeigen, dass sie auch für beliebige )1( +k -elementige Men-gen gilt. Sei also eine beliebige )1( +k -elementige Menge von Knöpfen gege-

ben. Wir stellen uns die Knöpfe entlang einer Geraden angeordnet vor.

Abb. 8.01: zweifarbige Landkarte

126 8 ANHÄNGE

Wir fassen nun, wie in der Abbildung angedeutet, die ersten k Knöpfe und die letzten k Knöpfe zusammen. Nach Induktionsvoraussetzung haben die ersten k Knöpfe dieselbe Farbe; entsprechendes gilt für die letzten k Knöpfe. Der zweite Knopf gehört zu beiden Mengen. Also haben alle Knöpfe in der ersten Menge dieselbe Farbe wie der zweite Knopf – und ebenso alle Knöpfe in der zweiten Menge – und somit haben alle Knöpfe in der )1( +k -elementi-

gen Menge dieselbe Farbe.

Aufgabe 8.4: Decken Sie den Fehler im „Knopf“-Beweis auf.

Auch in humoristischen Beweisvarianten kommt die vollständige Induktion vor:

„Satz 8.4“: Jeder Koffer fasst unendlich viele Taschentücher.

„Beweis“: Dass jeder Koffer ein Taschentuch fasst, ist klar. Und wenn schon eine bestimmte Menge von Taschentüchern im Koffer ist, so geht ein Taschen-tuch immer noch hinein.

Aufgabe 8.5: Betrachten Sie die folgenden Summen:

222225

22224

2223

222

21

54321

4321

321

21

1

+−+−=

−+−=

+−=

−=

=

Q

Q

Q

Q

Q

Berechnen Sie konkrete Zahlenwerte und stellen Sie eine „allgemeine Formel“ für nQ auf.

. . .

die ersten k Knöpfe

die letzten k Knöpfe

Abb. 8.02: gleichfarbige Knöpfe


Aufgabe 8.6: Betrachten Sie die folgenden Summen:

6554433221

54433221

433221

3221

21

5

4

3

2

1

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅=

S

S

S

S

S

Berechnen Sie konkrete Zahlenwerte und stellen Sie eine „allgemeine Formel“ für nS auf.

Aufgabe 8.7: Zeigen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion:

1)1(

1

43

1

32

1

21

1

+=

+⋅++

⋅+

⋅+

⋅ n

n

nn

Weitere Beweisprinzipien für Aussagen über natürliche Zahlen

Das Prinzip der vollständigen Induktion kommt in verschiedenen Spielarten vor; eine davon wird als das Prinzip vom kleinsten Element, oder noch griffi-ger, als das Prinzip vom kleinsten Verbrecher bezeichnet. Es beruht auf dem folgenden

Satz 8.5 (Satz vom kleinsten Element): Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element.

Aufgabe 8.8: Beweisen Sie den Satz vom kleinsten Element mit vollständiger Induktion.

Dieses Prinzip wird meist nach dem folgenden Muster im Zusammenhang mit Widerspruchsbeweisen verwendet: Man möchte eine mathematische Aussage über natürliche Zahlen beweisen (z.B. den Fundamentalsatz der Zahlentheo-rie). Im Sinne des Widerspruchsbeweises nimmt man an, die zu beweisende Aussage sei falsch; es gebe also natürliche Zahlen, welche die Gültigkeit der Aussage „verderben“ – dies sind dann offenbar „Verbrecher“. Da die Ver-brecher natürliche Zahlen sind, gibt es einen kleinsten unter ihnen, den klein-sten Verbrecher. Im weiteren Verlauf ist nun jeweils situationsspezifisch zu zeigen, dass die Annahme der Existenz eines solchen Verbrechers zu einem

128 8 ANHÄNGE

Widerspruch führt. Damit kann es keinen kleinsten – und somit überhaupt keinen Verbrecher geben; der Satz ist also allgemeingültig.

Satz 8.6 (Das Schubfachprinzip31):

Sind n Dinge auf s Schubfächer zu verteilen, und ist sn > , so wird min-destens ein Schubfach mehrfach belegt.

Aufgabe 8.9: Beweisen Sie das Schubfachprinzip mit vollständiger Induktion. Hinweis: Beweisen Sie den Sachverhalt zunächst für 1+= sn Dinge.

Beispiel: Wir betrachten die gewöhnliche schriftliche Division natürlicher Zahlen, wie sie standardmäßig im Schulunterricht gelehrt wird. Zur Illustra-tion wird dieses Verfahren am Beispiel der Division 53 : 14 im Folgenden ausführlich dargestellt (vgl. auch: das Divisionsschema auf der nächsten Sei-te). Als Reste kommen bei der Division durch 14 nur die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 in Frage. Da das Divisionsverfahren nicht stoppt, muss sich nach dem Schubfachprinzip im Laufe des Verfahrens nach hinrei-chend vielen (in diesem Fall nach höchstens 14) Schritten einer der Reste wie-derholen. Im Beispiel ist das der 2. Rest (=12), der bereits nach 6 Schritten wieder auftritt. Sobald sich einer der Reste wiederholt, wird das Verfahren „zyklisch“, d.h. die gesamte Kette der folgenden Rechnungen wiederholt sich. Man erhält so eine periodische Dezimalbruchdarstellung. Im obigen Beispiel besteht die Periode aus den 6 Ziffern 857142.

In der Zahlentheorie werden im Hinblick auf die Dezimaldarstellung von u.a. die folgenden Fragen untersucht:

• Unter welchen Bedingungen bricht die Dezimalbruchdarstellung eines Bru-ches ab (wie z.B. im Fall 7 : 4 = 1,75) und wann wird sie periodisch (wie z.B. im Fall 53 : 14)?

• Wie hängt die Periodenlänge vom Zähler und Nenner des Ausgangsbruches ab?

• Ab welcher Stelle nach dem Komma beginnt die Periode?

• Gibt es Zahlen, deren Dezimalbruchdarstellung weder abbricht noch perio-disch wird? Was kann man über solche Zahlen sagen?

• Wie lauten die Antworten auf diese Fragen in nichtdekadischen Stellen-wertsystemen?

31 nach Johann P. G. Lejeune Dirichlet (1805–1859), deutscher Mathematiker


Ein Beispiel: schulisches Divisionsverfahren

53 : 14 = 3,785714285 ...

es geht 3*14: 42

11 1. Rest

Rest mal 10: 110

es geht 7*14: 98

12 2. Rest

Rest mal 10: 120

es geht 8*14: 112

8 3. Rest

Rest mal 10: 80

es geht 5*14: 70

10 4. Rest

Rest mal 10: 100

es geht 7*14: 98

2 5. Rest

Rest mal 10: 20

es geht 1*14: 14

6 6. Rest

Rest mal 10: 60

es geht 4*14: 56

4 7. Rest

Rest mal 10: 40

es geht 2*14: 28

12 8. Rest

Rest mal 10: 120

es geht 8*14: 112

8 9. Rest

Rest mal 10: 80

es geht 5*14: 70

10 10. Rest

...

130 8 ANHÄNGE

8.3 Mengentheoretische Grundbegriffe

Die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts war durch eine rasche Entwicklung in vielen mathematischen Themenbereichen geprägt. Die verwendeten mathe-matischen Begriffe erreichten eine bis dahin ungeahnte Komplexität und Viel-falt. Georg Cantor (1845−1918) unternahm mit seiner „Mengenlehre“ den Versuch, das gesamte Gebäude der Mathematik auf wenige zentrale Grund-begriffe, allen voran den Begriff der Menge, zu begründen. Er formulierte:

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von be-stimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder un-seres Denkens zu einem Ganzen.

Wir verwenden heute die folgenden Darstellungsformen (Schreibweisen) für Mengen:

• aufzählend: Die Menge aller ungeraden Zahlen zwischen 0 und 10: {1, 3, 5, 7, 9}

• prädikativ: zum Beispiel: {x: x ∈ und x hat genau zwei Teiler}

in Worten: Menge aller x mit der Eigenschaft: x ∈ und

x hat genau zwei Teiler

alternative Schreibweisen („Grundmengen“-orientiert): {x ∈ : x hat genau zwei Teiler} oder:

{x ∈ / x hat genau zwei Teiler}

Einige Standardmengen in der Mathematik:

= Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3, ...}

0 = {0, 1, 2, 3, ...} = ∪ {0} = vereinigt mit der Menge {0}

(Sprechweise: 0 = Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen)

= Menge der ganzen Zahlen, d.h. = − − −{ , , , , , , , ...}0 1 1 2 2 3 3

bzw. (nur zur Veranschaulichung): = − − −{... , , , , , , , , ...}3 2 1 0 1 2 3

= Menge der rationalen Zahlen

= Menge der reellen Zahlen

= Menge der komplexen Zahlen

Das kartesische Produkt (auch genannt die Paarmenge) zweier Mengen A und B ist gegeben durch: A B x y x A y B× = ∈ ∈{( , ) / }und

8.3 MENGENTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE 131

Eine Relation zwischen den Elementen einer Menge A und den Elemen-ten einer Menge B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A B× ; im Zeichen: BA×⊆ .

Schreib- und Sprechweisen:

∈),( yx bedeute: die Elemente x und y stehen in der Relation . An Stelle von ∈),( yx schreibt man auch kürzer yx (z.B.: yx | ).

Häufiger Spezialfall: BA = . Man spricht dann von einer Relation in A oder einer Relation auf A. (So ist z.B. die Teilbarkeitsrelation eine Relation auf

oder auch eine Relation auf )

Wichtige Relationseigenschaften:

• Eine Relation auf A heißt reflexiv, wenn für alle x A∈ gilt xx

• Eine Relation auf A heißt symmetrisch, wenn für alle x A∈ und für alle y A∈ gilt: Aus yx folgt stets xy .

• Eine Relation auf A heißt transitiv, wenn für alle x A∈ , für alle y A∈ und für alle z A∈ gilt: Aus yx und zy folgt stets zx .

• Eine Relation auf A heißt antisymmetrisch (oder identitiv), wenn für alle x A∈ und für alle y A∈ gilt: Aus yx und xy folgt stets yx = .

• Eine Relation auf A heißt Äquivalenzrelation auf A, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

• Eine Relation auf A heißt Ordnungsrelation auf A, wenn sie reflexiv, anti-symmetrisch und transitiv ist.

Bemerkung: Ist A eine endliche Menge, so lässt sich eine Relation auf A wie im folgenden Beispiel in einem Tabellenschema darstellen.

Beispiel (Veranschaulichung der Teilbarkeitsrelation im Tabellenschema): }20,,3,2,1{=A ; sei die Teilbarkeitsrelation auf A, d.h. ⇔yx x ist ein Teiler von y.

Im Tabellenschema ist die Relation folgendermaßen dargestellt; ein „Kreuz“ in Zeile x und Spalte y bedeute dabei, dass x ein Teiler von y ist.

132 8 ANHÄNGE

Die Reflexivität stellt sich im Tabellenschema dadurch da, dass alle Zellen entlang der Hauptdiagonalen angekreuzt sind.

Die Symmetrie einer Relation (die in diesem Beispiel nicht erfüllt ist) erkennt man im Tabellenschema daran, dass die angekreuzten Zellen spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen angeordnet sind.

Die Transitivität stellt sich in der durch Pfeile angedeuteten Art als „Recht-ecks-Ergänzung“ dar: Aus 6|3 und 18|6 folgt 18|3 .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

2 X X X X X X X X X X

3 X X X X X X

4 X X X X X

5 X X X X

6 X X X

7 X X

8 X X

9 X X

10 X X

11 X

12 X

13 X

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

Die Teilbarkeitsrelation ist auf der Menge der natürlichen Zahlen reflexiv, antisymmetrisch und transitiv (vgl. Kapitel 2); d.h. die Teilbarkeitsrelation ist eine Ordnungsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen.

8.3 MENGENTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE 133

Da die Teilbarkeitsrelation auf der Menge der ganzen Zahlen nicht antisym-metrisch ist ( 3|3 − und 3|3− , aber 33 −≠ ), ist sie auf der Menge der gan-

zen Zahlen keine Ordnungsrelation.

Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen

Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge A zerlegt diese Menge wie folgt in Äquivalenzklassen: Zu jedem Element Ax ∈ sei die Menge xK die

Menge aller zu x äquivalenten Elemente von A: }:{: xyAyK x ∈= .

Die Menge xK heißt die zum Element x gehörende Äquivalenzklasse. Es

gilt der folgende

Satz 8.7 (Eigenschaften von Äquivalenzklassen): 1. Je zwei solcher Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder element-fremd (disjunkt); als Formel: yx KK = oder ∅=∩ yx KK .

2. Die Vereinigung aller zur Relation gehörenden Äquivalenzklassen ist

gleich der Menge A; als Formel: AKAx

x =

∈

.

Aufgabe 8.10: Beweisen Sie diesen Satz.

Aufgabe 8.11: Es sei BAf →: eine Abbildung (Funktion) der Menge A in die Menge B. Zeigen Sie: Die durch )()(: yfxfyx =⇔ gegebene

Relation ist eine Äquivalenzrelation auf A.

Bemerkung: Äquivalenzrelationen spielen in der Zahlentheorie im Zusam-menhang mit Kongruenzen eine herausragende Rolle. Die Äquivalenzklassen werden in diesem Zusammenhang als Restklassen bezeichnet (vgl. Kapitel 5).

134 8 ANHÄNGE

8.4 Zur Multiplikativität der Eulerschen ϕϕϕϕ-Funktion – ein ausführliches Beispiel

Die folgenden Tabellen dienen der Veranschaulichung des Satzes in Abschnitt 7.1: Die Eulersch ϕ-Funktion ist multiplikativ.

Zahlenbeispiel: Wir wählen m = 5 * 11 = 55 (= Zeilenzahl in den folgenden Tabellen) n = 2 * 7 = 14 (= Spaltenzahl in den folgenden Tabellen) Es ist: ϕ(m) = 40 ϕ(n) = 6 ϕ(m) * ϕ(n) = 240 ϕ(m*n) = 240

Bei dem im Beweis auftretenden kompletten Tabellenschema in der Form rnq +⋅ mit 10 −≤≤ mq und nr ≤≤1

ist q der Zeilen-Index und r der Spalten-Index

In Tabelle 1 ist (als Ausgangspunkt) das komplette Schema wiedergegeben.

In Tabelle 2 sind die zu n (= 14) teilerfremden Zahlen dargestellt.

In Tabelle 3 sind die zu m (= 55) teilerfremden Zahlen dargestellt.

In Tabelle 4 sind die zu m (= 55) teilerfremden Zahlen dargestellt in der Form modulo m. D.h., ihre Reste bei der Division durch m sind dargestellt. Man beachte: Jede Spalte enthält dieselbe Menge von Zahlen (wenn auch in unterschiedlicher Reihenfolge).

In Tabelle 5 sind die sowohl zu m (= 55) als auch zu n (=14) teilerfremden Zahlen dargestellt. Die beiden Bedingungen werden in dieser Tabelle einzeln und unabhängig voneinander überprüft. Spalten- und zeilenweises Überprüfen der Tabelle ergibt: 1. Es gibt 6 Spalten mit zu m (= 14) teilerfremden Zahlen. 2. In jeder dieser 6 Spalten gibt es 40 Zahlen, die zu n (= 55) teilerfremden sind. Also enthält Tabelle 5 insgesamt 240 Zahlen, von denen jede sowohl zu m also auch zu n teilerfremd ist.

In Tabelle 6 sind die zu 770 (= m * n) teilerfremden Zahlen dargestellt. Die Tatsache, dass Tabelle 6 exakt mit Tabelle 5 übereinstimmt, ist eine Veranschaulichung (bzw. ein empirischer Beleg) für die Multiplikativität der Eulerschen ϕ-Funktion.

8.4 ZUR MULTIPLIKATIVITÄT DER EULERSCHEN ϕ-FUNKTION 135

Tabelle 1: Das komplette Schema 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770

136 8 ANHÄNGE

Tabelle 2: Die zu n (= 14) teilerfremden Zahlen

1 - 3 - 5 - - - 9 - 11 - 13 - 15 - 17 - 19 - - - 23 - 25 - 27 - 29 - 31 - 33 - - - 37 - 39 - 41 - 43 - 45 - 47 - - - 51 - 53 - 55 - 57 - 59 - 61 - - - 65 - 67 - 69 - 71 - 73 - 75 - - - 79 - 81 - 83 - 85 - 87 - 89 - - - 93 - 95 - 97 - 99 - 101 - 103 - - - 107 - 109 - 111 - 113 - 115 - 117 - - - 121 - 123 - 125 - 127 - 129 - 131 - - - 135 - 137 - 139 - 141 - 143 - 145 - - - 149 - 151 - 153 - 155 - 157 - 159 - - - 163 - 165 - 167 - 169 - 171 - 173 - - - 177 - 179 - 181 - 183 - 185 - 187 - - - 191 - 193 - 195 - 197 - 199 - 201 - - - 205 - 207 - 209 - 211 - 213 - 215 - - - 219 - 221 - 223 - 225 - 227 - 229 - - - 233 - 235 - 237 - 239 - 241 - 243 - - - 247 - 249 - 251 - 253 - 255 - 257 - - - 261 - 263 - 265 - 267 - 269 - 271 - - - 275 - 277 - 279 - 281 - 283 - 285 - - - 289 - 291 - 293 - 295 - 297 - 299 - - - 303 - 305 - 307 - 309 - 311 - 313 - - - 317 - 319 - 321 - 323 - 325 - 327 - - - 331 - 333 - 335 - 337 - 339 - 341 - - - 345 - 347 - 349 - 351 - 353 - 355 - - - 359 - 361 - 363 - 365 - 367 - 369 - - - 373 - 375 - 377 - 379 - 381 - 383 - - - 387 - 389 - 391 - 393 - 395 - 397 - - - 401 - 403 - 405 - 407 - 409 - 411 - - - 415 - 417 - 419 - 421 - 423 - 425 - - - 429 - 431 - 433 - 435 - 437 - 439 - - - 443 - 445 - 447 - 449 - 451 - 453 - - - 457 - 459 - 461 - 463 - 465 - 467 - - - 471 - 473 - 475 - 477 - 479 - 481 - - - 485 - 487 - 489 - 491 - 493 - 495 - - - 499 - 501 - 503 - 505 - 507 - 509 - - - 513 - 515 - 517 - 519 - 521 - 523 - - - 527 - 529 - 531 - 533 - 535 - 537 - - - 541 - 543 - 545 - 547 - 549 - 551 - - - 555 - 557 - 559 - 561 - 563 - 565 - - - 569 - 571 - 573 - 575 - 577 - 579 - - - 583 - 585 - 587 - 589 - 591 - 593 - - - 597 - 599 - 601 - 603 - 605 - 607 - - - 611 - 613 - 615 - 617 - 619 - 621 - - - 625 - 627 - 629 - 631 - 633 - 635 - - - 639 - 641 - 643 - 645 - 647 - 649 - - - 653 - 655 - 657 - 659 - 661 - 663 - - - 667 - 669 - 671 - 673 - 675 - 677 - - - 681 - 683 - 685 - 687 - 689 - 691 - - - 695 - 697 - 699 - 701 - 703 - 705 - - - 709 - 711 - 713 - 715 - 717 - 719 - - - 723 - 725 - 727 - 729 - 731 - 733 - - - 737 - 739 - 741 - 743 - 745 - 747 - - - 751 - 753 - 755 - 757 - 759 - 761 - - - 765 - 767 - 769 -


Tabelle 3: Die zu m (= 55) teilerfremden Zahlen

1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 56 57 58 59 - 61 62 63 64 - - 67 68 69 - 71 72 73 74 - 76 - 78 79 - 81 82 83 84 - 86 87 - 89 - 91 92 93 94 - 96 97 98 - - 101 102 103 104 - 106 107 108 109 - 111 112 113 114 - 116 117 118 119 - - 122 123 124 - 126 127 128 129 - 131 - 133 134 - 136 137 138 139 - 141 142 - 144 - 146 147 148 149 - 151 152 153 - - 156 157 158 159 - 161 162 163 164 - 166 167 168 169 - 171 172 173 174 - - 177 178 179 - 181 182 183 184 - 186 - 188 189 - 191 192 193 194 - 196 197 - 199 - 201 202 203 204 - 206 207 208 - - 211 212 213 214 - 216 217 218 219 - 221 222 223 224 - 226 227 228 229 - - 232 233 234 - 236 237 238 239 - 241 - 243 244 - 246 247 248 249 - 251 252 - 254 - 256 257 258 259 - 261 262 263 - - 266 267 268 269 - 271 272 273 274 - 276 277 278 279 - 281 282 283 284 - - 287 288 289 - 291 292 293 294 - 296 - 298 299 - 301 302 303 304 - 306 307 - 309 - 311 312 313 314 - 316 317 318 - - 321 322 323 324 - 326 327 328 329 - 331 332 333 334 - 336 337 338 339 - - 342 343 344 - 346 347 348 349 - 351 - 353 354 - 356 357 358 359 - 361 362 - 364 - 366 367 368 369 - 371 372 373 - - 376 377 378 379 - 381 382 383 384 - 386 387 388 389 - 391 392 393 394 - - 397 398 399 - 401 402 403 404 - 406 - 408 409 - 411 412 413 414 - 416 417 - 419 - 421 422 423 424 - 426 427 428 - - 431 432 433 434 - 436 437 438 439 - 441 442 443 444 - 446 447 448 449 - - 452 453 454 - 456 457 458 459 - 461 - 463 464 - 466 467 468 469 - 471 472 - 474 - 476 477 478 479 - 481 482 483 - - 486 487 488 489 - 491 492 493 494 - 496 497 498 499 - 501 502 503 504 - - 507 508 509 - 511 512 513 514 - 516 - 518 519 - 521 522 523 524 - 526 527 - 529 - 531 532 533 534 - 536 537 538 - - 541 542 543 544 - 546 547 548 549 - 551 552 553 554 - 556 557 558 559 - - 562 563 564 - 566 567 568 569 - 571 - 573 574 - 576 577 578 579 - 581 582 - 584 - 586 587 588 589 - 591 592 593 - - 596 597 598 599 - 601 602 603 604 - 606 607 608 609 - 611 612 613 614 - - 617 618 619 - 621 622 623 624 - 626 - 628 629 - 631 632 633 634 - 636 637 - 639 - 641 642 643 644 - 646 647 648 - - 651 652 653 654 - 656 657 658 659 - 661 662 663 664 - 666 667 668 669 - - 672 673 674 - 676 677 678 679 - 681 - 683 684 - 686 687 688 689 - 691 692 - 694 - 696 697 698 699 - 701 702 703 - - 706 707 708 709 - 711 712 713 714 - 716 717 718 719 - 721 722 723 724 - - 727 728 729 - 731 732 733 734 - 736 - 738 739 - 741 742 743 744 - 746 747 - 749 - 751 752 753 754 - 756 757 758 - - 761 762 763 764 - 766 767 768 769 -

138 8 ANHÄNGE

Tabelle 4: Die zu m (= 55) teilerfremden Zahlen modulo m

1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 - 1 2 3 4 - 6 7 8 9 - - 12 13 14 - 16 17 18 19 - 21 - 23 24 - 26 27 28 29 - 31 32 - 34 - 36 37 38 39 - 41 42 43 - - 46 47 48 49 - 51 52 53 54 -


Tabelle 5: Die sowohl zu m als auch zu n teilerfremden Zahlen

1 - 3 - - - - - 9 - - - 13 - - - 17 - 19 - - - 23 - - - 27 - 29 - 31 - - - - - 37 - 39 - 41 - 43 - - - 47 - - - 51 - 53 - - - 57 - 59 - 61 - - - - - 67 - 69 - 71 - 73 - - - - - 79 - 81 - 83 - - - 87 - 89 - - - 93 - - - 97 - - - 101 - 103 - - - 107 - 109 - 111 - 113 - - - 117 - - - - - 123 - - - 127 - 129 - 131 - - - - - 137 - 139 - 141 - - - - - - - 149 - 151 - 153 - - - 157 - 159 - - - 163 - - - 167 - 169 - 171 - 173 - - - 177 - 179 - 181 - 183 - - - - - - - 191 - 193 - - - 197 - 199 - 201 - - - - - 207 - - - 211 - 213 - - - - - 219 - 221 - 223 - - - 227 - 229 - - - 233 - - - 237 - 239 - 241 - 243 - - - 247 - 249 - 251 - - - - - 257 - - - 261 - 263 - - - 267 - 269 - 271 - - - - - 277 - 279 - 281 - 283 - - - - - 289 - 291 - 293 - - - - - 299 - - - 303 - - - 307 - 309 - 311 - 313 - - - 317 - - - 321 - 323 - - - 327 - - - 331 - 333 - - - 337 - 339 - - - - - - - 347 - 349 - 351 - 353 - - - - - 359 - 361 - - - - - 367 - 369 - - - 373 - - - 377 - 379 - 381 - 383 - - - 387 - 389 - 391 - 393 - - - 397 - - - 401 - 403 - - - - - 409 - 411 - - - - - 417 - 419 - 421 - 423 - - - - - - - 431 - 433 - - - 437 - 439 - - - 443 - - - 447 - 449 - - - 453 - - - 457 - 459 - 461 - 463 - - - 467 - - - 471 - - - - - 477 - 479 - 481 - - - - - 487 - 489 - 491 - 493 - - - - - 499 - 501 - 503 - - - 507 - 509 - - - 513 - - - - - 519 - 521 - 523 - - - 527 - 529 - 531 - 533 - - - 537 - - - 541 - 543 - - - 547 - 549 - 551 - - - - - 557 - 559 - - - 563 - - - - - 569 - 571 - 573 - - - 577 - 579 - - - - - - - 587 - 589 - 591 - 593 - - - 597 - 599 - 601 - 603 - - - 607 - - - 611 - 613 - - - 617 - 619 - 621 - - - - - - - 629 - 631 - 633 - - - - - 639 - 641 - 643 - - - 647 - - - - - 653 - - - 657 - 659 - 661 - 663 - - - 667 - 669 - - - 673 - - - 677 - - - 681 - 683 - - - 687 - 689 - 691 - - - - - 697 - 699 - 701 - 703 - - - - - 709 - 711 - 713 - - - 717 - 719 - - - 723 - - - 727 - 729 - 731 - 733 - - - - - 739 - 741 - 743 - - - 747 - - - 751 - 753 - - - 757 - - - 761 - - - - - 767 - 769 -

140 8 ANHÄNGE

Tabelle 6: Die zu n*m (= 770) teilerfremden Zahlen

1 - 3 - - - - - 9 - - - 13 - - - 17 - 19 - - - 23 - - - 27 - 29 - 31 - - - - - 37 - 39 - 41 - 43 - - - 47 - - - 51 - 53 - - - 57 - 59 - 61 - - - - - 67 - 69 - 71 - 73 - - - - - 79 - 81 - 83 - - - 87 - 89 - - - 93 - - - 97 - - - 101 - 103 - - - 107 - 109 - 111 - 113 - - - 117 - - - - - 123 - - - 127 - 129 - 131 - - - - - 137 - 139 - 141 - - - - - - - 149 - 151 - 153 - - - 157 - 159 - - - 163 - - - 167 - 169 - 171 - 173 - - - 177 - 179 - 181 - 183 - - - - - - - 191 - 193 - - - 197 - 199 - 201 - - - - - 207 - - - 211 - 213 - - - - - 219 - 221 - 223 - - - 227 - 229 - - - 233 - - - 237 - 239 - 241 - 243 - - - 247 - 249 - 251 - - - - - 257 - - - 261 - 263 - - - 267 - 269 - 271 - - - - - 277 - 279 - 281 - 283 - - - - - 289 - 291 - 293 - - - - - 299 - - - 303 - - - 307 - 309 - 311 - 313 - - - 317 - - - 321 - 323 - - - 327 - - - 331 - 333 - - - 337 - 339 - - - - - - - 347 - 349 - 351 - 353 - - - - - 359 - 361 - - - - - 367 - 369 - - - 373 - - - 377 - 379 - 381 - 383 - - - 387 - 389 - 391 - 393 - - - 397 - - - 401 - 403 - - - - - 409 - 411 - - - - - 417 - 419 - 421 - 423 - - - - - - - 431 - 433 - - - 437 - 439 - - - 443 - - - 447 - 449 - - - 453 - - - 457 - 459 - 461 - 463 - - - 467 - - - 471 - - - - - 477 - 479 - 481 - - - - - 487 - 489 - 491 - 493 - - - - - 499 - 501 - 503 - - - 507 - 509 - - - 513 - - - - - 519 - 521 - 523 - - - 527 - 529 - 531 - 533 - - - 537 - - - 541 - 543 - - - 547 - 549 - 551 - - - - - 557 - 559 - - - 563 - - - - - 569 - 571 - 573 - - - 577 - 579 - - - - - - - 587 - 589 - 591 - 593 - - - 597 - 599 - 601 - 603 - - - 607 - - - 611 - 613 - - - 617 - 619 - 621 - - - - - - - 629 - 631 - 633 - - - - - 639 - 641 - 643 - - - 647 - - - - - 653 - - - 657 - 659 - 661 - 663 - - - 667 - 669 - - - 673 - - - 677 - - - 681 - 683 - - - 687 - 689 - 691 - - - - - 697 - 699 - 701 - 703 - - - - - 709 - 711 - 713 - - - 717 - 719 - - - 723 - - - 727 - 729 - 731 - 733 - - - - - 739 - 741 - 743 - - - 747 - - - 751 - 753 - - - 757 - - - 761 - - - - - 767 - 769 -

Abbildungsverzeichnis Hier finden sich die Quellen- und Lizenzangaben zu den Abbildungen, die nicht vom Autor selbst hergestellt worden sind.

Abb. 1.1: Wolfsknochen mit Einkerbungen Beckmann P.: A History of π; The Golem Press, New York 1971

Abb. 1.2: Ägyptische Zahlzeichen Für Unicode support und ägyptische Zeichensätze bin ich George Douros zu Dank verpflichtet (vgl.: http://users.teilar.gr/~g1951d/ )

Abb. 1.4: Babylonische Keilschrift-Zahlzeichen Wikimedia Commons, CreativeCommons-Lizenz by-sa-2.0-de Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.svg Urheber: Josell7

Abb. 1.5: Chinesisches Rechengerät Suan-pan Wikimedia Commons, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license. Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Suanpan.jpg Photo: Biswajoysaha

Abb. 1.6: Zahlzeichen der Maya Wikimedia Commons, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license, GNU Free Documentation License, Version 1.2 Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Maya_numerals.png

Abb. 1.9: Statue von Al-Khwarizmi in Khiva (Usbekistan) Wikimedia Commons, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Al-Khwarizmi,_Khiva.jpg Photo: Hunter Johnson

J. Ziegenbalg, Elementare Zahlentheorie, DOI 10.1007/978-3-658-07171-4 © Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

142 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abb. 1.10: Leonardo von Pisa ("Fibonacci") Wikimedia Commons, public domain Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Fibonacci#mediaviewer/File:Fibonacci_plastika.jpg Photo: Jan Hamsik

Abb. 1.11: Adam Ries Denkmal in Erfurt Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0 Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Busts_in_Erfurt#mediaviewer/File:Adam-Ries-Erfurt-JMUnger.jpg Photo: Jörg M. Unger

Abb. 1.12: Gregor Reisch, Margarita Philosophica Wikimedia Commons, public domain Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gregor_Reisch,_Margarita_Philosophica,_1508_%281230x1615%29.png

Abb. 1.13: Pierre de Fermat Wikimedia Commons, CC-PD-Mark public domain Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat#mediaviewer/File:Pierre_de_Fermat.png

Abb. 1.14: G. W. Leibniz Wikimedia Commons, public domain Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg Künstler: Christoph Bernhard Francke (um 1700) Standort des Originals: Herzog Anton Ulrich−Museum, Braunschweig

Abb. 1.15: Leonhard Euler, Sowjetische Briefmarke 1957

Abb. 1.16: Carl Friedrich Gauß, Briefmarke DDR 1977

Abb. 1.17: Gauß auf 10 DM Schein, Ausschnitt, Bundesrepublik Deutschland

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 143

Abb. 1.18: David Hilbert Wikimedia Commons, public domain Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/David_Hilbert#mediaviewer/File:Hilbert.jpg

Abb. 1.19: Srinivasa Ramanujan Wikimedia Commons, CC BY-SA-2.0-de Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan#mediaviewer/File:Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_1.jpg Konrad Jacobs - Oberwolfach Photo Collection

Abb. 1.20: G. H. Hardy Wikipedia, public domain Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/G._H._Hardy#mediaviewer/File:[email protected]

Abb. 4.3: M. Mersenne Wikimedia Commons, public domain Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Marin_mersenne.jpg

Abb. 6.1: G. W. Leibniz zum Zweiersystem Wikimedia Commons, public domain Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leibniz_binary_system_1703.png

Abb. 6.2: Briefmarke Rechenprobe, Deutsche Bundespost 1959

Abb. 6.3: Briefmarke Rechenprobe, Deutsche Bundespost 1992

144 INTERNETBASIERTE MATERIALIEN DES AUTORS

Verzeichnis internetbasierter Materialien des Autors Sowohl zum Basistext als auch zu den weiterführenden Themen stehen im Internet neben themenbezogenen Computeralgebra-Quelltexten die folgenden zum Experimentieren gedachten interaktiven Seiten zur Verfügung.

Interaktive Materialien

Zum Sieb des Eratosthenes:

http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/Sieb-des-Eratosthenes/Sieb-des-Eratosthenes.htm

http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/Sieb-des-Eratosthenes/Sieb-des-Eratosthenes-Simulation.htm

Zum Thema Codierung und Kryptographie:

http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/cc-interaktiv/index.htm

Zum Thema Würfelverdopplung:

http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/Wuerfelverdopplung/erat-mp.htm

Computeralgebra Texte und Materialien

http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/#Computeralgebra-notebooks

http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/materials-in-english/index.html

Dort stehen Computeralgebra notebooks (CAS Mathematica) bzw. worksheets (CAS Maxima) in deutscher und englischer Sprache insbesondere zu den fol-genden Themen zur Verfügung:

Der Euklidische Algorithmus / Das Sieb des Eratosthenes / Systembrüche / Das Heron-Verfahren / Wachstumsprozesse / Folgen, Induktion, Fibonacci Zahlen, Goldener Schnitt, Phyllotaxis / Public Key Cryptography: Das RSA-Verfahren

Phi, Tau, Sigma in Elementary Number Theory / Figurate Numbers / The Egyptian multiplication algorithm / Fibonacci numbers - case studies in recursion and iteration

Literaturverzeichnis 1. Bücher zur Zahlentheorie im engeren Sinne

Bartholomé A. / Rung J. / Kern H.: Zahlentheorie für Einsteiger; Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 7. Aufl. 2010

Bundschuh P.: Einführung in die Zahlentheorie; Springer Verlag, Heidelberg Berlin, 6. Aufl. 2008

Dickson L. E.: History of the theory of numbers I,II, III; Chelsea Publ. Comp. New York 1971 (Nachdruck der ersten Auflage von 1919)

Deutsches Institut für Fernstudien (DIFF): Elemente der Zahlentheorie; Reihe „Grundkurs Mathematik“, Heft I,4, Tübingen 1971

Ebbinghaus H.-D. / Hermes H. / Hirzebruch F. / Koecher M. / Mainzer K. / Prestel A. / Remmert R.: Zahlen; Springer Verlag, Berlin 1983

Euklid: Die Elemente (Nach Heibergs Text aus dem griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer); Bücher I-XIII; Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 235; Nachdruck durch Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1973

Frey G.: Elementare Zahlentheorie; Vieweg Verlag, Braunschweig 1984

Goldman J. R.: The Queen of Mathematics – A Historically Motivated Guide to Number Theory; A. K. Peters, Wellesley (Massachusetts) 1998

Hardy G. H. / Wright E. M.: Einführung in die Zahlentheorie; Verlag R. Oldenbourg, München 1958

Hasse H.: Vorlesungen über Zahlentheorie (zweite Auflage); Springer Verlag, Berlin, 2. Aufl. 1964

Ifrah G.: Universalgeschichte der Zahlen; Campus Verlag, Frankfurt / New York 1989

Ischebeck F.: Einladung zur Zahlentheorie; BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1992

Leonardo Pisano Fibonacci: The Book of Squares, An Annotated Translation into Modern English by L. E. Sigler; Academic Press, Boston 1987

Lüneburg H.: Vorlesungen über Zahlentheorie; Birkhäuser Verlag, Basel 1978

Lüneburg H.: Kleine Fibel der Arithmetik; BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1987

146 LITERATURVERZEICHNIS

McLeish J.: The Story of Numbers; Ballantine Books, New York 1992

Menninger K.: Zahlwort und Ziffer; Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1958

Mönkemeyer R.: Einführung in die Zahlentheorie; Verlage Schroedel und Schöningh, Hannover und Paderborn 1971

Müller G.N. / Steinbring H. / Wittmann E.Ch.: Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung, Hannover 2004

Ore O.: Invitation to Number Theory; Mathematical Association of America, 1967 Yale University

Ore O.: Number Theory and Its History; Dover Publications Inc., New York 1948

Padberg F.: Elementare Zahlentheorie; Spektrum Verlag, Heidelberg, 3. Auflage 2008

Padberg F.: Zahlentheorie und Arithmetik; Spektrum Verlag, Heidelberg 1999

Pracht E. / Heidenreich K.: Elementare Zahlentheorie; Ferd. Schöningh Verlag, Paderborn 1978

Remmert R. / Ullrich P.: Elementare Zahlentheorie, Birkhäuser Verlag, Basel 1987

Ribenboim P.: The Book of Prime Number Records; New York-Berlin, 1989

Ribenboim P.: The New Book of Prime Number Records, New York-Berlin, 1997

Scheid H.: Einführung in die Zahlentheorie, Klett Verlag (Studienbücher), Stuttgart 1972

Scheid H.: Zahlentheorie; B.I. Verlag, Mannheim 1994

Scheid H. / Schwarz W.: Elemente der Arithmetik und Algebra, Spektrum Verlag, Heidelberg, 5. Aufl. 2008

Scholz A. / Schoeneberg B.: Einführung in die Zahlentheorie; W. de Gruyter Verlag (Sammlung Göschen), Berlin 1972

Schwarz F.: Einführung in die Elementare Zahlentheorie; Verlag B.G.Teubner, Stuttgart 1998

Weil A.: Number Theory - An approach through history - From Hammurapi to Legendre; Birkhäuser Verlag, Boston 1984

LITERATURVERZEICHNIS 147

Winogradow I. M.: Elemente der Zahlentheorie; Verlag R. Oldenbourg, München 1956

Wolfart J.: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra; Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2. Aufl. 2011

2. Bücher aus verwandten Gebieten insbesondere zu den Themen: Aufbau des Zahlensystems, Historisches, Populärwissenschaftliches

Aczel A.D.: Fermat’s Last Theorem; Delta Book, New York 1996

Alten H.-W., Djafari Naini A., Folkerts M., Schlosser H., Schlote K.-H., Wußing H.: 4000 Jahre Algebra; Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer Spektrum, Berlin Heidelberg, 2. Aufl. 2014

Artmann B.: Zahlen und Algebra in der Schule; Vorlesungsmanuskript, TH Darmstadt WS 1995/96

Baptist P.: Pythagoras – und kein Ende?; Ernst Klett Schulbuchverlag, Leipzig 1997

Beckmann P.: A History of ; The Golem Press, New York 1971

Bedürftig T. Murawski R.: Zählen − Grundlage der elementaren Arithmetik, Verlag Franzbecker, Hildesheim 2001

Beutelspacher A. / Petri B.: Der Goldene Schnitt; BI Verlag, Mannheim 1995

Cofman J.: Numbers and shapes revisited; Clarendon Press, Oxford 1995

Conway J. H. et al.: On Games and Numbers; London 1976

deutsche Übersetzung: Über Zahlen und Spiele, Braunschweig 1983

Conway J. H. / Guy R. K.: The Book of Numbers; Springer Verlag (Copernicus Imprint), New York 1996

Courant R. / Robbins H.: Was ist Mathematik? Springer-Verlag, Berlin 1962

Datta, B.; Singh, A.N. : History of Hindu mathematics: A source book; Asia Publishing House, Bombay 1935

Dedekind R.: Was sind und was sollen die Zahlen? (1887); 10. Auflage: Vieweg Verlag, Braunschweig, 1969


Dürr R. / Ziegenbalg J.: Dynamische Prozesse und ihre Mathematisierung durch Differenzengleichungen; Ferdinand Schöningh Verlag, Paderborn 1984 2. Auflage: Mathematik für Computeranwendungen; Ferdinand Schöningh Verlag, Paderborn 1989

Dunham W.: Journey Through Genius - The great theorems of mathematics; John Wiley & Sons 1990 and Penguin Books 1991, Harmondsworth, Middlesex, England

Dunham W.: The Mathematical Universe – An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems, and Personalities; John Wiley & Sons, New York 1994

Engel A.: Problem Solving Strategies; Springer Verlag, New York 1998

Enzensberger H. M.: Der Zahlenteufel; Carl Hanser Verlag, München 1997

Felscher W.: Naive Mengen und abstrakte Zahlen I, II, III; Bibliographisches Institut, Mannheim 1978

Ganzhorn K. / Walter W.: Die geschichtliche Entwicklung der Datenver-arbeitung; IBM Deutschland, München 1975

Hankel H.: Vorlesungen über die Complexen Zahlen und ihre Functionen; Leopold Voss Verlag, Leipzig 1867

Hermes H.: Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit; SpringerVerlag, Berlin 1961

Herstein I. N. / Kaplansky I.: Matters Mathematical; Harper & Row Publishers, New York 1974

Huntley H. E.: The Divine Proportion; Dover Publications, New York 1970

Jacobs K.: Resultate: Ideen und Entwicklungen in der Mathematik, Vieweg Verlag, Braunschweig 1987 und 1990 Band 1: Proben mathematischen Denkens Band 2: Der Aufbau der Mathematik

Kaiser H. / Nöbauer W.: Geschichte der Mathematik (2-te erw. Auflage); Oldenbourg Verlag, Wien 1998 (besonders: Die Entwicklung des Zahlbegriffs, S102-141)

Kamke E.: Mengenlehre; W. de Gruyter Verlag (Sammlung Göschen); Berlin 1965

Karlson P.: Zauber der Zahlen; Ullstein Verlag, Frankfurt a. M. 1965


Kempermann T.: Zahlentheoretische Kostproben; Verlag Harri Deutsch, Thun 1995

Kirsch A.: Elementare Zahlen- und Größenbereiche; Verlag Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1970

Kirsch A.: Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht; Didaktik der Mathematik, 2, 1977 (87-101)

Kirsch A.: Beispiele für „prämathematische“ Beweise; Schriftenreihe Didaktik der Mathematik, Universität für Bildungswissenschaften, Klagenfurt, Band 2: Beweisen im Mathematikunterricht, Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1979, (S. 261-274)

Kirsch A.: Mathematik wirklich verstehen; Aulis Verlag Deubner, Köln 1987

Kramer J.: Zahlen für Einsteiger, Friedr. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2008

Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1977, Lizenzausgabe für den Verlag Harri Deutsch (komprimierte Ausgabe: Mathematik Ratgeber; Harri Deutsch)

Landau E.: Grundlagen der Analysis; Wiss. Buchgesellschaft, Darmstadt 1963

Lehmann J.: So rechneten Ägypter und Babylonier; Urania Verlag / Reinhardt Becker Verlag, Leipzig 1994

Lehmann J.: So rechneten Griechen und Römer; Urania Verlag / Reinhardt Becker Verlag, Leipzig 1994

Leuders T.: Erlebnis Arithmetik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010

Lietzmann W.: Anschauliche Arithmetik und Algebra; Physica-Verlag, Würzburg 1956

Lietzmann W.: Riesen und Zwerge im Zahlenreich; Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1969

Lüneburg H.: Leonardi Pisani Liber Abaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers; BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1992

Mäder P.: Mathematik hat Geschichte; Metzler Verlag, Hannover 1992

Maor Eli: e – The Story of a Number; Princeton University Press, Princeton 1994

Oberschelp A.: Aufbau des Zahlensystems; Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1968


Ogilvy C. S. / Anderson J. T.: Excursions in Number Theory; Dover Publications, New York 1988 (Oxford University Press 1966)

Olds C. D.: Continued Fractions; Mathematical Association of America, 1963 Yale University

Padberg F.: Didaktik der Arithmetik; B.I. Verlag, Mannheim 1991

Padberg F.: Didaktik der Bruchrechnung; Spektrum Verlag, Heidelberg 1995

Padberg F. / Danckwerts R. / Stein M.: Zahlbereiche – eine elementare Einführung; Springer Spektrum, Berlin Heidelberg, 4. Aufl. 2009

Posamentier A.S. / Lehmann I.: The Fabulous Fibonacci Numbers, Prometheus Books, Amherst (New York) 2007

Posamentier A.S. / Lehmann I.: The Glorious Golden Ration, Prometheus Books, Amherst (New York) 2012

Rademacher H. / Toeplitz O.: Von Zahlen und Figuren; Springer-Verlag, Berlin 1968

Rautenberg W.: Reelle Zahlen in elementarer Darstellung; Klett Verlag, Stuttgart 1979

Ries Adam: Rechnung auff der Linihen und Federn Auff allerley hanthirung gemacht durch Adam Risen; 1522 (114. Auflage herausgegeben vom Ma-gistrat der Stadt Erfurt 1991)

Schreiber Peter: Euklid, BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1987

Schroeder M. R.: Number Theory in Science and Communication; Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 5th ed. 2009

Singh S.: Fermat's Last Theorem / (in the U.S.A.) Fermat’s Enigma; Anchor Books, Doubleday, New York 1998

Specht R. (Hrsg.): Geschichte der Philosophie in Text und Darstellung, Band 5: Rationalismus, Reclam Verlag, Stuttgart 1979

Staffelsteiner Schriften: Adam Rieß von Staffelstein – Rechenmeister und Cossist, Staffelstein 1992

Strehl R.: Zahlbereiche; Herder Verlag, Freiburg 1972

Tarski A.: Einführung in die mathematische Logik; Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1966


van der Waerden B.L.: Erwachende Wissenschaft; Birkhäuser Verlag, Basel 1966

Wells D.: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers; Penguin Books, London 1986

Wußing H.: Adam Ries; BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 2. Aufl. 1992

Wußing H. u.a.: Vom Zählstein zum Computer – Mathematik in der Geschichte, Band 1; diverlag franzbecker, Hildesheim 1997

Wußing H.: 6000 Jahre Mathematik; Band 1: Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – von den Anfängen bis Leibniz und Newton, Springer Spektrum, Heidelberg Berlin 2008

3. Bücher zum Themenbereich: Algorithmen in der Zahlentheorie

Allenby R. B. J. T. / Redfern E. J.: Introduction to number theory with computing; E. Arnold, London 1989

Engel A.: Elementarmathematik vom algorithmischen Standpunkt; Klett Verlag, Stuttgart 1977

Engel A.: Mathematisches Experimentieren mit dem PC; Klett Verlag, Stuttgart 1991

Deutsches Institut für Fernstudien (DIFF): Algorithmen in der elementaren Zahlentheorie (CM 1); Tübingen 1988

Jeger Max: Computer-Streifzüge - Eine Einführung in Zahlentheorie und Kombinatorik aus algorithmischer Sicht; Birkhäuser Verlag, Basel 1986

Sloane N. J. A. / Plouffe S.: The Encyclopedia of Integer Sequences; Academic Press, 1995

Wagon S.: Mathematica in Action; W.H Freeman and Company, New York 1991

Ziegenbalg J.: Algorithmen – von Hammurapi bis Gödel; Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 3. Auflage 2010

Taschner R.: Der Zahlen gigantische Schatten; Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2005


4. Bücher zum Thema: Zahlentheorie und Kryptologie

Bauer F. L.: Kryptologie – Methoden und Maximen; Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2. Aufl. 1994

Beutelspacher A.: Kryptologie; Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 9. Aufl. 2009

Beutelspacher A. / Schwenk J. / Wolfenstetter K.-D.: Moderne Verfahren der Kryptographie; Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 7. Aufl. 2010

Grams T.: Codierungsverfahren, Bibliographisches Institut (B.I.), Mannheim 1986

Horster P.: Kryptologie; BI Verlag, Zürich 1985

Koblitz N.: A Course in Number Theory and Cryptography; Springer Verlag, New York 2nd ed. 1994

Schulz R.-H.: Codierungstheorie – Eine Einführung; Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2. Aufl. 2003

Sinkov A.: Elementary Cryptanalysis; Mathematical Association of America, 1966 Yale University

Index Abakus 4 abundante Zahl 37 Adam Ries 16 Adelard von Bath 14 ägyptische Mathematik 2 aktual unendlich 59 al-Biruni 13 Algebra 12 Algorithmus 12 Alhazen 13 Al-Kashi 13 al-Khwarizmi 12 Almagest 4, 9 al-Mansur 12 al-Mu’taman ibn Hud 13 alternierende Quersumme 104 al-Tusi 13 antisymmetrische Relation 131 Apollonius von Perge 9 Äquivalenzklasse 133 Äquivalenzrelation 131 Archimedes von Syrakus 8 ASCII-Code 103 babylonische Mathematik 3 Bachet, Claude Gaspar 47, 90 befreundete Zahlen 38 Berlekamp, Elwyn Ralph 48 Berlekamp-Algorithmus 48 Bézout, Etienne 47 Bhaskara 10 Binärsystem 101 binary digit 101 Binomialkoeffizienten 97 Bit 101 Boethius 14 Brahmagupta 10 Briggs, Henry 18

Bürgi, Jost 18 Byte 102 Cantor, Georg 130 casting out nines 108 Chebyshev, Pafnuty 84 chinesische Mathematik 4 Chinesischer Restsatz 95 de la Valleé-Poussin, Charles 84 defiziente Zahl 37 Diophantische Gleichungen 9 Diophantos von Alexandria 9 Dirichlet, Johann 128 Division mit Rest 25 Dreieckszahl 37 Dualsystem 101 echter Teiler 35 Endstellen-Regeln 108 Eratosthenes von Kyrene 8, 60 Euclid-Mullin Folge 62 Eudoxos von Knidos 7 Euklid von Alexandria 7, 41, 56 Euklidischer Algorithmus 39, 41 Euler, Leonhard 20, 71, 74, 75, 76,

81, 109 Eulersche Funktion 109 Eulersche Totientenfunktion 109 Exhaustionsmethode 7, 8 Fakultätsfunktion 118 Fermat, Pierre 18, 71, 115 Fermatsche Primzahl 71 Fibonacci 15 Fibonacci-Zahlen 42, 51 figurierte Zahlen 38 Fundamentalsatz der Zahlentheorie

55, 66 ganze Gaußsche Zahlen 65 Gauß, Carl Friedrich 21 GGT 39 Goldbach, Christian 75 Goldbachsche Vermutung 75, 119 Goldener Schnitt 42

154 INDEX

griechische Mathematik 6 größter gemeinsame Teiler (GGT) 39 Hadamard, Jacques 84 Halbbyte 102 Hankel, Hermann 64 Hardy, Godfrey H. 24 Harpedonapten 3 Hasse, Helmut 31 Hasse-Diagramm 31, 40 Heron von Alexandria 9 Hexadezimalsystem 102 Hilbert, David 23 Ibn al-Haitam 13, 116 idempotent 94 identitive Relation 131 Induktionsannahme 123 Induktionsaxiom 122 Induktionsschluß 123 Induktionsschritt 123 Induktionsverankerung 123 Irreduzibilität 66 Istikmal 13 iterierte Quersumme 107 iterierte Subtraktion 28 Johannes von Sevilla 14 kanonische Primfaktorzerlegung 68 kartesisches Produkt 130 Kettenbrüche 42 KGV 39 Kleiner Fermatscher Satz 115 kleinstes gemeinsames Vielfaches

(KGV) 39 Kommensurabilität 42 kommutativer Ring 93 Komplementärteiler 32 Kongruenz 85 Kongruenzrelation 133 Konika 9 Kürzungsregel 89 Lagrange, Joseph-Louis 115, 116 Landau, Edmund 122 Leibniz, Gottfried Wilhelm 19, 101 Leonardo von Pisa 15 Liber Abaci 15

Margarita Philosophica 15 Maya 5 Menge 130 Mersenne, Marin 71 Mersennesche Primzahl 73 Mersennesche Zahl 71 messen (teilen) 28 Modul 85 multiplikative Funktion 109 Myriade 8 Napier, John 18 natürliche Zahlen 122 Newton, Isaac 19 Nullteiler 93 nullteilerfrei 94 Oktalsystem 101 Ordnungsrelation 35, 131 Paarmenge 130 paradigmatisch 58 paradigmatisches Beweisen 52 Peano, Giuseppe 122 perfekte Zahl 37 Permanenzprinzip 64 potentiell unendlich 59 prime Restklassen 115 Primeigenschaft 66 Primzahl 55 Primzahl-Cousinen 80 Primzahldrillinge 80 Primzahlzwillinge 79 Prinzip vom kleinsten Element 127 Prinzip vom kleinsten Verbrecher 127 Produktformel 111 Pseudoprimzahl 116 Ptolemaios, Klaudios 4, 9 Public Key Cryptography 42 Pythagoras von Samos 3, 6 quadratfrei 65 quadratische Erweiterung 64 Quadratzahl 30 Quadrivium 14 Quersumme 104 Quersummenregel 105 Ramanujan, Srinivasa 24

INDEX 155

Rechenproben 99 reflexive Relation 131 Relation 131 relativ prim 39 Repräsentant 86 Restklasse 85, 86 Restklassenaddition 90 Restklassenmultiplikation 90 Restklassenringe 42 Riemann, Bernhard 23 Ries, Adam 16, 106 RSA-Verfahren 42 Satz von Euklid 56 Satz von Lagrange 115 Satz von Sylvester 54 Satz von Wilson 116 sexy Primzahlen 80 Shannon, Claude 101 Sieb des Eratosthenes 8, 60 simultane lineare Kongruenzen 95 Stammbruch 3 Stellenwertsysteme 1, 99 Stevin, Simon 18 Stifel, Michael 18 Suan-pan 4 Summenformel 112 Sun-Tse 5, 95 Sylvester, James Joseph 54 symmetrische Relation 131 Teilbarkeitsrelation 29 teilen (messen) 28 teilerfremd 39 Teilermenge 30 Teilersumme 35 Teilerzahl 35 tertium non datur 119 Thales von Milet 6 Theaitetos 7 Theodorus von Kyrene 6 Totientenfunktion 109 transitive Relation 131 Unicode 103 Unzerlegbarkeit 66 Venn, John 30

Venn-Diagramm 30, 39 Vielfachenmenge 30 Vielfachsummendarstellung 46 vollkommene Zahl 37 vollständige Induktion 122 vollständiges Repräsentantensystem

86 Wechselwegnahme 7, 8, 42 Widerspruchsbeweis 119 Wilson, John 116 Wochentagsberechnung 98 Wohldefiniertheit 91 Wurzelschnecke 6 zahlentheoretische Funktion 109 zyklische Gruppe 93

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