Kalibration - · Kalibration Ausser bei direkten Methoden (primary methods) wie z. B. Gravimetrie...

KalibrationAusser bei direkten Methoden (primary methods) wie z. B. Gravimetrie und

Coulometrie ist eine Kalibration immer notwendig. Die Analyse hat deshalb zwei Schritte:

1. Ermittlung der KalibrationsfunktionSignal = f(Konzentration), s = c k Signale von Proben bekannter Konzentration messen: s, c Paare bekannt, k durch Regression berechnen (kleinste Fehlerquadrate von s).

2. Messung: Konzentration = f(Signal), c = s/k (Für die Fehleranalyse: vgl. Chemometrie Skript Teil 2).

Grundsätzlich mögliche Alternative der Kalibrationsfunktion: Konzentration = f(Signal), c = s p Signale von Proben bekannter Konzentration messen: c,s Paare bekannt, p durch Regression berechnen (kleinste Fehlerquadrate von c).Messung: c = s p

Matrixeffekt und Interferenz

Matrixeffekt x

y

Interferenz x

y

Matrixeffekt: Beeinflussung der Steilheit der Antwortfunktion (Empfindlichkeit)Matrixeffekte können durch Standardaddition berücksichtigt werden

Interferenz: Vertikalverschiebung der Antwortfunktion Die Interferenzen können durch Standardaddition bei linearer Antwortfunktionen nicht berücksichtigt werden

Interferenzen können durch vorherige Auftrennung oder durch gleichzeitige Messung der interferierenden Komponenten eliminiert werden.

Multivariate Messung: gleichzeitige Messung mit mehreren Sensoren, z. B. bei mehreren Wellenlängen (Diodenarray, FT-NIR), bei mehreren Massen, etc.

Die interferierende Komponente wird gleichzeitig mitbestimmt.

Kalibrationskoeffizient --> Kalibrationsmatrix: Empfindlichkeit jedes Sensors gegenüber jeder Komponente.

Multivariate Kalibration

NotationSignal: s (skalar) sT (Zeilenvektor: eine Probe, mehrere Sensoren) S (Matrix: mehrere Proben, mehrere Sensoren)Konzentration: c (skalar) cT (Zeilenvektor: eine Probe, mehrere Komponenten) C (Matrix: mehrere Proben, mehrere Komponenten)Kalibrationskoeffizienten: K (Kalibrationsmatrix) P (Kalibrationsmatrix)

Die Zusammenhänge:Ein Sensor, eine Probe: s = c kMehrere Sensoren, eine Probe mit mehreren Komponenten:

s1 = c1k11 + c2k21 + … s2 = c1k12 + c2k22 + …In Matrixnotation: sT = cT K

Mehrere Sensoren, mehrere Proben: S = C K

Messung einer Probe mit einer Sensorarray

1, 2, 3, ... , n

Sensoren, j

Signal

Sensoren, j

1, 2, 3, ... , m

Komponenten, i

Konzentration

Ko

mp

on

ente

n, i

=

m

n

kij: Empfindlichkeit des j-ten Sensors auf die i-te Komponente

Signalvektor = Konzentrationsvektor x Kalibrationsmatrix

ssT = ccT x KK

Messung vieler Proben mit einer Sensorarray

1, 2, 3, ... , n

Sensoren, j

Pro

ben

Sensoren, j

1, 2, 3, ... , m

Komponenten, i

Ko

mp

on

ente

n, i

=

m

m

p

Pro

ben

p

nn


Signalmatrix = Konzentrationsmatrix x Kalibrationsmatrix

S = C x K

Beispiel

300 400 500

Wellenlänge / nm

Ab

sorp

tio

n0.60

0.40

0.20

0.00

3 Komponenten, 3 Wellenlängen: 330, 410, 460 nm

m = 3 n = 3 K ist eine 3 x 3 Matrix

Beispiel: Kalibration

300 400 500Wellenlänge / nm

Ab

sorp

tio

n

0.60

0.40

0.20

0.00

3 Komponenten3 Wellenlängen: 330, 410, 460 nm3 Kalibrationsproben

0.40 0.05 0.000.13 0.61 0.410.00 0.15 0.20

1 0 00 1 00 0 1

0.40 0.05 0.000.13 0.61 0.410.00 0.15 0.20

=

S = C x KDie Antwrot der Sensoren ergibt direkt die Kalibrationskoeffizienten, da die Konzentrationen = 1 waren (C ist eine Einheitsmatrix)

p1

p2

p3

p1

p2

p3

p1

p2

p3

c1

c2

c3

λ1 λ2 λ3 λ1 λ2 λ3

λ1 λ2 λ3

c1 c2 c3

Beispiel: Messung einer Probe


Ab

sorp

tio

n 0.60

0.80

0.40

0.20

0.00

3 Komponenten, 3 Wellenlängen3 KalibrationsprobenEine Probe

0.28

0.86

0.72

Beispiel: Messung einer Probe


Ab

sorp

tio

n

0.60

0.80

0.40

0.20

0.00

0.28

0.86

0.72 S = C KC = C K K-1 = S K-1

0.40 0.05 0.000.13 0.61 0.410.00 0.15 0.20

2.64 -0.44 0.90-1.14 3.49 -7.16 0.85 -2.62 10.37

K K-1

0.28 0.86 0.72

0.38 1.00 1.56

sT

cT = sT K-1 =

Voraussetzungen

Die Matrix K muss: invertierbar sein gut konditioniert sein • Richtige Wahl der Sensoren (Wellenlängen)

Falls die Kalibration nicht mit reinen Proben erfolgt, muss die GleichungK = C-1 S gelöst werden:Die Matrix C muss: invertierbar sein gut konditioniert sein • Richtige Wahl der Konzentrationen der Kalibrationsproben

S = C K C = S K-1

VerallgemeinerungenMan kann mehr Kalibrationsproben wählen als Sensoren (aber nicht weniger):

S = C x K

1, 2, 3, ... , n

Sensoren, j

Pro

ben

Sensoren, j

1, 2, 3, ... , m

Komponenten, i

Ko

mp

on

ente

n, i

=m

mp p

Pro

ben

nn



Verallgemeinerungen

Konsequenzen: Lineare Regression statt Lösung eines Gleichungssystems sowohl bei der Kalibration als auch bei der Messung

1, 2, 3, ... , n

Sensoren, j

Pro

ben

Sensoren, j

1, 2, 3, ... , m

Komponenten, i

Ko

mp

on

ente

n, i

=m

mp p

Pro

ben

n n

S C K

S = C K

Kalibration: K = C-1 S wird zu K = (CTC)-1CT S

Messung: C = S K-1 wird zu C = S KT(K KT)-1

VerallgemeinerungenMan kann mehr Sensoren wählen als Komponenten vorhanden sind (aber nicht weniger):

S = C x K

1, 2, 3, ... , n

Sensoren, j

Pro

ben

Sensoren, j

1, 2, 3, ... , m

Komponenten, i

Ko

mp

on

ente

n, i

=m

mp p

Pro

ben

n n



Grundlegende Beziehung:Signal = Konzentration x EmpfindlichkeitS = C K

Kalibration: S und C sind bekannt, K wird bestimmt (i.a. Regression)Messung: S und K sind bekannt, C wird bestimmt (i.a. Regression)

K-Matrix-Modell

1, 2, 3, ... , n

Sensoren, j

Pro

ben

Sensoren, j

1, 2, 3, ... , m

Komponenten, i

Ko

mp

on

ente

n, i

=

m

mp p

Pro

ben

n n

S C K

123...m

Grundlegende Beziehung: S = C K (Signal = Konz. x Empfindlichkeit)Kalibration: S und C sind bekannt, K wird bestimmtBei der Regression wird der Fehler in S minimalisiert

K-Matrix-Modell – Kalibration

1, 2, 3, ... , n

Sensoren, j

Ko

mp

on

ente

n, i

=

m m m

m p

p

Probenn Sensoren, j n

SK

123...m

(CTC)-1 CT

123...m

Grundlegende Beziehung: S = C K (Signal = Konz. x Empfindlichkeit)Messung: S und K sind bekannt, C wird bestimmtBei der Regression wird der Fehler in S (oder s) minimalisiert:C = S KT(KKT)-1�oder für eine Einzelbestimmung: cT = sTKT(KKT)-1

K-Matrix-Modell – Messung

m

cT sT

KT (KKT)-1

Komponenten m m

m

Komponentenn

n

Sensoren

=

Grundlegende Beziehung: S = C K (Signal = Konz. x Empfindlichkeit)Kalibration: S und C sind bekannt, K wird bestimmt

Bei der Regression wird der Fehler in S minimalisiertVoraussetzungen:1. Invertierbarkeit der CTC-Matrix: p≥m Es müssen mindestens so viele

Kalibrationsproben gemessen werden, wie Komponenten vorhanden sind2. Die C-Matrix muss gut konditioniert sein

K-Matrix-Modell – Kalibration

1, 2, 3, ... , n

Sensoren, j

Ko

mp

on

ente

n, i

=

m m m

m p

p

Probenn Sensoren, j n

SK

123...m

(CTC)-1 CT

123...m

Wahl der KonzentrationenVergleich von zwei Kalibrationsserien

Serie 1 Serie 2 C1 C2 C1 C2

1.00 1.25 1.00 0.00 2.25 2.00 5.00 0.00 3.00 3.25 10.00 0.00 4.25 4.00 0.00 1.00 5.00 5.25 0.00 5.00 6.25 6.00 0.00 10.00 7.00 7.25 5.00 10.00 8.25 8.00 10.00 5.00 9.00 9.25 5.00 5.0010.25 10.00 10.00 10.00

Wahl der Konzentrationen

10

8

6

4

2

0

0 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

0

0 2 4 6 8 10

Wahl der Konzentrationen Serie 1 Serie 2

C-Matrix C-Matrix

1.00 1.25 1.00 0.002.25 2.00 5.00 0.003.00 3.25 10.00 0.004.25 4.00 0.00 1.005.00 5.25 0.00 5.006.25 6.00 0.00 10.007.00 7.25 5.00 10.008.25 8.00 10.00 5.009.00 9.25 5.00 5.0010.2510.00 10.00 10.00

CTC

399 398398 399

D = 845s1 = 28.25s2 = 0.557k = 50.72

CTC

376 225225 376

D = 90 751s1 = 24.52s2 =12.29k = 2.00

D: Determinante, s1, s2: Eigenwerte, Kondition (s1/s2)

Grundlegende Beziehung: S = C K (Signal = Konz. x Empfindlichkeit)Messung: S und K sind bekannt, C wird bestimmtBei der Regression wird der Fehler in S (oder s) minimalisiert:C = S KT(KKT)-1�oder für eine Einzelbestimmung: cT = sTKT(KKT)-1

Voraussetzungen:1. KKT invertierbar, wenn n ≥ m: Anzahl Sensoren ≥ Anzahl Komponenten2. Die K-Matrix muss gut konditioniert sein: d.h., die Sensoren müssen

unterschiedliche Empfindlichekiten haben.

K-Matrix-Modell – Messung

m

cT sTKT (KKT)-1

Komponenten m m

m

Komponentenn

n

Sensoren

=

Nichtselektive Sensoren?oder: die Überheblichkeit gewisser Chemometriker...

"techniques for calibration and data reduction of ISE measurements ... enable simultaneous analysis of ions even in the case of nonspecific drifting and noisy sensors" M. Otto, J.D.R. Thomas, Anal. Chem. 1985, 57, 2647.

"the ideal sensor array may be adversely affected by too much selectivity"K. Beebe, D. Uerz, J. Sandifer, B. Kowalski, Anal. Chem. 1988, 60, 66.

Simulation nichtselektiver SensorenSimulation von drei Arrays von je vier Sensoren:

1. Simulation: Alle Antworten als Zufallszahlen

2. Simulation: Antwort der 2. Sensoren = 0.9 * (1 Sensor) + 0.1 * Zufallszahl Antwort der 4. Sensoren = 0.9 * (3 Sensor) + 0.1 * Zufallszahl

3. Simulation: Antwort der 2. Sensoren = 0.99 * (1 Sensor) + 0.01 * Zufallszahl Antwort der 4. Sensoren = 0.99 * (3 Sensor) + 0.01 * Zufallszahl

Simulation nichtselektiver Sensoren0.05 0.21 0.11 0.260.07 0.60 0.56 0.100.72 0.48 0.60 0.990.56 0.09 0.67 0.060.81 0.92 0.73 0.500.68 0.87 0.32 0.220.93 0.78 0.01 0.220.67 0.25 0.31 0.020.29 0.07 0.79 0.180.36 0.64 1.00 0.740.81 0.36 0.12 0.680.32 0.23 0.65 0.510.39 0.06 0.65 0.730.88 0.35 0.35 0.670.38 0.66 0.14 0.620.53 0.18 0.17 0.450.63 0.29 0.03 0.760.20 0.92 0.02 0.880.06 0.15 0.04 0.970.54 0.95 0.76 0.510.33 0.31 0.67 0.170.31 0.29 0.97 0.080.94 0.70 0.08 0.530.04 0.72 0.98 0.920.28 0.15 0.43 0.300.19 0.57 0.76 0.010.82 0.30 0.36 0.960.46 0.04 0.37 0.520.94 0.66 0.28 0.910.32 0.33 0.05 0.33

0.05 0.07 0.11 0.130.07 0.12 0.56 0.510.72 0.70 0.60 0.640.56 0.51 0.67 0.610.81 0.82 0.73 0.700.68 0.69 0.32 0.310.93 0.92 0.01 0.030.67 0.63 0.31 0.280.29 0.27 0.79 0.730.36 0.39 1.00 0.970.81 0.76 0.12 0.180.32 0.31 0.65 0.630.39 0.35 0.65 0.660.88 0.83 0.35 0.380.38 0.40 0.14 0.190.53 0.50 0.17 0.200.63 0.60 0.03 0.100.20 0.28 0.02 0.110.06 0.07 0.04 0.130.54 0.58 0.76 0.730.33 0.32 0.67 0.620.31 0.31 0.97 0.880.94 0.92 0.08 0.120.04 0.10 0.98 0.970.28 0.27 0.43 0.410.19 0.23 0.76 0.680.82 0.77 0.36 0.420.46 0.42 0.37 0.380.94 0.91 0.28 0.350.32 0.32 0.05 0.08

0.05 0.05 0.11 0.110.07 0.07 0.56 0.550.72 0.72 0.60 0.600.56 0.56 0.67 0.670.81 0.81 0.73 0.730.68 0.68 0.32 0.320.93 0.93 0.01 0.010.67 0.67 0.31 0.310.29 0.29 0.79 0.790.36 0.36 1.00 1.000.81 0.81 0.12 0.120.32 0.32 0.65 0.650.39 0.39 0.65 0.650.88 0.88 0.35 0.350.38 0.38 0.14 0.140.53 0.53 0.17 0.170.63 0.63 0.03 0.030.20 0.21 0.02 0.020.06 0.06 0.04 0.040.54 0.54 0.76 0.760.33 0.33 0.67 0.670.31 0.31 0.97 0.970.94 0.94 0.08 0.080.04 0.04 0.98 0.980.28 0.28 0.43 0.430.19 0.19 0.76 0.760.82 0.82 0.36 0.360.46 0.46 0.37 0.370.94 0.94 0.28 0.280.32 0.32 0.05 0.05

0.340.230.170.240.350.680.580.590.070.780.090.580.470.460.550.470.140.350.920.850.810.020.210.560.420.280.550.010.120.87

y Array 1 Array 2 Array 3

Nichtselektive Sensoren

0.35 -0.16 -0.02 -0.14-0.16 0.43 -0.11 -0.10-0.02 -0.11 0.24 -0.05-0.14 -0.10 -0.05 0.29

37.81 -39.98 - 5.95 7.69-39.98 42.59 7.95 -10.06-5.95 7.95 24.76 -26.797.69 -10.06 -26.79 29.26

425333.82 -425594.39 -100115.88 100326.15-425594.39 425855.41 100352.05 -100562.69-100115.88 100352.05 292138.61 -292385.44100326.15 -100562.69 -292385.44 292632.71

Array 1 Array 2 Array 3

(XTX)-1

Determinante: 0.0023 23.10 2.3 x 109

Kondition: 14.3 6.8 x 103 6.8 x 106


0.35 -0.16 -0.02 -0.14-0.16 0.43 -0.11 -0.10-0.02 -0.11 0.24 -0.05-0.14 -0.10 -0.05 0.29

37.81 -39.98 - 5.95 7.69-39.98 42.59 7.95 -10.06-5.95 7.95 24.76 -26.797.69 -10.06 -26.79 29.26

425333.82 -425594.39 -100115.88 100326.15-425594.39 425855.41 100352.05 -100562.69-100115.88 100352.05 292138.61 -292385.44100326.15 -100562.69 -292385.44 292632.71

Array 1(keine Korreltation)

Array 2(90% Korreltation)

Array 3(99% Korreltation)

(XTX)-1

xoT(XTX)-1xo für xoT: 0.3 0.5 -0.2 -0.8 0.44 16.7 1.5 x 105

3 5 -2 -8 44 1688 1.5 x 107


Für ein lineares Kalibrationsmodell (K-Matrix-Modell) ist das Signal: sT = cTK + E

Die mittleren Fehlerquadrate der bestimmten Konzentrationen (MSE, mean square error) hängen vom Messfehler (σ2) folgendermassen ab: MSE(cT) = σ2 tr (KKT)-1mit tr als trace, d.h. die Summe der Diagonalelemente.

Um den durch die Korrelation bedingten Fehler zu veranschaulichen, wurde für die Bestimmung von 6 Komponenten (m = 6) die Kalibrationsmatrix für n Sensoren (n= 6, 12, oder 24) mit verschiedenen Graden von Korrelation (a) berechnet: kij = a koj + (1-a) Rand(0,1) kij: Element der Kalibrationsmatrix koj: Zufallszahlen zwischen 0 und 1 (Rand(0,1) a: Grad der Korrelation (0, 0.5, 0.9, 0.95)

Nichtselektive Sensoren Resultate der Simulation

Berechnete Werte für tr (KKT)-1

Sensoren Grad der Korrelation 0 0.5 0.9 0.95

6 49 329 17’141 76’79312 9.8 39 987 395824 3.5 13.7 343 1374

Grundlegende Beziehung:Konzentration = Signal x EmpfindlichkeitC = S P

Kalibration: S und C sind bekannt, P wird bestimmt (i.a. Regression)Messung: S und P sind bekannt, C wird bestimmt (Matrixmultiplikation, keine Regression

P-Matrix-Modell

1, 2, 3, ... , n 1, 2, 3, ... , m

Sensoren, j

Pro

ben

Sen

sore

n, j

1, 2, 3, ... , m

Komponenten, i Komponenten, i

=

m m

pp

Pro

ben

n

n

SC P

Grundlegende Beziehung: C = S P (Konz. = Signal x Empfindlichkeit)Kalibration: S und C sind bekannt, P wird bestimmt: P = (STS)-1STCBei der Regression wird der Fehler in C minimalisiert.

P-Matrix-Modell – Kalibration

= (STS)-1 Sen

sore

n

1, 2, 3, ... , m

Komponenten mKomponenten Sensorenm

p

Pro

ben

nn

n

C

1, 2, 3, ... , m

Sen

sore

n

Proben p

n

P ST

Grundlegende Beziehung: C = S P (Konz. = Signal x Empfindlichkeit)Messung: S und P sind bekannt, C wird bestimmt: C = S P, oder für eine einzelne Probe: cT = sT P (bei der Messung: keine Regression).

P-Matrix-Modell – Messung

1, 2, 3, ... , n 1, 2, 3, ... , m

Sensoren

Sen

sore

n

1, 2, 3, ... , m

Komponenten Komponenten

=m mn

n

sTcTP

Grundlegende Beziehung: C = S P (Konz. = Signal x Empfindlichkeit)Kalibration: S und C sind bekannt, P wird bestimmt: P = (STS)-1STCBei der Regression wird der Fehler in C minimalisiert.

Voraussetzungen:1. STS ist invertierbar, d.h. p ≥ n, (die Anzahl Kalibrationsproben ist nicht kleiner

als die Anzahl Sensoren) 2. Die STS Matrix ist gut konditionert.

P-Matrix-Modell – Kalibration

= (STS)-1 Sen

sore

n

1, 2, 3, ... , m

Komponenten mKomponenten Sensorenm

p

Pro

ben

nn

n

C

1, 2, 3, ... , m

Sen

sore

n

Proben p

n

P ST

Wahl der Wellenlängen

20 40 60 80 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ab

sorb

ance

Wavelengthλ1 λ2

Determinante = 1Eigenwerte:σ1 = 1.005σ2 = 0.995Kondition: κ = 1.010

A1 A21.000 0.003 λ10.007 1.000 λ2

ST =


20 40 60 80 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ab

sorb

ance

Wavelengthλ1 λ2

Determinante = 0.25Eigenwerte:σ1 = 1.005σ2 = 0.250Kondition: κ = 4.000

A1 A21.000 0.001 λ10.007 0.250 λ2

ST =


20 40 60 80 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ab

sorb

ance

Wavelengthλ1 λ2 λ3

Frage: bei welcher Wellenlänge soll neben λ1 gemessen werden:1. bei λ2: Absorbtionsmaximum der zweiten Komponente wo aber die erste Komponente noch stark absorbiert, oder 2. bei λ3, wo zwar die zweite Komponente schwach absoribert, aber es kaum Interferenz von der ersten gibt


20 40 60 80 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ab

sorb

ance

Wavelengthλ1 λ2 λ3



A1 A21.000 0.308 λ10.007 0.179 λ3

ST =A1 A21.000 0.308 λ10.903 1.000 λ2

ST =


30 40 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ab

sorb

ance

Wavelengthλ2λ1λ3 λ4

50

Frage: Wo ist es vorteilhafter zu messen: bei den Absorbtionsmaxima (λ1 und λ2) oder etwas weiter weg, wo aber die Interferenz der anderen Komponenten kleiner ist?


30 40 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ab

sorb

ance

Wavelength

λ2λ1λ3 λ4


A1 A21.000 0.961 λ10.961 1.000 λ2

ST =


A1 A20.961 0.852 λ30.852 0.961 λ4

ST =

50

Grundlegende Beziehung: C = S P (Konz. = Signal x Empfindlichkeit)Messung: S und P sind bekannt, C wird bestimmt: C = S P, oder für eine einzelne Probe: cT = sT P (bei der Messung: keine Regression).

P-Matrix-Modell – Messung

1, 2, 3, ... , n 1, 2, 3, ... , m

Sensoren

Sen

sore

n

1, 2, 3, ... , m


=m mn

n

sTcTP

K- und P- Matrix-Modell: VergleichK-Matrix-Modell

Grundlegende Beziehung:S = C K : Signal = Konz × EmpfKalibration:S bekannt, C bekannt, K bestimmenSp×n = Cp×m Km×n + Ep×n

K = (CTC)-1CTS (Fehler in S wird minimalisiert)Voraussetzung: p >= m

Messung: cT = sTKT(KKT)-1

Fehler in sT wird minimalisiertVoraussetzung: n >= m

P-Matrix-Modell

Grundlegende Beziehung:C = S P : Konz = Signal × EmpfKalibration:S bekannt, C bekannt, P bestimmenCp×m = Sp×n Pn×m + Ep×m

P = (STS)-1STC (Fehler in C wird minimalisiert)Voraussetzung: p >= n

Messung: cT = sT P (Keine Regression)

1, 2, 3, ... , n

Sensoren

Pro

ben

Sensoren

1, 2, 3, ... , m

Komponenten

Ko

mp

on

ente

n, i

=

m

mp p

Pro

ben

n n

S C K

123...m

1, 2, 3, ... , n 1, 2, 3, ... , m

Sensoren

Pro

ben

Sen

sore

n, j

1, 2, 3, ... , m


=

m m

pp

Pro

ben

n

n

SC P

Kalibration - · Kalibration Ausser bei direkten Methoden (primary methods) wie z. B. Gravimetrie...

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