Kapitel 3 Gleichungen. Kapitel 3 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 2 Inhalt 3.1 Terme, Gleichungen,...

Kapitel 3

Gleichungen

Kapitel 3

Gleichungen

Kapitel 3 © Beutelspacher

Mai 2004Seite 2

InhaltInhalt

3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen

x2 + y2

3.2 Verfahren zur Lösung von Gleichungen

3x + 5 = 14

3.3 Gleichungssysteme

3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen

x2 + y2

3.2 Verfahren zur Lösung von Gleichungen

3x + 5 = 14

3.3 Gleichungssysteme


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3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen

Was ist ein Term?

Vorstellung Ein Term ist etwas, was eine Seite einer Gleichung sein

kann. Aber: Wir wollen Gleichungen mit Hilfe von Termen definieren

und nicht umgekehrt.

Erste Definition: Ein Term ist ein Ausdruck, der aus reellen Zahlen

und Variablen zusammengesetzt ist.

Damit haben wir eine Frage beantwortet, indem wir zwei neue

Fragen stellen:

Was ist eine ‚Variable‘? Was heißt ‚zusammengesetzt‘?

Was ist ein Term?

Vorstellung Ein Term ist etwas, was eine Seite einer Gleichung sein

kann. Aber: Wir wollen Gleichungen mit Hilfe von Termen definieren

und nicht umgekehrt.

Erste Definition: Ein Term ist ein Ausdruck, der aus reellen Zahlen

und Variablen zusammengesetzt ist.

Damit haben wir eine Frage beantwortet, indem wir zwei neue

Fragen stellen:

Was ist eine ‚Variable‘? Was heißt ‚zusammengesetzt‘?


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Variable und erste DefinitionVariable und erste Definition

Definition: Eine Variable (auch Unbekannte genannt)

ist irgend eine Folge von Buchstaben und Zahlen.

Beispiele: x, y, z, X, Y, Z, a, b, c, p, r, x1, f17, SUMME, PRODUKT1-5,

MONTAG, Student, ...

Vorstellung: Statt einer Variablen können wir eine Zahl einsetzen.

Besserer Definitionsanfang: Jede reelle Zahl ist ein Term, jede

Variable ist ein Term.

(Aber Achtung: Es gibt auch noch andere Terme!)

Beispiele: Terme sind 1, 0, , 65537, x, Y,

Definition: Eine Variable (auch Unbekannte genannt)

ist irgend eine Folge von Buchstaben und Zahlen.

Beispiele: x, y, z, X, Y, Z, a, b, c, p, r, x1, f17, SUMME, PRODUKT1-5,

MONTAG, Student, ...

Vorstellung: Statt einer Variablen können wir eine Zahl einsetzen.

Besserer Definitionsanfang: Jede reelle Zahl ist ein Term, jede

Variable ist ein Term.

(Aber Achtung: Es gibt auch noch andere Terme!)

Beispiele: Terme sind 1, 0, , 65537, x, Y,


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Definition ‚Term‘Definition ‚Term‘

1. Fortsetzung der Definition: Wenn man Terme zueinander

addiert, voneinander subtrahiert, miteinander multipliziert oder

durcheinander dividiert, erhält man wieder einen Term.

Beispiele: x+y, f+m, 5a, fit + fun, (a+b)2, x5+3x2+7, (x+1)/(x–1),

jedes Polynom ist ein Term, jede gebrochen rationale Funktion

(„Polynom durch Polynom”) ist ein Term.

2. Fortsetzung der Definition: Wenn man auf einen oder mehrere

Terme ‚in der Mathematik übliche‘ Operationen (Potenzieren,

Differenzieren, sin, cos, mod, ...) anwendet, erhält man einen Term.

Beispiele: xy, sin(x2), (x5–3x+1)‘, 3000 mod 17,

1. Fortsetzung der Definition: Wenn man Terme zueinander

addiert, voneinander subtrahiert, miteinander multipliziert oder

durcheinander dividiert, erhält man wieder einen Term.

Beispiele: x+y, f+m, 5a, fit + fun, (a+b)2, x5+3x2+7, (x+1)/(x–1),

jedes Polynom ist ein Term, jede gebrochen rationale Funktion

(„Polynom durch Polynom”) ist ein Term.

2. Fortsetzung der Definition: Wenn man auf einen oder mehrere

Terme ‚in der Mathematik übliche‘ Operationen (Potenzieren,

Differenzieren, sin, cos, mod, ...) anwendet, erhält man einen Term.

Beispiele: xy, sin(x2), (x5–3x+1)‘, 3000 mod 17,


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PolynomePolynome

Besonders wichtige Terme sind die Polynome.

Definition (dreistufig): (a) Jede Potenz einer Variablen x ist ein

Polynom (z.B. x3)- (b) Jedes Produkt eines Polynoms mit einer Zahl

ist ein Polynom (z.B. 5x3). (c) Jede Summe von Polynomen ist ein

Polynom (z.B. 5x3 + 7x4).

Beispiele: x3 + x + 1, x, x1000, 5x8 – 3x2 + 4.

Keine Polynome sind 2x, sin(x), ln(x), 1/x, x.

Besonders wichtige Terme sind die Polynome.

Definition (dreistufig): (a) Jede Potenz einer Variablen x ist ein

Polynom (z.B. x3)- (b) Jedes Produkt eines Polynoms mit einer Zahl

ist ein Polynom (z.B. 5x3). (c) Jede Summe von Polynomen ist ein

Polynom (z.B. 5x3 + 7x4).

Beispiele: x3 + x + 1, x, x1000, 5x8 – 3x2 + 4.

Keine Polynome sind 2x, sin(x), ln(x), 1/x, x.


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GleichungenGleichungen

Definition: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein

Gleichheitszeichen verbunden sind.

Beispiele: xy+ 5 = t, x = 1, f+m = k, 7 = 5, x2 + y2 = 1, ...

Achtung! In der Regel ist eine Gleichung keine Aussage (d.h. ist

nicht wahr oder falsch,

Beispiele: x2 = 1, f+m = k, ...

Definition: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein

Gleichheitszeichen verbunden sind.

Beispiele: xy+ 5 = t, x = 1, f+m = k, 7 = 5, x2 + y2 = 1, ...

Achtung! In der Regel ist eine Gleichung keine Aussage (d.h. ist

nicht wahr oder falsch,

Beispiele: x2 = 1, f+m = k, ...


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Lösung einer GleichungLösung einer Gleichung

Definition: Eine Lösung einer Gleichung ist ein Satz von reellen

Zahlen (pro Variable eine Zahl), so dass diese in die Gleichung

eingesetzt, die Gleichung zu einer wahren Aussage machen.

Beispiele: Lösungen der Gleichung x2+y2 = 1 sind z.B. die

Zahlenpaare (1, 0), (0, 1), (1/2, 1/2).

Die Gleichung 3x+5 = 14 hat nur die Lösung 3.

Die Gleichungen x2 = –1 bzw. 5 = 7 haben keine Lösung.

Bemerkung: Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung,

endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben.

Definition: Eine Lösung einer Gleichung ist ein Satz von reellen

Zahlen (pro Variable eine Zahl), so dass diese in die Gleichung

eingesetzt, die Gleichung zu einer wahren Aussage machen.

Beispiele: Lösungen der Gleichung x2+y2 = 1 sind z.B. die

Zahlenpaare (1, 0), (0, 1), (1/2, 1/2).

Die Gleichung 3x+5 = 14 hat nur die Lösung 3.

Die Gleichungen x2 = –1 bzw. 5 = 7 haben keine Lösung.

Bemerkung: Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung,

endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben.


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Variable – UnbekannteVariable – Unbekannte

Es gibt einen kleinen Bedeutungsunterschied zwischen den

Ausdrücken ‚Variable‘ und ‚Unbekannte‘:

Bei einer Unbekannten denkt man “das ist eine bestimmte Zahl, die

ich eben noch nicht kenne”. (Beispiel: “Platzhalteraufgaben”)

Bei dem Begriff ‚Variable‘ denkt man daran, dass die Variablen

„variieren“, also viele Zahlen durchlaufen. Prinzipiell kann man alle

Zahlen einsetzen. Manche Einsetzungen sind Lösungen, manche

nicht.

Dieser Aspekt tritt bei Gleichungen des Typs y = mx + b oder

x2 + y2 = 1 in den Vordergrund.

Es ist wichtig, an beide Aspekte zu denken.

Es gibt einen kleinen Bedeutungsunterschied zwischen den

Ausdrücken ‚Variable‘ und ‚Unbekannte‘:

Bei einer Unbekannten denkt man “das ist eine bestimmte Zahl, die

ich eben noch nicht kenne”. (Beispiel: “Platzhalteraufgaben”)

Bei dem Begriff ‚Variable‘ denkt man daran, dass die Variablen

„variieren“, also viele Zahlen durchlaufen. Prinzipiell kann man alle

Zahlen einsetzen. Manche Einsetzungen sind Lösungen, manche

nicht.

Dieser Aspekt tritt bei Gleichungen des Typs y = mx + b oder

x2 + y2 = 1 in den Vordergrund.

Es ist wichtig, an beide Aspekte zu denken.


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Wie erhält man Lösungen? Wie erhält man Lösungen?

• Probieren (oder “Finden”): Ich habe einfach Glück und finde auf

Anhieb eine Lösung, ... In diesem Fall muss man nur die Probe

machen (ist das, was ich gefunden habe, wirklich eine Lösung?)

Dies geschieht dadurch, dass man die vermutete Lösung einsetzt.

• Systematisches Testen, etwa mit Hilfe einer Wertetabelle

• Graphische Lösungsverfahren

• Algebraische Lösungsverfahren

• Probieren (oder “Finden”): Ich habe einfach Glück und finde auf

Anhieb eine Lösung, ... In diesem Fall muss man nur die Probe

machen (ist das, was ich gefunden habe, wirklich eine Lösung?)

Dies geschieht dadurch, dass man die vermutete Lösung einsetzt.

• Systematisches Testen, etwa mit Hilfe einer Wertetabelle

• Graphische Lösungsverfahren

• Algebraische Lösungsverfahren


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3.2 Verfahren zur Lösung von Gleichungen3.2 Verfahren zur Lösung von Gleichungen

Wir betrachten vorerst nur Gleichungen in einer Unbekannten x.

Definitionen. Lineare Gleichung: Die Unbekannte kommt nur in

der ersten Potenz (also nicht in zweiter, dritter, ...) vorkommt.

Beispiele: 3x + 5 = 14, 512x – 7 = 13.000 + 11x, ...

Quadratische Gleichung: Die Unbekannte kommt in zweiter Potenz

(also als x2) vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen.

Beispiele: x2 = 2, 7x2 + 13x + 2 = 0, 7x + 5x2 = 5 – 1000x2, ...

(Kubische Gleichung: Die Unbekannte kommt in 3. Potenz vor.)

Wurzelgleichungen: In ihr kommt ein Ausdruck der Unbekannten

als Quadratwurzel vorkommt; lineare Summanden sind erlaubt.

Wir betrachten vorerst nur Gleichungen in einer Unbekannten x.

Definitionen. Lineare Gleichung: Die Unbekannte kommt nur in

der ersten Potenz (also nicht in zweiter, dritter, ...) vorkommt.

Beispiele: 3x + 5 = 14, 512x – 7 = 13.000 + 11x, ...

Quadratische Gleichung: Die Unbekannte kommt in zweiter Potenz

(also als x2) vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen.

Beispiele: x2 = 2, 7x2 + 13x + 2 = 0, 7x + 5x2 = 5 – 1000x2, ...

(Kubische Gleichung: Die Unbekannte kommt in 3. Potenz vor.)

Wurzelgleichungen: In ihr kommt ein Ausdruck der Unbekannten

als Quadratwurzel vorkommt; lineare Summanden sind erlaubt.


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Lineare GleichungenLineare Gleichungen

3.2.1 Satz. Jede lineare Gleichung hat höchstens eine Lösung.

Anwendung: Wenn wir eine Lösung einer linearen Gleichung

gefunden haben, brauchen wir nicht weiter zu suchen, denn es kann

keine andere Lösung geben. Wir sprechen von der Lösung.

Beweis. Wir betrachten eine Gleichung des Typs ax + b = 0 (a 0).

Angenommen, diese Gleichung hat zwei Lösungen x0 und x1 (also

zwei verschiedene Zahlen, die die Gleichung erfüllen). Dann gilt

ax0 + b = 0 und ax1 + b = 0.

Zusammen folgt ax0 + b = ax1 + b, somit ax0 = ax1, also (da a 0) x0

= x1. ein Widerspruch.

3.2.1 Satz. Jede lineare Gleichung hat höchstens eine Lösung.

Anwendung: Wenn wir eine Lösung einer linearen Gleichung

gefunden haben, brauchen wir nicht weiter zu suchen, denn es kann

keine andere Lösung geben. Wir sprechen von der Lösung.

Beweis. Wir betrachten eine Gleichung des Typs ax + b = 0 (a 0).

Angenommen, diese Gleichung hat zwei Lösungen x0 und x1 (also

zwei verschiedene Zahlen, die die Gleichung erfüllen). Dann gilt

ax0 + b = 0 und ax1 + b = 0.

Zusammen folgt ax0 + b = ax1 + b, somit ax0 = ax1, also (da a 0) x0

= x1. ein Widerspruch.


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Quadratische GleichungenQuadratische Gleichungen

3.2.2 Satz. Jede quadratische Gleichung hat höchstens zwei

Lösungen.

Anwendung: Wenn wir zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung

gefunden haben, sind wir fertig.

Beweis. Wir betrachten eine Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a 0.

Idee: Sei x0 eine Lösung. Wir zeigen, dass jede andere Lösung x1

eindeutig durch x0 bestimmt ist; also gibt es keine dritte Lösung!

Da x0 und x1 Lösungen sind, gilt

ax02 + bx0 + c = 0 und ax1

2 + bx1 + c = 0,

also ax02 + bx0 = ax1

2 + bx1.

3.2.2 Satz. Jede quadratische Gleichung hat höchstens zwei

Lösungen.

Anwendung: Wenn wir zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung

gefunden haben, sind wir fertig.

Beweis. Wir betrachten eine Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a 0.

Idee: Sei x0 eine Lösung. Wir zeigen, dass jede andere Lösung x1

eindeutig durch x0 bestimmt ist; also gibt es keine dritte Lösung!

Da x0 und x1 Lösungen sind, gilt

ax02 + bx0 + c = 0 und ax1

2 + bx1 + c = 0,

also ax02 + bx0 = ax1

2 + bx1.


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Beweis (Fortsetzung)Beweis (Fortsetzung)

Dies formen wir um zu a(x02 – x1

2) = b(x1 – x0)

und (3. binomische Formel!) a(x0 – x1)(x0 + x1) = –b(x0 – x1).

Da x0 und x1 verschiedene Lösungen sind, ist x0 – x1 0, also darf

man durch x0 – x1 dividieren. Wir erhalten a(x0 + x1) = –b.

Da a 0 ist, folgt schließlich x0 + x1 = –b/a oder x1 = –x0 –b/a.

Also ist x1 durch x0 (und a und b) eindeutig bestimmt; also ist x1

die einzig mögliche andere Lösung.

Bemerkung: Allgemein gilt, dass eine Gleichung n-ten Grades (das ist

eine Gleichung, in der xn vorkommt, aber keine höhere Potenz von x)

höchstens n Lösungen hat.

Dies formen wir um zu a(x02 – x1

2) = b(x1 – x0)

und (3. binomische Formel!) a(x0 – x1)(x0 + x1) = –b(x0 – x1).

Da x0 und x1 verschiedene Lösungen sind, ist x0 – x1 0, also darf

man durch x0 – x1 dividieren. Wir erhalten a(x0 + x1) = –b.

Da a 0 ist, folgt schließlich x0 + x1 = –b/a oder x1 = –x0 –b/a.

Also ist x1 durch x0 (und a und b) eindeutig bestimmt; also ist x1

die einzig mögliche andere Lösung.

Bemerkung: Allgemein gilt, dass eine Gleichung n-ten Grades (das ist

eine Gleichung, in der xn vorkommt, aber keine höhere Potenz von x)

höchstens n Lösungen hat.


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NullstellenNullstellen

3.2.3 Satz. Sei f ein Polynom, (a) Sei x1 eine Lösung der Gleichung f = 0. Dann kann man f

schreiben als f = (x – x1)g, wobei g ein Polynom ist.

(b) Sei n der Grad von f. Wenn f die n verschiedene Lösungen x1, x2, …, xn hat, dann gilt

f = a(x – x1) (x – x2) … (x – xn) mit a R.

(c) Sei f = x2 + px + q ein quadratisches Polynom mit Nullstellen x1 und x2. Dann gilt f = (x – x1) (x – x2).

3.2.3 Satz. Sei f ein Polynom, (a) Sei x1 eine Lösung der Gleichung f = 0. Dann kann man f

schreiben als f = (x – x1)g, wobei g ein Polynom ist.

(b) Sei n der Grad von f. Wenn f die n verschiedene Lösungen x1, x2, …, xn hat, dann gilt

f = a(x – x1) (x – x2) … (x – xn) mit a R.

(c) Sei f = x2 + px + q ein quadratisches Polynom mit Nullstellen x1 und x2. Dann gilt f = (x – x1) (x – x2).


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1. Lösungsmethode: Systematisches Probieren1. Lösungsmethode: Systematisches Probieren

Grundidee: Man rechnet für einige Werte von x die rechte und die

linke Seite aus und „pirscht“ sich so an eine Lösung „heran”.

Beispiel 1: Wir wollen die Gleichung 6x – 7 = 101 – 3x lösen.

x 0 5 10 11 12

L.S. –7 23 53 59 65

R.S. 101 86 71 68 65

Lösung: 12.

Grundidee: Man rechnet für einige Werte von x die rechte und die

linke Seite aus und „pirscht“ sich so an eine Lösung „heran”.

Beispiel 1: Wir wollen die Gleichung 6x – 7 = 101 – 3x lösen.

x 0 5 10 11 12

L.S. –7 23 53 59 65

R.S. 101 86 71 68 65

Lösung: 12.


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Weitere BeispieleWeitere Beispiele

Beispiel 2. Wir wollen die Gleichung x2 +3x = 108 lösen.

x 0 –1 1 20 10 8 9 –10 –12

L.S. 0 –2 4 460 130 88 108 70 108

R.S. 108 108 108 108 108 108 108 108 108

Lösungen: 9 und –12.

Wichtiger Spezialfall: R.S. = 0. Beispiel: x2 – 10x + 9 = 0. Man

schreibt y = x2 – 10x + 9 und sucht die x mit y = 0 (Nullstellen).

x 0 1 5 10 9

y 9 0 –16 9 0

Also sind die Lösungen 1 und 9.

Beispiel 2. Wir wollen die Gleichung x2 +3x = 108 lösen.

x 0 –1 1 20 10 8 9 –10 –12

L.S. 0 –2 4 460 130 88 108 70 108

R.S. 108 108 108 108 108 108 108 108 108

Lösungen: 9 und –12.

Wichtiger Spezialfall: R.S. = 0. Beispiel: x2 – 10x + 9 = 0. Man

schreibt y = x2 – 10x + 9 und sucht die x mit y = 0 (Nullstellen).

x 0 1 5 10 9

y 9 0 –16 9 0

Also sind die Lösungen 1 und 9.


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2. Lösungsmethode: Graphisches Verfahren2. Lösungsmethode: Graphisches Verfahren

Rezept: Man fasst L.S. und R.S. als Funktion auf und zeichnet die

Graphen. Die Stellen, an denen sich die Graphen schneiden, sind

die Lösungen.

Klar: An diesen Stellen gilt: L.S. = R.S.

Beispiel 1: 3x + 5 = 14.

Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = 3x + 5, die

Gleichung einer Geraden der Steigung 3 mit y-Achsenabschnitt 5.

Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist die Funktion y = 14,

also die Gleichung einer Parallelen zur x-Achse im Abstand 14.

Wenn man beide Geraden zeichnet, sieht man, dass sie sich bei x =

3 schneiden. Also ist 3 die Lösung dieser Gleichung.

Rezept: Man fasst L.S. und R.S. als Funktion auf und zeichnet die

Graphen. Die Stellen, an denen sich die Graphen schneiden, sind

die Lösungen.

Klar: An diesen Stellen gilt: L.S. = R.S.

Beispiel 1: 3x + 5 = 14.

Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = 3x + 5, die

Gleichung einer Geraden der Steigung 3 mit y-Achsenabschnitt 5.

Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist die Funktion y = 14,

also die Gleichung einer Parallelen zur x-Achse im Abstand 14.

Wenn man beide Geraden zeichnet, sieht man, dass sie sich bei x =

3 schneiden. Also ist 3 die Lösung dieser Gleichung.


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Beispiel 2. x2 = 10x – 9.

Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = x2, also die

Normalparabel. Die Funktion, die der rechten Seite entspricht, ist y

= 10x – 9: die Gleichung einer Geraden mit Steigung 10 und y-

Achsenabschnitt –9.

Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen

x = 1 und x = 9; also sind dies die Lösungen.

Bemerkung: Man wendet die graphische Lösungsmethode bei

quadratischen Gleichungen in der Regel dann an, wenn auf der

einen Seite nur x2 steht.

Beispiel 2. x2 = 10x – 9.

Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = x2, also die

Normalparabel. Die Funktion, die der rechten Seite entspricht, ist y

= 10x – 9: die Gleichung einer Geraden mit Steigung 10 und y-

Achsenabschnitt –9.

Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen

x = 1 und x = 9; also sind dies die Lösungen.

Bemerkung: Man wendet die graphische Lösungsmethode bei

quadratischen Gleichungen in der Regel dann an, wenn auf der

einen Seite nur x2 steht.


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3. Lösungsmethode: Algebraische Methoden3. Lösungsmethode: Algebraische Methoden

Der entscheidende Begriff ist der einer Äquivalenzumformung.

Definition: Eine Gleichung geht aus einer anderen durch eine

Äquivalenzumformung hervor, wenn beide Gleichungen die

gleichen Lösungen haben. D.h.: Jede Lösung der einen ist eine

Lösung der anderen, und umgekehrt.

Die Idee ist, eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen solange

umzuformen, bis man zu einer so einfachen Gleichung kommt,

an der man die Lösungen direkt ablesen kann. Dazu müssen wir

allerdings wissen, was konkret Äquivalenzumformungen sind.

Der entscheidende Begriff ist der einer Äquivalenzumformung.

Definition: Eine Gleichung geht aus einer anderen durch eine

Äquivalenzumformung hervor, wenn beide Gleichungen die

gleichen Lösungen haben. D.h.: Jede Lösung der einen ist eine

Lösung der anderen, und umgekehrt.

Die Idee ist, eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen solange

umzuformen, bis man zu einer so einfachen Gleichung kommt,

an der man die Lösungen direkt ablesen kann. Dazu müssen wir

allerdings wissen, was konkret Äquivalenzumformungen sind.


Mai 2004Seite 21

Konkrete ÄquivalenzumformungenKonkrete Äquivalenzumformungen

3.2.4 Satz. Folgende Operationen sind Äquivalenzumformungen:

(0) Vertauschung der beiden Seiten.

(1) Addition oder Subtraktion einer Zahl.

(2) Multiplikation mit einer Zahl 0 oder

Division durch eine Zahl 0.

Beweis. (0) Vertauschung: Eine Zahl ist eine Lösung, wenn diese,

in die Gleichung eingesetzt, L.S. = R.S. ergibt. Bei Vertauschung der

beiden Seiten lautet die Bedingung dann R.S. = L.S.. Also sind

genau diejenigen Zahlen Lösungen der „vertauschten“ Gleichung,

die Lösungen der Ausgangsgleichung waren.


(0) Vertauschung der beiden Seiten.

(1) Addition oder Subtraktion einer Zahl.

(2) Multiplikation mit einer Zahl 0 oder

Division durch eine Zahl 0.

Beweis. (0) Vertauschung: Eine Zahl ist eine Lösung, wenn diese,

in die Gleichung eingesetzt, L.S. = R.S. ergibt. Bei Vertauschung der

beiden Seiten lautet die Bedingung dann R.S. = L.S.. Also sind

genau diejenigen Zahlen Lösungen der „vertauschten“ Gleichung,

die Lösungen der Ausgangsgleichung waren.


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(1) Addition: Sei x0 eine Lösung der Gleichung. Dann haben linke Seite

und rechte Seite den gleichen Wert, sagen wir: b. Wenn wir zu beiden

Seiten eine Zahl a addieren, dann ergibt sich jetzt beim Einsetzen von

x0, dass sowohl die L.S. als auch R.S. den Wert a+b haben. Also ist x0

auch eine Lösung der neuen Gleichung.

Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, zu der auf beiden Seiten

a addiert wurde. Also ergibt sich beim Einsetzen von x0 auf beiden

Seiten der gleiche Wert, sagen wir: c. Dann ergibt sich in der

Ausgangsgleichung beim Einsetzen von x0 auf beiden Seiten der Wert

c –a. Also ist x0 auch eine Lösung der Ausgangsgleichung.

Also haben beide Gleichungen genau die gleichen Lösungen.

(1) Addition: Sei x0 eine Lösung der Gleichung. Dann haben linke Seite

und rechte Seite den gleichen Wert, sagen wir: b. Wenn wir zu beiden

Seiten eine Zahl a addieren, dann ergibt sich jetzt beim Einsetzen von

x0, dass sowohl die L.S. als auch R.S. den Wert a+b haben. Also ist x0

auch eine Lösung der neuen Gleichung.

Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, zu der auf beiden Seiten

a addiert wurde. Also ergibt sich beim Einsetzen von x0 auf beiden

Seiten der gleiche Wert, sagen wir: c. Dann ergibt sich in der

Ausgangsgleichung beim Einsetzen von x0 auf beiden Seiten der Wert

c –a. Also ist x0 auch eine Lösung der Ausgangsgleichung.

Also haben beide Gleichungen genau die gleichen Lösungen.


Mai 2004Seite 23

Beweis (Ende)Beweis (Ende)

(2) Multiplikation: Sei x0 eine Lösung der Gleichung. Dann haben L.S.

und R.S. den gleichen Wert b. Wenn wir beide Seiten mit einer Zahl a

multiplizieren, dann ergibt sich jetzt beim Einsetzen von x0, dass beide

Seiten den Wert ab haben. Also ist x0 eine Lösung der neuen

Gleichung.

Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, deren beide Seiten mit a

multipliziert wurden. Das bedeutet, dass sich beim Einsetzen von x0 auf

beiden Seiten der gleiche Wert c ergibt. Dann ergibt sich in der

Ausgangsgleichung beim Einsetzen von x0 auf beiden Seiten der gleiche

Wert c/a (beachte: a 0). Somit ist x0 auch eine Lösung der

Ausgangsgleichung.

(2) Multiplikation: Sei x0 eine Lösung der Gleichung. Dann haben L.S.

und R.S. den gleichen Wert b. Wenn wir beide Seiten mit einer Zahl a

multiplizieren, dann ergibt sich jetzt beim Einsetzen von x0, dass beide

Seiten den Wert ab haben. Also ist x0 eine Lösung der neuen

Gleichung.

Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, deren beide Seiten mit a

multipliziert wurden. Das bedeutet, dass sich beim Einsetzen von x0 auf

beiden Seiten der gleiche Wert c ergibt. Dann ergibt sich in der

Ausgangsgleichung beim Einsetzen von x0 auf beiden Seiten der gleiche

Wert c/a (beachte: a 0). Somit ist x0 auch eine Lösung der

Ausgangsgleichung.


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Addition von xAddition von x


(1) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen der Unbekanten x.

(2) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen von x2.

Beweis. (1) Wenn x0 eine Lösung der Gleichung ist, dann haben

beide Seiten den gleichen Wert b. Wenn wir zu beiden Seiten ein

Vielfaches von x, sagen wir ax addieren, dann ergibt sich jetzt

beim Einsetzen von x0, dass beide Seiten den Wert ax0+b haben.

Also ist x0 auch eine Lösung der neuen Gleichung.


(1) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen der Unbekanten x.

(2) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen von x2.

Beweis. (1) Wenn x0 eine Lösung der Gleichung ist, dann haben

beide Seiten den gleichen Wert b. Wenn wir zu beiden Seiten ein

Vielfaches von x, sagen wir ax addieren, dann ergibt sich jetzt

beim Einsetzen von x0, dass beide Seiten den Wert ax0+b haben.

Also ist x0 auch eine Lösung der neuen Gleichung.


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Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, zu der auf beiden

Seiten ax addiert wurde.

Das ergibt sich beim Einsetzen von x0 auf beiden Seiten der gleiche

Wert c.

Dann ergibt sich aber in der Ausgangsgleichung beim Einsetzen von

x0 auf beiden Seiten der Wert c –ax0.

Somit ist x0 auch eine Lösung der Ausgangsgleichung.

(2) ÜA.

Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, zu der auf beiden

Seiten ax addiert wurde.

Das ergibt sich beim Einsetzen von x0 auf beiden Seiten der gleiche

Wert c.

Dann ergibt sich aber in der Ausgangsgleichung beim Einsetzen von

x0 auf beiden Seiten der Wert c –ax0.

Somit ist x0 auch eine Lösung der Ausgangsgleichung.

(2) ÜA.


Mai 2004Seite 26

Die Lösung linearer Gleichungen Die Lösung linearer Gleichungen

3.2.6 Satz. Jede lineare Gleichung hat genau eine Lösung.

Beweis. Sei ax + b = cx + d eine lineare Gleichung. Nach 3.2.1 hat

diese Gleichung höchstens eine Lösung. Zu zeigen: sie hat auch

wirklich eine Lösung (Existenz). Dazu wenden wir solange

Äquivalenzumformungen an, bis wir eine Lösung gefunden haben.

Wir subtrahieren auf beiden Seiten cx und erhalten (a–c)x + b = d.

Wir subtrahieren b auf beiden Seiten und erhalten (a–c)x = d–b.

Wenn a–c 0 ist, erhalten wir die Lösung x = (d–b)/(a–c).

Wenn a = c ist, dann reduziert sich die Gleichung auf b = d, die

Gleichung war also gar keine lineare Gleichung.

3.2.6 Satz. Jede lineare Gleichung hat genau eine Lösung.

Beweis. Sei ax + b = cx + d eine lineare Gleichung. Nach 3.2.1 hat

diese Gleichung höchstens eine Lösung. Zu zeigen: sie hat auch

wirklich eine Lösung (Existenz). Dazu wenden wir solange

Äquivalenzumformungen an, bis wir eine Lösung gefunden haben.

Wir subtrahieren auf beiden Seiten cx und erhalten (a–c)x + b = d.

Wir subtrahieren b auf beiden Seiten und erhalten (a–c)x = d–b.

Wenn a–c 0 ist, erhalten wir die Lösung x = (d–b)/(a–c).

Wenn a = c ist, dann reduziert sich die Gleichung auf b = d, die

Gleichung war also gar keine lineare Gleichung.


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Durch Äquivalenzumformungen nach 3.2.3. und 3.2.4 können wir

jede quadratische Gleichung auf die Form ax2 + bx + c = 0 bzw.

(indem wir durch a dividieren) auf die Form x2 +px + q = 0

bringen.

Der Grundmechanismus für alle Lösungsverfahren für quadratische

Gleichungen ist die quadratische Ergänzung.

Diese beruht auf der 1. bzw. 2. binomischen Formel.

Durch Äquivalenzumformungen nach 3.2.3. und 3.2.4 können wir

jede quadratische Gleichung auf die Form ax2 + bx + c = 0 bzw.

(indem wir durch a dividieren) auf die Form x2 +px + q = 0

bringen.

Der Grundmechanismus für alle Lösungsverfahren für quadratische

Gleichungen ist die quadratische Ergänzung.

Diese beruht auf der 1. bzw. 2. binomischen Formel.


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Ein BeispielEin Beispiel

Wir betrachten x2 – 10x + 9 = 0.

Wenn die linke Seite x2 – 10x + 25 wäre, dann würden wir

schreiben: x2 – 10x + 25 = (x – 5)2, und könnten die Gleichung lösen.

Wir addieren auf jeder Seite die Zahl 16 (Äquivalenzumformung)

x2 – 10x + 25 = x2 – 10x + 9 + 16 = 16,

also

(x – 5)2 = 16.

Wir „ziehen auf beiden Seiten die Wurzel“ und erhalten x – 5 = 4.

Achtung: Die Gleichung x2 = 16 hat zwei Lösungen, 4 und –4.

Die Gleichung hat die Lösungen x = –4+5 = 1 und x = 4+5 = 9.

Wir betrachten x2 – 10x + 9 = 0.

Wenn die linke Seite x2 – 10x + 25 wäre, dann würden wir

schreiben: x2 – 10x + 25 = (x – 5)2, und könnten die Gleichung lösen.

Wir addieren auf jeder Seite die Zahl 16 (Äquivalenzumformung)

x2 – 10x + 25 = x2 – 10x + 9 + 16 = 16,

also

(x – 5)2 = 16.

Wir „ziehen auf beiden Seiten die Wurzel“ und erhalten x – 5 = 4.

Achtung: Die Gleichung x2 = 16 hat zwei Lösungen, 4 und –4.

Die Gleichung hat die Lösungen x = –4+5 = 1 und x = 4+5 = 9.


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Die p,q-FormelDie p,q-Formel

3.2.7 Satz. Sei x2 + px + q eine quadratische Gleichung. Diese hat

die Lösungen

x1,2 = –p/2 (p /2)2 – q

Insbesondere gilt: Die Gleichung ist genau dann lösbar, wenn p2/4

q ist. In diesem Fall hat sie genau dann nur eine Lösung, wenn

p2/4 = q ist, und sonst zwei Lösungen.

Beweis. Wir führen die quadratische Ergänzung durch, indem wir

auf beiden Seiten p2/4 – q addieren:

x2 + px + p2/4 = x2 + px + q + p2/4 – q = p2/4 – q.

3.2.7 Satz. Sei x2 + px + q eine quadratische Gleichung. Diese hat

die Lösungen

x1,2 = –p/2 (p /2)2 – q

Insbesondere gilt: Die Gleichung ist genau dann lösbar, wenn p2/4

q ist. In diesem Fall hat sie genau dann nur eine Lösung, wenn

p2/4 = q ist, und sonst zwei Lösungen.

Beweis. Wir führen die quadratische Ergänzung durch, indem wir

auf beiden Seiten p2/4 – q addieren:

x2 + px + p2/4 = x2 + px + q + p2/4 – q = p2/4 – q.


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BeweisBeweis

Daraus folgt (x + p/2)2 = p2/4 – q,

also

x + p/2 = (p/4)2 – q, und somit x1,2 = –p/2 (p/4)2 – q

Die Wurzel hat genau dann eine Lösung, wenn p2/4 – q 0, also

p2/4 q ist.

Die Lösung ist genau dann eindeutig, wenn die Wurzel gleich Null

ist, also wenn p2/4 = q ist.

Achtung! Der Übergang von x2 = a zu x = a (“auf beiden Seiten

die Wurzel ziehen”) ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine

Verlustumformung. Denn die Lösung x = –a geht dabei verloren.

Daraus folgt (x + p/2)2 = p2/4 – q,

also

x + p/2 = (p/4)2 – q, und somit x1,2 = –p/2 (p/4)2 – q

Die Wurzel hat genau dann eine Lösung, wenn p2/4 – q 0, also

p2/4 q ist.

Die Lösung ist genau dann eindeutig, wenn die Wurzel gleich Null

ist, also wenn p2/4 = q ist.

Achtung! Der Übergang von x2 = a zu x = a (“auf beiden Seiten

die Wurzel ziehen”) ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine

Verlustumformung. Denn die Lösung x = –a geht dabei verloren.


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WurzelgleichungenWurzelgleichungen

Idee: Man isoliert die Wurzel, quadriert dann die Gleichung und

rechnet dann weiter.

Achtung: Beim Quadrieren gewinnt man eine Lösung (Gewinn-

umformung). Daher muss man am Ende überprüfen, ob die

gefundenen Zahlen wirklich Lösungen der Ausgangsgleichung sind.

Beispiel: x – x + 2 = 0.

Isolieren der Wurzel: x = x + 2.

Quadrieren: x2 = x + 2Lösen: x1,2 = 2, –1

Probe: nur 2 ist eine Lösung.

Idee: Man isoliert die Wurzel, quadriert dann die Gleichung und

rechnet dann weiter.

Achtung: Beim Quadrieren gewinnt man eine Lösung (Gewinn-

umformung). Daher muss man am Ende überprüfen, ob die

gefundenen Zahlen wirklich Lösungen der Ausgangsgleichung sind.

Beispiel: x – x + 2 = 0.

Isolieren der Wurzel: x = x + 2.

Quadrieren: x2 = x + 2Lösen: x1,2 = 2, –1

Probe: nur 2 ist eine Lösung.


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3.3 Gleichungssysteme3.3 Gleichungssysteme

Definition. (a) Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren

Gleichungen, in denen in der Regel mehrere Variable vorkommen.

(b) Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen in ihm

lineare Gleichungen sind. Wir betrachten nur lineare Gleichungssyst.

Beispiel: Folgendes Gleichungssystem ist linear

3x + 2y + z = 5

2x + 7y – 3z = 0

x + 2z = 2

Folgendes Gleichungssystem ist nicht linear:

x2 + 2z = 1

3x + yz = 0.

Definition. (a) Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren

Gleichungen, in denen in der Regel mehrere Variable vorkommen.

(b) Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen in ihm

lineare Gleichungen sind. Wir betrachten nur lineare Gleichungssyst.

Beispiel: Folgendes Gleichungssystem ist linear

3x + 2y + z = 5

2x + 7y – 3z = 0

x + 2z = 2

Folgendes Gleichungssystem ist nicht linear:

x2 + 2z = 1

3x + yz = 0.


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Lösungen linearer GleichungssystemeLösungen linearer Gleichungssysteme

Probleme: 1. Ist ein gegebenes lineares Gleichungssystem lösbar?

D.h.: besitzt es (mindestens) eine Lösung? Eine Lösung besteht

dabei aus einem Satz von Zahlen (für jede Unbekannte eine), die

Lösung jeder Gleichung des Systems sind.

2. Wie berechnet man die Lösungen?

Bemerkung: Es gibt lineare Gleichungssysteme, die keine Lösung

haben, solche, die genau eine Lösung haben und solche, die

unendlich viele Lösungen haben.

Beispiele:

x + y = 1 x + y = 1 x + y = 1

x + y = 2 x – y = 1 2x + 2y = 2

Probleme: 1. Ist ein gegebenes lineares Gleichungssystem lösbar?

D.h.: besitzt es (mindestens) eine Lösung? Eine Lösung besteht

dabei aus einem Satz von Zahlen (für jede Unbekannte eine), die

Lösung jeder Gleichung des Systems sind.

2. Wie berechnet man die Lösungen?

Bemerkung: Es gibt lineare Gleichungssysteme, die keine Lösung

haben, solche, die genau eine Lösung haben und solche, die

unendlich viele Lösungen haben.

Beispiele:

x + y = 1 x + y = 1 x + y = 1

x + y = 2 x – y = 1 2x + 2y = 2


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Idee der LösungsverfahrenIdee der Lösungsverfahren

Es gibt verschiedene Lösungsmethoden.

Mathematisch laufen letztlich alle auf das Gleiche hinaus.

Grundlegende Idee: Forme das Gleichungssystem so um,

dass am Ende nur eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig

bleibt.

Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additions-

(Subtraktions-)verfahren, Verfahren von Gauß

Es gibt verschiedene Lösungsmethoden.

Mathematisch laufen letztlich alle auf das Gleiche hinaus.

Grundlegende Idee: Forme das Gleichungssystem so um,

dass am Ende nur eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig

bleibt.

Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additions-

(Subtraktions-)verfahren, Verfahren von Gauß


Mai 2004Seite 35

EinsetzungsverfahrenEinsetzungsverfahren

Rezept: Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, setzt

dann dies anstelle der Unbekannten in die anderen Gleichungen ein.

So erhält man ein Gleichungssystem, das eine Unbekannte und eine

Gleichung weniger hat.

Dann kann man auf das neue System dieses Verfahren (oder ein

anderes) anwenden.

Rezept: Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, setzt

dann dies anstelle der Unbekannten in die anderen Gleichungen ein.

So erhält man ein Gleichungssystem, das eine Unbekannte und eine

Gleichung weniger hat.

Dann kann man auf das neue System dieses Verfahren (oder ein

anderes) anwenden.


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Beispiel zum EinsetzungsverfahrenBeispiel zum Einsetzungsverfahren

x + y – z = 1

2x + 3y + 4z = 5

x + 2y + z = 2

Wir lösen die erste Gleichung nach z auf und erhalten z = x + y –

1. Dies setzen wir in die zweite und dritte Gleichung ein und erhalten

5 = 2x + 3y + 4(x + y – 1)

2 = x + 2y + x+y – 1,

also

9 = 6x + 7y

3 = 2x + 3y

Daraus erkennt man die Lösung x = 3/2, y = 0, z = 1/2.

x + y – z = 1

2x + 3y + 4z = 5

x + 2y + z = 2

Wir lösen die erste Gleichung nach z auf und erhalten z = x + y –

1. Dies setzen wir in die zweite und dritte Gleichung ein und erhalten

5 = 2x + 3y + 4(x + y – 1)

2 = x + 2y + x+y – 1,

also

9 = 6x + 7y

3 = 2x + 3y

Daraus erkennt man die Lösung x = 3/2, y = 0, z = 1/2.


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GleichsetzungsverfahrenGleichsetzungsverfahren

Rezept: Man löst alle Gleichungen nach einer Unbekannten (oder

einem Vielfachen der unbekannten auf). Dann setzt man die

erhaltenen Gleichungen gleich und erhält dadurch eine System mit

einer Unbekannten weniger und einer Gleichung weniger.

Beispiel. Wir benutzen obiges Beispiel.

Wir multiplizieren die erste und die dritte Gleichung mit 2 (dabei

verändern sich die Lösungen dieser Gleichungen nicht –

Äquivalenzumformungen!), und also auch die Lösung des gesamten

Systems nicht.

Rezept: Man löst alle Gleichungen nach einer Unbekannten (oder

einem Vielfachen der unbekannten auf). Dann setzt man die

erhaltenen Gleichungen gleich und erhält dadurch eine System mit

einer Unbekannten weniger und einer Gleichung weniger.

Beispiel. Wir benutzen obiges Beispiel.

Wir multiplizieren die erste und die dritte Gleichung mit 2 (dabei

verändern sich die Lösungen dieser Gleichungen nicht –

Äquivalenzumformungen!), und also auch die Lösung des gesamten

Systems nicht.


Mai 2004Seite 38

BeispielBeispiel

Danach sieht das Gleichungssystem so aus:

2x + 2y – 2z = 2

2x + 3y + 4z = 5

2x + 4y + 2z = 4

Nun lösen wir die drei Gleichungen nach 2x auf:

2x = 2 – 2y + 2z

2x = 5 – 3y – 4z

2x = 4 – 4y –2z

Wir setzen die erste und zweite, sowie die erste und dritte Gleichung

gleich (man könnte auch andere Paare wählen) und erhalten

Danach sieht das Gleichungssystem so aus:

2x + 2y – 2z = 2

2x + 3y + 4z = 5

2x + 4y + 2z = 4

Nun lösen wir die drei Gleichungen nach 2x auf:

2x = 2 – 2y + 2z

2x = 5 – 3y – 4z

2x = 4 – 4y –2z

Wir setzen die erste und zweite, sowie die erste und dritte Gleichung

gleich (man könnte auch andere Paare wählen) und erhalten


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Beispiel (Fortsetzung)Beispiel (Fortsetzung)

2 – 2y + 2z = 5 – 3y – 4z

2 – 2y + 2z = 4 – 4y –2z,

also

y + 6z = 3

2y + 4z = 2

das heißt

y + 6z = 3

y + 2z = 1.

Daraus ergibt sich (Gleichsetzungsverfahren) 3 – 6z = 1 – 2z,

also 2 = 4z, d.h. z = ½. Damit folgt y = 0 und also x = 3/2.

2 – 2y + 2z = 5 – 3y – 4z

2 – 2y + 2z = 4 – 4y –2z,

also

y + 6z = 3

2y + 4z = 2

das heißt

y + 6z = 3

y + 2z = 1.

Daraus ergibt sich (Gleichsetzungsverfahren) 3 – 6z = 1 – 2z,

also 2 = 4z, d.h. z = ½. Damit folgt y = 0 und also x = 3/2.


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Additions- bzw. SubtraktionsverfahrenAdditions- bzw. Subtraktionsverfahren

Rezept: Wir multiplizieren eine Gleichung so, dass bei Addition oder

Subtraktion mit einer anderen Gleichung eine Unbekannte wegfällt.

Beispiel. Wieder verwenden wir obige System. Wir multiplizieren die

erste und die dritte Gleichung jeweils mit 4 und erhalten

4x + 4y – 4z = 4

2x + 3y + 4z = 5

4x + 8y + 4z = 8

Rezept: Wir multiplizieren eine Gleichung so, dass bei Addition oder

Subtraktion mit einer anderen Gleichung eine Unbekannte wegfällt.

Beispiel. Wieder verwenden wir obige System. Wir multiplizieren die

erste und die dritte Gleichung jeweils mit 4 und erhalten

4x + 4y – 4z = 4

2x + 3y + 4z = 5

4x + 8y + 4z = 8


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Beispiel (Fortsetzung)Beispiel (Fortsetzung)

Jetzt addieren wir die ersten beiden Gleichungen und subtrahieren

die zweite von der letzten:

6x + 7y = 9

2x + 5y = 3.

Nun multiplizieren wir die letzte Gleichung mit 3 und subtrahieren

davon die erste; wir erhalten 8y = 0, also y = 0.

Damit ist x = 3/2 und z = ½.

Jetzt addieren wir die ersten beiden Gleichungen und subtrahieren

die zweite von der letzten:

6x + 7y = 9

2x + 5y = 3.

Nun multiplizieren wir die letzte Gleichung mit 3 und subtrahieren

davon die erste; wir erhalten 8y = 0, also y = 0.

Damit ist x = 3/2 und z = ½.


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Der Gauß-AlgorithmusDer Gauß-Algorithmus

Rezept: Multipliziere die erste Gleichung so, dass beim Addieren

bzw. Subtrahieren von der zweiten Gleichung in dieser (zweiten)

Gleichung die Unbekannte x wegfällt. Dann multipliziere die erste

Gleichung so, dass bei Addition (bzw. Subtraktion) zu der dritten

Gleichung in dieser die Unbekannte x wegfällt. Usw.

Nun betrachten wir die (neue) zweite Zeile. Multipliziere diese so,

dass bei Addition bzw. Subtraktion mit der dritten Gleichung in dieser

die Unbekannte y wegfällt. Multipliziere nun die zweite Gleichung

so, dass bei Addition bzw. Subtraktion zur vierten Gleichung in

dieser die Unbekannte y wegfällt. Usw.

Usw.

Rezept: Multipliziere die erste Gleichung so, dass beim Addieren

bzw. Subtrahieren von der zweiten Gleichung in dieser (zweiten)

Gleichung die Unbekannte x wegfällt. Dann multipliziere die erste

Gleichung so, dass bei Addition (bzw. Subtraktion) zu der dritten

Gleichung in dieser die Unbekannte x wegfällt. Usw.

Nun betrachten wir die (neue) zweite Zeile. Multipliziere diese so,

dass bei Addition bzw. Subtraktion mit der dritten Gleichung in dieser

die Unbekannte y wegfällt. Multipliziere nun die zweite Gleichung

so, dass bei Addition bzw. Subtraktion zur vierten Gleichung in

dieser die Unbekannte y wegfällt. Usw.

Usw.


Mai 2004Seite 43

Der Gauß-Algorithmus (Fortsetzung)Der Gauß-Algorithmus (Fortsetzung)

Am Ende hat man ganz unten eine Gleichung mit einer

Unbekannten.

Man löst diese Gleichung und setzt die Lösung in die zweitunterste

Gleichung ein.

Dann ist auch dies nur eine Gleichung mit einer Unbekannten.

Usw.

Bemerkung: C.F. Gauß hat die gesamten vorigen

Lösungsverfahren, die oft auch einen ‚guten Blick‘ erfordern,

systematisiert. Im Grunde ist sein Verfahren ein perfektioniertes

Additions- bzw. Subtraktionsverfahren.

Am Ende hat man ganz unten eine Gleichung mit einer

Unbekannten.

Man löst diese Gleichung und setzt die Lösung in die zweitunterste

Gleichung ein.

Dann ist auch dies nur eine Gleichung mit einer Unbekannten.

Usw.

Bemerkung: C.F. Gauß hat die gesamten vorigen

Lösungsverfahren, die oft auch einen ‚guten Blick‘ erfordern,

systematisiert. Im Grunde ist sein Verfahren ein perfektioniertes

Additions- bzw. Subtraktionsverfahren.


Mai 2004Seite 44

Beispiel 1Beispiel 1

Gleichungssystem: –x + 2y + z = –2

3x –8y –2z = 4

x + 4z = –2

1. Schritt: –x + 2y + z = –2

–2y + z = –2

2y + 5z = –4

2. Schritt: –x + 2y + z = –2

–2y + z = –2

6z = –6.

Daraus folgt z = –1, y = 1/2, x = 2.

Gleichungssystem: –x + 2y + z = –2

3x –8y –2z = 4

x + 4z = –2

1. Schritt: –x + 2y + z = –2

–2y + z = –2

2y + 5z = –4

2. Schritt: –x + 2y + z = –2

–2y + z = –2

6z = –6.

Daraus folgt z = –1, y = 1/2, x = 2.


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Beispiel 1 – bessere SchreibweiseBeispiel 1 – bessere Schreibweise

–1 2 1 = –2

3 –8 –2 = 4

1 4 = –2

1. Schritt: –1 2 1 = –2

–2 1 = –2

2 5 = –4

2. Schritt: –1 2 1 = –2

–2 1 = –2

2 6 = –6

Daraus folgt z = –1, y = 1/2, x = 2.

–1 2 1 = –2

3 –8 –2 = 4

1 4 = –2

1. Schritt: –1 2 1 = –2

–2 1 = –2

2 5 = –4

2. Schritt: –1 2 1 = –2

–2 1 = –2

2 6 = –6

Daraus folgt z = –1, y = 1/2, x = 2.


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Beispiel 2Beispiel 2

Gleichungssystem: 2x + y + z = 1

5x + 4y – 2z = –1

3x + 2y – z = 1

1. Schritt: 2 1 1 = 1

–3/2 9/2 = 7/2

–1/2 5/2 = 1/2

2. Schritt: 2 1 1 = 1

–3/2 9/2 = 7/2

–1 = 2/3

Lösungen: z = –2/3, y = –13/3, x = 3.

Gleichungssystem: 2x + y + z = 1

5x + 4y – 2z = –1

3x + 2y – z = 1

1. Schritt: 2 1 1 = 1

–3/2 9/2 = 7/2

–1/2 5/2 = 1/2

2. Schritt: 2 1 1 = 1

–3/2 9/2 = 7/2

–1 = 2/3

Lösungen: z = –2/3, y = –13/3, x = 3.


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Gleichungssysteme mit ParameterGleichungssysteme mit Parameter

• In vielen Gleichungssystemen steckt noch ein zusätzlicher

Parameter (meist t oder a o.ä. genannt).

• Je nach dem, wie der Parameter gewählt wird, ist das

Gleichungssystem eindeutig lösbar, unlösbar oder hat unendlich

viele Lösungen.

• Man löst das Gleichungssystem ganz normal, indem man den

Parameter als Konstante („wie eine Zahl“) mitschleppt.

• Manchmal muss man durch einen Term dividieren. Dazu muss

dieser Term ungleich Null sein. Die Fälle, in denen der Term gleich

Null ist, untersucht man dann getrennt.

• In vielen Gleichungssystemen steckt noch ein zusätzlicher

Parameter (meist t oder a o.ä. genannt).

• Je nach dem, wie der Parameter gewählt wird, ist das

Gleichungssystem eindeutig lösbar, unlösbar oder hat unendlich

viele Lösungen.

• Man löst das Gleichungssystem ganz normal, indem man den

Parameter als Konstante („wie eine Zahl“) mitschleppt.

• Manchmal muss man durch einen Term dividieren. Dazu muss

dieser Term ungleich Null sein. Die Fälle, in denen der Term gleich

Null ist, untersucht man dann getrennt.


Mai 2004Seite 48

1. Einfaches Beispiel1. Einfaches Beispiel

x + y = a

2x + ay = 1

Schematisch: 1 1 = 3

2 a = 1

1 1 = a

0 2–a = 5.

Also folgt y = 5/(2 – a), falls a ≠ 2 ist. Dann folgt x = 3 – y =

(1–3a)(2–a).

Im Fall a = 2 ergibt sich 0∙y = 5, ein Widerspruch. Also hat das

Gleichungssystem im Fall a = 2 keine Lösung.

x + y = a

2x + ay = 1

Schematisch: 1 1 = 3

2 a = 1

1 1 = a

0 2–a = 5.

Also folgt y = 5/(2 – a), falls a ≠ 2 ist. Dann folgt x = 3 – y =

(1–3a)(2–a).

Im Fall a = 2 ergibt sich 0∙y = 5, ein Widerspruch. Also hat das

Gleichungssystem im Fall a = 2 keine Lösung.


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2. Einfaches Beispiel2. Einfaches Beispiel

x + 3y = a+2

2x + (a+3)y = 10

Schematisch: 1 3 = a+2

2 a+3 = 10

1 3 = a+2

0 3–a = 2a – 6.

Also folgt y = (2a + 6)/(3 – a) = –2, falls a ≠ 3 ist.

Dann folgt x = a+2 - 3y = a+8.

Im Fall a = 3 lauten die Gleichungen x + 3y = 5 und 2x + 6y = 10.

Also ist die zweite nur das doppelte der ersten. Es gibt also unendlich

viele Lösungen, nämlich (x, (5–x)/3) für x R.

x + 3y = a+2

2x + (a+3)y = 10

Schematisch: 1 3 = a+2

2 a+3 = 10

1 3 = a+2

0 3–a = 2a – 6.

Also folgt y = (2a + 6)/(3 – a) = –2, falls a ≠ 3 ist.

Dann folgt x = a+2 - 3y = a+8.

Im Fall a = 3 lauten die Gleichungen x + 3y = 5 und 2x + 6y = 10.

Also ist die zweite nur das doppelte der ersten. Es gibt also unendlich

viele Lösungen, nämlich (x, (5–x)/3) für x R.


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Beispiel mit vier Variablen x, y, z, wBeispiel mit vier Variablen x, y, z, w

Gleichungssystem: x + y + z –w = 0 x + y –z + w = 0 x –y + z + w = 0 –x + y + z + tw = 1

Schematisch 1 1 1 –1 = 01 1 –1 1 = 01 –1 1 1 = 0 –1 1 1 t = 1

1. Schritt 1 1 1 –1 = 0

2 –2 = 02 –2 = 02 2 t–1 = 1

Gleichungssystem: x + y + z –w = 0 x + y –z + w = 0 x –y + z + w = 0 –x + y + z + tw = 1

Schematisch 1 1 1 –1 = 01 1 –1 1 = 01 –1 1 1 = 0 –1 1 1 t = 1

1. Schritt 1 1 1 –1 = 0

2 –2 = 02 –2 = 02 2 t–1 = 1


Mai 2004Seite 51

Beispiel mit … (Fortsetzung)Beispiel mit … (Fortsetzung)

2. Schritt 1 1 1 –1 = 02 –2 = 0

2 –2 = 02 2 t–1 = 1

3. Schritt 1 1 1 –1 = 02 –2 = 0

2 –2 = 0–2 –(t+1) = –1

4. Schritt 1 1 1 –1 = 02 –2 = 0

2 –2 = 0–(t+3) = –1

2. Schritt 1 1 1 –1 = 02 –2 = 0

2 –2 = 02 2 t–1 = 1

3. Schritt 1 1 1 –1 = 02 –2 = 0

2 –2 = 0–2 –(t+1) = –1

4. Schritt 1 1 1 –1 = 02 –2 = 0

2 –2 = 0–(t+3) = –1


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Beispiel mit … (Schluss)Beispiel mit … (Schluss)

Die letzte Zeile lautet (t+3)w = 1.

Das bedeutet: Wenn t = –3 ist, dann ist das Gleichungssystem

unlösbar.

Wenn t –3 ist, dann ist das System eindeutig lösbar:

w = 1/(t+3), z = w = 1/(t+3), y = w = 1/(t+3), x = w – y – z = –1/(t+3).

Zum Beispiel: Wenn t = –2 ist, dann ist w = z = y = 1, x = –1.

Die letzte Zeile lautet (t+3)w = 1.

Das bedeutet: Wenn t = –3 ist, dann ist das Gleichungssystem

unlösbar.

Wenn t –3 ist, dann ist das System eindeutig lösbar:

w = 1/(t+3), z = w = 1/(t+3), y = w = 1/(t+3), x = w – y – z = –1/(t+3).

Zum Beispiel: Wenn t = –2 ist, dann ist w = z = y = 1, x = –1.

Kapitel 3 Gleichungen. Kapitel 3 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 2 Inhalt 3.1 Terme, Gleichungen,...

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