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C:\Users\Monika\Documents\FH Vorlesungsmanuskripte\Vorlesungsmanuskript G. der elektr. Energietechnik FH Juelich WS 2016-17.doc

Prof. Dr.-Ing. H. Alt

Jülich, Fachbereich 10 Energietechnik Grundlagen elektrische Energietechnik

Vorlesungsmanuskript WS 2016/2017 Stand 10.10.2016 Montags 08:30 - 11:45 Uhr, CJ 01B08

Inhaltsübersicht der Vorlesung in Stichworten: 1. Von der Ladung zu Strom und Spannung

1. 1 Im Herzen der Materie 1. 2 Stromleiter, Driftgeschwindigkeit, Impulsgeschwindigkeit 1. 3 Einheit der Stromstärke 1. 4 Belastbarkeit von Leitungen 1. 5 Widerstand von Leitungen, Temperaturabhängigkeit des Widerstandes 1. 6 Erdungswiderstände, Spannungstrichter, Sicherheitsregeln

2. Gesetze im elektrischen Stromkreis

2. 1 Zählpfeilsysteme, 2. 2 Ohmsches Gesetz 2. 3 Erstes und zweites Kirchhoffsches Gesetz 2. 4 Leistung und Arbeit 2. 5 Systembedingte Stromkosten für die Bereitstellung von Leistung und Arbeit 2. 6 Stromtarifbedingte Stromkosten eines Haushaltskunden 2. 7 Bruttostromerzeugung in Deutschland

3. Berechnung elektrischer Netzwerke

3. 1 Quellenarten: Spannungs- und Stromquellen, Leistungsanpassung 3. 2 Strom und Spannungsberechnung elektrischer Netzwerke 3. 3 Spannungsteiler 3. 4 Ideale und reale Spannungs- und Stromquellen 3. 5 Transistor - Grundschaltungen

4. Elektrische und magnetische Felder, der magnetische Kreis 4. 1 Dualität elektrischer und magnetischer Größen 4. 2 Durchflutungsgesetz 4. 3 Induktionsgesetz 4. 4 Kraftgesetz stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld 4. 5 Kraftgesetz im Luftspalt magnetischer Felder 4. 6 Kraftgesetz im elektrischen Feld

4. 7 Hysterese- und Wirbelstromverluste beim magnetisieren von Eisen

5. Berechnung von Schaltvorgängen, Halbleiter und Anwendungskomponenten

5. 1 Schaltvorgänge in Stromkreise mit einem Energiespeicher 5. 2 Einschaltung schwingungsfähiger Systeme 5. 3 Grundlagen der Halbleitertechnik

6. Wechselstrom- und Drehstromsysteme 6. 1 Mittelwerte, arithmetischer Mittelwert (Gleichrichtwert) und Effektivwert 6. 2 Erzeugung elektrischer Energie durch Rotation im Magnetfeld 6. 3 Zeigerdarstellung von Strom und Spannung in der komplexen Ebene 6. 4 Leistungsbegriffe bei Wechselstrom, Wirk-, Blind- und Scheinleistung 6. 5 Leistungen in der Energietechnik

7. Elektrische Energieverteilungssysteme und Stromanwendung

7. 1 Stromerzeugung und Strombelastung im Drehstromsystem 7. 2 Allgemeine Belastung im Drehstromnetz, Steinmetzschaltung 7. 3 Wechselstromleistung nicht sinusförmiger Ströme 7. 4 Elektrische Maschinen, Erzeugung eines Drehfeldes, Asynchron-, Synchronmaschine 7. 5 Transformatoren, 7. 6 Umrichter 7. 7 Gleichstrommaschinen, Anschlussschaltpläne 7. 8 Kurzschlussstromberechnung, 7. 9 Kraftwirkung durch Kurzschlussströme 7.10 Dualität Mechanik versus Elektrik 7.11 Entwicklung der Batterietechnik.

8. Energiewende 8. 1 Ganglinien der Leistung der öffentlichen Stromversorgung 8. 2 Auswirkungen des Stromhandels an der Strombörse, Muttertagsereignis

- 2 -


Literaturhinweise:

[ 1 ] Otter/Honecker, Atome-Moleküle-Kerne, Bd.1: Atomphysik, Bd. 2: Molekül- und Kernphysik,

Teubner-Verlag 1998.

[ 2 ] Flegel/Birnstein/Nerreter: Elektrotechnik für Maschinenbau und Mechatronik,

Carl Hanser Verlag

[ 3 ] Wolfgang Nerreter: Grundlagen der Elektrotechnik, Carl Hanser-Verlag, 2. Aufl. 2011

[ 4 ] Gert Hagemann: Grundlagen der Elektrotechnik, AULA-Verlag, 13. Aufl. 2008

[ 5 ] Gert Hagemann: Aufgabensammlung zu Grundlagen der Elektrotechnik, AULA-Verlag,

13. Aufl. 2009

[ 6 ] Flosdorff/Hilgarth: Elektrische Energieverteilung, Teubner Verlag, 9. Auflage 2005.

[ 7 ] Wilfried Knies, Klaus Schierack: Elektrische Anlagentechnik, Carl Hanser Verlag

[ 8 ] Lindner, Brauer, Lehmann: Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik,

2007 Carl Hanser-Verlag

[ 9 ] Eckhard Spring: Elektrische Maschinen, Eine Einführung, Springer Verlag, 3. Aufl. 2009

[10] Helmut Lindner, Harry Brauer, Constans Lehmann: Taschenbuch der Elektrotechnik,

Hanser Verlag, 9. Aufl., 2008

[11] Franz Wosnitza, Hans Gerd Hilgers: Energieeffizienz und Energiemanagement, Springer

Spektrum 2012

[12] Luber, Pelta, Rudnik: Schutzmaßnahmen gegen elektrischen Schlag, VDE Verlag, Nr. 9,

12.Aufl. 2013

[13] Rudnik, Pelta: Der Lotse durch die DIN VDE 0100,VDE Verlag Nr. 144. 2. Aufl. 2015

[14] Herbert Niederhausen, Andreas Burkert: Elektrischer Strom, Gestehung, Übertragung,

Verteilung, Speicherung und Nutzung elektrischer Energie im Kontext der

Energiewende. Springer Vieweg 2014

[15] Schossig Walter, Thomas: Netzschutztechnik, VDE Verlag,5. Aufl. 2016

[16] Mach, Manfred: Speicherung von elektrischem Strom - Voraussetzung jeder Energiewende,

Rhombos-Verlag 2015

[17] Herold, Gerhard: Elektrische Energieversorgung, Eine kleine Einführung, Schlembach Verlag,

2013

[18] Beppler, Ehrhard: Energiewende – Zweite industrielle Revolution oder Fiasko? FSC 2013

[19] Veröffentlichungen des BDEW, Bundesverband der Energie- und Wasserwirtschaft e.V., Berlin

[20] Alt, Helmut: Die Sonne bestimmt zunehmend die Spannung in der Steckdose. ew Jg. 110

(2011), Heft 17-18, Seite 24-29.

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Rutherfords Streuexperiment

1. Von der Ladung zu Strom und Spannung 1.1 Im Herzen der Materie Lecture room in the Ernest Rutherford museum, Arts Centre, Christchurch, Canterbury, Neuseeland

Im Jahr 1911 schossen Rutherfords Team Hans Geiger und Ernest Marsden in einem bahnbrechen-den Experiment Alphateilchen auf eine dünne Goldfolie und beobachteten zu ihrer Verblüffung, dass einige Alphateilchen unter sehr großen Streuwinkeln gestreut wurden, während die meisten prak-tisch ohne Ablenkung durch die Goldfolie flogen. Ein solches Streuexperiment ist im Rutherford Mu-seum im Arts Centre, in Christchurch, Neuseeland zu beobachten. Ernest Rutherford erklärte diese Beobachtung mit der Annahme, dass Atome aus einem kleinen, positiv geladenen Kern bestehen, um den Elektronen kreisen. Im Atomkern wirken sehr starke Kernkräfte der Nuklide anziehend, die elektrischen Kräfte jedoch abstoßend, wobei bei engem Kontakt der Nuklide die Kernkräfte überwie-gen (wie bei klebrigen Bonbons).

Um die physikalischen Eigenschaften der Elektrizität zu verstehen, ist eine kurze Betrachtung des atomaren Aufbaus der Materie anhand des Periodensystems der Elemente erforderlich. Literaturempfehlung: Otter/Honecker, Atome-Moleküle-Kerne, Bd.1: Atomphysik, Bd. 2: Molekül- und Kernphysik, Teubner Verlag 1998.

Masse und Ladung der Protonen mP = 1,67265·10-27

kg, QP =1,602 ·10-19

C Elementarteilchen (Nuklide): Neutronen mN = 1,67495·10

-27 kg, QP = 0 C

enp 0

1

1

0

1

1 ,, Elektronen mE = 9,1091·10-31

kg, QP = -1,602 ·10-19

C

Atome eines Elements können bei gleicher Protonenzahl eine unterschiedliche Neutronenzahl aufweisen. Solche Atome mit gleicher Kernladungszahl (Ordnungszahl) aber mit unterschiedlicher Massenzahl, bezeichnet man als Isotope.

Radioaktiv: Alpha-Teilchen (Helium-Kerne T1/2 = 1.602 a)

- 4 -


N

Cu- Atom

1.2 Stromleiter, Driftgeschwindigkeit, Impulsgeschwindigkeit

Die Elemente der 11. Gruppe im Periodensystem der Elemente sind dadurch gekennzeichnet, dass in der äußeren Elektronenschale nur ein Elektron als relativ freies Elektron verfügbar ist. Dieses Elektron ist unter der Einwirkung eines elektrischen Feldes besonders frei im Kristallgitter des Mate-rials beweglich und daher Träger des elektrischen Stromes in einem Leiter. Die dort verfügbaren

Elemente sind Kupfer Cu29

64 , Silber Ag47

108 und Gold Au79

197 . Daher wird das

mit technisch günstigen Materialeigenschaften und kostenmäßig noch vertretbare Kupfer bei den meisten Anwendungen als Leiterwerkstoff verwendet.

Ein Kupferatom Cu29

64 hat 29 Protonen und 35 Neutronen im Kern sowie

29 Elektronen auf den Schalen: K = 2, L = 8, M = 18, N = 1 Elektronen in der Atomhülle.

Ein Silberatom Ag47

108 hat 47 Protonen, 61 Neutronen im Kern sowie 47 Elektronen

auf den Schalen: K = 2, L = 8, M = 18, N = 18, O = 1 Elektronen in der Atomhülle. Bei Kupfer ist ein freies Elektron auf der N-Schale, bei Silber ist dieses mit geringerer Bindungs-energie auf der weiter entfernten O-Schale, daher rührt die noch bessere Leitfähigkeit von Silber.

Mit der Avogadro- Konstanten N0 = 6,022 ·1023

1/mol und dem spezifischen Gewicht von Kupfer

γ= 8,9 g/cm3 errechnet sich die Anzahl der im Kupfer (Atomgewicht CuA = 63,546)

verfügbaren freien Elektronen je cm3 zu :

322323

0, 11043,8

546,63

9,8110022,6cm

molg

cmgmol

A

Nn

Cu

CuCuE

Sowohl durch mechanische wie durch elektrische Vorgänge lassen sich Elektro-nen von einem Raumbereich in einen anderen Raumbereich übertragen, so dass Bereiche mit Elektronenüberschuss und Bereiche mit Elektronenmangel entste-

hen. Bereiche mit überschüssigen Elektronen (nE>nP) sind negativ geladene Bereiche, solche mit Mangel an Elektronen (nE<nP) sind positiv geladenen Bereiche. Mit Hilfe einer Probeladung stellt man fest, dass zwischen den beiden Bereichen ein elektrisches Feld E besteht, welches auf die Pro-

beladung QP eine Kraft F ausübt. EQF P Diese Kraft (Coulombkraft) ist in der Richtung ortsab-

hängig und proportional der Größe der Probeladung, hat also Vektorcharakter.

Unter elektrischer Spannung U1,2 versteht man den Quotienten aus der Arbeit und der Probeladung,

wenn diese von 1 nach 2 bewegt wird. Die Einheit der Ladung Q ist A∙s und die Einheit der Feldstär-

ke E ist V/m. Damit ergibt sich für die Kraft F die Einheit V∙A∙s/m = W∙s/m. Es gilt: 1 Ws/m = 1 Nm.

Kraft mal Weg ist Arbeit, d.h. im elektrischen Feld kann eine Arbeit geleistet werden.

sEQsFW P ddd daraus folgt

2

1

21

21

,

, d UsEQ

W

P

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld nennen wir elektrische Spannung mit der Bezeichnung U, gemessen in Volt mit der Bezeichnung V. Wenn man zwei Bereiche unterschiedlicher elektrischer Ladung mit einem elektrischen Leiter ver-bindet, kommt es zu einem Ausgleich der Ladungen, indem freie Elektronen von dem Bereich des Elektronenüberschusses in den Bereich des Elektronenmangels fließen. Diese gerichtete Elektro-nenströmung durch einen Leiter nennen wir elektrischen Strom.

Die positive Richtung des elektrischen Stromes entspricht der negativen Richtung des Elektronenflusses. Fliest der Strom über einen Widerstand R, so ergibt sich ein Spannungsfall an diesem Widerstand nach dem ohmschen Gesetz zu:

RIU

Der Strom I entspricht der in der Zeit dt abfließenden Ladungsmenge dQ:

t

QI

d

d

Fließen die Elektronen durch einen runden Kupferdraht mit dem Querschnitt A ab, so gilt mit der Elektronendichte n = 8,43 ·10

22 cm

-3 im Draht und der Elektronenladung e = - 1,602·10

-19 As

(Für die Ladungsmenge gilt: 1 As = 1 Coulomb = 1 C, oder entsprechend 6,24·1018

Elektronen):

DvAendtdxAendtdVendtdQ

Hierin ist vD die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Draht mit dem Querschnitt A = 1,5 mm2 Cu.

Für die Driftgeschwindigkeit gilt:

QP +Q -Q

F

E

+Q

-Q -e

R

I

U

- 5 -


22 mm

A3,1

mm16

A50S

Quelle: nkt cables, [email protected] siehe auch Hilfsb 218 Supraleiter

s

cmI

cmAscm

I

Aen

IvD

00494,0

105,110602,11043,8 2219322 für I in A

Beträgt der Strom in dem Draht 10 A, so ist die Driftgeschwindigkeit der freien Elektronen:

h

m77,1

s

cm0494,010

sA

cm00494,0

AvD

Die Driftgeschwindigkeit darf nicht verwechselt werden mit der Geschwindigkeit des Stromes, die als Impulsgeschwindigkeit der Elektronen im Leiter mit der Lichtgeschwindigkeit c = 300.000 km/s er-folgt. Die Lichtgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines elektromagnetischen Feldes im leeren Raum.

1.3 Einheit der Stromstärke Die Einheit der Stromstärke ist 1 A. Sie ist eine der Fundamentalkonstanten im internationalen SI-Einheitensystem. Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft 2 ·10

-7 Newton hervorrufen würde.

Im Reichsgesetzblatt von 1898 wurde 1 Ampere als die Stärke des Stromes definiert, der aus einer Silbernitrat-Lösung mittels Elektrolyse in einer Sekunde 1,118 mg Silber abscheidet (AAg=107,87, zW=1). Die Stromstärke von 1 A entspricht dem Abfluss von 6,24·10

18 Elektronen pro Sekunde.

In der Elektrolyse gilt für die Faraday-Konstante: für den Materialtransport in der Elektrolyse gilt: A: Atomgewicht in g/mol, zw: Wertigkeit = Zahl der Elektronen auf der äußeren Schale I : Strom in A, t: Zeit in s, e = 1,602∙10

-19 As, NA = 6,022∙10

23 mol

-1

Für die Silberabscheidung gilt:

1.4 Belastbarkeit von Leitungen

Kennzeichnend für die Belastung einer elektrischen Leitung ist die Stromdichte:

Die Belastungsgrenze wird durch die Erwärmung des Leiters infolge der Wechselwirkungen des Elektronendurchflusses mit den Atomen des Leiters bestimmt.

Da das Verhältnis der Oberfläche eines Drahtes zu seinem Volumen mit zunehmendem Querschnitt immer kleiner wird (~1/r), d.h. die zum Wärmeaustausch mit der Umgebung verfügbare Oberfläche wird relativ geringer, nimmt die zulässige Stromdichte mit zunehmendem Leiterdurchmesser ab. Für einen kunststoffisolierten Kupferleiter NYA 1,5 mm

2 beträgt der zulässige Strom in der Hausin-

stallation 16 A, für 16 mm2 beträgt dieser 50 A. Dies entspricht einer zulässigen Stromdichte S von:

A = 1,5 mm

2: A = 16 mm

2:

Bei Wicklungen in elektrischen Geräten mit gu-ter Wärmeabfuhr (Lüfterkühlung) liegt die maxi-mal zulässige Stromdichte bei 3 A/mm

2.

Strombelastbarkeit 1 kV - Kabel 240 mm2, NYY:

464 A (1,93 A/mm2), NAYY: 363 A (1,51 A/mm

2)

Verlegung in Erde: 1 kV - Kabel 120 mm2, NYY:

313 A (2,61 A/mm2), NAYY: 242 A (2,02 A/mm

2)

70 °C zul. Leitert. 1 kV - Kabel 50 mm2, NYY:

185 A (3,70 A/mm2), NAYY: 142 A (2,84 A/mm

2)

20 kV - VPE-Kabel 150 mm2, N2XSY:

410 A (Stromdichte 2,73 A/mm2),

NA2XSY: 320 A (2,67 A/mm2) bei

90°C zulässige Leitertemperatur.

22 mm

A7,10

mm5,1

A16

A

IS

mol

AsNeF A 485.96

Wz

AtI

Fm

1

A

IS

mggmol

g

sA

mol

Asm 1181101181

1

87107

11

48596

1 3 ,,

,

.

http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalkonstante

http://de.wikipedia.org/wiki/Silbernitrat

http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6sung_%28Chemie%29

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrolyse

http://de.wikipedia.org/wiki/Sekunde

http://de.wikipedia.org/wiki/Gramm

http://de.wikipedia.org/wiki/Silber

- 6 -


1.5 Widerstand von Leitungen, Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Der elektrische Widerstand einer Leitung ist abhängig von dem spezifischen Widerstand ρ des Lei-termaterials in: und ist proportional der Leitungslänge. Für Kupferleitungen gilt: sowie umgekehrt proportional dem Leitungsquerschnitt, wobei der Kehrwert des spezifischen Widerstandes ρ gleich dem Leitwert κ in ist. Für Kupfer gilt:

Für den Widerstand einer Leitung gilt:

Der Kehrwert des Widerstandes R ist der Leitwert G: R

G1

in S (Siemens)

Weiter ist der Widerstand von der Temperatur des Leiters abhängig. Bei den meisten Materialen ist der Temperaturkoeffizient positiv d.h. der Widerstand nimmt mit zunehmender Temperatur zu.

Die Abhängigkeit des Widerstandes von der Temperatur wird durch die Temperaturkoeffizienten α und β beschrieben: Einige ausgewählte Materialwerte und die linearen und quadratischen Temperaturkoeffizienten:

Silber: 2

5,62mm

mS ,

K

1108,3 3

20

, 2

6

20K

1107,0 Silber wird für Kontakte verwendet

Kupfer: 2

0,56mm

mS ,

K

11092,3 3

20

, 2

6

20K

1106,0 Leitermaterial, Kontakte, Kabel

Aluminium: 2

0,35mm

mS ,

K

11077,3 3

20

, 2

6

20K

1103,1 Freileitungsmaterial

Konstantan: 2

2mm

mS ,

K

110003,0 3

20

Konstantan wird als Widerstandsdraht verwendet.

Wolfram: spezifischer Widerstand: ρ = 5,6 10-8 Ω∙m, α20 = 4,11 10

-3 K

-1, β20 = 9,62 10

-7 K

-2

Erdreich: m100 , Porzellan: m1010 , reines Wasser: m105,2 5

Anwendungsbeispiel: Eine 100 W Glühlampe wird mit der Spannung U = 230 V betrieben. Die Betriebstemperatur des Glühwendels beträgt 2020 °C Für die Leistung gilt: Der Warmwiderstand ist:

Für den Widerstand bei kaltem Glühwendel unmittelbar nach dem Einschalten gilt:

Anfangsleistung:

Die Anfangsleistung ist etwa das 13 fache der Nennleistung, was eine hohe Belastung der Schalter bezüglich der Einschaltleistung bedeutet.

2mm

m

mΩoder m

mm2

A

l

A

lR

1S1

20

20

0

2020 C20C201 RR

m

9-2

1017,8m

mm0178,0

2mm

m

56

RIR

UIUP 2

2

20

20

0

2020 C20C201 RR

20

20

0

20

20

20201 CC

RR

529100

230

100

230

100

230 222222

A

V

VA

V

W

V

P

UR

4,4008,13

529

848,322,81

529

20001

1062,9000.21

1011,41

529

22

2

73

20

KK

KK

R

kWWV

R

UPA 31,1309.1

4,40

230 22

20

2

- 7 -


1.6 Erdungswiderstände, Spannungstrichter, Sicherheitsregeln Bei der Gefährdung des Menschen durch elektrische Spannungen und Ströme spielt die Erdung der Anlagen zur Vermeidung gefährlicher Berührungsspannungen eine wichtige Rolle.

Eine einfache Berechnung des Erdungswiderstandes kann man aus der Ersatzvorstellung eines

Halbkugel-Erders ableiten: 22 r

dr

A

dldRE

E

E

r

r

r

r

Err

drR

1

22 2

rrR

E

E

11

2

F Für r→∞ folgt: E

Er

R

2

Beim Eintritt des Fehlerstromes an einem Erder tritt ein Spannungstrichter auf, dessen Gradient dem Abstand vom Erder umgekehrt proportional ist. Bei Lehmboden mit dem typischen spezifischen Widerstand von 100 Ωm ist dieser Spannungstrichter nach etwa 20 m weitgehend abgeklungen. Die Diagramme zeigen den Verlauf des Erdungswiderstandes und den Spannungstrichter für einen Erdstrom von 100 A und einem Erderradius von 1 m im Bereich bis 20 m bzw. bis 5 m Abstand.

Die gesamte Erdspannung an der Eintrittsstelle des Stromes beträgt rd.1.500 V. Die Schrittspannung bei 4 m Abstand beträgt noch rd. 200 V. Daher ist es wichtig, dass z.B. ein Baggerfahrer beim einem Kontakt des Gerätes mit spannungsführenden Leitungen (Kabel oder Freileitung) beim verlassen des Gerätes keinen Handkontakt zu dem Gerät hat, wenn er den Erdboden betritt, in möglichst kleinen Schritten, die Gefahrenstelle verläßt und diese gegen weiteres Betreten - bis zur Freischaltung der spannungsführenden Anlagen - absichert.

5 Sicherheitsregeln zu Arbeiten

in elektrischen Anlagen:

1. allpolig abschalten 2. gegen Wiedereinschalten sichern 3. auf Spannungsfreiheit prüfen 4. Erden und Kurzschließen 5. benachbarte, spannungsführende Teile abschranken.

Bei einer Körperdurchströmung mit einer Stromstärke ab 30 mA kann es zu Herzkammerflimmern mit der Folge von Herzstillstand kommen. Die Loslaßgrenze beschreibt das folgende Diagramm mit 99,5 % der Testpersonen für die obere Kurve und 0,5 % für die untere Kurve.

dr

r rE Erde mit dem spezifi-

schen Widerstand z.B. für Lehmboden:

m100

Erdschluss- strom

IE

Erdungswiderstand

0

4

8

12

16

0 5 10 15 20

Entfernung in m

Wid

ers

tan

d in

Oh

m

Normales EEG Herzkammerflimmern

Folgen der Körperdurch- strömung mit elektr. Strom: 1: Keine spürbare Reaktion 2. keine physiologisch gefährliche Wirkung 3. Muskelverkrampfungen, Atembeschwerden, reversibler Herzstillstand 4. Herzkammerflimmern, Herzstillstand, Atemstillstand, Verbrennungen.

Spannungstrichter

der Erderspannung

0

400

800

1200

1600

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Entfernung in m

Erd

ers

pan

nu

ng

in

V

rE

US

US: Schrittspannung

IE = 100 A, m100

rE = 1m

entspricht 3,12·1015

Elektronen/s

RE = 15,92 Ω Für rE =1 m, ρ =100 Ωm

Quelle: Gemeinschaftspraxis: Dr. Gabi Lätzsch, Dr. Christoph Tenholte Ärzte für Innere Medizin, EKG vom 10.4.2015: Helmut Alt, geb. 8.5.1941

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m

sA

m

V

m

WS

2

2. Gesetze im elektrischen Stromkreis 2.1 Zählpfeilsysteme

Je nach Anwendungsfall unterscheidet man zwischen dem Erzeuger - Zählpfeilsystem und dem

Verbraucher - Zählpfeilsystem. Bei der Darstellung von Spannungsquellen verwendet man das Erzeuger-Zählpfeilsystem, dabei ist der Wert des Stromes positiv, wenn der Strom entgegen der Spannungsrichtung fließt. Bei der Darstellung von Widerständen oder sonstigen Lasten verwendet man das Verbraucher-Zählpfeilsystem, dabei ist der Wert der Spannung positiv, wenn die Stromrichtung in Spannungsrichtung gerichtet ist. Negative Zahlenwerte der Ströme oder Spannungen bedeutet, dass die physikalische Richtung umgekehrt wie die festgelegte Pfeilrichtung ist. Der Energietransport und die Energietrans-portrichtung ist durch den Poyntingvektor bestimmt. Dieser gibt die Energieströmung im Feldraum des elektrischen und magnetischen Feldes in Ws/m

2 an. in der Einheit:

Bei der Anwendung der Maschen- und Knotenpunktsätze, ist es wichtig, dass die Zählpfeilsysteme auf beiden Seiten der Knotenpunkte korrespondieren, d.h. es muss ein einheitliches Zählpfeilsystem angewandt werden. Nebenstehende Schaltung mit einheitlichem Verbraucher-Zählpfeilsystem: An dem Knotenpunkt 1 ist die Summe der Ströme gleich Null, wenn I1 = - I2 ist. Im Verbraucher - Zählpfeilsystem liefert der Generator (Stromerzeuger) einen negativen Strom.

R

UI 2 , 0UU , 21 II , 2IUPR , RG PIUP 1

Die Summe aus erzeugter Leistung und Verbrauchsleistung ist gleich Null!

2.2 Ohmsches Gesetz Das ohmsche Gesetz wurde 1826 von Georg Simon Ohm (1789-1854)

experimentell gefunden und formuliert: Die Spannung

an einem konstanten Widerstand ist dem Strom proportional.

2.3 Erstes und zweites Kirchhoffsches Gesetze Die Kirchhoffschen Gesetze wurden 1854 von Gustav Robert Kirchhoff formuliert. Erstes Kirchhoffsches Gesetz: In jedem Knotenpunkt eines elektrischen

Netzwerkes ist die Summe aller Ströme gleich Null (Knotenregel).

Zweites Kirchhoffsches Gesetz: In jedem elektrischen Netzwerk ist die Summe aller, in einer geschlossenen Masche auftretenden Spannungen gleich Null (Maschenregel).

2.4 Leistung und Arbeit Die elektrische Leistung P ergibt sich aus dem Produkt von Spannung U und Strom I:

wobei für die Einheiten gilt: 1 VA = 1 W (Watt) 1 W = 1 N·m/s Die elektrische Arbeit (Energie) W ergibt sich aus dem Produkt von Leistung und der Zeit, in der diese Leistung in konstanter Weise wirksam ist:

wobei gilt: 1 Ws = 1 Nm. Bei zeitlich wechselnder Leistung gilt: Eine in der Energiewirtschaft wichtige Kenngröße ist

die Benutzungsdauer mT der Maximalleistung:

2.5 Systembedingte Stromkosten für die Bereitstellung von Leistung und Arbeit Bei der Anwendung elektrischer Energie zum Zweck der Ermöglichung oder Erleichterung physika-lisch technischer Prozesse mechanischer, wärmetechnischer oder informationstechnischer Art mit-

tels „Strom“ muss angepasste Leistung verfügbar sein, die Fixkosten verursacht und über die Nut-

zungsdauer infolge des Verbrauches von Primärenergie zusätzlich variable Kosten erfordert.

Für die häusliche Stromversorgung sei eine Leistung von Pmax = 4 kW und ein Jahresenergiebedarf in Form von elektrischer Energie von WJ = 4.000 kWh erforderlich. Die elektrische Leistung erforde-re Fixkosten von pL = 100 €/kW, die elektrische Arbeit erfordere Brennstoffkosten pA = 4 ct/kWh. Die systembedingten Stromkosten sind: = (400 + 160) € = 560 € .

Spezifische Durchschnittskosten:

I

U0 G = U

R

I

I2

U0 G = U R

I1 1

2

01

n

k

kI

01

n

k

kU

RIR

UIUP 2

2

TPW ttpW

t

t

d 2

1

AJL pWPpK max

kWhctkWhcth

kWp

T

p

W

Kp A

m

L

J

///€

1441000

100

H x ES

RIU

maxP

WTm

http://de.wikipedia.org/wiki/Maschensatz

- 9 -


2.6 Stromtarifbedingte Stromkosten eines Haushaltskunden Man erkennt, dass die systembedingten Stromkosten nur etwa die Hälfte der tatsächlich zu zahlen-den Stromkosten ausmachen. Die tatsächlichen Stromkosten sind daher zu etwa der Hälfte durch staatliche Abgaben bestimmt, deren Höhe nicht den Unternehmen, sondern dem Gesetzgeber anzu-lasten sind. Dies wird bei Diskussionen um den Strompreis sehr oft missachtet.

Seit der Strommarktliberalisierung im Jahr 1998 wurde nach den EU-Rechtsvorgaben bestimmt, dass in der öffentlichen Stromversorgung bei allen Mitgliedstaaten das Prinzip des „Unbundling“ ge-setzlich verankert werden muss. Demnach müssen die Bereiche Stromerzeugung, Stromübertra-gung sowie Stromverteilung und der Stromvertrieb unternehmerisch getrennt sein müssen. Dies hat bei den bis dahin integrierten Versorgungsunternehmen zu einer unternehmerischen Verselbststän-digung dieser drei Bereiche in eigenständige AG`s oder GmbH`s geführt, die dann bei den Groß-konzernen und Stadtwerken in einer Holding wieder bilanziell zusammengeführt werden.

Für die Bereiche Stromerzeugung und Stromvertrieb gelten die wettbewerbsgesetzlichen Bestim-mungen. Für den Stromnetzbereich, der sich aufgliedert in den Bereich der Übertragungsnetze auf der Höchstspannungsebene (400 und 220 kV Netzebenen) und dem Bereich der Stromverteilung auf den Netzebenen Hochspannung (110 kV), Mittelspannung (10 oder 20) kV und Niederspannung (0,4 kV) gelten Monopolrechte, deren diskriminierungsfreie Ausführung und Preisgestaltung für die Netznutzung der Genehmigung durch die Bundesnetzagentur (BNA) in Bonn unterliegen.

Aus dem vorstehenden Kuchendiagramm des Bundesverbandes der Energie- und Wasserwirtschaft e.V. (BDEW) ist für einen statischen Durchschnitts-Haushaltskunden mit 3.500 kWh Jahresabnahme bezüglich der Strom-kosten zu entnehmen, dass der von der BNA genehmigte Netzkos-tenanteil etwa gleich groß ist, wie der dem Wettbewerb entstam-mende Stromerzeu-gungsanteil einschließ-lich den Vertriebskos-ten. Im Jahr 2016 betrug die EEG – Umlage 6,354 ct/kWh mit Umlage-kosten von 22,88 Mrd. € bei weiter steigender Tendenz.

Durchschnittliche Zusammensetzung des Strompreises für einen Musterhaushalt in Deutschland mit einem Verbrauch von 3.500 kWh/Jahr (Stand 2013)

Durchschnittlicher Strompreis: 28,50 ct/kWh

Quelle: BDEW Strompreisanalyse Januar 2013

2016: 22,9 Mrd. €

- 10 -


2.7 Bruttostromerzeugung in Deutschland (Quelle: BDEW-Energie-Info 18.02.2016)

Bruttostromerzeugung in Deutschland im Jahr 2014: 627,8 Mrd. kWh = 627,8 TWh Prozentuale Aufteilung nach Energieträger: Bruttostromerzeugung in Deutschland im Jahr 2015: 651,8 Mrd. kWh = 651,8 TWh Stromerzeugung aus Onshore Windenergieanlagen (2014: 55,9 TWh): Jahresvollaststunden:

- 11 -


0

0

0

0

111

3

2

1

32

21 E

I

I

I

RR

RR

3. Berechnung elektrischer Netzwerke 3.1 Quellenarten: Spannungs- und Stromquellen, Leistungsanpassung Bei den Quellen unterscheidet man zwischen Spannungsquellen und Stromquellen. Spannungsquellen verwendet man in der Energietechnik, weil dort der Innenwiderstand Ri sehr viel kleiner als der Lastwiderstand ist, so dass die Spannung der Quelle an den äußeren Klemmen fast unabhängig von der Belastung ist. Es gilt: Ri << RLast. Stromquellen verwendet man in der Informationstechnik, weil dort der Innenwiderstand Ri sehr viel größer als der Lastwiderstand ist, so dass der Strom an den äußeren Klemmen fast gleich dem Kurzschlussstrom ist und der Kurzschlussstrom als fast eingeprägter Strom und Träger der Informa-tion an den Klemmen der Quelle wirksam ist. Es gilt: Gi << GLast.

Für maximale Leistungsabgabe einer Quelle gilt: Rv = Ri

Wirkungsgrad für maximale Leistungsabgabe (Rv = Ri):

Für RV = 100 ∙Ri gilt:

3.2 Strom- und Spannungsberechnung elektrischer Netzwerke Bei elektrischen Netzwerken handelt es sich um lineare Systeme deren Berechnung der Ströme und Spannungen so viele linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind wie unbekannte Ströme vor-handen sind. Diese Gleichungen entstammen den möglichen Maschengleichungen und Konten-punktgleichungen des vorhandenen Systems.

Einiges Grundsätzliche zur Topologie von Netzwerken: Ein beliebiges - aus Zweipolen - zusammengesetztes Netzwerk besteht aus k Knoten und z Zweige. Daher sind z unbekannte Ströme zu berechnen, für die man z linear unabhängige Gleichungen be-nötigt. Für die k Knoten lassen sich k-1 unabhängige Knotenpunktgleichungen mit den Zweigströ-men aufstellen. Die dann noch z-(k-1) fehlenden Gleichungen müssen in Form von Maschenglei-chungen hinzugefügt werden.

Mit dem Aufsuchen eines vollständigen Baumes in dem Netzwerk, der zwar alle Knoten miteinander verbindet, aber keine geschlossene Masche bildet, kann man die Zahl der notwendigen Gleichungen von z auf z-k+1 verringern. Die Ströme in den z-k+1 Zweigen, die allesamt nicht Baumzweige sind, sind dann unmittelbar identisch mit den für diese z-k+1 Maschen definierten Maschenströme.

Es gibt viele Verfahren, um zu der Lösung zu gelangen, die sich durch den mehr oder weniger gro-ßen Rechenaufwand voneinander unterscheiden. Dies soll an den nachfolgenden Beispielen aufge-zeigt werden:

a) Aufstellung von z linear unabhängigen Gleichungen

für die z unbekannten Ströme in einem Netzwerk

mit z = 3 Zweige: Maschengleichung 1): E = I1 R1 +I2 R2 Maschengleichung 2): -I2 R2 +I3 R3 = 0 Knotenpunktgleichung: I1 = I2+I3

Beispiel: U=12V, R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, Lösung: I1 = 5,45 A, I2 = 3,27 A, I3 = 2,18 A.

Die Matrizengleichung für die unbekannten Ströme I1, I2 Und I3 hat drei Zeilen und drei Spalten:

Knotenpunkt-Gleichung: 0321 III

Maschengleichung Gl. 1): ERIRI 2211

Maschengleichung Gl. 2): 03322 RIRI

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E M1

M2

Ri

Rv

I

U0 Uv = Gi Rv

I

Uv = Ik v

v

vi R

U

RR

UI

0

vi URIU 0

v

v

i

kv RI

RG

IU

1

i

iR

G1

IGUI ivk

%502

1

0

0

00

2

U

RRR

U

U

RI

IU

RI

P

Pv

Vivv

auf

ab

%1001

100100

0

0

00

2

U

RRR

U

U

RI

IU

RI

P

Pi

iivv

auf

ab

- 12 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

0

12

0

320

021

111

3

2

1

I

I

I

8

12

0

3

1100

130

111

3

2

1

I

I

I

0

12

0

320

130

111

3

2

1

I

I

I

Diese Systemmatrix ist z.B. mit Gauss-Jordan Elimination zu lösen:

b) Ein zweiter Lösungsweg wäre der über die Netzumwandlung: Durch Zusammenfassung der beiden Parallelwiderstände lässt sich der Strom I1 sofort bestimmen:

32

312

RR

RII

,

32

213

RR

RII

oder (Probe) 213 III

c) Lösung nach dem Maschenstromverfahren: In dem Netzwerk ist ein Baum zu suchen, der alle Knotenpunkte erfasst und nur noch Verbindungszweige übrig lässt. Ein solcher Baum mit nur einem Baumzweig sind die Anschlusspunkte des Widerstandes R2. Daher ist I1 = IM1 und I3 = IM3 sowie I2 = IM1 – IM2 Das Netzwerk besteht aus drei Zweige und zwei Knoten, so dass sich die zuvor angewandten drei Gleichungen (zwei Maschengleichungen und eine Knotengleichung) zum Ziel der Berech- nung aller Ströme führen. Bei Anwendung des Maschenstromverfahrens genügen aber z-k+1= 3-2+1 = 2 Gleichungen, um das gleiche Ziel zu erreichen. Damit ergeben sich aus zwei Maschen- gleichungen die beiden Ströme in den Verbindungszweigen zu:

M1): ERIRRI 23211

M2): 021323 RIRRI

Die erste Zeile wird mit 3

2 multipliziert und zur zweiten Zeile addiert: AAAI 182

11

383 ,

Somit ergibt sich die Lösung aus nur zwei Gleichungen für die beiden unbekannten Ströme I1 und I3.

Beispiel eines Netzwerkes mit 6 Zweige und 4 Knoten, d.h.

z-k+1 = 6-4+1 = 3 Maschen und drei Baumzweige:

Der Baum des Netzes wir hier durch den inneren Stern gebildet. Es lassen sich somit drei Maschengleichungen der Maschen mit je einem Verbindungszweig und den übrigen Baumzweigen formulieren:

M1): IM1 (R1+R2+R4) – IM2 R2 – IM3 R4 = 0

M2): -IM1 R2 + IM2 (R2 +R3+R5) – IM3 R5 = 0

M3): -IM1 R4 – IM2 R5 + IM3 (R4+R5) = E, mit: I1 = IM1, I3 = IM2, I0 = IM3

Dies sind drei unabhängige Gleichungen für die drei unbekannten Maschenströme IM1, IM2 und IM3

Mit den Werten R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 30 Ω, R4 = 40 Ω, R5 = 50 Ω, E = 100 V, ergibt sich das folgende Gleichungssystem (Aus Platzgründen wir auf die Mitnahme der Einheiten in der Matrix-schreibweise verzichtet, alle Werte in der 3er Matrix in Ω, in der 1er Matrix der rechten Seite in V, in der 1er Ergebnismatrix in A):

100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

69,3

40,2

79,2

I

I

I

I

I

I

M

M

M

Die Ströme in den Baumzweigen sind aus den Zweigströmen zu ermitteln:

AAIII 39,040,279,2312 ,

AAIII 90,079,269,3104

AAIII 29,169,340,2035

AVV

RR

RRR

EI 455

5

61

12

32

321

12

32

321

1 ,

2. Zeile- 1. Zeile

3. Zeile+ 2/3 2.Zeile

8

3

113 I A18,28

11

33 I

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 13 -


ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0

Alternative Berechnung: Das Netzwerk mit z = 6 Zweige und 4 Knoten erfordert 6 Gleichungen, davon k-1 = 4-1 = 3 Knoten-

gleichungen und z-k+1 = 3 Maschengleichungen für die 6 unbekannten Ströme I0 bis I5:

Knotengleichung KP1:



Maschengleichung M1:



In Matrizenschreibweise folgt für die 6 Gleichungen für die unbekannten Ströme I0 bis I5:

EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

:2

:1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

69,3

29,1

90,0

40,2

39,0

79,2

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1

Neben dem Maschenstromverfahren, bei dem ausschließlich Maschengleichungen zur Lösung füh-ren, kann man auch den Lösungsweg ausschließlich über k-1 Knotengleichungen beschreiten. Die-ses Verfahren nennt man das Knotenpotenzialverfahren. Es wird besonders vorteilhaft in der elektri-schen Energietechnik angewandt um die Potenziale aller Netzknoten und daraus den Lastfluss zu ermitteln.

d) Verfahren der Ersatzspannungsquelle

Das Verfahren der Ersatzspannungsquelle ist in der Praxis oft in sehr vorteilhafter Weise anzuwenden.

Hierzu möge das folgende Beispiel eines Netzwerkes mit zwei Spannungsquellen und drei Widerständen dienen: Uq1 = 20 V, Uq2 = 10 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 30 Ω

Gegebene Schaltung zur Berechnung des Stromes I3:

Ersatzspannungs-

quelle:

Es müssen der Innenwiderstand Ri und die Leerlaufspannung U0 bestimmt werden:

Beide Spannungsquellen kurzgeschlossen:

67,6

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi

Bestimmung der Leerlaufspannung: 012211 qq UURRI

A333,0A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

16,67VV10333,0201110 RIUU q

A45,0306,67

V67,16

3

03

RR

UI

i

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2

I1 I2 Knoten- punkt 1

R3 Ri

Ri

U0 U0

=

- 14 -


Nun sei Uq2 mit umgekehrter Polarität Uq2 = -Uq2,vorher = 10 V angenommen. Gegebene Schaltung zur Berechnung des Stromes I3: Bei dieser Variante ist die Spannung Uq2 mit umgekehrter Polung angenommen:

012211 qq UURRI

A0,1A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V100,1201110 RIUU q

A27,0306,67

V10

3

03

RR

UI

i

e) Überlagerungsverfahren Nach diesem Verfahren werden der Reihe nach - bis auf eine -, alle anderen Spannungsquellen kurzgeschlossen betrachtet (deren Innenwiderstand bleibt jedoch wirksam) und so alle Ströme I`, I``, I``` bestimmt und der resultierende Gesamtstrom durch vorzeichenrichtige Addition berechnet.

f) Wheatstone`sche Brückenschaltung

Wenn bei Netzwerken mit mehreren ohmschen Widerständen zwischen bestimmten Netzwerkpunkten gleiches Potenzial besteht, können Widerstände zwischen diesen potenzialgleichen Punkten unbeachtet bleiben.

Dies ist z.B. bei nebenstehendem Netzwerk der Fall, wenn gilt:

3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R

Dann ist: I1 = I2 = 3 A und I3 = I4 = 0,75 A, U1 = U3 = 30 V und U2 = U4 = 90 V.

Somit muss U5 = 0 V sein, so dass der Widerstand R5 beliebige Werte annehmen kann, ohne das sich die Stromverteilung ändert, weil sich die Brücke im abgeglichenen Zustand befindet.

Daraus lässt sich ein nützliches Messprinzip zur Bestimmung von Widerständen herleiten, indem man an Stelle von R1 den unbekannten Widerstand einsetzt, an Stelle von R2 einen temperatur- unabhängigen, exakt bekannten Normalwiderstand und an Stelle von R3 und R4 einen von Null bis Unendlich skalierten Schiebewiderstand einsetzt. An Stelle des Widerstandes R5 fügt man eine empfindlichen Spannungsmesser ein, der mit dem Schieberwiderstand auf Null Volt abgeglichen wird (Nullvoltmeter), d.h. die Brücke ist dann abgeglichen.

Eine solche Messeinrichtung nennt man eine Wheatstone`sche Brücke. Sie wurde 1833 von dem Engländer Samuel Hunter Christie (1784 - 1865) erfunden, jedoch nach dem britischen Physiker Sir Charles Wheatstone benannt, der ihre Bedeutung erkannte und ihre Verbreitung förderte. Aufbau einer Wheatsonschen Brücke zur Widerstandsmessung:

Dies ist die Schaltung einer Wheatstone`sche Brücke zur Widerstandsmessung: Der unbekannte zu messende Widerstand sei Rx . Hier im Beispiel soll Rx = R1 = 10 Ω sein.

R ist der temperaturstabilisierte Normalwiderstand, mit dem Wert R = R2 = RN = 30 Ω, R3 und R4 wird durch einen Widerstand mit einem Schieberabgriff gebildet.

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

http://de.wikipedia.org/wiki/Charles_Wheatstone

- 15 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 0,5 1x

U2 in

% v

on

U1

Leerlauf a > 100

a = 1

a = 0,1

R3+R4 = RSchieber =160 Ω, Bei der Schieberstellung 750160

1204

21

2 ,

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 0,25 0,5 0,75 1

Rx in Ω 0 10 30 90

Durch entsprechende Wahl des Normalwiderstandes kann man den Messbereich beinflussen, bzw. den Widerstandswert bei der Mittelstellung des Schiebers festlegen.

3.3 Spannungsteiler: Der Spannungsteiler bietet eine einfache schaltungstechnische Möglichkeit, um aus einer hohe Spannung mittels eines kontinuierlich verstellbaren Widerstandsabgriffes eine kleinere kontinuierlich einstellbare Spannung verfügbar zu machen. Ohne Last gilt ( RL = ∞):

R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202

Mit Lastwiderstand RL gilt:

L

L

RR

RRR

UI

2

21

1 mit: RaRRxRRRRxR L ,)1(, 212 gilt:

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11

Der Quotient der Spannung U2 mit Last zu der Leerlaufspannung U20 ergibt sich zu:

)1(20

2

xxa

a

U

U

Dieser Quotient ist gleich 1 für x = 0 und x = 1 und gleich 1 für a → ∞ (Leerlauf).

Das Maximum findet sich, wenn man das Differenzial gleich Null setzt:

01

12

20

2

)]([

])[(

xxa

axx

da

U

Ud

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

xa

UxaR

Rxa

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω

Stellung des Spannungsabgriffs x = 0 x = 1

- 16 -


Uq =

02120

2

xda

U

Ud

Daraus folgt x = 1/2

Dann ergibt sich U2 zu: Für a = 0,1 ergibt sich:

Allgemein gilt für die Spannung unter Last mit R2 = a · R : )1(

12xxa

xaUU

Nachteil des Spannungsteilers sind die hohen Verluste und die zunehmende Nichtlinearität, wenn a = R2/R < 1 wird. Für a > 100 ist die Linearität praktisch perfekt gegeben, d.h. RLast >> R des Spannungsteilers, aber die Verluste sind mit U

2/R dauernd wirksam.

3.4 Ideale und reale Spannungs- und Stromquellen

Ideale Quellen: Eine Quelle elektrischer Energie, die unabhängig von der Belastung an ihren Klemmen eine kon-

stante Spannung - die Klemmenspannung Uq - aufweist, wird ideale Spannungsquelle genannt. Gibt sie unabhängig von der Belastung einen konstanten Strom ab - den Quellenstrom Iq -, nennt man sie

eine ideale Stromquelle. Schaltzeichen: Spannungsquelle, Kennlinie, Stromquelle, Kennlinie oder oder

Lineare Quellen, reale Quellen: Unter einer linearen Quelle versteht man eine ideale Quelle mit einem strom- und spannungsunab-hängigen wirksamen Innenwiderstand Ri. Dies entspricht auch im zulässigen Arbeitsbereich den meisten realen Quellen. Man unterscheidet zwischen einer Spannungsquelle mit konstanter Leer-laufspannung U0 = Uq und einer Stromquelle mit konstantem Kurzschlussstrom Ik = Iq.

Ik = U0 / Ri U0 = Ik / Gi

Ersatzspannungsquelle Ersatzstromquelle

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle: Ein beliebiges lineares Widerstandsnetzwerk mit beliebig vielen linearen Quellen kann in Bezug auf ein Klemmenpaar durch eine Ersatzspannungsquelle oder durch eine Ersatzstromquelle ersetzt werden. Hierzu stellt man an dem Klemmenpaar die Leerlaufspannung z.B. durch Messung oder Rechnung fest und ermittelt durch Messung oder Rechnung den Innenwiderstand oder den Kurz-schlussstrom. Den Innenwiderstand Ri erkennt man, wenn man von dem Klemmenpaar aus in die gegeben Schaltung hinein blickt und als Spannungsquellen als kurzgeschlossen und alle Stromquel-len als Stromkreisunterbrechung betrachtet.

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ik

U0

U

I 0 0

Arbeitsgerade des Lastwiderstands

Energie- technik

Nachrichten- technik

Schweiß- technik

14014

2

41

2

1

20

2

aa

a

a

a

U

Ufür,

max

11112 40405

2

14

2UUUU

a

aU von%,

11112 29141429041

20

14

2UUUU

a

aU von%,,

,

,

- 17 -


NPN PNP

Das nachfolgende Diagramm zeigt die Arbeitskennlinien einer Spannungs- und Strom-Quelle mit 12 V Leerlaufspannung,1 Ω Innenwiderstand und 12 A Kurzschlussstrom mit den Arbeitskennlinien für Lastwiderstände von 100 Ω bis hinunter zu 1 Ω.

Jede reale Quelle kann nur eine bestimmte maximale Leistung abgeben, die durch den Innenwider-stand der Quelle bestimmt ist. Den Betrieb einer Quelle mit der maximal möglichen Leistung nennt man Leistungsanpassung. Diese wird erreicht, wenn der Abschlusswiderstand gleich dem Innenwi-derstand ist. Der Wirkungsgrad der Energieübertragung ist dann allerdings nur 50 %, also sehr schlecht.

Daher wird dieser Betrieb in der Energietechnik nicht angewandt, vielmehr strebt man dort Ra >> Ri an, damit der Wirkungsgrad nahe bei 100 % bleibt. Dies ergibt im Kurzschlussfall aber hohe Kurz-schlussströme, die Sicherungen erforderlich machen.

Wohl aber wird dieser Betrieb in der Nachrichtentechnik angestrebt, wo es darauf ankommt, die niedrige Leistung des Senders zumindest zu 50 % beim Empfänger nutzbar werden zu lassen z.B. ein Verstärkerausgang 5 Ω, erfordert bei Leistungsanpassung einen Lautsprecherwiderstand von 5 Ω:

00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit ai RR

UI

0 folgt: %501

ai

i

RR

R

3.5 Transistor - Grundschaltungen Ein Transistor ist ein Halbleiterbauelement, auf Silizium, Germanium oder Mischkristallbasis. Die Bezeichnung Transistor ist aus seiner Funktion abgeleitet. Bei einer Widerstandsänderung in einer Halbleiterschicht wird auch der Widerstand in der anderen Schicht beeinflusst. Aus "transfer resistor" wurde die Bezeichnung Transistor. Transistoren werden überwiegend als elektronische Schalter oder Verstärker eingesetzt. Es gibt bipolare und unipolare Transistoren, die auch als Feldef-fekttransistoren bezeichnet werden.

Aufbau des bipolaren Transistors Bipolare Transistoren bestehen aus drei dünnen Halbleiter-schichten, die übereinan-der gelegt sind. Man unterscheidet zwischen einer npn- oder pnp-Schichtenfolge. Die mittlere Schicht ist im Vergleich zu den beiden anderen Schichten sehr dünn. Die Schichten sind mit metallischen Anschlüssen versehen, die aus dem Gehäuse her-ausführen. Die Außenschichten des bipolaren Transistors werden Kollektor (C) und Emitter (E) genannt. Die mittlere Schicht hat die Bezeichnung Basis (B) und ist die Steuerelektrode oder auch der Steuereingang des Transistors.

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Arbeitskennlinie einer Spannungsquelle

0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 18 -


Emitterschaltung: Vierquadranten Kennlinienfeld eines NPN-

Transistors in Emitter-Schaltung.

Die Emitterschaltung ergibt einen invertierender Verstärker mit hoher Spannungs- und Stromverstär-kung und hoher Leistungsverstärkung. Die Gleichstrom-Gegenkopplung bewirkt eine Arbeitspunkt-Stabilisierung, die Kapazitäten C1 und C2 bewirken die gleichstromseitige Entkopplung.

Kollektorschaltung: Basisschaltung:

Die Kollektorschaltung ergibt einen nicht inver-tierender Verstärker, nur Stromverstärkung und Leistungsverstärkung, hohe Eingangs-, niedrige Ausgangsimpedanz, hohe Linearität, Emitterfolger, Impedanzwand-ler, C1,C2 zur gleichstromseitigen Entkopp-lung.

Die Basisschaltung ergibt einen nicht invertie-render Verstärker, nur Spannungsverstärkung und Leistungsverstärkung, Eingangswiderstand reB = rBE = reE, Ausgangswiderstand ungefähr gleich Rc, Ausgangsspannung und Eingangsspannung sind phasengleich. Der Emitter-Widerstand RE

hat die Aufgabe der Gleichstromgegenkopp-lung. Die Stromverstärkung ist < 1, hohe obe-

re Grenzfrequenz foB = ß∙foE

Berechnungsbeispiel zur Dimensionierung der Emitter-Schaltung als Kleinsignal-

Verstärkerschaltung: Betriebsdaten der Schaltung: U0 = 20 V, IC = 50 mA, UCE = 9 V, UBE = 0,75 V, Untere Grenzfrequenz: fu = 30 Hz, Transistordaten: rCE = 10 kΩ, rBE = 2 kΩ, B = ß = 200. Gesucht wird: RC, R1, R2, RE,C1, C2, vu = ?

180

50

2010920

mA

V

I

UUUR

C

RECEBC

,

k

mA

V

II

UUUR

Bq

REBEB 276752

2750201 ,

,

,

C

UBE E

B UCE

U0

RE

1 CE

RC

1 R1

1

R2

1

C2

C1

Ua

1 Ue

1

Ib+Iq

1

Ib

1

IC

C

1

IE

1

Iq

1

C

UBE E

B UCE

U0

R1

1

R2

1

C2

C1

Ua

1

Ue

1

Ib+Iq

1

Ib

1

IC

C

1

IE = IC+Ib

1

Iq

1

RE

1 C2 R2

1

UBE

UCE

U0

RE

1

RC

1 R1

1

C3 C

E

B

C1

Ua

1 Ue

1

IC

C

1 IE

1

- 19 -


k

mA

V

I

UUR

q

REBE 1152

27502 ,

,

,,

40

50

2010

mA

V

I

UR

E

REE

,

VVUU BRE 2201010 ,,

mAmA

B

II CB 250

200

50, , mAmAII Bq 522501010 ,,

8604020211276121 kkkRßrRRRr EBEE ,,

180Ca Rr

F

s

rfC

Eu

16

8601

302

1

2

11 ,

, F

s

rfC

au

429

1801

302

1

2

12 ,

5440

180,

E

Cu

R

Rv

Die maximale Ausgangswechselspannung beträgt ua,ss = 14 V Die maximale Eingangswechselspannung beträgt ue,ss = 3,1 V

4. Elektrische und magnetische Felder, der magnetische Kreis 4.1 Dualität elektrischer und magnetischer Feldgrößen

Elektrische Größen Magnetische Größen Elektrische Ladung Q in As: Magnetischer Fluss in Vs:

ADQ AB

Elektrische Flussdichte D in As/m2: Magnetische Flussdichte B in Vs/m

2:

ED HB

Elektrische Feldstärke E in V/m: Magnetische Feldstärke H in A/m:

l

UE

ll

wIH

Permittivität r 0 in As/(Vm) Permeabilität r 0 in Vs/(Am)

Elektrischer Strom I in A: Magnetischer Fluss in Vs:

UGI

Elektrische Spannung U in V: Magnetische Spannung Vm in A:

RIU lHVm

Elektrischer Widerstand in Ω: Magnetischer Widerstand Rm in H-1:

GA

lR

1

1

A

lR m

m

Kapazität C in F = As/V: Induktivität L in H = Vs/A:

d

AC

ml

AwwL

22

elektrische Energiespeicherung: magnetische Energiespeicherung:

2

2

1UCW

2

2

1ILW

4.2 Durchflutungsgesetz (1. Maxwellsche Gleichung) Das Umlaufintegral des Skalarproduktes aus dem Vektor der magnetischen Feldstärke und dem Vektor des Wegelements ds ist gleich der umschlossenen Durchflutung des Stromes:

AA

AdDdt

dAdJsdH

, dsH lHwI ,

A

AdJsdH

für Gleichstrom

Magnetisches Feld und Kraftwirkung in der Umgebung stromdurchflossener Leiter Mit dem Durchflutungsgesetz gilt im Raumbereich außerhalb des Leiters für die magnetische Feld-stärke H des stromdurchflossenen Leiters mit dem Radius r0, der den Strom I führt, für die magneti-

- 20 -


sche Feldstärke H: r

IrHa

2 für r > r0 d.h. außerhalb des Leiters. Innerhalb des Leiters wird

von dem konzentrischen Umlauf bei 0rr und homogener Stromverteilung über den Querschnitt

des Leiters nur ein Teil I` des Stromes erfasst: 2

0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r Damit gilt für die Feldstärke im

inneren Bereich des Leiters: für r < r0

Für die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im magnetischen Feld gilt: BlIF

x

Mit: HB

0 folgt für die Kraft F: HlIF

x 0

Für eine parallel verlaufende Leiterschleife mit 10 mm Leitungsdurchmesser und dem Mittenab-stand von 50 mm, die von einem Strom I = 100 A durchflossen wird, ergibt sich für die magnetische Feldstärke der Leitung L2 am Ort der Leitung L1 zu:

m

A

mm

A,

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

Bezogen auf die Längeneinheit wird auf die Leitung L1 eine Kraft ausgeübt:

m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F04,004,0318104100

2

7

Die magnetische Feldstärke H(r) erreicht hat am Umfang des Leiters ein Maximum und klingt außerhalb des Leiters mit 1/r ab.

Feldbild der Hin- und Rückleitung einer Leiterschleife (H1: blau, H2: grün, H1+H2: rot):

Feldbild von 2 parallelen Leitungen, die gleichsinnig von Strom durchflossen sind:

Magnetische Feldstärke in der

Umgebung einer Leiterschleife

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

A/m

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung:

F = 0,04 N/m

L1 F2 F1 L2

Magnetische Feldstärke in der

Umgebung einer Leiterschleife

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

A/m

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung:

F = 0,04 N/m

L1 L2

F2

F1

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

2

02 r

rIrH i

- 21 -


4.3 Induktionsgesetz (2. Maxwellsche Gleichung) Die elektromagnetische Induktion wurde 1831 von Michael Faraday bei dem Bemühen entdeckt, die Funktionsweise eines Elektromagneten („Strom erzeugt Magnetfeld“) umzukehren („Magnetfeld er-zeugt Strom“). Dabei entdeckte er folgende Gesetzmäßigkeit: Wird eine Spule mit der Windungszahl w von einem zeitlich sich ändernden magnetischen Fluss Φ durchsetzt , so wird in der Spule eine Spannung ui induziert, die der Ursache ihrer Entstehung entgegengerichtet ist: Da ein zeitlich sich änderndes magnetisches Feld stets ein elektrisches Feld bewirkt (und umge-kehrt) spricht man von einem elektromagnetischen Feld. Das Induktionsgesetz entstammt der zwei-ten der vier Maxwellschen Gleichungen. Die Induktionswirkung wird technisch vor allem bei elektri-schen Maschinen wie Generatoren, Elektromotoren und Transformatoren genutzt. Bei diesen An-wendungen treten stets Wechselspannungen auf.

Die dritte Maxwellsche Gleichung beschreibt das elektrische Feld als Quellenfeld: QAdDA

Die vierte Maxwellsche Gleichung beschreibt das magnetische Feld als Wirbelfeld: 0A

AdB

Wird eine Leiterschleife der Breite h längs der Koordinate x in ein magnetischen Feld hinein bewegt,

so gilt mit: xhBAB für die induzierte Spannung:

dt

dvhB

dt

dxhBui

Die induzierte Spannung ist der Geschwindigkeit der Fluss-

änderung proportional und der Ursache ihrer Wirkung entgegengesetzt gerichtet (analog der Träg-heitskraft). Beispiel: Die Kupferstäbe des Läufers einer Asynchronmaschine sind h = 15 cm lang. Der Läufer hat einen Durchmesser von 20 cm und arbeitet im Nennbetrieb mit 1.450 min

-1. Die magnetische Induktion im

Luftspalt der Maschine beträgt 1 T. Welche Spannung wird in den Stäben beim Anlauf und im Nenn-betrieb induziert? Die Netzfrequenz sei 50 Hz, die Maschine hat 4 Pole. Die relative Umfangsgeschwindigkeit der Stäbe beim Anfahren zum rotierenden Drehfeld ist:

s

m

smnrvU 71,15

60

15001,022

Die induzierte Spannung ist: Vs

mm

m

Vsu 36,271,1515,01

2

Die relative Umfangsgeschwindigkeit der Stäbe im Nennbetrieb ist:

(1500-1.450) min-1= 50 min

-1.

s

m

smnrvU 52,0

60

501,022

Die induzierte Spannung ist nun nur noch: Vs

mm

m

Vsu 078,052,015,01

2

4.4 Kraftgesetz stromdurchflossener Leiter oder bewegter Ladung im Magnetfeld Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld der Stärke B, so wird auf den Lei-ter eine Kraft (Lorentzkraft) in der Richtung ausgeübt, so dass die Ursache der Wechselwirkung zwi-schen dem Magnetfeld des Leiters und dem Magnetfeld des Bereiches gemindert wird.

BlIF

x anlog gilt für bewegte Ladung: BvQF

x

Stehen der Leiter senkrecht zu dem magnetischen Feld, so gilt für die Kraft F senkrecht zu Kreuzprodukt:

BlIF BvQF

Die Kraft F ist gleich dem Strom mal der Länge l des Leiters

in der Wechselwirkungszone mal mag. Induktion B. Beispiel: Zwei Leiter sind im Abstand von 10 cm von einem Strom mit 100 A belastet welche Kraft

wirkt je Meter Leitungslänge? Die magnetische Feldstärke am Ort der zweiten Leitung ist:

m

A

m

A

r

IH 2,159

1,02

100

2

,

2

47

0 1022,159104m

Vs

m

A

Am

VsHB

dt

dwui

F

l

B

A

AdBdt

dsdE

N

S

v ui

B h

Induktionsgesetz angewandt auf eine Leiterschleife im magnetischen Feld:

N

S

X F

B

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnet

http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwellsche_Gleichungen

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Maschine

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Maschine

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrischer_Generator

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektromotor

http://de.wikipedia.org/wiki/Transformator

http://de.wikipedia.org/wiki/Wechselspannung

- 22 -


r 0

7,3760

0

WZ

s

mc 8

00

10998,21

Für die Kraft je m gilt: Nm

Nm

m

Ws

m

VsmAF 02,002,002,01021100

2

4

ist die magnetische Feldkonstante (Permeabilität) des magnetischen Kreises r 0

0 ist die absolute Permeabilität und gilt für Luft mit: 0 = 4 10-7 H/m (1H/m = 1 Ωs/m)

r ist die relative Permeabiltät

ist die elektrische Feldkonstante (Permittvität) im elektrischen Feldbereich

0 ist die absolute Dielektrizitätskonstante und gilt für Luft mit: 0 = 8,854 10-12

F/m

(1F/m = 1 s/Ωm)

r ist die relative Dielektrizitätskonstante

Die elektrische und magnetische Feldkonstante ist mit der Lichtgeschwindigkeit c verknüpft:

Der Quotient aus der absoluten Permeabilität 0 und der absoluten Dielektrizitätskonstanten 0 ist

auch maßgebend für den Wellenwiderstand des leeren Raumes, der in der Hochfrequenztechnik für die Signalübertragung mittels elektromagnetischer Wellen von großer Bedeutung ist: Die elektrische Feldkraft (Coulombkraft) wirkt in Richtung der elektrischen Feldstärke und eignet sich daher zur Beschleunigung von Ladungsträgern:

Die magnetische Feldkraft (Lorentzkraft) wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladungsträger und eignet sich daher für die Ablenkung (Fokussierung) von Ladungsträgern:

Die elektrische Feldkraft ist für großtechnisch relevante Anwendungen sehr viel geringer als die magnetische Feldkraft, deshalb sind elektrische Maschinen immer durch magnetische Wirkungen und Einrichtungen gekennzeichnet und zeigen daher induktives Lastverhalten.

Daher gibt es auch keine Speicher für große elektrische Energiemengen, nur indirekte z.B. über Wasserspeicher in Form von Pumpspeicherkraftwerke oder sogar über den Umweg eines anderen Speichermediums wie „Power to Gas“ und dann wieder zu Strom. Chemische Speicher wie aufladbare Batterien z.B. auf Blei/Schwefelsäure- oder besser Lithium-Ionen-Basis können wegen der chemischen Prozessbasis der Ladungsträgerbildung im elektrischen Feld leider nur kleine Mengen elektrische Energie speichern, da hier nur die sehr geringe Bindungs-energie der Elektronen von einigen wenigen Elektronenvolt bis zu rd. 3 eV nutzbar ist. Zur Erinne-rung: 1eV = 1,602·10

-19 Ws = 4,45·10

-26 kWh (1 Ws = 1 J).

Ganz im Gegensatz zu kerntechnischen Prozessen, wie Kernspaltung oder Kernfusion, wo die um sechs bis acht Größenordnungen höhere Bindungsenergie der Atomkerne nutzbar ist:

200 MeV je Kernspaltung gegenüber 1 bis 3 eV je Atomreaktion bei chemischen Umwand-

lungsprozessen in Batterien. Leider werden die naturgesetzlich vorgegeben in öffentlichen Energiediskussionen und den Medien in aller Regel vollkommen missachtet, so dass man dort zu unerfüllbare Erwartungen an die Spei-chermöglichkeiten kommt.

4.5 Kraftgesetz im Luftspalt magnetischer Felder

Für die Energie im magnetischen Feldbereich V gilt: VHBW 2

1

Für Luft zwischen zwei Magnetpolen gilt: dxFAdxB

BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1

Beispiel: Ein Hubmagnet mit einer Fläche von 500 cm

2 erreicht eine magnetische Induktion von 0,5 T

(1 T = 1Vs/m2 = 10.000 G). Mit welcher Kraft zieht dieser Eisenschrott an?

BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974,410

8

50025,0

1042

105005,0

2

1 33

74

24222

0

2

- 23 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

2

2

1EAF

Vm

As12108542,8

4.6 Kraftgesetz im elektrischen Feld eines Kondensators Für die Energie im elektrischen Feldbereich V zwischen zwei Kondensatorplatten gilt:

dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el

Kraftberechnung nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebung:

dsAEdWel 2

2

1 , dsFdWmech , 0 elmech dWdW

Für die elektrische Feldkonstante (Permittivität) gilt:

4.7 Hysterese- und Wirbelstromverluste beim magnetisieren von Eisen Hysterese-Verluste beim vollständigen Durchlaufen der Hystereseschleife:

dBHVWH

Die Hysterese-Verluste werden mit den Wirbelstromverlusten zu den Eisenverlusten WFe zusammengefasst.

Von 1 nach 2 wird der waagerecht gekennzeichnete Energieinhalt aufgewandt, von 2 nach 3 wird der kariert gekennzeichnete Energieanteil wieder zurück geliefert. Bei einem vollständigen Umlauf verbleibt der Energieanteil der inneren Fläche als Hysterese-Verluste in Form von Wärmeenergie im Eisenkern (Dynamoblech).

5. Berechnung von Schaltvorgängen, Halbleiter und Anwendungskomponenten 5.1 Schaltvorgänge in Stromkreise mit einem Energiespeicher

a) Einschaltvorgang eines induktiven Stromkreises

Der Strom durch die Spule ist Träger der Energie!

2

2

1iLW

Für 0t gilt: dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT

Homogene Gleichung: 01 dt

diTi h

h 1T

t

h eki

Partikuläre Lösung durch Ansatz in Form des Störgliedes: Ai p eingesetzt in die Dgl. ergibt:

Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA

Gesamte Lösung: ph iiti 1

01

R

Uekti T

t

Anfangsbedingung: 000 titi da L Energiespeicher ist: kann i nicht sprin-

gen.

Damit folgt für die Konstante k: 1

000R

Uek

1

0

R

Uk

Somit ergibt sich die Lösung zu:

11

1

0 T

t

eR

Uti

Lösung mit dem Praktiker- Ansatz:

T

t

T

t

eIeIti 10

2

2

1iLWL

- 24 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2

In diesem allgemeinen Ansatz für die Übergangsfunktion erster Ordnung sind die drei Unbekannten

0I aus der Anfangsbedingung, I als stationärer Endwert und T als Zeitkonstante des Systems zu

bestimmen. Den Widerstand R der Zeitkonstanten T=L/R findet man, wenn man am Einbauort des Energiespeichers in die Schaltung „hinein“ sieht, alle Spannungsquellen als kurzgeschlossen be-trachtet, und so den Widerstand durch Widerstandsberechnung der Zweipolschaltung bestimmt. Im vorliegenden Fall ist: R = R1.

Somit gilt: 1

1

TR

LT , 00 I ,

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti

Mit den Daten: U0 = 12 V, R = 10 Ω, L = 100 mH, folgt für die die Zeitkonstante: T1 = 10 ms. Die Übergangsfunktionen für den Strom und die Spannung an der Induktivität sind:

ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 12,11 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121

Man beachte: Der Strom kann als Träger der Energie nicht springen, die Spannung springt bei t = 0 von Null auf 12 V.

b) Ausschaltvorgang induktiver Stromkreise R2 sei gleich 1000·R1

Für 0t gilt: dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R

LT Das größer oder gleich 0 gilt, da der Strom bei geschlossenem Schalter als Energie-

träger nicht springen kann, da der Energieinhalt gespeicherte Energie nur stetig veränderbar ist.

Homogene Gleichung: 02 dt

diTi h

h 2T

t

h eki

Partikuläre Lösung durch Ansatz in Form des Störgliedes: Ai p eingesetzt in die Dgl. ergibt:

Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA

Gesamte Lösung: ph iiti 21

02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung: 1

000R

Utiti da L Energiespeicher ist und daher i nicht springen

kann.

Damit folgt für die Konstante k: 21

00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk

- 25 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0

Übergangsfunktion Kondensatorladung

0,0

0,4

0,8

1,2

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc

Somit ergibt sich die Lösung zu:

22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti

Diese Lösung ist aus dem Praktiker- Ansatz:

T

t

T

t

eIeIti 10 unmittelbar abzulesen.

Mit den vorgenannten Werten R2 =1000·R1 folgt sT

R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

1999,01

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti

Die Spannung am Schalter zur Zeit t = 0 des Öffnens beträgt:

VARIUS 000.121010002,120

Dies führt in der Praxis zu einem Lichtbogen, der sich zwangsweise aus dem Energieabbau der in der Induktivität gespeicherten Energie und der extrem hohen Spannung zwischen den öffnenden Schaltkontakten ergibt. Eine schaltungstechnische Möglichkeit zur Vermeidung von Schaltüberspannungen und zur Kon-taktschonung ist die Einfügung einer Freilaufdiode parallel zu dem induktiven Zweig:

c) Einschaltung kapazitiver Stromkreise (Aufladeparadoxon beim Kondensator)

Für 0t gilt: diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt: 0 idt

diT

Die Differentialgleichung 1. Ordnung hat die Lösung: T

t

eki

Mit der Anfangsbedingung: 000 tutu CC

, da C Energiespeicher ist: , kann

UC nicht springen. Mit R

Ui 00 folgt für die Konstante k:

1

0

R

Uk die Lösung: T

t

eR

Uti

0

Für die Spannung am Kondensator ergibt sich:

00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10

Die elektrische Verlustleistung bei der Aufladung ist:

T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02

Der Aufladevorgang läuft theoretisch von t = 0 bis t = , ist aber praktisch nach 4 bis 5 Zeitkonstan-ten beendet, da der Endwert zu 98,2 % bis 99,3 % erreicht ist. Nach Beendigung der Aufladung nach t = , ist im Widerstand R die Verlustenergie WR in Wärme umgewandelt worden:

2

2

1uCWC

R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 26 -


Übergangsfunktion Kondensatorladung

0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W

Leistung PR Leistung Pges Leistung Pc

2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR

Diese Verlustenergie ist unabhängig von der Größe des Widerstandes R, ein Paradoxon!

Der energetische Wirkungsgrad der Aufladung des Kondensators ist somit:

CR

C

WW

W

wobei

2

02

1UCWC ist. Damit folgt für : %50

Für die Zeitabhängigkeit der Wirkungsgrades gilt:

tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0 ,

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00

Damit folgt für den differentiellen Wirkungs- grad in Abhängigkeit von der Zeit:

T

t

ges

CD e

tp

tpt 1

Für die Diagramme gilt: U0 = 12 V, R = 10 Ω, C = 1 mF Zeitkonstante T = R·C = 10 ms Das Maximum der Kondensator Ladeleistung ergibt sich durch Differentiation und Nullsetzen der

Leistungsgleichung zu: ms,lnTpt max,C 9362 .

Aufladung des Kondensators mit hoher Energieeffizienz mittels Konstant-Stromquelle: Nimmt man anstatt der Spannungsquelle eine Konstant-Stromquelle zur Aufladung des Kondensa-tors, kann man den Aufladevorgang wesentlich energieeffizienter gestalten:

Für 0t gilt: konstR

UaIti k 0

Für a = 1 ist Ik gleich dem Kurzschlußstrom bei einer Ersatzspannungsquelle mit der Spannung U0.

tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt: tT

UatuC 0

Damit ergibt sich für a = 1 die Zeit t = t0, die erforderlich ist, um den Kondensator mit dem Anfangs-

strom einer Ersatzspannungsquelle auf die Spannung U0 aufzuladen: 00

0 tT

UaU T

a

Tt 0

Für den Wirkungsgrad der Aufladung des Kondensators ab t = 0 bis t = t0 gilt:

0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 27 -


Eta - Kondensatorladung: RC = 10 ms

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in

%

eta von t=0 bis t0 eta (t) Spg. Quelle 000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit: CRT

Für Tt 0 folgt: %,,

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Für Tt 40folgt: %,,

,,

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0

Fazit: Ab t0 = 2∙T ist die Aufladung mit konstanter Stromquelle effizienter gegenüber der Aufladung

mit konstanter Spannungsquelle, wobei der Wirkungsgrad unabhängig vom Widerstand R immer gleich 50 % ist.

Wie ist das zu erklären?

Hierzu betrachten wir den differentiellen Auflade-Wirkungsgrad tD während der Zeit

von: 0tt bis dttt 0 :

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

C,D

R,DR,DC,D

C,D

D

0

0

1

1

t

TtD

Für CRTt 440 folgt: %,,

t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0

Der differentielle Wirkungsgrad erreicht für CRTt 0 bereits 50 % und geht für Tt 0

gegen 100 %. Es ist somit schneller und weit effizienter, den Kondensator mittels einer Konstant-Stromquelle aufzuladen. Bei der Aufladung mit einer Konstant-Spannungsquelle ist der Endwert zwar nach 4 Zeitkonstanten zu 98,2 % erreicht, aber der Wirkungsgrad der Aufladung beträgt nur 50 %. Für a = 0,25 ist der Endwert der Spannung am Kondensator nach 4 Zeitkonstanten zu 100 % er-reicht, und das bei dem erheblich verbesserten Wirkungsgrad von η = 80 %.

5.2 Einschaltung schwingungsfähige Systeme, Systeme mit zwei Energiespeicher

Spannung beim Einschalten eines Reihenschwingkreises

a) mit erregender Gleichspannung: Eine Reihenschaltung aus einem ohmschen, einem induktiven und einem kapazitiven Widerstand soll an eine Gleichspannungsquelle E = 100 V angeschaltet werden.

Weitere Daten: L = 0,1H C = 20 μF R = 100 Ω Anfangsbedingungen: i(0) = 0, uc(0) = -100V

Differentialgleichung des Systems für uc(t):

Eudt

diLRi C , dti

CuC

1 , i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)

- 28 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0

mit: djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

2,1 , 1500

1,02

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000.500500

1021,0

1

1,02

1001

2

2

5

22

Fallunterscheidung: Fall 1): W>0, Fall 2): W=0, Fall 3): W<0 (ωd ist die Eigenkreisfrequenz)

Fall 1): uc(t) = A ·em

1·t + B · e

m2·t + uc,p 2 reelle Wurzeln m1 und m2, m1,2= -δ ± W

Fall 2): uc(t) = (A · t + B)·e-δ·t

+ uc,p 2 gleiche reelle Wurzeln m1 = m2 = -(R/2 L)= -δ Fall 3): uc(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)·e

-δ·t + uc,p 2 konjugiert komplexe Wurzeln m1, m2, m1,2=-δ ± jωd

Partikuläre Lösung: Eu pc ,

da 000.250W s-2

negativ ist, liegt Fall 3 vor. Diesen Fall nennt man den Schwingungsfall.

Für die partikuläre Lösung ergibt sich durch Ansatz in Form des Störgliedes . Eu PC ,

Damit folgt für den zeitlichen Verlauf der Spannung uC(t) gemäß der Lösung nach für Fall 3):

uC(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)·e-δ·t

+ E

Anfangsbedingungen: Wegen uC(0) = -100 V folgt: -100 V = A + E, d.h. A = -100V - E = -200V.

0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C für t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t

ddC 100500sin500cos200sincos)(500

b) Zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung und des Stromes:

Mit VAB 200 und 1500 sd = 0,5 ms-1 folgt für den Strom:

s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

c) mit erregender Wechselspannung: Eine Reihenschaltung aus einem ohmschen, einem induktiven und einem kapazitiven Widerstand soll an eine Spannungsquelle mit cosinusförmiger Wechselspannung angeschaltet werden. Welches Zeitverhalten hat die Kondensatorspannung uc(t) für die drei Fälle unterschiedlicher ohmscher Widerstände? E = 100 V, ω = 2πf, f = 50 Hz L = 0,1H, C = 100 μF = 10

-4 F

Fallunterscheidung: Fall 1): R = 1000 Ω Fall 2): R = 63,25 Ω Fall 3): R = 10 Ω Anfangsbedingungen: i(0) = 0, uc(0) = 0

t in ms 0 1 2 5 10

0,5 · t 0 0,5 1 2,5 5 te 5,0 1 0,607 0,368 0,082 0,007

)5,0cos( t 1 0,878 0,540 -0,801 0,284

)5,0sin( t 0 0,479 0,841 -0,598 -0,959

-200·[….] 1 -271 -276 40,53 135

uC(t) in V -100 -64,7 -1,70 103,3 100,9

Strom i und Spannung uc im Reihenschwingkreis

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V

Spannung uc(t)Strom i(t)

- 29 -


Differentialgleichung des Systems (ω0 ist die Kennkreisfrequenz des Systems ω02=1/(LC):

dt

duCi c

tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit: WLCL

R

L

Rm

1

22

2

2,1,

LCL

RW

1

2

2

, für W<0:

2

2

1

L

R

LCd

Lösung der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud

Fallunterscheidung: Fall 1): W>0, Fall 2): W=0, Fall 3): W<0 (ωd ist die Eigenkreisfrequenz)

Fall 1): uc(t) = A ·em

1·t + B · e

m2·t + uc,p 2 reelle Wurzeln m1 und m2, m1,2= -δ ± W

Fall 2): uc(t) = (A · t + B)·e-δ·t

+ uc,p 2 gleiche reelle Wurzeln m1 = m2 = -(R/2 L)= -δ Fall 3): uc(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)·e

-δ·t + uc,p 2 konjugiert komplexe Wurzeln m1, m2, m1,2=-δ ± jωd

Partikuläre Lösung findet man durch den durch Ansatz in Form des Störgliedes:

tDtCu ppc sincos,

Die Konstanten C und D werden durch Koeffizientenvergleich bestimmt:

tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1,

,

2

,

2

(Vorsicht: den Buchstabe C für die Kapazität nicht mit der Konstanten Cp verwechseln)

tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22

Der Koeffizient der sin-Funktion muß gleich Null sein, der Koeffizient der cos-Funktion muß gleich E/(LC) sein. Nach Multiplikation mt LC dieser beiden Gleichungen führt die Determinantengleichung für die Unbekannten Cp und D zu der Lösung:

E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

,

E

LCRC

RCD

221

Damit folgt für die partikuläre Lösung:

tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2

,

Für den Fall, dass die anliegende Spannung E eine Gleichspannung ist, gilt mit ω=0: Cp = E, D = 0:

Eu pc , das vorherige Ergebnis.

Die Konstanten A und B der Gesamtlösung ergeben sich aus den Anfangsbedingungen uc(0) = U0 und i(0) = I0 = 0.

Für i(0) gilt: 000 tdt

duCti c , In den meisten Fällen ist auch uc(t=0) = U0 = 0.

Mit den Anfangsbedingungen uC(t=0) = U0 und i(t=0) = I0 gilt für die drei Fälle allgemein:

Fall 1:

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

, ACUB p 0

Fall 2: pCUB 0 , DCUC

IDB

C

IA p 0

00

- 30 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 3: pCUA 0 , dd

DC

IB

0

Mit den Anfangsbedingungen uC(t=0) = U0 = 0 und i(t=0) = I0 = 0 gilt für die drei Fälle:

Fall 1: 21

2

mm

DmCA

p

, ACB p

Fall 2: pCB , DCDBA p

Fall 3: pCA , d

DB

Für Gleichspannungs- Anregung gilt mit ω = 0:

EELCRC

LCCp

22

2

1

1

,

0

1 22

E

LCRC

RCD

Mit den Anfangsbedingungen uC(t=0) = 0 und i(t=0) = 0 gilt für die drei Fälle bei Gleichspannungsanregung:

Fall 1: 21

2

mm

mEA

,

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2: EB , EA

Fall 3: EA , 0B

Für uc(t) gilt dann:

Fall 1: Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 198,979.9

01,101

99,989.9

1100)(

199,989.9

101,10

Fall 2:

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123,316

11

23,3161100)(

Fall 3:

t

d

t

dc etEEetEtu cos1cos)(

ts

c ets

Vtu1

50125,312cos1100)(

Für den Strom gilt: dt

duCti C)(

- 31 -


Begriffliche Festlegungen in der Internationalen Normung z.B. IEV 351 Leittechnik

(DIN IEC 60050-351), UK 921.1, Stand 10. 2011:

Internationales elektrotechnisches Wörterbuch - International electrotechnical Vocabulary

Da die Lösung der Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten in der Mechanik und Elektrotechnik von fundamentaler Bedeutung ist, wurden die hierbei verwendeten Begriffe im Internationalen Wörterbuch IEV im Abschnitt 351 Leittechnik mit den Benennungen und Begriffsbe-stimmungen aufgenommen:

351-45-19 Dämpfungsgrad

Ein lineares zeitinvariantes System wird durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben:

0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x

mit dem Koeffizienten als Dämpfungsgrad.

t ist die Zeit x ist die Zustandsgröße des Systems

0 ist die Kennkreisfrequenz des Systems

Anmerkung: Für < 1, ist 2

0d 1 ,

die Eigenkreisfrequenz des Systems

mit Abklingkoeffizient: 0 falls 1

12

002,1 m , 2

0 1 d falls 1 , 12

02,12,1 m falls 1

Anmerkung: ist der Abklingkoeffizient der gedämpften Schwingung des Systems nach IEC 60027-6

ist der Reziprokwert der Zeitkonstanten der abklingenden Zeitfunktion (351-45-32)

Zur Lösung der homogenen Differentialgleichung sind drei Fälle zu unterscheiden:

Fallunterscheidung: Fall 1): >1, Fall 2): =1, Fall 3): <1

Fall 1): x(t) = A ·em

1·t + B · e

m2·t 2 reelle Wurzeln m1 und m2, m1,2= -δ ± 12

0

Fall 2): x(t) = (A · t + B)·e-δ·t

2 gleiche reelle Wurzeln m1 = m2 = -δ

Fall 3): x(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)·e-δ·t

2 konjugiert komplexe Wurzeln m1, m2, m1,2= -δ ± jωd

Die Konstanten A und B ergeben sich aus den beiden Anfangsbedingungen x(t = 0) und 0d

dt

t

x

351-45-19 Damping ratio for a linear time-invariant system described by the second order differential equation

0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x

the value of the coefficient , where:

t is the time x is a state variable of the system

0 is the characteristic angular frequency of the system

NOTE : When < 1, 2

0d 1 is the eigen angular frequency of the system.

with: 12

002,1 m , 2

0 1 d when 1 , 12

02,1 when

1

d ist die eigen angular frequency, 0 is the characteristic angular frequency of the system

by the solution of this homogeneous equation are three cases to differentiate:

Cases: 1): >1, 2): =1, 3): <1:

Case 1): x(t) = A ·em

1·t + B · e

m2·t 2 real numbers m1 und m2, m1,2= -δ ± 12

0

Case 2): x(t) = (A · t + B)·e-δ·t

2 two equal real number rootes m1 = m2 = -δ

Case 3): x(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)·e-δ·t

2 conjugate complexe rootes m1, m2, m1,2= -δ ± jωd

The constant numbers A und B are arise from the circumstances x(t = 0) und 0d

dt

t

x

Zustandsgröße x(t) der homog. Dgl 2. Ordnung

-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1: 0,5 , 1

0 1 s

Fall 2: 0,1 , 1

0 1 s

Fall 3: 2,0 , 1

0 1 s

Anfangsbedingungen:

100)0( tx , 0)0(

tx

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/homogeneous.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/differentiate.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/real.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/number.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/real.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/number.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/conjugate.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/arise.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/from.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/the.html

http://www.dict.cc/englisch-deutsch/circumstances.html

- 32 -


5.3 Grundlagen der Halbleitertechnik Silizium, ist das meistverwendete Basismaterial für Halbleiterbauelemente. Reines Silizium besteht aus vierwertigen Siliziumatomen, das kubisch flächenzentriert kristallisiert. Die vier Valenzelektronen (Außenelektronen) eines jeden Siliziumatoms bauen vier Atombindungen zu seinen Nachbaratomen auf und bilden dadurch die Kristallstruktur, dies macht alle vier Elektronen zu Bindungselektronen.

Eine Dotierung oder das Dotieren (von lat. dotare „ausstatten“) bezeichnet in der Halbleitertechnik das Einbringen von Fremdatomen in eine Schicht oder in das Grundmaterial eines Halbleiters. Die dabei eingebrachte Menge ist dabei sehr klein im Vergleich zum Trägermaterial (zwischen 0,1 ppb und 100 ppm). Die Fremdatome sind Störstellen im Halbleitermaterial und verändern gezielt die Ei-genschaften des Ausgangsmaterials, meistens die Leitfähigkeit oder die Kristallstruktur. Es gibt ver-schiedene Dotierungsverfahren, zum Beispiel Diffusion, Elektrophorese, Sublimation aus der Gas-phase oder Beschuss mittels hochenergetischen Teilchenkanonen unter Vakuum (Ionenimplantation).

Soll die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern geändert werden, dann wird zwischen p- und n-Dotierung unterschieden. Bei der p-Dotierung werden Fremdatome implantiert, die als Elektronen-Akzeptoren dienen (1 Akzeptor/10

6 Atome). Bei der n-Dotierung werden hingegen Elektronen-

Donatoren (1 Donator/107 Atome) implantiert. Für die Änderung der elektrischen Leitfähigkeit bei

gängigen Halbleiterbauelementen der vierten Hauptgruppe im Periodensystem der Elemente aus Silizium oder Germanium kommen für p-Gebiete die Elemente aus der dritten Hauptgruppe wie bei-spielsweise Bor, Indium, Aluminium oder Gallium und für n-Gebiete die Elemente aus der fünften Hauptgruppe wie beispielsweise Phosphor, Arsen oder Antimon zum Einsatz.

n - Dotierung im Siliziumkristallgitter mit 5 - wertigen Phosphoratomen: Bei der n-Dotierung (n für die freibewegliche negative Ladung) werden fünfwertige Elemente, die so genannten Donatoren, in das Siliziumgitter eingebracht und ersetzen dafür vierwertige Silizium-Atome. Ein fünf-wertiges Element hat fünf Außenelektronen für Atombindungen zur Verfügung, sodass beim Austausch eines Siliziumatoms durch ein Fremdatom im Kristall ein Außenelektron des Donators (quasi) freibe-weglich zur Verfügung steht. Es ist in einem Energieniveau dicht unter-halb des Leitungsbandes gebunden. Dieses Elektron kann beim Anle-gen einer Spannung Strom bilden. An der Stelle des Donator-Atoms entsteht eine ortsfeste positive Ladung, der eine negative Ladung des freibeweglichen Elektrons gegenübersteht. Wir erhalten eine n-Halbleitertyp.

p - Dotierung im Siliziumkristallgitter mit 3 - wertigen Aluminiumatomen: Bei der p-Dotierung (p für die freibewegliche positive Lücke, auch Loch oder Defektelektron genannt) werden dreiwertige Elemente, die so ge-nannten Akzeptoren, in das Siliziumgitter eingebracht und ersetzen dafür vierwertige Silizium-Atome. Ein dreiwertiges Element hat drei Außenelektronen für Atombindungen zur Verfügung. Für die vierte Atombindung im Siliziumkristall fehlt ein Außenelektron. Diese Elektro-nenfehlstelle wird als „Loch“ oder Defektelektron bezeichnet. Beim An-legen einer Spannung verhält sich dieses Loch wie ein freibeweglicher positiver Ladungsträger im Valenzband und kann analog zum negativ geladenen Elektron Strom leiten, allerdings mit niedrigerer Beweglich-keit. Dabei springt ein Elektron - angetrieben durch das äußere Feld - aus einer Atombindung heraus, füllt ein Loch und hinterlässt ein neues

Loch. An der Stelle des Akzeptor-Atoms entsteht eine ortsfeste negative Ladung, der eine positive Ladung des freibeweglichen Loches gegenübersteht. Wir erhalten einen p-Halbleitertyp.

Die Bewegungsrichtung der Löcher verhält sich dabei entgegengesetzt zu der Bewegungsrichtung der Elektronen und ist somit in Richtung der technischen Stromrichtung. Eine genauere Beschrei-bung der elektrischen Effekte erfolgt durch das Energieniveau-Bändermodell.

Die Halbleiterdiode Eine Diode entsteht, wenn reines 4 wertiges Silizium mit 3 wertigem Aluminium (p-Halbleiter) und 5 wertigem Phosphor (n-Halbleiter dotiert wird und dann beide Metalle miteinander in Kontakt gebracht werden.

http://de.wikipedia.org/wiki/Valenzelektron

http://de.wikipedia.org/wiki/Atombindung

http://de.wikipedia.org/wiki/Bindungselektron

http://de.wikipedia.org/wiki/Latein

http://de.wikipedia.org/wiki/Halbleitertechnik

http://de.wikipedia.org/wiki/Parts_per_billion

http://de.wikipedia.org/wiki/Parts_per_million

http://de.wikipedia.org/wiki/St%C3%B6rstelle

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Leitf%C3%A4higkeit

http://de.wikipedia.org/wiki/Kristallstruktur

http://de.wikipedia.org/wiki/Diffusion

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrophorese

http://de.wikipedia.org/wiki/Sublimation_%28Phasen%C3%BCbergang%29

http://de.wikipedia.org/wiki/Vakuum

http://de.wikipedia.org/wiki/Ionenimplantation

http://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%A4ndermodell#Halbleiter




http://de.wikipedia.org/wiki/Halbleiter

http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptgruppe

http://de.wikipedia.org/wiki/Silicium

http://de.wikipedia.org/wiki/Germanium

http://de.wikipedia.org/wiki/Bor

http://de.wikipedia.org/wiki/Indium

http://de.wikipedia.org/wiki/Aluminium

http://de.wikipedia.org/wiki/Gallium

http://de.wikipedia.org/wiki/Phosphor

http://de.wikipedia.org/wiki/Arsen

http://de.wikipedia.org/wiki/Antimon


http://de.wikipedia.org/wiki/Defektelektron


http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Stromrichtung

http://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%A4ndermodell

- 33 -


p - Halbleiter n - Halbleiter

Nach der Kontaktierung beider Siliziummetalle diffundieren dann die überschüssigen Elektronen des n-Halbleiters in den p-Halbleiter und die Fehlstellen (Löcher) der p-Halbleiters in den n-Halbleiter. Dieser Diffusionsvorgang findet sein natürliches Ende, wenn wieder ein Gleichgewicht hergestellt ist zwischen dem Diffusionspotenzial und der Kraftwirkung F = Q·E in dem sich aufbauenden elektri-schen Feld E.

Anode Kathode Die Diode arbeitet im Durch- lassbetrieb, wenn der Pluspol an den p - Halbleiter und der Minuspol an den n - Halbleiter angeschlossen ist. In der Raumladungszone sind alle Elektronen und Löcher rekombiniert. Bei Durchlass- betrieb ist die Sperrschicht kleiner bei Sperrbetrieb ist sie größer wie ohne äußere Spannung. Schaltzeichen:

Dioden sind häufig einsetzte Bauelement in elektronischen Schaltungen bis hin zu Stromrichterschaltungen in Hochspannungssystemen zur Umwandlung von Wechselstrom in Gleichstrom. Das dann folgende elektronische Bauelement ist der Transistor als Verstärkerelement. Er besteht aus zwei in Reihe geschaltete pn-Übergänge mit den Anschlüssen Kollektor, Basis und Emitter als pnp-Typ oder npn-Typ. Hierbei lässt sich durch einen geringen Basisstrom ein wesentlich größerer Strom zwischen Kollektor und Emitter steuern.

+ -

Das elektrisches Feld E verleiht den Ladungsträgern eine Kraft, die der Diffusion entgegen wirkt (F=Q·E)

E

- 34 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф

6. Wechselstrom- und Drehstromsysteme 6.1 Mittelwerte

a) arithmetischer Mittelwert (Gleichrichtwert) und Effektivwert

Für den arithmetischen Mittelwert einer in T periodischen Größe u(t) gilt:

duT

U

T

0

1

Dieser Mittelwert ergibt für symmetrische Wechselgrößen wie z.B. sinusförmige Größen über eine volle Periode integriert den Wert 0:

tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU

Über eine Halbwelle integriert ergibt sich der Gleichrichtwert zu:

u%,uu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0

b) Effektivwert Für den Effektivwert einer in T periodischen Größe u(t) gilt:

2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T

Partielle Integration: xu sin dxxdv sin vduvuudv

dxxdu cos xv cos

dxxxxdxxxxxdx )sin1(cossincoscoscossinsin 22

xxxx cossinsin2 2 )cossin(

2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T

Für den Effektivwert sinusförmiger Größen gilt:

6.2 Erzeugung elektrischer Energie durch Rotation im Magnetfeld mit der Drehzahl n

Nach dem Induktionsgesetz wird in einer Spule, die von ei-nem zeitlich sich veränderndem magnetischen Feld mit dem magnetischen Fluss Ф durchdrungen wird, eine elektrische Spannung ui induziert, die der Ursache ihrer Wirkung entge-gengesetzt ist:

dt

dwu i

Mit tt cosˆ folgt : twu i sinˆ

Die induzierte Spannung ist der Flussänderung proportional. d.h. bei cosinusförmiger Flussänderung in der Leiterschleife entsteht an den Klemmen eine sinus-förmige Spannung.

Mit der Winkelgeschwindigkeit n 2 folgt: tnwui sin2ˆ

Hieraus ergibt sich für den Effektivwert der induzierten Spannung Ui:

tnwtui sin2ˆ nwU i 2

2ˆ

nwUi ˆ44,4 (Für n in s-1 und Φ in Vs folgt U in V)

Der sinusförmige Spannungsverlauf lässt sich im Liniendiagramm gemeinsam mit dem Stromverlauf

u%,u,uU 77070702

1

- 35 -


Re

j U

I φ ωt

U*

I*

für unterschiedliche Lastfälle darstellen:

titiiC cosˆ)90sin(ˆ titiiL cosˆ)90sin(ˆ

Für die Kreisfrequenz ω gilt: Tf /122

T ist die Periodendauer der Schwingung in Sekunden, f ist die Frequenz der Schwingung in Perioden pro Sekunde. Diese wird in Hz angegeben: Beim technischen Wechselstrom im europäischen Netz ist die Frequenz f = 50 Hz, T= 1/f = 20 ms. In den USA ist f = 60 Hz, T = 1/f = 16,667 ms. Für den Effektivwert der Spannung gilt:

6.3 Zeigerdarstellung von Strom und Spannung in der komplexen Ebene In der Elektrotechnik lassen sich Strom und Spannungen als rotierende Zeiger in einer komplexen Ebene übersichtlich hinsichtlich der Phasenlage zueinander darstellen.

tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos

Für die Leistung gilt:

sincos* jIUeIUIeUeIUS jtjtj

jQPS mit: cos IUP und sin IUQ

Die mit Stern gekennzeichneten Größen sind die jeweils zugeordneten konjugiert komplexen Größen. Konjugiert komplexe Größen entstehen durch Spiegelung an der reellen Achse. In der Elektrotechnik ist es üblich, in den Zeigerdiagrammen die Spannung in die reelle Achse der komplexen Ebene zu legen. Zweckmäßgerweise (Hochformat des Blattes) zeichnet man diese nach oben und die +j - Achse dann nach links (es gilt dann: U = U d.h. die Spannung liegt in der reellen Achse):

Für tuu sinˆ ergeben sich folgende Zeigerdiagramme für die ohm`sche, induktive und kapazi-

tive Last:

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ707,02

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 90 180 270 360 450Phasenwinkel in Grad

Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

.u.

Spannung Strom kapazitiv Strom induktiv

90° voreilend 90° nacheilend

Spannung und Strom bei ohmscher, induktiver und kapazitiver Last

ωt = 0 π/2 π 3/2 π 2π 5/2 π

Effektivwert=1/ 2

Gleichrichtwert=2/ p.u.

tuu sinˆ

- 36 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi

ohm`sche Last: Wirkleistung induktive Last: ind. Blindleistung kapazitive Last: kap. Blindleistung

R

UI , II *

90j

LL

eX

U

jX

UI , II *

90j

CC

eX

U

jX

UI , II *

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC

Für die Leistung gilt: jQPS

PS , 0Q jQS , 0P jQS , 0P

6.4 Leistungsbegriffe bei Wechselstrom

Wirk- und Blindleistung als Komponenten der komplexen Leistung

jeUU ,

jeII ,

0 der Strom eilt der Spannung nach

(induktive Last). (Merkregel: I nach dem U)

0 der Strom eilt der Spannung vor

(kapazitive Last)

0 Strom und Spannung Phasengleich

(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu *

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos

Der Mittelwert der Leistung ist gleich dem Integralwert über eine Periode von 0 bis ωt = 2 .

tjtj eIUUIIUeIUtitutp 2****2

2

1

tjtj eIUeIUUIIUtp 2**2**

2

1

2

1

Re

j

U U

*

I I*

U* I U I*

P

Q

Bei ohmscher Last sind Strom und Spannung in Phase, φ = 0°

Bei induktiver Last eilt der Strom der Spannung um 90° nach, φ = -90°

Bei kapazitiver Last eilt der Strom der Spannung um 90° vor, φ = +90°

tjtj eIeIti *

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos

ˆ titCui cosˆcosˆ

- 37 -


Blindleistung

Wirkleistung Scheinleistung

Der erste Term ist gleich dem Argument des Terms selbst, da er zeitunabhängig ist, der zweite Term ergibt über eine Periode T integriert den Integralwert Null.

Für die Leistung gilt allgemein: UIIUdttpT

PT

**

02

11

Diesen Wert der Leistung nennt man Wirkleistung, da der Mittelwert über eine Periode ungleich Null ist, wenn U > 0 und I > 0 sind. Dieser Mittelwert ist gleich der Hälfte der Summe aus dem Produkte aus der konjugiert komplexen Spannung mal dem komplexen Stromwert und dem konjugiert komplexen Strom mal dem komple-xen Spannungswert. Es ist für die Wirkleistung daher auch zulässig und richtig, eines der beiden Produktwerte zu ermitteln ohne diesen Wert dann zu halbieren.

Diese Beliebigkeit hat allerdings eine Auswirkung auf das Vorzeichen der Blindleistung, die man als den imaginären Anteil der komplexen Leistung definiert.

Man definiert daher die Scheinleistung zu: **

IUoderIUjQPS

Wir wählen die Form: *

IUjQPS , weil dann die induktive Blindleis-

tung als positive Blindleistung in der komplexen Leistungsebene erscheint.

Hier wird auch deutlich, dass im physikalischen Sinne die Leistung nur

als Wirkleistung existiert, die Blindleistung ist eine Wirkleistung mit der

Eigenschaft, dass sie über eine Periode gemittelt den Wert Null ergibt.

In oberschwingungsbehafteten Netzen ist nur die Grundschwingung

des Stromes Träger der Wirkleistung.

Leistung bei sinusförmigem Wechselstrom für unter-

schiedliche Phasenlagen des Stromes in bezug zur Spannung:

tuu sinˆ , tii sinˆ tuu sinˆ , 90sinˆ tii

Die Spannung u sei auf den Bezugswert uU ˆ0 und der Strom i auf den Bezugswert iI ˆ

0 nor-

miert.

ttiutitutitutp sinsinˆˆˆsinˆ

sincossincossinˆˆ)sincoscos(sinsinˆˆ 2 tttiutttiutp

Anmerkung: tt 2cos12

1cos2

Für 0 , d.h. 1cos , 0sin gilt: Für 90 , d.h. 0cos , 1sin gilt:

Für den Mittelwert gilt:

IUP in W , 0Q 0P , IUQ in var

Fazit: Blindleistung ist Wirkleistung mit dem Mittelwert Null !

sin2sin

2

1coscos1ˆˆ 2 ttiutp

tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ

tIUtIUtp cos21cos12 2 tIUtp 2sin

Wechselstrom, -Spannung und -Leistung

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Strom Leistung


-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Strom Leistung Leistungsmittelwert cos-Glied

P = 0,50 p.u. Q = 0 p.u.

P = 0 p.u. Q = 0,50 p.u.

- 38 -


Leistungsganglinie der Erzeugung in Deutschland am 3. Mittwoch

dem 21. 1. 2009

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23Zeit (Stundenmittelwerte)

Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Ölkraftwerke

sonstige Wärme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdöl

Für der Spannung nacheilende Ströme (induktive Lasten) ergeben sich folgende Liniendiagramme: ,

30cosIUP , 30sinIUQ 60cosIUP , 60sinIUQ

6.5 Leistungen in der Energietechnik In der Energietechnik wird die elektrische Leistungserzeugung in Form von Tagesganglinien aller Leistungsbeiträge als ¼ h - Mittelwerte im Kraftwerksmix dargestellt. Die Verbraucherlasten werden ebenfalls als ¼ h Leistungswerte messtechnisch erfasst, da dieser Wert für die Erwärmung der Be-triebsmittel von maßgeblicher Bedeutung ist. Da man elekt-rische Energie in großer Menge nicht speichern kann (nur indi-rekt z.B. über Wasser- speicher), muss die Leis-tung zeitgleich mit dem Ver-brauch über Generatoren erzeugt wer-den.

Sehr verschieden vom täglichen Leistungsbedarf stellt sich die Windstromerzeugung in Deutschland dar, wie beispielhaft für den Monat Januar 2012 zu ersehen ist: Die Windleistung muss daher zu nahezu 100 % durch die Leis- tung aus Gaskraftwer- ken abgesichert werden, was zu sehr hohen Stromerzeugungs- kosten führt.

Minimaler Leistungswert in MW 345

Maximaler Leistungswert in MW 24.086

mittlere Leistung in MW 9.326

Gesamte Arbeit in MWh 6.938.423

Minimaler Arbeitstageswert in MWh 27.472

Maximaler Arbeitstageswert in MWh 526.078

60sinˆ tii 30sinˆ tii cos IUP sin IUQ


-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Strom Leistung Leistungsmittelwert


-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Strom Leistung Leistungsmitttelwert

P = 0,433 p.u. Q = 0,25 p.u.

P = 0,25 p.u. Q = 0,433 p.u.

- 39 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea

6.6 Übertragungsverhalten passiver Vierpol - Glieder

Tiefpass

Hochpass

Berechnung und Darstellung der Übertragungsfunktion ua/ue:

Als Grenzfrequenz wird diejenige Frequenz definiert, bei der

das Amplitudenverhältnis ua/ue um 2 abgesunken ist:

ω1 = 2πf1 =1/RC ?

Die Übertragungsfunktion ua/ue als Funktion der Frequenz f, dargestellt durch den Amplitudengang und den Phasengang:

2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juu:ist

RCfür

RCj

CjR

Cj

uu

4545 71,02

1 j

e

j

ea eueuu

Übertragungsfunktion: ua/ue als Funktion der Frequenz f:

11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a , 1

arctanf

f

Beispiel: Mit R = 1 kΩ, C = 10 μF ergibt sich für die Grenzfrequenz f1:

Hz9215

1010102

1

2

1

631 ,

sCRf

Nur bei Frequenzen unterhalb von 15,92 Hz ist die Ausgangsspannung größer als 0,707 mal der Eingangsspannung. Höhere Frequenzen dämpfen das Eingangssignal unter diesen Wert gegen Null gehend ab, daher die Benennung als Tiefpass.

Mit den gleichen Daten gilt für den analogen Hochpass:

2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juu:ist

RCfür

RCj

RCj

CjR

Ruu

Hierbei werden die tiefen Frequenzen gedämpft und ab der Grenzfrequenz die hohen Frequenzen mit nur geringer Dämpfung übertragen. Daher die Be- nennung: Hochpass.

ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4f/f1

ua/ue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in °

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 40 -


XL

U0

R

XC

I

Paradoxon: I ≠ f(R) für Xc = 2X

L

Paradoxon: I ≠ f(R) für Xc = X

L/2

XL

U0

R X

C

I

6.7 Stromparadoxon bei Blindwiderständen in RLC Schaltungen

Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

für

LC XX 2 folgt:

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ

Beispiel: L = 100 mH, C = 50,66 μF, U0 = 230V, f = 50 Hz ergibt: XL = 31,416 Ω, XC = 62,833 Ω

I = 7,32 A ≠ f(R)

Nach Betrag und Phase gilt: I = 7,32 A ejφ = f(R) mit: -90°< φ <90°

Fazit: Nur der Betrag des Stromes I ist unabhängig vom Widerstand R. Die Phasenlage ist sehr wohl abhängig vom Widerstand.

LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

für

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2

Beispiel: L = 100 mH, C = 202,64 μF, U0 = 230V, f = 50 Hz ergibt: XL = 31,416 Ω, XC = 15,708 Ω

I = 14,64 A ≠ f(R)

Nach Betrag und Phase gilt: I = 14,64 A ejφ = f(R) mit: -90°< φ <90°

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = ∞

R = ∞

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = ∞

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = ∞

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = ∞

R = ∞

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 41 -


7. Elektrische Energieverteilungssysteme und Stromanwendung

7.1 Stromerzeugung und Strombelastung im Drehstromsystem Farben der Phasen: gelb, grün, violett

Für ein symmetrisches Stromerzeugungssystem sind die drei Spannungen der Phasen L1, L2 und L3 gleich groß. In den Versorgungsnetzen beträgt die Normwert die Phasenspannung 230 V. Bei der in der Praxis ebenfalls in der Regel vorliegenden symmetrische Belastung sind auch die drei Lastwiderstände gleich. Die Spannungen zwischen den Außenleitern nennt man die verkettete Spannungen U12, U23, U31. Da die drei Phasenspannungen in elektrischen Maschinen erzeugt werden, deren Wicklungen räum-lich um 1/3 der Umfangs versetzt angeordnet sind, sind die Phasenspannungen zeitlich um 120° gegeneinander verschoben.

tutu sinˆ11 , 120sinˆ

22 tutu , tututu 212,1

120sincos120cossinˆsinˆ212,1 ttututu , cos 120° =

2

1 , sin120°= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

212,1 , VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

2,1

30sin3ˆcos30sinsin30cos3ˆ2,1 tuttutu

Die verkettete Spannung tu 2,1 ist gegenüber ser Phasenspannung tu1 um 30° voreilend.

Der Effektivwert der verketteten Spannung U1,2 ist um den Faktor 3 größer als die Phasenspan-

nung U1. In der Energietechnik bezeichnet man die verkettete Spannung (Leiterspannung) mit U und die Pha-senspannung mit Uph oder auch mit dem Index 1: U1.

Dreieck-Schaltung Sternschaltung

3

IIph , phUU

3

UUph , phII

Komplexe Leistung: **

33 IUIUS phph

Wirkleistung: cos3 IUP ,

Blindleistung: sin3 IUQ

Scheinleistung: IUS 3

U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31

Spannungen im Drehstromsystem 400/230 V

-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U1,2 U2,3 U3,1

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 42 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII

Bei der Berechnung elektrischer Netze ist es häufig sehr nützlich, Dreieckstrukturen in Sternstruktu-ren umzurechnen. Nachfolgend werden die hierzu erforderlichen Umrechnungsgleichungen in kom-plexer Schreibweise angegeben. Selbstverständlich sind diese Gleichungen auch in Gleichstrom-Netzstrukturen für reelle Größen gleichermaßen gültig.

a) für Dreieck-Stern- Umwandlung

Δ - Ү

Z0 →

312312

31121

ZZZ

ZZZ

,

312312

12232

ZZZ

ZZZ

,

312312

23313

ZZZ

ZZZ

Ausgehend von einer Dreieckstruktur ergibt sich der entsprechende Sternwiderstand aus der Multi-plikation der beiden anliegenden Widerstände, dividiert durch die Summe aller drei Dreieckswider-stände.

b) für Stern-Dreieck- Umwandlung

Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

,

1

323223

Z

ZZZZZ

,

2

131331

Z

ZZZZZ

Ausgehend von einer Sternstruktur ergibt sich der entsprechende Dreieckwiderstand aus der Additi-on der beiden anliegenden Phasenwiderstände, plus dem Produkt aus diesen beiden, dividiert durch den verbleibenden dritten Widerstand.

Bei elektrischen Drehstrommaschinen wird die Stern-Dreieck-Umschaltung auch angewandt, um den Anlaufstrom der Maschinen auf rd. Ein Drittel des Wertes bei Dreieck-Direktanlauf zu verringern

Häufig gelangt man auch zu der Aufgabe, die Teilströme einer Parallelschaltung bei gegebenem Gesamtstrom zu berechnen.

Nach der Kirchhoffschen Regel verhalten sich die Teilströme umgekehrt wie die Widerstände oder Impedanzen der Parallelzweige. Damit lassen sich die Teilströme sehr schnell mit Hilfe folgen-der Gleichungen bei gegebenem Gesamtstrom bestimmen: ; Der Teilstrom ist gleich dem Verhältnis der gegenüber liegenden Impedanz zur Summenimpedanz der Parallelschaltung multipliziert mit dem Gesamtstrom. Es ist daher problematisch - in Übertragungsnetzen parallel zu Freileitungsabschnitten - Kabelstre-cken einzufügen, da die niedrigere Impedanz der Kabel einer parallelen Freileitung den Strom „weg-saugt“, mit der Folge, dass die Kabelstrecke überlastet wird, obschon die zulässige Gesamtlast bei-der Übertragungsstrecken noch nicht erreicht ist.

Z1

Z2

I1

I2

I

- 43 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31

7.2 Allgemeine Belastungen im Drehstromnetz, Steinmetzschaltung

a) Leiterströme im Vierleitersystem

Die allgemeine Bestimmungsgleichungen für die komplexen Leiterströme 1I , 2I , 3I

und 0I in einem Vierleiter-Drehstromnetz lauten (alle U,I und Z-Größen komplex):

1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI

Für den in der Praxis im allgemeinen vorliegenden Fall ist die Belastung symmetrisch, und der Widerstand im Mittelpunktsleiter ist gleich Null zu setzen. Damit vereinfache sich die Gleichungen erheblich:

Z

UIIII 321 , 00 I

b) Leiterströme im Dreileitersystem

In dem hier vorliegenden Dreileiternetz muss der Widerstand im Nullleiter gleich unendlich gesetzt werden (I0 = 0, da kein Nullleiter vorhanden), so dass sich die drei Bestimmungsgleichungen für die Leiterströme wie folgt vereinfachen:

133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

Ein Beispiel ist die Symmetrierschaltung im Induktionsofenbau (Steinmetz-Schaltung 1896). Damit wird die Einphasenlast eines Schmelzofens in eine symmetrische Drehstromlast umgewandelt:

Für die Leiterströme gilt: R

U

R

UIII Ph

3321

Die Ströme sind in Phase mit den zugehörigen Phasenspannungen, d.h. die Schaltung wirkt wie eine rein ohmsche Last mit dem Widerstand R. Der Strom I1 ist unabhängig von der Größe des Wider-standes Z1 = R, da Z2 = - Z3 ist! Da die Induktionsspule zur Erzeugung des Wechselfeldes im Schmelzmaterial ein ohmsch-induktiver Widerstand ist, muss dieser durch eine gesteuerte Parallelkompensation auf cos φ = 1 kompensiert werden.

L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 44 -


7.3 Wechselstromleistung nicht sinusförmiger Ströme Mit zunehmenden elektronischen Steuerungs- und Schaltgeräten im Netz nehmen die Oberschwin-gungsströme stark zu. Obschon die Spannung noch fast sinusförmig ist, kann der Strom aufgrund von Phasenanschnittsteuerungen oberschwingungsbehaftet und daher nicht mehr sinusförmig sein.

Mit den Effektivwerten I der -ten Oberschwingung gilt für die Leistungs- und Kenngrößen:

Scheinleistung S:

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1

Träger der Wirkleistung P ist nur die Grundschwingung des Stromes I1:

111 cos IUPP

Für die Blindleistung Q gilt:

22 PSQ

Die Blindleistung Q besteht aus der Grundschwingungsblindleistung Q1 und der

Verzerrungsblindleistung D: 111 sin IUQ ,

n

n IUIIIUD2

222

3

2

2

Für die Grundschwingungsscheinleistung S1 gilt: 11 IUS

Für den Leistungsfaktor als das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung gilt:

122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P

mit Faktor gi als dem Grundschwingungsgehalt des Stromes I:

n

i

I

Ig

1

2

1

cosφ1 ist der Grundschwingungs-Leistungsfaktor oder Verschiebungsfaktor.

Für nicht sinusförmige Ströme gilt grundsätzlich: 1cos

Für die Scheinleistung gilt: Für die Blindleistung Q gilt:

22

1

2 DQPS 22

1 DQQ

Träger der Wirkleistung ist nur der Grundschwingungsgehalt des Stromes, d.h. die Oberschwingun-gen tragen nicht zur Wirkleistungsbildung bei, belasten aber sehr wohl die Leitungen und erfordern die Bereitstellung einer entsprechen höheren Wirkleistung und von Blindleistung durch den Genera-tor.

Strom und Leistung eines Fernsehgerätes oder einer Energiesparlampe mit kapazitivem Netzteil.

Der Mittelwert der Wirkleistungsanteile oberschwin- gungsbehafteter Ströme ist gleich Null. Es werden wohl die Leitungen im Netz belastet.

P

S

Q1

D Q

S1


-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

sinusförmige Spannung (Effektivwert = 0,707 p.u.)

Grundschwingungsstrom + 3.+5.+7.+9.+11. Oberschwingung

Leistung aus Grundschwingungsstrom

Leistung aus Analysestrom

Leistungsmittelwert = 0,14 p.u.

Effektivwert des Stromes = 0,31 p.u.


-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Sinus Strom 3. Oberschwingung Leistung

- 45 -


7.4 Elektrische Maschinen, Asynchron-, Synchron und Gleichstrommaschinen Entstehung des Drehfeldes in einer Drehfeld - Maschine In der Drehfeldmaschine (Synchron- oder Asynchronmaschine) sind in den Nuten des Stator-Blech-paketes - bei der zweipoligen Maschine jeweils räumlich um 120° verdreht - drei Wicklungen unter-gebracht, die von drei sinusförmigen Wechselspannungen gespeist werden deren Phasenlage um jeweils 120 ° zeitlich gegeneinander verschoben sind. Jede dieser drei Wicklungen erzeugt im Innern der Maschine einen magnetischen Wechselfluss der

Form: tt cosˆ .

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj

Die drei Wicklungen U-X, V-Y und W-Z sind räumlich um 120 ° rechtswendig forschreitend in den Stator eingebracht. Damit folgt für den resultierenden Flus aus der Summe aller drei Wicklungen:

tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3

=0 Dies ist ein konstanter magnetischer Fluss, der rechtsdrehend im Innern der Maschine wirksam ist. Die Drehzahl des umlaufenden Magnetfeldes ist proportional der Frequenz des Stromes:

p

fn

60 p ist die Polpaarzahl.

Dieses rechtsdrehend umlaufende Magnetfeld tritt mit dem Magnetfeld des Polrades der Synchron-maschine in Wechselwirkung und nimmt dieses in synchroner Drehzahl mit. Dabei wirkt diese mag-netische Kraftkopplung wie eine elastische Federverbindung. Durch vertauschen von zwei Phasen dreht sich die Drehrichtung um.

ω·t ω·t

Φ/2

Re

j

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 120 240Phasenwinkel

Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

.u.

Phase U Phase V Phase W

X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 46 -


Re

-j

Pk

Pn, Motor

P∞

Pn, Generator

s=100 %

s=50 %

s=25 %

s=0 %

s=75 %

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

Sn,Motor = 4 %

Skipp = 18 %

s=- 25 %

Sn,Generator = -4 %

In

Ik

In,Generator

I∞ I0

a) Asynchronmaschine Bei der Asynchronmaschine werden in den Kurzschlussstäben des Läufers Spannungen induziert die einen Strom zur Folge haben, deren Magnetfeld ebenfalls eine Kraftschlüssigkeit mit dem Statorfeld begründet. Daher kann der Asynchronmotor im Gegensatz zum reinen Synchronmotor auch aus dem Stillstand von selbst anlaufen und fällt bei Überlast nicht aus dem synchronen „Tritt“.

Heylandkreis der Asynchronmaschine auf Basis des

vereinfachten Ersatzschaltbildes: Maschinendaten einer 3 kW - Asynchronmaschine: Δ400 V, 50 Hz, 5,9 A, 3 kW, cos φ = 0,86, 2890 min

-1. Der Leerlaufstrom beträgt I0 = 1,62 A induktiv.

Vereinfachter Ersatzschaltplan:

I

UX h 1

, AA

94,03

62,1

3

0 I

I

5,42594,0

4001

A

VhX 0367,0

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`

2 Für Nennbetrieb gilt: III n 1

`

2 ,

j34-eA3,41A3

A)74,193,2()51,086,0(

9,5sincos

31 jjj

II n

n

A)81,093,2()94,0()74,193,2(`

2 jjjI , 65,483,1260367,0`

2R ,

06,35kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )06,3583,126()81,093,2(

400

A

V,

Berechnung Ik (für s=1) und I∞ für (s= ):

j83,02-

21

e12,24AA15124911

0635654

1

5425

1400

11),j,(

,j,,jV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A12,35A35,1206,35

40094,0 j

jj

jX

UII

k

Für den Strom I1 in Abhängigkeit vom Schlupf s gilt allgemein (erstmals von Ossanna hergeleitet):

Dies ist als Ortskurve ein Kreis in der komplexen Ebene, genannt Heylandkreis (nach Alexander Heinrich Heyland geb. in Iserlohn 1869-1943, erstmals 1894, 1896 in vereinfachter Form veröffentlicht, danach tätig bei Lahmeyer in Frankfurt, Charleroi, Brüs-sel). Der Heylandkreis ist die grafische Darstellung der Zustandsgrößen wie Drehzahl, Schlupf, Strom, Phasenlage zur Spannung, Leistung und Drehmoment einer Asynchronmaschine in der komplexen Ebene.

Maßstäbe für den Heylandkreis: Strommaßstab:

cm

A2Im

Leistungsmaßstab:

cm

kW4,22V40033

cm

AmUm IP

Drehmomentenmaßstab:

cm

Nm64,7

60

30002

kWs4,2

2 0

n

mm P

M

Kipp- und Nennmoment aus dem Kreisdiagramm:

Mkipp = 2,8 cm · 7,64 Nm/cm = 21,4 Nm Mn = 1,3 cm · 7,64 Nm/cm = 9,9 Nm

Aus Daten: Nm9,928902

603

skWPM

n

nn

Xk

X1h

I1

I2´

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 47 -


Die Asynchronmaschine wird als Schleifringläufer mit Läuferwicklung oder als Kurzschlussläufer gebaut. Der Kurzschlussläufer besteht aus trommelförmigen Kupferstäben, die an den Stirnseiten mittels einem Ring kurzgeschlossen sind. Dies ist, neben den permanent erregten Synchronma-schinen, die robusteste Bauart elektrischer Maschinen und wird daher für die E-Mobilität vornehmlich angewandt

Die Synchronmaschine hat als Läufer ein gleichstromerregtes oder über Permanentmagnete erreg-tes Polrad.

Aufbau und Kennlinie der Asynchronmaschine

Der Asynchronmotor ist der am meisten verwendete Industriemotor. Er kann direkt (mit Motor-schutzschalter) ans Drehstromnetz angeschlossen werden und ist sehr robust und einfach zu bauen. Grosse Asynchronmotoren haben einen guten Wirkungsgrad. Wegen dieser guten Eigenschaften ist dieser Antrieb international normiert und er wird auf der ganzen Welt in großen Stückzahlen produ-ziert.

Schnitt durch einen Asynchronmotor Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie einer 2-poligen 3 kW Asynchronmaschine am 50 Hz Netz.

Der Asynchronmotor hat seinen Namen von der Tatsache, dass er sich nicht genau mit der Netzfre-quenz dreht. Er hat nur ein Drehmoment, wenn seine Drehzahl von der synchronen Drehzahl ab-weicht. Im Betriebsbereich ist das Drehmoment proportional zu dieser Abweichung, welche als Schlupf bezeichnet wird. Bei übersynchroner Drehzahl geht er in den Generatorbetrieb über.

Bei der Asynchronmaschine wird die Rotorspannung über das Statormagnetfeld induziert, aus die-sem Grund wird sie auch Induktionsmaschine genannt. In die Nuten des Stators sind die Wicklungs-pakete eingelegt. Im Rotor ist beim Kurzschlussankermotor nur ein Leiter pro Nut eingelegt oder eingegossen. Die Rotorleiter werden über je einen Ring an den Stirnflächen des Rotors kurzge-schlossen.

b) Synchronmaschine Die Synchronmaschine besteht aus einem Stator als Träger einer Drehstromwicklung und einem rotierenden, mit Gleichstrom oder auch durch Permanentmagnete erregtem Polrad. Das im Inneren des Stators durch die drei um je 120 ° räumlich versetzte Wicklungen, die mit zeitlich um 120° ver-setzte Wechselströme gespeist werden, sich ausbildende rotierende Magnetfeld ist entsprechend einer elastischen Federverbindung mit dem Magnetfeld des Polrades in kraftschlüssiger Verbindung und nimmt das Polrad in synchroner Drehzahl mit. Die Synchronmaschine wird als Schenkelpolmaschine oder als Vollpolmaschine mit Trommelläufer gebaut und hauptsächlich als Generator zur Stromerzeugung eingesetzt. Die Drehzahl der Synchronmaschine ist fest mit der Frequenz des Drehstromnetzes gekoppelt:

p

fnn s

60n mit f in 1/s und n in 1/min

Wegen der Massenträgheit des Rotors kann die Synchronmaschine nicht von selbst anlaufen, son-dern muss mechanisch in die Nähe der synchronen Drehzahl beschleunigt werden oder der Selbst-anlauf wird mittels einer der Asynchronmaschine entsprechenden Zusatzwicklung gewährleistet.

Motorbetrieb

Generator- betrieb Nennbetriebs-

bereich

http://www.energie.ch/at/asm/beispiel/eff.htm

http://www.energie.ch/at/asm/beispiel/daten.htm

- 48 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11

Prinzipieller Aufbau und vereinfachter Ersatzschaltplan der Synchronmaschine:

dP jXRIUU 11

Xd ist die Längsreaktanz, Xq ist die Querrreaktanz

PU ist die Polradspannung.

Diese ist proportional dem Erregerstrom der Erregerwickung.

d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1

Phasenschieberbetrieb: Beim übererregten Betrieb wird induktive Blind- leistung ins Netz eingespeist. (Die Maschine wirkt als Kondensator). Übererregter Betrieb Untererregter Betrieb

Die Wirkleistungseinspeisung der Synchronmaschine wird durch Steigerung des Antrieb-Drehmomentes über die Änderung des Polradwinkels erreicht:

Für die Wirkleistungseinspeisung gilt: MnMP 2

IUP 11 , mit: MnP 21 und

sinUXI Pd folgt für 1P : Synchronisierung vor der

Parallelschaltung mit dem

Netz: Dunkelschaltung: Die Polradspannung wird über den Erregerstrom IE eingestellt: Die Spannung U1 wird vom Netz vorgegeben, die Drehzahl n ist über die Frequenz festgelegt, ebenso die Impedanz X1, so dass die Wirkleistungseinspeisung fast nur vom Drehmoment der Antriebsmaschine beeinflusst wird. Durch Änderung der Polradspannung, d.h. durch Änderung der Erregung, wird die Blindleistungseinspeisung und damit das Spannungsniveau im Netz bestimmt.

Leistungsdiagramm für die Leistungseinspeisung der Synchronmaschine:

dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d

UP U1

Re

j

j Xd·I

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1·I

I UP

U1

Re

j

j X1·I

I

Spannung U1 unverändert

UP ~

Xd

R1 I

U1

UP

Xd

R1 I

U1 ~

- 49 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU

Spannungs- Leistungsdiagramm der

Synchronmaschine am Netz

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

Wirkleistung / Kurzschlussleistung p1

Sp

an

nu

ng

/ N

en

ns

pa

nn

un

g u

1

tan phi =0 tan phi =1 tan phi = -1 p1 max

zulässiger

Betriebsbereich

kapazitive Last phi = -45°

rein ohmsche Last phi = 0°

induktive Last phi = 45°

Kurzschluss

Leerlauf

Die Wirk- und Blindleistungen werden zur Darstellung in p.u. Werte (per unit) auf

die Kurzschlußleistung d

n

d

n,

kX

U

X

US

22

13 bezogen, mit:

n,

PP

U

Uu

1

, n,U

Uu

1

11 ,

folgt für die auf die Kurzschlussleistung bezogenen Leistunggrößen: 1

11

,kS

Pp ,

1

11

,kS

Qq

sinuup P 11 , 1

1

1p

uusin

P

, 2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP , 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P , 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP,

mit

1

1

p

qtan folgt für:

2

1

1

1

111

n,

d

,k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

,

, 1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP

Bei kapazitiver Last ist Q1 negativ d.h. die Spannung U1 wird angehoben: Bei rein ohmscher Last ist der Spannungsfall am geringsten. Bei induktiver Last ist der Spannungsfall groß.

Die mittels der Erregung einstellbare Generator-spannung bestimmt die Blindleistungsabgabe und der mittels Antriebs-drehmoment einstellbare Polradwinkel bestimmt die Wirkleistungsabga-be.

Der Polradwinkel darf die Stabilitätsgrenze nicht über-schreiten, da der Läufer der Maschi-ne dann dem mit syn-chroner Drehzahl rotie-rendem Drehfeld des Ständers nicht mehr folgen kann und außer Tritt fällt.

Die Maximumpunkte markieren das durch die Generatorimpedanz ge-gebene Lastmaximum.

Die Wirkleistungsein-speisung ist neben der

Begrenzung durch die Wicklungserwärmung, durch die Stabilitätsgrenze des Polradwinkels mit

30 (Sicherheitsabstand 90 als absolute „Außer-Tritt-Grenze“) zu begrenzt.

- 50 -


sin

d

Peleli

X

UU

n

PPM 1

00

32

211

2

2

11 sinsin

dqd

Pel

XX

U

X

UUP

Berechnungbeispiel für eine Sychronmaschine im Generatorbetrieb: Ein dreiphasiger Synchrongenerator mit Vollpolläufer hat folgende Nenndaten: Un =9 kV, f = 60 Hz, Pn = 90 MW, nn = 720 min

-1, cosφn = 0,6 kapazitiv und Wirkungsgrad η = 96 %.

(Reibung und magnetische Sättigung werden vernachlässigt).

Maschengleichung:

dP XIjRIUU 1111

Synchronreaktanz, Sychroninduktivität und die Spannung U1n:

kV2,53

kV9

31 nn

UU ,

601

npf

5720

606060 1

nn

fp Polpaare (10 polige Maschine)

Ω1kA25

kV25

1

1 ,

,

I

UX

k

nd mH65,2

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d

Nennstrom, Nennmoment und Polradspannung:

kA02,1096,06,0kV93

MW90

cos31

n

nn

U

PI , 13,536,0cosarcn (da kapazitiv)

Drehmoment: kNm1941kWs719317202

60MW90

1.,.

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung: MW,,

MW,

PPP n

el.nn,V 753960

90040

1001

1001

Berechnung des Widerstandes der Ständerwicklung über die Verluste bei vernachlässigter Reibung:

mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 ,,),(

,

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR

d.h. Gegen 5,2 kV Phasenspannung ist der ohmsche Spannungsfall von 124 V vernachlässigbar. Somit gilt:

j24,5336,97j36,9711 ekV5214e10,02kV5,2kVΩ1e1kA021025 ,,jkV,XIjUU dP

oder: nndnndP cosIjXsinIXUU 111

524521401262161360021080021025 ,j

P ekV,kV,jkV,,kV,j,kV,kV,U

Zeigerbild der Spannungen und Stromortskurven:

Drehmomentengleichung:

sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

,sinkV,,

Pel

MW,Pel 0494

Für die Schenkelpolmaschine mit mit der Längsreaktanz Xd und der Querreaktanz Xq gilt mit Xq < Xd:

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2/I1k=0,5

I2/I1k=1

I2/I1k=1,5

Grenze der Antriebsleistung (Wirkleistung)

Grenze Ro-torerwärmung

überererregt untererregt

Motor- betrieb

P

P ist der Arbeitspunkt im Nennbetrieb

δ MNmsMW

Mi 24717202

600494,

,

- 51 -


7.5 Transformatoren

Ein Transformator besteht aus einem Eisenkern der aus Dynamoblech zusammengestellt wird und aus einer oberspannungsseitigen und einer unterspannungsseitigen Wicklung aus isoliertem Kup-ferdraht. Ersatzschaltplan des Transformators:

Die ohmschen Widerstände R1k und R2k kennzeichnen die Kupferverluste die beiden Längsinduktivitäten X1σ und X2σ kennzeichnen die Streuung der Wicklungen, der ohmsche Quelle: Widerstand im Querzweig RFe kennzeichnet die Eisen- https://lp.uni-goettingen.de/get/text/360 verluste und die Induktivität Xh die ideale Induktionswirkung des magnetischen Flusses in den beiden Spulen. Da die Längswiderstände sehr viel kleiner sind als die Querwiderstände, ist es zweckmäßig, für den Normalbetrieb einen vereinfachten Esatzschaltplan aus den beiden Grenzbetriebszuständen:

„Leerlauf“ und „Kurzschluss“ abzuleiten: Leerlauf-Ersatzschaltplan Kurzschluss-Ersatzschaltplan

Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0

Legt man nun an die Primärwicklung eine Spannung U1 an, so fließt ein Strom I1 durch die Spule, welcher einen magnetischen Fluss Φ erzeugt, der gemäß dem eingezeichneten Windungssinn im Uhrzeigersinn durch das Eisenjoch gerichtet ist. Dieser magnetische Fluss Φ durchsetzt die zweite Spule vollständig. Ist die angelegte Spannung U1eine Wechselspannung, so wird nun durch den Fluss Φ in der Sekundärspule eine Spannung induziert. Die an der Primärspule angelegte Spannung sei eine Wechselspannung der Form:

tutu cosˆ11 mit dem Effektivwert U1.

Nach dem Induktionsgesetz wird durch den zeitlich sich ändernden Fluss Φ(t) in der erregenden Spule selbst eine Spannung induziert, die so gerichtet ist, das sie der Ursache ihrer Entstehung ent-gegen wirkt:

dt

dwtu i

1 Damit gilt 01 tutu i d.h. es fließt nur ein kleiner Leerlaufstrom zur Abde-

ckung der Verluste, die bei der Ummagnetisierung im Eisen und als Kupferverluste in der Wicklung entstehen.

Unter der Annahme, dass die Spule der sekundären Wicklung vollständig vom Fluss Φ durchdrun-gen wird, wird in dieser Wicklung auch eine Spannung induziert:

dt

dwtu

22 . Damit ergibt sich für das Verhältnis beider Spannungen für den Transformator im

Leerlauf: 2

1

2

1

w

w

tu

tu entsprechend gilt das auch für die Effektivwerte:

2

1

2

1

w

w

U

U ,

1

2

2

1

w

w

I

I ,

112 PPPP v

R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

https://lp.uni-goettingen.de/get/text/360

- 52 -


Da für den Transport elektrischer Energie über Leitungen die Übertragungsverluste dem Quadrat

des Stromes proportional sind: RIPv 2, ist es zweckmäßig, den Strom sehr klein zu halten und

dafür die Spannung möglichst hoch zu wählen, damit die erforderliche Leistung IUP weiterhin

verfügbar bleibt. In der heutigen Zeit wird sehr viel elektrische Energie benötigt. Will man diese z.B. über Hochspan-nungsleitungen über weite Wege transportieren, so ist es günstig, eine hohe Spannung zu wählen. Dies ist sinnvoll, da bei vorgegebener übertragender Leistung der Leistungsverlust durch Wärme-entwicklung infolge des Leitungswiderstandes möglichst gering ausfällt. Kurzum: Ist die Spannung sehr hoch, ist der Leistungsverlust geringer als bei niedrigen Spannungen, Daher benötigt man viele Transformatoren im Netz der öffentlichen Versorgung und auch in vielen elektrischen Geräten.

7.6 Umrichter Die Umrichter nehmen bei den industriellen elektrotechnischen Anwendungen eine dominierende Stellung ein. Dies sowohl in der Antriebstechnik bei allen Produktionsprozessen, wie auch auf dem Gebiet der Stromerzeugung mit drehzahlvariablen Antrieben, wie z.B. bei Windenergieanlagen oder auch bei der Stromerzeugung auf Gleichstrombasis wie bei Photovoltaikanlagen.

Zum Betrieb drehzahlgeregelter elektrischer Antriebe ist es notwendig, die Netzspannung in eine variable Spannung und variable Frequenz umzuwandeln. Dies geschieht üblicherweise mithilfe eines Gleichspannungs-Zwischenkreises:

Der netzseitige Umrichter kann Oberschwingungen erzeugen:

Die Oberschwingungen werden von 30 -50 % auf nur 5 % reduziert:

Bei elektrischen Maschinen gilt allgemein für die Drehzahl:

Der netzseitige Umrichter und der eingebaute Filter: Für das Drehmoment gilt:

d.h. Wenn bei veränderlichem Drehmoment die Drehzahl konstant gehalten werden soll, muss der Quotient: konstant sein. d.h. bei vorgegebenem magnetischen Fluß Φ muss

die Spannung entsprechend geregelt werden.

Quelle: ABB review 2I16, „Gerührt, nicht geschüttelt“, „Ultralow Harmonic Drives beseitigen schädliche Oberschwingungen aus Nahrungsmittel und Getränkeanwendungen“.

U

kn

IkM

U

- 53 -


Ra

Ia Ui = Ua

La

Dabei sind zwei Umrichter so hintereinander geschaltet, dass der einspeisende Wechselstrom (AC) im ersten Umrichter in Gleichstrom (DC) und anschließend im zweiten Umrichter wieder in Wechsel-strom mit der gewünschten Spannung und Frequenz umgewandelt wird. Der netzseitige Umrichter besteht häufig aus einer Sechspuls-Diodenbrücke, die insbesondere Oberschwingungen der fünften und siebten Ordnung erzeugt, die bis zu 50 % des Gesamtstromes ausmachen können. Die vorste-hende LCL-Filter Beschaltung ist in Verbindung einem Eingangsstromrichter, der an Stelle der Dio-den IGBT`s verwendet, die eine aktive Modulation glatter Wellenformen ermöglichen, in der Lage die Stromverzerrung unter 5 % zu reduzieren.

7.7 Gleichstrommaschinen Mit dem verstärkten Einsatz kostengünstiger statischer Frequenzumrichter zur Drehzahlsteuerung von Drehstrommaschinen hat die Gleichstrommaschine den entscheidenden Vorteil der guten Dreh-zahlregelbarkeit verloren. Dadurch ist die Anwendung von Gleichstrommaschinen in der Industrie stark zurück gegangen.

Kraft- linienweg des Flusses in der Längsachse (Hauptfluss), erregt durch die Hauptpolwicklung. Der Kraftlinienweg in der Querachse ist durch die Anker-, plus Wendepol- plus Kompensationswicklung erregt.

Betriebsverhalten: Das Betriebsverhalten der Gleichstrommaschine kann aus dem Ersatzschaltplan abgeleitet werden: Beim Motor ist Ia positiv, beim Generator ist Ia negativ

Bia

aaaa UUdt

dILRIU

Für den stationären Betrieb ist der Differentialquotient gleich Null. Die Bürstenspannung UB beträgt rd. 2 V.

- 54 -


Das Betriebsverhalten der Gleichstrommaschine wird im stationären Betrieb durch drei Glei-

chungen beschrieben:

Baaia URIUU nkUi 1 ai IkM 2

Daraus folgt:

11 k

URIU

k

Un Baaai , ai I

kM

2

1

Gleichstrommaschinen werden je nach Anwendungsfall als Nebenschluss-, Reihenschluss- oder Doppelschlussmaschinen gebaut und eingesetzt. Nebenschlussmaschinen können selbst- oder fremderregt sein.

Anschlussschaltpläne für Gleichstrommaschinen:

Motoren

Fremderregter Motor L+

2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+

1L- Man beachte: Durch den Neben-schlusskontakt am Anlasswiderstand ist sichergestellt, dass der Nebenschlusskreis vorrangig eingeschaltet ist (VDE 530).

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1

Doppelschlusswicklung

1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1

Nebenschlusswicklung

2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

Reihenschlusswicklung

- 55 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI

Generatoren

7.8 Kurzschlussstromberechnungen

tutu cosˆ)( , dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit:

R

X

R

L

R

LT

Dgl. 1.Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ ,

R

LT ist die Zeitkonstante des Systems

Homogene Gleichung: 0dt

diTi h

h mit dem Lösungsansatz: T

t

h eki

Partikuläre Lösung durch Ansatz in Form des Störgliedes:

tBtAi p cossin

tBtAdt

dip sincos mit L multipliziert und eingesetzt in die

Ausgangsdifferenzialgleichung 1. Ordnung ergibt mit: R

X

R

LT

:

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi

Der Koeffizientenvergleich ergibt zwei Gleichungen zur Bestimmung der beiden unbekannten Grö-

ßen A und B: sinˆ

R

uTBA , cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA

Diese ergeben sich aus den Matrizengleichungen:

221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R

Man beachte: Beim Generator ist die Ankerstromrichtung umgekehrt gegenüber dem Motorbetrieb.

L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1

Fremderregter Generator

1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1

Nebenschlusswicklung

1

2 3

- 56 -


cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA

sinˆcossinsincosˆcossin

ˆii

Z

X

Z

R

Z

uA entsprechend folgt

für B:

cosˆsinsincoscosˆsincos

ˆii

Z

X

Z

R

Z

uB

Gesamte Lösung: tititi ph mit der Anfangsbedingung: 00 ti folgt:

Aus: 1cos0sinˆ0 ik

folgt: cosik folgt die

Gesamte

Lösung:

Für φ = 90° ist φi = -90°

7.9 Kraftwirkungen durch Kurzschlussströme in Anlagen Die magnetischen Kräfte durch Kurzschlussstrom-belastete Leitungen sind für die statische Dimensionierung von Hochspannungs- schaltanlagen von großer Bedeutung. Für die Kraftwirkung gilt die Vektorgleichung:

Die magnetische Induktion am Ort des vom Strom I durchflossenen Leiters setzt sich aus dem jeweiligen Anteil der magnetischen Feldstärke der beiden anderen Leiter zusammen. Sie ergibt sich aus der elektrischen Feldstärke H(r), wobei r der radiale Abstand vom Betrachtungsort zum Leiter ist:

Mit tItiti sin2sinˆ111 , 120sin222 tIti , 240sin233 tIti

gilt für die Kräfte auf die Sammelschienenstützer:

la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011

Für die Ströme eines Dreileiter- Drehstromnetzes gilt: 0321 III und falls es sich um symmetri-

sche Verhältnisse handelt ist: I1 = I2 = I3 = I d.h. die Effektivwerte der Kurzschlussströme sind gleich groß.

lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1

Für die längenbezogenen Kräfte der drei Leiter jeweils durch die Magnetfelder der beiden anderen gilt:

2

240sin120sinsin 021 t

ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022

(hier sind beide Abstände gleich a)

120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

Kurzschlussstrom i(t)

-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV

i(t) i(t) o.G. i(t) u.G. u(t)kA

coscosˆ T

t

etiti

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 57 -


C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 0,01 F

Für I = 1000 A ist 2ˆ Ii = 1.414 A

Daten: I=1.000 A, a=0,1m Mit: Am

Vs6

0 1025,1 und a = 0,1 m

Fmax = ± 3,45 N/m Folgt für: m

N

a

i98,3

2

ˆ0

2

7.10 Dualität: Mechanik - Elektrik

EdtiCdt

diLRi

1.

dt

duCi C

Daten: m = 1 kg, D = 100 N/m, μ = 1N/(m/s) EuuRCuLC CCC

Anfangsbedingungen: x(t=0) = 0, uc(t=0) = 0 v0 = dx/dt(t=0) = 0, i(t=0) = 0

gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1

Relationsbeziehungen:

R , C

D1

, Lm , LC

Eg Hkg 11 :

mL

R , 11

1

)//(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D

LC, ( 0 ist die Kennkreisfrequenz) F

s

mNs

kg

DL

mC 01,001,0

/1001

1

2281,9

1100

s

mx

sxx

für x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

01,0

1100 für u in V

Lösung der charakteristischen Gleichung: 99,95,01002

1

2

12

2,1 jWm

t=0

Direktions- konstante D = 100N/m (Federkonstante)

Masse m = 1kg

x

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2.000

-1.000

0

1.000

2.000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

N/m

Str

om

in

A

Winkel

Ströme und Kräfte im Drehstromsystem

I1 I2 I3 F1 F2 F3

- 58 -


Weg x und Geschwindigkeit v

0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50

100cm/s Spannung uc und Strom i

0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

11.800 Wh/kg

9.910 Wh/l

Diesel

Quelle: ABB technik 2/10.

Wettbewerbsproblem zwischen Flüssig-

brennstoff und E-Fahrzeug mit Batterie: Der Brennstoff „Diesel oder Benzin ist in einem Blechtank der fast nichts kostet, länger hält, als das Fahrzeug und ganz ohne Abnut-zung in Abhängigkeit von der Anzahl der „Aufladungen“ ist. Eine Aufladung (tanken) dauert zwei Minuten, eine Aufladung der Batterie 3 - 5 Stunden mit sehr begrenzter Lebensdauer bei Schnellladung.

Obschon die Effizienz des E - Antriebs um den Faktor 3 günstiger ist (allerdings ohne Heizung oder Klimatisierung), müssen wir leider beken-nen, dass die Möglichkeit der elektr. Energie-speicherung sehr begrenzt ist.

dj

sj

sm

199,9

15,02,1

d.h. es liegt Fall 3 vor, da 0W ist.

Für die partikuläre Lösung gilt: cm 10m1,0m0981,0kg100

mkg81,9

N/m100

s

m9,81kg1

2

D

gm

D

Gx p

VEupC 100, mit: Spannungsmaßstab mu=10 V/cm

Lösung für Fall 3): x(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)·e-δ·t

+ xp ( d ist die Eigenkreisfrequenz)

Anfangsbedingung: Wegen x(t=0) = 0 muss A = -xp sein. D.h. A = -10 cm.

0sincoscossin tBtAeetBtAdt

dxdd

tt

dddd für t = 0

m5,09,99

0,5m100 ccABABAB

d

dd

Zeitlicher Verlauf des Weges x(t): Zeitlicher Verlauf der Spannung uC(t):

m10sin5,0cos105,0

cetttx s

t

dd

V100sin5cos1005,0

s

t

ddC etttu

Geschwindigkeit v(t): Strom i(t):

t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

5,0

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

5,0

sin10)(

7.11 Entwicklung der Batterietechnik Der bestimmende Nachteilsfaktor des Elektroantriebs nicht schienengebundener Fahrzeuge ist nach wie vor das Energiespeicherproblem. Die Entwicklung wieder aufladbarer Systeme auf elektroche-mischer Basis hat bereits gewaltige Fortschritte gemacht. Von der Blei-Säure Batterie bis zur Lithi-um-Ionen Batterie war eine Verbesserung des spezifischen Speichervermögens elektrischer Energie etwa um den Faktor zehn realisiert, in Relation zu dem Konkurrenten Benzin/Diesel wäre aber nochmals ein Steigerungsfaktor von 10 gefordert. Das ist jedoch auf dieser eV - Technologie wohl nicht zu erwarten.

- 59 -


Wenn überhaupt, wäre der Einstieg in die MeV-Technolgie der Kerntechnik, jedoch ohne Tabuisie-rung der Radioaktivität, möglicherweise ein erfolgversprechender Weg, bei dem die Energiebasis

bereits physikalisch mit 2cmE um den Faktor 10

6 höher liegt (von der eV zur MeV - Techno-

logie).

Bei den amerikanischen Mondlandemissionen hatte man zur Strom- und Wärmeerzeugung eine Plutonium - Batterie an Bord:

Kernenergie lässt sich über drei Wege

in Form von Wärme nutzen:

a) beim radioaktiven Zerfall, z.B.:

238

Pu → 234

U + α + 5,5 MeV

b) über den Aufbau schwerer Kerne aus leichten Kernen (Kernfusion), z. B.:

2D +

3T →

4He +

1n + 17,5 MeV

c) über die Spaltung schwerer Kerne (Kernspaltung),

z. B.: 235

U + 1n → 2 Spaltprodukte + 2-3 Neutronen + 200 MeV,

entsprechend 22,8 Mio. kWh/kg

Das wichtigste Nuklid für Isotopenbatterien ist 238

Pu, da es mit einer Halbwertszeit von 87,74 Jahren beim Zerfall nur gut abschirmbare α-Strahlen mit 5,5 MeV emittiert und die Zahl der Spontanspalt-neutronen wegen der langen Spontanspalthalbwertszeit von

238Pu niedrig ist.

Sämtliche im Rahmen des Apollo-Mondlandungsprogramms benutzten Isotopenbatterien enthielten 238

PuO2 als Energiequelle (SNAP-27 mit ca. 4 kg 238

PuO2 lieferte bei 1480 Wth eine elektrische Leis-tung von ca. 60 W). Für die Erforschung der äußeren Planeten unseres Sonnensystems sind Pu-Isotopen-Batterien die bisher einzige, zuverlässige Energiequelle. Für die thermische Leistung obiger Plutonium-Quelle gilt:

WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 7,1001007,0

876074,87

12510451,4

238

110022,6

5,5 20

23

8. Energiewende Die Energiewende ist gemäß den Vorgaben unserer Bundesregierung der Weg in eine sichere, um-weltverträgliche und wirtschaftlich erfolgreiche Zukunft: Beim BMWI heißt es: „Mit den am 8. Juli 2016 beschlossenen Gesetzesvorhaben schlagen wir ein neues Kapitel der Energiewende auf. Wir haben die verschiedenen Elemente der Energiewende stimmig zusammen-gefügt und für die Zukunft gerüstet. Aus den vielen Puzzleteilen erneuerbare Energien, Strommarkt, Energieeffizienz, Netze und Digitalisierung haben wir einen konsistenten Gesamtrahmen für die Energiewende geschaffen. Damit haben wir die größte Reform des Strommarktes seit der Liberali-sierung in den neunziger Jahren gestemmt: wir integrieren die erneuerbaren Energien weiter in den Strommarkt, schaffen einen Strommarkt 2.0, der fit ist für wachsende Anteile Erneuerbarer Energien und ermöglichen die digitale Infrastruktur für eine erfolgreiche Verbindung von über 1,5 Millionen Stromerzeugern und großen Verbrauchern. Unsere Reformen sind eingebettet in den europäischen Binnenmarkt, da ein gemeinsames Vorangehen effizienter ist als nationale Alleingänge. Die Energiewende steht auf rechtlich und ökonomisch sicherem Grund und ist erstmals auch euro-päisch durchdacht. Das haben wir mit der 10-Punkte-Energie-Agenda zu Beginn dieser Legislaturpe-riode angekündigt, das haben wir nun umgesetzt. Die nächste Phase der Energiewende kann begin-nen.“

Der jährliche Monitoring-Bericht des BMWI ist das Kernstück des Monitoring-Prozesses zur Ener-giewende. Er verdichtet die Vielzahl an verfügbaren energiestatistischen Informationen auf eine überschaubare Anzahl ausgewählter Kenngrößen und macht sie dadurch verständlich. Die Daten geben einen faktenbasierten Überblick über den Fortschritt bei der Umsetzung der Energiewende. Als rückblickende Dokumentation richtet der Bericht den Blick auf das jeweilige Vorjahr. Damit dient er auch der Erfüllung der Berichtspflichten der Bunderegierung nach den Vorgaben aus dem Ener-giewirtschaftsgesetz und dem Erneuerbaren-Energien-Gesetz (EEG).

100 Watt Pu-238 Quelle, wie sie in einer Raumfahrtmission 1970 verwendet worden ist. Die Quelle ist 250 g schwer und ungefähr 3 cm im Durch-messer. Quelle: Los Alamos National Laboratory, U.S.A

- 60 -


8. 1 Ganglinien der Leistung der öffentlichen Stromversorgung

8. 2 Auswirkungen des Stromhandels an der Strombörse, Muttertagereignis

Am diesjährigen Muttertag dem 8.5.2016 wurden in der Zeit von 10 bis 17 Uhr 352 GWh Strom ver-

schenkt und noch 21,3 Millionen Euro hinzu gegeben, damit die Beschenkten auch bereit waren,

das Stromgeschenk anzunehmen. Dieses Stromgeschenk wurde vorher im gesetzlichen Rahmen

des EEG zwangsweise von den vielen kleinen Wind- und Solarstromproduzenten für rd. 70 Millio-nen € aufgekauft, eben weil viel Sonne schien und ein mäßiger Wind wehte. Zu Lasten aller Strom-

verbraucher verbleiben somit rd. 91 Millionen €.

Aus dem Gangliniendiagramm der Einspeiseleistungen aller Kraftwerke wird ersichtlich, dass es am diesjährigen sehr sonnenreichen Muttertag bei zusätzlichem Windaufkommen der sich anbahnenden Gewitterfronten wieder zu viel Erzeugungsleistung im deutschen Stromnetz war. Demzufolge muss-ten die Steinkohle-, Braunkohle und sogar die Kernkraftwerke zum Teil bis an die Grenze ihrer Min-destlast heruntergefahren werden, um dem Solar- und Windstrom Platz zu machen.

Installierte Windleistung 46.610 MW + Solarleistung: 40.081 MW

insgesamt: 86.691 MW

Residuallast am 8.5. Residuallast am 25.5.

Installierte Windleistung: 39.674 MW, installierte Solarleistung: 38.267 MW

insgesamt: 77.941 MW

Die verbleibende braune Fläche (Residuallast) wird derzeit durch konventionelle Leistung abgedeckt, demnächst durch Gaskraftwerke deren Gas aus Russland kommt. Die Relation der beiden Flächen ist nur eine Frage der Kosten, derzeit rd. 20 Mrd. € pro Jahr EEG- Wind/Solar-Subvention.

Dreimol Null is Null

bliev Null!

- 61 -


Negative Börsenpreise

Leistungsganglinien aller Einspeisungen vom 1. bis 8.5.2016

Die Folge der Überangebote an fluktuierender Wind- und Sonnenstrom ist die triviale Wahrheit dass Strom, der nicht gebraucht wird, keinen Wert hat, ja sogar von Übel ist, da er abgenommen werden muss, um ein hochgehen der Netzfrequenz zu vermeiden. Die 50 Hz Netzfrequenz ist das Regulativ aller drehenden elektrischen Maschinen hinsichtlich deren Drehzahl und dem minimalen Schwin-gungsverhalten großer Turbi-nensätze. Es ist daher für den europäi-schen Ver-bundbetrieb, der mit einen Leistungskoef-fizienten von rd. 27.000 MW/Hz die Stabilität des Verbundbetrie-bes garantiert, sehr wichtig das Gleichge-wicht von Er-zeugungsleis-tung und Ver-braucherlast stets aufeinan-der abzustim-men. Reaktion der Börsenpreise auf das Ungleichgewicht von Stromerzeugung und Stromverbrauch im Verbundnetz. Negative Börsenpreise entstehen zwangsläufig dann, wenn bei starkem Wind- und Solarstromauf-kommen die Mindestlast der unverzichtbaren konventionellen Kraftwerke unterschritten wird und diese dann zum Abschalten gezwungen sind. Dann ist das teure Stromgeschenk im Börsenhandel das kleinere Übel. In der Zeit von 14 bis 15 Uhr sank der Börsenpreis auf den negativen Wert von -130,09 €/kWh entsprechend -13,01 ct/kWh:

Muttertag

Am Muttertagssonntag

war viel Sonne und Wind,

aber wenig Last:

Kernenergie-, Braunkohle- und Stein-

kohlestrom müssen runter gefahren

werden (Mindestleistungsgrenze 30% Pn)

Feiertag:

Christi Himmelfahrt

Wenig Wind, und nachts keine Sonne,

daher viel Kohle- und Kernenergiestrom, ohne

die geht es nicht, aber niemand will für die

Vorhaltung der Leistung bezahlen!

Insgesamt hat der Überschussstrom den Stromverbrauchern am 8.5. in der Zeit von 10 bis 17 Uhr rd. 91 Mio. € gekostet.

- 62 -


Fazit: Die Zielset-zungen der Energiewende sind auf ver-nünftige, d.h. energiewirt-schaftlich für die Stromver-braucher ver-tretbare Ziel-werte zurück zu nehmen. Dies bedeu-tet, keinen weiteren Aus-bau der Wind- und Solaran-lagen anzu-streben und für die vor-handenen Anlagen ein Marktmodell für die Strom-abgabe und Stromvergü-tung einzufüh-ren.

Eine Ersatz-leistungsbe-reitstellung durch konventionelle Kraftwerke - in der Zukunftsperspektive werden das wohl Gaskraftwerke sein, deren Mehrerdgasbezug aus Russland kommen muss -, wodurch wiederum der Erdgasbezug zur Versorgung der deutschen Erdgasheizungen nach dem Gesetz von Angebot und Nachfrage teurer werden wird, ist unumgänglich. Denn alle diskutierten Stromspeicherlösungen sind entweder weit teurer oder sogar realistisch nicht verfügbar, gegenüber dem aufgezeigten Zielpfad mit der backup Lösung mittels Gaskraftwerke im Rahmen aller Randbedingungen der Energiewende.

Die derzeit in Deutschland vorhandene Speicherkapazität einschließlich Vianden (Luxemburg) von rd. 10 GW Leistung, bei rd. 60 GWh verfügbarer Arbeit, ist zur Überbrückung auch nur eines einzi-gen Tages mit Windflaute und nebeliger Wetterlage, also auch an Tagen ohne Photovoltaikleis-tungs-dargebot, mit einem Tagesbedarf von rd. 1,6 TWh nur der Tropfen auf einen heißen Stein. Dabei waren diese Pumpspeicherkraftwerke ja auch bereits ohne eine einzige Wind- oder Photo-voltaikanlage für einen stabilen Netzbetrieb erforderlich, sonst wären die ja nicht da. Dabei kostet der Strom der hier gespeichert werden soll - im Wind/Sonnenmix - ja bereits zwischen 8 bis 20 ct/kWh, also ein Mehrfaches des erträglichen, plus Speicherkosten sicher nicht weniger.

Auch von Seiten der mit hoher Erwartung und staatlichen Subventionsanreizen versehenen E-Mobilität ist kein nennenswerter Beitrag zur Lösung des Stromspeicherproblems zu erwarten. Am Tag benötigen wir für die öffentliche Stromversorgung die vorgenannten rd.1,6 TWh an fünf aufei-nander folgenden Tagen mit mangelnder Sonnen- und Windenergie also rd. 8 TWh. E-Autos haben eine Batterie mit einem Speichervermögen von 20 bis 40 kWh. Wenn also die an der Ladestation stehenden E-Autos zur Netzstützung Strom an den fünf Mangeltagen je Fahrzeug 20 kWh bereitstel-len sollen, wären dazu 8 TWh/20 kWh = 400 Millionen Fahrzeuge erforderlich, d.h. jede Familie in Deutschland müsste 10 E-Autos haben die an diesen 5 Tagen an entsprechend vielen Ladesäulen zurück speisen würden. Es ist daher einfach absurd, von daher einen nennenswerten Beitrag zur Stromspeicherung für die Netzstützung zu erwarten. q.e.d.

Tag Stunde EEX Börsen-

wert in €/MWh

Handels-menge in

MWh Summe in €

08.05.2016 0 14,20 26.609,70 377.857,74 08.05.2016 1 10,01 27.030,00 270.570,30 08.05.2016 2 7,98 27.561,60 219.941,57 08.05.2016 3 5,07 27.063,40 137.211,44 08.05.2016 4 4,00 26.065,60 104.262,40 08.05.2016 5 3,00 25.921,00 77.763,00 08.05.2016 6 2,91 25.840,70 75.196,44 08.05.2016 7 2,79 26.573,20 74.139,23 08.05.2016 8 4,00 30.910,90 123.643,60 08.05.2016 9 2,35 36.688,60 86.218,21 08.05.2016 10 -1,63 42.024,30 -68.499,61 08.05.2016 11 -7,09 46.323,30 -328.432,20 08.05.2016 12 -76,09 47.967,10 -3.649.816,64 08.05.2016 13 -100,06 46.029,50 -4.605.711,77 08.05.2016 14 -130,09 44.682,00 -5.812.681,38 08.05.2016 15 -82,06 43.709,70 -3.586.817,98 08.05.2016 16 -76,00 42.876,50 -3.258.614,00

Summe (neg. Preise)

08.05.2016 17 -0,60 37.964,00 -22.778,40

-21.333.351,98 €

08.05.2016 18 10,40 32.177,30 334.643,92 08.05.2016 19 19,35 27.886,20 539.597,97 08.05.2016 20 19,40 26.947,10 522.773,74 08.05.2016 21 20,02 27.073,40 542.009,47 08.05.2016 22 20,12 26.286,40 528.882,37 08.05.2016 23 18,66 25.713,80 479.819,51

Durchschnitt Summe Summe (alle)

-21,10 797.925,30 -16.838.821,08

Börsenpreise am Muttertag den 8.5.2016

Jülich, Fachbereich 10 Energietechnik Prof. he ... · 7. 4 Elektrische Maschinen, Erzeugung eines...

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