Kapitel 17 Dynamische Modelle: Konzepte

Kapitel 17

Dynamische Modelle: Konzepte

Hackl, Einführung in die Ökonometrie

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Argumente für dynamische Modelle(a) Ökonomische Aktivitäten sind oft durch die Vergangenheit

bestimmt; z.B.: Konsum von Energie hängt von Investitionen der Vergangenheit in energieverbrauchende Anlagen und Geräte ab

(b) Akteure der ökonomischen Prozesse reagieren oft verzögert; z.B. wegen der Dauer von Entscheidungs- und Beschaffungspro-zessen

(c) Erwartungen: z.B.: Konsum hängt nicht nur von aktuellen Einkommen, auch von der Einkommenserwartung ab; Modellierung der Erwartung basiert auf Entwicklung in der Vergangenheit


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Elemente dynamischer Modelle

1. Lagstrukturen, d.s. Linearkombinationen aktueller und vergangener Werte der Variablen

2. Modelle für Erwartungen: basieren auf Lagstrukturen; z.B. adaptive Erwartung, partielle Anpassung

3. Das ADL-Modell: ein einfaches, aber allgemein anwendbares Modell, das aus einem autoregressiven Teil und aus einer endlichen Lagstruktur der unabhängigen Variablen besteht


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Beispiel: Nachfragefunktionen

Nachfrage nach dauerhaften Konsumgütern: Die Nachfrage Q hängt vom Preis P und vom Einkommen Y der aktuellen und zweier vergangener Perioden ab:

Qt = + 0Yt + 1Yt-1 + 2Yt-2 + Pt + ut

Nachfrage nach Energie: Sie wird beschrieben durch

Qt = + Pt + Kt + ut

mit P: Preis für Energie, K: energie-relevanter Kapitalbestand

Kt = 0 + 1Pt-1 + 2Pt-2 + … + Yt + vt

mit Y: Einkommen; Einsetzen gibt

Qt = + Yt + Pt + Pt-1 + Pt-1 + … + t

mit t = ut + vt, 0 = , i = i, i = 1, 2, …


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Das DL(s)-Modell

Die allgemeine Form eines dynamischen Modells mit verzögerter Wirkung einer exogenen Variablen kann geschrieben werden als

Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + ut

s: maximales Lag oder Ordnung der Lagstruktur; kann unbeschränkt sein

Endliche Lagstruktur: Ordnung s hat endlichen Wert

Themen zu Lagstrukturen das Schätzen der Modellparameter die Interpretation der Koeffizienten


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Beispiel: Konsumfunktionen

Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2)

In logarithmierten Differenzen:

(a) Ĉ = 0.009 + 0.621Y

mit t(Y) = 2.288, R2 = 0.335

(b) Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2

mit t(Y) = 3.79, t(Y-1) = -0.18, t(Y-2) = 2.11, R2 = 0.370

Effekt des Einkommens auf Konsum? Kurzfristiger Effekt: Wirkung in der aktuellen Periode (C =

0.504 je Y = 1) Gesamteffekt: Summe der Koeffizienten (C = 0.752 je Y = 1)


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Multiplikatoren

Beschreiben den Effekt von Änderungen in der/den erklärenden Variablen auf die abhängige Variable

Modell

Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + ut

Kurzfristiger Multiplikator (short run oder impact multiplier): Effekt einer Änderung von X um X = 1 auf Y in der gleichen Periode (Y = 0)

Langfristige Multiplikator (long run multiplier): der über alle Zukunft kumulierte Effekt von X = 1 (Y = 0 + … + s)


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Gleichgewichts-Effekt

Wenn nach einer Änderung X innerhalb einer endlichen Zeit ein Gleichgewichts-Zustand eintritt: langfristiger Multiplikator wird als Gleichgewichts-Effekt (equilibrium multiplier) bezeichnet

Im Modell

Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + ut

wird in s Perioden der Gleichgewichts-Zustand erreicht Bei einer unendlichen Lagstruktur wird die Anpassung nie

vollendet


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Durchschnittliche Lag-Zeit

Anteil der Anpassung: zur Charakterisierung des Anpassungsprozesses

am Ende der aktuellen Periode:

0/(0 + … + s) = w1

am Ende der Periode t +1:

(0 + 1)/(0 + … + s) = w1 + w2

usw.

mit Gewichten wi = i/(0 + … + s) , i = 1, …, s

Mediane Lag-Zeit: Dauer bis zur Anpassung von 50%; minimales s* mit w1 + … ws* ≥ 0.5

Durchschnittliche Lag-Zeit: is i wi


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Konsumfunktion, Forts.

Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2

Effekt des Einkommens (Y = 1) auf Konsum? Kurzfristiger Effekt: 0.504 Gesamteffekt: 0.504 – 0.026 + 0.274 = 0.752 Gleichgewichts-Effekt ist gleich dem Gesamteffekt: 0.752 Mediane Lag-Zeit: die kumulierten Summen der Gewichte

betragen 0.671, 0.636, 1.000; 50% der Anpassung werden überschritten in s* = 0

Durchschnittliche Lag-Zeit: 0.694 Quartale, d.s. etwa 2.3 Monate


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Lagstrukturen: Schätz-Probleme

Probleme bei OLS-Anpassung einer Lagstruktur (Ordnung s): „Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s

Beobachtungen zur Verfügung; unendliche Lagstruktur! Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt

Konsequenzen der ersten beiden Probleme: große Standardfehler der geschätzten Koeffizienten geringe Mächtigkeit der Tests zu den Koeffizienten

Themen: Verfahren zur Wahl der Ordnung s Modellierung von Lagstrukturen, z.B. als polynomiale Struktur


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Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2

Kriterien: p(Y-2) = 0.039, adj.R2 = 0.342, AIC = -5.204

Übersicht für Modelle

mit s ≥ 7:s AIC p-Wert adj.R2

1 -5.179 0.333 0.316

2 -5.204 0.039 0.342

3 -5.190 0.231 0.344

4 -5.303 0.271 0.370

5 -5.264 0.476 0.364

6 -5.241 0.536 0.356

7 -5.205 0.884 0.342


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Verfahren zur Wahl von s

Auswahl unter Modellen mit s = 0, 1, …, S durch Verwendung des AIC (oder eines anderen Informationskriteriums)

1. Wahl des maximalen Lags S

2. Schätzen der Koeffizienten aller möglichen Modelle für s = 1, …, S

3. Bestimmen des AIC(s), des adjustierten Bestimmtheitsmaßes oder eines anderen Kriteriums

4. Wahl der Ordnung als jenes s, für das das AIC(s) minimal ist, das adjustierte Bestimmtheitsmaß maximal ist, etc.


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Polynomiale Lagstruktur

auch Almon‘sches Lag genannt

DL(s)-Modell

Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + ut = + B(L)Xt + ut

mit B(L) = 0 + 1L + … + sLs, L: Lagoperator (LXt = Xt-1, LrXt = Xt-r, L0Xt = Xt)

Polynomiales Lag: i, i = 1,…, s, ist ein Polynom der Ordnung r :

i = 0 + 1i + … + ri r

Mit r < s sind weniger Koeffizienten zu schätzen als im ursprünglichen Modell


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Beispiel: s=3, r=2

Diese Spezifikation liefert

0 = 0

1 = 0 + 1 + 2

2 = 0 + 21 + 42

3 = 0 + 31 + 92

oder = T mit der 3x4-Matrix T

Einsetzen liefert

Yt = 0 (Xt + … + Xt-3) + 1 (Xt-1 + … + 3Xt-3) + 2 (Xt-1 + … + 9Xt-3) + ut

oder y = XT + u = W + u; die erste Spalte von W enthält die Summen Xt + … + Xt-3, etc.

Aus den Schätzern ci (für die i) ergeben sich die bi entsprechend obigen Gleichungen


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Ĉ = 0.005 + 0.539Y – 0.065Y-1 + 0.168Y-2 + 0.158Y-3

Kriterien: adj.R2 = 0.344, AIC = -5.190

Ĉ = 0.005 + 0.097 pdl1(Y,3,2) – 0.239 pdl2(Y,3,2) + 0.149 pdl3(Y,3,2)

Kriterien: adj.R2 = 0.335, AIC = -5.190

Koeffizienten und in Klammer ihre t-Statistiken:

b0 = 0.484 (3.72)

b1 = 0.097 (1.04)

b2 = 0.006 (0.07)

b3 = 0.213 (1.70)

oder

Ĉ = 0.005 + 0.484Y + 0.097Y-1 + 0.006Y-2 + 0.213Y-3


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Koyck‘sche Lagstruktur

Spezifiziert die Koeffizienten des DL(s)-Modells Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + … + ut

als unendliche, geometrische Folge (geometrische Lagstruktur): i = (1-)i

Für 0 < < 1 ergibt die Summe aller i den Wert ! Beiträge zu Y bei einer Änderung von X = 1: (1-) in t

(kurzfristiger Multiplikator), (1-) in t+1, etc; Beiträge werden je Periode um Faktor kleiner;

Gleichgewichts-Effekt: durchschnittliche Lag-Zeit: /(1-)

Stabilitätsbedingung: Die Bedingung 0 < < 1 nennt man Stabilitätsbedingung: ≥ 1 bedeutet explosiv wachsende i bzw. explosiv wachsende Beiträge zu Y bei einer Änderung von X

0.1 0.3 0.5 0.7

/(1-)

0.10 0.43 1.00 2.33


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Koyck‘sche Lagstruktur, Forts.

DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells

Yt = + iiXt-i + ut

AR (autoregressive)-Form

Yt = + Yt-1 + Xt + vt

mit vt = ut – ut-1

Koyck-Transformation: Umformung der DL-Form in die AR-Form durch Subtrahieren der -fachen Gleichung für t-1


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Modell mit geringstem AIC:

Ĉ = 0.003 + 0.595Y – 0.016Y-1 + 0.107Y-2 + 0.003Y-3 + 0.148Y-3

Kriterien: adj.R2 = 0.370, AIC = -5.303, DW = 1.41

Koyck‘s Lag in AR-Form

Ĉ = 0.004 + 0.286 C-1 + 0.556Y



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Schätzprobleme

Probleme beim Schätzen von und : DL-Form:

1. Historische Werte X0, X-1, X-2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist

Yt = (1-)(Xt + Xt-1 + … + t-1X1 + *t + ut

mit * = (1-)(X0 + X-1 + … ) als drittem Parameter2. Nichtlineares Schätzproblem!

AR-Form:1. Nichtlineares Schätzproblem!2. Verzögerte, endogene Variable als Regressor3. Korrelierte Störgrößen


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Modelle in Erwartungen

Erwartungen spielen in ökonomischen Prozesse wichtige Rolle

Beispiele: Konsum hängt nicht nur vom aktuellen Einkommen, sondern

auch von der Erwartung künftiger Einkommen ab Investitionen hängen von erwarteten Gewinnen ab Zinsen hängen von der Einschätzung der Entwicklung des

Kapitalmarktes ab etc.

Erwartungen sind nicht beobachtbar unter Annahmen über den Mechanismus der Erwartungsbildung

modellierbar


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Modelle für Erwartung

In der Theorie sind folgende Modelle gebräuchlich Naives Modell der Erwartung: Der (für die nächste Periode)

erwartete Wert ist gleich dem aktuellen Wert Modell der adaptiven Erwartung Modell der partiellen Anpassung

Letztere beiden Modelle basieren auf der Koyck‘schen Lagstruktur


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Modell der adaptiven Erwartung

Beschreibt den aktuellen Wert Yt als Funktion des in der kommenden Periode erwarteten Wertes Xe

t+1

Yt = + Xet+1 + ut

Beispiel: Investitionen (Y) sind Funktion des Gewinns X

Modelle für Xet+1:

Naives Modell: Xet+1 = Xt

Realistischer ist eine gewichtete Summe der in der Vergangenheit realisierten Gewinne

Xet+1 = 0Xt + 1Xt-1 + …

Vorschlag von Cagan (1956): geometrisch abnehmende Gewichte mit 0 < < 1

i = (1-)i


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Adaptive Erwartung, Forts.

Aus Xet+1 = 0Xt + 1Xt-1 + … ergibt sich mittels Koyck-Transformation

Xet+1 = Xe

t + (1 - Xt

oder

Xet+1 - Xe

t = (1 - Xt - Xet)

Interpretation: Änderung der Erwartung zwischen t und t+1 ist proportional dem „Fehler“ in der Erwartung, d.i. die Abweichung zwischen der aktuellen Erwartung und dem tatsächlich realisierten Wert

Ausmaß der Änderung (Anpassung): 100(1 - % des „Fehlers“

: Anpassungs-Parameter


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Adaptive Erwartung, Forts.

Modell der adaptiven Erwartung (adaptive expectations model)

Yt = (1 – ) + Yt-1 + (1 – )Xt + vt

mit vt = ut – ut-1 Ist die AR-Form zur DL-Form

Yt = + – )Xt + – )Xt-1 + … + ut

Beispiel: Investitionen (I) sind Funktion des erwarteten Gewinns Pet+1 und

des Zinssatzes (r)

It = + Pet+1 + rt + ut

Modell für erwarteten Gewinn unterstellt adaptive Erwartung

Pet+1 = Pe

t + –)Pt

mit Anpassungs-Parameter (0 < < 1); AR-Form

It = –) + It-1 + –)Pt + rt – rt-1 + vt

der Investitionsfunktion mit vt = ut –ut-1


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Konsum als Funktion des erwarteten Einkommens:

Ct = + Yet+1 + ut

mit erwartetem Einkommen aus adaptiver Erwartung

Yet+1 = Ye

t + –)Yt

Einsetzen liefert die AR-Form

Ct = (1 – ) + Ct-1 + (1 – )Yt + vt

mit vt = ut – ut-1

Angepasstes Modell:

Ĉ = 0.004 + 0.286C-1 + 0.556Y



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Modell der partiellen Anpassung

Beschreibt den Prozess der Anpassung einer Größe an einen gewünschten Wert

Beispiel: Der gewünschte (geplante) Lagerstand Kp als Funktion des Erlöses S

Kpt = + St + ut

tatsächlicher Lagerstand der Vorperiode weicht vom gewünschten Lagerstand um Kp

t – Kt-1 ab

Strategie: Anpassung von Kt an Kpt um 100%:

Kt – Kt-1 = (Kpt – Kt-1)

: Anpassungs-Parameter (0 < < 1)


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Partielle Anpassung, Forts.

Modell der partiellen Anpassung (partial adjustment model): Beschreibt das Verhalten von Yp

t als Funktion eines Regressors X

Ypt = + Xt + ut

Partielles Anpassen des realisierten Y nach

Yt – Yt-1 = (Ypt – Yt-1)

: Anpassungs-Parameter (0 < < 1)Realisiertes Y als gewichtetes Mittel zwischen geplantem Yp und

realisiertem Y

Yt = Ypt + (1 – )Yt-1

AR-Form des Modells der partiellen Anpassung

Yt = + (–)Yt-1 + Xt + ut


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AR-Formen

Die AR-Formen der Koyck‘schen Lagstruktur des Modells der adaptiven Erwartung des Modells der partiellen Anpassung

haben die gleiche Form

sie unterscheiden sich in den Störgrößen: sie sind Weißes Rauschen im Fall des Modells der partiellen

Anpassung sie sind korreliert in den beiden anderen Fällen


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Das ADL-Modell

Die allgemeine Form, das ADL(p,s)-Modell, lautet

Yt = + Yt-1 + … + pYt-p + Xt + … + sXt-s + ut

es besteht aus einer Lagstruktur der Ordnung p der abhängigen Variablen einer Lagstruktur der Ordnung s der erklärenden Variablen

Darstellung mittels Lag-Operator L:

A(L)Yt = + (L)Xt + ut

mit A(L) = 1 – L – … – pLp

und (L) = + L + … + sLs


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ADL(1,1)-Modell

ADL(1,1)-Modell:

Yt = + Yt-1 + Xt + 1Xt-1 + ut

Spezialfälle sind: Statisches Modell: = 1 = 0 DL(1)-Modell: = 0 AR(1)-Modell: = 1 = 0

Verallgemeinerungen ergeben sich, wenn korrelierte Störgrößen zugelassen werden

Die meisten dynamischen Modelle gehören zur Klasse der ADL(1,1)-Modelle


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ADL(1,1)-Modelle: Beispiele

AR-Form [Yt = Yt-1 + –Xt + vt] des Modells mit Koyck‘scher

Lagstruktur, d.i. Yt = (1–)iiXt-i + ut, ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen

AR-Form des Modells der adaptiven Erwartung

Yt = (1 – ) + Yt-1 + (1 – )Xt + vt

ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen AR-Form des Modells der partiellen Anpassung

Yt = + (–)Yt-1 + Xt + ut

ist ein ADL(1,0)-Modell mit unkorrelierten Störgrößen Das Modell Yt = Xt + ut mit korrelierten Störgrößen ut = ut-1+t kann

geschrieben werden als Yt = Yt-1 + + Xt-1 + t; es ist ein ADL(1,1)-Modell, wenn 1 = 0


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ADL(1,0)-Modell: Stabilität

Yt = + Yt-1 + Xt + ut Effekt einer Änderung von X um X = 1

Gleichgewichts-Zustand: Voraussetzung für Summierbarkeit

der Beiträge (die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes): || < 1; Stationaritäts-Bedingung

Der Gleichgewichts-Zustand wird nur asymptotisch erreicht

Vergleiche das DL(s)-Modell: der Gleichgewichts-Zustand wird nach s Perioden erreicht

Periode Y

t

t-1

t-2

… …

Summe /(1-)


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Stabilität des ADL(1,1)-Modells

Welchen Wert Y* erreicht Y im Gleichgewichts-Zustand (X wird auf fixem Niveau X* gehalten)?

Y* = + Y* + X* + X*liefert

Y* = /(1-) + (0+ 1)/(1-)X*Effekt einer Änderung von X um X = 1: (0+ 1)/(1-)

Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes: || < 1 (Stationaritäts-Bedingung)d.h., der dem Modell entsprechende AR(1)-Prozess Yt = + Yt-1 + ut muss stationär sein


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Stabilität im ADL(p,s)-Modells

ADL(p,s)-Modell(L)Yt = + (L)Xt + ut

mit(L) = 1 - 1L - … - pLp (L) = 1 + 1L + … + sLs

Gleichgewichts-Effekt: (0+ … + s)/(1 - 1 - … - p)

Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes: ii < 1 (notwendig, aber nicht hinreichend) Für Wurzeln aus (z) = 1 - 1z - … - pzp = (1 - 1z)… (1 - pz) = 0,

also 1, …, p, muss gelten:|zi| = | i

-1 | > 1, i = 1, …, p


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Gleichgewicht und Fehlerkorrektur

ADL(1,1)-Modell für Gleichgewichts-Zustand:

1: Gleichgewichts-Effekt (siehe oben)

Fehlerkorrektur-Form:

Yt = – (1 – )(Yt-1 – 0 – 1Xt-1) + 0Xt + ut

mit Yt = Yt – Yt-1 und analogem Xt

Interpretation: Änderungen Y sind

1. Effekt von Änderungen X

2. Ausgleich der Abweichung vom Gleichgewichts-Zustand, d.i. der Gleichgewichts-Fehler Y – 0 – 1X =

XXY 101110

Kapitel 17 Dynamische Modelle: Konzepte

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