Kapitel 10:

10.1 Kristallographische Gruppen10.2 Raumgruppen

(eine detaillierte Vorstellung kann und soll nicht Thema einer „Einführung in die Kristallographie“ sein)

10.3 Ebenengruppen10.4 Bandgruppen

Raumgruppen

Kristallographische HierarchienEs gibt:

7 Kristallsysteme14 Bravais-Gitter

32 Punktgruppen (Kristallklassen)mit 47 einfachen Kristallformen

230 Raumgruppen122 AS-Punktgruppen (58 AS + 32 graue+32

einfarb.)1651 AS-Schubnikov-Gruppen

(AS: Antisymmetrie)

SymmetriegruppenIm zweidimensionalen Fall gibt es:

4 Kristallsysteme (Parallelogramm, Rechteck, Quadrat, Rhombus)

5 Gitter10 Punktgruppen

17 ebene RaumgruppenIm vierdimensionalen Fall gibt es:

64 Bravais-Gitter 227 Punktgruppen 4783 Raumgruppen

Raumgruppen

Die Gesamtheit aller Symmetrieoperationen in einem Gitter (oder einer Kristallstruktur) nennt man Raumgruppe.

Eine Raumgruppe ist eine Gruppe von Symmetrieoperationen unter Einschluß der Gittertranslationen.

Raumgruppensymbol: Bravais-Gitterzentrierung + erzeugende Symmetrieelementez.B. I 41/amd

Definition

RaumgruppenEigenschaften:

Zähligkeitallgemeine Punktlage, spezielle Punktlageasymmetrische Einheit

Ableitung der zugehörigen Punktgruppe aus dem SymbolIm zweidimensionalen Fall:

Ebenengruppen Bandgruppe

Die detaillierte Behandlung der Raumgruppen kann nicht Gegenstand dieser einführenden Lehrveranstaltung sein. Als zweidimensionales Analogon werden die 17 Ebenengruppen kurz vorgestellt.

EbenengruppenIm zweidimensionalen Fall gibt es:

4 Kristallsysteme mit : - Parallelogramm (engl.: oblique)- Rechteck (rectangular)- Quadrat (square)- Rhombus (triequiangular, hexagonal)als Elementarmasche

5 Gitter:- 4 primitive + zentriertes Rechteckgitter

10 Punktgruppen17 ebene Raumgruppen

Zahlreiche Beispielgraphiken sind dem „Escher Web Sketch“ entnommen(Autoren: Wes Hardaker und Gervais Chapuis, Univ. Lausanne,

www-sphys.unil.ch\escher)

EbenengruppenParallelogramm

p 1

Ebenengruppen Parallelogramm

p 2

Ebenengruppen

1

p 1

2

p 2

Parallelogramm

Punktgruppe

Ebene Raumgruppe

EbenengruppenRechteck

p m

EbenengruppenRechteck

p g

Asymm.Einheit

EbenengruppenRechteck

c m

EbenengruppenRechteck

p 2mm

EbenengruppenRechteck

c 2mm

EbenengruppenRechteck

p 2mg

4 Elementar-maschen

Koordinaten äquivalenter Punktlagen:4 1 x,y -x,-y ½+x,-y ½-x,y5 m ¼,y ¾,-y2 2 0, ½ ½, ½2 2 0,0 ½, 0

Zähligkeit spezielle Lage Koordinaten

EbenengruppenRechteckgruppen

mp 1m1

mp 1g1

mc 1m1

2mmp 2mm

2mmp 2gg

2mmp 2mg

2mmc 2mm

EbenengruppenQuadrat

p 4

EbenengruppenQuadrat

p 4mm

EbenengruppenQuadrat

p 4gm

EbenengruppenSquare

4p 4

4mmp 4mm

4mmp 4gm

EbenengruppenRhombus(hexagonal,triequiangular)

p 3

AE

EbenengruppenRhombus

p 3m1

EbenengruppenRhombus

p 31m

Ebenengruppen Rhombus

p 6

EbenengruppenRhombus

p 6mm

+

EbenengruppenHexagonal

3p 3

3mp 3m1

3mp 31m

6p 6

6mmp 6mm

+

RaumgruppenAuflistung aller Raumgruppen in den Internationalen Tabellen

Beispiel: I 41/amd

Bandgruppen

Bandgruppen

Übung 10• Nennen Sie Kristallsystem, Bravais-Gitter, Kristallklasse und

Zähligkeit der allgemeinen Punktlage zu folgenden Raumgruppen:

• C 2/c• Fddd• I 422• A bm2• P 312• R 3c• P 63cm• F d-3c

• Analysieren Sie Tapetenmuster, Ornamente, Modedrucke und Fliesenmuster hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zu einer der 17 Ebenengruppen !