Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie; Jörg Bewersdorff

Von der Gleichungsauflösungzur Galois-Theorie

Jörg Bewersdorff

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2. Auflage

Einführung V

Einführung

Math is like love; a simple idea,but it can get complicated.R. Drabek

Dieses Buch handelt von einem klassischen Problem der Algebra undseiner Geschichte. Beschrieben wird die Suche nach Lösungsformeln fürPolynomgleichungen in einer Unbekannten und wie die dabei hinzuneh-menden Misserfolge letztlich zu Erkenntnissen ganz anderer Art führtenund zwar zu solchen mit höchst grundlegender Bedeutung.

Schauen wir uns den Gegenstand, der über drei Jahrhunderte viele derbesten Mathematiker beschäftigte, schon einmal kurz an. Sie, verehrteLeserin beziehungsweise verehrter Leser, erinnern sich bestimmt noch anquadratische Gleichungen wie

x x2 6 1 0− + =

und auch noch an die Formel

xp p

q1 2

2

2 4, = − ± −

zur Lösung der „allgemeinen“ quadratischen Gleichung

x px q2 0+ + = .

Angewendet auf das Beispiel erhält man die beiden Lösungen

x1 3 2 2= + und x2 3 2 2= − .

Ist man an numerischen Werten interessiert, so lassen sich aus diesenbeiden Ausdrücken mit Hilfe eines Taschenrechners – oder wüssten Sienoch, wie man eine Wurzel manuell berechnet? – problemlos die Dezi-maldarstellungen x1 = 5,828427... und x2 = 0,171573... bestimmen. Aucheine Überprüfung, dass x1 und x2 tatsächlich Lösungen der Gleichungsind, lässt sich auf Basis der numerischen Werte mit einem Taschenrech-

VI Einführung

ner schnell bestätigen. Ein Skeptiker, der ganz sicher ausschließenmöchte, dass die Werte nicht nur annähernde Lösungen sind, sondern dieexakten, muss selbstverständlich die gefundenen Wurzelausdrücke selbstin die Gleichung „einsetzen“ und nachrechnen, dass das quadratischePolynom x2 – 6x + 1 tatsächlich an den Stellen x = x1 und x = x2 „ver-schwindet“, das heißt den Wert 0 annimmt.

Die Auflösung von Gleichungen höherer Grade

Wie kubische Gleichungen wie zum Beispiel

x x x3 23 3 1 0− − − =

mittels einer vergleichbaren Formel zu lösen sind, ist weit weniger be-kannt. Zwar wurde eine solche Lösungsformel bereits 1545 von Cardano(1501-1576) in seinem Buch Ars magna erstmals veröffentlicht, jedochbesitzt sie heute in der numerischen Praxis kaum noch eine Bedeutung. Ineinem Zeitalter, in dem die Rechenleistung von Computern de facto un-begrenzt zur Verfügung steht, ist eine explizite Formel bei praktischenAnwendungen nämlich entbehrlich, da es bei solchen völlig reicht, dieLösungen numerisch zu bestimmen. Und dafür gibt es, und zwar allge-mein auch für jede andere Gleichung in einer Unbekannten verwendbar,diverse Näherungsverfahren, die „iterativ“, das heißt schrittweise, die ge-suchten Lösungen immer genauer berechnen. Abgebrochen wird ein sol-ches Verfahren dann, wenn eine im Hinblick auf die gewünschte Anwen-dung genügende Genauigkeit erreicht ist. Iterative Näherungsverfahrensind aber dann ungeeignet, wenn nicht nur der numerische Wert einer Lö-sung, für die letzte Gleichung beispielsweise x1 = 3,847322..., sondernsogar der „exakte“ Wert

x13 31 2 4= + +

bestimmt werden soll. Abgesehen davon, dass eine solche Wurzeldar-stellung eine gewisse Ästhetik beinhaltet, ist eine rein numerisch verifi-zierte Übereinstimmung sicher dann nicht ausreichend, wenn daraus ma-thematische Erkenntnisse und Prinzipien abgeleitet werden sollen:

Einführung VII

Nehmen wir zum Beispiel die drei aufgrund numerischer Berechnungenzu vermutenden Identitäten

( )2 1 3 6 1233 13

3 3 3− = − + ,

eπ 163 262537412640768744=

und

cos

.

2

17

1

8

1

817

1

834 2 17

1

417 3 17 34 2 17 2 34 2 17

π = − + + −

+ + − − − +

Ohne hier auf Details eingehen zu wollen, erscheint es bereits a prioridurchaus plausibel, dass sich hinter diesen drei Identitäten – wenn sie ü-berhaupt korrekt sind – mathematische Gesetzmäßigkeiten verbergen. Ei-ne Prüfung, ob die Gleichungen tatsächlich stimmen oder vielleicht nurdas Resultat einer zufälligen Nahezu-Übereinstimmung sind, ist also un-umgänglich1.

Nun aber wieder zurück zu Cardano: Außer für Gleichungen dritten Gra-des veröffentlichte er in seiner Ars magna auch eine allgemeine Lösungs-formel für biquadratische Gleichungen, wie Gleichungen vierten Gradesmeist bezeichnet werden. Mit einer solchen Formel lässt sich beispiels-weise zur Gleichung

1 Es sei bereits hier verraten, dass die erste und die dritte Identität tatsächlich stimmen.

Die erste Identität wurde von dem indischen Mathematiker Ramanujan (1887-1920)entdeckt und kann elementar nachgeprüft werden. Die dritte Identität, die in Kapitel 7noch erörtert werden wird, beinhaltet sogar einen Beweis, dass das regelmäßige Sieb-zehneck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Auch eine Konstruktionsmethodekann aus der Gleichung abgeleitet werden.Die zweite Gleichung stimmt nicht exakt; vielmehr ist der tatsächliche Wert der lin-ken Seite gleich

262537412640768743,9999999999992501...Allerdings ist die Nahezu-Identität auch nicht unbedingt als „Zufall“ zu werten. Vie l-mehr liegen ihr tief liegende zahlentheoretische Beziehungen zugrunde. Siehe dazuPhilip J. Davies, Are there coincidences in mathematics?, American MathematicalMonthly, 88 (1981), S. 311-320.

VIII Einführung

x x4 8 6 0− + =

die Lösung

x112

3 3

3 3 3 3

2 4 2 2 4 2 2

4 2 2 4 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2

= + + −

+ − + − − + + + − −

(

)

finden.

Mit der fast gleichzeitigen Entdeckung von Auflösungsformeln für Glei-chungen dritten und vierten Grades stellte sich natürlich fast zwangsläu-fig die Frage, wie sich auch Gleichungen höherer Grade auflösen lassen.Um dies zu bewerkstelligen, wurden in der Zeit nach Cardano insbeson-dere die Techniken, die bei Gleichungen bis zum vierten Grade eineHerleitung von Lösungsformeln erlauben, systematisiert, um sie dann aufGleichungen fünften Grades übertragen zu können. Trotz einer fast drei-hundertjährigen Suche blieb der Erfolg aber aus, so dass immer mehrZweifel aufkamen, ob das Ziel überhaupt erreicht werden könne.

Ein endgültiger Abschluss gelang erst 1826 Niels Henrik Abel (1802-1829), der zeigte, dass es für Gleichungen fünften oder höheren Gradeskeine allgemeine Auflösungsformel geben kann, die ausschließlich arith-metische Operationen und Wurzeln beinhaltet. Im Kern besteht AbelsBeweis darin, dass für die Zwischenwerte einer hypothetisch als existentangenommenen Auflösungsformel Schritt für Schritt Symmetrien in Be-zug auf die verschiedenen Lösungen nachgewiesen werden, wodurch sichletztlich ein Widerspruch ergibt.

Galois-Theorie

Eine Verallgemeinerung von Abels Ansätzen, die auch auf spezielleGleichungen anwendbar ist, fand wenige Jahre später der damals erstzwanzigjährige Evariste Galois (1811-1832). Unter dramatischen Um-ständen, nämlich am Vorabend eines für ihn tödlich verlaufenden Duells,fasste er die von ihm in den Vormonaten gefundenen Ergebnisse in einem

Einführung IX

Brief zusammen. Darin enthalten sind Kriterien, die es erlauben, jede ein-zelne Gleichung darauf zu untersuchen, ob ihre Lösungen mit Hilfe vonWurzelausdrücken dargestellt werden können oder nicht. So können bei-spielsweise die Lösungen der Gleichung fünften Grades

x x5 1 0− − =

nicht durch geschachtelte Wurzelausdrücke mit rationalen Radikandendargestellt werden, hingegen ist bei der Gleichung

x x5 15 44 0+ − =

zum Beispiel

x15 5 5 51 2 3 2 2 3 2 2 1 2= − + + + + − + − −

eine Lösung.

Noch weit wichtiger als solche Aussagen ist Galois’ Vorgehensweise, diedamals unorthodox, wenn nicht gar revolutionär war, heute aber in derMathematik sehr gebräuchlich ist. Galois stellte nämlich eine Beziehungher zwischen zwei gänzlich unterschiedlichen Typen von Objekten undderen Eigenschaften. Dabei gelang es ihm, die Eigenschaften eines ei-gentlich zu untersuchenden Objekts, nämlich die Auflösbarkeit einer ge-gebenen Gleichung und des gegebenenfalls zu beschreitenden Lösungs-weges, aus den Eigenschaften des dazu korrespondierenden Objektsabzulesen. Aber nicht nur das Prinzip dieser Vorgehensweise befruchtetedie weitere Entwicklung der Mathematik. Auch die von Galois erschaffe-ne Klasse von Objekten, mit denen er gegebene Gleichungen indirektuntersuchte – es handelt sich um so genannte endliche Gruppen – wurdenzu einem vielfältige Anwendungen erlaubenden Gegenstand der Mathe-matik. Zusammen mit ähnlich konzipierten Objektklassen bilden sieheute das begriffliche Fundament der Algebra, und auch die anderen Teil-disziplinen der Mathematik haben seit dem Beginn des zwanzigsten Jahr-hunderts einen vergleichbaren Aufbau erhalten.

Das von Galois zu einer gegebenen Gleichung konstruierte Objekt, heuteGalois-Gruppe genannt, kann auf Basis der zwischen den Lösungen inForm von Identitäten wie beispielsweise x x1

22 2= + bestehenden Bezie-

hungen definiert werden. Konkret besteht die Galois-Gruppe aus Um-

X Einführung

nummerierungen der Lösungen. Dabei gehört eine solche Umnummerie-rung genau dann zur Galois-Gruppe, wenn jede zwischen den Lösungenbestehende Beziehung durch diese Umnummerierung in eine ebenfallsbestehende Beziehung transformiert wird. So kann für den Fall der bei-spielhaft angeführten Beziehung x x1

22 2= + die der Vertauschung der

beiden Lösungen x1 und x2 entsprechende Umnummerierung nur dann zurGalois-Gruppe gehören, wenn auch die Identität x x2

21 2= + erfüllt ist.

Letztlich entspricht daher jede zur Galois-Gruppe gehörende Umnumme-rierung einer Symmetrie, die zwischen den Lösungen der Gleichungenbesteht. Anzumerken bleibt, dass die Galois-Gruppe trotzdem auch ohneKenntnis der Lösungen bestimmt werden kann.

A B C D E F G H I J

A A B C D E F G H I J

B B C D E A J F G H I

C C D E A B I J F G H

D D E A B C H I J F G

E E A B C D G H I J F

F F G H I J A B C D E

G G H I J F E A B C D

H H I J F G D E A B C

I I J F G H C D E A B

J J F G H I B C D E A

Bild 1 Die tabellarisch dargestellte Galois-Gruppe zur Glei-chung x5

– 5x + 12 = 0, deren Auflösbarkeit mit Wurzel-ausdrücken aus dieser Tabelle mittels rein kombinatori-scher Überlegungen nachgewiesen werden kann. DieGleichung wird in Kapitel 9, Abschnitt 9.17 näher unter-sucht. Bei einer Gleichung fünften Grades, deren Lösun-gen nicht durch Wurzelausdrücke darstellbar sind, wirddie Galois-Gruppe übrigens durch wesentlich größereTabellen mit Größen von 60×60 oder 120×120 repräsen-tiert.

Einführung XI

Elementar, wenn auch nicht unbedingt elegant, kann die Galois-Gruppedurch eine endliche Tabelle beschrieben werden. Dabei handelt es sichum die so genannte Gruppentafel, die als eine Art Einmaleins-Tabelleverstanden werden kann, innerhalb der jedes Resultat einer Hintereinan-derausführung von zwei zur Galois-Gruppe gehörenden Umnummerie-rungen tabelliert ist (ein Beispiel zeigt Bild 1). Wesentlich für die Galois-Gruppe ist, dass sie – beziehungsweise die ihr entsprechende Tabelle –stets die Information darüber enthält, ob und gegebenenfalls wie diezugrunde liegende Gleichung durch Wurzelausdrücke auflösbar ist. Zwarist die diesbezügliche Prüfung im konkreten Anwendungsfall nicht unbe-dingt einfach, jedoch kann sie nach festem Schema immer in einer endli-chen Zahl von Schritten erfolgen.

Bild 2 Evariste Galois und ein Ausschnitt aus seinem letztenBrief. In dieser Passage beschreibt er, wie eine Gruppe Gmittels einer Untergruppe H in Nebenklassen zerlegt wer-den kann (siehe Abschnitt 10.4).

Üblicherweise werden Galois’ Ideen heute in Lehrbüchern deutlich abs-trakter beschrieben. Unter Verwendung der schon erwähnten Klassen al-gebraischer Objekte gelang es nämlich zu Beginn des zwanzigsten Jahr-hunderts, auch die so genannte Galois-Theorie neu zu formulieren undzwar in einer Weise, bei der bereits die Problemstellungen mittels solcherObjekte beschrieben werden. Konkret werden die Eigenschaften vonGleichungen und deren Lösungen zunächst mittels ihnen unmittelbar zu-geordneten Zahlbereichen charakterisiert, deren gemeinsame Eigenschaftes ist, dass bei ihnen die vier arithmetischen Grundoperationen nicht he-rausführen – es handelt sich um so genannte Körper: Ausgegangen wirdbei einer gegebenen Gleichung

XII Einführung

x a x a x ann

n+ + + + =−−

11

1 0 0...

minimal von dem Zahlbereich, der aus all denjenigen Resultaten wie

a

aa a2

012

0− +

besteht, die man aus den Koeffizienten der Gleichung mittels hinterein-ander geschalteter Grundrechenarten erhalten kann. Einen vergrößertenZahlbereich, der für das Studium der gegebenen Gleichung äußerst be-deutsam ist, erhält man, wenn man außer den Koeffizienten ebenso dieLösungen x1, x2, ... der Gleichung bei der Bildung der Rechenausdrückezulässt. Dieser Zahlbereich wird also gebildet von allen Werten, diedurch Rechenausdrücke der Form

a

ax a x a0

212

2 2 1− +

darstellbar sind. Ist es nun sogar möglich, die Lösungen der gegebenenGleichung durch geschachtelte Wurzelausdrücke darzustellen, so lassensich natürlich weitere Zahlbereiche dadurch erzeugen, dass man bei denRechenausdrücken die Koeffizienten der Gleichung sowie Teile der ver-schachtelten Wurzeln zulässt. Jede Gleichungsauflösung entspricht damitineinander verschachtelten Zahlbereichen und diese lassen sich – so derHauptsatz der Galois-Theorie – allesamt durch eine Analyse der Galois-Gruppe auffinden. Daher beantwortet bereits eine solche, rein auf quali-tativem Niveau durchgeführte Analyse der Galois-Gruppe die Frage da-nach, ob die Lösungen in Form verschachtelter Wurzelausdrücke darge-stellt werden können.

Die so zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts erstmals erreichte unddanach im Wesentlichen unverändert beibehaltene Abstraktion markiertzugleich das Ende eines historischen Prozesses, während dessen sich dasInteresse an den hier beschriebenen Problemen mehrmals verlagerte:Stand für Cardano und seine Zeitgenossen die Suche nach konkreten Lö-sungen von explizit gestellten Aufgaben mittels allgemein funktionieren-der Verfahren im Mittelpunkt, so verschob sich dieser Blickwinkel schonbald und rückte dabei das Interesse an prinzipiellen Eigenschaften vonGleichungen in den Mittelpunkt. Beginnend mit Galois, konsequent aber

Einführung XIII

erst seit dem Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts, hat sich der Fokusnochmals drastisch verschoben. Nun bilden die abstrakten Klassen vonObjekten wie Gruppen und Körper den Ausgangspunkt, auf deren Basissich eine Vielzahl von Problemen formulieren lassen2, darunter natürlichauch jene, die ursprünglich einmal die Kreierung dieser Objektklasseninspiriert haben.

Über dieses Buch

Um einen möglichst breiten Leserkreis – vorausgesetzt werden nurKenntnisse, wie sie an einer höheren Schule vermittelt werden – errei-chen zu können, wurde bewusst von einer Darstellung abgesehen, wie sieim Hinblick auf Allgemeinheit, Exaktheit und Vollständigkeit in Stan-dard-Lehrbüchern üblich und angebracht ist. Im Blickpunkt stehen viel-mehr Ideen, Begriffe und Techniken, die so weit vermittelt werden, dasseine konkrete Anwendung, aber auch die Lektüre weiterführender Lite-ratur, möglich sein sollte. Bei einer solchen Ausrichtung haben technischaufwändige Beweise eigentlich keinen Platz. Andererseits bilden Beweisefraglos das Rückgrat einer ernsthaften Auseinandersetzung mit mathema-tischen Sachverhalten. Im Sinne eines Kompromisses sind daher schwie-rige Beweise außer im letzten Kapitel aus dem Haupttext ausgegliedert,so dass Lücken vermieden werden und trotzdem der Textfluss nicht un-terbrochen wird.

Deutlichen Wert gelegt wird auf die historische Entwicklung und zwarzum einen, weil der Aufschwung der Mathematik in den letzten Jahrhun-

2 Dabei ergeben sich insbesondere auch für die moderne Informationstechnologie äu-

ßerst wichtige Anwendungen im Bereich der Kryptographie wie zum Beispiel die1978 erstmals realisierten Public-Key-Codes. Bei diesen asymmetrischen Verschlüs-selungsverfahren wird der Schlüssel zur Codierung veröffentlicht, ohne dass dadurchein Sicherheitsrisiko in Form einer für Unbefugte möglichen Decodierung entsteht.Als mathematische Basis für solche Public-Key-Verschlüsselungsverfahren wie RSAund ElGamal dienen Rechenoperationen in speziellen algebraischen Objekten mit sehrgroßer, aber endlicher Elemente-Anzahl (konkret verwendet werden Restklassenringesowie zu endlichen Körpern definierte elliptische Kurven). Eine Einführung in dieseThematik gibt Johannes Buchmann, Einführung in die Kryptographie, Berlin 2001.

XIV Einführung

derten weit weniger bekannt ist als derjenige der Naturwissenschaften,zum anderen, weil es durchaus spannend sein kann, persönlichen Irrtumund Erkenntnisgewinn der zeitrafferartig verkürzten Entwicklung zuord-nen zu können. Und außerdem bietet eine dem historischen Weg der Er-kenntnis folgende Darstellung den Vorteil, so manche mathematischeAbstraktion als natürlichen Abschluss von Einzeluntersuchungen er-scheinen zu lassen, so dass der Eindruck einer unmotiviert am Anfangstehenden Definition mit dem scheinbaren Charakter einer vom Himmelgefallenen Beliebigkeit erst gar nicht entstehen kann. Gleichzeitig wirdein großer Teil des Ballasts überflüssig, den eine an weitgehender Allge-meingültigkeit orientiere Darstellung zwangsläufig haben muss. Nichtverschwiegen werden darf freilich auch ein gravierender Nachteil: Sowird manche aufwändige, wenn auch elementare Berechnung notwendig,deren Ergebnis zumindest in qualitativer Hinsicht weit einfacher auf derBasis allgemeiner Prinzipien hätte hergeleitet werden können.

Um auch von der äußeren Form eine deutliche Trennlinie zu Lehrbüchernzu ziehen, habe ich mich dazu entschlossen, die gleiche Darstellungsformzu wählen, die meinem auf einen ähnlichen Leserkreis ausgerichtetenBuch Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel – Methoden, Ergeb-nisse und Grenzen zugrunde liegt: Jedes Kapitel beginnt mit einer plaka-tiven, manchmal mehr oder weniger rhetorisch gemeinten Fragestellung,die insbesondere dem Anfänger Hinweise auf Natur und Schwierigkeitdes im betreffenden Kapitel behandelten Problems gibt, auch wenn derInhalt des Kapitels meist weit über die Beantwortung der gestellten Fragehinausreicht. Aber auch den mathematisch bestens vorgebildeten Lesern,für die der hier gebotene Überblick manchmal zu oberflächlich und un-vollständig bleiben muss, ermöglicht diese Struktur eine schnelle und ge-zielte Auswahl der für sie jeweils interessanten Teile – die angegebeneFachliteratur weist dann den weiteren Weg.

Die Themen der einzelnen Kapitel sind zu eng miteinander verwoben, alsdass ein Verständnis unabhängig voneinander möglich wäre. Trotzdemwird aber denjenigen, die nur an einzelnen Aspekten dieses Buches inte-ressiert sind, empfohlen, direkt einen Einstieg zu Beginn des betreffendenKapitels zu versuchen. Selbst, wenn man dann doch auf den einen oderanderen Verweis zu überschlagenen Kapiteln stößt, so sind doch zumin-dest die Details der dort vorgenommenen Berechnungen für das Ver-ständnis der nachfolgenden Kapitel überflüssig. Natürlich bietet der Be-

Einführung XV

ginn jedes Kapitels auch die Chance eines Neueinstiegs für diejenigen,für die einige Details der vorangegangen Kapitel zu schwierig waren.

Als „Fahrplan“ für Leser, die sich abseits der sehr abstrakten Passagennur einen Überblick verschaffen möchten, wird die folgende Auswahlvorgeschlagen:

• Bei den Kapiteln 1 bis 6 können die in den Kästen zusammengestell-ten Beweise übersprungen werden,

• von Kapitel 7 reicht für das weitere Verständnis der erste Teil, der dasregelmäßige Siebzehneck behandelt,

• Kapitel 8 kann ganz ausgelassen werden,• bei Kapitel 9 können die Kästen am Ende des Kapitels überschlagen

werden,• auf die Lektüre von Kapitel 10 und des Epilogs kann ganz verzichtet

werden.

Leser, die eine typische Vorlesung „Algebra I“ einführend begleitenmöchten, sollten die beiden Kapitel 9 und 10, in denen die Galois-Theoriebehandelt wird, sowie den Epilog in den Vordergrund ihrer Lektüre stel-len. Für deren tieferes Verständnis wichtig sind der Hauptsatz über sym-metrische Polynome (Kapitel 5), die in Kapitel 6 erörterten Produktzer-legungen von Polynomen sowie die wesentlichen Ideen zur Kreisteilung(erster Teil von Kapitel 7). Ob den anderen Kapiteln ein mehr oder min-der starkes Augenmerk entgegengebracht wird, sollte dann von den per-sönlichen Interessen und Vorkenntnissen abhängig gemacht werden.

Entsprechend der historischen Entwicklung lässt sich die nachfolgendeDarstellung der Auflösbarkeit von Gleichungen in drei Teile gliedern:

• Klassische Methoden der Auflösung, die auf Folgen mehr oder min-der komplizierter Äquivalenzumformungen von Gleichungen beruhen,wurden historisch zur Herleitung der allgemeinen Formeln für quad-ratische, kubische und biquadratische Gleichungen verwendet (Kapitel1 bis 3).

• Systematische Untersuchungen der gefundenen Auflösungsformelnwerden möglich, wenn man die Zwischenergebnisse der einzelnenRechenschritte durch die Endresultate, das heißt durch die Gesamtheitder gesuchten Lösungen, ausdrückt (Kapitel 4 und 5). Auf diesem

XVI Einführung

Weg lassen sich auch spezielle Gleichungen lösen, die gegenüber demallgemeinen Fall insofern eine niedrigere Komplexität aufweisen, alsdass zwischen ihren Lösungen bestimmte Beziehungen, gemeint sindmittels Polynomen formulierbare Identitäten, bestehen. Neben Glei-chungen, die in Gleichungen niedrigerer Grade zerlegt werden können(Kapitel 6), sind die so genannten Kreisteilungsgleichungen xn – 1 = 0Beispiele für solchermaßen weniger komplexe Gleichungen (Kapitel7). Auch der in Kapitel 8 beschriebene Versuch, eine allgemeine,letztlich aber nur in speziellen Fällen funktionierende Lösungsformelfür Gleichungen fünften Grades zu finden, ist diesem Teil zuzurech-nen.

• Auf Basis der systematischen Untersuchungen von Auflösungsfor-meln können schließlich auch die Grenzen einer Auflösbarkeitdurch Wurzelformeln ergründet werden. Diese von Abel und Galoiserkannten und untersuchten Grenzen werden wir, abgesehen von einerkleinen Vorschau in Kapitel 5, in den Kapiteln 9 und 10 behandeln.Im Mittelpunkt stehen dabei die schon erwähnten Galois-Gruppen

Mit der Untersuchung von Galois-Gruppen wird ein Schwierigkeits-grad erreicht, bei dem das Anforderungsniveau der ersten Kapiteldeutlich übertroffen wird. Daher werden zwei Darstellungen gegeben:In Kapitel 9 wird ein relativ elementarer, mit zahlreichen Beispielenergänzter Überblick gegeben, wobei der Umfang der verwendeten Be-griffe so weit irgendwie möglich und sinnvoll reduziert ist. Die dabeientstehenden Lücken werden dann in Kapitel 10 geschlossen, in des-sen Mittelpunkt der schon erwähnte Hauptsatz der Galois-Theoriesteht, der es erlaubt, so genannte Körper zu bestimmen, also die schonerörterten Zahlbereiche, bei denen die vier arithmetischen Grundope-rationen nicht herausführen. Auch die diesbezüglichen Darlegungen inKapitel 10 beschränken sich bewusst auf die wesentlichen Aspekte derGalois-Theorie.

Für Leser, die ihre Kenntnis der Galois-Theorie nach der Lektüre diesesBuches vertiefen wollen, kann als Fortsetzung eigentlich jedes Lehrbuchder Algebra beziehungsweise der Galois-Theorie empfohlen werden.Stellvertretend auch für andere sollen an dieser Stelle nur die beidenKlassiker Algebra von Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996) undGaloissche Theorie von Emil Artin (1898-1962) genannt werden, deren

Einführung XVII

erste Auflagen 1930 und 1948 erschienen. Aber auch umgekehrt stellt dasvorliegende Buch zumindest in Bezug auf die erörterten Beispiele undwohl auch im Hinblick auf die Motivation von algebraischen Begriffsbil-dungen eine hilfreiche Ergänzung zu den gebräuchlichen Lehrbüchernder Algebra dar.

Selbstverständlich möchte ich es nicht versäumen, mich bei all denjeni-gen zu bedanken, die zum Entstehen dieses Buches beigetragen haben:Äußerst hilfreiche Hinweise auf Fehler und Unzulänglichkeiten in Vor-versionen dieses Buches habe ich erhalten von Jürgen Behrndt, RudolfKetterl und Franz Lemmermeyer. Dank ihrer Hinweise konnte die Zahlder Fehler entscheidend verringert werden – die verbliebenen Fehler ge-hen natürlich allein auf mein Konto. Dem Vieweg-Verlag und seiner Pro-grammleiterin Ulrike Schmickler-Hirzebruch habe ich dafür zu danken,das vorliegende Buch ins Verlagsprogramm aufgenommen zu haben. Undschließlich schulde ich einen besonderen Dank meiner Frau Claudia, oh-ne deren manchmal strapaziertes Verständnis dieses Buch nicht hätte ent-stehen können.

Vorwort zur zweiten Auflage

Der erfreuliche Umstand, dass die erste Auflage nach nur zwei Jahrenvergriffen ist, gibt mir Gelegenheit, einige Literaturverweise zu ergänzenund zwischenzeitlich durch aufmerksame Leser sowie mir selbst gefun-dene Druckfehler zu korrigieren: Zu danken habe ich dabei Daniel Adler,Ulrich Brosa, Kurt Ewald, Volker Kern, Ralf Krawczyk und Heinz Lüne-burg.

JÖRG BEWERSDORFF3

3 Unter joerg.bewersdorff@t-online.de sind Hinweise auf Fehler und Unzulänglichkei-

ten willkommen. Auch Fragen werden, soweit es mir möglich ist, gerne beantwortet.Ergänzungen und Korrekturen werden auf meiner Homepage

http://www.bewersdorff-online.deveröffentlicht.

Einführung XIX

Inhaltsverzeichnis

Einführung............................................................................................................... V

Die Auflösung von Gleichungen höherer Grade ................................................. VI

Galois-Theorie ................................................................................................. VIII

Über dieses Buch ............................................................................................. XIII

Vorwort zur zweiten Auflage..........................................................................XVII

1 Kubische Gleichungen ........................................................................................ 1

2 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexenZahlen ................................................................................................................ 10

3 Biquadratische Gleichungen ............................................................................ 24

4 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften........................................ 28

5 Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln ................................................. 38

6 Gleichungen, die sich im Grad reduzieren lassen........................................... 57

7 Die Konstruktion regelmäßiger Vielecke ........................................................ 65

8 Auflösung von Gleichungen fünften Grades................................................... 86

9 Die Galois-Gruppe einer Gleichung ................................................................ 98

10 Algebraische Strukturen und Galois-Theorie .............................................. 134

Epilog ................................................................................................................. 177

Stichwortverzeichnis ............................................................................................ 187

Stichwortverzei chnis 187

Stichwortverzeichnis

AAbbildung 144Abel, Niels Henrik VIII, 51, 52,

53, 57, 100, 122, 182abgeschlossen 101Acampora, Renato 1, 4, 10adjungierte Größe 101Adjunktion 101, 109, 110, 145,

152, 155, 179Algebra V, 177algebraisch unabhängige Größen

181Al-Khwarizmi, Abu Ja' far

Muhammad ibn Musa 2, 6allgemeine Gleichung 39, 41,

43, 44, 51, 52, 55, 57, 142,181, 182

An – alternierende Gruppe derOrdnung n 183

analytische Geometrie 147Archimedes, 4Argand, Jean Robert 36Ars magna VI, 4, 7, 9, 10, 20,

24, 25, 30Artin, Emil XVI, 162, 176Assoziativgesetz 15, 136, 137Auflösbarkeit einer Gruppe 182Auflösung einer Gruppe 113,

117, 118Auflösung mit Radikalen 51,

79, 80, 113, 163, 166, 170,177

Aut(L | K) – Automorphismen-Gruppe einerKörpererweiterung 145

Automorphismus 134, 142,145, 162, 181

axiomatischer Aufbau derMathematik 178

Ayoub, Raymond G. 53

BBachmann, Paul 84Basis 135, 147, 168bekannte Größe 100, 108Betrag 15, 34Bézout, Étienne 48, 88Biermann, Kurt R. 65bijektiv 152, 163bikubische Resolvente 121BK – Menge der ‚Beziehungs‘-

Polynome 103, 123Bombelli, Rafael 11, 12, 20Bos, Henk J. M. 29, 73Botanik 178Breuer, Samson 96Bring, Erland Samuel 88, 94,

96Bring-Jerrard’sche

Transformation 96Brockhaus 134Buchmann, Johannes XIII

C – Menge der komplexen

Zahlen 140

188

Cantor, Moritz 12Cardanische Formel 7, 8, 10,

19, 20, 26, 39, 40, 41, 42Cardano, Geronimo VI, VII,

XII, 5, 7, 9, 10, 20, 24, 30,38, 177

casus irreducibilis 10, 11, 20,21, 79, 118

Cauchy, Augustin-Louis 36Charakteristik eines Körpers

142, 184Computer-Algebra-System 61Crelle, August Leopold 122

DDavies, Philip J. VIIDedekind, Richard 135Dehn, Edgar 133Delahaye, Jean-Paul 78Delisches Problem 78, 175Descartes, René 29, 31, 73Differenzenprodukt 40, 42, 116,

117, 120, 122Dimension 135, 148, 150disjunkte Zerlegung 138Diskriminante 40, 43, 47, 115,

183Distributivgesetz 15, 141Dörrie, Heinrich 27Dreiecksungleichung 34Dreierzyklus 182Drudenfuß 77

EEdwards, Harold M. 100, 133Eindeutigkeitssatz für

symmetrische Polynome 50,181

Einheitswurzel 18, 66, 69, 102,117, 148, 168, 171

Eisenstein, Ferdinand GotholdMax 62

Eisenstein’schesIrreduzibilitätskriterium 62,63, 64, 123

Elementarteilchen 178ElGamal-

VerschlüsselungsverfahrenXIII

Erweiterungskörper 102, 110euklidischer Algorithmus 76,

102, 125, 131, 132Euler, Leonhard 17, 48, 86, 88,

184Euler’sche ϕ-Funktion 184

FFaktorgruppe 135, 160, 171,

180, 182Fakultät 44Fermat’sche Primzahl 76Ferrari, Ludovico 24, 26, 38,

41, 177Ferro, Scipione del 4Fierz, Markus 6Fior, Antonio 1, 3, 4Fixpunktkörper 154, 163Fontana, Niccolo siehe

TartagliaFührer, Lutz 23Fundamentalsatz der Algebra

13, 32, 34, 35, 37, 38, 179,180

Fünfeck, regelmäßiges 77Funktionentheorie 37

189

G*(T) siehe Galois-ResolventeGalois, Evariste VIII, IX, XI,

51, 53, 98, 100, 124, 129,132, 138, 143, 146

Galois-Gruppe IX, XII, XVI,98, 99, 104, 106, 107, 109,110, 113, 119, 123, 136, 143,156, 181

Galois-Resolvente 103, 124,129, 144, 150, 151

Galois-Theorie XI, XVI, 78, 85,87, 100, 134

ganze Zahlen 140Gårding, Lars 122Gauß, Carl Friedrich 13, 32, 58,

59, 65, 73, 76, 79, 81, 99Gauß’sche Zahlenebene 66Girard, Albert 32Gleichung

biquadratische VII, 24, 26,38, 41, 43, 118

fünften Grades IX, XVI, 38,51, 52, 53, 55, 57, 121

kubische 1, 4, 6, 7, 38, 39,43, 114

quadratische V, 39, 43, 114Gleichungssystem, lineares

150, 162, 180Goldman, Jay R. 184Gottlieb, Christian 77Grad einer Körpererweiterung

148, 149, 153, 155, 162, 163Gradformel für geschachtelte

Körpererweiterungen 148,175

Grenzwert 33

Gruppe IX, 99, 134, 136, 140,162

abelsche 141alternierende 183auflösbare 171kommutative 141symmetrische 45, 174, 181,

182zyklische 139, 140, 156, 164,

170, 171Gruppe der n-ten

Einheitswurzeln 141Gruppentafel XI, 107, 113, 115,

118, 119, 137, 156, 160, 166,174

HHauptsatz der Galois-Theorie

XII, 152, 155, 158, 162, 166Hauptsatz über symmetrische

Polynome 47, 50, 51Hermes 77Hilberts Basissatz 123Hintereinanderschaltung von

Permutationen 45, 107, 136Homomorphismus 135Hudde, Jan 103

Ii – imaginäre Einheit 15Ideal 123, 180Identität siehe Permutation,

identischeimaginäre Einheit 15Imaginärteil 15Index einer Untergruppe 138injektiv 154inverses Element 14, 80, 136

190

irreduzibel 61, 64, 132isomorph 141, 164isomorphe Gruppen 118, 121Isomorphismus 180

JJerrard, George Birch 88, 94,

96Jörgensen, Dieter 4

KK(a, b, ...) 110Kabayashi, Sigeru 96Kardanaufhängung 5Kardanwelle 5Katscher, Friedrich 1Kiernan, B. Melvin 100King, R. Bruce 96Klein, Felix 77Koch, Helmut 133kommutative Gruppe 159Kommutativgesetz 15, 141komplexe Zahlen 9, 10, 12, 38,

140komplexe Zahlenebene 15Komposition von Permutationen

45konjugierte Untergruppe 158konjugierte Zahl 15Konstruktion, geometrische 66,

78, 175Koordinaten 148Koordinaten, kartesische 73Körper XI, XVI, 15, 101, 134,

135, 141, 162endlicher 142, 184

Kowol, Gerhard 133

Kreisteilungsgleichung XVI,18, 19, 40, 62, 66, 74, 76, 79,84, 99, 114, 118, 121, 147,168, 170, 184

Kryptographie XIIIKubusverdopplung 78, 175Kurve, elliptische XIII

LLagrange, Joseph Louis 45, 47,

48, 81, 84, 87, 88, 99, 124,125, 138, 143, 182

Lagrange-Resolvente 48, 82,165, 166, 184

Lang, Serge 176Laugwitz, Detlef 176Legendre, Adrien-Maire 184Leibniz, Gottfried Wilhelm 13Lindemann, Carl Louis

Ferdinand von 78lineare Abbildung 147Lineare Algebra 125, 135, 147,

150, 162Linearfaktor 30, 31, 57, 59, 62,

118Liouville, Joseph 99Lösungsformel V

MMalfatti, Giovanni Francesco

87, 88, 92Matrix 140, 147Matrizenmultiplikation 140Matthiessen, Ludwig 27, 38McKay, John 113mehrfache Lösung 31, 102,

114, 135modulo n 68, 140, 184

191

Moivre, Abraham de 17, 80Moivre’sche Formel 17, 18, 34,

36Monom 49, 50MuPAD 61

NNahin, Paul J. 23Nakagawa, Hiroshi 96Nebenklasse XI, 138, 140, 159,

160negative Zahlen 9neutrales Element 15, 79, 136,

137Neuwirth, Lee 99Newton, Isaac 47nicht-euklidische Geometrie

178Normalteiler 135, 158, 159,

163, 166, 171, 180Nullstelle 32, 34, 36, 61, 125

OOrdnung eines

(Gruppen-)Elements 139Ordnung, lexiographische 49

PParallelenaxiom 178Pentagramm 77Periode 68, 70, 73, 74, 75, 77,

118, 169, 184Periodensystem der chemischen

Elemente 178Permutation 44, 46, 54, 99, 104,

107, 110, 143, 156gerade 93, 120, 122, 183identische 45, 112

ungerade 93, 116zyklische 44, 105, 115, 119,

182Pertsinis, Tom 98Pieper, Herbert 13Pierpont, James 87, 96platonischer Körper 140Polarkoordinaten 17, 21Polynom 129, 178

elementarsymmetrisches 39,46, 47, 49, 50, 56, 101, 142,181

normiertes 58, 59, 63, 92symmetrisches 47

Polynomdivision 129Polynomring 123primitives Element 124, 162Primitivwurzel modulo n 68,

74, 81, 84, 168, 184Public-Key-Code XIII

Q� – Menge der rationalen

Zahlen 101, 140�(a) 109Quadratur des Kreises 78, 175

R� – Menge der reellen Zahlen

140Radikalerweiterung 166, 183Radloff, Ivo 53Ramanujan, Srinivasa VIIrationale Funktion 141rationale Zahlen 140Realteil 15reelle Zahlen 14, 33, 140Reich, Karin 29, 73

192

Reifen, Hans-Jörg 176Resolvente

bikubische 90, 91, 92, 94kubische 25, 41, 42, 46, 106

Restklasse 185Restklasse modulo n 141, 184Restklassenring XIII, 180Ribbenboin, Paulo 76Richelot, F. J. 77Rigatelli, Laura Toti 98Ring 177, 180Rothman, Tony 98RSA-Verschlüsselungsverfahren

XIIIRuffini, Paolo 51, 53, 87, 100,

182Runge, C. 93

SScheja, Günter 176Scholz, Erhard 100, 136Schultz, Phillip 4Schultze, Reinhard Siegmund

96Siebzehneck, regelmäßiges VII,

65, 71, 75Skau, Christian 53, 122Sn – symmetrische Gruppe der

Ordnung n siehe Gruppe,symmetrische

Soicher, Leonhard 113Sossinsky, Alexei 99Spearman, Blair K. 97Stetigkeit einer Funktion 32Stewart, Ian 99Stillwell, John 56Struktur

algebraische 134

mathematische 177Stubhaug, Arild 53Substitution 8, 27, 41, 43, 80,

88, 94surjektiv 154Symmetrie X

TTartaglia 1, 4, 5Teiler eines Polynoms 130Teiler, größter gemeinsamer von

Polynomen 130Tietze, Heinrich 71Tignol, Jean-Pierre 133, 176,

180transitive Operation 114, 151transzendent 78Tschirnhaus, Ehrenfried Walther

Graf von 88, 94, 95Tschirnhaus-Transformation 95

UUntergruppe XI, 134, 138, 151,

156, 163

Vvan der Waerden, Bartel

Leendert XVI, 21, 100, 162,176, 184

Vandermonde, AlexandreThéophile 48, 81, 82, 83, 87,88, 93, 99, 104, 121

Vektor 147Vektorraum 135, 140, 144, 147,

150Verknüpfung 45, 136, 138Verschlüsselungsverfahren XIIIVetter, Udo 176

193

Vieleck, regelmäßiges 65, 176Vieta’scher Wurzelsatz 29, 38,

41, 69, 91Viète, François 22, 28, 29, 38Vollständigkeit der reellen

Zahlen 33

WWeber, Heinrich 93, 100, 136Wessel, Caspar 13Williams, Kenneth S. 97Winkeldreiteilung 78, 79, 175,

176Wurzel einer Gleichung 29

Wurzelsymbol 80

Z� – Menge der ganzen Zahlen

140�/n� – zyklische Gruppe der

Ordnung n 141, 159Zerfällungskörper 118, 135,

144, 145, 179Zirkel und Lineal, Konstruktion

mit 66, 71, 72, 78, 175Zwischenkörper 134, 152, 153,

154, 155, 158, 163, 166, 168Zwischenwertsatz 32, 180