Kalibrierung von Temperatursensoren für das elektromagnetische ...

Kalibrierung von Temperatursensoren fürdas

elektromagnetische Kalorimeter

Bachelorarbeit

imStudiengang

„Bachelor of Science“im Fach Physik

an der Fakultät für Physik und Astronomieder Ruhr-Universität Bochum

vonAnikó Csapó

ausEberswalde

Bochum 2011

ii Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis iii

Tabellenverzeichnis iv

1 Einleitung und Motivation 11.1 Das PANDA-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Der PANDA-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Das elektromagnetische Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Das PANDA-EMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Temperaturmessung im EMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.1 PT100: Platintemperatursensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 thinPT: selbstentwickelte Platintemperatursensoren . . . . . . . . . . . 7

2 Kalibrierung der Referenzsensoren 92.1 Kalibrieraufbau für Referenzsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Temperaturkonstanz des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Bestimmung der Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Optimierung der Kalibriermethode für die thinPT-Sensoren . . . . . . . . . . . 15

2.4.1 Variation der Anzahl der Kalibrierungspunkte . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Variation der Position der Kalibrierpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Kalibrierung der thinPT-Sensoren 183.1 Kalibrieraufbau für thinPT-Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Zeitkonstante des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Bestimmung der Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Genauigkeit der Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Reproduzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Fazit 27

A Kalibrierparameter der Referenzsensoren 29

B Formel von Cardano 29

Danksagung 33

Abbildungsverzeichnis iii

Abbildungsverzeichnis

1.1 Schematischer Überblick über das Beschleunigerzentrum FAIR mit den geplan-ten Experimenten; mit blau gekennzeichnet ist die bereits bestehende, mit rot diegeplante Anlage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Aufbau des PANDA-Detektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Aufbau des elektromagnetischen Kalorimeters im Vorwärtsspektrometer. DerMittelteil (Barrel) ist blau gekennzeichnet, die Vorwärtsendkappe grün. Der Über-sicht halber ist die Rückwärtsendkappe nicht mit abgebildet. . . . . . . . . . . 5

1.4 Die linke Abbildung zeigt die Lichtausbeute von PbWO4, die rechte die relativeÄnderung der Lichtausbeute. Beide sind in Abhängigkeit von der Temperaturaufgetragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Erreichbare Energieauflösung als Funktion der Photonenergie für verschiedenstarke Inhomogenitäten der Lichtausbeute in den Kristallen. Es wird deutlich,dass sich bis zu einer Inhomogenität von 10% die Energieauflösung nicht dra-matisch verschlechtert. Ein Temperaturunterschied von 2C entlang des Kris-talles würde beispielsweise einer Inhomogenität der Lichtausbeute von 5 - 6%entsprechen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Prinzip einer Vierdrahtmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Auf dem Bild ist der Sensorkopf eines thinPT zu sehen . . . . . . . . . . . . . 8

2.8 links: Julabo Kälte-Umwälzthermostat (Modell FP50-HL); rechts: Agilent Digi-talmultimeter (Modell 34980A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.9 Langzeitmessung des Widerstandes über 68 h bei -30 C für den Temperatur-konstanztest des Kälte-Umwälzthermostats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.10 Verteilung mit angepasster Gauß-Kurve für die aus den 39087 Messpunkten be-stimmten mittleren Widerstandswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.11 Zeitlicher Verlauf des Widerstandes von Referenzsensor 1 bei Kalibrierung von−30 C bis 30 C. Die 61 Stufen durch die verschiedenen Temperaturen sinddeutlich zu erkennen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.12 Verteilung der Widerstandswerte mit Gauß-Funktion für −25 C von Referenz-sensor 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.13 Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur mit angepasster Funktion (Po-lynom 3. Ordnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.14 links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Vergleich derFitparameter der Kalibrierung mit der reduzierten Messung, ausgewählte Mess-punkte sind: −30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C, 10 C, 20 C, 30 C . . . 16

2.15 links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Vergleich derFitparameter der Kalibrierung mit der reduzierten Messung, ausgewählte Mess-punkte sind: −30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C, 30 C . . . . . . . . . . . 16

2.16 links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Vergleich derFitparameter der Kalibrierung mit der reduzierten Messung, ausgewählte Mess-punkte sind: −30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C . . . . . . . . . . . . . . . 16

iv Tabellenverzeichnis

2.17 links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Ausschnitt imBereich von −30 C bis −20 C, ausgewählte Messpunkte: −30 C, −25 C, −20C, −10 C, 0 C, 30 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.18 links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Ausschnitt imBereich von −30 C bis −20 C, ausgewählte Messpunkte: −30 C, −25 C, −20C, −10 C, 0 C, 10 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.19 Kalibrieraufbau mit innenliegenden thinPT-Sensoren . . . . . . . . . . . . . . 193.20 Isolationsaufbau mit Kupferblock und zum Teil innenliegender Hin- und Zulei-

tungen des Kälte-Umwälzthermostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.21 Zeitlicher Widerstandsverlauf der Aufwärmphase von 0 C auf 30 C. . . . . . 213.22 Zeitlicher Verlauf des Widerstandes von thinPT-Sensor 23 bei Kalibrierung von

−30 C bis 30 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.23 Histogramme mit angepasster Gauß-Funktion der sechs Kalibrierpunkte . . . . 233.24 Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur mit angepasster Funktion . . . 243.25 Residuenverteilung für die angepasste Kalibrierfunktion . . . . . . . . . . . . . 25

Tabellenverzeichnis

2.1 Tabelle zeigt den Vergleich der Parameter für ein Polynom 2. und 3. Ordnung . 143.2 Berechnung der Temperaturen aus den Referenzsensoren für die Kalibrierung

der thinPT-Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Vergleich der mittleren Temperatur der einzelnen thinPT-Sensoren mit den Re-

ferenztemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Vergleich zweier aufeinanderfolgender Kalibrierungen . . . . . . . . . . . . . 26A.5 Übersicht über Fitparameter der drei kalibrierten Referenzsensoren . . . . . . . 29

1 Einleitung und Motivation 1

1 Einleitung und Motivation

Mit PANDA (antiProton ANnihilation at DArmstadt), einem der großen Experimente an dem ge-planten Beschleunigerzentrum FAIR (Facility for Antiproton and Ion Research) am GSI Helm-holtzzentrum für Schwerionenforschung in Darmstadt, befassen sich über 450 Wissenschaftleraus 17 Ländern mit verschiedenen Aspekten aus dem Bereich der starken Wechselwirkung. Zen-trale Punkte des umfangreichen Physikprogramms von PANDA sind die Charmonium-Spektro-skopie und die Suche nach gluonischen Anregungen wie Glueballs und Hybriden als auch Multi-Quark-Zuständen [1]. Die meisten mit PANDA nachzuweisenden mesonischen Endzuständezeichnen sich durch eine hohe Anzahl an Elektronen, Positronen und Photonen aus. Daher istdas elektromagnetische Kalorimeter (EMC) ein wichtiger Bestandteil des PANDA-Detektors.Das Institut für Experimentalphysik I an der Ruhr-Universität Bochum ist entscheidend betei-ligt an der Planung und Entwicklung der Vorwärtsendkappe des EMCs. Im PANDA-EMC wirdals Szintillatormaterial Bleiwolframat (PbWO4) wegen seiner hohen Strahlenhärte und Dichtezur Verwendung kommen. Da Photonen in einem Energiebereich von 10 MeV bis zu 14,6 GeVmit einer möglichst hohen Energie-, Orts- und Zeitauflösung detektiert werden sollen, stellt dieschwache Lichtausbeute von PbWO4 bei Raumtemperatur zunächst ein Problem dar. Allerdingserhöht sich die Lichtausbeute mit fallender Temperatur. Aufgrund der gleichzeitigen Verringe-rung des Selbstheilungsprozesses bezüglich Strahlenschäden in den Kristallen wird das ganzePANDA-EMC bei −25 C betrieben. Die Erhöhung der Lichtausbeute beläuft sich bei dieserTemperatur auf einen Faktor 4 [2]. Die relative Lichtausbeute ist bei −25 C deutlich stärkertemperaturabhängig als bei Raumtemperatur. Mit dLY/dT = 3 %/C würden Temperaturschwan-kungen im Bereich von einigen zehntel Grad die Energieauflösung bereits deutlich herabsetzen.Eine geforderte Temperaturstabilität von 0,1 C macht eine aufwändige Überwachung der Tem-peraturen im EMC daher unabdingbar. Für die Temperaturmessung wird demnach eine Auflö-sung von 0,05 C angestrebt. Im PANDA-EMC werden selbstentwickelte Widerstandssensorenaus Platindraht die Temperatur der Kristalle überwachen. Aufgrund der individuellen Herstel-lung dieser Sensoren besitzen sie unterschiedliche charakteristische Widerstandswerte, was eineKalibrierung zwingend notwendig macht.Im Rahmen dieser Arbeit wird die Entwicklung einer solchen Kalibriermethode vorgestellt unddie Ergebnisse für die ersten kalibrierten Temperatursensoren diskutiert.In diesem Kapitel soll zunächst ein kurzer Überblick über das Beschleunigerzentrum FAIR undden PANDA-Detektor gegeben werden. Der Schwerpunkt liegt dabei vor allem auf dem elektro-magnetischen Kalorimeter und dessen thermischen Anforderungen. Zudem werden für das wei-tere Verständnis notwendige Grundlagen der Temperaturmessung und die verschiedenen zumEinsatz kommenden Widerstandssensoren vorgestellt. Anschließend wird die Entwicklung desKalibriersystems ausführlich beschrieben. Um im Kalibriersystem eine möglichst genaue Refe-renztemperatur für die zu kalibrierenden Temperatursensoren bestimmen zu können, ist zunächstdie Kalibrierung von Referenzsensoren notwendig (Kapitel 2). Die Entwicklung eines geeig-neten Kalibriersystems wird in Kapitel 3 behandelt. Zudem werden Ergebnisse für die erstenkalibrierten, selbstentwickelten Temperatursensoren und die Implementierung in das PANDA-Slow-Control-System beschrieben.

2 1 Einleitung und Motivation

1.1 Das PANDA-Experiment

Ziel des PANDA-Experimentes ist es, durch Proton-Antiproton-Annihilation neue Erkenntnisseim Bereich der starken Wechselwirkung zu gewinnen. Der Fokus des PANDA-Physikprogrammsliegt auf der Charmonium-Spektroskopie und der Suche nach gluonischen Anregungen wieGlueballs und Hybriden. PANDA ist Teil des Beschleunigerzentrums FAIR (Facility for An-tiproton and Ion Research) an der GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung in Darm-stadt (siehe Abb. 1.1). Der PANDA-Detektor wird sich am HESR-Speicherring befinden, wel-cher einen Antiprotonenstrahl mit Strahlimpulsen von 1,5 GeV/c bis 15 GeV/c bereit stellt. DieProduktionsrate von Antiprotonen liegt bei 2 · 107s−1 und der HESR kann bis zu 1011 Antipro-tonen speichern. Insgesamt ergibt sich eine maximale Luminosität von2 · 1032 cm−1s−1.

Abb. 1.1: Schematischer Überblick über das Beschleunigerzentrum FAIR mit den geplanten Experimen-ten; mit blau gekennzeichnet ist die bereits bestehende, mit rot die geplante Anlage [3].

1.2 Der PANDA-Detektor

Der PANDA-Detektor wird neutrale und geladene Zerfallsteilchen mit hoher Orts- und Ener-gieauflösung über fast den gesamten Raumwinkel nachweisen können. Da Ereignisraten von107 Ereignissen pro Sekunde erwartet werden, muss der Detektor zudem eine hohe Ratenver-träglichkeit sowie Strahlenhärte gewährleisten.Abbildung 1.2 zeigt den schematischen Aufbau des PANDA-Detektors. Da es sich bei PANDAum ein Fixed-Target-Experiment handelt, muss bei der Planung der Lorentz-Boost der Teilchenin Strahlrichtung berücksichtigt werden. Daher besteht es aus einem Targetspektrometer (TS)und einem Vorwärtsspektrometer. Im Folgenden wird der Aufbau beider Spektrometer kurz be-schrieben. Eine ausführliche Vorstellung des PANDA-Detektors und seiner Teildetektoren findetman in [2, 4, 1].


Muon Detectors

Superconducting Solenoid

Central Tracker

Micro Vertex Detector

Electromagnetic Calorimeters

DIRC

Dipole Magnet

Drift Chambers

Forward RICH

Forward SpectrometerTarget Spectrometer

GEM

p-Beam

Muon/Hadron ID

Abb. 1.2: Aufbau des PANDA-Detektors

Das Targetspektrometer hat eine Winkelabdeckung von ϑvertikal > 5 und ϑhorizontal > 10 undeinen Durchmesser von etwa 4 m. Die einzelnen Teildetektoren sind dabei um den Wechselwir-kungspunkt herum angeordnet. Für das Target sind zwei Varianten möglich: ein Pellet-Targetoder ein Cluster-Jet-Target. Beide Targettypen befinden sich momentan noch in der Entwick-lungsphase. Der direkte Wechselwirkungspunkt ist umschlossen von einem Micro Vertex De-tektor (MVD), um die primären und sekundären Vertizes der geladenen Teilchen nachzuweisen.Zudem liefert der MVD noch ein Startsignal. Zur Spurrekonstruktion und damit zur Impulsmes-sung folgen ein Straw Tube Tracker (STT) oder eine Time Projection Chamber (TPC), in Vor-wärtsrichtung Gas-Elektron-Multiplier-Detektoren (GEM). Ein Time-Of-Flight-Detektor (TOF)umschließt die Spurdetektoren. Danach folgt ein Cherenkov-Detektor (DIRC, Detector for In-ternally Reflected Cherenkov Light). Beide Detektoren dienen der Teilchenidentifikation. DerTOF-Detektor ist für die Identifikation von Teilchen im niedrigen Impulsbereich ausgelegt. DerDIRC dient hingegen hauptsächlich der Separation von Pionen und Kaonen bei hohen Impulsenbis zu 5 GeV/c. Für die Detektion von Elektronen, Positronen und Photonen folgt im Aufbaudes TS als nächstes ein elektromagnetisches Kalorimeter (EMC), welches im nächsten Kapitelnäher beschrieben wird. Ein supraleitender Solenoid umgibt das Targetspektrometer und ist inder Lage, ein Magnetfeld von 2 T zu erzeugen. Myonen werden durch Myonen-Detektoren inden Zwischenräumen des Solenoiden nachgewiesen.Hinter dem Targetspektrometer befindet sich in Strahlrichtung das Vorwärtsspektrometer, wel-ches einen Winkel von ϑvertikal < 5 und ϑhorizontal < 10 abdeckt. Einen Meter hinter demTS befindet sich ein 2,5 m langer Dipol-Magnet mit einer Öffnung von 2 m, mit dessen Hilfedie Impulsbestimmung für geladene Teilchen erfolgt. Zwei zusätzliche Dipolmagnete sorgen fürdie Strahlkorrektur. Die Krümmung der Teilchenspuren wird mit Hilfe von Multi-Wire-Drift-


Chambers (MDCs) oder STTs bestimmt. Es werden jeweils zwei MDCs oder STTs vor, hinterund innerhalb des Dipolmagneten platziert, um Teilchen mit niedrigen als auch hohen Impulsenzu messen.Eine 7 Meter strahlabwärts vom Wechselwirkungspunkt platzierte TOF-Wand sowie zusätzlicheTOF-Detektoren innerhalb der Öffnung des Dipolmagneten liefern ein TOF-Stop-Signal. Miteiner angestrebten Zeitauflösung von 50 ps für den TOF-Detektor wäre die Pion- und Kaon-bzw. Kaon- und Proton-Separation bei niedrigen Impulsen von 2,8 GeV/c bzw. 4,7 GeV/c mög-lich. Bei höheren Impulsen wird ein Dual-Radiator-RICH-Detector zur Teilchenidentifikationgenutzt.Das elektromagnetische Kalorimeter des Vorwärtsspektrometers (F-EMC) befindet sich 7 - 8 mhinter dem Wechselwirkungspunkt. Die Module bestehen dabei aus sich abwechselnden Blei-und Szintillatorschichten. Am Ende des Vorwärtsspektrometers befindet sich zur Detektion vonMyonen ein Range-Tracking-System. Zudem lassen sich damit noch Pionen und Myonen von-einander unterscheiden.

1.3 Das elektromagnetische Kalorimeter

1.3.1 Das Prinzip

In vielen Experimenten der Kern- und Teilchenphysik werden elektromagnetische Kalorimetereingesetzt. Ein elektromagnetisches Kalorimeter dient der Energie- und Positionsbestimmungeinzelner Elektronen, Positronen und Photonen. Das Prinzip eines elektromagnetischen Kalori-meters baut darauf auf, dass ein Elektron, Positron oder Photon im Absorber- / Szintillatorma-terial auftrifft und vollständig abgebremst bzw. absorbiert wird. Durch Bremsstrahlung und denPaarbildungseffekt bildet sich ein elektromagnetischer Schauer aus, wodurch Atome das Ma-terials angeregt werden können. Regen sich diese über Aussendung von sichtbarem Licht ab,spricht man von Szintillationslicht. Dieses kann mit Photodetektoren gemessen werden, und sei-ne Intensität ist proportional zur Energie des einfallenden Teilchens.Wichtige Anforderungen an ein EMC sind eine möglichst vollständige räumliche Abdeckungund kleine Energieschwellen für eine hohe Akzeptanz, eine hohe Energieauflösung und eine ho-he Granularität für die Positionsbestimmung.Grundlegend lässt sich zwischen zwei Arten von elektromagnetischen Kalorimetern unterschei-den: homogene bzw. Sampling-Kalorimeter. Bei einem homogenen Kalorimeter bestehen Ab-sorber- und aktives Detektormaterial aus dem gleichen Material. Dadurch wird die gesamteTeilchenenergie detektiert, was Voraussetzung für eine gute Energieauflösung ist. Nachteil istjedoch, dass ein großes Volumen an Detektormaterial benötigt wird und somit hohe Kosten ent-stehen.Bei einem Sampling-Kalorimeter bestehen hingegen Absorber- und Detektormaterial aus zweiverschiedenen Materialien, welche in sich abwechselnden Lagen angeordnet werden. Dies er-möglicht einen kompakteren Aufbau. Da aber nur geringe Teile der Teilchenenergie im De-tektormaterial detektiert werden (die restliche Energie wird vom Absorbermaterial absorbiert),führt dies zu einer schlechten Energieauflösung.


1.3.2 Das PANDA-EMC

Das EMC im Targetspektrometer des PANDA-Experimentes ist ein homogenes Kalorimeter(s. Abb. 1.3). Es besteht im Wesentlichen aus drei Teilen: einem fassförmigen Mittelteil (Barrel)sowie einer vorderen und einer hinteren Endkappe.

Abb. 1.3: Aufbau des elektromagnetischen Kalorimeters im Vorwärtsspektrometer. Der Mittelteil (Barrel)ist blau gekennzeichnet, die Vorwärtsendkappe grün. Der Übersicht halber ist die Rückwärtsendkappenicht mit abgebildet [2].

Das Barrel setzt sich aus 11360 Kristallen zusammen, hat eine Länge von 2,5 m und deckt einenRaumwinkel von 22 ≤ θ ≤ 140 ab. Die Rückwärtsendkappe besteht aus 592 Kristallen. Sie istzylindrisch aufgebaut und hat eine Raumwinkelabdeckung von 151,4 ≤ θ ≤ 169,7. Die Vor-wärtsendkappe ähnelt einem Kegelstumpf und hat ein annähernd elliptisches Loch in der Mitte.Dadurch werden Teilchen unter kleinem Winkel (5 vertikal und 10 horizontal) zur Strahlungs-achse zum Vorwärtsspektrometer durchgelassen. Sie besteht aus insgesamt 3600 Kristallen, wel-che alle auf einen gemeinsamen Punkt auf der z-Achse zeigen, der sich vor dem Wechselwir-kungspunkt befindet. Damit wird sichergestellt, dass kein Teilchen unbemerkt zwischen zweiKristallen hindurch die Vorwärtsendkappe passieren kann.Als aktives Detektormaterial wird Bleiwolframat (PbWO4) verwendet. Die größten Vorteile vonBleiwolframat liegen darin, dass es mit 0,98 cm eine kleine Strahlungslänge und mit 2 cm einenentsprechend kleinen Molire-Radius hat. Diese Eigenschaften ermöglichen es, trotz homogenerBauweise ein kompaktes EMC zu entwickeln. Bleiwolframat hat eine Abklingzeit von 6,5 ns,wodurch eine hohe Ratenverträglichkeit gewährleistet ist und eine gute Zeitauflösung ermöglichtwird. Der Nachteil von Bleiwolframat ist dessen geringe Lichtausbeute bei Raumtemperatur.Durch das Abkühlen der Kristalle auf −25 C erhöht sich die Lichtausbeute allerdings um einenFaktor 4 (s. Abb. 1.4, links). Jedoch nimmt damit, aufgrund eines verringerten Selbstheilungs-prozesses in den Kristallen, der Einfluss von Strahlenschäden zu. Zudem wächst die relative Än-derung der Lichtausbeute aufgrund von Temperaturschwankungen auf 3%/C an (s. Abb. 1.4,


rechts), d.h. Temperaturschwankungen im Bereich von einigen zehntel Grad können die Ener-gieauflösung bereits deutlich herabsetzen. Um die angestrebte Energieauflösung von

σE

E≤ 1% ⊕

2%√

E/GeV

zu gewährleisten, dürfen zeitliche Temperaturschwankungen nicht größer als ±0,1C sein [5].Zudem spielt auch die räumliche Temperaturhomogenität eine entscheidende Rolle. Simulatio-nen haben gezeigt, dass ein Temperaturgradient von 0,1C/cm entlang eines Kristalls noch to-lerierbar wäre [6]. Wärmequellen wie zum Beispiel die Vorverstärker, Wärmebrücken wie zumBeispiel Kabel oder der Wärmefluss von außen stellen dabei weitere Herausforderungen dar.

Abb. 1.4: Die linke Abbildung zeigt die Lichtausbeute von PbWO4, die rechte die relative Änderung derLichtausbeute. Beide sind in Abhängigkeit von der Temperatur aufgetragen [7].

Abb. 1.5: Erreichbare Energieauflösung als Funktion der Photonenergie für verschieden starke Inhomo-genitäten der Lichtausbeute in den Kristallen. Es wird deutlich, dass sich bis zu einer Inhomogenität von10% die Energieauflösung nicht dramatisch verschlechtert. Ein Temperaturunterschied von 2C entlangdes Kristalles würde beispielsweise einer Inhomogenität der Lichtausbeute von 5 - 6% entsprechen [6].


1.4 Temperaturmessung im EMC

Die Temperaturmessung im EMC erfolgt mittels Widerstandssensoren. Aufgrund der kompaktenBauweise des EMCs sind Sensoren mit spezieller Form notwendig, welche eigens hierfür entwi-ckelt worden sind [7]. Um Messfehler aufgrund der Widerstände der stromführenden Leitungenbei der Widerstandsmessung zu vermeiden, bedient man sich der Vierdrahtmessung (siehe Abb.1.6). Hierbei fließt über zwei Leitungen ein kleiner Strom von etwa 1 mA durch den Widerstand.Über zwei weitere Leitungen wird die am Widerstand abfallende Spannung hochohmig mit ei-nem Multimeter abgegriffen und gemessen. Der zu messende Widerstand lässt sich anschließendmit Rϑ =

Uϑ

Ire fberechnen.

Abb. 1.6: Prinzip einer Vierdrahtmessung [8]

1.4.1 PT100: Platintemperatursensoren

Platintemperatursensoren sind Widerstandssensoren, deren Nennwiderstand R0 bei einer Tem-peratur von 0 C je nach Typ 100 Ω (PT100), 500 Ω (PT500), 1000 Ω (PT1000) oder 10000Ω (PT10000) beträgt. Diese lassen sich in zwei Arten unterteilen: Platindraht-Sensoren undDünnschicht-Sensoren. Bei Platindraht-Sensoren wird ein sehr dünner und langer Platindrahtwendelförmig auf einen Glasstab gewickelt oder in einer Keramikmasse eingebettet. Durch Kür-zen des Drahtes erfolgt der Abgleich des Nennwiderstandes. Anschließend wird dieses Bauteilin einem Glas- oder Keramikgehäuse untergebracht.Bei Dünnschicht-Sensoren wird das Platin im Dünnschichtverfahren auf einen Keramikträgeraufgebracht. Das Abgleichen des Nennwiderstandes erfolgt hier mittels Lasertrimmen. Um denSensor vor chemischen Einflüssen zu schützen, wird dieser mit einem Glasüberzug versehen.Die Referenzsensoren, die im späteren Verlauf behandelt werden, sind solche Dünnschicht-Sensoren.

1.4.2 thinPT: selbstentwickelte Platintemperatursensoren

Der sehr kompakte Aufbau des PANDA-Prototypen erfordert sehr dünne Temperatursensoren,da zwischen den einzelnen Kristallen im EMC für die Sensoren jeweils nur etwa 150 µm Platzverbleiben. Da es keine kommerziellen Sensoren mit diesen Maßen gibt, müssen für die Tempe-raturmessung zwischen den Kristallen extrem flache Sensoren entwickelt und produziert werden.Die sogenannten thinPT-Sensoren sollen den PT100-Referenzsensoren ähnlich sein und eben-falls einen Nennwiderstand von R0 ≈ 100 Ω besitzen, um bei einem Strom von 1 mA eine gut


messbare Spannung messen zu können.Es wurde ein Platindraht mit einem Durchmesser von 25 µm gewählt. Dieser soll zwischen zweiKaptonfolien mit einer Dicke von 25 bzw. 55 µm auf eine Fläche von 20 x 34 mm geklebt wer-den. Die erforderliche Länge des Drahtes lässt sich mit dem spezifischen Widerstand von Platinρ = 110 · 10−9 Ωm, dem Durchmesser d = 25 · 10−6 m sowie dem gewünschten NennwiderstandR0 = 100 Ω wie folgt berechnen:

R0 = ρ ·lA

= ρ ·l

π · r2

⇒ l =R0 · π · r2

110 · 10−9 Ωm≈ 0,45 m

Der Platindraht für die Temperatursensoren sollte demnach also eine Länge von ungefähr 50cm haben. Auftretende Abweichungen im Zentimeterbereich bei der Herstellung der Sensorenkönnen vernachlässigt werden, da, wie im weiteren Verlauf beschrieben, alle Sensoren einzelnkalibriert werden.

Abb. 1.7: Auf dem Bild ist der Sensorkopf eines thinPT zu sehen [7]

2 Kalibrierung der Referenzsensoren 9

2 Kalibrierung der Referenzsensoren

Aufgrund der individuellen Herstellung der thinPT-Sensoren und den daraus resultierenden un-terschiedlichen charakteristischen Widerständen muss jeder einzelne Sensor kalibriert werden.Dabei erfolgt die Temperierung des Kalibriergefäßes extern über ein Kälte-Umwälzthermostat.Für die Bestimmung der tatsächlichen Temperatur im Kalibriergefäß werden daher Referenzsen-soren benötigt, welche jedoch auch zunächst kalibriert werden müssen. Wie im Folgenden nochgenauer erläutert, wird für die Kalibrierung der Referenzsensoren das interne Thermostaten-bad genutzt. Daher gilt es zunächst, die zeitliche Temperaturkonstanz im Thermostatenbad zuüberprüfen. Anschließend wird die Wahl einer geeigneten Kalibrierfunktion R(T) behandelt.Die Kalibrierung erfolgt in einem Temperaturbereich von −30 C bis +30 C in Schritten von1 C. Dies ist relativ zeitaufwendig und daher nicht praktikabel für die Kalibrierung der thinPT-Sensoren. Daher wird abschließend noch anhand der Kalibrierungsdaten der Referenzsensorenuntersucht, wieviele Kalibrierpunkte für eine hinreichend genaue Kalibrierung ausreichen undwelche Temperaturen als Kalibrierpunkte entscheidend sind.

2.1 Kalibrieraufbau für Referenzsensoren

Für diese und alle weiteren Messungen im Rahmen dieser Arbeit wird als Kälte-Umwälzthermo-stat das Model FP50-HL der Firma Julabo verwendet. Das Thermostatenbad weist eine Tempe-raturkonstanz von ± 0,01 C auf [9]. Zur Auslese wird ein Digitalmultimeter der Firma Agi-lent (Modell 34980A) eingesetzt. Bei der Vierdrahtmessung eines Widerstandes von 100 Ω

(I = 1 mA) beträgt der Messfehler des Digitalmultimeters lediglich 6,5 mΩ.

Abb. 2.8: links: Julabo Kälte-Umwälzthermostat (Modell FP50-HL); rechts: Agilent Digitalmultimeter(Modell 34980A)

10 2 Kalibrierung der Referenzsensoren

Für den späteren Kalibrieraufbau sind zwei bis drei Referenzsensoren vorgesehen. Als Referenz-sensoren werden kommerzielle PT100-Sensoren der Firma Newport Electronics GmbH verwen-det (Modell F1540). Zur mechanischen Stabilisierung werden diese in kleinen Stahlhülsen ver-gossen. Für die Kalibrierung wird das interne Thermostatenbad des Kälte-Umwälzthermostatsgenutzt. Um während der Kalibrierung die Referenzsensoren möglichst nah beieinander an ei-ner festen Position in dem Thermostatenbad zu positionieren, lassen sie sich zusätzlich noch ineinem kleinen Aluminium-Zylinder befestigen.

2.2 Temperaturkonstanz des Aufbaus

Eine entscheidende Frage in Bezug auf die Kalibrierung der Referenzsensoren ist, ob das Kälte-Umwälzthermostat dafür geeignet ist, d.h. wie hoch die Temperaturkonstanz in dem Thermo-statenbad ist.Um diese Frage zu beantworten, wurde eine Messung über 68 Stunden bei −30 C durchgeführt.Abbildung 2.9 zeigt exemplarisch den zeitlichen Verlauf des Widerstandes von Referenzsensor1. Es lässt sich kein offensichtlicher zeitlicher Anstieg oder Abfall des Widerstandwertes beob-achten. Um eine quantitative Aussage treffen zu können, sollte die Ermittlung des Widerstand-wertes allerdings mit der gleichen Auswertemethode erfolgen, wie sie auch in der Kalibrier-routine verwendet wird (s. Kapitel 2.3): Für jeden einzelnen Messpunkt werden die nächsten120 Messpunkte histogrammiert, woraufhin an die Verteilung eine Gauß-Funktion angepasstwird. Der Mittelwert der Gauß-Funktion lässt sich als mittlerer Widerstandswert interpretieren.Abbildung 2.10 zeigt die Verteilung der aus den Messpunkten so bestimmten mittleren Wider-standswerten. Die Breite der daran angepassten Gauß-Funktion beträgt lediglich 1 mΩ. Dasbedeutet, dass über eine Zeitspanne von 68 Stunden 99,73 % aller mittleren Widerstandwerte ei-ne Abweichung von höchstens 3 mΩ von dessen Mittelwert haben. Da eine Präzision von 20 mΩ

(entspricht 0,05 C) angestrebt ist, kann das Thermostatenbad des Kälte-Umwälzthermostats fürdie Kalibrierung der Referenzsensoren genutzt werden.


Abb. 2.9: Langzeitmessung des Widerstandes über 68 h bei -30 C für den Temperaturkonstanztest desKälte-Umwälzthermostats

resulthistEntries 39087Mean 88.17RMS 0.001129Underflow 0Overflow 87

/ ndf 2χ 634.9 / 5Prob 0Constant 8.956e+01± 1.351e+04 Mean 0.00± 88.17 Sigma 0.000004± 0.001133

ΩR / 88.167 88.168 88.169 88.17 88.171 88.172 88.173 88.174 88.175

ΩA

nza

hl /

0.0

01

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

resulthistEntries 39087Mean 88.17RMS 0.001129Underflow 0Overflow 87

/ ndf 2χ 634.9 / 5Prob 0Constant 8.956e+01± 1.351e+04 Mean 0.00± 88.17 Sigma 0.000004± 0.001133

Abb. 2.10: Verteilung mit angepasster Gauß-Kurve für die aus den 39087 Messpunkten bestimmten mitt-leren Widerstandswerte


2.3 Bestimmung der Kennlinie

Die Sensoren werden im Bereich von −30 C bis +30 C in Schritten von je 1 C vermessen. Ab-bildung 2.11 zeigt den dazugehörigen zeitlichen Verlauf des Widerstandwertes. Für jede Tempe-ratur wird der Widerstand über einen Zeitraum von 40 Minuten gemessen. Um sicherzugehen,dass sich ein Temperaturgleichgewicht eingestellt hat, werden nur die letzten 10 Minuten ei-ner Temperaturstufe zur Widerstandsbestimmung verwendet, was 120 Datenpunkten entspricht.Diese werden histogrammiert und mit einer Gauß-Funktion angepasst (s. Abb. 2.12). Der Mit-telwert der Gauß-Funktion lässt sich als Widerstandswert interpretieren. Der Fehler der Wider-standsbestimmung ergibt sich dabei aus der Breite der Gauß-Verteilung und dem Messfehler derAuslese (Angaben laut Datenblatt [10]) zu:

∆R =

√(σ/√

n)2

+ (0,0065 Ω)2

Im relevanten Temperaturbereich um −25 C ergibt sich beispielsweise mit einer Breite derGauß-Verteilung von 1,23 mΩ (s. Abb. 2.12) ein Fehler von etwa 7 mΩ. Die Genauigkeit derTemperatur im Thermostatenbad beträgt 0,01 C (Angaben laut Datenblatt [9]).

t / s0 20 40 60 80 100 120 140

310×

ΩR

/

90

95

100

105

110

Abb. 2.11: Zeitlicher Verlauf des Widerstandes von Referenzsensor 1 bei Kalibrierung von −30 C bis 30C. Die 61 Stufen durch die verschiedenen Temperaturen sind deutlich zu erkennen.

Abbildung 2.13 zeigt den aus obiger Auswertemethode resultierenden Zusammenhang zwischenWiderstand R und Temperatur T . Für die Berechnung der einem willkürlich gemessenen Wider-stand entsprechenden Temperatur ist es nötig, eine zu diesem Verlauf passende Funktion zufinden. Bei der Wahl einer geeigneten Kalibrierfunktion ist ein Polynom erster oder höhererOrdnung anzunehmen. Bei höheren Anforderungen an die Genauigkeit sollte mindestens einequadratische Funktion zur Anpassung verwendet werden.


Entries 117

Mean 90.1

RMS 0.001346

Underflow 0

Overflow 0

/ ndf 2χ 0.8969 / 1

Prob 0.3436

Constant 11.53± 75.99

Mean 0.0± 90.1

Sigma 0.000144± 0.001229

ΩR / 90.09 90.095 90.1 90.105 90.11 90.115 90.12

ΩA

nza

hl /

0.0

02

0

10

20

30

40

50

60

70

Entries 117

Mean 90.1

RMS 0.001346

Underflow 0

Overflow 0

/ ndf 2χ 0.8969 / 1

Prob 0.3436

Constant 11.53± 75.99

Mean 0.0± 90.1

Sigma 0.000144± 0.001229

Abb. 2.12: Verteilung der Widerstandswerte mit Gauß-Funktion für −25 C von Referenzsensor 1

C°T / -30 -20 -10 0 10 20 30

ΩR

/

90

95

100

105

110 / ndf 2χ 53.79 / 57

Prob 0.5964p0 0.0008866± 99.93 p1 8.391e-05± 0.3911 p2 2.134e-06± -5.343e-05 p3 1.379e-07± 1.077e-06

/ ndf 2χ 53.79 / 57Prob 0.5964p0 0.0008866± 99.93 p1 8.391e-05± 0.3911 p2 2.134e-06± -5.343e-05 p3 1.379e-07± 1.077e-06

Abb. 2.13: Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur mit angepasster Funktion (Polynom 3. Ord-nung)


Daher wird im Folgenden die Anpassung durch ein Polynom zweiter und dritter Ordnung ge-nauer untersucht:

R(T ) = p0 + p1 · T + p2 · T 2

beziehungsweise

R(T ) = p0 + p1 · T + p2 · T 2 + p3 · T 3

Tabelle 2.1 gibt einen Überblick über die sich für ein Polynom zweiter und dritter Ordnung erge-benden Parameter. Die Funktionsparameter pi weisen genau das zuvor beschriebene Verhaltenauf. Für eine grobe Abschätzung würde eine lineare Funktion augenscheinlich noch ausreichen.Die Funktionsparameter zweiter und dritter Ordnung haben allerdings einen signifikanten Bei-trag, der für die angestrebte Genauigkeit nicht zu vernachlässigen ist. Aus der Testgröße χ2/ndflässt sich eine direkte Aussage über die Güte der Funktionsanpassung treffen. Die Testgrößeχ2/ndf sollte für eine optimale Anpassung den Wert 1 annehmen, eine schlechte Anpassungweicht hingegen stark von 1 ab. Die Wahrscheinlichkeit Prob (χ2, ndf) als Testgröße hängt eben-falls von der Anzahl der Freiheitsgrade und der Größe χ2 ab und sollte möglichst hoch sein(0 < Prob < 1). Damit zeigt sich, dass ein Polynom dritter Ordnung den Verlauf der Daten signi-fikant besser beschreibt als ein Polynom zweiter Ordnung. Eine weitere interessante Testgrößeist die mittlere Residue

∑Res/n. Residuen beschreiben die Differenz zwischen der angepass-

ten Funktion und dem tatsächlich gemessenen Wert. Die mittlere Residue sollte daher minimalwerden. Auch bei der Betrachtung der mittleren Residue zeigt sich, dass ein Polynom dritterOrdnung die geeignetere Wahl als Kalibrierfunktion darstellt. Daher wird für alle nachfolgen-den Kalibrierfunktionen ein Polynom dritter Ordnung verwendet.

Tab. 2.1: Tabelle zeigt den Vergleich der Parameter für ein Polynom 2. und 3. Ordnung

Polynom 2. Ordnung Polynom 3. Ordnung

χ2/ndF 114,7 / 58 (≈ 2) 53,79 / 57 (≈ 1)Prob 1,324 · 10−5 0,5964∑Res/n 0,002 0,0001p0 99,93 ± 8,859 · 10−4 99,93 ± 8,866 · 10−4

p1 0,3917 ± 3,359 · 10−5 0,3911 ± 8,391 · 10−5

p2 (−5,428 ± 0,213) · 10−5 (−5,343 ± 0,213) · 10−5

p3 (1,077 ± 0,138) · 10−6


2.4 Optimierung der Kalibriermethode für die thinPT-Sensoren

Aufgrund des hohen zeitlichen Aufwandes bei der Vermessung aller 61 Temperaturen (−30 Cbis +30 C in Schritten von 1 C) muss die Kalibrierung der thinPT-Sensoren mit weniger Ka-librierpunkten (Temperaturen) durchgeführt werden, ohne signifikant an Qualität zu verlieren.Daher muss zunächst eine geeignete Anzahl an Kalibrierpunkten gewählt und anschließend eineoptimale Position dieser Punkte bestimmt werden.

2.4.1 Variation der Anzahl der Kalibrierungspunkte

Es wird angestrebt, die Anzahl der zu vermessenden Kalibrierpunkte auf fünf bis acht Tempe-raturen zu reduzieren. Da im Bereich um −25 C eine möglichst hohe Genauigkeit gefordertist, werden dort die Sensoren in kleineren Temperaturschritten vermessen. Dagegen können imBereich über 0 C die Kalibrierpunkte größere Temperaturabstände aufweisen. Im Folgendenwerden exemplarisch drei verschiedene Variationen der Anzahl von Kalibrierpunkten vergli-chen. Entscheidend ist, dass die Kalibrierfunktion der reduzierten Messung (fünf bis acht Kali-brierungspunkte) nicht signifikant von der Funktion der Ausgangsmessung (61 Kalibrierpunkte)abweichen soll.Abbildung 2.14 stellt genau diese Abweichung für eine reduzierte Messung mit acht Kalibrier-punkten (−30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C, 10 C, 20 C, 30 C) dar. Im relevantenTemperaturbereich um −25 C ergibt sich lediglich eine Abweichung von 1 mΩ, für höhereTemperaturen treten hingegen Abweichungen von maximal 4 mΩ auf. Die Testgröße χ2/ndf so-wie die Wahrscheinlichkeit Prob(χ2/ndf) zeigen zudem deutlich schlechtere Werte hinsichtlichder Ausgangsmessung.Zum Vergleich ist mit Abbildung 2.15 die Abweichung für eine reduzierte Messung, bestehendaus lediglich sechs Kalibrierungspunkten (−30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C, 30 C), darge-stellt. Der entscheidende Unterschied zu der reduzierten Messung mit acht Kalibrierpunkten ist,dass gezielt bei hohen Temperaturen Kalibrierpunkte weggelassen wurde. Der relevante Tempe-raturbereich um −25 C wird dadurch offensichtlich nicht bedeutend beeinträchtigt. Hingegensind erwartungsgemäß die Abweichungen bei hohen Temperaturen um einen Faktor 8 angestie-gen. Trotz alledem ist die Güte der Kalibrierfunktion sehr gut, denn die Testgröße χ2/ndf und dieWahrscheinlichkeit Prob (χ2/ndf) weichen kaum von den Vergleichswerten aus der Ausgangs-messung ab.Wird die reduzierte Messung (sechs Kalibrierpunkte) um noch einen weiteren, den letzen Kali-brierpunkt oberhalb von 0 C, verringert (siehe Abb. 2.16), so weichen die Kalibrierfunktionenzu stark voneinander ab: Bei Temperaturen oberhalb von 0 C treten Differenzen von bis zu0,2 Ω auf. Zudem stellt sich bei einem einzigen zur Verfügung stehenden Freiheitsgrad für dieAnpassung eines Polynoms dritter Ordnung an den Verlauf von lediglich 5 Kalibrierungspunk-ten erneut die Frage nach einer geeigneten Kalibrierfunktion.Unter diesen Gesichtspunkten lässt sich festhalten, dass für die Kalibrierung der thinPT-Sensorensechs Kalibrierpunkte für eine hinreichende Genauigkeit gerade bei Temperaturen um −25 Csorgen und zudem der zeitliche Aufwand einer Kalibrierung um den Faktor 10 verringert werdenkonnte.


C°T / -30 -20 -10 0 10 20 30

Ω R

/ ∆

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004 Referenzmessung reduzierte Messung

χ2/ndF 53,79 / 57 (0,94) 8,806 / 4 (2,2)Prob 0,60 0,07

p0 99,93 ± 8,866 · 10−4 99,93 ± 2,662 · 10−3

p1 0,391 ± 8,391 · 10−5 0,391 ± 2,286 · 10−4

p2 (−5,343 ± 0,213) · 10−5 (−4,871 ± 0,494) · 10−5

p3 (1,077 ± 0,138) · 10−6 (6,974 ± 3,115) · 10−7

Abb. 2.14: links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Vergleich der Fitparameterder Kalibrierung mit der reduzierten Messung, ausgewählte Messpunkte sind: −30 C, −25 C, −20 C,−10 C, 0 C, 10 C, 20 C, 30 C

C°T / -30 -20 -10 0 10 20 30

Ω R

/ ∆

-0.015

-0.01

-0.005

0


χ2/ndF 53,79 / 57 (0,94) 1,108 / 2 (0,55)Prob 0,60 0,57

p0 99,93 ± 8,866 · 10−4 99,94 ± 4,308 · 10−3

p1 0,391 ± 8,391 · 10−5 0,392 ± 4,277 · 10−4

p2 (−5,343 ± 0,213) · 10−5 (−5,65 ± 0,569) · 10−5

p3 (1,077 ± 0,138) · 10−6 (−2,909 ± 5,14) · 10−7

Abb. 2.15: links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Vergleich der Fitparameterder Kalibrierung mit der reduzierten Messung, ausgewählte Messpunkte sind: −30 C, −25 C, −20 C,−10 C, 0 C, 30 C

C°T / -30 -20 -10 0 10 20 30

Ω R

/ ∆

0

0.05

0.1

0.15


χ2/ndF 53,79 / 57 (0,94) 0,3924 / 1 (0,39)Prob 0,60 0,53

p0 99,93 ± 8,866 · 10−4 99,94 ± 4,618 · 10−3

p1 0,391 ± 8,391 · 10−5 0,391 ± 1,576 · 10−3

p2 (−5,343 ± 0,213) · 10−5 (−1,665 ± 1,301) · 10−4

p3 (1,077 ± 0,138) · 10−6 (−2,625 ± 2,806) · 10−6

Abb. 2.16: links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Vergleich der Fitparameterder Kalibrierung mit der reduzierten Messung, ausgewählte Messpunkte sind: −30 C, −25 C, −20 C,−10 C, 0 C


2.4.2 Variation der Position der Kalibrierpunkte

Nachdem nun die Anzahl der Messpunkte festgelegt ist, stellt sich die Frage, welche Tempera-turen als Kalibrierpunkte gewählt werden. Wie bereits zuvor erwähnt wurde, ist besonders imBereich um −25 C eine möglichst hohe Genauigkeit gefordert. Daher werden in diesem Tem-peraturbereich die Kalibrierpunkte nicht variiert, lediglich im Bereich über 0 C. Im Folgendenwerden exemplarisch zwei verschiedene Variationen der Temperaturen verglichen. Abbildung2.17 zeigt wie zuvor die Abweichung der Kalibrierfunktion der reduzierten Messung (sechs Ka-librierpunkte) von der der Ausgangsmessung (61 Kalibrierpunkte). Bei dieser reduzierten Mes-sung wurden als Kalibrierpunkte die Temperaturen −30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C und30 C gewählt. Zum Vergleich wurde bei der reduzierten Messung der Kalibrierpunkt bei 30 Cdurch den bei 10 C ersetzt (s. Abb. 2.18). Im relevanten Temperaturbereich um −25 C zeigtsich die reduzierte Messung mit 30 C als Kalibrierpunkt nicht signifikant besser, allerdings istoberhalb von 0 C der Unterschied offensichtlich.

Aufgrund der deutlich stärkeren Abweichung bei der reduzierten Messung mit 10 C als Kali-brierpunkt in diesem Temperaturbereich wird zusammenfassend die Kalibrierung mit den Tem-peraturen −30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C und 30 C als die optimale Kalibrierung fürdie thinPT-Sensoren festgehalten.

C°T / -30 -20 -10 0 10 20 30

Ω R

/ ∆

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

C°T / -30 -28 -26 -24 -22 -20

R /

R in

%∆

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

Abb. 2.17: links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Ausschnitt im Bereich von −30C bis −20 C, ausgewählte Messpunkte: −30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C, 30 C

C°T / -30 -20 -10 0 10 20 30

Ω R

/ ∆

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

C°T / -30 -28 -26 -24 -22 -20

R /

R in

%∆

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

Abb. 2.18: links: Differenz der Referenz- und reduzierten Messung; rechts: Ausschnitt im Bereich von −30C bis −20 C, ausgewählte Messpunkte: −30 C, −25 C, −20 C, −10 C, 0 C, 10 C

18 3 Kalibrierung der thinPT-Sensoren

3 Kalibrierung der thinPT-Sensoren

Die thinPT-Sensoren können nicht direkt im Thermostatbad des Kälte-Umwälzthermostaten ka-libriert werden, da als Kühlmedium ein Methanol-Wasser-Gemisch zum Einsatz kommt unddie thinPT-Sensoren nicht resistent gegen Methanol sind. Aus diesem Grund muss ein alternati-ver Kalibrieraufbau entwickelt werden. Dabei ist zu beachten, dass sich das Temperaturgleich-gewicht schnell einstellt, die Temperaturverteilung in dem gesamten Aufbau homogen ist undmöglichst viele Sensoren gleichzeitig kalibriert werden können.Im Folgenden wird zunächst ein diesen Anforderungen entsprechender Kalibrieraufbau beschrie-ben und dessen Zeitkonstante bestimmt. Anschließend wird auf die Kalibrierung der erstenthinPT-Sensoren eingegangen, d.h. die Bestimmung der Kalibrierparameter explizit beschrie-ben und anhand einer Fehlerabschätzung überprüft, ob die angestrebte Genauigkeit mit diesemKalibrieraufbau erreicht werden kann. In diesem Zusammenhang wird zudem ein zusätzlicherwichtiger Aspekt, die Reproduzierbarkeit, untersucht.

3.1 Kalibrieraufbau für thinPT-Sensoren

Der gesamte Kalibrieraufbau besteht aus zwei ineinander geschachtelten Teilen (s. Abb. 3.20).Der äußere Teil beschreibt eine Isolierbox, die zur Aufgabe hat, den inneren Teil, eine zur Kali-brierung temperierte Sensorbox (s. Abb. 3.19), zur Außenumgebung thermisch abzuschirmen. Esist angestrebt, insgesamt 15 thinPT-Sensoren zeitgleich kalibrieren zu können. Um eine schnel-les Erreichen des Temperaturgleichgewichtes und eine homogene Temperaturverteilung in derSensorbox zu gewährleisten, wurde ein kompakter, quaderförmiger Aufbau gewählt.Die Boden- und Deckelplatte bestehen aus 5 mm starkem Kupfer mit jeweils einer 35 mm tie-fen Bohrung zum Einlassen der Referenzsensoren. Zwischen diesen beiden Platten werden diethinPT-Sensoren abwechselnd mit jeweils einer 0,5 mm starken Kupferplatte übereinander gesta-pelt. Zur mechanischen Stabilisierung sowie für ein schnelles Erreichen des Temperaturgleich-gewichtes und einer homogenen Temperaturverteilung wird eine Rahmenkonstruktion aus 5 mmstarkem Kupfer an der Bodenplatte befestigt.

3 Kalibrierung der thinPT-Sensoren 19

Abb. 3.19: Kalibrieraufbau mit innenliegenden thinPT-Sensoren

Die Sensorbox wird direkt zwischen zwei Kühlkörpern aus Kupfer befestigt. Somit ist eineschnelle Wärmeübertragung gewährleistet. Für eine räumlich homogene als auch zeitlich stabileTemperaturverteilung in der Sensorbox sind die Kühlkörper parallel geschaltet und die Tem-perierung erfolgt wieder durch das Kälte-Umwälzthermostat FP50-HL der Firma Julabo (vgl.Kapitel 2).Zudem befindet sich die Sensorbox zusammen mit den Kühlkörpern in einer Isolierbox:Als Isoliermaterial für die Isolierbox kommen hier Vakuum-Isolier-Paneele der Firma va-Q-tec(λ ≤ 0,0053 W/(mK)) und der Hartschaumstoff Rohacell (λ = 0,03 W/(mK)) zum Einsatz. Diesewurden zu einer kompakten Box verklebt. Der nach Einsetzen der Sensorbox, der Kühlkör-per und der Hin- und Rückleitung vom bzw. zum Kälte-Umwälzthermostat verbleibende Frei-raum wird zudem noch mit Silika-Aerogel-Granulat1 der Firma Innovative Materials (λ ≤ 0,018W/(mK)) aufgefüllt.

3.2 Zeitkonstante des Aufbaus

Für die Bestimmung des Widerstandes während der Kalibrierung ist entscheidend, dass sich derKalibrieraufbau im thermischen Gleichgewicht befindet. Daher gilt es zu klären, wie groß dieZeitabstände zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kalibrierpunkten sein müssen. Der größteTemperatursprung bei der Kalibrierung erfolgt von 0 C auf 30 C. Dazu wird im Folgendender zeitliche Widerstandsverlauf während dieser Aufwärmphase genauer untersucht. Die Wider-standkurve lässt sich hierbei durch eine Funktion der folgenden Form beschreiben:

R(t) = R30C ·

(1 − α · exp

(−

tτ

))1Vakuum-Isolier-Paneele, Silika-Aerogel-Granulat und Rohacell sind mögliche Isolationsmaterialien für das

EMC und werden momentan am Proto192, dem Prototypen der Vorwärtsendkappe, getestet.


Abb. 3.20: Isolationsaufbau mit Kupferblock und zum Teil innenliegender Hin- und Zuleitungen des Kälte-Umwälzthermostat

Abbildung 3.21 zeigt die entsprechende Widerstandskurve für die Aufwärmphase von 0 C auf30 C. Demnach beträgt die Zeitkonstante:

τ =(−5,136 · 10−3 s−1

)−1= 3,3 min

Das bedeutet, dass nach 3,3 Minuten der Widerstand auf 1 − 1/e = 63,2 % des zu erreichendenWiderstandes R30C angewachsen ist. Interessanter ist aber die benötigte Zeit, bis der Widerstandnur noch 0,01 % vom zu erreichenden Widerstand R30C abweicht:

tGleichgewicht = ln(0,9999 − 1

α

)· τ =

ln(

0,9999−11,554

)−5,136 · 10−3s−1 = 31,3 min

Abschließend kann man sagen, dass bei der Kalibrierung der thinPT-Sensoren für das Errei-chen des thermischen Gleichgewichtes eines Kalibrierpunktes eine Wartezeit von einer Stundegenügend Sicherheit (Sicherheitsfaktor 2 berücksichtigt) bietet.


Zeit / s0 1000 2000 3000 4000 5000

Ω R

/

104

105

106

107

108

109

110

111

112

t))⋅-1 min-3 10⋅ exp(-5,136 ⋅ (1-1,554 ⋅ ΩR(t)=111,697

Abb. 3.21: Zeitlicher Widerstandsverlauf der Aufwärmphase von 0 C auf 30 C.

3.3 Bestimmung der Kennlinie

Im Rahmen dieser Arbeit wurden die ersten thinPT-Sensoren für den Einsatz im Proto192, demPrototypen der Vorwärtsendkappe, kalibriert. Im Folgenden wird das genaue Vorgehen zur Kali-brierung der thinPT-Sensoren erläutert. Die Wartezeit für das Erreichen des thermischen Gleich-gewichtes eines Kalibrierpunktes beträgt eine Stunde (vgl. Kapitel 3.2) und zur Widerstandsbe-stimmung werden die letzten 30 Minuten einer Temperaturstufe benötigt, was etwa 180 Daten-punkten entspricht. Für einen einzelnen Kalibrierpunkt beläuft sich damit die Dauer auf etwa 1,5Stunden. Eine vollständige Kalibrierung mit insgesamt sechs Temperaturen (vgl. Kapitel 2.4.2)benötigt damit neun Stunden.Abbildung 3.22 zeigt den zeitlichen Verlauf des Widerstandswertes für einen der thinPT-Sen-soren. Da es sich bei der hier vorgestellten Messung noch um eine der ersten Kalibrierungenhandelt, beträgt die Wartezeit für das Erreichen des thermischen Gleichgewichtes eines Kali-brierpunktes sicherheitshalber noch drei Stunden und nicht, wie zuvor erwähnt, eine Stunde. DieWiderstandsbestimmung erfolgt vollständig analog zu der der Referenzsensoren, d.h. die letzten180 Datenpunkte einer Temperaturstufe werden histogrammiert und mit einer Gauß-Funktionangepasst (vgl. Kapitel 2.3).


t / s0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

ΩR

/

90

95

100

105

110

115

Abb. 3.22: Zeitlicher Verlauf des Widerstandes von thinPT-Sensor 23 bei Kalibrierung von −30 C bis 30C.

Abbildung 3.23 zeigt die sechs dazugehörigen Gauß-Verteilungen. Für jeden der sechs Kali-brierpunkte muss zudem die Temperatur im Kalibrieraufbau ermittelt werden. Dazu wird fürbeide kalibrierten Referenzsensoren (vgl. Kapitel 2.3) mit zuvor erwähnter Methode der Wi-derstand bestimmt, und durch Lösen der cardanischen Formeln ergibt sich die entsprechendeTemperatur1. Abschließend lässt sich dann aus den beiden Referenztemperaturen eine mittlereTemperatur und ein Fehler angeben.

1Die cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung reduzierter kubischer Gleichungen (Gleichungen dritterOrdnung). Für eine detaillierte Behandlung dieses Lösungverfahrens sei auf Anhang B verwiesen.


Entries 178Mean 95.12RMS 0.0008673

/ ndf 2χ 5.378 / 2Prob 0.06795Constant 8.17± 86.82 Mean 0.00± 95.12 Sigma 0.0000423± 0.0007954

95.11 95.115 95.12 95.125 95.13 95.135 95.140

10

20

30

40

50

60

70

80





91.265 91.27 91.275 91.28 91.285 91.29 91.2950

10

20

30

40

50

60





91.215 91.22 91.225 91.23 91.235 91.240

10

20

30

40

50

60





93.085 93.09 93.095 93.1 93.105 93.110

10

20

30

40

50

60




/ ndf 2χ 18.97 / 4

Prob 0.0007969Constant 5.13± 48.77 Mean 0.00± 89.34 Sigma 0.000091± 0.001431

89.325 89.33 89.335 89.34 89.345 89.350

10

20

30

40

50


/ ndf 2χ 18.97 / 4

Prob 0.0007969Constant 5.13± 48.77 Mean 0.00± 89.34 Sigma 0.000091± 0.001431



89.26 89.265 89.27 89.275 89.28 89.2850

10

20

30

40

50



Abb. 3.23: Histogramme mit angepasster Gauß-Funktion der sechs Kalibrierpunkte


Tabelle 3.2 gibt einen Überblick über die beiden Referenztemperaturen und deren mittleren Tem-peratur für alle sechs Kalibrierpunkte. Zwei Beobachtungen sind dabei zu erwähnen. Zum einenweist der Temperaturunterschied zwischen Thermostatbad und Kalibrieraufbau von maximal0,5 C darauf hin, dass durch den Kalibrieraufbau keine größeren Wärmeverluste nach außenhin auftreten. Zum anderen zeigen beide Referenzsensoren sehr ähnliche Temperaturen an, sodass von einer homogenen Temperaturverteilung in der Sensorbox auszugehen ist. Der Fehlerder mittleren Temperatur ist zudem immer unterhalb der angestrebten Genauigkeit von 0,05 C.

Tab. 3.2: Berechnung der Temperaturen aus den Referenzsensoren für die Kalibrierung der thinPT-Sensoren

T(Thermostatbad)/C T(Referenz 1)/C T(Referenz 2)/C T/C

-30 -29,460 -29,497 -29,478 ± 0,026-25 -24,523 -24,563 -24,543 ± 0,028-20 -19,568 -19,611 -19,590 ± 0,031-10 -9,643 -9,671 -9,657 ± 0,0200 0,195 0,278 0,287 ± 0,012

30 30,029 30,093 30,061 ± 0,045

Abbildung 3.24 zeigt den resultierenden Zusammenhang zwischen Widerstand R und Tempe-ratur T . Als geeignete Kalibrierfunktion wird entsprechend der in Kapitel 2.3 gewonnenen Er-kenntnisse ein Polynom dritter Ordnung verwendet. Die Residuen (s. Abb. 3.25) sowie der Ver-gleich der mittleren Residue für ein Polynom dritter Ordnung (0,0013) mit der für ein Polynomzweiter Ordnung (0,0036) stützen dabei diese Annahme.

C°T / -30 -20 -10 0 10 20 30

ΩR

/

90

95

100

105

110

115 / ndf 2χ 1.47 / 2Prob 0.4795p0 0.004283± 103.9 p1 0.0004415± 0.4048 p2 5.72e-06± -7.871e-05 p3 5.401e-07± 3.141e-07

/ ndf 2χ 1.47 / 2Prob 0.4795p0 0.004283± 103.9 p1 0.0004415± 0.4048 p2 5.72e-06± -7.871e-05 p3 5.401e-07± 3.141e-07

Abb. 3.24: Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur mit angepasster Funktion


C°T / -30 -20 -10 0 10 20 30

ΩR

/

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

Abb. 3.25: Residuenverteilung für die angepasste Kalibrierfunktion

3.4 Genauigkeit der Kalibrierung

Für die Temperaturauslese wird eine Genauigkeit von 0,05 C gefordert (s. Kapitel 1). Um ei-ne entsprechende Eignung der Kalibrierung zu verifizieren, wird im Folgenden anhand einerAbschätzung die Genauigkeit bestimmt. Dazu wurde unabhängig von der Kalibrierung bei zweiTemperaturen, die keine Kalibrierpunkte darstellen, nämlich bei −22,5 C und −27,5 C, jeweilsetwa 180 Datenpunkte aufgenommen und mit den entsprechenden Kalibrierparametern direkt ineine Temperatur umgerechnet. Ein Vergleich der sich daraus ergebenden mittleren Temperaturmit der Referenztemperatur ist in Tabelle 3.3 dargestellt. Es zeigt sich, dass zwölf der 14 thinPT-Sensoren keine Abweichung größer 0,05 C aufweisen. Lediglich die beiden Letztgelistetenfallen heraus. Somit lässt sich zusammenfassen, dass grundsätzlich die angestrebte Genaugkeitmit dieser Kalibriermethode erreicht werden kann. Zudem erweist sich diese Verifizierung derKalibrierung als sinnvolle Qualitätskontrolle.


Tab. 3.3: Vergleich der mittleren Temperatur der einzelnen thinPT-Sensoren mit den Referenztemperaturen

Fehler bei −22,5 C Fehler bei −27,5 CSensor Ref.-Temp. T/C thinPT-Temp. T/C Ref.-Temp. T/C thinPT-Temp. T/C

51 -22,05 ± 0,02 -22,00 -26,97 ± 0,03 -26,9452 -22,05 ± 0,02 -22,00 -26,97 ± 0,03 -26,9453 -22,05 ± 0,02 -22,02 -26,97 ± 0,03 -26,9754 -22,05 ± 0,02 -22,05 -26,97 ± 0,03 -26,9956 -22,05 ± 0,02 -22,00 -26,97 ± 0,03 -26,9257 -22,05 ± 0,02 -22,03 -26,97 ± 0,03 -26,9658 -22,05 ± 0,02 -22,02 -26,97 ± 0,03 -26,9559 -22,05 ± 0,02 -22,02 -26,97 ± 0,03 -26,9571 -22,05 ± 0,02 -22,00 -26,97 ± 0,03 -26,9373 -22,05 ± 0,02 -22,01 -26,97 ± 0,03 -26,9283 -22,05 ± 0,02 -22,04 -26,97 ± 0,03 -26,9482 -22,05 ± 0,02 -22,03 -26,97 ± 0,03 -26,97

50 -22,05 ± 0,02 -21,95 -26,97 ± 0,03 -26,9074 -22,05 ± 0,02 -21,98 -26,97 ± 0,03 -26,88

3.5 Reproduzierbarkeit

Ein wichtiger Aspekt bei der Kalibrierung der thinPT-Sensoren ist die Reproduzierbarkeit. Wennein bereits zuvor kalibrierter thinPT-Sensor erneut kalibriert wird, sollten beide Sätze von Ka-librierparametern für einen beliebigen Widerstandswert die gleiche Temperatur liefern. Ande-renfalls unterliegt die Kalibrierung bisher nicht berücksichtigten systematischen Fehlern. Un-ter diesem Aspekt wurden mehrere thinPT-Sensoren zweimal kalibriert und miteinander ver-glichen indem mit beiden Sätzen von Kalibrierparametern die Temperaturen für den gleichenWiderstandswert ermittelt wurden (s. Tab. 3.4). Eine maximale Abweichung von 0,03 C lässtabschließend die Aussage zu, dass mit diesem Kalibrieraufbau eine ausreichend hohe Reprodu-zierbarkeit erzielt wird.

Tab. 3.4: Vergleich zweier aufeinanderfolgender Kalibrierungen

Sensor R(T = −25 C)/Ω T/C (1. Kalibrierung) T/C (2. Kalibrierung)

37 94,40 -25,10 -25,0835 95,50 -25,19 -25,2133 94,00 -25,36 -25,3832 93,25 -25,34 -25,3731 83,50 -24,96 -24,9929 94,85 -25,11 -25,1127 94,00 -25,04 -25,0523 94,00 -25,22 -25,2021 94,30 -25,11 -25,14

4 Fazit 27

4 Fazit

Diese Arbeit befasst sich mit der Kalibrierung selbstentwickelter Temperatursensoren (soge-nannter thinPT-Sensoren). Diese werden zur Überwachung der Temperatur der Kristalle imelektromagnetischen Kalorimeter des PANDA-Experimentes verwendet, in dem aufgrund derkompakten Bauweise keine kommerziellen Temperatursensoren verwendet werden können. DasEMC wird bei −25 C betrieben, wodurch sich die Lichtausbeute um einen Faktor 4 erhöht,aber auch mit einer relativen Lichtausbeute von dLY/dT = 3 % deutlich stärker temperaturab-hängig ist. Folglich würden Temperaturschwankungen im Bereich von einigen zehntel Grad dieEnergieauflösung bereits deutlich herabsetzen. Eine geforderte Temperaturstabilität von 0,1 Cund eine damit verbundene Anforderung an die Messauflösung der Temperatur von 0,05 C alsauch die herstellungsbedingte Variation der Sensorwiderstände machen daher eine Kalibrierungunabdingbar. Um eine solche Kalibrierung durchführen zu können, wurde im Rahmen dieserArbeit ein den Anforderungen genügender Kalibrieraufbau geplant und entwickelt.

Dazu mussten zunächst Referenzsensoren kalibriert werden. Dies geschah im internen Ther-mostatenbad des für die Kalibrierung zur Verfügung stehenden Kälte-Umwälzthermostats. Hin-sichtlich einer angestrebten Auflösung von 20 mΩ (entspricht 0,05 C) konnte gezeigt werden,dass das Thermostatenbad des Kälte-Umwälzthermostats für die Kalibrierung der Referenzsen-soren geeignet ist. Die Kalibrierung der Referenzsensoren erfolgte im Bereich von −30 C bis30 C in Schritten von 1 C. Begründet auf einer detaillierten Untersuchung dieser Kalibrier-daten wurde für die Kalibrierung eine Funktion dritter Ordnung gewählt. Da eine Kalibrierungmit 61 Temperaturen für die thinPT-Sensoren zu zeitaufwendig und somit ungeeignet, wurdedaher die Anzahl als auch die Position der Kalibrierpunkte basierend auf den Kalibrierdaten derReferenzsensoren optimiert. Unter dem Gesichtspunkt einer im relevanten Temperaturbereichum -25 C möglichst hohen Genauigkeit konnte die Kalibrierung mit den Temperaturen −30 C,−25 C, −20 C, −10 C, 0 C und 30 C als die optimale Kalibrierung für die thinPT-Sensorenbestimmt werden. Da die thinPT-Sensoren nicht resisten gegen das im Kälte-Umwälzthermostatverwendete Kühlmittel sind, musste ein alternativer Kalibrieraufbau entwickelt werden. Beson-deres Augenmerk wurde dabei auf eine möglichst große Anzahl an Sensorkalibrierplätzen, einemöglichst kurze Dauer bis zum Erreichen des thermischen Gleichgewichtes sowie die Tempera-turhomogenität gelegt. Der Aufbau ermöglicht, es 15 thinPT-Sensoren zeitgleich zu kalibrieren.Aus der Bestimmung der Zeitkonstante für einen Temperatursprung von 0 C auf 30 C, demgrößten der Kalibrierung, konnte eine Stunde als maximal notwendige Wartezeit ermittelt wer-den. Mit einer Dauer von 30 Minuten für die Vermessung des Widerstandes beläuft sich einevollständige Kalibrierung mit insgesamt sechs Temperaturen auf lediglich neun Stunden. EinVergleich beider Referenztemperaturen während einer Kalibrierung weist zudem auf eine sehrgute Temperaturhomogenität im Aufbau hin. Die aus beiden Referenzsensoren ermittelte Refe-renztemperatur lässt sich in der Regel auf 0,02 C bis 0,03 C genau bestimmen. Eine Über-prüfung der Genauigkeit der Kalibrierung bei etwa −27,5 C und −22,5 C zeigte, dass mit derKalibrierung die geforderte Genauigkeit von 0,05 C erreicht wird.

28 4 Fazit

Wichtige Punkte, die im Rahmen der Kalibrierung der thinPT-Sensoren näher untersucht werdenmüssen, sind die Rekalibrierung und die Betrachtung der Genauigkeit der Temperaturmessung.Damit lässt sich zusammenfassend sagen, dass es möglich war, eine Methode zur Kalibrierungder thinPT-Sensoren zu entwickeln, die die Anforderungen erfüllt. Zudem wurden im Rahmendieser Arbeit bereits die ersten thinPT-Sensoren für den Einsatz im EMC-Prototypen Proto192erfolgreich kalibriert und die zur Berechnung der Temperatur aus der Kalibrierfunktion dritterOrdnung genutzte Methode nach Cardano in das Slow-Control-System des Proto192 implemen-tiert.

B Formel von Cardano 29

A Kalibrierparameter der Referenzsensoren

Tab. A.5: Übersicht über Fitparameter der drei kalibrierten Referenzsensoren

Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3

χ2/ndF 53,79 / 57 (0,94) 51,12 / 57 (0,90) 37,03 / 57 (0,65)Prob 0,60 0,69 0,98p0 99,93 ± 8,866 · 10−4 99,90 ± 8,864 · 10−4 99,99 ± 8,868 · 10−4

p1 0,391 ± 8,391 · 10−5 0,391 ± 8,389 · 10−5 0,392 ± 8,393 · 10−5

p2 (-5,343 ± 0,213) · 10−5 (-3,777 ± 0,213) · 10−5 (-6,066 ± 0,214) · 10−5

p3 (1,077 ± 0,138) · 10−6 (1,264 ± 0,138) · 10−6 (4,917 ± 1,380) · 10−7

B Formel von Cardano

Bei den cardanischen Formeln handelt es sich um Formeln zur Lösung reduzierter kubischerGleichungen (Polynome 3. Ordnung). Im Folgenden wird diese Methode genauer erläutert.Ausgehend von einer allgemeinen Gleichung dritter Ordnung

p3T 3 + p2T 2 + p1T + p0 = R

mit den reellen Zahlen p3, p2, p1, p0, R und p3 , 0 lässt sich diese durch Subtraktion von R undanschließender Division durch p3 in die Normalform

T 3 +p2T 2

p3+

p1Tp3

+p0 − R

p3= 0

bringen. Mit der Substitution y = T +p2

3p3lässt sich der quadratische Term aus der Normalform

eliminieren

y3 + py + q = 0

mit

p =p1

p3−

p22

3p23

,

q =2p3

2

27p33

−p2 p1

3p23

+p0

p3.

Die so erhaltene reduzierte Form lässt sich dann mit Hilfe der Cardanischen Formel lösen. Beiden drei möglichen Lösungen kann es sich um komplexe Zahlen handeln. Die drei Lösungenergeben sich durch die Substitution

y = u + v

30 B Formel von Cardano

mit

u =3

√−

q2

+√

D ,

v =3

√−

q2−√

D .

Dabei beschreibt D die Diskriminante der reduzierten Form

D =

(q2

)2+

( p3

)3

Die drei Lösungen ergeben sich allgemein zu

z1 = u + v

z2 = uε1 + vε2

z3 = uε2 + vε1

mit

ε1 = −12

+12

i√

3

ε2 = −12−

12

i√

3

Das Lösungsverhalten hängt dabei stark vom Vorzeichen der Diskriminante der reduziertenForm ab. So lassen sich drei Fälle unterschieden. Für eine genaue Herleitung sei an dieser Stelleauf [11] verwiesen.Für D > 0 hat die Gleichung genau eine reelle und zwei komplexe Lösungen:

z1 = u + v

z2,3 = −u + v

2±

u − v2

i√

3

Für D = 0 hat die Geichung eine doppelte reelle Lösung und eine einfache reelle Lösung odereine dreifache reelle Lösung:

z1 =3qp

z2,3 = −3q2p

Für D < 0 hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen

z1 =

√−

43

p · cos

13

arccos

−q2·

√−

27p3

z2 = −

√−

43

p · cos

13

arccos

−q2·

√−

27p3

+π

3

z3 = −

√−

43

p · cos

13

arccos

−q2·

√−

27p3

− π3

Literatur 31

Literatur

[1] PANDA Collaboration. Physics Performance Report for PANDA: Strong Interaction Stu-dies with Antiprotons. ArXiv e-prints, 2009, 0903.3905.

[2] PANDA Collaboration. Technical Design Report for PANDA Electromagnetic Calorime-ter (EMC). ArXiv e-prints, 2008, 0810.1216.

[3] H.H. Gutbrod, I. Augustin, H. Eickhoff, KD Groß, WF Henning, D. Krämer, and G. Walter.FAIR Baseline Technical Report, Executive Summary. GSI, 2006.

[4] PANDA Collaboration. Technical Progress Report for PANDA. 2005.

[5] Jörn Becker. Entwicklungs- und Simulationsarbeiten für den Prototypen des PANDA elek-tromagnetischen Vorwärtskalorimeters, Masterarbeit, Ruhr-Universität Bochum. 2009.

[6] Jan Zhong. private Kommunikation. 2011.

[7] Jan Schulze. Prototypenentwicklung für das elektromagnetische Kalorimeter des PANDA-Experimentes, Diplomarbeit, Ruhr-Universität Bochum. 2009.

[8] U. Tietze und C. Schenk. Halbleiter-Schaltungstechnik. Springer, 2002.

[9] Datenblatt FP50-HL Kälte-Umwälzthermostat, http://www.julabo.de/de/p_datasheet.asp.2011.

[10] Datenblatt Agilent 34980A Digitalmultimeter, http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5989-1437EN.pdf. 2011.

[11] Cardanische Formeln, http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln. 2011.

Danksagung

An dieser Stelle möchte ich allen danken, die in irgendeiner Form zum Gelingen dieser Arbeitbeigetragen haben.

Ein besonderer Dank geht dabei an:

Alle Angestellten der EP1 für das sehr angenehme Arbeitsklima.

Prof. Dr. Ulrich Wiedner für die Bereitstellung dieses interessanten Themas.

Dipl. Phys. Jan Schulze für die intensive Betreuung und seinen uneingeschränkten Einsatz beider Korrektur.

Dr. Thomas Held und Dr. Matthias Steinke für die vielen wertvollen Diskussionen und ihr En-gagement während dieser Arbeit.

Prof. Dr. Werner Meyer für die Übernahme des Zweitgutachtens.

Kalibrierung von Temperatursensoren für das elektromagnetische ...

Documents

Transcript of Kalibrierung von Temperatursensoren für das elektromagnetische ...